人教版八年级数学下册期中考试压轴题
2024—2025学年最新人教版八年级下学期数学期中考试试卷(含答题卡)
最新人教版八年级下学期数学期中考试试卷考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）1、下列各曲线中，不表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．2、以下各数是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3、一次函数y＝﹣2x+3的图象经过（）A．一、二、三象限B．一、二、四象限C．一、三、四象限D．二、三、四象限4、如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.6km，则M，C两点间的距离为（）A．0.8km B．1.2km C．1.3km D．5.2km5、不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）A．AB∥CD，AD＝BC B．AB∥CD，∠A＝∠CC．AD∥BC，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D6、下列命题正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．有三个角是直角的四边形是正方形7、在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（）A．∠A＝∠B+∠C B．（a+b）（a﹣b）＝c2C．a：b：c＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：58、将一次函数y＝的图象向左平移2个单位得到的新的函数的表达式（）A．y＝x+1B．y＝x+2C．y＝x﹣1D．y＝x﹣2 9、我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意平行四边形的中点四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点（不与A、B重合），作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．2.5B．5C．2.4D．1.2二、填空题（每小题3分，满分18分）11、﹣＝．12、已知一次函数y＝2x﹣1的图象上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若x1＞x2，则y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．13、已知a＝+2，b＝﹣2，则ab＝．14、如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则a+b的值是．15、若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是．16、如图，已知正方形ABCD中，AD＝3，∠DAE＝30°，点F为AE的中点，过点F作直线分别与AD、BC相交于点M、N，若MN＝AE，则AM的长等于．最新人教版八年级下学期数学期中考试试卷（答卷）考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟姓名：____________ 学号：_____________座位号：___________一、选择题题号12345678910答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17、计算：．18、一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，6），B（﹣3，﹣2）两点．（1）此一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．19、已知一次函数y＝（k﹣3）x+3k+1．（1）若y是x的正比例函数，求k的值；（2）若该函数图象经过第一、二、四象限，求k的取值范围．20、某校为落实“双减”政策，进一步促进校园文化建设和学生全面发展，学校开展了适合学生素质发展的课后服务内容，该内容分为4个类别，分别为音乐类（A），美术类（B），科技类（C），体育类（D），现抽取了部分学生对该服务内容的喜欢程度，并根据调查结果绘制了如图所示两幅不完整的统计图：请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）本次被调查的学生一共有人，扇形统计图中，A对应的扇形圆心角的度数是．（2）请补全上面的条形统计图和扇形统计图．（3）若该校共有学生2600人，请估计其中喜欢“科技类”的学生人数．21、如图，将长方形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AEC是等腰三角形；（2）若AB＝8，BC＝16，求图中△ACE的面积．22、某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．求y关于x的函数关系式．（3）在第（2）问的条件下，如果A型电脑至少购进20台，则购进两种型号的电脑100台的利润为多少钱？23、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8．在OC 边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处．（1）求CE的长；（2）求点D的坐标；（3）求DE所在的直线解析式．24、四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝2，求CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC 的度数．25、如果直线l1与直线l2相交于A点，且夹角为45°，则称l2为l1的芙蓉线，A点为芙蓉点．这个45°的角为芙蓉角．（1）若直线l1为y轴，直线l2的解析式为y＝kx+2，当l1为l2的芙蓉线时，k 的值为；（2）直线y＝﹣x+3分别与y轴，x轴交于A，B两点，点P是x轴上B点右侧的一点，且BP＝m（m＞0），点Q在直线y＝x﹣3上，其横坐标为m+6，判断∠QAP是否为芙蓉角，并说明理由；（3）直线l3的解析式为y＝﹣3x+3，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点M 是x轴上的一个动点，直线MC是直线l3的芙蓉线．①求M点的坐标；②点N是直线l3上异于点C的一个动点，当MN为直线l3的芙蓉线时，直接写出相应的芙蓉点的坐标．。
【压轴题】八年级数学下期中试卷带答案
【压轴题】八年级数学下期中试卷带答案一、选择题1．下列函数中，是一次函数的是（ ）A ．11y x =+B ．y=﹣2xC ．y=x 2+2D ．y=kx+b （k 、b 是常数） 2．一次函数1y ax b =+与2y bx a =+在同一坐标系中的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．3．小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A ．2.7 米B ．2.5 米C ．2.1 米D ．1.5 米4．如图，一个梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，测得4AO =米.若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子的底端也恰好外移1米，则梯子AB 的长度为 （ ）A ．5米B ．6米C ．3米D ．7米5．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，下列结论：①OA ＝OC ；②∠BAD ＝∠BCD ；③AC ⊥BD ；④∠BAD ＋∠ABC ＝180°中，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是( )A ．小丽从家到达公园共用时间20分钟B ．公园离小丽家的距离为2000米C ．小丽在便利店时间为15分钟D ．便利店离小丽家的距离为1000米 7．若正比例函数y ＝mx （m 是常数，m≠0）的图象经过点A （m ，4），且y 的值随x 值的增大而减小，则m 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．已知点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（1，y 3）都在直线y ＝﹣x+b 上，则y 1，y 2，y 3的值的大小关系是（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 1＞y 29．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y （米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图所示，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE EB =，3OE =，5AB =，▱ABCD 的周长（ ）A ．11B ．13C ．16D ．2211．下列运算正确的是（ ）A 235+=B 362=C 235=gD 1333=12．下列运算正确的是( )A ．532-=B ．822-=C ．114293=D ．()22525-=-二、填空题13．如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝3，在△ABC 内作第1个内接正方形DEFG ；然后取GF 的中点P ，连接PD 、PE ，在△PDE 内作第2个内接正方形HIKJ ；再取线段KJ 的中点Q ，在△QHI 内作第3个内接正方形…，依次进行下去，则第2019个内接正方形的边长为_____．14．如图，直线510y x =+与x 轴、y 轴交于点A ，B ，则AOB V 的面积为___．15．将一个矩形 纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD=____.16．已知菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，则其面积为_____cm 2．17．如图在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以CD 、CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD ＝_____，平行四边形CDEB 为菱形．18．计算2(2233)的结果等于_____．19．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为________20．如图，矩形ABCD 中，15cm AB =，点E 在AD 上，且9cm AE =，连接EC ，将矩形ABCD 沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则'A C =____________cm ．三、解答题21．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作对角线BD 的垂线交BA 的延长线于点E（1）证明：四边形ACDE 是平行四边形；（2）若AC=8，BD=6，求△ADE 的周长．22．如图，ABC V 是边长为1的等边三角形，BCD V 是等腰直角三角形，且90BDC ∠=︒．（1）求BD 的长．（2）连接AD 交BC 于点E ，求AD AE的值． 23．在抗击新冠状病毒战斗中，有152箱公共卫生防护用品要运到A 、B 两城镇，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批防护用品，已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其中用大货车运往A 、B 两城镇的运费分别为每辆800元和900元，用小货车运往A 、B 两城镇的运费分别为每辆400元和600元．（1）求这15辆车中大小货车各多少辆？（2）现安排其中10辆货车前往A 城镇，其余货车前往B 城镇，设前往A 城镇的大货车为x 辆，前往A 、B 两城镇总费用为y 元，试求出y 与x 的函数解析式．若运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，请你写出符合要求的最少费用．24．实数,x y 在数轴上的位置如图所示，化简：2344x y y -+-+25．小颖和小亮上山游玩，小颖乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50分才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分，设小亮出发x 分后行走的路程为y 米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y 随x 的变化关系.（1)小亮行走的总路程是_________米，他途中休息了___________分；（2）分别求出小亮在休息前和休息后所走的路程段上的步行速度；（3）当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】A 、y=1x+1不是一次函数，故错误；B 、y=-2x 是一次函数，故正确；C 、y=x 2+2是二次函数，故错误；D 、y=kx+b （k 、b 是常数），当k=0时不是一次函数，故本选项错误， 故选B ． 2．C解析：C【解析】【分析】可用排除法，对各选项中函数图象的特点逐一分析即可.【详解】A.由y 1的图象可知a< 0，b> 0；由y 2的图象可知a>0，b>0，两结论相矛盾，故错误；B.由y 1的图象可知a< 0，b> 0；由y 2的图象可知a=0，b<0，两结论相矛盾，故错误；C. 正确；D.由y 1的图象可知a> 0，b> 0；由y 2的图象可知a<0，b<0，两结论相矛盾，故错误； 故选：C.【点睛】此题考查一次函数的图象，熟记一次函数的图象与k 及b 值的关系是解题的关键.3．C解析：C【解析】【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【详解】=2.1（米）．故选C ．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．善于提取题目的信息是解题以及学好数学的关键．4．A解析：A【解析】【分析】设BO xm =，利用勾股定理依据AB 和CD 的长相等列方程，进而求出x 的值，即可求出AB 的长度．【详解】解：设BO xm =，依题意，得1AC =，1BD =，4AO =．在Rt AOB V 中，根据勾股定理得222224AB AO OB x =+=+，在Rt COD V 中，根据勾股定理22222(41)(1)CD CO OD x =+=-++，22224(41)(1)x x ∴+=-++，解得3x =，∴==，5AB答：梯子AB的长为5m．故选：A．【点睛】=利用勾股定理列方程是本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AB CD解题的关键．5．C解析：C【解析】试题分析：根据平行四边形的性质依次分析各选项即可作出判断.∵平行四边形ABCD∴OA＝OC，∠BAD＝∠BCD，∠BAD＋∠ABC＝180°，但无法得到AC⊥BD故选C.考点：平行四边形的性质点评：平行四边形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.6．C解析：C【解析】解：A．小丽从家到达公园共用时间20分钟，正确；B．公园离小丽家的距离为2000米，正确；C．小丽在便利店时间为15﹣10=5分钟，错误；D．便利店离小丽家的距离为1000米，正确．故选C．7．B解析：B【解析】【分析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．【详解】解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），∴m2＝4，∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．【点睛】本题考查待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．A解析：A【解析】【分析】先根据直线y＝﹣x+b判断出函数图象,y随x的增加而减少，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．【详解】解：∵直线y＝﹣x+b，k＝﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，又∵﹣2＜﹣1＜1，∴y1＞y2＞y3．