(浙江版)2018年高考数学复习：专题9.3 圆的方程(测)

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(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系(测)

专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期入门】已知圆与直线有两个交点，则正实数的值可以为（） A.B.C. 1D.【答案】D2.已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线y x b =+与圆相切，则b =（） A ．1± B ．1 C．【答案】C 【解析】由题意可知：圆的标准方程为()()()111222+-=-+-m m y x ，所以当1=m 时圆的面积最小，此时圆的圆心为()1,1，半径为1，又因为直线y x b =+与圆相切，所以212±=⇒==b b d .3.若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(1)(sin )16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是( ) A．3-B．．3D【答案】A14=，所以21cos cos 4θθ-=，因为且θ为锐角，所以20cos cos 1θθ<<<，211cos cos 0cos sin 422θθθθ-+=⇒=⇒=所以直线cos sin 10x y θθ+-=的斜率是1cos sin x k x =-==，故选A ． 4.已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C5.【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】已知圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（）2- 【答案】B【解析】由已知有圆心(),0a 到直线0x y -=的距离为1,1a ==，当a =时,圆心为)在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当a =,圆心为()在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以a =选B.6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】设直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点.若线段的长度为，则（）A. 或B. 或C.或 D.或【答案】D 【解析】联立，得，则.设，则，，解得或，此时成立，故选D.7.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（） A.21 B.19 C.9 D.-11 【答案】C8.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.9.【2017届陕西省西藏民族学院附属中学高三4月月考】已知点A ， B ， C 在圆224x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为()3,4，则PA PB PC ++的取值范围为（） A. []10,15 B. []12,17 C. []13,17 D. []15,17 【答案】C【解析】由题意知AC 是圆的直径，所以O 是AC 中点，故=2PA PC PO +，PO 的长为5，所以=2PA PB PC PO PB +++,显然当B 在PO 上时， PA PB PC ++有最小值10+5213-=，当B 在PO的延长线上时， PA PB PC ++有最大值105217++=，故选C ．10.若直线:0l ax by +=与圆22:440C x y x y +-+=相交，则直线l 的倾斜角不等于（）6π B.3π C.4π D.56π【答案】C【解析】11.已知下列三个命题： ①已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则21y x --的最小值为34； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 【答案】C 【解析】①21y x --表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴21y x --的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0＝1，得k ＝34，结合图形可知21y x --≥34，∴所求最小值为34；故①正确； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r ，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．综上知，选C ．12.已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是（）B.3238 【答案】A122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

