第2章线性规划的对偶理论

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第2章对偶问题

第2章对偶问题判断下列说法是否正确：对偶问题的对偶问题一定是原问题；根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y >0，说明在最优生产计划中的i 种资源已完全耗尽；已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝0，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；若某种资源的影子价格等于k ，在其它条件不变的情况下，当改种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；在线性规划问题的最优解中，如某一变量j x 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数j c 或在各约束中的相应系数ij a ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其它列数字的变化。

简答题、试述对偶单纯形法的优点及其应用上的局限性。

、试述对偶单纯形法的步骤。

、试解释对偶解的经济含义和影子价格在市场决策中的作用。

、什么是资源的影子价格？同相应的市场价格之间有何区别？以及研究影子价格的意义是什么？:判断下列说法是否正确，为什么？（a ）如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；（b ）如果线性规划的对偶问题存在可行解，则其原问题也一定无可行解；（c ）在互为对偶的一对原问题和对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数都一定不超过其对偶问题可行解的目标函数。

若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数最大值将增加5k 吗？已知*i y 为某线性规划问题的对偶问题最优解中的第i 分量，若*i y ＝0，能否肯定在最优生产计划种第i 种资源一定有剩余？写出对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题123max 102Z x x x =++123123123420,,0x x x x x x ++≤≥写出下列线性规划问题的对偶问题1234max 23Z x x x x =+++12341231341324252341,0,,x x x x x x x x x x x x x x +++≤-+=--+≥≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题1234min 3234Z x x x x =+-+1234234123414232343345237420,0,,x x x x x x x x x x x x x x x -++≤++≥----=≥≤无约束写出下列线性规划问题的对偶问题123min 567Z x x x =---123123123123531556102050,0,x x x x x x x x x x x x -+-≥--+≤--=-≤≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题123max 25Z x x x =++12312313123235237365,,0x x x x x x x x x x x ++≤++≤+≤≥写出下列线性规划问题的对偶问题123max Z x x x =++1231312327664,,0x x x x x x x x ++=+≥≥写出下列线性规划问题的对偶问题123min 423Z x x x =++123123131232562742,0,0x x x x x x x x x x x ++≤++=+≥≤≥无约束写出下列线性规划问题的对偶问题：1231231231231232242352373..465,,0MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =++++≥⎧⎪++≤⎪⎨++≤⎪⎪≥⎩写出下列线性规划问题的对偶问题：12312312312312323231325..34,,0,MinZ x x x x x x x x x s t x x x x x x =--+-=⎧⎪-+≥-⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩无限制写出下列线性规划问题的对偶问题：123123123131232423134..40,0,MaxZ x x x x x x x x x s t x x x x x =++++≥⎧⎪-+≤⎪⎨+=⎪⎪≥≤⎩无限制写出下列线性规划问题的对偶问题：1234512345123451~45275354625..232690,MaxZ x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++++=⎧⎪++++=⎨⎪≥⎩无限制写出下面线性规划问题的对偶问题12max 52z x x =-+1212123235,0x x x x x x -+≤-+≤≥写出下面线性规划问题的对偶问题12max 56z x x =+12122553x x x x +=-+≥1x 无限制2,0x ≥设有原始问题123max 325z x x x =++约束条件：12313121232560324204400,,0x x x x x x x x x x ++≤+≤+≤≥写出以上原始问题的对偶问题。

运筹学基础-对偶线性规划(2)

用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
原问题是：
maxZ=2x1 +x2 5x2 ≤15 6x1 + 2x2 ≤ 24 x1 + x2 ≤ 5 x1 , x2 ≥0
5x2 +x3 =15 6x1 + 2x2 +x4 = 24 x1 + x2 +x5 = 5 xi ≥0
原问题的标准型是：maxZ=2x1 +x2+0x3+0x4 +0x5
b
15 24 5 0
x1 0 6 1 2
比值
-
24/6=4
5/1=5
检验数j
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
检验数行的－ (cj-zj)值是其对偶问题的一个基本解yi ；
原问题变量
0 2
原问题松驰变量
1 0 0 0 0 1/6 -1/6 -1/3 0 0 1 0
3
x3 x1
x2 1 检验数j= cj-zj
-1/4 -1/2
对偶问题剩余变量 y4、y5
对偶问题变量 y1、y2 、y3
此时得原问题最优解:X*=(7/2,3/2,15/2,0,0)T，Z*=17/2 则对偶问题最优解:Y*=(0,1/4,1/2,0,0)T，S*=17/2
又例：用单纯形法同时求解原问题和对偶问题
定理6（互补松弛定理）
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。
注：证明过程参见教材59页性质5证明
讨论:
互补松弛定理也称松紧定理，它描述了线性规划达到最