故选：A．【点睛】本题考查一次函数的图象性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．9．A解析：A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键. 10．D解析：D【解析】【分析】根据平行四边形性质可得OE是三角形ABD的中位线，可进一步求解.【详解】因为▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE EB，所以OE是三角形ABD的中位线，所以AD=2OE=6所以▱ABCD的周长=2（AB+AD）=22故选D【点睛】本题考查了平行四边形性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】A、原式+=，故错误；B2C、原式，故C错误；=，正确；D3故选：D．【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．12．B解析：B【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合算术平方根的概念对每个选项进行分析，然后做出选择．【详解】A．≠A错误；B．=，故B正确；=，故C错误；C．3D．2=,故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的化简，熟练掌握运算和性质是解题的关键．二、填空题13．3×122018【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC的长进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长再利用锐角三角函数的关系得出EIKI=PFEF=12即可得出正方形边长之间的变化规律得出答案即可【解析：【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE的长，再利用锐角三角函数的关系得出，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可．【详解】∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝AB＝6，∵在△ABC内作第一个内接正方形DEFG；∴EF＝EC＝DG＝BD，∴DE＝BC＝2，∵取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第三个内接正方形…依次进行下去，∴，∴EI＝KI＝HI，∵DH＝EI，∴HI＝DE＝（）2﹣1×3，则第n个内接正方形的边长为：3×（）n﹣1．故第2019个内接正方形的边长为：3×（）2018．故答案是：3×（）2018．【点睛】考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题关键．14．10【解析】【分析】分别令x=0y=0可得AB坐标即可求出OAOB的长利用三角形面积公式即可得答案【详解】∵直线交x 轴于点A 交y 轴于点B∴令则；令则；∴∴∴的面积故答案为10【点睛】本题考查一次函数解析：10【解析】【分析】分别令x=0，y=0，可得A 、B 坐标，即可求出OA 、OB 的长，利用三角形面积公式即可得答案．【详解】∵直线510y x =+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴令0y =，则2x =-；令0x =，则10y =；∴()2,0A -，()0,10B ，∴2OA =，10OB =，∴AOB V 的面积1210102=⨯⨯=． 故答案为10【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0即可求出一次函数与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积． 15．128°【解析】【分析】如图延长DC 到F 根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF 继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°从而可得∠ACF=52°再根据平角的定义即可求得答案【详解】如图延长DC解析：128°.【解析】【分析】如图，延长DC 到F ，根据折叠的性质可得∠ACB=∠BCF ，继而根据平行线的性质可得∠BCF=∠ABC=26°，从而可得∠ACF=52°，再根据平角的定义即可求得答案.【详解】如图，延长DC 到F ，∵矩形纸条折叠，∴∠ACB=∠BCF ，∵AB ∥CD ，∴∠BCF=∠ABC=26°，∴∠ACF=52°，∵∠ACF+∠ACD=180°，∴∠ACD=128°，故答案为128°. 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.16．24【解析】【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD 的长然后再求面积即可【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的边长为5cm 对角线AC ＝6cm ∴AC ⊥BD AO ＝CO ＝3cmBD=2BO ∴BO ＝＝4(cm解析：24【解析】【分析】根据菱形的性质求出另一条对角线BD 的长，然后再求面积即可.【详解】如图所示：∵菱形ABCD 的边长为5cm ，对角线AC ＝6cm ，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ＝3cm ，BD=2BO ，∴BO ＝22AB AO -＝4(cm)，∴BD ＝8cm ，∴S 菱形ABCD =12×6×8＝24(cm 2)， 故答案为24．【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分以及菱形的面积等于对角线积的一半是解题的关键.17．【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AB=5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分邻边相等推知OD=OBCD=CB ；最后Rt △BOC 中根据勾股定理得OB 的值则【详解】解：如图连接CE 交AB 于点O ∵Rt △解析：75【解析】【分析】首先根据勾股定理求得AB =5；然后利用菱形的对角线互相垂直平分、邻边相等推知OD =OB ，CD =CB ；最后Rt △BOC 中，根据勾股定理得，OB 的值，则2AD AB OB =-．【详解】解：如图,连接CE 交AB 于点O ．∵Rt △ABC 中,90ACB ∠=︒，AC =4，BC =3 ∴225AB AC BC =+= (勾股定理)若平行四边形CDEB 为菱形时，CE ⊥BD ，且OD =OB ，CD =CB ． ∵1122AB OC AC BC ⋅=⋅， ∴12.5OC = ∴在Rt △BOC 中,根据勾股定理得，2222129355OB BC OC ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ∴725AD AB OB =-=故答案是：75． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟记菱形的判定方法．18．35+12【解析】【分析】利用完全平方公式计算【详解】原式＝8+12+27＝35+12故答案为：35+12【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式然后进行二次根式的乘除解析：6【解析】【分析】利用完全平方公式计算．【详解】原式＝6+27＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．19．cm 【解析】∵平行四边形ABCD∴AD=BCAB=CDOA=OC∵EO⊥AC∴AE=EC∵AB+BC+CD+AD=16∴AD+DC=8cm∴△DCE 的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD解析：cm【解析】∵平行四边形ABCD ，∴AD=BC ，AB=CD ，OA=OC ，∵EO ⊥AC ，∴AE=EC ，∵AB+BC+CD+AD=16，∴AD+DC=8cm ，∴△DCE 的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8cm ，故答案为8cm.点睛：此题考查了平行四边形的性质以及线段的垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出EO 示线段BD 的中垂线.20．8【解析】【分析】设A′C=xcm 先根据已知利用AAS 证明△A′BC ≌△DCE 得出A′C=DE=xcm 则BC=AD=（9+x ）cmA′B=AB=15cm 然后在Rt △A′BC 中由勾股定理可得BC2=A解析：8【解析】【分析】设A ′C=xcm ，先根据已知利用AAS 证明△A ′BC ≌△DCE ，得出A ′C=DE= xcm ，则BC=AD=（9+x ）cm ，A ′B=AB=15cm ，然后在Rt △A ′BC 中，由勾股定理可得BC 2=A ′B 2+A ′C 2，即可得方程，解方程即可求得答案【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD=15cm ，∠A=∠D=90°，AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠DEC=∠A ′CB ，由折叠的性质，得：A ′B=AB=15cm ，∠BA ′E=∠A=90°，∴A ′B=CD ，∠BA ′C=∠D=90°，在△A ′BC 和△DCE 中，BA C D A CB DEC A B CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=''⎨'⎪⎩∴△A ′BC ≌△DCE （AAS ），∴A ′C=DE ，设A ′C=xcm ，则BC=AD=DE+AE=x+9（cm ），在Rt △A ′BC 中，BC 2=A ′B 2+A ′C 2，即（x+9）2=x 2+152，解得：x=8，∴A ′C=8cm ．故答案为：8．【点睛】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）18．【解析】【分析】【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，∴AE ∥CD ，∠AOB=90°，∵DE ⊥BD ，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB ，∴DE ∥AC ，∴四边形ACDE 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE 的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．22．（1）2（2）3AD AE = 【解析】【分析】（1）已知BC=AB=AC=1，则在等腰直角△BCD 中，由勾股定理即可求BC（2）易证△ABD ≌△ACD ，从而得E 点BC 的中点，再根据等腰三角形的三线合一结合勾股定理即可求AE ，DE ，即可求得AD AE 的值 【详解】解：（1）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，∴BC=1∵△BCD 是等腰直角三角形，∠BDC=90°∴由勾股定理：BC 2=BD 2+DC 2，BD=DC 得，BC 2=2BD 2，则=故BD 的长为2（2）∵△ABC 是边长为1的等边三角形，△BCD 是等腰直角三角形∴易证得△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAE=∠CEA∴E 为BC 中点，得BE=EC ，AE ⊥BC∴在Rt △AEC 中，由勾股定理得==同理得12== ∵AD=AE+ED∴11+3AD AE ED ED AE AE AE +==+=故AD AE =． 【点睛】此题主要考查等腰三角形“三线合一”性质，熟练运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键．23．(1) 大货车用8辆，小货车用7辆；(2) y 与x 的函数解析式为y=100x+9400；当运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元．【解析】【分析】（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，然后根据题意列出二元一次方程组并求解即可； （2）设前往A 城镇的大货车为x 辆，则前往B 城镇的大货车为（8-x ）辆，前往A 城镇的小货车为（10-x ）辆，前往B 城镇的小货车为[7-（10-x ）]辆，然后根据题意即可确定y 与x 的函数关系式；再结合已知条件确定x 的取值范围,求出总费用的最小值即可．【详解】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得：15128152x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：87x y =⎧⎨=⎩ 答：大货车用8辆，小货车用7辆；（2）设前往A 城镇的大货车为x 辆，则前往B 城镇的大货车为（8-x ）辆，前往A 城镇的小货车为（10-x ）辆，前往B 城镇的小货车为[7-（10-x ）]辆，根据题意得：y=800x+900（8-x ）+400（10-x ）+600[7-（10-x ）]=100x+9400由运往A 城镇的防护用品不能少于100箱,则12x+ 8 (10-x)≥100，解得x≥5且x 为整数；当x=5时,费用最低，则：100×5+9400=9900元. 答：y 与x 的函数解析式为y=100x+9400；当运往A 城镇的防护用品不能少于100箱，最低费用为9900元．【点睛】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，弄清题意列出二元一次方程组和一次函数解析式是解答本题的关键．24．5x y --【解析】【分析】由数轴可得2003y x -<<<<，，所以得到2030y x -<-<，，然后根据绝对值和二次根式的性质进行化简计算．【详解】解:由数轴,得:2003y x -<<<<，2030y x ∴-<-<，3332325x x x y x y x y ∴-+=-+-+-=-+-=--．【点睛】本题考查绝对值和二次根式的化简及完全平方公式，利用数形结合思想解题是关键．25．（1）3600 ，20；（2）65（米/分），55（米/分）；（3）1100（米）.【解析】【分析】(1)根据图象可知小亮走的总路程和中途休息的时间；(2)根据图象可知休息前走了30分钟，1950米，休息后走了30分钟，3600-1950米，由此根据速度公式进行求解即可；(3)先求出缆车到达终点所需时间，从而求出小亮行走的时间，最后根据题意求出当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程 ．【详解】(1)根据图象可知：小亮行驶的总路程为3600m ，中途休息时间为：50﹣30=20min ， 故答案为；3600，20；(2)观察图象可知小亮休息前走了30分钟，1950米，所以小亮休息前的速度为：19506530=(米/分)， 小亮休息后的速度为：36001950558050-=-(米/分)， 答：小亮休息前的速度为65米/分，休息后的速度为55米/分；(3)缆车到山顶的线路长为3600÷2=1800米，缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟，小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，80－60＝20(分)，∴小颖到达终点时，小亮离缆车终点的路程为：20⨯55=1100(米)，答：当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是1100米.【点睛】本题考查了函数的图象，弄清题意，读懂图象，根据图象提供的信息进行解答是关键.。
八年级数学下册压轴题攻略(人教版)第一次月考(压轴32题10种题型)(原卷版)