(浙江专用)高考数学总复习第九章平面解析几何第3讲圆的方程课时作业-人教版高三全册数学试题

第3讲圆的方程基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4解析 AB 的中点坐标为(0，0)，|AB |＝[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2.(2017·某某七校联考)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值X 围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.(2017·某某一中检测)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x2，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5.(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________. 解析设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.(2017·某某模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________.解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大.答案 (0，－1)8.(2017·某某调研)已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________；最长弦所在直线的方程为________.解析过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.由于直线过圆心C (2，1)时弦最长，此弦与最短弦垂直，故其斜率为1，此弦所在的直线方程为y －0＝x －1，即为x －y答案 x ＋y －1＝0 x －y －1＝0 三、解答题9.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1). 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1).线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝（－2－1）2＋（－1＋1）2＝3. 故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94.10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系.则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ). 由|AB ||AC |＝m ，得（x ＋1）2＋y 2＝m （x －1）2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.① 当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2（m 2－1）2.所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点). 能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( ) A.1 B.5 C.4 2D.3＋2 2解析由题意知圆心C (2，1)在直线ax ＋2by －2＝0上， ∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2b a ×2ab ＝3＋22，当且仅当b a＝2ab，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立. ∴1a ＋2b的最小值为3＋2 2.答案 D12.已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( ) A.(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B.(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C.(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499解析由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝73(舍去).所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13.已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点.记d ＝|PB |2＋|PA |2，其中A (0，1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________.解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|PA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74.答案 7414.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C . (1)某某数b 的取值X 围； (2)求圆C 的方程；(3)问圆C 是否经过定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论.解 (1)显然b ≠0，否则，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，0)，这与题设不符.由b ≠0知，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与y 轴有一个非原点的交点(0，b )，故它与x 轴必有两个交点，从而方程x 2＋2x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，因此方程的判别式4－4b >0，即b <1.所以b 的取值X 围是(－∞，0)∪(0，1).(2)由方程x 2＋2x ＋b ＝0，得x ＝－1±1－b .于是，二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两个坐标轴的交点是(－1－1－b ，0)，(－1＋1－b ，0)，(0，b ).设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆C 的方程，得⎩⎨⎧（－1－1－b ）2＋D （－1－1－b ）＋F ＝0，（－1＋1－b ）2＋D （－1＋1－b ）＋F ＝0，b 2＋Eb ＋F ＝0.又b ≠0，解上述方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－（b ＋1），F ＝b .所以圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 过定点，证明如下：假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0不依赖于b )，将该点的坐标代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 20＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*).为使(*)式对所有满足b <1(b ≠0)的b 都成立，必须有1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 20＋2x 0－y 0＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2，y 0＝1.经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆C 上.因此，圆C 过定点.15.(2016·某某卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4).(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t ，0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA →＋TP →＝TQ →，某某数t 的取值X 围. 解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6，7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且（6－6）2＋（b －7）2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0. 又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6，7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋（－1）2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)由TA →＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10. ∴|TA |＝|PQ |≤10，即（t －2）2＋42≤10，解得2－221≤t ≤2＋221.故所求t 的X 围为[2－221，2＋221].。

专题9-4 直线与圆、圆与圆的位置关系测-2018年高考数

2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第九章解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

） 1.【2018届河南省安阳市第三十五中学高三上学期入门】已知圆与直线有两个交点，则正实数的值可以为（） A.B.C. 1D.【答案】D2.已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线y x b =+与圆相切，则b =（） A ．1± B ．1 C．【答案】C 【解析】由题意可知：圆的标准方程为()()()111222+-=-+-m m y x ，所以当1=m 时圆的面积最小，此时圆的圆心为()1,1，半径为1，又因为直线y x b =+与圆相切，所以212±=⇒==b b d .3.若直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(1)(sin )16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是( ) A．3-B．．3D【答案】A14=，所以21cos cos 4θθ-=，因为且θ为锐角，所以20cos cos 1θθ<<<，211cos cos 0cos sin 422θθθθ-+=⇒=⇒=所以直线cos sin 10x y θθ+-=的斜率是1cos sin 3x k x =-==-，故选A ． 4.已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C5.【2018届河南省郑州市第一中学高三上学期入学】已知圆()221x a y -+=与直线y x =相切于第三象限，则a 的值是（）2- 【答案】B【解析】由已知有圆心(),0a 到直线0x y -=的距离为1,1a ==，当a =时,圆心为)在第一象限,这时切点在第一象限,不符合;当a =,圆心为()在第三象限,这时切点也在第三象限,符合,所以a =选B.6.【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】设直线与圆交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点.若线段的长度为，则（）A. 或B. 或C.或 D.或【答案】D【解析】联立，得，则.设，则，，解得或，此时成立，故选D.7.若圆221:1C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（） A.21 B.19 C.9 D.-11 【答案】C8.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.4 【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.9.【2017届陕西省西藏民族学院附属中学高三4月月考】已知点A ， B ， C 在圆224x y +=上运动，且AB BC ⊥.若点P 的坐标为()3,4，则PA PB PC ++的取值范围为（） A. []10,15 B. []12,17 C. []13,17 D. []15,17 【答案】C【解析】由题意知AC 是圆的直径，所以O 是AC 中点，故=2PA PC PO +，PO 的长为5，所以=2PA PB PC PO PB +++,显然当B 在PO 上时， PA PB PC ++有最小值10+5213-=，当B 在PO的延长线上时， PA PB PC ++有最大值105217++=，故选C ．10.若直线:0l ax by +=与圆22:440C x y x y +-+=相交，则直线l 的倾斜角不等于（）6π B.3π C.4π D.56π【答案】C 【解析】11.已知下列三个命题： ①已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则21y x --的最小值为34； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x+y+1=0与圆相切．其中真命题的序号是（）A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③ 【答案】C 【解析】①21y x --表示圆上的点P(x ，y)与点Q(1,2)连线的斜率，∴21y x --的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y －2＝k(x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0＝1，得k ＝34，结合图形可知21y x --≥34，∴所求最小值为34；故①正确； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差不一定相等，如2，2，2和1，2，3；这两组数据的平均数相等，它们的标准差不相等，故②错； ③圆的圆心到直线x+y+1=0的距离d==半径r ，故直线x+y+1=0与圆相切，③正确．综上知，选C ．12.已知圆221:(2)16O x y -+=和圆2222:(02)O x y r r +=<<，动圆M 与圆1O ,圆2O 都相切，动圆的圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为1e ，2e （12e e >），则122e e +的最小值是（）B.3238【答案】A122202,44r e e r r<<∴=>=-+ 处理1：12114e e +=，再用均值求122e e +的最小值；处理2：1224244e e r r+=+=-+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018高考总复习数学(理科)课件：第七章第3讲圆的方程