运筹学第2章

China University of Mining and Technology
-43-
运筹学
线性规划的对偶理论
性质3 最优性定理：如果 X 0 是原问题的可行解， 0 是其对偶 Y 问题的可行解，并且:
CX 0 BY 0
即: z w
则 X 0是原问题的最优解，Y 0是其对偶问题的最优解。
T
分别是原问题和对偶问题的可行解。且原问题的目标函数值为
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
Z CX 10
min W 20 y1 20 y2 s.t. y1 2 y2 1 2 y1 y2 2 2y1 3 y2 3 3 y1 2 y2 4 y1 , y2 0
(DP)
-41China University of Mining and Technology
-44China University of Mining and Technology
运筹学
线性规划的对偶理论
性质4 强(主)对偶性：若原问题及其对偶问题均具有可行解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
还可推出另一结论：若一对对偶问题中的任意一个有最优解，则另一个也有最优解，且目标函数最优值相等；若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。一对对偶问题的关系，有且仅有下列三种： 1. 都有最优解，且目标函数最优值相等； 2. 两个都无可行解； 3. 一个问题无界，则另一问题无可行解。
-1-
运筹学
学习要点： 1. 理解对偶理论，掌握描述一个线性规划问题的对偶问题。 2. 能够运用对偶单纯形法来求解线性规划问题。 3. 会用互补松弛条件来考虑一对对偶问题的界。

运筹学习题集(第二章)

判断题判断正误，如果错误请更正第二章线形规划的对偶理论1.原问题第i个约束是<=约束,则对偶变量yi>=0.2.互为对偶问题,或则同时都有最优解,或则同时都无最优解.3.原问题有多重解,对偶问题也有多重解.4.对偶问题有可行解,原问题无可行解,则对偶问题具有无界解.5.原问题无最优解,则对偶问题无可行解.6.设X,Y分别为｛minZ=CX｜AX>=b,X>=0｝和｛maxw=Yb｜YA<=C,Y>=0｝的可行解,则有(1)CX<=Yb;(2)CX是w的上界;(3)当X,Y为最优解,CX=Yb;(4)当CX=Yb 时,有YXs+YsX=0;(5)X为最优解且B是最优基时,则Y=CB-1是最优解;(6)松弛变量Ys的检验数是λs,则X=-λs是基本解,若Ys是最优解, 则X=-λs是最优解.7.原问题与对偶问题都可行,则都有最优解.8.原问题具有无界解,则对偶问题可行.9.若X,Y是原问题与对偶问题的最优解.则X=Y.10.若某种资源影子价格为0,则该资源一定有剩余.11影子价格就是资源的价格.12.原问题可行对偶问题不可行,可用对偶单纯形法计算.13.对偶单纯形法比值失效说明原问题具有无界解.14.对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种解法.15.减少一个约束,目标值不会比原来变差.16.增加一个约束,目标值不会比原来变好.17增加一个变量, 目标值不会比原来变差.18.减少一个非基变量, 目标值不变.19.当Cj(j=1,2,3,……，n)在允许的最大范围内同时变化时，最优解不变。

