高中数学第二章函数2.3函数的应用(Ⅰ)自我小测新人教B版必修1
人教B版高中数学必修二第二章2.3.1
§2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程【课时目标】1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．1．设圆的圆心是A(a，b)，半径长为r，则圆的标准方程是__________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r，则圆的标准方程是________________．2．设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，点P在圆外⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆内⇔________．一、选择题1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( )A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1D ．(x －3)2＋(y －4)2＝15．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线B ．一个圆 C ．两条射线D ．半个圆6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52二、填空题7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．三、解答题10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．能力提升12．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d 与圆半径r 比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2与r 2比较．2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a ，b ，r ，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．§2．3 圆的方程 2．3．1 圆的标准方程答案知识梳理1．(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 x 2＋y 2＝r 22．d >r d ＝r d <r 作业设计1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin 2θ＋cos 2θ＝1>12，所以点在圆外．]2．B [点M (5，－7)到圆心A (2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．] 3．D [(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]4．B [两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y ＝x 的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y－3)2＝1．]5．D [由y ＝9－x 2知，y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9．∴选D ．] 6．A [设直径的两个端点为M (a,0)，N (0，b )， 则a ＋02＝2⇒a ＝4，b ＋02＝－3⇒b ＝－6．所以M (4,0)，N (0，－6)．因为圆心为(2，－3)，故r ＝(2－4)2＋(－3－0)2＝13．所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．]7．(x －4)2＋(y －1)2＝26解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半． 8．5＋ 2解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．9．[0,2]解析 由题意知l 过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k ≤2．10．解 因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，直线AB 的斜率k AB ＝－2－12－1＝－3，因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x －3y －3＝0．圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0的解．解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆心为C 的圆的半径长r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5．所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25．11．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝r a －3b ＝0(6－a )2＋(1－b )2＝r 2．解得a ＝3，b ＝1，r ＝3或a ＝111，b ＝37，r ＝111．所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112．12．解 由题意得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l 的距离为d ＝|3－1－5|2＝32－62，则圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32－62＋2，最小值为32－62－2．13．解设P点坐标(x，y)，则x2＋y2＝4．|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y．∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88．即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72．。
《函数的零点》测试(新人教b版必修1)doc高中数学
《函数的零点》测试（新人教b 版必修1）doc 高中数学一、选择题 １．函数ｆ〔ｘ〕＝ｘ－x4的零点是〔 〕 Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．许多个２．函数ｆ〔ｘ〕＝3222x x x --+的零点是〔 〕Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２３．假设函数ｆ〔Ｘ〕在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ〔ｘ〕＝０在〔０，４〕内仅有一个实数根，那么发ｆ〔０〕•ｆ〔４〕的值〔 〕Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判定４．假设函数ｆ〔ｘ〕＝ｍ2x ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ〔ｘ〕＜０时－７＜ｘ＜－１，那么实数ｍ的值为〔 〕Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ５．ｆ〔ｘ〕＝xx 1-，方程ｆ〔４ｘ〕＝ｘ的根是〔 〕 Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５ 6．设函数)f(x)= c bx x 3++在[-1,1]上为增函数,且0)21(f ).21(f <-,那么方程f(x)在[-1,1]内A .可能有3个实数根B .可能有2个实数根C. 有唯独的实数根 D .没有实数根7．设f (x ) = 12x 5x -3++，那么在以下区间中，使函数f (x )有零点的区间是 〔 〕A ．[0，1]B ．[1，2]C ．[－2，－1]D ．[－1，0]8．给出以下三个函数的图象；07徐州三练〕 3．