课堂总结
考点1
求圆的方程
例1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝
0 上的圆的方程． (2)设圆上的点 A(2,3)关于直线 x＋2y＝0 的对称点仍在这个圆上，且圆与直线 x－y＋1＝0 相交的弦长为 2 2 ，求圆的方程． (3)一圆经过 A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程．
第3讲
圆的方程
基础诊断
考点突破
课堂总结
考纲要求
1．掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想
考点分布考情风向标 2012 年新课标卷第 20 题考查直线、本节内容具有承前启后的圆与抛物线的综合应用；作用，既与前面的直线相 2013 年新课标卷Ⅰ第 21 题考查直联系，也为后面学习圆锥线、圆、椭圆的综合应用；曲线做准备．高考中对此 2014 年大纲卷第 16 题考查切线的部分内容的考查主要呈现性质及三角函数的运算；以下几个特点：一是重基 2014 年新课标卷Ⅰ第 20 题考查求础知识和基本技能，主要圆的方程；考查了直线、圆的方程， 2014 年新课标卷Ⅱ第 12 题考查直直线与圆的位置关系，圆线与圆的位置关系及数形结合；与圆的位置关系；二是重 2015 年新课标卷Ⅰ第 5 题以求线在知识的交汇处命题，把段长度为背景，考查椭圆、抛物解析几何初步与集合、向线的几何性质；量、函数等知识结合命题， 2015 年新课标卷Ⅰ第 14 题、北京注重考查学生综合运用知卷、浙江卷考查圆的标准方程识解决问题的能力
D E 时，方程表示以－ 2 ，－ 2 为圆心，
D2＋E2－4F 以为半径的圆； 2 (2)当 D ＋E －4F＝0