第一次月考（压轴32题10种题型）范围：八年级下册第一-第二单元一．二次根式有意义的条件（共1小题）1．若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝．二．二次根式的性质与化简（共3小题）2．把a中根号外面的因式移到根号内的结果是．3．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝，那么便有＝＝±（a＞b）例如：化简解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•＝，∴＝＝＝2+由上述例题的方法化简：（1）；（2）；（3）．4．已知实数在数轴上的对应点如图所示，化简．三．分母有理化（共1小题）5．已知x＝+3，y＝﹣3，求下列各式的值（1）x2﹣2xy+y2，（2）x2﹣y2．四．二次根式的化简求值（共1小题）6．阅读下面计算过程：＝＝试求：（1）的值为．（2）求+...+的值．（3）若，求a2﹣4a+4的值．五．二次根式的应用（共2小题）7．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．＝（）2+1＝2，s1＝；＝12+（）2＝3，S2＝；…＝12+（）2＝4，S3＝；…（1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：＝，S n ＝．（2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？（3）求出+++…+的值．8．已知a，b均为正整数．我们把满足的点P（x，y）称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是；P1（5，5）；P2（6，6）；P3（7，7）；P4（8，8）（2）若点P（20，t）是一个幸福点，求t的值；（3）已知点P（+1，﹣1）是一个幸福点，则存在正整数a，b满足，试问是否存在实数k的值使得点P和点Q（a+k，b﹣k）到x轴的距离相等，且到y 轴的距离也相等？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．六．勾股定理（共13小题）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（）A．1B．2C．D．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC，DB 分别交GF，AH于点N，K，连接KN交AG于点M，若S1﹣S2＝2，AC＝4，则AB的长为（）A．2B．C．D．11．如图，AB＝AC＝4，P是BC上异于B、C的一点，则AP2+BP•PC的值是（）A．16B．20C．25D．3012．如图，在四边形ABCD中，已知AC⊥BD，AC＝4，BD＝5，则AD+BC的最小值是（）A．3B．6C．D．13．如图，在△ABC中，AC＝8，∠A＝30°，∠B＝45°，点P是AC延长线上一动点，PM ⊥BC边与点M，PN⊥AB边与点N，连接MN，则MN的最小值为（）A．B．C．D．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM ⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCMI和正方形ABGF，点G落在MI上，若AC+BC＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是．16．如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E，使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝，有下列四个结论：①∠CBE ＝15°；②AE＝+1；③S△DEC＝；④CE+DE＝EF．则其中正确的结论有．（填序号）17．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝．18．阅读：如图1，在△ABC中，3∠A+∠B＝180°，BC＝8，AC＝10，求AB的长．小明的思路：如图2，作BE⊥AC于点E，在AC的延长线上取点D，使得DE＝AE，连接BD，易得∠A＝∠D，△ABD为等腰三角形，由3∠A+∠B＝180°和∠A+∠ABC+∠BCA＝180°，易得∠BCA＝2∠A，△BCD为等腰三角形，依据已知条件可得AE和AB 的长．解决下列问题：（1）图2中，AE＝，AB＝；（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c．如图3，当3∠A+2∠B＝180°时，用含a，c式子表示b．19．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．（1）求BE的长；（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．20．如图1，四边形ADCO中，∠AOC＝90°，∠ADC＝90°，AD＝7，DC＝24，CO＝15．（1）求线段AO的长度；（2）如图2所示，OB是∠AOC的平分线，一动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OB运动．设点P的运动时间为t秒，当△AOP是等腰三角形时，请求出t 的值．21．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长；（2）当t为几秒时，BP平分∠ABC；（3）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？七．勾股定理的证明（共2小题）22．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（）A．8B．6C．4D．323．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连结EG，BD相交于点O、BD与HC相交于点P．若GO＝GP，则的值是（）A．1+B．2+C．5﹣D．八．勾股定理的逆定理（共2小题）24．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．25．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长．九．勾股定理的应用（共6小题）26．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）m．A．B．C．6D．27．如图，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是以AB为直径的半圆，下方是长方形的仿古通道，已知AD＝2.3米，CD＝2米；现有一辆卡车装满家具后，高2.5米，宽1.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？请说出你的理由．28．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MP A＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．29．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？30．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．31．已知在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，点F在射线AD上，连接CF，作BE ∥CF交射线AD于E，∠CF A BAC＝α．（1）如图1，当α＝70°时，∠ABE＝15°时，求∠BAE的大小；（2）当α＝90°，AB＝AC＝8时，①如图2．连接BF，当BF＝BA，求CF的长；②若AD＝，求CF的长．十．四边形综合题（共1小题）32．如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D 恰好落在BC边上的点F处（1）求CE的长；（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得P A+PE值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．。
新人教版八年级下数学第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)-
新人教版八年级下第十七章勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)一．选择题（共8小题）1．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．2．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c23．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm4．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺5．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+6．一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米7．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．48．如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169二．填空题（共5小题）9．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是．10．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为米．11．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于．12．观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是（只填数，不填等式）13．观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=，c=．三．解答题（共27小题）14．a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．15．如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．16．如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．17．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．18．如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？19．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC 边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．20．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．（1）△ABC的面积为：．（2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为．（3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．（4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是m2．21．（1）在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC三边的长分别为a（a＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a，请在网格中画出相应的△ABC，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC三边的长分别为（m＞0，n ＞0，且m≠n），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m，n，请在网格中画出相应的△ABC，用网格计算这个三角形的面积．22．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？23．（拓展创新）在教材中，我们通过数格子的方法发现了直角三角形的三边关系，利用完全相同的四个直角三角形采用拼图的方式验证了勾股定理的正确性．问题1：以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形，探究S′+S″与S的关系（如图1）．问题2：以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形，探究S′+S″与S 的关系（如图2）．问题3：以直角三角形的三边为直径向形外作半圆，探究S′+S″与S的关系（如图3）．24．如图，在平面坐标系中，点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB，另有两点C（a，b）和D（b，﹣a）（a、b均大于0）；（1）连接OD、CD，求证：∠ODC=45°；（2）连接CO、CB、CA，若CB=1，C0=2，CA=3，求∠OCB的度数；（3）若a=b，在线段OA上有一点E，且AE=3，CE=5，AC=7，求△OCA的面积．25．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？26．（1）先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x=10．（2）已知，求代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值．（3）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，请在给定的网格中按要求画图：①从点A出发在图中画一条线段AB，使得AB=；②画出一个以（1）中的AB为斜边的等腰直角三角形，使三角形的三个顶点都在格点上，并根据所画图形求出等腰直角三角形的腰长．27．[问题情境]勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其它星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言；[定理表述]请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理；[尝试证明]以图1中的直角三角形为基础，将两个直角边长为a，b，斜边长为c 的三角形按如图所示的方式放置，连接两个之间三角形的另外一对锐角的顶点（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；[知识扩展]利用图2中的直角梯形，我们可以证明＜，其证明步骤如下：∵BC=a+b，AD=又∵在直角梯形ABCD中，有BCAD（填大小关系），即∴．28．观察、思考与验证（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE=90°；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．29．超速行驶容易引发交通事故．如图，某观测点设在到公路l的距离为100米的点P处，一辆汽车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=45°，是判断此车是否超过了每小时80千米的限制速度？（参考数据：=1.41，=1.73）30．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．31．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表：m 2 3 3 4…n1123…a22+1232+1232+2242+32…b4 6 1224 …c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣32…其中m、n为正整数，且m＞n．（1）观察表格，当m=2，n=1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由．（2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a=，b=，c=．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．32．如图1，在4×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒1个单位，点Q的运动速度为每秒0.5个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动，设运动时间为t（0＜t＜8）．