方程2x +x-4=O 的解所在区间为A ．(-1，0)B ．(0，1)C ．(1，2)D ．(2，3)9.函数y=f(x)在定义域内是单调函数,那么方程f(x)=c(c 为常数)的解的情形( )A.有且只有一个解B.至少有一个解C.至多有一个解D.可能无解,可能有一个或多个解二、填空题：10．关于ｘ的方程２ｋ2x －２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，那么实数的取值范畴 ．11．假设函数ｆ〔ｘ〕＝2x －ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，那么函数ｇ〔ｘ〕＝ｂ2x －ａｘ－１的零点 ．三、解答题12．函数ｆ〔ｘ〕＝２〔ｍ－１〕2x －４ｍｘ＋２ｍ－１〔１〕ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．〔２〕假如函数的一个零点为２，求ｍ的值．13．二次函数f 〔x 〕=a 2x +bx 〔ａ，ｂ是常数且ａ≠０〕满足条件：ｆ〔２〕＝０．方程有等根〔１〕求f 〔x 〕的解析式；〔２〕咨询：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ〔ｘ〕定义域和值域分不为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，讲明理由．参考答案：一、选择题1． Ｃ２．Ｂ３．Ｄ４．Ｃ５．Ｄ6． C7． A8． C9． C二、填空题：10．ｋ＞０或ｋ＜－４12．31,21-- 三、解答题13．解：〔１〕由条件知；Δ＝24m -－８〔ｍ－１〕〔２ｍ－１〕又Δ＞０ 即ｍ＞31 因此函数与ｘ轴有两个交点 〔２〕函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，∴有２〔ｍ－１〕⨯20－４ｍ0⋅＋２ｍ－１＝０∴ｍ＝０．５14．〔１〕由ｆ〔２〕＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ〔ｘ〕＝ｘ即ax 2+〔b －１〕x＝０． 有等根∴Δ＝)1(2-b ＝０， 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+-0024)1(2b b a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=121b a ，∴ｆ〔ｘ〕＝－x 221＋ｘ 〔２〕ｆ〔ｘ〕＝－x 221＋ｘ＝－212121)1(2≤+-x ∴２ｎ21≤ ，∴ ｎ41≤∴函数ｆ〔ｘ〕在［ｍ，ｎ］上是增函数∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==+-=n n n f m m m f n m 2221)(,221)(2，解得ｍ＝２，ｎ＝０。
高中数学 第二章 函数 2.1.4 函数的奇偶性 2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)同步训练 新人教B版必修1
2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图象(选学)5分钟训练1.下列命题正确的是( )A.偶函数的图象一定与y 轴相交B.奇函数的图象一定通过原点C.不存在既是奇函数又是偶函数的函数D.偶函数的图象关于y 轴对称 答案：D解析：偶函数的图象不一定与y 轴相交,如函数y=x 2,x∈［-4,-3］∪［3,4］,排除A;奇函数的图象不一定过原点,如函数y=x x 1 ,排除B;函数f(x)=0(x∈R )既是奇函数又是偶函数,排除C.2.下列函数图象中所表示的函数是奇函数的是( )答案：D解析：由奇函数的图象关于原点对称,可得D 项中的函数为奇函数.3.对定义域为R 的任何奇函数f(x),都有( )A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0答案：C解析：∵函数f(x)是R 上的奇函数,∴f(0)=0.故A 、D 错误.对于B 恒有f(x)≤0,这与奇函数的图象关于原点对称相矛盾.4.(1)一次函数y=kx+b(k≠0)是奇函数,则b=___________;(2)二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)是偶函数,则b=___________.答案：(1)0 (2)0解析：(1)由-kx+b=-(kx+b),得b=0.(2)因为a(-x)2+b(-x)+c=ax 2+bx+c,所以-bx=bx,故b=0.10分钟训练1.函数y=x|x|的图象大致是( )答案：C解析：∵y=x|x|是奇函数,∴A、B 错误.又∵x>0时,y=x 2,∴D 错误.2.已知函数f(x)=(m-1)x 2+2mx+3为偶函数,则f(x)在(-5,-2)上是( )A.增函数B.减函数C.非单调函数D.可能是增函数,也可能是减函数答案：A解析：∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即(m-1)x 2+2m(-x)+3=(m-1)x 2+2mx+3.∴-2mx=2mx.∴m=0.∴f(x)=-x 2+3.∴f(x)在(-5,-2)上是增函数.3.如果奇函数f(x)在区间［-5,-3］上是增函数,且最大值是-4,那么f(x)在x∈［3,5］上是( )A.增函数且最大值是4B.增函数且最小值是4C.减函数且最大值是4D.减函数且最小值是4答案：B解析：作一个符合条件的函数的简图.观察图形,可知f(x)在［3,5］上是增函数,且最小值为4.4.函数y=f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f （x+2）是偶函数.下列结论中正确的是( )A.f （1）＜f （25）＜f （27） B.f （27）＜f （1）＜f （25） C.f （27）＜f （25）＜f （1） D.f （25）＜f （1）＜f （27） 答案：B解析：y=f （x ）的图象关于直线x=2对称，且在（0，2）上是增函数，（2，3）上是减函数， ∴)25()3()27(f f f <<.又f （3）=f （1），∴)25()1()27(f f f <<.5.已知奇函数f(x)在x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=____________.答案：-x(x+1)解析：设x>0,则-x<0.由条件,得f(-x)=-x(-x-1).∵函数为奇函数,f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x(-x-1).∴f(x)=-x(x+1).6.已知f （x ）是奇函数，在（-1，1）上是减函数，且满足f （1-a ）+f （1-a 2）＜0，求实数a 的范围.解：由f （1-a ）+f （1-a 2）＜0，得f （1-a ）＜-f （1-a 2）.∵f（x ）是奇函数，∴-f （1-a 2）=f （a 2-1）.于是f （1-a ）＜f （a 2-1）.又由于f （x ）在（-1，1）上是减函数，因此，⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-,11,111,11122a a a a 解得0＜a ＜1.30分钟训练1.设f(x)是R 上的偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,若x 1<0且x 1+x 2>0,则( )A.f(-x 1)>f(-x 2)B.f(-x 1)=f(-x 2)C.f(-x 1)<f(-x 2)D.f(-x 1)与f(-x 2)大小不确定答案：A解析：x 2>-x 1>0,f(x)是R 上的偶函数,∴f(-x 1)=f(x 1).又f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(-x 2)=f(x 2)<f(-x 1).2.(探究题)已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图(1)和(2):则y=f(x)·g(x)的大致图象为( )答案：B解析：由图象可知,y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,∴y=f(x)·g(x)是奇函数,故A 、C 错误.又∵当0<x<1时,f(x)>0,g(x)<0,∴f(x)·g(x)<0.