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书文北师大版

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.3 圆的方程教师用书文北师大版圆的定义与方程【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ )(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ )(4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y ＋3＝0答案 C解析圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足． 2．方程x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0表示圆，则m 的范围是( ) A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－23)∪(23，＋∞) 答案 B解析将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得(x ＋m2)2＋(y －1)2＝m 24＋1－3.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D解析圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________．答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，即a ＋2＋1＝a －2＋9，解得a ＝2，∴圆心为C (2,0)，半径|CA |＝＋2＋1＝10，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．答案 (－2，－4) 5解析由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.题型一求圆的方程例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．(2016·株洲一模)圆心在直线2x －y －7＝0上的圆C 与y 轴交于A (0，－4)，B (0，－2)两点，则圆C 的标准方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －3)2＝5 C ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝5 D ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝5答案 D解析设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，故⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －7＝0，a 2＋＋b 2＝r 2，a 2＋＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，半径r ＝22＋12＝5，故圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5. 题型二与圆有关的最值问题例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值．解设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－－t |2＝1，解得t ＝2－1或t ＝－2－1.∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究1．在本例的条件下，求y x的最大值和最小值．解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y x的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝－2＋233或k ＝－2－233.所以y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值．解x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝x ＋2＋y －2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：(1)y x的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．设y x＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值．由|2k －0|k 2＋1＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值，由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2±6，故(y －x )min ＝－2－ 6.(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三与圆有关的轨迹问题例3 (2016·潍坊模拟)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点．(1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt△PBQ 中， |PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.思维升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)．19．利用几何性质巧设方程求半径典例在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程．思想方法指导本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题．规范解答解一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则有⎩⎨⎧1＋E ＋F ＝0，＋222＋D＋22＋F ＝0，－222＋D－22＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－2，F ＝1，故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋t －2＝3，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.1．(2016·南昌模拟)已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y ＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4答案 A解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－－2＋－1－2＝22，所以圆的方程为x 2＋y 2＝2.2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－y －2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x |－2＋y －2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＋y －2＝1，x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＋y －2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．3．(2016·福州质检)设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0＜a ＜1，则原点与圆的位置关系是 ( ) A ．原点在圆上 B ．原点在圆外 C ．原点在圆内 D ．不确定答案 B解析将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2＋(y ＋1)2＝2a ，因为0＜a ＜1，所以(0＋a )2＋(0＋1)2－2a ＝(a －1)2＞0，即＋a2＋＋2＞2a ，所以原点在圆外．4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A解析设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，x 20＋y 20＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝x 0＋42y ＝y 0－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.5．已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为 ( ) A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4 D ．x 2＋(y ＋1)2＝4答案 B解析由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.6．(2016·汉中模拟)若圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－∞，0) C ．(－4，＋∞) D ．(4，＋∞)答案 A解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝10－5a ，可知圆心为(1，－3)，且10－5a >0，即a <2. ∵圆关于直线y ＝x ＋2b 对称， ∴点(1，－3)在直线上，则b ＝－2. ∴a －b ＝2＋a <4.7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是__________________．答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝254解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )．又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |，解之得m ＝－32.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________．答案 x ＋y －2＝0解析当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1，所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.9．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．答案 (x －2)2＋(y －1)2＝4解析设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.10．(2016·深圳模拟)已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△PAB 面积的最大值与最小值分别是________________．答案 2＋52，2－52 解析如图，圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1，又|AB |＝5，故△PAB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52. 11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0.设圆心C (a ，b )，半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32，即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43，知r 2＝12＋a 2，可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4.当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意，当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)．由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0，化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋m ，x －2＋y 2＝13得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0，∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意，∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得的线段长为22，在y 轴上截得的线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝0，y 0＝－1，∴r 2＝3.∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．(1)求|MQ |的最大值和最小值；(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0，可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2.又|QC |＝＋2＋－2＝4 2.所以|MQ |max ＝42＋22＝62，|MQ |min ＝42－22＝2 2.(2)可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k . 由直线MQ 与圆C 有交点，所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，可得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.。

超实用高考数学专题复习教学课件：9.3 圆的方程

C.(x+2)2+(y-1)2=4
)
D.(x+2)2+(y-1)2=2
(2)已知圆C的圆心在直线x+y=0上,圆C与直线x-y=0相切,且被直线x-y-3=0
截得的弦长为 6 ,则圆C的方程为
.
答案 (1)A
解析
(2)(x-1)2+(y+1)2=2
|2+1-1|
(1)因为圆心(2,-1)到直线 x-y-1=0 的距离 d=
5,所以△ABO 外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
方法 2 设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为过 A(2,0),B(0,4),O(0,0)三点,
4 + 2 + = 0,
所以 16 + 4 + = 0,解得 D=-2,E=-4,F=0,则△ABO 外接圆的方程是
0 = 2 + 2,
(2x-4)2+(2y+2)2=4,化为(x-2)2+(y+1)2=1,故选 A.
)
思考求与圆有关的轨迹方程都有哪些常用方法?
解题心得1.求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同,常采用以下方
法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线
等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点
②

