2017-2018年福建省福州一中高二第二学期期末数学试卷(理科)〔精品解析版〕
福建省福州市教院二附中2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年福建省福州市教院二附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的序号填入答题卷上的相应空格内．）1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}2．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣14．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．ac（a﹣c）＜0 D．cb2＞ab25．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．236．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．如果实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．18．已知命题p：∀x∈R，sinx+cosx≠2，命题q：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则（）A．命题p∧（¬q）是真命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨q是假命题D．命题p∨（¬q）是假命题9．若x＞0，y＞0，且2x+y=2，则的最小值是（）A．2 B．C．D．10．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．32612．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．）13．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B的子集个数为．14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为．15．不等式＞1的解集是．16．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c 的解集为（m，m+8），则实数c的值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求a，b的值（2）解不等式ax2﹣（am+b）x+bm＜0．18．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．19．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：（1）sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°；（2）sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°；（3）sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°；（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°；（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．20．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）3关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．2017-2018学年福建省福州市教院二附中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的序号填入答题卷上的相应空格内．）1．已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}【考点】交集及其运算．【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，∴A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．2．设复数z满足z+i=3﹣i，则=（）A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．【解答】解：∵复数z满足z+i=3﹣i，∴z=3﹣2i，∴=3+2i，故选：C3．命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【考点】命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C4．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，下列选项中不一定成立的是（）A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．ac（a﹣c）＜0 D．cb2＞ab2【考点】不等式的基本性质．【分析】由条件c＜b＜a且ac＜0可知a＞0，c＜0，b任意，然后根据不等式的性质分别进行判断．【解答】解：∵c＜b＜a，且ac＜0，∴a＞0，c＜0，∴ab＞ac，故A一定成立，∴b﹣a＜0，∴c（b﹣a）＞0，故B一定成立，∵ac＜0，a﹣c＞0，∴ac（a﹣c）＜0，故C一定成立，对于D：当b=0时，不成立，故选：D．5．重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如，则这组数据的中位数是（）A．19 B．20 C．21.5 D．23【考点】茎叶图．【分析】根据中位数的定义进行求解即可．【解答】解：样本数据有12个，位于中间的两个数为20，20，则中位数为，故选：B6．设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．7．如果实数x，y满足条件，那么2x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y并化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，由几何意义可得．【解答】解：由题意作出其平面区域，令z=2x﹣y并化为y=2x﹣z，﹣z相当于直线y=2x﹣z的纵截距，故当x=0，y=﹣1时，有最大值，最大值为0+1=1；故选D．8．已知命题p：∀x∈R，sinx+cosx≠2，命题q：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则（）A．命题p∧（¬q）是真命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∨q是假命题D．命题p∨（¬q）是假命题【考点】复合命题的真假．【分析】判断命题p是真命题，命题q是一个假命题，得到判断复合命题的依据．【解答】解：命题p：∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≠2，命题p是真命题，∀x∈R，x2+x+1＞0，命题q是一个假命题，∴命题p∧（¬q）是真命题，故选：A．9．若x＞0，y＞0，且2x+y=2，则的最小值是（）A．2 B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据2x+y=2求得x+=1，进而可把求的最小值转化为求（x+）（）的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值．【解答】解：∵2x+y=2∴x+=1∴=（x+）（）=++≥+2=（当且仅当2x2=y2时，等号成立）故选D10．执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．11．给出以下数阵，按各数排列规律，则n的值为（）A．66 B．256 C．257 D．326【考点】归纳推理．【分析】由表中的数字关系可知，5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，得到n=16×16+1=257．【解答】解：因为5=2×2+1，16=3×5+1，65=4×16+1，所以n=16×16+1=257，故选：C．12．设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（）A．∀x∈R，f（x）≤f（x0）B．﹣x0是f（﹣x）的极小值点C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点【考点】函数在某点取得极值的条件；函数的图象与图象变化．【分析】A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，故不正确；B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点；C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点；D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点．【解答】解：对于A项，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，因此不能满足在整个定义域上值最大，故A错误；对于B项，f（﹣x）是把f（x）的图象关于y轴对称，因此，﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B错误；对于C项，﹣f（x）是把f（x）的图象关于x轴对称，因此，x0是﹣f（x）的极小值点，故C错误；对于D项，﹣f（﹣x）是把f（x）的图象分别关于x轴、y轴做对称，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．）13．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B的子集个数为32．【考点】并集及其运算．【分析】由集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，知集合A∪B={1，2，3，4，5}，由此能求出集合A∪B的子集个数．【解答】解：A∪B={1，2，3，4，5}，故子集个数为25=32，故答案为：32．14．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为25．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出应抽取的男生人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则应抽取的男生人数是500×=25人，故答案为：25．15．不等式＞1的解集是（﹣1，）．【考点】指、对数不等式的解法．【分析】不等式可化为2x2+x﹣1＜0，求出解集即可．【解答】解：∵不等式＞1，∴2x2+x﹣1＜0，即（2x﹣1）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜；所以原不等式的解集为（﹣1，）．故答案为：（﹣1，）．16．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c 的解集为（m，m+8），则实数c的值为16．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】根据二次函数的值域为[0，+∞），可得△=0，解之得b=a2．由此将关于x的不等式f（x）＜c化简得x2+ax+a2﹣c＜0，再由根与系数的关系解方程|x1﹣x2|=8，即可得到实数c=16．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴函数的最小值为0，可得△=a2﹣4b=0，即b=a2又∵关于x的不等式f（x）＜c可化成x2+ax+b﹣c＜0，即x2+ax+a2﹣c＜0，∴不等式f（x）＜c的解集为（m，m+8），也就是方程x2+ax+a2﹣c=0的两根分别为x1=m，x2=m+8，∴，可得|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=64，即（﹣a）2﹣4（a2﹣c）=64，解之即可得到c=16故答案为：16三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（1）求a，b的值（2）解不等式ax2﹣（am+b）x+bm＜0．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得1和b是相应方程的两个实数根，由根与系数的关系建立关于a、b的方程组，解之即可得到实数a、b的值．（2）由（1），得所求不等式即x2﹣（m+2）x+2m＜0，再讨论实数m与2的大小关系，即可得到不等式在各种情况下的解集，得到本题答案．【解答】解：（1）根据题意，得方程ax2﹣3x+2=0的两个根为1和b，∴由根与系数的关系，得，解之得a=1，b=2；（2）由（1）得关于x的不等式化为x2﹣（m+2）x+2m＜0，因式分解，得（x﹣m）（x﹣2）＜0①当m=2时，原不等式的解集为∅；②当m＜2时，原不等式的解集为（c，2）；③当m＞2时，原不等式的解集为（2，c）．18．已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】由函数y=c x在R上单调递减，知p：0＜c＜1，￢p：c＞1；由f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，知q：0＜c≤，￢q：c＞且c≠1．由“p或q”为真，“p且q”为假，知p真q假，或p假q真，由此能求出实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．19．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：（1）sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°；（2）sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°；（3）sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°；（4）sin2（﹣18°）+cos248°﹣sin（﹣18°）cos 48°；（5）sin2（﹣25°）+cos255°﹣sin（﹣25°）cos 55°．