（1）请在4×8的网格纸图2中画出t为6秒时的线段PQ．并求其长度；（2）当t为多少时．△PQB是以BP为底的等腰三角形．33．阅读下面的情景对话，然后解答问题：（1）理解：①根据“奇异三角形”的定义，请你判断：“等边三角形一定是奇异三角形”吗？（填是或不是）②若某三角形的三边长分别为1、、2，则该三角形（是或不是）奇异三角形．（2）探究：若Rt△ABC是奇异三角形，且其两边长分别为2、2，则第三边的长为，且这个直角三角形的三边之比为（从小到大排列，不得含有分母）．（3）设问：请提出一个和奇异三角形有关的问题．（不用解答）34．观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，…用你的发现解决下列问题：（1）填空：112=+ ；（2）请用含字母n（n为正整数）的关系式表示出你发现的规律：；（3）结合勾股定理有关知识，说明你的结论的正确性．35．小明爸爸给小明出了一道题：如图，修公路AB遇到一座山，于是要修一条隧道BC．已知A，B，C在同一条直线上，为了在小山的两侧B，C同时施工．过点B作一直线m（在山的旁边经过），过点C作一直线l与m相交于D点，经测量∠ABD=130°，∠D=40°，BD=1000米，CD=800米．若施工队每天挖100米，求施工队几天能挖完？36．如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB=90°），放置在一凹槽内，三个顶点A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE=∠BED=90°，测得AD=5cm，BE=7cm，求该三角形零件的面积．37．如图，四边形ABCD的三边（AB、BC、CD）和BD的长度都为5厘米，动点P从A出发（A→B→D）到D，速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（D→C→B→A）到A，速度为2.8厘米/秒．5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时△APQ的形状．38．一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到A处时测得台风中心移到位于点A正南方的B 处，且AB=100海里．若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．39．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地°送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺（AC=1尺），将它往前推进两步（EB=10尺），此时踏板升高离地五尺（BD=5尺），求秋千绳索（OA或OB）的长度．40．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？1．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（）A．B．C．D．3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．如图，带阴影的正方形面积是．5．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=．6．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．初二数学勾股定理提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析)参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2016秋•吴江区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6 B．8 C．D．【分析】首先根据勾股定理，得：斜边==13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【解答】解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．2．（2016春•抚顺县期中）下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C=90°，所以a2+b2=c2D．在Rt△ABC中，∠B=90°，所以a2+b2=c2【分析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项．【解答】解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角．A、不确定c是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、∠C=90°，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、∠B=90°，所以斜边为b，所以a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选C．【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和．3．（2016春•临沭县期中）如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（）A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm【分析】作出直角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边AB的长．【解答】解：如图，由题意得：AC=15×5=75cm，BC=30×6=180cm，故AB===195cm．故选A．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．4．（2015春•青山区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水而1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2=（x+1）2，解得：x=12，芦苇的长度=x+1=12+1=13（尺），故选D．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5．（2016春•南陵县期中）如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（）A．﹣1﹣B．1﹣C．﹣D．﹣1+【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA=OB=，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．【解答】解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．∵在直角△BOC中，OC=2，BC=1，则根据勾股定理知OB===，∴OA=OB=，∴a=﹣1﹣．故选A．【点评】本题考查了勾股定理、实数与数轴．找出OA=OB是解题的关键．6．（2015春•蓟县期中）一架2.5米长的梯子底部距离墙脚0.7米，若梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向滑动了（）A．1.5米B．0.9米C．0.8米D．0.5米【分析】先根据梯子的顶端下滑了0.4米求出A′C的长，再根据勾股定理求出B′C 的长，进而可得出结论．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=2.5m，BC=0.7m，∴AC===2.4（m）．∵梯子的顶端下滑了0.4米，∴A′C=2m，∵在Rt△A′B′C中，A′B′=2.5m，A′C=2m，∴B′C==1.5m，∴BB′=B′C﹣BC=1.5﹣0.7=0.8m．故选C．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．7．（2015春•罗田县期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2 B．2.6 C．3 D．4【分析】根据勾股定理求出AB的长即可解答．【解答】解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB==13，又∵AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，∴AM=12，BN=5，∴MN=AM+BN﹣AB=12+5﹣13=4．故选D．【点评】本题综合考查了勾股定理的应用，找到关系MN=AM+BN﹣AB是关键．8．（2016春•重庆校级期中）如图，是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．19 C．25 D．169【分析】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而不难求得（a+b）2的值．【解答】解：（a+b）2=a2+b2+2ab=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和=13+（13﹣1）=25．故选C．【点评】考查了勾股定理的证明，注意完全平方公式的展开：（a+b）2=a2+b2+2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．二．填空题（共5小题）9．（2016春•固始县期中）将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是7cm≤h≤16cm．【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，∴h=24﹣8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15，BD=8，∴AB==17，∴此时h=24﹣17=7cm，所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm．故答案为：7cm≤h≤16cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，求出h的值最大值与最小值是解题关键．10．（2015春•汕头校级期中）如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（1+）米．【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．【解答】解：由题意得：在直角△ABC中，AC2+AB2=BC2，则12+22=BC2，∴BC=，∴则树高为：（1+）m．故答案为：（1+）．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．11．（2016春•高安市期中）已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与c的值代入求出ab的值，即可确定出直角三角形的面积．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=14cm，c=10cm，∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100，∴196﹣2ab=100，即ab=48，则Rt△ABC的面积为ab=24（cm2）．故答案为：24cm2．【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12．（2016春•嘉祥县期中）观察下列勾股数第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1…观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是15，112，113（只填数，不填等式）【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n（n+1），2n（n+1）+1，由此可写出第7组勾股数．【解答】解：∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113．【点评】此题考查的知识点是勾股数，属于规律性题目，关键是通过观察找出规律求解．13．（2009春•武昌区期中）观察下列一组数：列举：3、4、5，猜想：32=4+5；列举：5、12、13，猜想：52=12+13；列举：7、24、25，猜想：72=24+25；…列举：13、b、c，猜想：132=b+c；请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b=84，c=85．【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为（2n+1），（），（），由此规律解决问题．【解答】解：在32=4+5中，4=，5=；在52=12+13中，12=，13=；…则在13、b、c中，b==84，c==85．【点评】认真观察各式的特点，总结规律是解题的关键．三．解答题（共27小题）14．（2016春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．【分析】现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于0的形式，求出a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．15．（2016秋•永登县期中）如图：四边形ABCD中，AB=CB=，CD=，DA=1，且AB⊥CB于B．试求：（1）∠BAD的度数；（2）四边形ABCD的面积．【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，（1）根据∠BAD=∠CAD+∠BAC，可以求解；（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．【解答】解：（1）连接AC，∵AB⊥CB于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB2+BC2=AC2，又∵AB=CB=，∴AC=2，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=，DA=1，∴CD2=5，DA2=1，AC2=4．∴AC2+DA2=CD2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°；（2）∵∠DAC=90°，AB ⊥CB 于B ，∴S △ABC =，S △DAC =，∵AB=CB=，DA=1，AC=2， ∴S △ABC =1，S △DAC =1而S 四边形ABCD =S △ABC +S △DAC ，∴S 四边形ABCD =2．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD 是直角三角形是解题的关键．16．（2016春•邹城市校级期中）如图，小华准备在边长为1的正方形网格中，作一个三边长分别为4，5，的三角形，请你帮助小华作出来．【分析】直接利用网格结合勾股定理求出答案．【解答】解：如图所示：△ABC 即为所求．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确借助网格求出是解题关键．17．（2015春•平南县期中）如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了100km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了100km到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离．【分析】根据所走的方向可判断出△ABC是直角三角形，根据勾股定理可求出解．【解答】解：∵AD∥BE∴∠ABE=∠DAB=60°∵∠CBE=30°∴∠ABC=180°﹣∠ABE﹣∠CBE=180°﹣60°﹣30°=90°，在Rt△ABC中，∴==200，∴A、C两点之间的距离为200km．【点评】本题考查勾股定理的应用，先确定是直角三角形后，根据各边长，用勾股定理可求出AC的长，且求出∠DAC的度数，进而可求出点C在点A的什么方向上．18．（2015秋•新泰市期中）如图，在气象站台A的正西方向320km的B处有一台风中心，该台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响．（1）台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是多少？（2）台风中心在移动过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间会持续多长？【分析】（1）过A作AE⊥BD于E，线段AE的长即为台风中心与气象台A的最短距离，由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果；（2）根据题意得出线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，求出CD的长，即可得出结果．【解答】解：（1）过A作AE⊥BD于E，如图1所示：∵台风中心在BD上移动，∴AE的长即为气象台距离台风中心的最短距离，在Rt△ABE中，∠ABE=90°﹣60°=30°，∴AE=AB=160，即台风中心在移动过程中，与气象台A的最短距离是160km．（2）∵台风中心以每小时20km的速度沿北偏东60°的BD方向移动，在距离台风中心200km内的地方都要受到其影响，∴线段CD就是气象台A受到台风影响的路程，连接AC，如图2所示：在Rt△ACE中，AC=200km，AE=160km，∴CE==120km，∵AC=AD，AE⊥CD，∴CE=ED=120km，∴CD=240km．∴台风影响气象台的时间会持续240÷20=12（小时）．【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理，求出CD是解决问题（2）的关键．19．（2015春•阳东县期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿A⇒B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由．。