故D 错误.3.已知函数f(x)在［-5,5］上是偶函数,f(x)在［0,5］上是单调函数,且f(-3)<f(1),则下列不等式中一定成立的是( )A.f(-1)<f(-3)B.f(2)<f(3)C.f(-3)<f(5)D.f(0)>f(1)答案：D解析：∵f(-3)=f(3).∴f(3)<f(1).∴函数f(x)在x∈(0,5］上是减函数.4.设f （x ）是（-∞，+∞）上的奇函数，f （x+2）=-f （x ），当0≤x≤1时，f （x ）=x ，则f （7.5）等于( )A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5答案：B解析：f （7.5）=f （6+1.5）=-f （1.5）=-f （2-0.5）=f （-0.5）=-f （0.5）=-0.5.5.若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x|x·f(x)<0}等于( )A.{x|x>3或-3<x<0}B.{x|0<x<3或x<-3}C.{x|x>3或x<-3}D.{x|0<x<3或-3<x<0}答案：D解析：依题意,当x∈(-∞,3)∪(0,3)时,f(x)<0;当x∈(-3,0)∪(3,+∞)时,f(x)>0.由x·f(x)<0,知x 与f(x)异号.6.(创新题)已知函数f(x)=ax 2+bx+3a+b 是偶函数,其定义域是［a-1,2a ］,则a=____________,b=____________. 答案：31 0 解析：由偶函数不含奇次幂项,可得b=0.根据具有奇偶性的函数的定义域关于原点成中心对称,可得1-a=2a.7.已知函数f(x)=121+-x a ,若f(x)为奇函数，则a=____________. 答案：21 解析：方法一:f(x)为奇函数,则有f(-x)=-f(x),即121121+=+--x x a -a.解得2a=1,a=21. 方法二:定义域为R 的奇函数满足f(0)=0, 即f(0)=1210+-a =0.∴a=21. 8.设函数y=f(x)是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)= ____________. 答案：-3解析：依题意,得-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3,∴f(1)+f(2)=-3.9.设函数f （x ）=cbx ax ++12（a 、b 、c∈Z ）为奇函数，又f （1）=2，f （2）＜3，且f （x ）在［1，+∞）上递增.（1）求a 、b 、c 的值；（2）当x ＜0时，讨论f （x ）的单调性.解：（1）∵f（x ）为奇函数，∴f（-x ）=-f （x ）. ∴cbx ax c bx ax ++-=+-+1122. ∴))(())(1(2c bx c bx c bx c bx ax ++-+-++=0. ∵ax 2+1≠0，∴c=0.又∵f（1）=2，f （2）＜3，∴a+1=2b 且ba 214+＜3. 将2b=a+1代入上式得-1＜a ＜2.∵a∈Z ，∴a=0或a=1.而a=0时，b=21，与b∈Z 矛盾, ∴a=1，b=1，c=0. （2）由（1）f （x ）=x x 1+，设x 1＜x 2＜0，f （x 2）-f （x 1）=（x 2-x 1）21211x x x x -，当x 1＜x 2＜-1时，x 1x 2＞1，x 1x 2-1＞0.又x 2-x 1＞0，∴f（x 2）＞f （x 1）,即当x ＜-1时，f （x ）为增函数.同理，当-1＜x ＜0时为减函数.10.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在［0,+∞)上为增函数.(1)求证:函数在(-∞,0］上也是增函数;(2)如果f(21)=1,解不等式-1<f(2x+1)≤0. 答案：(1)证明：设x 1、x 2是(-∞,0］上任意两个不相等的实数,且x 1<x 2,则-x 1,-x 2∈［0,+∞),且-x 1>-x 2,Δx=x 2-x 1>0.Δy=f(x 2)-f(x 1).∵f(x)是奇函数,且在［0,+∞)上是增函数,-x 1>-x 2,∴f(-x 1)>f(-x 2).又∵f(x)为奇函数,∴f(-x 1)=-f(x 1),f(-x 2)=-f(x 2).∴-f(x 1)>-f(x 2),即f(x 1)<f(x 2),即Δy=f(x 2)-f(x 1)>0.∴函数f(x)在(-∞,0］上也是增函数.(2)解：抽象不等式,常把常数看成某些变量的函数值,利用函数的性质去“外层包装”,取出x,化成一元一次或二次不等式求解.∵f(x)是R 上的奇函数, ∴f(0)=0,f(21-)=-f(21)=-1.由-1<f(2x+1)≤0,得f(21-)<f(2x+1)≤f(0).又∵f(x)在(-∞,0］上是增函数, ∴21-<2x+1≤0,得43-<x≤21-.∴不等式的解集为{x|43-<x≤21-}.。
高中数学必修一第二章测试题(含答案)
高中数学必修一第二章测试题(2)一、选择题：1．已知p>q>1,0<a<1,则下列各式中正确的是（）A．qp aa>B．aa qp>C．qp aa-->D．aa qp-->2、已知(10)xf x=，则(5)f=（）A、510B、105C、lg10D、lg53．函数xyalog=当x>2 时恒有y>1，则a的取值范围是（）A．1221≠≤≤aa且B．02121≤<≤<aa或C．21≤<a D．211≤<≥aa或4．当a≠0时，函数y ax b=+和y b ax=的图象只可能是（）5、设1.50.90.4812314,8,2y y y-⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A、312y y y>>B、213y y y>>C、132y y y>>D、123y y y>>6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A．y＝ln(x＋2) B．y＝－x＋1C．y＝⎝⎛⎭⎫12x D．y＝x＋1x7．若a<12，则化简4(2a－1)2的结果是()A.2a－1B．－2a－1C.1－2a D．－1－2a8．函数y＝lg x＋lg(5－3x)的定义域是()A．[0，53) B．[0，53]C．[1，53) D．[1，53]9．幂函数的图象过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)10．函数y＝2＋log2(x2＋3)(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[4，＋∞) D．[3，＋∞)11．函数y＝a x－1a(a>0，且a≠1)的图象可能是()12．若0＜x＜y＜1，则()A．3y＜3x B．log x3＜log y3C．log4x＜log4y D．(14)x＜(14)y二、填空题13．函数f(x)＝a x－1＋3的图象一定过定点P，则P点的坐标是________．14．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．15．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是______．13．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为. 三、解答题 17．化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)2lg 2＋lg 31＋12 lg 0.36＋14lg 16.18．已知f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，当x ∈[－1，0]时，函数解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f (x )在[0,1]上的解析式； (2)求f (x )在[0,1]上的最大值． 19．已知x ＞1且x ≠43，f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，试比较f (x )与g (x )的大小． 20．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 21．已知函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)．