（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】方法一：（1）选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解．（2）发现推广三角恒等式为sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．方法二：（1）同方法一．（2）发现推广三角恒等式为sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=．由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．【解答】解：（1）选择（2）式，计算如下：sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=1﹣sin 30°=1﹣=．（2）三角恒等式为sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin α•cos（30°﹣α）=．证明如下：法一：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=sin2α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）2﹣sin α（cos 30°•cos α+sin 30°sin α）=sin2α+cos2α+sin αcos α+sin2α﹣sin αcos α﹣sin2α=sin2α+cos2α=．法二：sin2α+cos2（30°﹣α）﹣sin αcos（30°﹣α）=+﹣sin α•（cos 30°cos α+sin 30°sin α）=﹣cos 2α++（cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α）﹣sin αcos α﹣sin2α=﹣cos 2α++cos 2α+sin 2α﹣sin 2α﹣（1﹣cos 2α）=1﹣cos 2α﹣+cos 2α=．20．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入4万元广告费，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．（1）根据频率分布直方图计算各小长方形的宽度；（2）估计该公司投入4万元广告费之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）关于x的回归方程．回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为=，=﹣．【考点】独立性检验的应用；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论；（2）利用组中值，求出对应销售收益的平均值；（3）利用公式求出b，a，即可计算y关于x的回归方程．【解答】解：（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）m=1，∴m=2；（2）由（1）可知个小组依次是[0，2），[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12），其中点分别为1，3，5，7，9，11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28，0.24，0.08，0.04，故可估计平均值为1×0.16+3×0.20+5×0.28+7×0.24+9×0.08+11×0.04=5；（3）空白处填5．由题意，=3，=3.8，x i y i=69，=55，∴b==1.2，a=3.8﹣1.2×3=0.2，∴y关于x的回归方程为y=1.2x﹣0.2．21．已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【考点】简单复合函数的导数．【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）=0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，即函数的切线斜率k=f′（1）=﹣2，则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=1++lnx﹣a，∴f″（x）=，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）=2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．[选修4-5：不等式选讲]22．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，解得：x＞﹣1，∴﹣1＜x＜，当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，此时不等式恒成立，∴≤x≤，当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，解得：x＜1，∴＜x＜1，综上可得：M=（﹣1，1）；证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，即（ab+1）2＞（a+b）2，即|a+b|＜|1+ab|．2018年8月23日。
2017-2018学年福建省福州市八县一中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
无实数根，则 m≤0”
4．（5 分）设实数 x，y 满足约束条件
则 z＝2x+y 的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．6
5．（5 分）“m＝4”是“椭圆
焦距为 2”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（5 分）在空间四边形 OABC 中，点 M 在线段 OA 上，且
（Ⅱ）已知两点 A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）在曲线 C 上，记
，
，若
，O 为坐标原点，试探求△OAB 的面积是否为定值？若是，求
出定值；若不是，请说明理由．
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2017-2018 学年福建省福州市八县一中高二（上）期末数 学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求．） 1．【解答】解：抛物线的方程可变为 x2＝ y
心为 G，且满足 MG∥F1F2，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x
B．y＝±2x
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．（5 分）命题“∃x∈R，x2+2ax﹣a≤0”是假命题，则实数 a 的取值范围为
．
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14．（5 分）已知双曲线
①DB1⊥面 ACD1； ②面 A1C1B∥面 ACD1；
③点 F 到面 ACD1 的距离为定值 ；
④线 AE 与面 BB1D1D 所成角的正弦值为定值 ．
三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
福州一中2017-2018学年高二第一学期期末高二数学(理)试卷
福州一中2017-2018学年高二第一学期期末高二数学(理)试卷(完卷100分钟 满分100分)一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.“方程mx 2+ny 2=1表示椭圆”是“mn>0”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若以坐标轴为对称轴的等轴双曲线过点(2,1),则该双曲线方程是( )A. =-22y x 1B. =-22y x 3C. =-22y x −1D.=-22y x −33.若a>b>c,则一定成立的不等式是( )A.a|c|>b|c|B. ab > acC. a-|c|>b-|c|D.c b a 111<< 4.在极坐标系中,与点(3,3π)关于极点对称的点的极坐标是( ) A. (3,3π) B. (3,32π) C. (3,34π) D. (3,65π) 5.正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A-BD-C 后,直线AC 与平面BCD 所成角的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.75°6.抛物线光学性质:平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点若抛物线y 2=4x 的焦点为F,一条平行于x 轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A 反射后,再经抛物线上的另一点B 射出,则直线AB 的斜率为( ) A. 34 B. −34 C. ±34 D.916 7.已知直线l :ax+by=2与圆O:x 2+y 2=4相离,则过点P(a,b)的直线m 与椭圆E:92x +42y =1的交点个数为( )A.至多一个B. 2C. 1D.08.已知二面角A-BC-D 中,AB ⊥BC,CD ⊥BC,AB=BC=CD=2,AD=22,则点A 到平面BCD 的距离是( )A.1B.2C.3D.29.过抛物线C:y 2=4x 焦点F 的直线/与抛物线C 交于A 、B 两点,且满足AF =3FB ,则|AB|等于( )A.8B.16C.314D. 316 10.已知椭圆E: 22a x +22by =1(a>b>0),过原点的直线交椭圆于两点M 、N(其中M 在第一象限),过M 作MC ⊥x 轴于C,直线NC 交椭圆于B.若MN ⊥MB,则椭圆的离心率( )A. 31B. 21C. 22D. 23 二.填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)11.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为1,∠A 1AB=∠DAB=∠A 1AD=60°则|A 1C|=________.12.设F 1、F 2分别为双曲线线22a x -22by =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若在双曲线左支上存在点P,满足2|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|成等差数列,则该双曲线的渐近线方程为____________.13.已知点E 是正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点,且BD 1//平面B 1CE,则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为_____________.14.如图,由抛物线E;y=x 2上点P(2,4)作圆C:x 2+(y-2)2=1的两条切线PA 、PB 与抛物线E 交点分别为A 、B,则直线AB 的方程为___________.三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
福建省上杭县第一中学2017-2018学年高二下学期第二次月考(6月)数学(理)试题(精编含解析)
上杭一中2017～2018学年下期6月月考高二理科数学试题一、选择题1. 复数的共轭复数对应点在复平面内的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】其共轭复数为，则对应点在第二象限故选2. 某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D【解析】1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.3. 函数在上的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求导函数，令导函数，得。
讨论在与内的单调性，进而求得最大值。
详解：对函数求导，得令，得当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减所以在处取得极大值为当时，所以最大值为-1所以选D点睛：本题考查了导函数在定区间内的最值问题，主要的通过导函数判断函数的单调性，通过单调性判断是否存在极值点，属于简单题。
4. 设随机变量，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据正态分布曲线关于x＝3对称，所以P(X＞4)＝P(X＜2)＝p，所以P(2＜X＜4)＝1－2p，故选C.5. 为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，得到组数据，，，，.根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：通过的和，求得，代入回归直线可得，进而求得的值。
2017-2018年福建省八县高二下学期期末考试数学(文)试题有答案