2023-2024学年八年级数学下册 专题04 勾股定理常考压轴题汇总(解析版)
专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。
人教版八年级下册数学 第19章 一次函数 综合(压轴题)示范
人教版八年级下册数学第19章 一次函数 综合（压轴题）示范1．如图，直线l 1的解析式为y =12x+1，且l 1与x 轴交于点D ，直线l 2经过定点A 、B ，直线l 1与l 2交于点C ．（1）求直线的解析式； （2）求△ADC 的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使△BCE 的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）利用待定系数法即可直接求得l 2的函数解析式；（2）首先解两条之间的解析式组成的方程组求得C 的坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； （3）求得C 关于y 轴的对称点，然后求得经过这个点和B 点的直线解析式，直线与x 轴的交点就是E ． 【解析】（1）设l 2的解析式是y ＝kx+b ，根据题意得：{4k +b =0−k +b =5，解得{k =−1b =4，则函数的解析式是：y ＝﹣x+4；（2）在y =12x+1中令y ＝0，即y =12x+1＝0，解得：x ＝﹣2，则D 的坐标是（﹣2，0）． 解方程组{y =−x +4y =12x +1，解得{x =2y =2，则C 的坐标是（2，2）．则S △ADC =12×AD ×y C =12×6×2＝6；（3）存在，理由：设C （2，2）关于y 轴的对称点C ′（2，﹣2），连接BC ′交x 轴于点E ，则点E 为所求点， △BCE 的周长＝BC+BE+CE ＝BC+BE+C ′E ＝BC+BC ′为最小，设经过（2，﹣2）和B 的函数解析式是y ＝mx+n ，则{2m +n =−2−m +m =5，解得：{m =−73n =83， 则直线的解析式是y =−73x +83，令y ＝0，则y =−73x +83=0，解得：x =87．则E 的坐标是（87，0）．【小结】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，以及对称的性质，正确确定E 的位置是本题的关键． 2、矩形ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，3），BC ＝2AB ，直线经过点B ，交AD 边于点P 1，此时直线l 的函数表达式是y ＝2x ＋1． （1）求BC ，AP 1的长；（2）沿y 轴负方向平移直线l ，分别交AD ，BC 边于点P ，E ． ①当四边形BEPP 1是菱形时，求平移的距离；②设AP ＝m ，当直线l 把矩形ABCD 分成两部分的面积之比为3:5时，求m 的值．解：（1）∵直线y ＝2x ＋1经过y 轴上的B 点，∴B （0，1），又∵A 的坐 标为（0，3）；∴AB=2;BC=2AB=4；P 1（1，3）；AP 1=1；（2）①当四边形BEPP 1是菱形时，BP 1=BE=5；∴E （5，1）；设平移之后的直线解析式为：y ＝2x ＋b ，将点E 代入；b=1-25； 与y 轴的交点B ’（0，1-25），∴沿y 轴负方向平移距离为25；②∵AP=m ；AP 1=1；PP 1=BE=m-1；而S 梯形ABEP =83S 矩形ABCD 或S 梯形ABEP =85S 矩形ABCD ； ∴53m 1-m 221或）（=+⨯；m=2或3. 3、如图，一次函数y 1=54x+n 与x 轴交于点B ，一次函数y 2=−34x+m 与y 轴交于点C ，且它们的图象都经过点D （1，−74）．（1）则点B 的坐标为 ，点C 的坐标为 ；（2）在x 轴上有一点P （t ，0），且t ＞125，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值；（3）在（2）的条件下，在y 轴的右侧，以CP 为腰作等腰直角△CPM ，直接写出满足条件的点M 的坐标．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，分别令y ＝0和x ＝0，可得B 、C 点坐标； （2）根据面积的和差，可得关于t 的方程，根据解方程，可得答案；（3）分情况讨论，注意是在y 轴的右侧，有三个符合条件的点M ，作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的判定与性质，可得M 的坐标．【解析】（1）将D （1，−74）代入y =54x+n ，解得n ＝﹣3，即y =54x ﹣3，当y ＝0时，54x ﹣3＝0．解得x =125，即B 点坐标为（125，0）； 将（1，−74）代入y =−34x+m ，解得m ＝﹣1，即y =−34x ﹣1，当x ＝0时，y ＝﹣1．即C 坐标为（0，﹣1）； （2）如图1，S △BDP =12（t −125）×|−74|=78t −2110，当y ＝0时，−34x ﹣1＝0，解得x =−43，即E 点坐标为（−43，0）， S △CDP ＝S △DPE ﹣S △CPE =12（t +43）×74−12×（t +43）×|﹣1|=38t +12，由△BDP 和△CDP 的面积相等，得：78t −2110=38t +12，解得t ＝5.2；（3）以CP 为腰作等腰直角△CPM ，有以下两种情况： ①如图2，当以点C 为直角顶点，CP 为腰时，点M 1在y 轴的左侧，不符合题意，过M 2作M 2A ⊥y 轴于A ， ∵∠PCM 2＝∠PCO+∠ACM 2＝∠PCO+∠OPC ＝90°，∴∠ACM 2＝∠OPC ，∵∠POC ＝∠CAM 2，PC ＝CM 2，∴△POC ≌△CAM 2（AAS ），∴PO ＝AC ＝5.2，OC ＝AM 2＝1， ∴M 2（1，﹣6.2）；②如图3，当以点P 为直角顶点，CP 为腰时，过M 4作M 4E ⊥x 轴于E ，同理得△COP ≌△PEM 4，∴OC ＝EP ＝1，OP ＝M 4E ＝5.2，∴M 4（6.2，﹣5.2）， 同理得M 3（4.2，5.2）；综上所述，满足条件的点M 的坐标为（1，﹣6.2）或（6.2，﹣5.2）或（4.2，5.2）．【小结】本题考查了一次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用面积的和差得出关于t 的方程是解题关键；利用全等三角形的判定与性质得出对应边相等是解题关键．4、如图，已知直线y ＝2x+2与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点，点C 的坐标为（﹣3，1）． （1）直接写出点A 的坐标 ，点B 的坐标 ． （2）求证△ABC 是等腰直角三角形．（3）若直线AC 交x 轴于点M ，点P （−52，k ）是线段BC 上一点，在线段BM 上是否存在一点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）作CD ⊥x 轴于点D ，证明△CDB ≌△BOA （SAS ）即可解决问题． （3）求出点P 的坐标，利用面积法求出BN 的长即可解决问题．【解答】（1）对于直线y ＝2x+2，令x ＝0，得到y ＝2，令y ＝0，得到x ＝﹣1，∴A （0，2），B （﹣1，0）． （2）证明：作CD ⊥x 轴于点D ，由题意可得CD ＝1，OD ＝3，OB ＝1，OA ＝2，∴CD ＝OB ＝1，BD ＝OA ＝2， ∵∠CDB ＝∠AOB ＝90˚，∴△CDB ≌△BOA （SAS ），∴BC ＝BA ，∠CBD ＝∠BAO ，∵∠ABO+∠BAO ＝90˚，∴∠ABO+∠CBD ＝90˚，即∠ABC ＝90˚，∴△ABC 是等腰直角三角形． （3）∵P （−52，k ）在直线BC ：y =−12x −12上，∴P (−52，34)，∵直线AC ：y =13x +2交x 轴于M ，∴M （﹣6，0），∵S △BCM =12×5×1=52，假设存在点N ，使直线PN 平分△BCM 的面积，则S △BPN =12⋅BN ⋅34=12×52，∴BN =103，∴ON ＝BN+OB =103+1=133，∴N(−133，0)．【小结】本题考查属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝kx+8分别交x 轴，y 轴于A 、B 两点，已知A 点坐标（6，0），点C 在直线AB 上，横坐标为3，点D 是x 轴正半轴上的一个动点，连结CD ，以CD 为直角边在右侧构造一个等腰Rt △CDE ，且∠CDE ＝90°．（1）求直线AB 的解析式以及C 点坐标；（2）设点D 的横坐标为m ，试用含m 的代数式表示点E 的坐标；（3）如图2，连结OC ，OE ，请直接写出使得△OCE 周长最小时，点E 的坐标． 【分析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，即可求解； （2）证明△CDF ≌△DEG （AAS ），则CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，OG ＝4+m ，则E （4+m ，m ﹣3）； （3）过点O 作直线l 的对称点O ′，连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，即可求解． 【解析】（1）把A （6，0）代入y ＝kx+8中，得6k+8＝0，解得：k =−43，∴y =−43x +8，把x ＝3代入，得y ＝4，∴C （3，4）； （2）作CF ⊥x 轴于点F ，EG ⊥x 轴于点G ，∵△CDE 是等腰直角三角形，∴CD ＝DE ，∠CDE ＝90°， ∴∠CDF ＝90°﹣∠EDG ＝∠DEG ，且∠CFD ＝∠DGE ＝90°，∴△CDF ≌△DEG （AAS ）∴CF ＝DG ＝4，DF ＝EG ＝3﹣m ，∴OG ＝4+m ，∴E （4+m ，m ﹣3）； （3）点E （4+m ，m ﹣3），则点E 在直线l ：y ＝x ﹣7上，设：直线l 交y 轴于点H （0，﹣7），过点O 作直线l 的对称点O ′， ∵直线l 的倾斜角为45°，则HO ′∥x 轴，则点O ′（7，﹣7）， 连接CO ′交直线l 于点E ′，则点E ′为所求点，OC 是常数，△OCE 周长＝OC+CE+OE ＝OC+OE ′+CE ′＝OC+CE ′+O ′E ′＝OC+CO ′为最小，由点C 、O ′的坐标得，直线CO ′的表达式为：y =−114x +494联立{y =x −7y =−114x +494，解得：{x =7715y =−2815，故：E(7715，−2815)． 【小结】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、点的对称性等，综合性很强，难度较大．6．如图①，直线y ＝x ＋1交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，OB ＝30A ，M 在直线AC 上，AC ＝CM ． （1）求直线BM 的解析式；（2）如图①，点N 在MB 的延长线上，BN ＝AC ，连CN 交x 轴于点P ，求点P 的坐标；（3）如图②，连接OM ，在直线BM 上是否存在点K ，使得∠MOK ＝45°，若存在，求点K 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）利用A(-1,0)；C （0,1）；AC=AM;∴M （1,2）；B （3,0）；∴BM ：y ＝-x ＋3．（2）过C 作CS ∥MN 交x 轴与S 点，可证△PCS ≌△PNB ，可证P 为BS 的中点，可证OA=OS=1; 则BS=2；则P （2,0）。
八年级下数学期中考试各区压轴题
1、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C ＝90°，点P 为△ABC 外一点，C P ＝2，B P ＝3，A P 的最大值是（）A．32+B．4C．5D．232、在平行四边形ABCD 中，已知∠B ＝30°，将△ABC 沿AC 翻折至△AB ′C ，连接B ′D(1)如图1，若AB ＝3，∠AB ′D ＝75°，则∠ACB ＝__________°(2)如图2，AB ＝32，BC ＝1，AB ′与CD 相交于点E ，求△AEC 的面积(3)已知AB ＝32，当BC 的长为多少时，△AB ′D 是直角三角形？3、已知直线AB 分别交x 、y 轴于A (a ，0)、B 两点，C (c ，4)为直线AB 上且在第二象限内一点，若aa c 8161622=++-(1)如图1，求A 、C 点的坐标(2)如图2，直线OM 经过O 点，过C 作CM ⊥OM 于M ，CN ⊥y 轴于点N ，连MN ，求MN MC MO +的值(3)如图3，过C 作CN ⊥y 轴于点N ，G 为第一象限内一点，且∠NGO ＝45°，试探究GC 、GN 、GO 之间的数量关系并说明理由4、如图，∠MON ＝15°，点P 是∠MON 内部一定点，且OP ＝10，点E 、F 分别是OM 、ON 上两动点，则△PEF 的周长的最小值是（）A．10B．35C．)26(5-D．3105、已知在△ABC 中，AF 、BE 分别是中线，且相交于点P ，记AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，如图(1)求证：AP ＝2PF ，BP ＝2PE(2)如图(2)，若AF ⊥BE 于P ，试探究a 、b 、c 之间的数量关系(3)如图(3)，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 分别是AD 、BC 、CD 的中点，BE ⊥EG ，AD ＝45，AB ＝6，求AF 的长6、如图，四边形OABC 的位置在平面直角坐标系中如图所示，且A (0，a )，B (b ，a )，C (b ，0)，又a 、b 满足8422144=+++---b b a a ．点P 在x轴上且横坐标大于b ，射线OD 是第一象限的角平分线，点Q 在射线OD 上，BP ＝PQ ，并连接BQ 交y 轴上于点M (1)求点B 的坐标(2)求证：BP ⊥PQ(3)若点P 在x 轴的正半轴上，且OP ＝3AM ，试求点M 的坐标7、如图，△ABC 中，AB=AC=3，AD=1，则BD·DC=__28、如图，正方形ABCD 中，AB=8，M 在DC 上，DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值为_______10_____9、已知，四边形ABCD 中，AB=8，BC=2，CD=6，DA=2，M、N 分别为AD、BC 的中点，当MN 取得最大值时，∠D=_____120°_______10、平面直角坐标系中，正方形OEFG 的顶点在坐标原点。
八年级下册数学压轴题(含答案)
