7.平面向量试题的特色

第7讲:平面向量试题的特色 17
第7讲:平面向量试题的特色
特色惊爆
平面向量是安徽卷的一个必考题,每年文、理卷各一题;平面向量问题的基本类型有:自由向量、解析向量和几何向量问题,在安徽高考中这三类问题均有考查;
试题揭秘
为揭秘安徽卷中的平面向量试题,我们从研究真题开始:
1.自由向量型:
1.(2011年安徽高考试题第14、13题)(文理)已知向量a 、b 满足(a +2b )(a -b )=-6,且|a |=1,|b |=2,则a 与b 的夹角为 .
[解析]:由(a +2b )(a -b )=-6⇒a 2+ab -2b 2=-6⇒|a |2+ab -2|b |2=-6⇒ab =1⇒cos<a ,b >=
|
|||b a b a ⋅=
2
1
⇒<a ,b >=3π.
2.(2013年安徽高考试题第13题)(文)若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a 与b 夹角的余弦值为_______.
[解析]:由|a |=|a +2b |⇒|a |2
=|a +2b |
2
⇒a 2=(a +2b )2⇒ab =-b 2
⇒cos<a ,b >=
|
|||b a b a ⋅=
2
2|
|3||b b -=-3
1
.
3.(2012年安徽高考试题第14题)(理)若平面向量a ,b 满足:|2a -b |≤3,则ab 的最小值是_____
[解析]:由|2a -b |≤3⇒|2a -b |2≤9⇒4a 2-4ab +b 2≤9⇒4a 2+b 2≤9+4ab ;又因4a 2+b 2=4|a |2+|b |2≥4|a ||b |≥4|ab |≥-4ab
⇒-4ab ≤9+4ab ⇒ab ≥-8
9. 2.解析向量型:
1.(2012年安徽高考试题第8题)(理)在平面直角坐标系中,O(0,0),P(6,8),将向量OP 按逆时针旋转4
3π
后,得向量OQ ,则点Q 的坐标是( )
(A)(-72,-2) (B)(-72,2) (C)(-46,-2) (D)(-46,2)
[解析]:因|OP |=10,tan ∠POx=
34⇒sin ∠POx=54,cos ∠POx=5
3
⇒10sin(∠POx+43π)=-2,10cos(∠POx+43π)=-72,
故选(A).
2.(2010年安徽高考试题第3题)(文理)设向量a =(1,0),b =(
21,2
1
),则下列结论中正确的是( ) (A)|a |=|b | (B)ab =
2
2
(C)a -b 与b 垂直 (D)a //b [解析]:由a =(1,0),b =(2
1,2
1)⇒(a -b )b =ab -b 2=ab -|b |2=2
1-2
1=0⇒(a -b )⊥b .故选(C).
3.(2012年安徽高考试题第11题)(文)设向量a =(1,2m),b =(m+1,1),c =(2,m),若(a +c )⊥b ,则|a |= .
[解析]:由(a +c )⊥b ⇒(a +c )b =0⇒3(m+1)+3m=0⇒m=-2
1
⇒|a |=2. 3.几何向量型:
1.(2009年安徽高考试题第14题)(文)在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +ηAF ,其中λ,η∈R,则λ+μ= .
[解析]:由E 和F 分别是边CD 和BC 的中点⇒2AE =AD +AC ,2AF =AB +AC ⇒2(AE +AF )=AD +AB +2AC =3AC ⇒ 18 第7讲:平面向量试题的特色
AC =
32AE +32AF ⇒λ=μ=32⇒λ+μ=3
4. 2.(2009年安徽高考试题第14题)(理)给定两个长度为1的平面向量OA 和OB , B C
它们的夹角为1200
.如图所示,点C 在以O 为圆心的圆弧B
A ˆ上变功,若O C = x OA +y O
B ,其中x,y ∈R,则x+y 的最大值是 . O A
[解析]:由O C =x OA +y OB
⇒O C 2=(x OA +y OB )2⇒1=x 2+y 2-xy ⇒(x+y)2
-1=3xy ≤3(
2
y x +)2
⇒x+y ≤2. 3.(2013年安徽高考试题第9题)(理)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A 、B 满足|OA |=|OB |=OA ⋅OB =2,则点集{P|OP =λOA +μOB ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的区域的面积是( )
(A)22 (B)23 (C)42 (D)43
[解析]:由|OA |=|OB |=OA ⋅
OB =2⇒cos<OA ,OB >=
2
1
⇒<OA ,OB >=3π;当λ、μ≥0时,延长AP 与AB 交于点Q,则
OQ =m OP (m ≥1);由OP =λOA +μOB ⇒OQ =m OP =m λOA +m μOB ⇒m λ+m μ=1⇒λ+μ≤1,即点P 在△OAB 内,S △OAB =
3,注意到其他三种情况知,区域的面积=43.故选(D).
分析以上真题可知:1.自由向量型的热点是求向量的夹;解析向量型的热点是向量的坐标运算;几何向量型的热点是向量的线性表示及其几何意义;2.平面向量问题的难点是几何向量型问题,理科平面向量试题的特点是与不等式,尤其是均值不等式的有机结合;3.安徽高考中,平面向量的三类问题交替出现,如理科:2009年是几何向量型,2010年是解析向量型,2011年是自由向量型,2012年是自由向量型,2013年是几何向量型;正是基于这样的分析预测,在《2013年Y ·P ·M 预测六套试卷(安徽卷)》第Ⅰ卷中的第14题:
己知|OA |=|OB |=2,且OA ⋅OB =-2.动点P 满足:OP =x OA +y OB ,其中非负实数x,y 满足:x+y ≤1.则动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于_________.
该题击中了2013年安徽高考试题;值得指出的是作者命制该题的背景是:
(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设O 是△ABC 的内心,AB=5,AC=6,BC=7,OP =x OA +y OB +z OC ,0≤x,y,x ≤1,动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于_________.
竞赛试题与高考试题的互译,在安徽高考中多次出现应当关注.。