第二学期八县（市）一中期末联考高中二年数学（文）科试卷完卷时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1、已知,a b 是实数，那么“22a b >”是“a b >”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、定义集合{}{21,x A x B y y =≥==，则R AB =ð （ ）A ．()1,+∞B ．[]0,1C ． [)0,1D ．[)1,+∞ 3、命题:p N ∈∃x ，32x x <；命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞，函数()()log 1a f x x =-的图象过点()2,0，则下列命题是真命题的是 （ ） A. q p ∧B. p q ∨⌝C. q p ∧⌝D. q p ⌝∧⌝4、若0.255,log 3,log 0.2a b c π===，则 （ ）A ．b c a >> B.b a c >> C.a b c >> D ．c a b >> 5、函数ln ||||x x y x =的图像可能是 （ ）6、已知函数()()2531m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则函数()g x =的定义域为 （ ）A. (1,2)B. (]1,2C. [)1,+∞D. ()1,+∞7、已知函数()f x 是R 上的偶函数，若对于0≥x ，都有(2)()f x f x +=，且当)2,0[∈x 时，)1(lo g )(2+=x x f ，则(2015)(2016)f f -+的值为 （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．28、若函数21()ln 2f x x a x =- 在()1,+∞上为增函数, 则实数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,+∞B ． [)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞9、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有()()0xf x f x '+<恒成立，则不等式()0xf x >的解集是 （ ）A ．(2,0)-∪(2,)+∞B ．()2,2-C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞D ．(2,0)-∪(0,2)10、已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[],0,1m n ∈，则()()f n f m '+的最大值是 （ ）A.－9B.－1C.1D.-411、已知函数)1(log )(22a ax x x f ++-=在区间()2,∞-上为减函数，则a 的取值范围为（ ）A. ),4[+∞B.]5,4[C. )5,4(D. )5,4[12、已知函数3()|log (1)|f x x =+，实数m ，n 满足－1<m <n ，且f (m )=f (n )．若f (x )在区间2[,]m n 上的最大值为2，则mn= （ ） A 9- B 8- C 19- D 18-第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置．）13、()12231lg 2lg 2lg50lg 2582-⎛⎫+∙+-+= ⎪⎝⎭________.14、设函数()f x 在()0,+∞内可导，且()xxf e x e =-，则(1)f '=_______.15、函数31()log f x x x=-的零点所在的区间是*(,1)()n n n N +∈则________n = 16、已知函数1()122x x f x +⎧⎪=⎨-⎪⎩(01)(1)x x ≤<≥，设0a b >≥，若()()f a f b =，则()f a b +的取值范围是_ _三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17、(本小题满分12分)已知二次函数2()(0,f x ax bx a =+≠,a b 为常数）满足(1)(1)f x f x -=+错误！未找到引用源。
市南安2017-2018学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)
2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，1，2，4} B．{0，1，3，4} C．{2，4} D．{4}2．已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（）A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x3．函数f（x）=，则f（﹣1）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．44．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f （2018）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．5．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）A．B．C．D．6．已知a=（）﹣2，b=log5，c=log53，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．给出下列命题：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，y=，y=（x﹣1）2，y=x3中有三个是增函数；②若log m3＜log n3＜0，则0＜n＜m＜1；③若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0有2个实数根．其中假命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2] D．（﹣∞，2] 9．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）11．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[0，1]C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（填点的坐标）14．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log8x）＞0的解集是．15．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是．16．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f （x）=ax有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；（Ⅱ）求B、C两点间的距离．18．已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系；（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．19． 2018年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一年的销售量为（x﹣10）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．20设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）的值．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．22．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．2017-2018学年福建省泉州市南安一中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁U A）∪B为（）A．{0，1，2，4} B．{0，1，3，4} C．{2，4} D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}先求出C U A={2，4}，再由B={0，1，4}，能求出（C U A）∪B．【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，∴C U A={2，4}，∵B={0，1，4}，∴（C U A）∪B={0，1，2，4}．故选：A．【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（）A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x 【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p 为∀x＞0，lnx≥x．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3．函数f（x）=，则f（﹣1）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分段函数和对数的运算，代值计算可得．【解答】解：由题意可得f（﹣1）=f（﹣1+3）=f（2）=log22=1故选：A【点评】本题考查分度函数求值，涉及对数的运算，属基础题．4．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）=f（x），当0＜x≤1时，f（x）=2x，则f （2018）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先根据f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，推得f（2018）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；然后根据f（x）的奇偶性以及0＜x≤1时，f（x）=2x，求出f（﹣1）的值即可．【解答】解：因为f（x+3）=f（x），函数f（x）的周期是3，所以f（2018）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）；又因为函数f（x）是定义R上的奇函数，当0＜x≤1时，f（x）=2x，所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，即f（2018）=﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的周期性、奇偶性的运用，属于基础题，解答此题的关键是分析出f（2018）=f（3×672﹣1）=f（﹣1）．5．设M={x|﹣2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是（）A．B．C．D．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】可用排除法根据函数定义域、值域以及函数概念进行逐一验证可得答案．【解答】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．故选B．【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．6．已知a=（）﹣2，b=log5，c=log53，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别求出a，b，c的取值范围即可．【解答】解：a=（）﹣2=52=25＞1，b=log5＜0，c=log53∈（0，1），故a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查对数的大小比较，根据对数和指数的运算性质是解决本题的关键．7．给出下列命题：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，y=，y=（x﹣1）2，y=x3中有三个是增函数；②若log m3＜log n3＜0，则0＜n＜m＜1；③若函数f（x）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称；④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0有2个实数根．其中假命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】直接由幂函数的单调性判断四个函数的单调区间判断①；利用换底公式换底后由对数式的运算性质判断②；由奇函数的对称性求出f（x﹣1）的图象的对称中心判断③；把函数f（x）=3x﹣2x﹣3的零点转化为两函数y=3x与y=2x+3有两个交点判断④．【解答】解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x﹣1，是减函数．函数y=为增函数．函数y=（x﹣1）2在（0，1）上减，在（1，+∞）上增．函数y=x3是增函数．∴有两个是增函数，命题①是假命题；②若log m3＜log n3＜0，则，即lgn＜lgm＜0，则0＜n＜m＜1，命题②为真命题；③若函数f（x）是奇函数，则其图象关于点（0，0）对称，∴f（x﹣1）的图象关于点A（1，0）对称，命题③是真命题；④若函数f（x）=3x﹣2x﹣3，则方程f（x）=0即为3x﹣2x﹣3=0，也就是3x=2x+3，两函数y=3x与y=2x+3有两个交点，即方程f（x）=0有2个实数根命题④为真命题．∴假命题的个数是1个．故选：A．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了基本初等函数的性质，训练了函数零点的判定方法，是中档题．8．已知函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则a的取值范围（）A．[1，+∞）B．[0.2} C．[1，2] D．（﹣∞，2]【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】将二次函数进行配方，利用二次函数的图象和性质求解a的取值范围．【解答】解：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，对称轴为x=1．所以当x=1时，函数的最小值为2．当x=0时，f（0）=3．由f（x）=3得x2﹣2x+3=3，即x2﹣2x=0，解得x=0或x=2．∴要使函数f（x）=x2﹣2x+3在[0，a]上有最大值3，最小值2，则1≤a≤2．故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法是解决二次函数的基本方法．9．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】指数函数的图象变换．