(1)若函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)点，求a 的值；(2)若f (lg a )＝100，求a 的值；(3)比较f ⎝⎛⎭⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程． 22．已知f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x.(1)求证f (x )是定义域内的增函数； (2)求f (x )的值域．答案一. 选择题1—5.BDAAC 6—10.ACCCC 11—12.DC 二.填空题13．(1,4)14.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞15．(－1,0)∪(1，＋∞)16.1)1(log 2--=x y17．解 (1)原式＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫641 00015－5223－⎝⎛⎭⎫27813－1＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫410315×⎝⎛⎭⎫－52×23－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32313－1＝52－32－1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 31＋12lg 0.62＋14lg 24＝2lg 2＋lg 31＋lg 2×310＋lg 2＝2lg 2＋lg 31＋lg 2＋lg 3－lg 10＋lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＝1. 18．解 (1)∵f (x )为定义在[－1,1]上的奇函数，且f (x )在x ＝0处有意义，∴f (0)＝0，即f (0)＝140－a20＝1－a ＝0.∴a ＝1.设x ∈[0,1]，则－x ∈[－1,0]． ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x .又∵f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝4x －2x . ∴f (x )＝2x －4x .(2)当x ∈[0,1]，f (x )＝2x －4x ＝2x －(2x )2， ∴设t ＝2x (t ＞0)，则f (t )＝t －t 2. ∵x ∈[0,1]，∴t ∈[1,2]．当t ＝1时，取最大值，最大值为1－1＝0.19．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝1＋log x 34＝log x 34x ，当1＜x ＜43时，34x ＜1，∴log x 34x ＜0；当x ＞43时，34x ＞1，∴log x 34x ＞0.即当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＞43时，f (x )＞g (x )．20．解 (1)当x ＜0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x .由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0，解得2x ＝1±2.∵2x＞0，∴x ＝log 2(1＋2)． (2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)． ∴lg a lg a －1＝2(或lg a －1＝log a 100)． 21．解 (1)∵函数y ＝f (x )的图象经过P (3,4)，∴a3－1＝4，即a 2＝4.又a >0，所以a ＝2.(2)由f (lg a )＝100知，a lg a －1＝100. ∴(lg a －1)·lg a ＝2. ∴lg 2a －lg a －2＝0, ∴lg a ＝－1或lg a ＝2， ∴a ＝110或a ＝100.(3)当a >1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 因为，f ⎝⎛⎭⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3， f (－2.1)＝a－3.1，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为增函数，∵－3>－3.1，∴a －3>a－3.1.即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100>f (－2.1)； 当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上为减函数， ∵－3>－3.1，∴a －3<a－3.1，即f ⎝⎛⎭⎫lg 1100<f (－2.1)． 22．(1)证明 因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x －10x 10－x ＋10x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．f (x )＝10x －10－x 10x ＋10－x ＝102x －1102x ＋1＝1－2102x ＋1. 令x 2＞x 1，则 f (x 2)－f (x 1)＝(1－2102x 2＋1)－(1－2102x 1＋1)＝2·102x 2－102x 1(102x 2＋1)(102x 1＋1).因为y ＝10x 为R 上的增函数， 所以当x 2＞x 1时，102x 2－102x 1＞0.又因为102x 1＋1＞0,102x 2＋1＞0. 故当x 2＞x 1时，f (x 2)－f (x 1)＞0， 即f (x 2)＞f (x 1)． 所以f (x )是增函数．(2)解 令y ＝f (x )．由y ＝102x －1102x ＋1，解得102x ＝1＋y1－y.因为102x ＞0，所以－1＜y ＜1. 即f (x )的值域为(－1,1)．。
高中数学 第二章 指数函数、对数函数和幂函数 2.2.3 对数函数的图象和性质 第1课时 反函数及对
2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的图象和性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质．[知识]1．作函数图象的步骤为列表、描点、连线．另外也可以采取图象变换法．2．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象与性质.a＞10＜a＜1 图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点过点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1 单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1．对数函数的概念把函数y＝log a x(x＞0，a＞0，a≠1)叫作(以a为底的)对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1 图象性质定义域(0，＋∞)值域R过点过点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数3.反函数(1)对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)与指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(2)要寻找函数y＝f(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成x＝f(y)，再把y解出来，表示成y＝g(x)的形式，如果这种形式是唯一确定的，就得到f(x)的反函数g(x).要点一对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.解(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A．y＝log2x B．y＝2log4xC．