又圆心(- ,- )在直线
2 2
x-3y=0 上,∴D-3E=0.
= -6,
= 6,
联立①②③,解得 = -2, 或 = 2,
= 1.
=1

2018年高考数学总复习高考研究课(二)圆的方程命题3角度-求方程、算最值、定轨迹课件理

点的轨迹方程是
()
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则
x＝x1＋2 4， y＝y1－2 2，
即
x1＝2x－4， y1＝2y＋2，
将 P，Q 两点的坐标分别代入得23DD－－4EE＋－FF＝＝－201，0.
① ②
又令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0.
③
设 x1，x2 是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6 有 D2－4F＝36，
④
由①②④解得 D＝－2，E＝－4，F＝－8，或 D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为 x2＋y2－2x－4 y－8＝0，或 x2＋y2－6x－8y＝0.
高考研究课(二)
圆的方程命题 3 角度——求方程、算最值、定轨迹
[全国卷5年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
圆的方程
求圆的方程及先求圆 5年3考
的方程再考查应用
与圆有关的最值问题 5年1考
求范围
与圆有关的轨迹问题未考查
圆的方程圆的方程的求法，应根据条件选用合适的圆的方程，一般来说，求圆的方程有两种方法： 1几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量. 2代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.
角度四：距离和(差)最值问题
4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9， M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋
|PN|的最小值为
()
A．5 2－4