【专题】数形结合．【分析】因为y=|f（x）|=，故只需作出y=f（x）的图象，将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即可．【解答】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．10．设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．11．若f（x）=﹣x2+2ax与g（x）=在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．[0，1] C．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，1] D．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】f（x）是开口向下的二次函数，所以在对称轴右侧为减函数，又因为f（x）在区间[1，2]上是减函数，所以区间[1，2]为函减区间的子区间，通过比较函数的单调减区间与区间[1，2]的端点的大小，可求出a的一个范围，因为g（x）是反比例函数通过左右平移得到的，所以函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，这样，有得到a的一个范围，两个范围求公共部分，即得a的值范围．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调间区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1∵函数g（x）=在区间（﹣∞，﹣a）和（﹣a，+∞）上均为减函数，∵g（x）=在区间[1，2]上是减函数，∴﹣a＞2，或﹣a＜1，即a＜﹣2，或a＞﹣1，综上得a∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，1]，故选：D【点评】本题主要考查二次函数与反比例函数的单调性的判断，以及根据所给函数单调区间，求参数的范围．12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用；推理和证明．【分析】①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三点恰好构成等边三角形．【解答】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．故选：D．【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）（填点的坐标）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】由指数年函数的性质知，可令指数为0，求得函数图象经过的定点的坐标【解答】解：令x=0，得y=a0+1=2∴函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（0，2）故答案为：（0，2）．【点评】本题考查指数函数的单调性与特殊点，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质，确定指数为0时，求函数的图象必过的定点14．定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（2）=0，则不等式f（log8x）＞0的解集是（0，）∪（64，+∞）．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的对称性可将不等式f（log8x）＞0，可化为f（|lo8x|）＞f（2），解此不等式即可得到所求的解集．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log8x）＞0，等价为：f（|log8x|）＞f（2），又f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴|log8x|＞2，∴log8x＞2或log8x＜﹣2，∴x＞64或0＜x＜．即不等式的解集为{x|x＞64或0＜x＜}故答案为：（0，）∪（64，+∞）【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合，是函数性质综合考查题，熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键，根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键．15．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是[0，2] ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】命题p：{x||x﹣a|＜3}，利用绝对值不等式的性质可得：p=（a﹣3，a+3）；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，q=（﹣1，3）．由p是q的充分不必要条件，可得A⊊B，解出即可．【解答】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．∵q是p的充分不必要条件，∴q⊊p，∴，解得0≤a≤2，则实数a的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16．设函数，其中[x]表示不超过x的最大整数．若方程f（x）=ax有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（﹣1，﹣]∪[，）．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据[x]的定义，分别作出函数f（x）和g（x）=ax的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2．当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3．设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C （3，1）时，有2个不同的交点，则OA的斜率k=，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，故满足条件的斜率k的取值范围是或，故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知曲线C的参数方程为（y为参数），过点A（2，1）作平行于θ=的直线l 与曲线C分别交于B，C两点（极坐标系的极点、极轴分别与直角坐标系的原点、x轴的正半轴重合）．（Ⅰ）写出曲线C的普通方程；（Ⅱ）求B、C两点间的距离．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t即可得出普通方程．．（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程得可得，利用根与系数的关系与弦长公式|BC|=|t1﹣t2|=即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的参数方程为（y为参数），消去参数t得，y2=4x．（Ⅱ）依题意，直线l的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程得可得，∴，t1t2=14．∴|BC|=|t1﹣t2|===8．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、参数的意义、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．18．已知曲线C的极坐标方程为4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系；（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x+4y的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（I）利用即可得出；（II）设P（3cosθ，2sinθ），代入3x+4y=sin（θ+φ），利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由4ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=36得4x2+9y2=36，化为；（Ⅱ）设P（3cosθ，2sinθ），则3x+4y=，∵θ∈R，∴当sin（θ+φ）=1时，3x+4y的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19． 2018年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一年的销售量为（x﹣10）2万件．（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）根据题意求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为：L（x）=（x﹣7）（x﹣10）2，x∈[7，9]，（Ⅱ）L′（x）=（x﹣10）2+2（x﹣7）（x﹣10）=3（x﹣10）（x﹣8），令L′（x）=0，得x=8或x=10（舍去），∵x∈[7，8]，L′（x）＞0，x∈[8，9]，L′（x）＜0，∴L（x）在x∈[7，8]上单调递增，在x∈[8，9]上单调递减，∴L（x）max=L（8）=4；答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为4万元．【点评】本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．20．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）的值．【考点】抽象函数及其应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数周期性的定义证明f（x+4）=f（x）．（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，求出f（x），再根据函数的周期性，求出答案．（3）分别求出f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0，求出f（1）+f （2）+f（3）+f（4）=0，结合函数f（x）是周期函数，进行求解即可．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．（2）令x∈[﹣2，0]，则﹣x∈[0，2]，∴f（﹣x）=﹣2x﹣x2，又f（﹣x）=﹣f（x），∴在x∈[﹣2，0]，f（x）=2x+x2，∴x∈[2，4]，那么x﹣4∈[﹣2，0]，那么f（x﹣4）=2（x﹣4）+（x﹣4）2=x2﹣6x+8，由于f（x）的周期是4，所以f（x）=f（x﹣4）=x2﹣6x+8，∴当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8．（3）当x∈[0，2]时，f（x）=2x﹣x2．∴f（0）=0，f（1）=1，当x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8，∴f（2）=0，f（3）=﹣1，f（4）=0∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1+0﹣1+0=0，∵y=f（x）是周期函数，且T=4是其一个周期．∴2018=4×504∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）=504×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]=504×0=0，即求f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2018）=0．【点评】本题主要考查函数周期性的判断，函数奇偶性的应用，综合考查函数性质的应用．21．设函数f（x）=lnx﹣ax+﹣1．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题．【分析】确定函数f（x）的定义域，并求导函数（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，求出f（1）=﹣2，f′（1）=0，即可得到f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求导函数，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；令f'（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求得函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=；对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值，求出，x∈[0，1]的最小值，即可求得b的取值范围．【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（2分）（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x﹣1，∴f（1）=﹣2，，∴f′（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=﹣2（5分）（Ⅱ）=（6分）令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，或x＞2；令f'（x）＞0，可得1＜x＜2故当时，函数f（x）的单调递增区间为（1，2）；单调递减区间为（0，1），（2，+∞）．