八年级下册数学压轴题(含答案)四边形AOBC的对角线互相平分，且相等，故为菱形；又因为OC经过翻折后落在AB上，且AC与x轴垂直，故OC垂直于AB，故AO=OC=OB=BC，故AOBC是一个菱形；3)设点P的坐标为(x,y)，则BPC为直角三角形，且BP=PC，又因为BP在y轴下方，故y<0，且BP与BC垂直，故BP的斜率为-2；设BP的解析式为y=-2x+b，且B点坐标为(0,-5)，则有b=-5；又因为BP=PC，故PC的解析式为y=2x+b，且C点坐标为(a,0)，代入得a=5；又因为XXX在BC下方，故y<0，代入得y=-2x-5；代入BP的解析式得x=5/3，代入得y=-25/3；故存在点P(5/3,-25/3)，使△BCP为等腰直角三角形。
题目：在平面直角坐标系中，已知点A(0,0)，B(5,0)，C(0,5√2)，D从A出发沿AC方向以1m/s的速度向C匀速运动，同时点E从B出发沿BA方向以√2m/s的速度向A匀速运动。
当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。
设点D，E运动的时间是t(0<t≤10)秒。
过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，DF。
1)求BE和CD的长度。
2)试说明，无论t为何值，四边形ADEF都是平行四边形。
3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。
解法：1)由题意可知，BE=√2t，CD=t，故BE=√2t，CD=t。
2)如图所示，由题意可得，∠C=90°，∠A=45°，故∠B=45°。
又因为EF⊥BC，所以∠EFB=90°，∠FEB=45°，所以BE=EF。
又因为AE=√2t，DE=CD，所以DE=√2t。
因此，四边形ADEF的对角线相等，且相互平分，所以ADEF是平行四边形。
3)如图所示，当EF⊥BC时，由勾股定理可知，DE²=DF²+EF²，即(√2t)²=(t+BE)²+(5√2-BF)²。
2020-2021学年人教版数学八年级下册期末压轴题专项复习卷(含答案)
2021年人教版数学八年级下册期末《压轴题专项》复习卷1.如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(6，0)，点C在第一象限内且△OBC为等边三角形，直线BC交y轴于点D，过点A作直线AE⊥BD，垂足为E，交OC于点F.(1)求直线BD的函数表达式；(2)求线段OF的长；(3)连接BF，OE，试判断线段BF和OE的数量关系，并说明理由．2.阅读下面材料：我们知道一次函数y=kx+b(k≠0，k、b是常数)的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C=0(A≠0，A、B、C是常数)的形式，点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离可用公式d=计算．例如：求点P(3，4)到直线y=﹣2x+5的距离．根据以上材料解答下列问题：(1)求点Q(﹣2，2)到直线3x﹣y+7=0的距离；(2)如图，直线y=﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．3.已知正方形ABCD，AB=8，点E、F分别从点A、D同时出发，以每秒1m的速度分别沿着线段AB、DC向点B、C方向的运动，设运动时间为t．（1）求证：OE=OF．（2）在点E、F的运动过程中，连结AF．设线段AE、OE、OF、AF所形成的图形面积为S．探究：①S的大小是否会随着运动时间为t的变化而变化？若会变化，试求出S与t的函数关系式；若不会变化，请说明理由．②连结EF，当运动时间为t为何值时，△OEF的面积恰好等于的S．4.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交点为C（m，4）．求：（1）一次函数y=kx+b的解析式；（2）若点D在第二象限，△DAB是以AB为直角边的等腰直角三角形，则点D的坐标为；（3）在x轴上求一点P使△POC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．5.将正方形ABCD放在如图所示的直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),N点的坐标为(3,0)，MN平行于y轴，E是BC的中点，现将纸片折叠，使点C落在MN上，折痕为直线EF.(1)求点G的坐标；(2)求直线EF的解析式；(3)设点P为直线EF上一点，是否存在这样的点P，使以P, F, G的三角形是等腰三角形?若存在，直接写出P点的坐标;若不存在，请说明理由.6.如图,已知直线y=kx+1经过点A(3,-2)、点B(a,2)，交y轴于点M.（1）求a的值及AM的长（2）在x轴的负半轴上确定点P，使得△AMP成等腰三角形，请你直接写出点P的坐标.（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，点D（-3，b）在AC上，连接BD，设BE是△ABD 的高，过点E的射线EF将△ABD的面积分成2：3两部分，交△ABD的另一边于点F，求点F的坐标.7.阅读理解：运用“同一图形的面积相等”可以证明一些含有线段的等式成立，这种解决问题的方法我们称之为面积法．如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，点M为底边BC 上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2，连接AM，利用S△ABC=S△ABM+S△ACM，可以得出结论：h=h1+h2．类比探究：在图1中，当点M在BC的延长线上时，猜想h、h1、h2之间的数量关系并证明你的结论．拓展应用：如图2，在平面直角坐标系中，有两条直线l1：y=0.75x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上一点M到l1的距离是1，试运用“阅读理解”和“类比探究”中获得的结论，求出点M 的坐标．8.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的AB边在x轴上,AB=3,AD=2,经过点C的直线y=x ﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．（1）求：①点D的坐标；②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；（2）直线y=x﹣2上是否存在点P,使得△PDC为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．9.如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O为坐标原点,点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,1）,点C为边AB的中点,正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上,连接CO,CD,CE．（1）线段OC的长为；（2）求证：△CBD≌△COE；（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O,B,D,E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD,CE,设点E的坐标为（a，0）,其中a≠2,△CD1E1的面积为S．①当1＜a＜2时,请直接写出S与a之间的函数表达式；②在平移过程中,当S=时,请直接写出a的值．10.如图，直线y=2x+m(m>0)与x轴交于点A(-2,0)直线y=-x+n(n>0)与x轴、y轴分别交于B、C 两点，并与直线y=2x+m(m>0)相交于点D，若AB=4．（1）求点D的坐标；（2）求出四边形AOCD的面积；（3）若E为x轴上一点，且△ACE为等腰三角形，直接写出点E的坐标．11.如图，直线l：交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称.动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P不与点A、C重合)，满足∠BPQ=∠BAO.(1)点A坐标是， BC= .(2)当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由。
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.八年级下数学压轴题1．已知，正方形ABCD中，∠ MAN=45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC（或它们的延长线）于点M、 N， AH⊥ MN 于点 H．（ 1）如图①，当∠MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM≠ DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN=45°， AH⊥ MN 于点 H，且 MH=2 ， NH=3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）.2．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC上的一点，以AD 为边作等边△ADE，过点C 作 CF∥ DE交 AB 于点 F．（1）若点 D 是 BC边的中点（如图①），求证： EF=CD；（2）在（ 1）的条件下直接写出△ AEF和△ ABC的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除 B、 C 外如图②），那么（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．.3．（ 1）如图 1，在正方形ABCD中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且DF=BE．求证： CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点，如果∠ GCE=45°，请你利用（ 1）的结论证明： GE=BE+GD．（3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC（ BC＞ AD），∠ B=90°，AB=BC，E 是 AB 上一点，且∠ DCE=45°， BE=4， DE=10，求直角梯形ABCD的面积．.4．如图，正方形ABCD中， E 为 AB 边上一点，过点 D 作 DF⊥ DE，与 BC 延长线交于点F．连接 EF，与 CD边交于点 G，与对角线 BD 交于点 H．（1）若 BF=BD= ，求 BE 的长；（2）若∠ ADE=2∠ BFE，求证： FH=HE+HD．.5．如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于 Q．探究：设A、 P 两点间的距离为x．（1）当点 Q 在边 CD上时，线段 PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点 Q 在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；（ 3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．.6．Rt△ ABC与 Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， CB 与 DE 重合．（ 1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（ 2）取 BC 中点 O，将△ ABC 绕点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′位C置′，直线 B'C'与 AB、 CF分别相交于 P、 Q 两点，猜想 OQ、 OP 长度的大小关系，并证明你的猜想；（ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）.7．如图，在正方形ABCD中，点 F 在 CD边上，射线AF 交 BD 于点 E，交 BC的延长线于点 G．（1）求证：△ ADE≌△ CDE；（2）过点 C 作 CH⊥ CE，交 FG于点 H，求证： FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使△ ECG为等腰三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．.8．在平行四边形ABCD中，∠ BAD 的平分线交直线BC于点 E，交直线 DC 于点 F．（1）在图 1 中证明 CE=CF；（ 2）若∠ ABC=90°， G 是 EF的中点（如图2），直接写出∠ BDG 的度数；（ 3）若∠ ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图 3），求∠ BDG的度数．.9．如图，已知 ?ABCD中， DE⊥ BC 于点 E，DH⊥ AB 于点 H，AF 平分∠ BAD，分别交 DC、DE、 DH 于点 F、 G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB 与 DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．.10．如图，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 AB 上两点，且 BE=BF，过点 B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF的垂线交 BC于点 H 延长线段 AE、GH 交于点 M．（1）求证：∠ BFC=∠ BEA；（2）求证： AM=BG+GM．.11．如图所示，把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA、OC 分别落在x、 y 轴的正半轴上，连接AC，且 AC=4，（1）求 AC 所在直线的解析式；（2）将纸片 OABC折叠，使点 A 与点 C重合（折痕为 EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求 EF所在的直线的函数解析式．.12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点（如图），AE 平分∠ BAO，交x 轴于点 E．（1）求点 B 的坐标；（2）求直线 AE 的表达式；（3）过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F，连接 OF，试判断△ OFB的形状，并求△ OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠ BAO，交 x 轴于点 E”改变为“点 E 是线段 OB上的一个动点（点 E 不与点 O、 B 重合）”，过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F．设 OE=x， BF=y，试求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．.13．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣ 3x+3，且 l1与 x 轴交于点D，直线 l2经过点 A，B，直线 l1， l2交于点 C．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 l 2的解析表达式；（3）求△ ADC的面积；（ 4）在直线l 2上存在异于点 C 的另一点P，使得△ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．.14．如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB的顶点 A、B 分别在 x 轴与 y 轴上，已知OA=6， OB=10．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0， 2），点 P 从点 A 出发以每秒 2 个单位的速度沿线段 AC﹣ CB的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为 t 秒．（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；（2）①求△ OPD的面积 S关于 t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP 折叠，点 B 的对应点B′恰好落在A C 边上，求点P的坐标．（ 3）点 P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．.15．