选择题在下列各题中，从4个备选答案中选出一个或从5个备选答案中选出2~5个正确答案。

第二章线性规划的对偶理论1.如果决策变量数列相等的两个线规划的最优解相同，则两个线性规划 A约束条件相同B目标函数相同 C最优目标函数值相同 D以上结论都不对2.对偶单纯形法的最小比值规则是为了保证 A使原问题保持可行 B使对偶问题保持可行C逐步消除原问题不可行性 D逐步消除对偶问题不可行性3.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A若最优解存在，则最优解相同 B原问题无可行解，则对偶问题也无可行解 C对偶问题无可行解，原问题可能无可行解 D一个问题无界，则另一个问题无可行解 E一个问题无可行解，则另一个问题具有无界解4.已知规范形式原问题（max）的最优表中的检验数为（λ1，λ2，……λn），松弛变量的检验数为（λn+1,λn+2,……λn+m）,则对偶问题的最优解为 A—（λ1，λ2，……λn） B （λ1，λ2，……λn） C —（λn+1,λn+2,……λn+m）D（λn+1,λn+2,……λn+m）5.原问题与对偶问题都有可行解，则 A原问题有最优解，对偶问题可能没有最优解B原问题与对偶问题可能都没有最优解 C可能一个问题有最优解，另一个问题具有无界解D 原问题与对偶问题都有最优解计算题线性规划问题和对偶问题对于如下的线性规划问题min z = 3x1 + 2x2+x3. x1 + x2+ x3 ≤ 15 (1)2x1 - x2+ x3≥ 9 (2)-x1 + 2x2+2x3≤ 8 (3)x1 x2x3 ≥ 01、写出题目中线性规划问题的对偶问题；2、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解答：1、写出题目中线性规划问题的对偶问题；解：max w = 15y1 + 9y2 + 8y3. y1 + 2y2- y3 ≤ 3 (1)y1 - y2+ 2y3≤ 2 (2)y1 + y2+ 2y3≤ 1 (3)y1≤0、 y2 ≥0、y3 ≤02、分别求出原始问题和对偶问题的最优解（求解的次序和方法不限）；解：先将原问题化成以下形式，则有mi n z = 3x1 + 2x2 + x3. x1 + x2+ x3+ x4= 15 (1)-2x1 + x2- x3+ x5= -9 (2)-x1 + 2x2+2x3+x6= 8 (3)x1 x2x3x4x5x6 ≥ 0原始问题的最优解为（X1 X2 X3 X4 X5 X6）=（2，0，5，8，0，0），minz=11对偶问题的最优解为（y1 y2 y3 y4 y5 y6）=（0，7/5，-1/5，0，19/5，0），maxw=11对于以下线性规划问题max z = -x1 - 2x2. -2x1 + 3x2≤ 12 (1)-3x1 + x2≤ 6 (2)x1 + 3x2≥ 3 (3)x1≤ 0， x2≥ 01、写出标准化的线性规划问题；2、用单纯形表求出这个线性规划问题的最优解和最优的目标函数值；3、写出这个（极大化）线性规划问题的对偶问题；4、求出对偶问题的最优解和最优解的目标函数值；5、第（2）个约束右端常数b2=6在什么范围内变化，最优解保持不变。

运筹学胡运权第五版课件-第二章

min Z 3 x1 2 x2 3 x3 4 x4 x1 2 x2 3 x3 4 x4 3 x2 3x3 4 x4 5 s.t. 2 x1 3 x2 7 x3 4 x4 2 x1 0，x2 0, x3、x4无约束解：对偶问题为： max W 3 y1 5 y2 2 y3
3、矩阵形式： P max z CX AX b s.t. X 0
其中
D min w bT Y AT Y C T s.t. Y 0
a1n a2 n amn
C (c1 , c2 , , cn )
b1 b2 b bm
T T
A Y C C Y A
T T T
CX Y AX Y b b Y
T T T
2、最优性：若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = bT Y* ，则X*，Y*分别是问题 P和D 的最优解。
对偶问题（D）：
max z 2 x1 3 x2 2 x1 2 x2 12 4 x 16 1 s.t. 5 x2 15 x1 , x2 0
min w 12 y1 16 y2 15 y3 2 2 y1 4 y2 s.t. 2 y1 5 y3 3 y , y , y 0 1 2 3
解：第一步改写为 min 的基本形式
令x1 x1，x2 x2 x2 min z 7 x1 （ 4 x2 x2） 3x3 4 x （ 2 x2 x2） 6 x3 24 1 3x1 （ 6 x2 x2） 4 x3 15 s.t. （ 5 x2 x2） 3x3 30 （ 5 x2 x2） 3x3 30 x1 ，x2，x2，x3 0

运筹学--第二章线性规划的对偶问题

习题二2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题(1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤54x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1x1，x3≥0，x2，x4无约束(3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤202x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。

分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化：（1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）；（2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）；'x代换。

（4）模型中全部x1用312.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4st. x1＋2x2＋x4≥33x1＋x2＋x3＋x4≥6x3 ＋x4＝2x1 ＋x3 ≥2x j≥0（j＝1,2,3,4）(1) 写出其对偶问题；(2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。

2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y12x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2x j≥0（j＝1,2,3,4）对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试对偶问题的性质，求出原问题的最优解。

2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3st. 3x1＋4 x2＋2x3≤602x1＋x2＋2x3≤40x1＋3x2＋2x3≤80x j≥0 （j＝1,2,3）４７４８（1）写出其对偶问题（2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解；（3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解；（4）比较（2）和（3）计算结果。