（8分）（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）可知函数f（x）在（1，2）上为增函数，∴函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=（9分）若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，等价于g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值（*）（10分）又，x∈[0，1]①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，与（*）矛盾②当0≤b≤1时，，由及0≤b≤1得，③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，，此时b＞1（11分）综上，b的取值范围是（12分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，解题的关键是将对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，转化为g （x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在（0，e]上的最小值．22．已知二次函数f（x）=x2+bx+c，其中常数b，c∈R．（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，试求实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，试求实数b的取值范围．【考点】二次函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）若任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0，f（2+x）≤0，可得是f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，进而可得实数c的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，f（x）max﹣f（x）min≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]，由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，∴[1，3]⊆[1，c]，即c≥3（Ⅱ）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，即f（x）max﹣f（x）min≤4，记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．当||＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=﹣f（）=（1+）2≤4，解得：|b|≤2，即﹣2≤b≤2，综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．。
2017-2018年福建省福州市八县一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2017-2018学年福建省福州市八县一中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数3．（5分）y=log a（2x2﹣1）的导数是（）A．B．C．D．4．（5分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．5．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2B．3C．4D．56．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）7．（5分）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1B．2n C．D．n2+n+18．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2 9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）11．（5分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值eC．有最大值e D．有最大值e+1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）i是虚数单位，若复数（3﹣i）（m+i）是纯虚数，则实数m的值为．14．（5分）（3x2+k）dx=10，则k=．15．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=．16．（5分）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，h （x0）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x0）=0，设函数f（x）=x3﹣3x2+2，则f（）+f（）+…+f（）+f（）=．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．18．（12分）已知函数f（x）lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．19．（12分）已知数列{a n}的通项公式a n=，数列{b n}的通项满足b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试证明：b n=．20．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（I）求g（x）的单调区间和最小值；（II）讨论g（x）与的大小关系；（III）求a的取值范围，使得对任意x＞0恒成立．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2017-2018学年福建省福州市八县一中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数=故选：B．2．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【考点】FC：反证法．【解答】解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．3．（5分）y=log a（2x2﹣1）的导数是（）A．B．C．D．【考点】63：导数的运算．【解答】解：∵y=log a（2x2﹣1），∴y′==，故选：A．4．（5分）如图，阴影部分的面积是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x ﹣）|=；故选：C．5．（5分）函数f（x）=x3+ax2+3x﹣9，已知f（x）在x=﹣3时取得极值，则a等于（）A．2B．3C．4D．5【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=﹣3时取得极值∴f′（﹣3）=0⇒a=5故选：D．6．（5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）C．0＜f（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f（x）′在（0，+∝）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：B．7．（5分）平面内有n条直线，最多可将平面分成f（n）个区域，则f（n）的表达式为（）A．n+1B．2n C．D．n2+n+1【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：由题意，平面内n条直线，任何两条不平行，任何三条不过同一点时，将平面分成的区域最多设前k条直线把平面分成了f（k）部分，第k+1条直线与原有的k条直线有k个交点，这k个交点将第k+1条直线分为k+1段，这k+1段将平面上原来的f （k）部分的每一部分分成了2个部分，共2（k+1）部分，相当于增加了k+1个部分，∴第k+1条直线将平面分成了f（k+1）部分，则f（k+1）﹣f（k）=k+1，令k=1，2，3，…．n得f（2）﹣f（1）=2，f（3）﹣f（2）=3，…，f（n）﹣f （n﹣1）=n，把这n﹣1个等式累加，得f（n）﹣f（1）=2+3+…+n=∴f（n）=2+=故选：C．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足，则下列不等式中，一定成立的是（）A．f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1B．f（1）+1＜f（4）＜f（9）﹣1 C．f（5）+2＜f（4）＜f（1）﹣1D．f（1）﹣1＜f（4）＜f（5）+2【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：∵，∴f′（x）＜，令g（x）=f（x）﹣，则g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）在（0，+∞）上是减函数，∴g（9）＜g（4）＜g（1），即f（9）﹣3＜f（4）﹣2＜f（1）﹣1，∴f（9）﹣1＜f（4）＜f（1）+1．故选：A．9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】F4：进行简单的合情推理．【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选：B．10．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e（其中e为自然对数的底数）的解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，则f（x）=lnx+e，f′（x）=，∴f（x）﹣f′（x）=lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，则方程f（x）﹣f′（x）=e的解可转化成方程lnx﹣=0的解，令h（x）=lnx﹣，而h（2）=ln2﹣＞0，h（1）=ln1﹣＜0，∴方程lnx﹣=0的解所在区间为（1，2），∴方程f（x）﹣f′（x）=e的解所在区间为（1，2），故选：C．11．（5分）如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【考点】GE：诱导公式．【解答】解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sin A2=1=cos A1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选：D．12．（5分）已知a，b∈R，直线y=ax+b+与函数f（x）=tan x的图象在x=﹣处相切，设g（x）=e x+bx2+a，若在区间[1，2]上，不等式m≤g（x）≤m2﹣2恒成立，则实数m（）A．有最小值﹣e B．有最小值eC．有最大值e D．有最大值e+1【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：∵，∴，∴，又点在直线上，∴，∴b=﹣1，∴g（x）=e x﹣x2+2，g'（x）=e x﹣2x，g''（x）=e x﹣2，当x∈[1，2]时，g''（x）≥g''（1）=e﹣2＞0，∴g'（x）在[1，2]上单调递增，∴g'（x）≥g（1）=e﹣2＞0，∴g（x）在[1，2]上单调递增，∴或e≤m≤e+1，∴m的最大值为e+1，无最小值，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）i是虚数单位，若复数（3﹣i）（m+i）是纯虚数，则实数m的值为．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：复数（3﹣i）（m+i）=3m+1+（3﹣m）i是纯虚数，则3m+1=0，3﹣m≠0，解得m=﹣．故答案为：﹣．14．（5分）（3x2+k）dx=10，则k=1．【考点】69：定积分的应用．【解答】解：∵∫02（3x2+k）dx=（x3+kx）|02=23+2k．由题意得：23+2k=10，∴k=1．故答案为：1．15．（5分）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S=r（a+b+c），根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，则此四面体的体积V=R（S1+S2+S3+S4）．【考点】F3：类比推理；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．故答案为：R（S1+S2+S3+S4）．16．（5分）若函数h（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）图象的对称中心为M（x0，h （x0）），记函数h（x）的导函数为g（x），则有g′（x0）=0，设函数f（x）=x3﹣3x2+2，则f（）+f（）+…+f（）+f（）=0．【考点】3A：函数的图象与图象的变换；3T：函数的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x，f″（x）=6x﹣6，令f″（x）=0得x=1，∴f（x）的对称中心为（1，0），∵==…==2，∴f（）+f（）=f（）+f（）=…=f（）+f（）=0，又f（）=f（1）=0∴f（）+f（）+…+f（）+f（）=0．故答案为：0．三、解答题（本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=x﹣lnx﹣2，求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．【考点】52：函数零点的判定定理．【解答】证明：函数的导数f′（x）=1﹣=，当x＞1时，f′（x）＞0，即函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，∵f（3）=1﹣ln3＜0，f（4）=2﹣ln2＞0，∴f（3）f（4）＜0，∴存在唯一的一个数a，使得当3＜a＜4时，f（a）=0，即f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）．18．