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定答案 A解析设对数函数的解析式为y＝log a x(a＞0且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a ＝2，∴该对数函数的解析式为y＝log2x.要点二对数函数的图象例2 如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35、110，则相应于c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为( )A.3、43、35、110B.3、43、110、35C.43、3、35、110D.43、3、110、35 答案 A解析 方法一 先排c 1、c 2底的顺序，底都大于1，当x ＞1时图低的底大，c 1、c 2对应的a 分别为3、43.然后考虑c 3、c 4底的顺序，底都小于1，当x ＜1时底大的图高，c 3、c 4对应的a 分别为35、110.综合以上分析，可得c 1、c 2、c 3、c 4的a 值依次为3、43、35、110.故选A.方法二 作直线y ＝1与四条曲线交于四点，由y ＝log a x ＝1，得x ＝a (即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c 1、c 2、c 3、c 4对应的a 值分别为3、43、35、110，故选A.规律方法 函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的底数变化对图象位置的影响．观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图象向右越靠近x 轴，0＜a ＜1时a越小，图象向右越靠近x 轴．(2)左右比较：比较图象与y ＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 跟踪演练2 (1)函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)(2)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0＜a ＜b ＜1B ．0＜b ＜a ＜1C ．a ＞b ＞1D ．b ＞a ＞1 答案 (1)D (2)B解析 (1)令x ＋2＝1，即x ＝－1， 得y ＝log a 1＋1＝1，故函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点(－1,1)．(2)作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0＜b ＜a ＜1. 要点三 对数函数的定义域例3 (1)函数f (x )＝11－x ＋lg(1＋x )的定义域是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝121log (21)x +，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ≠0，解得x ＞－1且x ≠1.(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0，2x ＋1≠1，解得x ＞－12且x ≠0.规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式． 跟踪演练3 (1)函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．[0,1] (2)函数y ＝lgx ＋1x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞) 答案 (1)B (2)C解析 (1)因为y ＝x ln(1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x ＞0，解得0≤x ＜1.(2)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，解得x ＞－1且x ≠1，故函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)，故选C. 要点四 反函数例4 求下列函数的反函数：(1)y ＝2x －5；(2)y ＝x1－x ；(3)y ＝1＋e 2x . 解 (1)从x ＝2y －5中解得y ＝x ＋52，即为所求；(2)从x ＝y 1－y 中解得y ＝xx ＋1，即为所求；(3)从x ＝1＋e 2y 移项得x －1＝e 2y .两端取自然对数得到ln(x －1)＝y2，解得y ＝2ln(x －1)，即为所求．规律方法 要找寻函数y ＝f (x )的反函数，可以先把x 和y 换位，写成x ＝f (y )，再把y 解出来，表示成y ＝g (x )的形式．如果这种形式是唯一确定的，就得到了f (x )的反函数g (x )．既然y ＝g (x )是从x ＝f (y )解出来的，必有f (g (x ))＝x ，这个等式也可以作为反函数的定义． 跟踪演练4 y ＝ln x 的反函数是________． 答案 y ＝e x解析 由y ＝ln x ，得x ＝e y ，所以反函数为y ＝e x.1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x 答案 D解析 选项A 、B 、C 中的函数都不具有“y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)”的形式，只有D 选项符合． 2．函数f (x )＝11－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A ．(－13，＋∞) B．(－∞，－13)C ．(－13，13)D ．(－13，1)答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，可得－13＜x ＜1.3．函数y ＝a x与y ＝－log a x (a ＞0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析 函数y ＝－log a x 恒过定点(1,0)，排除B 项； 当a ＞1时，y ＝a x是增函数，y ＝－log a x 是减函数，排除C 项，当0＜a ＜1时，y ＝a x是减函数，y ＝－log a x 是增函数，排除D 项，A 项正确．4．若a ＞0且a ≠1，则函数y ＝log a (x －1)＋1的图象恒过定点________． 答案 (2,1)解析 函数图象过定点，则与a 无关， 故log a (x －1)＝0，所以x －1＝1，x ＝2，y ＝1， 所以y ＝log a (x －1)＋1过定点(2,1)． 5．函数y ＝lg x 的反函数是________． 答案 y ＝10x解析 由反函数的定义知x ＝10y，故反函数为y ＝10x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.一、基础达标1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则a 的值可以是( )A ．0.5B ．2C ．eD ．π 答案 A解析 ∵函数y ＝log a x 的图象单调递减，∴0＜a ＜1，只有选项A 符合题意． 2．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4] D ．[1,4) 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，解得1＜x ≤4.3．在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象之间的关系是( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B解析 ∵y ＝13log x ＝－log 3x ，∴函数y ＝log 3x 与y ＝13log x 的图象关于x 轴对称．4．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b 答案 D解析 y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log b x ，y ＝log c x 的图象在(0，＋∞)上都是下降的，因此b ，c ∈(0,1)，又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b .5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x， x ≤0，log 2x ，x ＞0，那么f (f (18))的值为( )A ．