线性规划对偶理论(含影子价格)_21136

对偶
a11 a12
s.t.
a21
a22
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
对称
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
x2 0,
x2
2
0
无界
关于无界性有如下结论： minW 4 y1 2 y2
原问题
问题无界
无可行解
对偶问题无可行解无可行解
问题无界
y1 y2 2
（对）
y1
y1
y2 0, y2
1 0
无可行解
原 : max Z x1 2x2
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 1
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
〔1〕目标函数在一个问题中是求最大值在另一问题中则为求最小值
〔2〕一个问题中目标函数的系数是另一个问题中约束条件的右端项
〔3〕一个问题中的约束条件个数等于另一个问题中的变量数
〔4〕原问题的约束系数矩阵与对偶问题的约束系数矩阵互为转置矩阵
一般
线性规划问题的对偶问题
〔4〕强对偶性〔最优解的目标函数之间的关系〕如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，

对偶单纯形法+灵敏度分析讲解

答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可行。为了保证初始解可行
北京联合大学耿钰
第四节对偶单纯形法
例用对偶单纯形法求解
maxZ x1 4x2 3x4
x1 2x2 x3 x4 3
x
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4

2
能否用对偶单纯形法呢？
原问题表中的检验数满足最优性条件
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0
CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
-1 x1 7 0 x3 4
7
1 7/2 0 5/2 -2 -1/2 0 3/2 1 3/2 -1 -1/2 0 -1/2 0 -1/2 -2 -1/2
最优解 X*=（7，0，4， 0）T
Z*=-7
北京联合大学耿钰
例6 用对偶单纯形法求解
min w 2x1 3x2 4x3
（P）
x1 2x2 x3 3 2x1 x2 3x3 4
原问题不可行，应该换基迭代。但按对偶单纯形法的思想，每次均应保证检验数均非正
cj
CB XB b -1 x1 3 0 x6 -8
3
-1 -4 0 -3 0 0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 1 2 - 1 1 -1 0 0 -3 -2 -3 2 1 0 -2 -1 -2 -1 0

第二章对偶理论参数线性规划运筹学基础及其应用胡运权第五版

2+2 λ 3+ λ cB XB b X1 x2 0 x3 6 2 0 0 x4 16 4 0 3+ λ x2 3 0 1 cj-zj 2+ 2λ 0
0 x3 1 0 0 0
0 0 x4 x5 0 - 2/5 1 0 0 1/5 0 -3/5-1/5 λ
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
将其直接反映到最终单纯形表中得：
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
cB 2 0 3
XB b x1 3-1/5λ x4 4+4/5λ x2 3+1/5λ cj-zj
2 X1 1 0 0 0
3 x2 0 0 1 0
0 0 x3 x4 1/2 0 -2 1 0 0 -1 0
0 x5 -1/5 4/5 1/5 -1/5
- 15 -5 - 5 15
15
-3
-1
1
2
λ
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
例2：求解下述参数线性规划问题：
max z 2 x1 3x 2 2 x1 2 x 2 12 4x 16 1 s.t. 5 x 2 15 x1 , x 2 0
§2.5参数线性规划
0 0 0 x3 x4 x5 1/2 0 - 1/5 -2 1 4/5 0 0 1/5 -1- λ 0 -1/5+1/5 λ
§2.5参数线性规划
Ch2 Dual Problem
上表中最优基不变的条件是-1≤λ≤1，此时目标函数值为 Z=15+9 λ.当λ＜-1时，x3列的检验数-1- λ＞0.将x3作为进基变量进行单纯形迭代得下表表2

第四讲线性规划的对偶理论(Max型)

析：将问题转换成对称形式，再由定理1写出其对偶问题（1）将约束（2）转换成：
a21x1 a22 x2 a23 x3 b2 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
线性规划的对偶问题的基本定理（3）
（2）将约束（3）转换成：
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
线性规划的对偶问题的基本定理（4）令各约束对应的对偶变量为 y1,y2,y2,y3 ，再由定理 1 得其对偶问题为：
b2 y2 b3 y3 minw b1 y1 b2 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a11 y1 a21 y2 a y a y a y a y c 12 1 22 2 22 2 32 3 2 a23 y2 a33 y3 c3 s.t. a13 y1 a23 y2 a y a y a y a y c 3 13 1 23 2 23 2 33 3 0, y2 0, y3 0 y1 0, y2
min bT Y T T T T ( LP) A Y C s.t. T Y 0
线性规划的对偶问题的基本定理（2）
原问题
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3 （） 1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 =b2 2 s.t. a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 3 x 0, x 0, x 自由 2 3 1
1 2
对生产一件产品P2的资源出售的收入应不低于生产一件产品P2的因此 2 y 4 y 3
1 3