（12分）已知函数f（x）lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（1）求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和极值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）f′（x）=…（2分）∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x，∴f′（1）=a+1=﹣1，∴a=﹣2…（4分）（2）由（Ⅰ）知f（x）=lnx+，则f′（x）=令f′（x）=0，解得x=2，又f（x）的定义域为（0，+∞）…（6分）当x∈（0，2）时，f′（x）＜0∴f（x）在（0，2）内为减函数…（8分）当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（2，+∞）内为增函数…（10分）由此知函数f（x）在x=2处取得极小值f（2）=ln2+1，无极大值．…（11分）19．（12分）已知数列{a n}的通项公式a n=，数列{b n}的通项满足b n=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a n），试证明：b n=．【考点】8E：数列的求和．【解答】证明：（1）当n=1时，a1=4，b1=1﹣4=﹣3，b1==﹣3，等式成立．（2）假设当n=k（k∈N*）时等式成立，即b k=，那么当n=k+1时，有b k+1=（1﹣a1）（1﹣a2）…（1﹣a k）（1﹣a k+1）=b k（1﹣a k+1）=×[1﹣]=．所以n=k+1时，等式也成立．由（1）（2）可知，等式对任何正整数n都成立．20．（12分）设f（x）=lnx，g（x）=f（x）+f′（x）．（I）求g（x）的单调区间和最小值；（II）讨论g（x）与的大小关系；（III）求a的取值范围，使得对任意x＞0恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴，令g'（x）=0，即，解得x=1，∴g（x）单增区间为（1，+∞），单间区间为（0，1），所以x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g（x）的最小值是g（1）=1；（Ⅱ），设，则，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h'（x）＜0，h'（1）=0，∴函数h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，∴，当x＞1，h（x）＜h（1）=0，∴，当x=1时，h（1）=0，即；（Ⅲ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为1，所以，对任意x＞0恒成立⇔，即lna＜1，从而得0＜a＜e，∴a的取值范围是{a|0＜a＜e}．21．（12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．22．（12分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f（x）=a x+x2﹣xlna，∴f′（x）=a x lna+2x﹣lna，∴f′（0）=0，f（0）=1即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna＞0①当a＞1，y=2x单调递增，lna＞0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1，y=2x单调递增，lna＜0，所以y=（a x﹣1）lna单调递增，故y=2x+（a x﹣1）lna单调递增，∴2x+（a x﹣1）lna＞2×0+（a0﹣1）lna=0，即f'（x）＞f'（0），所以x＞0故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f（x）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1，所以当x∈[﹣1，1]时，|（f（x））max﹣（f（x））min|=（f（x））max﹣（f（x））min≥e﹣1，（12分）由（2）知，f（x）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x∈[﹣1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（﹣1），f（1）}，而f（1）﹣f（﹣1）=（a+1﹣lna）﹣（+1+lna）=a﹣﹣2lna，记g（t）=t﹣﹣2lnt（t＞0），因为g′（t）=1+﹣=（﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）。
福建省福州福清市2017-2018学年学年高二下学期期中考试数学(理)试题
福建省福州福清市2017-2018学年学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1. ＝（）A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i2. 已知函数，若，则等于（）ArrayA ．B ．C．D ．3. 下列各式的运算结果为纯虚数的是A．(1+i)2B．i2(1-i)C．i(1+i)2D．i(1+i)4. 若，Q= (a≥0)，则P，Q的大小关系是( )A．P＝Q B．P>Q C．P<Q D．由a的取值确定5. 已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )A．B．C．D．6. 下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数B．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数C．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数D．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数7. 定义运算，则符合条件的复数对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8. 定积分的值为( )A．B．C．D．9. 已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．10. 设有下面四个命题：若复数满足，则；：若复数满足，则；二、填空题：若复数满足，则；：若复数，则.其中的真命题为A ．B ．C ．D ．11. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）A ．乙可以知道两人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩12. 对于数25，规定第1次操作为，第2次操作为，如此反复操作，则第2018次操作后得到的数是（ ）A ．25B ．250C ．55D ．13313. 用反证法证明“若，则或”时，应假设____________．14. 已知实数，满足，则复数的模为________________.15. 已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则________.16. 曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为______．三、解答题求函数的单调递增区间.17.18. 从边长为的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子．盒子的高为多少时，盒子的容积最大？最大容积是多少？19. 已知函数，其中，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．20. 用数学归纳法证明等式.21. 求函数，的零点个数.22.已知函数.讨论函数在定义域内的极值点的个数；。
福建省厦门市2017-2018学年高二下学期期末质量检测理科数学试题含解析
厦门市 2017-2018 学年度第二学期高二年级质量检测理科数学一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足，则 （ ）A. 1 B.C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：利用复数的除法求出 ，进而得到 .详解：由题故选 B. 点睛：本题考查复数逇除法运算及复数的模，属基础题.2. 已知是抛物线上一点，则 到抛物线焦点的距离是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 6【答案】B【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点 到抛物线焦点的距离．详解：由抛物线方程可得抛物线中 ，则利用抛物线的定义可得点 到抛物线焦点的距离．故选 B.点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 已知函数，则 在 处的切线方程为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：求导得到 在 处的切线斜率，利用点斜式可得 在 处的切线方程.详解：已知函数，则则即 在 处的切线斜率为2，又 故选 C.则 在 处的切线方程为即.点睛：本题考查函数在一点处的切线方程的求法，属基础题. 4. 2018 年 6 月 14 日，世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕.通过随机调查某小区 100 名性别不同 的居民是否观看世界杯比赛，得到以下列联表：观看世界杯不观看世界杯总计男402060女152540总计5545100经计算 的观测值 附表：0.05. 0.0253.8415.0240.010 6.6350.005 7.8790.001 10.828参照附表，所得结论正确的是（ ） A. 有 以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关” B. 有 以上的把握认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别无关” 【答案】C 【解析】分析：根据题目的条件中已经给出这组数据的观测值，把所给的观测值同节选的观 测值表进行比较，发现它大于 7.879，在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“该小区 居民是否观看世界杯与性别有关”．详解：由题意算得，，参照附表，可得在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“该小区居民是否观看世界杯与性别有关”． 故选：A． 点睛：本题考查独立性检验的应用，属基础题．5. 期末考试结束后，甲、乙、丙、丁四位同学预测数学成绩甲：我不能及格.乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.成绩公布后，四人中恰有一人的预测是错误的，则预测错误的同学是（ ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】分析：若甲预测正确，显然导出矛盾．详解：若甲预测正确，则乙，丙 ， 丁都正确，乙：丁肯定能及格.丙：我们四人都能及格.丁：要是我能及格，大家都能及格.，即四人都及格显然矛盾，故甲预测错误.故选 A.点睛：本题考查推理与论证，根据已知分别假设得出矛盾进而得出是解题关键．6. 空间四边形中，，，，点 在线段 上，且，点 是的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由空间向量加法法则得到，由此能求出结果．详解：由题空间四边形中，，，，点 在线段 上，且，点 是 的中点，则故选 C. 点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查 数形结合思想，是基础题．7. 已知，，，则（）A. 0.6 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9【答案】D【解析】分析：根据随机变量 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．详解：由题意，∵随机变量，，∴故选：D．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．8. “ ”是“函数在单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求出导函数 ，若函数在单调递增，可得在区间上恒成立．解出 ，故选 A 即可．详解：，∵若函数函数∴在区间在单调递增，上恒成立．∴ ，而 在区间上单调递减，∴ ．即“ ”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.故选 A.．点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题．9.的展开式中含 项的系数为（ ）A. -160 B. -120 【答案】BC. 40D. 200【解析】分析：将化为含由展开式中的 ，常数项与中展开式中的常数项，分别对应相乘得到.分别求出相应的系数，对应相乘再相加即可. 详解：将化为含 由 展开式中的 ， 常数项与中展开式中的常数项，分别对应相乘得到.展开式的通项为，常数项的系数分别为展开式的通项为常数项，的系数分别为故的展开式中含 项的系数为故选 B. 点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用展开式的通项公式求指定项的系数， 是基础题目． 10. 《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟 把这 4 部著作分给甲、乙、丙 3 位同学阅读，每人至少 1 本，则甲没分到《周髀算经》的分 配方法共有（ ） A. 18 种 B. 24 种 C. 30 种 D. 36 种 【答案】B【解析】分析：先不考虑限制条件，则共有 种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到 2 本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有种方法；甲分到 2 本（包括《周髀算经》），此时共有种方法，则分配方法共有种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题11. 