27 B.127C ．－27 D ．－127答案 B解析 f (18)＝log 218＝log 22－3＝－3，f (f (18))＝f (－3)＝3－3＝127.6．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. 答案 －32解析 设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)， 则－3＝log a 8，∴a ＝12.∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.7．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3； (2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．解 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，x －3≠0，解之得x ＞2且x ≠3.∴函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x ＞0，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解之得－1＜x ＜0或0＜x ＜4. ∴函数定义域为(－1,0)∪(0,4)． 二、能力提升8．设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，且g (a )＝14，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12答案 B解析 ∵函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝2x，即g (x )＝2x. 又∵g (a )＝14，∴2a＝14，∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g (x )＝a x＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f (x )＝log a (x ＋b )的图象可知，函数f (x )＝log a (x ＋b )在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0＜a ＜1且0＜b ＜1.所以g (x )＝a x＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.由g (x )的值域为(b ，＋∞)．所以g (x )＝a x＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C. 10．若log 2a 1＋a21＋a<0，则a 的取值X 围是____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析 当2a >1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a <1.∵1＋a >0，∴1＋a 2<1＋a ， ∴a 2－a <0，∴0<a <1，∴12<a <1.当0<2a <1时，∵log 2a 1＋a21＋a <0＝log 2a 1，∴1＋a 21＋a >1.∵1＋a >0，∴1＋a 2>1＋a ， ∴a 2－a >0，∴a <0或a >1，此时不合题意．综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 11．已知f (x )＝log 3x . (1)作出这个函数的图象；(2)若f (a )＜f (2)，利用图象求a 的取值X 围． 解 (1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：函数f (x )为单调增函数，当0＜a ＜2时，恒有f (a )＜f (2)．∴所求a 的取值X 围为(0,2)． 三、探究与创新12．求y ＝(log 12x )2－12log 12x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．解 因为2≤x ≤4，所以log 122≥log 12x ≥log 124，即－1≥log 12x ≥－2.设t ＝log 12x ，则－2≤t ≤－1，所以y ＝t 2－12t ＋5，其图象的对称轴为直线t ＝14，所以当t ＝－2时，y max ＝10；当t ＝－1时，y min ＝132.13．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的word 11 / 11 表达式，并画出大致图象．解 ∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，－lg 1－x ，x ＜0，∴f (x )的大致图象如图所示：。
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性 课件(38张)
;
3.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
(+)
第3节
函数的奇偶性与周期性
[课程标准要求]
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,判断应用函数的周期性.
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果
∀x∈D,都有-x∈D,且 f(-x)=f(x) ,则称
关于 y轴 对称
任意的x∈R恒成立,所以(-x)3 (a·2-x-2x)=x3(a·2x-2-x)对任意的x∈R恒成
立,所以x3(a-1)(2x+2-x)=0对任意的x∈R恒成立,所以a=1.
答案:1
2.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+a,则a=
当x<0时,f(x)=
.
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,
设函数y=f(x),x∈R,a>0.
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a.
(3)若 f(x+a)=
()
(4)若 f(x+a)=-
,则函数的一个周期为 2a.
()
,则函数的一个周期为 2a.
3.对称性的四个常用结论
以 f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),所以函数 f(x)是以 2
为周期的周期函数,f()=f(-2)=f(-)=.
高中数学 第二章基本初等函数(Ⅰ)对数函数及其性质 第1课时对数函数的图象及其性质课件新人教版必修(1)
归纳升华 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合， 求 与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概 念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于 0；若自变 量在底数上，应保证底数大于 0 且不等于 1.
[变式训练] 求下列函数的定义域： 1 (1)f(x)＝ ； 1－log4（x－1） (2)f(x)＝ log0.6x－1. x－1>0， 解： (1)由 得 x∈(1， 5)∪(5， ＋∞)． log4（x－1）≠1， 1 所以函数 f(x)＝ 的定义域为 1－log4（x－1）
2．对数函数的图象与性质
定义 底数 图象 定义域 值域 (0，＋∞) R y＝logax(a>0，且 a≠1) a>1 0<a<1
单调性 性 质 函数
增函数
减函数
共点性 图象过定点(1，0)，即 loga1＝0 x∈(0，1)时， x∈(0，1)时， y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
值特征 x∈(1， ＋∞)时，x∈(1， ＋∞)时， y∈(0，＋∞).