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（3）（LP）问题目标函数的价值系数C，在（ LD ）问题中为约束条件右端函数。
（4）（LP）问题约束条件右端常数，在（ LD ）问题中为目标函数价值系数。
（5）（LP）问题约束条件系数矩阵转置，在（ LD ）问题中为约束条件系数矩阵。
（6）（LP）问题决策变量为大于等于0，在（ LD ）问题中约束条件符号为“≤”，且变量个数恰好为（ LD ）约束条件个数。

管理运筹学
12
用矩阵可表示为
min Z cx
maxW wb
s.t.xAx 0 b
wA c s.t.w 0
• 其中
C (c1, c2 , , cn ), X (x1, x2 , , xn )T A (aij )mxn,b (b1,b2 , ,bm )T ,
束
≤
条
≥
件
=
≥0
量
≤0
无符号限制
变 n个变量
量
≥0
≤0
无符号限制
n个约束条件
约
≥
束
≤
条
=
件
目标函数价值系数
约束条件右端常数
约束条件右端常数
目标函数价值系数
系数矩阵 A
系数矩阵转置AT
例2.3写出下列线性规划的对偶规划
• minz=2x1-x2+x3-3x4
• s.t.x1+2x2
+4x4=1
•
2x2-3x3 -4x4≤2
minG=24w1+26w2 2w1+3w2≤4 3w1+2w2≥3 w1,w2 ≥0
例2.2 假如某种作物，全部生产过程至少需氮肥32公斤，磷肥24公斤，钾肥42公斤已知甲乙丙丁四种复合肥料每公斤的价格以及氮磷钾的含量如表？
甲乙丙丁需要量
氮 0.03 0.3 0 0.15 32
磷 0.05 0 0.2 0.1 24
思考题：最大化目标函数值不大于最小化目标函数值？
推论2.1若x* 、w*分别是P 和D的可行解，且 cx*=w*b.则x* 、w* 分别是P 和D的最优解。
推论2.2 若P和D中一个目标函数值无界，则另一个可行域为空。
思考题：其逆是否成立呢？当一个问题无可行解时，另一个问题可能具有无界解或无可行解。
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• 我们称后一个线性规划为前一个线性规划的对偶规划，分别用LP和LD来简记这两个线
性规划。
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二、对偶规划构造的准则
• 1.对称形式下对偶规划
定义2.1 满足下列条件的线性规划问题称为具有对称形式：其变量均具有非负约束，其约束条件当目标函数求极小时，均取 “≥”号；当目标函数求极大时，均取
一、对偶问题的实际背景
例2.1 某工厂生产甲，乙两种产品，每件产品的利润所消耗的材料，工时及每天的限额如表2.1所示，试问如何安排生产使每天所得利润最大？
甲乙限额
材料 2
3 24
工时 3
2 26
利润 4
3
设每天是生产甲乙两种产品的数
量为x1件和x2件，有
max Z 4x1 3x2
3w1+2w2≥3
定价满足非负性条件w1,w2 ≥0
其总收入 G=24w1+26w2
• 从工厂的决策者来看，G越大约好，但为了使对方容易接受应使总收入即对方的总支出尽可能少，才比较合理，因为只有这样，厂方不会吃亏，对方也容易接受。于是，这个问题的数学模型可归结为：求决策量w1,w2，使得
min c'x'
Ax b s.t.x 0
其中x´=(x,xs)T(xs为松弛变量，是m维列向量),c´=(c,0),0是 m维行向量， A´=(A,-I),I为m *m单位矩阵。
然后用单存形法求解，因为P有最优解，则一定有最 • 令优基可行解，设此时最优基为B*,则有
CB*(B*)-1A’ ≤C’，最优值为CB*(B*)-1b
第二章线性规划的对偶理论
• §2.1 对偶规划的构造 • §2.2 对偶定理 • §2.3灵敏度分析
• 线性规划问题具有对偶性，即任何一个极大值的线性规划问题都有一个求极小值线性规划问题与之对应，反之依然，如果把其中一个叫做原问题，则另一个叫做它的对偶问题，并称这互相联系的两个问题为一对对偶问题。研究对偶问题之间的联系及其解的性质，就构成了线性规划的对偶理论。自 1947年提出对偶理论以来，已经有了相当深入的研究。对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系，由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义，是经济学重要的概念与工具之一。它是线性规划理论的重要成果。
钾 0.14 0 0 0.07 42
价格 0.04 0.15 0.1 0.13
现有一肥料公司生产氮磷钾三种单成分的化肥，要为这三种化肥定价，既要获利最大，又要和生产甲乙丙丁四种复合肥料公司竞争？
问应如何选购这些肥料，能满足需要，以这些单成分化肥，组成四中复合肥料含
又是成本最低？
量的肥料时，价格不超过肥料公司的价格、
时所获得利润; • 第二，定价又不能太高，要使对方容易接受，
总之，定价要公平合理。
解：
设w1,w2分别表示这两种资源的收费单价，则用于生产甲、乙两种产品的材料和工时，用来出租，所获得利润不低于自己生产所获利润，即
出租2单位材料和3个工时所获利润不低于生产甲产品所获利润 2w1+3w2≥4
同理有
x j 0
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设w1,w2，w3分别表示氮磷钾三种肥料的价格
max g 32w1 24w2 43w3
0.03w1 0.05w2 0.14w3 0.04
s.t.0.3w10.2w2
0.15 0.13
wi 0,i 1,2,3
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• w*(Ax*-b)=0、 (c- w*A) x*=0
n
wi ( aij x j bi ) 0, i 1,2,..., m j 1