如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、 B、C 的坐标分别是A（﹣ 5， 1）， B（﹣ 2， 4）， C（ 5， 4），点D 在第一象限．（ 1）写出 D 点的坐标；（ 2）求经过 B、 D 两点的直线的解析式，并求线段BD 的长；（ 3）将平行四边形 ABCD先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度所得的四边形 A1 1 1 1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边B C DA1B1C1D1重叠部分的面积．.16．如图，一次函数的图象与x 轴、 y 轴交于点A、B，以线段 AB 为边在第一象限内作等边△ABC，（ 1）求△ ABC 的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P（ a，）；试用含有a 的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP 的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值；（ 3）在 x 轴上，是否存在点M，使△ MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．..2018 年 06 月 17 日梧桐听雨的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共16 小题）1．已知，正方形ABCD中，∠ MAN=45°，∠ MAN 绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交CB、 DC（或它们的延长线）于点M 、N，AH⊥ MN 于点 H．（ 1）如图①，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM=DN 时，请你直接写出AH 与 AB 的数量关系：AH=AB；（2）如图②，当∠ MAN 绕点 A 旋转到 BM≠ DN 时，（ 1）中发现的 AH 与 AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠ MAN=45°， AH⊥ MN 于点 H，且 MH=2 ， NH=3，求 AH 的长．（可利用（ 2）得到的结论）【解答】解：（ 1）如图① AH=AB．（ 2）数量关系成立．如图②，延长CB至 E，使 BE=DN．∵ ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ D=∠ ABE=90°，在 Rt△ AEB和 Rt△ AND 中，，∴Rt△ AEB≌ Rt△AND，∴AE=AN，∠ EAB=∠NAD，∵∠ DAN+∠ BAN=45°，∴∠ EAB+∠ BAN=45°，∴∠ EAN=45°，∴∠ EAM=∠ NAM=45°，在△ AEM 和△ ANM 中，，.∵ AB、 AH 是△ AEM 和△ ANM 对应边上的高，∴AB=AH．（ 3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△ AMH 和△ ANH，得到△ ABM 和△ AND，∴BM=2， DN=3，∠ B=∠ D=∠BAD=90°．分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．设AH=x，则MC=x﹣ 2， NC=x﹣ 3，在 Rt△ MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC2+NC2∴52=（ x﹣ 2）2 +（x﹣ 3）2（ 6 分）解得 x1=6， x2 =﹣ 1．（不符合题意，舍去）∴AH=6．2．如图，△ ABC 是等边三角形，点 D 是边 BC上的一点，以AD 为边作等边△ADE，过点C作 CF∥ DE 交 AB 于点 F．（ 1）若点 D 是 BC边的中点（如图①），求证： EF=CD；（ 2）在（ 1）的条件下直接写出△ AEF和△ ABC的面积比；（3）若点 D 是 BC 边上的任意一点（除 B、 C 外如图②），那么（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．..【解答】（1）证明：∵△ ABC是等边三角形， D 是 BC的中点，∴ AD⊥ BC，且∠ BAD= ∠ BAC=30°，∵△ AED是等边三角形，∴AD=AE，∠ ADE=60°，∴∠ EDB=90°﹣∠ ADE=90°﹣ 60°=30°，∵ED∥CF，∴∠ FCB=∠ EDB=30°，∵∠ ACB=60°，∴∠ ACF=∠ ACB﹣∠ FCB=30°，∴∠ ACF=∠ BAD=30°，在△ ABD 和△ CAF中，，∴△ ABD≌△ CAF（ASA），∴AD=CF，∵ AD=ED，∴ED=CF，又∵ ED∥ CF，∴四边形 EDCF是平行四边形，∴EF=CD．（ 2）解：△ AEF和△ ABC的面积比为：1： 4；（易知AF=BF ，延长EF交AD于H，△AEF的面积..=?EF?AH= ? CB ?AD= ? ?BC?AD，由此即可证明）（3）解：成立．理由如下：∵ ED∥ FC，∴∠ EDB=∠FCB，∵∠ AFC=∠ B+∠ BCF=60°+∠ BCF，∠ BDA=∠ ADE+∠EDB=60°+∠ EDB ∴∠ AFC=∠ BDA，在△ ABD 和△ CAF中，∴△ ABD≌△ CAF（AAS），∴AD=FC，∵ AD=ED，∴ED=CF，又∵ ED∥ CF，∴四边形 EDCF是平行四边形，∴EF=DC．3．（1）如图 1，在正方形 ABCD中，E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE．求证： CE=CF；（2）如图 2，在正方形 ABCD中， E 是 AB 上一点， G 是 AD 上一点，如果∠ GCE=45°，请你利用（ 1）的结论证明： GE=BE+GD．（3）运用（ 1）（ 2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，在直角梯形ABCD中， AD∥ BC（ BC＞AD），∠ B=90°， AB=BC，E 是 AB 上一点，且∠ DCE=45°， BE=4， DE=10，求直角梯形ABCD的面积．..【解答】（ 1）明：∵四形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠ B=∠CDF=90°，∵∠ ADC=90°，∴∠FDC=90°．∴∠B=∠ FDC，∵BE=DF，∴△ CBE≌△ CDF（ SAS）．∴CE=CF．（2）明：如 2 ，延 AD 至 F，使 DF=BE，接 CF．由（ 1）知△CBE≌△ CDF，∴∠ BCE=∠ DCF．∴∠ BCE+∠ ECD=∠DCF+∠ ECD，即∠ ECF=∠ BCD=90°，又∠ GCE=45°，∴∠ GCF=∠ GCE=45°．∵CE=CF，GC=GC，∴△ ECG≌△ FCG．∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD．（3）解：如 3， C作 CG⊥ AD，交 AD 延于 G．在直角梯形ABCD中，∵ AD∥ BC，∴∠A=∠B=90°，又∵∠ CGA=90°， AB=BC，∴四形 ABCG正方形．∴AG=BC．⋯（ 7 分）∵∠ DCE=45°，根据（ 1）（ 2）可知， ED=BE+DG．⋯（ 8 分）∴10=4+DG，即 DG=6．AB=x， AE=x 4， AD=x 6，在Rt△ AED中，..∵DE2=AD2+AE2，即 102 =（ x 6）2+（x 4）2．解个方程，得： x=12 或 x= 2（舍去）．⋯（9 分）∴ AB=12．∴ S 梯形ABCD= （ AD+BC） ?AB= ×（ 6+12）× 12=108．即梯形 ABCD的面108．⋯（ 10 分）4．如，正方形 ABCD中， E AB 上一点，点 D 作 DF⊥ DE，与 BC 延交于点F．接 EF，与 CD 交于点 G，与角 BD 交于点 H．（1）若 BF=BD= ，求 BE 的；（2）若∠ ADE=2∠ BFE，求： FH=HE+HD．【解答】（ 1）解：∵四形ABCD正方形，∴∠ BCD=90°，BC=CD，∴Rt△ BCD中， BC2+CD2=BD2，即 BC2=（）2（ BC）2，∴BC=AB=1，∵DF⊥ DE，∴∠ ADE+∠ EDC=90°=∠EDC+∠ CDF，∴∠ ADE=∠ CDF，在△ ADE 和△ CDF中，∵，∴△ ADE≌△ CDF（ ASA），..∴ AE=CF=BF﹣ BC=﹣1，∴ BE=AB﹣ AE=1﹣（﹣1）=2﹣；（2）证明：在 FE 上截取一段 FI，使得 FI=EH，∵△ADE≌△CDF，∴ DE=DF，∴△ DEF为等腰直角三角形，∴∠ DEF=∠ DFE=45°=∠DBC，∵∠ DHE=∠ BHF，∴∠ EDH=∠ BFH（三角形的内角和定理），在△ DEH和△ DFI中，∵，∴△ DEH≌△ DFI（ SAS），∴DH=DI，又∵∠ HDE=∠BFE，∠ ADE=2∠BFE，∴∠ HDE=∠ BFE= ∠ ADE，∵∠ HDE+∠ ADE=45°，∴∠ HDE=15°，∴∠ DHI=∠ DEH+∠ HDE=60°，即△ DHI 为等边三角形，∴DH=HI，∴FH=FI+HI=HE+HD．5．如图，将一三角板放在边长为 1 的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC 相交于 Q．探究：设 A、 P 两点间的距离为x．（1）当点 Q 在边 CD上时，线段 PQ 与 PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2）当点 Q 在边 CD上时，设四边形 PBCQ的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数关系，并..写出函数自变量x 的取值范围；（ 3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△ PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△ PCQ成为等腰三角形的点Q 的位置．并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由．【解答】解：（ 1） PQ=PB，（1 分）过P 点作 MN ∥ BC分别交 AB、 DC于点 M、 N，在正方形 ABCD中， AC 为对角线，∴ AM=PM ，又∵ AB=MN，∴MB=PN，∵∠BPQ=90°，∴∠ BPM+∠ NPQ=90°；又∵∠ MBP+∠BPM=90°，∴∠ MBP=∠ NPQ，在Rt△ MBP≌Rt△ NPQ 中，∵∴Rt△ MBP≌Rt△ NPQ，（ 2 分）∴PB=PQ．（2）∵ S 四边形PBCQ=S△PBC+S△PCQ，∵AP=x，∴AM=x，∴CQ=CD﹣ 2NQ=1﹣ x，又∵ S△PBC= BC?BM= ?1?（ 1﹣x） =﹣x，S△PCQ= CQ?PN=（1﹣x） ?（ 1﹣x），..=﹣+，∴ S 四边形PBCQ=﹣x+1 ．（ 0≤ x≤）．（4分）（ 3）△ PCQ可能成为等腰三角形．①当点 P 与点 A 重合时，点Q 与点 D 重合，PQ=QC，此时， x=0．（ 5 分）②当点 Q 在 DC的延长线上，且CP=CQ时，（6 分）有：QN=AM=PM=x，CP=﹣x，CN=CP=1﹣x，CQ=QN﹣ CN=x﹣（ 1﹣x）=x﹣ 1，∴当﹣ x=x﹣ 1 时， x=1．（ 7 分）．6．Rt△ ABC 与 Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起， CB与 DE 重合．（ 1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（ 2）取 BC 中点 O，将△ ABC 绕点 O 顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′位C置′，直线B'C'与 AB、 CF分别相交于 P、Q 两点，猜想 OQ、OP 长度的大小关系，并证明你的猜想；（ 3）在（ 2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）..【解答】（ 1）证明：∵△ABC≌△ FCB，∴AB=CF， AC=BF．∴四边形ABFC为平行四边形．（2）解： OP=OQ，理由如下：∵OC=OB，∠ COQ=∠BOP，∠ OCQ=∠ PBO，∴△ COQ≌△ BOP．∴OQ=OP．（ 3）解： 90°．理由：∵ OP=OQ，OC=OB，∴四边形PCQB为平行四边形，∵BC⊥ PQ，∴四边形PCQB为菱形．7．如图，在正方形 ABCD中，点 F 在 CD 边上，射线 AF 交 BD 于点 E，交 BC 的延长线于点G．（1）求证：△ ADE≌△ CDE；（2）过点 C作 CH⊥ CE，交 FG 于点 H，求证： FH=GH；（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使△ ECG为等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．【解答】（ 1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ 1=∠ 2=45°，DE=DE，∴△ ADE≌△ CDE．..（2）证明：∵△ADE≌△CDE，∴∠ 3=∠4，∵ CH⊥ CE，∴∠ 4+∠5=90°，又∵∠ 6+∠ 5=90°，∴∠ 4=∠6=∠ 3，∵AD∥ BG，∴∠ G=∠3，∴∠ G=∠6，∴ CH=GH，又∵∠ 4+∠ 5=∠ G+∠7=90°，∴∠ 5=∠7，∴ CH=FH，∴ FH=GH．（ 3）解：存在符合条件的x 值此时，∵∠ ECG＞ 90°，要使△ ECG为等腰三角形，必须CE=CG，∴∠ G=∠8，又∵∠ G=∠ 4，∴∠ 8=∠4，∴∠ 9=2∠4=2∠ 3，∴∠ 9+∠3=2∠ 3+∠ 3=90°，∴∠ 3=30°，∴ x=DF=1× tan30 °=．8．在 ?ABCD中，∠ BAD 的平分线交直线BC于点 E，交直线DC于点 F．（1）在图 1 中证明 CE=CF；（2）若∠ ABC=90°，G 是 EF 的中点（如图 2），直接写出∠ BDG的度数；（3）若∠ ABC=120°， FG∥ CE， FG=CE，分别连接 DB、 DG（如图 3），求∠ BDG 的度数．..【解答】（ 1）证明：如图1，∵AF 平分∠ BAD，∴∠ BAF=∠ DAF，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ AD∥ BC，AB∥ CD，∴∠ DAF=∠ CEF，∠ BAF=∠F，∴∠ CEF=∠ F．∴CE=CF．（ 2）解：连接GC、 BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF 平分∠ BAD，∴∠DAF=∠ BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥ AB，∴∠DFA=45°，∠ ECF=90°∴△ ECF为等腰直角三角形，∵G 为 EF中点，∴EG=CG=FG， CG⊥ EF，∵△ ABE 为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠ CEF=∠ GCF=45°，∴∠ BEG=∠DCG=135°在△ BEG与△ DCG中，∵，∴△ BEG≌△ DCG，∴BG=DG，..∵CG⊥ EF，∴∠ DGC+∠ DGA=90°，又∵∠ DGC=∠ BGA，∴∠ BGA+∠ DGA=90°，∴△ DGB为等腰直角三角形，∴∠ BDG=45°．（3）解：延长 AB、 FG交于 H，连接 HD．∵ AD∥ GF， AB∥ DF，∴四边形 AHFD 为平行四边形∵∠ABC=120°， AF 平分∠ BAD∴∠ DAF=30°，∠ ADC=120°，∠ DFA=30°∴△ DAF 为等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ ADH，△ DHF 为全等的等边三角形∴DH=DF，∠ BHD=∠ GFD=60°∵FG=CE， CE=CF，CF=BH，∴ BH=GF在△ BHD 与△ GFD中，∵，∴△ BHD≌△ GFD，∴∠ BDH=∠GDF∴∠ BDG=∠ BDH+∠HDG=∠GDF+∠ HDG=60°..9．如图，已知 ?ABCD中， DE⊥ BC于点 E，DH⊥ AB 于点 H，AF 平分∠ BAD，分别交 DC、DE、 DH 于点 F、G、 M，且 DE=AD．（1）求证：△ ADG≌△ FDM．（2）猜想 AB 与 DG+CE之间有何数量关系，并证明你的猜想．