(2)y＝f(x)的图象与 y＝f(－x)的图象关于 y 轴对称，y ＝f(x)的图象与 y＝－f(x)的图象关于 x 轴对称．
[ 变式训练 ] ( )
函数 f(x) ＝ ln(x2 ＋ 1) 的图象大致是
解析：因为 f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)， 排除选项 C，又 f(0)＝0，排除选项 B、D，所以选项 A 正确． 答案：A
1 的取值范围是0，2.
1 答案：0，2
类型 1 求对数类函数的定义域(自主研析) [典例 1] 求下列函数的定义域： (1)y＝log5(3x＋2)； (2)y＝log(1－x)6； (3)y＝ log0.5（3－4x）.
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题． 判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
高中数学人教B版必修一课件2.2二次函数应用-不等式
{x|x≠} b 2a
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}
Φ
△<0 y
x O 没有实根
R Φ
解一元二次 化为ax2+bx+c>0(或<0),(a>0) 不等式
ax2+bx+c>0 不是
是
(a>0)的过程:
△<0
不是
是
x1=x2
解为两根 之外（或之间）
解为x≠x1(或Ф ) 解为R(或Ф )
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2二次函数性质与应用(2)
---不等式问题
一元二次不等式的定义：
我们把只含有一个未知数，并且未知数 的最高次数为2次的不等式称为一元二 次不等式。
其一般形式为：ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0
解：A∩B=A， 则A B
而A:若a≥1则1≤x≤a1≤a≤3 若a＜1则a≤x≤1那么 ∴a取值范围是1≤a≤3
A B
练习：已知A {x || x 1 | 2},
B {x | x2 4ax 3a2 0, a 0},
A B , 求a的取值范围
二.一元二次不等式应用
解:
依题意,得- b 5 1, 1
a - 1 ,b a4 .
a
5 1.
5
5
不等式x2 bx a 0为5x2 4x 1 0,
即(5x 1)(x 1) 0,
所求不等式的解集为{x | 1 x 1}. 5
2018版高中数学第二章函数2.2.3待定系数法课件新人教B版
跟踪训练2 求下列二次函数的解析式. (1)已知y＝f(x)是二次函数，且图象过点(－2,20)，(1,2)，(3,0)；
解 设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a2－2b＋c＝20， ∴a＋b＋c＝2，
9a＋3b＋c＝0，
a＝1， 解之得b＝－5，
c＝6，
∴y＝x2－5x＋6.
12345
解析 答案
2.已知一个一次函数的图象过点(1,3)(3,4)，则这个函数的解析式为
A.y＝12x－25
√B.y＝21x＋52
C.y＝－12x＋52
D.y＝－21x－52
解析 设 y＝kx＋b，则k3＋k＋b＝b＝3，4，
∴ k＝12， b＝52，
∴y＝12x＋52.
③知两根可设为y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的两个实根，即抛物线与x轴两交点的横坐标.
题型探究
类型一 待定系数法求解析式
命题角度1 待定系数法求一次函数解析式 例1 已知f(x)是一次函数，且有2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，求这 个函数的解析式. 解 设所求的一次函数是f(x)＝kx＋b(k≠0)，其中k，b待定. 根据已知条件，得方程组22b2－k＋－bk－＋3bk＝＋1b，＝5， 即kk－＋bb＝＝51，，
12345
解析 答案
5.如图是二次函数y＝f(x)的图象，若x∈[－2,1]，则 函数f(x)的值域为__[_0_,4_]_.
解析 依题意设函数f(x)＝a(x＋3)(x－1)， 又函数f(x)的图象过点(0,3)，代入得a＝－1， ∴f(x)＝－x2－2x＋3.结合题中图形易知函数f(x)在[－2,1]上的最大值为 f(－1)＝4.又f(－2)＝3，f(1)＝0， ∴函数f(x)在[－2,1]上的最小值为0， ∴当x∈[－2,1]时，函数的值域为[0,4].