wi m
0
n
aij x j
j 1
bi ,i
1,2,...,m

i1
aij x j
bi

wi

0, i
1,2,...,m
2非对称形式下对偶规划的形式
• 例2.2 写出下列线性规划的对偶规划
min z x1 4x2 3x3 s.t.2x1 3x2 5x3 2
3x1 x2 6x3 1 x1 x2 x3 1 x1 0, x2 0, x3无约束
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对偶规划为
x j 0( j 1,2, , n)
• 用一般wi(形i=式1,2为,…,m)表示对偶规划的变量，其对偶规划的
min G b1w1 b2w2 bmwm
a11w1 a21w2 am1wm c1 a12w1 a22w2 am2wm c2 s.t. a1nw1 a2nw2 amnwm cn wi 0(i 1,2, , m)
W (w1, w2 , , wm )
• 定理2.1（对称性定理）对偶规划的对偶规划是原规划。
即LD是LP的对偶规划时， LP是 LD的对偶规划，因而这个关系是对称的
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一般规则
（1）（LP）问题求最小化；LD问题求最大化；
（2）（LP）问题约束条件，定义一个非负对偶变量，就是说（LP）问题约束条件个数恰好为其（LD）问题变量个数。
m
(c j aij wi )x j 0, j 1,2,..., n i 1

x j m

0
m i 1
aij wi

cj,
j
1,2,...,n

i1
aij wi

cj

xj

0,
j
1,2,...,n
互补松弛性定理应用
– （1）从已知的最优对偶解，求原问题最优解，反之亦然。
推论2.3 若P和D同时有最优解的充要条件是P和D都有可行解。
二、强对偶定理
定理2.4 一对对偶规划P和D中一个有最优解充要条件是另一个有最优解，且他们最优值相等。
证明：设X是原问题的最优解，对应的基矩阵（最优基）为B,引入松弛变量向量
X s (xn1, xn2 ,L , xnm )，T 将（LP）化为标准形式，
2x1 3x2 24 st 3x1 2x2 26
x1, x2 0
若该企业不安排生产，将所有资源出租出售，问如何定价这些资源，即可使其获利不低于安排生产时所获得的利润，又使资源出租具有竞争力？
分析
• 显然决策者要考虑两个因素： • 第一，每种资源所收回费用不低于自己生产
– （2）证明原问题可行解是否为最优解。 – （3）从不同假设来进行试算，从而研究原始、
对偶问题最优解的一般性质。 – （4）非线性的方面的应用。
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例2.4已知线性规划问题
min 2x1 3x2 5x3 2x4 3x5 s.t.x1 x2 2x3 x4 3x5 4 2x1 x2 3x3 x4 x5 3 x j 0, j 1,2,...,n
“≤”号
对称形式下线性规划的原问题的一般形式为
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.a21x1
a22 x2

a2n xn