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD，AD∥ BC，∴∠ BAF=∠ DFA，∵ AF 平分∠ BAD，∴∠ DAF=∠ DFA，∴AD=FD，∵DE⊥ BC， DH⊥ AB，∴∠ ADG=∠ FDM=90°，在△ ADG 和△ FDM 中，，∴△ ADG≌△ FDM（ ASA）．（2） AB=DG+EC．证明：延长GD 至点 N，使 DN=CE，连接 AN，∵DE⊥ BC， AD∥ BC，∴∠ ADN=∠DEC=90°，..在△ ADN 和△ DEC中，，∴△ ADN≌△ DEC（ SAS），∴∠ NAD=∠CDE， AN=DC，∵∠ NAG=∠NAD+∠ DAG，∠ NGA=∠ CDE+∠ DFA，∴∠ NAG=∠NGA，∴AN=GN=DG+CE=DC，∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∴AB=DG+EC．10．如图，在正方形ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 AB 上两点，且BE=BF，过点B 作 AE 的垂线交 AC 于点 G，过点 G 作 CF的垂线交BC于点 H 延长线段AE、 GH 交于点 M．（ 1）求证：∠ BFC=∠ BEA；（ 2）求证： AM=BG+GM．【解答】证明：（ 1）在正方形 ABCD中， AB=BC，∠ ABC=90°，在△ ABE和△ CBF中，，..∴△ ABE≌△ CBF（ SAS），∴∠ BFC=∠BEA；（2）连接 DG，在△ ABG 和△ ADG 中，，∴△ ABG≌△ ADG（ SAS），∴BG=DG，∠2=∠3，∵ BG⊥AE，∴∠ BAE+∠ 2=90°，∵∠ BAD=∠ BAE+∠4=90°，∴∠ 2=∠3=∠ 4，∵ GM⊥ CF，∴∠ BCF+∠ 1=90°，又∠ BCF+∠ BFC=90°，∴∠ 1=∠BFC=∠ 2，∴∠ 1=∠3，在△ ADG 中，∠ DGC=∠3+45°，∴∠ DGC 也是△ CGH 的外角，∴D、G、 M 三点共线，∵∠ 3=∠4（已证），∴AM=DM ，∵DM=DG+GM=BG+GM，∴ AM=BG+GM．11．如图所示，把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA、OC 分别落在x、 y 轴的正半轴上，连接AC，且 AC=4，..（1）求 AC所在直线的解析式；（2）将纸片 OABC折叠，使点 A 与点 C 重合（折痕为 EF），求折叠后纸片重叠部分的面积．（3）求 EF所在的直线的函数解析式．【解答】解：（ 1）∵=，∴可设 OC=x，则 OA=2x，在Rt△ AOC中，由勾股定理可得 OC2+OA2=AC2，∴ x2+（ 2x）2=（4 ）2，解得 x=4（ x=﹣ 4 舍去），∴ OC=4， OA=8，∴A（ 8， 0）， C（0， 4），设直线 AC 解析式为 y=kx+b ，∴，解得，∴直线 AC 解析式为y=﹣x+4；（ 2）由折叠的性质可知AE=CE，设AE=CE=y，则 OE=8﹣ y，在Rt△ OCE中，由勾股定理可得 OE2+OC2=CE2，∴（ 8﹣ y）2+42=y2，解得 y=5，∴AE=CE=5，∵∠ AEF=∠CEF，∠ CFE=∠ AEF，∴∠ CFE=∠ CEF，∴CE=CF=5，∴S△CEF= CF?OC= × 5× 4=10，..即重叠部分的面积为10；（3）由（ 2）可知 OE=3， CF=5，∴ E（3 ，0）， F（ 5，4 ），设直线 EF的解析式为 y=k′x+b′，∴，解得，∴直线 EF的解析式为y=2x﹣ 6．12．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B 点（如图），AE 平分∠ BAO，交x 轴于点 E．（1）求点 B 的坐标；（2）求直线 AE 的表达式；（3）过点 B 作 BF⊥ AE，垂足为 F，连接 OF，试判断△ OFB的形状，并求△ OFB的面积．（4）若将已知条件“AE平分∠ BAO，交 x 轴于点 E”改变为“点 E 是线段 OB上的一个动点（点 E 不与点 O、B 重合）”，过点 B 作 BF⊥AE，垂足为 F．设 OE=x，BF=y，试求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域．..【解答】解：（ 1）对于 y=﹣x+6，当x=0 时， y=6；当 y=0 时， x=8，∴ OA=6， OB=8，在 Rt△ AOB中，根据勾股定理得： AB=10，则 A（ 0， 6）， B（8，0）；（ 2）过点 E 作 EG⊥ AB，垂足为 G（如图 1 所示），∵ AE 平分∠ BAO， EO⊥AO，EG⊥ AG，∴ EG=OE，在 Rt△ AOE和 Rt△ AGE中，，∴Rt△ AOE≌Rt△ AGE（HL），∴AG=AO，设OE=EG=x，则有 BE=8﹣ x， BG=AB﹣ AG=10﹣ 6=4，在Rt△ BEG中， EG=x， BG=4， BE=8﹣ x，根据勾股定理得： x2+4 2=（ 8﹣ x）2，解得： x=3，∴E（3 ，0），设直线 AE 的表达式为 y=kx+b（ k≠ 0），将A（ 0， 6）， E（ 3，0）代入 y=kx+b 得：，解得：，则直线 AE 的表达式为y=﹣ 2x+6；（ 3）延长 BF 交 y 轴于点 K（如图 2 所示），..∵AE 平分∠ BAO，∴∠ KAF=∠ BAF，又BF⊥AE，∴∠ AFK=∠ AFB=90°，在△ AFK和△ AFB 中，∵，∴△ AFK≌△ AFB，∴FK=FB，即F 为KB 的中点，又∵△ BOK为直角三角形，∴OF= BK=BF，∴△ OFB 为等腰三角形，过点 F 作 FH⊥ OB，垂足为H（如图 2 所示），∵OF=BF， FH⊥ OB，∴OH=BH=4，∴F 点的横坐标为 4，设F（ 4， y），将 F（ 4， y）代入 y=﹣ 2x+6 ，得： y=﹣ 2，∴ FH=| ﹣2| =2，则 S△OBF= OB?FH= × 8× 2=8；（4）在 Rt△ AOE中， OE=x， OA=6，根据勾股定理得：AE==，又BE=OB﹣ OE=8﹣ x， S△ABE= AE?BF= BE?AO（等积法），∴ BF==（0＜x＜8），又BF=y，则 y=（0＜x＜8）．13．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣ 3x+3，且 l1与 x 轴交于点D，直线 l2经过点 A，B，直线 l 1， l2交于点 C．（1）求点 D 的坐标；（2）求直线 l2的解析表达式；..（3）求△ ADC的面积；（4）在直线 l 2上存在异于点 C 的另一点 P，使得△ ADP 与△ ADC 的面积相等，请直接写出点 P 的坐标．【解答】解：（ 1）由 y=﹣ 3x+3，令 y=0，得﹣ 3x+3=0，∴x=1，∴D（ 1，0）；（ 2）设直线l 2的解析表达式为y=kx+b，由图象知： x=4，y=0； x=3，，代入表达式y=kx+b，∴，∴，∴直线 l2的解析表达式为；（ 3）由，解得，∴ C（2，﹣ 3），∵ AD=3，∴ S△ADC=× 3× |﹣3| =；（ 4）△ ADP 与△ ADC 底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC 高就是点 C 到直线AD 的距离，即 C 纵坐标的绝对值=| ﹣ 3| =3，则 P 到 AD 距离 =3，∴ P 纵坐标的绝对值=3，点 P 不是点 C，∴点 P 纵坐标是3，∵ y=1.5x﹣6 ，y=3，..∴1.5x﹣ 6=3x=6，所以 P（ 6，3）．14．如图 1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，长方形OACB的顶点 A、B 分别在 x轴与 y 轴上，已知OA=6， OB=10．点 D 为 y 轴上一点，其坐标为（0， 2），点 P 从点 A出发以每秒 2 个单位的速度沿线段AC﹣CB 的方向运动，当点 P 与点 B 重合时停止运动，运动时间为t 秒．（1）当点 P 经过点 C 时，求直线 DP 的函数解析式；（2）①求△ OPD 的面积 S关于 t 的函数解析式；②如图②，把长方形沿着 OP 折叠，点 B 的对应点 B′恰好落在 AC 边上，求点 P 的坐标．（ 3）点P 在运动过程中是否存在使△BDP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）∵ OA=6， OB=10，四边形OACB为长方形，∴C（ 6， 10）．设此时直线DP 解析式为y=kx+b，把（ 0，2 ）， C（6， 10）分别代入，得，解得则此时直线DP 解析式为y=x+2；（ 2）①当点P 在线段 AC 上时， OD=2，高为 6， S=6；当点 P 在线段 BC 上时， OD=2，高为 6+10﹣2t=16 ﹣2t ，S=× 2×（16﹣2t）=﹣2t+16；②设 P（ m， 10），则 PB=PB′=m，如图 2，∵OB′=OB=10， OA=6，∴ AB′==8，..∴B′C=10﹣ 8=2，∵ PC=6﹣ m，∴m2=22+（ 6﹣ m）2，解得 m=则此时点 P 的坐标是（，10）；（ 3）存在，理由为：若△ BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，①当 BD=BP1=OB﹣ OD=10﹣ 2=8，在Rt△ BCP1中， BP1=8， BC=6，根据勾股定理得： CP1==2 ，∴AP1=10﹣ 2 ，即 P1（6， 10﹣ 2 ）；②当BP2 =DP2时，此时 P2（ 6，6）；③当DB=DP3=8 时，在 Rt△ DEP 中， DE=6，3根据勾股定理得：P3E==2，∴ AP3=AE+EP3=2+2，即 P3（ 6， 2+2），综上，满足题意的P 坐标为（ 6， 6）或（ 6， 2+2）或（ 6， 10﹣ 2）．..15．如图，在平面直角坐标系中，已知O 为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、 B、C 的坐标分别是A（﹣ 5，1）， B（﹣ 2， 4），C（ 5， 4），点 D 在第一象限．（ 1）写出 D 点的坐标；（ 2）求经过B、D 两点的直线的解析式，并求线段BD 的长；（ 3）将平行四边形ABCD 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度所得的四边形 A1B1C1 D1四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形 A1 B1 C1D1重叠部分的面积．【解答】解：（ 1）∵ B（﹣ 2， 4）， C（ 5， 4），∴BC=5﹣（﹣ 2） =5+2=7，∵ A（﹣ 5，1），∴点 D 的横坐标为﹣ 5+7=2，∴点D 的坐标为（ 2， 1）；（ 2）设直线 BD 的解析式为 y=kx+b，将 B（﹣ 2， 4）、D（ 2， 1）代入得：，解得，∴经过 B、 D 两点的直线的解析式为y=﹣x+，过 B 点作 AD 的垂线，垂足为E，则 BE=4﹣ 1=3，DE=2﹣（﹣ 2）=2+2=4，..在 Rt△ BDE中， BD===5；（ 3）∵ ?ABCD向右平移1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，∴A1（﹣ 4， 0），B1（﹣ 1， 3）， C1（ 6，3） D1（ 3，0 ），∴重叠部分的底边长 7﹣ 1=6，高为 3﹣1=2，∴重叠部分的面积S=6× 2=12．16．如图，一次函数的图象与x 轴、 y 轴交于点A、B，以线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC，（ 1）求△ ABC的面积；（ 2）如果在第二象限内有一点P（ a，）；试用含有a 的代数式表示四边形ABPO的面积，并求出当△ABP的面积与△ ABC的面积相等时 a 的值；（3）在 x 轴上，是否存在点 M，使△ MAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（ 1）分别令 y=0 和 x=0，得一次函数y=x+1 的图象与x 轴．y 轴的交点坐标分别是A（，0），B（0，1），即OA=，OB=1，∴ AB==2∵△ ABC为等边三角形，∴ S△ABC=；（ 2）如图 1， S△AOB=，S△AOP=，S△BOP=| a| ?OB=﹣．∴ S 四边形ABPO=S△AOB+S△BOP=，而 S△ABP=S 四边形ABPO﹣S△APO，..∴当 S△ABP=S△ABC时，=，解得 a=﹣；（ 3）如图 2，满足条件的点M 有 4 个：M 1（﹣，0），M 2（﹣ 2，0），M3（，0），M 4（+2，0）．.。
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1、如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF的长为（）
A．2B．3C．D．
2.在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC =BC，直线l过点C且与AB平行．点D在直线l
上（不与点C重合），作射线DA．将射线DA绕点D顺时针旋转90°，与直线BC交于点E．
（1）如图1，若点E在BC的延长线上，请直接写出线段AD、DE之间的数量关系；
（2）依题意补全图2，并证明此时（1）中的结论仍然成立；
（3）若AC=3，CD=22，请直接写出CE的长．
3．如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF 交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH 中，正确的是（）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A．C的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．5．如图，两个全等的△ABC和△DEF重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件：请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G处，连接CG，请你画出图形，此时CG与CF有何数量关系．
6．如图，正方形ABCD的边长为a，在AB、BC、CD、DA边上分别取点A1、B1、C1、D1，使AA1=BB1=CC1=DD1=a，在边A1B1、B1C1、C1D1、D1A1上分别取点A2、B2、C2、D2，使
A 1A2=B1B2=C1C2=D1D2=A1B2，…．依次规律继续下去，则正方形A n
B n
C n
D n的面积
为．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60 cm，∠A＝60°，点D从点C
出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
(1)求证：AE＝DF；
(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，请说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
8．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x
米．则可列方程为（）
9．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC 交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2B．4C．4 D．8
13．如图，菱形ABCD的边长为48cm，∠A=60°，动点P从点A出发，沿着线路AB﹣BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC﹣CB﹣BA做匀速运动．
（1）求BD的长；
（2）已知动点P、Q运动的速度分别为8cm/s、10cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N 两点，试判断△AMN的形状，并说明理由，同时求出△AMN的面积；
（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q 的速度改变为a cm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a的值．
14．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．
15．（11分）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，在△ABC外作直角三角形ACE，∠ACE＝90°．
（1）如图7，过点C作CM⊥AE，垂足为M，连接BM，若AB＝AM，求证：BM∥CE；
（2）如图8，延长BC至D，使得CD＝BC，连接DE，若AB＝BD，∠ECA＝45°，AE＝10，
求四边形ABDE的面积．
图7 图8。