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2.3 函数的应用（Ⅰ） 自我小测 1．某种生物增长的数量y(个)与时间x(小时)的关系如下表： x 1 2 3 …
y 1 3 8 …
下面函数解析式中，能表达这种关系的是( ) A.y＝x2－1 B．y＝2x＋1 C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2 2．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N＋)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元，记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，
则y(万元)与x(件)的函数关系式为( )
A．y＝23210002016020xxxxx－＋－，，－，
B．y＝23210002016020xxxxxxxNN＋＋－＋－，，且，－，，且 C．y＝23302026020xxxx－，，， D．y＝23302026020xxxxxxNN＋＋－，，且，，，且 3．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会减少20个，为了获得最大的利润，其售价应定为( ) A.110元/个 B．105元/个 C．100元/个 D．95元/个 4．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率
100%
销售价进价
进价由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于( )
A.12 B．15 C．25 D．50 5．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y＝f(x)，另一种是平均价格曲线y＝g(x)，如，f(2)＝3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)＝3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y＝f(x)，虚线表示y＝g(x)，其中可能正确的是( ) 2
6．经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数．日销售量为f(t)＝2t＋100，价格为g(t)＝t＋4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数解析式为S(t)＝__________. 7．某游乐场每天的盈利额y(单位：元)与售出的门票数x(单位：张)之间的函数关系如图所示，试分析图象，要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，那么每天至少应售出__________张门票．
8．在某种金属材料的耐高温实验中，温度y随时间t的变化情况如图所示，给出下面四种说法：
①前5分钟温度增加的速度越来越快； ②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后的温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变． 其中正确的说法是__________．(只填序号) 9．某校校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全3
票一张，则其余学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠．”若全票价为240元． (1)设学生数为x人，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙与学生数x之间的解析式； (2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ (3)就学生人数讨论哪家旅行社更优惠？ 10．一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度为3.5 m，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高1.8 m，在这次投篮中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 11．我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时． (1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x)． (2)选择哪家比较合算？为什么？ 12．某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看作一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系(图象如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b(k≠0)的表达式； 4
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为s元． ①求s关于x的函数表达式； ②求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价． 5 参考答案 1. 答案：D 2. 答案：B 3. 解析：设每个商品涨价x元，利润为y元， 则销售量为(400－20x)个， 根据题意，有y＝(10＋x)(400－20x) ＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500. 所以当x＝5时，y取得最大值，且为4 500， 即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4 500元． 答案：D 4. 解析：设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：
100%,10018%10100%,18%100axrxaxrx
解这个方程组，消去a，x，可得r＝15. 答案：B 5. 解析：根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确． 答案：C 6. 解析：日销售额＝日销售量×价格， 故S＝f(t)×g(t)＝(2t＋100)×(t＋4) ＝2t2＋108t＋400，t∈N. 答案：2t2＋108t＋400，t∈N 7. 解析：由图知，盈利额每天要超过1 000元时，x∈(200,300]这一区间，设y＝kx
＋b(k≠0)，将(200,500)，(300,2 000)代入得152 500kb＝，＝－，即y＝15x－2 500.
由15x－2 500＞1 000，得x＞7003，故至少要售出234张门票，才能使游乐场每天的盈利额超过1 000元． 答案：234 8. 解析：前5分钟温度增加的速度应越来越慢，因为此段内曲线越来越“缓”，故②正确；5分钟后，对应曲线是水平的，说明温度不变了，故④正确． 6
答案：②④ 9. 解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N＋)， y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N＋)．
(2)由120x＋240＝144x＋144，解得x＝4，即当学生数为4时，两家旅行社的收费一样． (3)当x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＞4时，甲旅行社更优惠． 10. 分析：解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口． 解：(1)由于抛物线的顶点坐标是(0,3.5)，故可设其解析式为y＝ax2＋3.5. 又由于抛物线过点(1.5,3.05)， 所以a·1.52＋3.5＝3.05，解得a＝－0.2. 故抛物线的解析式为y＝－0.2x2＋3.5. (2)当x＝－2.5时，y＝2.25. 故球出手时，他跳离地面的高度是2.25－1.8－0.25＝0.20(m)． 11. 解：(1)由题意可知，f(x)＝5x,15≤x≤40；
g(x)＝901530902(30)3040xxx，，＋－，，
即g(x)＝9015302303040.xxx，，＋， (2)①当15≤x≤30时， 令g(x)＝f(x)，即90＝5x，得x＝18， 因此15≤x＜18时，f(x)＜g(x)； 当x＝18时，f(x)＝g(x)； 当18＜x≤30时，f(x)＞g(x)． ②当30＜x≤40时，令f(x)＝g(x)， 即5x＝2x＋30，得x＝10，不合题意，舍去； 令f(x)＜g(x)，即5x＜2x＋30，得x＜10，不合题意，舍去； 令f(x)＞g(x)，即5x＞2x＋30，得x＞10， 所以当30＜x≤40时，f(x)＞g(x)． 综上，当开展活动时间不少于15小时，少于18小时时，选甲家合算； 当开展活动时间为18小时时，选两家均一样； 当开展活动时间多于18小时，不超过40小时时，选乙家合算． 12. 解：(1)由题图，可知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(600,400)，(700,300)，将其代入y＝kx＋b，
得400600300700kbkb＝＋，＝＋，解得11 000kb＝－，＝， 7
所以y＝－x＋1 000(500≤x≤800)． (2)①由(1)，知s＝xy－500y＝(－x＋1 000)(x－500)＝－x2＋1 500x－500 000(500≤x≤800)． ②由①可知，s＝－(x－750)2＋62 500，此函数图象开口向下，对称轴为x＝750. 所以当x＝750时，smax＝62 500. 即该公司可获得的最大毛利润为62 500元，此时相应的销售单价为750元/件．