2018北师大版文科数学高考总复习教师用书：9-3圆的方

第3讲圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．知识梳理1．圆的定义和圆的方程2.平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外； (2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上； (3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT 展示(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )解析 (2)当a ＝0时，x 2＋y 2＝a 2表示点(0,0)；当a ＜0时，表示半径为|a |的圆． (3)当(4m )2＋(－2)2－4×5m ＞0，即m ＜14或m ＞1时才表示圆．答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2．(2015·北京卷)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由题意得圆的半径为2，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D. 答案 D3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是() A．(－1,1) B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1解析因为点(1,1)在圆的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案 A4．(2016·浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析由已知方程表示圆，则a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．答案(－2，－4) 55．(必修2P88A1(3)改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________．解析设圆心坐标为C(a,0)，∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴|CA|＝|CB|，即(a＋1)2＋1＝(a－1)2＋9，解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，半径|CA|＝(2＋1)2＋1＝10，∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.答案(x－2)2＋y2＝10考点一圆的方程【例1】 (1)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．(2)已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________．解析 (1)法一由已知k AB ＝0，所以AB 的中垂线方程为x ＝3.①过B 点且垂直于直线x －y －1＝0的直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0，②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0，所以圆心坐标为(3,0)，半径r ＝(4－3)2＋(1－0)2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.法二设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，∵点A (4,1)，B (2,1)在圆上，故⎩⎨⎧(4－a )2＋(1－b )2＝r 2，(2－a )2＋(1－b )2＝r 2，又∵b －1a －2＝－1，解得a ＝3，b ＝0，r ＝2，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝2.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＝0)，将P ，Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎨⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④由①，②，④解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.答案 (1)(x －3)2＋y 2＝2 (2)x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0 规律方法求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．【训练1】 (1)(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________． (2)(2017·西安模拟)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________．解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4. 答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x －1)2＋y 2＝4 考点二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值．解原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k＝±3(如图1)．所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图2)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．又圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 规律方法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见： (1)形如m ＝y －bx －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．【训练2】 (1)(2017·昆明诊断)圆心在曲线y ＝2x (x ＞0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5(2)(2014·全国Ⅱ卷)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析 (1)设圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0)，则半径r ＝2a ＋2a ＋15≥22a ×2a ＋15＝5，当且仅当2a ＝2a ，即a ＝1时取等号．所以当a ＝1时圆的半径最小，此时r ＝5，C (1,2)，所以面积最小的圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.(2)如图所示，过点O 作OP ⊥MN 交MN 于点P .在Rt △OMP 中，|OP |＝|OM |·sin 45°，又|OP |≤1，得|OM |≤1sin 45°＝ 2.∴|OM |＝1＋x 20≤2，∴x 20≤1.因此－1≤x 0≤1. 答案 (1)D (2)[－1,1] 考点三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎨⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况)．规律方法求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【训练3】 (2014·全国Ⅰ卷)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM→＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.[思想方法]1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．1．求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程．2．求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析 AB 的中点坐标为(0,0)， |AB |＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝2. 答案 A2．(2017·合肥模拟)圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析已知圆的圆心C (1,2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2,1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A. 答案 A3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.4．(2017·淄博调研)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 答案 A5．(2015·全国Ⅱ卷)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43解析由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1,0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为 y －32＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.答案 B 二、填空题6．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．解析设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547．(2017·广州模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大．答案 (0，－1)8．已知点M (1,0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________．解析过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2,1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0.答案 x ＋y －1＝0 三、解答题9．已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直．三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆．解方程组⎩⎨⎧x －2y ＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1.所以点A 的坐标是(－2，－1)．解方程组⎩⎨⎧ 2x ＋y －1＝0，y ＋1＝0得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.所以点B 的坐标是(1，－1)．线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1，又|AB |＝(－2－1)2＋(－1＋1)2＝3.故所求圆的标准方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝94. 10．在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系．则有B (－1,0)，C (1,0)，设点A 的坐标为(x ，y )．由|AB ||AC |＝m ，得(x ＋1)2＋y 2＝m (x －1)2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴．当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2(m 2－1)2. 所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2解析由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1，∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b≥3＋2 b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立． ∴1a ＋2b 的最小值为3＋2 2.答案 D12．已知圆心(a ，b )(a ＜0，b ＜0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9B ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25C ．(x ＋6)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋732＝499 解析由圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x 轴相切，由题意得圆的半径为|b |，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由圆心在直线y ＝2x ＋1上，得b ＝2a ＋1 ①，由此圆在y 轴上截得的弦长为25，得b 2－a 2＝5 ②，由①②得⎩⎨⎧ a ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝73(舍去)．所以所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选A.答案 A13．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，设点P 是圆C 上的动点．记d ＝|PB |2＋|P A |2，其中A (0,1)，B (0，－1)，则d 的最大值为________．解析设P (x 0，y 0)，d ＝|PB |2＋|P A |2＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2＝2(x 20＋y 20)＋2.x 20＋y 20为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x 20＋y 20)max ＝(5＋1)2＝36，∴d max ＝74. 答案 7414．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程；(3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA→＋TP →＝TQ →，求实数t 的取值范围．解 (1)圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b ＞0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5.解得b ＝1，∴圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)∵k OA ＝2，∴可设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22＝25－5＝25，即|2×6－7＋m |22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15. ∴直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.(3)由TA→＋TP →＝TQ →，则四边形AQPT 为平行四边形，又∵P ，Q 为圆M 上的两点，∴|PQ |≤2r ＝10.∴|TA |＝|PQ |≤10，即(t －2)2＋42≤10，解得2－221≤t≤2＋221.故所求t的范围为[2－221，2＋221].。

2018版高考数学(人教A版文科)一轮复习课件：第九章解析几何9-3

圆的一般方程：注意表示圆的条件． (1) 方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆，则 a 的取
2 －2<a<3 值范围是_____________ ．
解析：∵方程 x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0 表示圆， ∴a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 2 解得－2<a<3.
角度二截距型最值问题 [典题 3] 在[角度一]条件下求 y－x 的最大值和最小值．
[解] 示，
y－x 可看作是直线 y＝x＋b 在 y 轴上的截距，如图所
当直线 y＝x＋b 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值， |2－0＋b| 此时＝ 3， 2 解得 b＝－2± 6. 所以 y－x 的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
0或1 (2)圆 x2＋y2－2ax＋4y＋a＝0 的半径为 2，则 a＝________.
1 解析：由题意可知， 4a2＋16－4a＝ a2－a＋4＝2，解得 2 a＝0 或 1，经检验都满足题意，所以 a＝0 或 1.
[典题 1]
(1)求经过点 P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在 x
[点石成金]
圆的方程的求法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a，b， r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E， F 的值．
必考部分
第九章
解析几何
§9.3 圆的方程
考纲展示► 1.掌握确定圆的几何要素． 2．掌握圆的标准方程与一般方程．