已知双曲线 ：的左、右焦点分别为 ， ，以线段 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 ，且 满足A.B.C.，则 的离心率 满足（ ） D.【答案】D 【解析】分析：联立圆与渐近线方程，求得 M 的坐标，由 支上，代入双曲线方程化简即可求． 详解：由，得，即 ， 由，，即，得点 在双曲线右由，化简得，即，故选 D. 点睛：本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．12. 已知函数在有极大值点，则 的取值范围为（ ）A.B.【答案】CC.D.【解析】分析：令，得，，整理得，问题转化为求函数在山过的值域问题，令 ，则即可.详解：令，得，，整理得，令 ，则，则令，则 在 单调递减，∴，∴，经检验，满足题意．故选 C． 点睛：本题主要考查导数的综合应用极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的 单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 已知命题 ：，为真命题，则实数 的取值范围为__________．【答案】【解析】分析： ：，为真命题，则详解：已知命题 ：，为真命题，则实数 的取值范围为.即答案为 点睛：本题考查当特称命题为真时参数的取值范围，属基础题. 14. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念，要求老师必须站在正中间，甲 同学与老师相邻，则不同站法种数为__________． 【答案】 【解析】试题分析：老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的；甲同学不与老师相邻，则 甲同学站两端，故不同站法种数为：，故填： ．考点：排列组合综合应用．15. 如图，阴影部分为曲线与 轴围成的图形，在圆 ：内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为__________．【答案】【解析】分析：由题求出圆的面积，根据定积分求出曲线的 面积，利用几何概型求出概率.详解：由题圆 ：的面积为曲线成的图形的面积为与 轴围成的图形与 轴围 故该点取自阴影部分的概率为 .即答案为 .点睛：本题考查几何概型，考查利用定积分求面积，是缁.16. 已知点 在圆上，点 在椭圆上，值为__________． 【答案】 【解析】分析：根据题意，，则的最小详解：根据题意，当 三点共线时.点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值 IDE 求法，属难题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上 以住宅（一套住宅为一户）的月用电量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯电量第二阶梯电量第三阶梯电量月用电量范围（单位： ）从本市随机抽取了 100 户，统计了今年 6 月份的用电量，这 100 户中用电量为第一阶梯的有 20 户，第二阶梯的有 60 户，第三阶梯的有 20 户. （1）现从这 100 户中任意选取 2 户，求至少 1 户用电量为第二阶梯的概率； （2）以这 100 户作为样本估计全市居民的用电情况，从全市随机抽取 3 户， 表示用电量为 第二阶梯的户数，求 的概率分布列和数学期望.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设“从 100 户中任意抽取 2 户，至少 1 户月用电量为第二阶梯”为事件 ， 利用对立事件可求 .（2）从全市任取 1 户，抽到用电量为第二阶梯的概率，则 ～ ，即可求出 的概率分布列和数学期望. 详解： （1）设“从 100 户中任意抽取 2 户，至少 1 户月用电量为第二阶梯”为事件 ，则；（2）从全市任取 1 户，抽到用电量为第二阶梯的概率，所以 ～ ，，的分布列为0123．点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望的求法，考查古典概型，属基础题.18. 已知函数，.（1）若 ，求 的极值；（2）若 恰有三个零点，求 的取值范围.【答案】（1）极大值为，极小值为.（2）【解析】分析：（1）若 ，则，，根据利用导数函数的极值的方法即可，（2）， 分类讨论，若 恰有三个零点，则 的极大值大于零，极小值小于零，即可求出的取值范围..详解：（1）若 ，则，，所以，当或 时，；当时，所以 在单调递增，在单调递减，在所以 的极大值为， 的极小值为.； 单调递增，（2），当 时，恒成立， 在 上单调递减，至多一个零点，不合题意；当 时，令，则，所以，当或 时，；当时，；所以 在和单调递增，在单调递减，所以 的极大值为，的极小值为.恰有三个零点，所以，所以 ，即；综上， 的取值范围为.点睛：本小题考查导数与函数的单调性、极值，函数的零点等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等19. 如图，四棱锥，底面为直角梯形，，，，.（1）求证：平面平面；（2）若直线 与平面所成角为 ，求直线 与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）根据题意，设法证明 平面 ，即可证得平面（2） 如图以 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线 与平面值.详解：（1）证明：因为为直角梯形，，平面；；所成角的正弦又因为，所以，所以，所以,又因为，，所以 平面 ，又因为平面，所以平面平面；（2）作于 ，因为，所以 为 中点，由（1）知平面平面，且平面平面，所以 平面，所以 为直线 与平面所成的角，设，因为，，所以，如图以 为原点建立空间直角坐标系，则，，，设平面 法向量，则，取 ，则所以平面 一个法向量，设 与平面 所成角为 ，则,9分 ，所以直线 与平面 所成角为正弦值为 . 点睛： 本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面垂直等基础知识；考查空间想象能力，推理 论证能力，运算求解能力；考查数学结合思想，化归与转化思想 20. 《厉害了，我的国》这部电影记录：到 2017 年底，我国高铁营运里程达 2.5 万公里，位 居世界第一位，超过第二名至第十名的总和，约占世界高铁总量的三分之二.如图是我国 2009 年至 2017 年高铁营运里程（单位：万公里）的折线图.根据这 9 年的高铁营运里程，甲、乙两位同学分别选择了 与时间变量 的两个回归模型①：；②.（1）求 ， （精确到 0.01）；（2）乙求得模型②的回归方程为，你认为哪个模型的拟合效果更好？并说明理由.附：参考公式：，，.参考数据：1.3976.942850.220.093.72【答案】（1）（2）模型②的拟合效果较好【解析】分析：（1）求出 ， 代入最小二乘法公式即可求得，（2）利用公式求得 ，比较大小可得结论.详解：（1），（2）， ．，，因为，所以模型②的拟合效果较好．点睛：本小题主要考查回归直线、回归分析等基础知识；考查运算求解能力和应用意识；考 查数形结合思想、概率与统计思想．21. 已知椭圆 ：的离心率是 ，以 的长轴和短轴为对角线的四边形的面积是 .（1）求 的方程；（2）直线与 交于 ， 两点， 是 上一点，形，求 的坐标.，若四边形是平行四边【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）根据题意可得，解之可得 的方程；（2）设，，由得，，解得，，，由四边形是平行四边形线，∴代入椭圆方程，则 的坐标可求. 详解： （1）椭圆长轴长 ，短轴长 ，，可得，，由已知，得∴解得∴椭圆 的方程是．（2）（2）设，，由得，，解得，四边形是平行四边形线，∴∴，∴，， ， ，，代入椭圆方程，得，即，∴，解得，又，∴，∴，∴点 的坐标是．点睛：本小题考查椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求 解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想．22. 已知函数，.（1）讨论 的单调性；（2）若 ，求证：当时，.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）依题意， 的定义域为，，分类讨论可求的单调性；（2）当 时，要证明，即证明，只需证明.设，利用导数研究其性质，即可证明详解：（1）依题意， 的定义域为，，（1）当 时，，在单调递减；（2）当 时，当时，；当时，；所以 在单调递减，在单调递增；（3）当 时，当时，；当时，；所以 在单调递增，在单调递减；综上，当 时， 在单调递减；当 时， 在单调递减，在单调递增；当 时， 在单调递增，在单调递减.（2）当 时，要证明，即证明，因为 ，所以只需证明，只需证明.设，则，设 所以当 所以 在 所以 所以当，则，时，；当单调递减，在，时，；当时，；单调递增；时，；所以 在 所以单调递减，在 ，单调递增；所以当时，.点睛：本小题考查导数与函数的单调性、不等式等基础知识；考查运算求解能力，推理论证 能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等．。
2017-2018学年福建省长乐高级中学高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版
长乐高级中学2017-2018学年第二学期期末考高二数学（理科）试卷命题人：程文锦审核人：冯振谋命题内容：《选修2-3》、《选修4-4》班级姓名座号成绩说明：1、本试卷分第I、II 两卷，考试时间：120分钟满分：150分2、Ⅰ卷的答案用2B铅笔填涂到答题卡上；Ⅱ卷的答案用黑色签字笔填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，每小题只有一个答案符合题意）1．已知m∈N*，则乘积m（m+1）（m+2）…（m+15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A2．一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N（100，100），则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到90分为及格）（参考数据：P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.68）（）A．60% B．68% C．76% D．84%3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）A ．B ．C ．D ．4．如表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃18131040杯数2434395162若热茶杯数y与气温x近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（）A．y=x+6 B．y=﹣x+42 C．y=﹣2x+60 D．y=﹣3x+785．展开式中任取一项，则所取项是有理项的概率为（）A．B．C．D．6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y=3﹣5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程y=bx+a必过；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患肺病；其中错误的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．37．已知如图所示的程序框图中输出的结果为a，则二项式展开式中的常数项为（）A．20 B．﹣15 C．15 D．﹣208．（1+x﹣x2）10展开式中x3的系数为（）A．10 B．30 C．45 D．2109．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．36种B．42种C．48种D．54种10．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，，，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（）A．B．C．D．11．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（）种．A．240 B．180 C．150 D．54012．已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C 的交点为A，B，|MA|•|MB|的值为（）A．16 B．18 C．8 D．10第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共计20分）13．从标有1，2，3，4，5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为．14．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）15．为了了解居民天气转冷时期电量使用情况，某调查人员由下表统计数据计算出回归直线方程为=﹣2.11x+61.13，现表中一个数据为污损，则被污损的数据为．（最后结果精确到整数位）气温x181310﹣1用电量y2434•6416．下面给出四种说法：①用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；②命题P：“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③设随机变量X服从正态分布N（0，1），若P（x＞1）=p，则P（﹣1＜X＜0）=﹣p④回归直线一定过样本点的中心（，）．其中正确的说法有（请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上）三、解答题（12+12+10+12+12+12=70分）17．（12分）将3名男生和4名女生排成一行，在下列不同的要求下，求不同的排列方法的种数：（1）甲、乙两人必须站在两头；（2）男生必须排在一起；（3）男生互不相邻；（4）甲、乙两人之间恰好间隔1人．