高考数学复习第九章解析几何9.3圆的方程ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

对点训练2已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q为圆上动
点.
(1)求线段AP中点轨迹方程;
(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点轨迹方程.
21/38
-22考点1
考点2
考点3
解 (1)设AP中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,
P点坐标为(2x-2,2y).
因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
∴
(2-)2 + (1-)2 = 2 ,
又
-1
=-1,解得
-2
a=3,b=0,r=√2,
故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2.
(2)曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点为(0,1),(3±2√2,0).
故可设圆的圆心坐标为(3,t),
则有 32+(t-1)2=(2√2)2+t2,解得 t=1,
√2 0,y0),
(2)设P坐标为(x
则
=
,即|x -y |=1.
√2
2
0
0
故 y0-x0=±1,即 y0=x0±1.
①当 y0=x0+1 时,
由02 − 02 =1 得(x0+1)2-02 =1,
0 = 0,
则
故 r2=3,
0 = 1,
18/38
-19考点1
考点2
考点3
②当y0=x0-1时,
|-(-)|
设圆心坐标为(a,-a),则
√2
即|a|=|a-2|,解得a=1,
故圆心坐标为(1,-1),半径

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专题9.3 圆的方程
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是
符合题目要求的。）
1.若坐标原点在圆22()()4xmym-++=的内部，则实数m的取值范围是（）

（A）11m-<< （B）33m-<<

（C）22m-<< （D）2222m-<<
【答案】C

2.【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上学期月考一】已知圆的圆心
在直线上，且与直线平行，则的方程是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线为，代入点得．故选A．
3.【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】过点1,1A、1,1B，且圆

心在20xy上的圆的方程是（）
A. 22314xy B. 22314xy
C. 22114xy D. 22114xy
【答案】C
【解析】AB中垂线方程为yx ，所以由yx， 20xy的交点得圆心1,1 ，半径

为2 ，因此圆的方程是22114xy，选C.
4.若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )
(A) 22(2)(2)3xy (B) 22(2)(3)3xy
(C) 22(2)(2)4xy (D) 22(2)(3)4xy
【答案】D
【解析】因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线2x，又圆与y轴相切，
所以半径2r，
设圆心坐标为2,b，则22213b，23,3bb，选D.
5.若点11P（，）为圆0622xyx的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )
A．032yx B．012yx
C．032yx D．012yx
【答案】D

6.已知圆C的圆心在x轴上，且经过(5,2),(1,4)AB两点，则圆C的方程是（）
A.22(2)17xy B.22(2)13xy
C. 22(1)20xy D. 22(1)40xy
【答案】C
【解析】根据题意，圆心在线段AB的垂直平分线上，中点为2,3,斜率为3，则方程为

y33x2
.可知，3xy30,令y0,得x1,故可知圆心为10（，），半径为

22
5-1+-=25（）（20）
，因此可知方程为22(1)20xy，选C.

7.【2018届黑龙江省大庆市大庆实验中学高三上期初】若圆
221,xaybaRbR关于直线1yx对称的圆的方程是
22
131,xy
则

ab
等于（）

A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
【答案】A
【解析】圆心(1,3)关于直线y=x+1的对称点为（2,2）2,2,4abab，选A.
8.【2018届广东省兴宁市沐彬中学高三上中段】圆22123xy与y轴交于,MN两
点，则MN（）
A. 2 B. 3 C. 22 D. 23
【答案】C

9.在圆22260xyxy内，过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形
ABCD
的面积为 ( )
A．52 B．102 C. 152 D.
202
【答案】A
【解析】由题意，AC为直径.设圆心为F，则FEBD，圆的标准方程为


22
1310xy
，故1,3F，由此，易得：210AC，又31210EFk，所以直线
BD

的方程为112yx，F到BD的距离为1132552，由此得，25BD.
所以四边形ABCD的面积为112521010222SACBD，选A.
10.过点P（1,1）的直线，将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分两部分，使这两部分的面积

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