18．（12分）已知f（x）=（1+3x）（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6．（Ⅰ）求a0+；（Ⅱ）求a2．19．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρsinθ=．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）设C1和C2交点的交点为A，B，求△AOB的面积．20．（12分）支付宝自助付款可以实现人像识别身份认证和自动支付业务，于是出现了无人超市．无人超市的出现大大方便了顾客，也为商家节约了人工成本．某超市对随机进入无人超市的100名顾客的付款时间与购物金额进行了统计，统计数据如表所示：（时间单位：秒，付款金额RMB：元）付款金额（x）0＜x≤5050＜x≤200200＜x≤1000x＞1000所用时间（t）10204060顾客人数40203010（1）用统计中的频率代表一位顾客随机进店消费付款时间的概率，试求该顾客进店购物结算时所用时间的期望；（2）若一位顾客在结算时，前面恰有3个人正在排队，求该顾客等候时间不少于2分钟的概率．21．（12分）某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频数分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间[0，6]内）：学习时间[0，1）[1，2）[2，3）[3，4）[4，5）[5，6]频数318422高二学生学习时间的频率分布直方图：（1）求高二学生学习时间在（3，5]内的人数；（2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2，3），[3，4）的两组里抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3，4）这一组中恰有1人被抽中的概率；（3）若周日学习时间不小于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一高二合计，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.0250.0100.005k0 5.024 6.6357.87922．（12分）某市春节期间7家超市广告费支出x i（万元）和销售额y i（万元）数据如表：超市A B C D E F G广告费支出x i1246111319销售额y i19324044525354（Ⅰ）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程．（Ⅱ）若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：+5x+20，经计算二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额．参考数据：=708．参考公式：．长乐高级中学2017-2018学年第二学期期末考高二数学（理科）参考答案一、DDDC BCAB BACB二、13.14. 1615. 3816. ②③④三、17.解：（1）甲、乙两人必须站在两头，则先将甲乙2人安排在两端，有A22=2种方法，其余5人站在中间5个位置，有A55=120种方法，根据乘法原理可得，不同的排列方法共有2×120=240种；（2）将男生看成一个元素，考虑3人之间的顺序，有A33=6种顺序，将3名男生的整体与4名女生进行全排列，有A55=120种方法，则男生必须排在一起的排法有6×120=720种；（3）将4名女生进行全排列，有A44=24种顺序，排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排3名男生，有A53=60种情况，则男生互不相邻的排法有24×60=1440种；（4）先安排甲乙2人，有A22=2种方法，在剩余的5人中任选1人，排在甲乙2人之间，有5种情况，将3人看成一个元素，与剩余的4人进行全排列，有A55=120种排法；则甲、乙两人之间恰好间隔1人有2×5×120=1200种排法．18.解：（Ⅰ）∵知f（x）=（1+3x）（1﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a6x6 ，令，可得，∴．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，可得展开式中含x2的项为：，∴a2=﹣5．19.解：（1）曲线曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数的C1的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0．所以：C1的极坐标方程为ρ=4cosθ（2）解方程组，得到：4sinθcosθ=．所以：，则：（k∈Z）．当（k∈Z）时，，当（k∈Z）时，ρ=2．所以：C1和C2的交点极坐标为：A（），B（）．所以：．故△ABO的面积为．20、解：（Ⅰ）设一位顾客进店购物结算时间为T，根据统计图表可知，T的可能值为10，20，40，60，所以P（T=10）=0.4，P（T=20）=0.2，P（T=40）=0.3，P（T=60）=0.1，所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为10×0.4+20×0.2+40×0.3+60×0.1=26（秒）．（Ⅱ）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况：①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个；③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒；④三40秒．所以对应的概率为=0.118．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为0.118．21. 解：（1）高二学生学习时间在（3，5]内的人数为20×（0.25+0.3）=11（人）．（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2，3）中抽取4人，从高一学生学习时间在[3，4）中抽取2人．设从高一学生学习时间在[2，3）上抽的4人分别为A，B，C，D，在[3，4）上抽的2人分别为a，b，则在6人中任抽2人的所有情况有15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b），其中[3，4）这一组中恰有1人被抽中的情况包含8种，分别为：（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b）共计8种，∴这一组中恰有1被抽中的概率为．（3）完成2×2列联表，如下：年级学习投入时间较多学习投入时间较少合计高一41620高二91120合计132740，所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．22.解：（Ⅰ）∵=708，∴回归系数为=，…（4分）；…（6分）∴y关于x的线性回归方程是；…（7分）（Ⅱ）∵R2分别约为0.93和0.75，且0.75＜0.93，∴二次函数回归模型更合适；…（9分）当x=3万元时，+5x+20=﹣0.17×32+5×3+20=33.47，∴预测A超市销售额为33.47万元．…（12分）。
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（I）求销售额 y 关于产品研发费 x 的回归方程
（
的计算结果精确到小
数点后第二位）；
（Ⅱ）根据（I）的结果预则：若 2018 年的销售额要达到 70 万元，则产品研发费大约需
案共有
．
14．（3 分）十八世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出投针问题：在平面上画有一组间距
为 a 的平行线，将一根长度为 l 的针任意掷在这个平面上，求得此针与平行线中任一条
相交的概率 p＝ （π 为圆周率）．已知 l＝3.14，a＝6，π≈3.14，现随机掷 14 根相同
的针（长度为 l）在这个平面上，记这些针与平行线（间距为 a）相交的根数为 m，其相
2017-2018 学年福建省福州一中高二第二学期期末数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．
1．（4 分）甲、乙、丙、丁 4 人站成一排，要求甲、乙相邻，则不同的排法数是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
X
0
2
a
P
P0
若 EX＝2，则 DX＝
．
12．（3 分）已知 f（x）＝x+2cosx，x∈[0，π]，则 f（x）的最小值为
．
13．（3 分）计划将排球、篮球、乒乓球 3 项目的比赛安排在 4 不同的体育馆举办，每个项
目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过 2 的安排方
2．（4 分）已知 f（x）＝x2+2x•f′（1），则 f′（0）＝（ ）
A．0
B．﹣4
C．﹣2
D．2
3．（4 分）已知随机变量 X～N（2，σ2），若 P（X≤1﹣a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数 a
＝（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
4．（4 分）将两颗骰子各掷一次，记事件 A＝“两个点数都不同”，B＝“至少出现一个 6 点”，
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A．y＝2x﹣x2﹣x
B．y＝
C．y＝（x2﹣2x）ex
D．y＝
8．（4 分）如图，元件 Ai（i＝1，2，3，4）通过电流的概率均为 0.9，且各元件是否通过电 流相互独立，则电流能在 M，N 之间通过的概率是（ ）
A．0.729
B．0.8829
C．0.864
D．0.9891
则条件概率 P（B|A）等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（4 分）假设有两个分类变量 X 和 Y 的 2×2 列联表为： Y y1 y2 总计 X
x1 a 10 a+10
x2 c 50 c+50
总计 40 60 100
对同一样本，以下数据能说明 X 与 Y 有关系的可能性最大的一组是（ ） A．a＝10，c＝30 B．a＝15，c＝25 C．a＝20，c＝20 D．a＝30，c＝10 6．（4 分）有 3 女 2 男共 5 名志愿者要全部分到 3 个社区去参加志愿服务，每个社区 1 到 2 人，甲、乙两名女志愿者需到同一社区，男志愿者到不同社区，则不同的分法种数为（ ）
9．（4 分）在 2018 年俄罗斯世界杯足球赛中，某小组共有 A，B，C，D 四支球队，在单循
环赛中（每两支球队只比赛一场），每场比赛获胜队得 3 分，平局各得 1 分，负者得 0 分．赛
前，有人对比赛得分有如下几种预测：
A队
B队
C队 D队
预测①
33Biblioteka 33预测②
5
3
7
1
预测③
9
9
0
0
预测④
5
0
4
其中可能发生的预测为（ ）
A．①②
B．①④
5 C．②③
D．③④
10．（4 分）已知函数
恰有两个零点，则实数 a 的取值范围是
（）
A．（0，1） C．（0，1）∪（e，+∞）
B．（e，+∞） D．（0，1）∪（e2，+∞）
二、填空题（每题 3 分，满分 12 分，将答案填在答题纸上）
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11．（3 分）已知随机变量 X 的分布列如表：
A．36
B．24
C．16
D．12
7．（4 分）已知函数 y＝f（x）的图象如图所示，则 y＝f（x）的解析式可能是（ ）
大家拿到 考卷后 ，先看 是不是 本科考 试的试 卷，再 清点试 卷页码 是否齐 全，检 查试卷 有无破 损或漏 印、重 印、字 迹模糊 不清等 情况。 如果发 现问题 ，要及 时报告 监考老 师处理 。：1． 从前向 后，先 易后难 。通常 试题的 难易分 布是按 每一类 题型从 前向后 ，由易 到难。 因此， 解题顺 序 也宜按试 卷题号 从小到 大，从 前至后 依次解 答。当 然，有 时但也 不能机 械地按 部就班 。中间 有难题 出现时 ，可先 跳过去 ，到最 后攻它 或放弃 它。先 把容易 得到的 分数拿 到手， 不要“ 一条胡 同走到 黑”， 总的原 则是先 易后难 ，先选 择、填 空题， 后解答 题。2． 规范答 题，分 分计较 。 数学分 I 、II 卷， 第 I 卷 客观性 试题， 用计算 机阅读 ，一要 严格按 规定涂 卡，二 要认真 选择答 案。 第 II 卷为 主观性 试题， 一般情 况下， 除填空 题外， 大多解 答题一 题设若 干小题 ，通常 独立给 分。解 答时要 分步骤 （层次 ）解答 ，争取 步步得 分。 解题中 遇到困 难时， 能做几 步做几 步， 一分地争 取，也 可以跳 过某一 小
2011 年 2012 年 2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年
产品研发 1
2
4
6
11
13
19
费 x（单
位：万元）
z＝lnx
0
0.69
1.39
1.79
2.40
2.56
2.94
销售额 y 19
32
40
44
52
53
54
（单位：万
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元） 根据上表中的数据作出散点图，得知产品研发费的自然对数值 （z 精确到小数点后第二位） 和销售额 y 具有线性相关关系．
应的概率为 p（m）．当 p（m）取得最大值时，m＝
．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 48 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8 分）已知（x﹣ ）n 的二项展开式中，只有第 6 项的二项式系数最大．
（1）求展开式中含 x2 项的系数； （2）记展开式中含 x 的奇次幂的项之和为 S，当 x＝ 时，求 S 的值． 16．（10 分）某企业统计自 2011 年到 2017 年的产品研发费 x 和销售额 y 的数据如表：