等腰三角形培优提高练习题复习进程

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等腰三角形培优辅导精选[1]

等腰三角形培优辅导知识要点1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。

等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形，又叫正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：（1）、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

（2）、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。

（3）、等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

（4）、等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

（5）、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

（6）、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

（7）、等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，3、等腰三角形的判定：（1）、在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形（定义)。

（2）、在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。

4、等边三角形的性质：⑴、等边三角形的三边都相等，内角都相等、且均为EDABHF60度。

⑵、等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。

⑶、等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。

5、等边三角形的判定： ⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）。

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形(有两个角等于60度的三角形是等边三角形)。

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

6、含30°角的直角三角形的重要结论：30°角所对的直角边是斜边的一半。

7、常做辅助线的方法：“遇到等腰常做高.角平分线，中线。

或者或者构造等腰三角形。

”遇到中线常延长中线，构造全等三角形。

遇到线段和差，常截取线段等于已知线段。

构造等腰三角形典型例题1、如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD； ②求证：CF=CH ；③判断△CFH的形状并说明理由．2、如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.3. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A的度数A4.已知：如图在△ABC中AB=AC,D是AC上一点，过D作DE⊥BC于E,与BA的延长线交于F.求证：AD=AF5如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．D CAB6、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD⊥AC 交BC•于点D ，求证：BC=3AD.辅助线类题目解析：7.已知△ABC 中AB=AC,D 是AB 上一点,E 是AC 延长线上一点,且BD=CF,DE 交BC于F 求证:DF=EF23.如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EFB20.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD。

培优专题2等腰三角形(学生用)

培优专题2 等腰三角形例1 如图1-1，△ABC 中，AB=BC ，M 、N 为BC 边上两点，且∠BAM=∠CAN ，MN=AN ，求∠MAC 的度数．练习11．如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAE=30°，则∠DEC 等于（）．A ．7．5°B ．10°C ．12.5°D ．18°2．如图，AA ′、BB ′分别是△ABC 的外角∠EAB 和∠CBD 的平分线，且AA ′=AB=B ′B ，A ′、B 、C 在一直线上，则∠ACB 的度数是多少？3．如图，等腰三角形ABC 中，AB=BC ，∠A=20°．D 是AB 边上的点，且AD=BC ，•连结CD ，则∠BDC=________．例2 如图1-5，D 是等边三角形ABC 的AB 边延长线上一点，BD•的垂直平分线HE•交AC 延长线于点E ，那么CE 与AD 相等吗？试说明理由．练习24．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED•的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？1-6 1-7 1-85．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（）A．BD>BA B．BD<BA C．BD=BA D．无法确定6．已知：如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=•AC，•延长BE交AC于F，AF与EF 相等吗？为什么？例3已知：如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．1-9练习37．已知：如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF•交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．1-10 8．已知：如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，•使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN•是等边三角形吗？为什么？9．已知：如图1-12，等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使AD=AE ，作等边三角形PCD 、QAE 和RAB ，则以P 、Q 、R 为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．例4 已知：如图1-13，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=100°，∠ABC 的平分线交AC 于E ，试比较AE+BE 与BC 的大小？练习410．如图1-14，在△ABC 中，AB=AC ，P 为底边BC 上的一点，PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ，•CF ⊥AB 于F ，那么PD+PE 与CF 相等吗？11．已知：如图1-15，△ABC 和△ADE 都是等边三角形．B 、C 、D 在一条直线上，•说明CE 与AC+CD 相等的理由．12．已知：如图1-16，△ABC 是等边三角形，延长AC 到D ，•以BD•为一边作等边三角形BDE ，连结AE ，则AD_______AE+AB ．（填“>”或“＝”或“<”）1-16例5已知：如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？1-17练习513．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、•AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．14．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE•是BD的几分之几？15．已知：如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，•那么AH是BD的________倍．。

专题训练等腰三角形等边三角形 (培优班辅导)

专题训练等腰三角形、等边三角形
知识点归纳：
1、已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm，4cm,则周长为。

若两边第分别为4cm，8cm，则周长为。

2、如图是一个正五角星，请你求出每个角的度数。

第2题第3题第4题
3、（2013•玉林中考）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是．
4、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．
5、如图在△ABC中，∠BCA为90度，BD=BC，AE=AC，
求∠ECD的度数。

6、
7、
（若AD是角平分线，结论还成立吗？）
要赶着河流马群先到河边饮水，再带到草地
吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计
出最短的放牧路线。

9、
10、如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求∠P的度数。

11、。

初二数学等腰等边三角形培优题1(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑等腰等边三角形培优题11．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△DEC ，连接AD ，若∠BBB =25∘，则∠BBB =______．2．如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC ＝_____.3．如图，在△BBBBBB 中，BB BB =BBBB ，CD 是∠BBBBBB 的平分线，BB BB //BBBB ，交AC 于点E ．若∠BBBB =35∘，则∠BBB=.4．如图，等边△BBBBBB 中，AD 是中线，BBBB ⊥BBBB 于点E ，BBBB =3，则点D 到AB 的距离为：______．5．已知：在△ABC 中，AH ⊥BC ，垂足为点H ，若AB +BH =CH ，∠ABH =70∘，则∠BAC =______ ∘.6．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）（第6题）（第7题）等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ． ①②③B ． ②③④C ． ①③④D ． ①②④7．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，….若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为( )A ． 702n ⎛⎫︒ ⎪⎝⎭B ． 1702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭C ． 1702n -⎛⎫︒ ⎪⎝⎭D ． 2702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭8．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的有（填序号） 9．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为．10．如图，已知△BBBBBB 是等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE 平分∠BBBBBB ，BBBB =BBBB ，BBBB =7，则 AE 的长度是． 11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD于点F ，连接CF .若∠A =60°，∠ABD =24°，则∠ACF 的度数为．12．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 上的定点(不同于端点B 、C )，过点D 作直线l 垂直线段AB ，若点P 是直线l 上的任意一点，连接PA 、PB ，则能使△PAB 成为等腰三角形的点P 一共有_______ 个．（填写确切的数字）（第11题）（第9题）（第10题）（第8题）（第12题）（第13题）13．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，l⊥BC于点C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q，当BP= 时，PA=PQ. 14．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE,EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为___________________．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。

中考数学等腰三角形培优辅导训练试题

中考数学等腰三角形培优辅导训练试题D AF21EDCA B等腰三角形培优专练一、选择题1、下列命题正确的是[ ]A.等腰三角形只有一条对称轴B.直线不是轴对称图形C.直角三角形都不是轴对称图形D.任何角都是轴对称图形 2、等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于［］A.顶角B.顶角的21C.顶角的2倍 D 底角的213、如图, 在△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则下列判断正确的是［］A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACDC.∠A ＝∠DCBD.∠A ＝2∠BCD 4、如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足［］A.∠1＝2∠2B.2∠1＋∠2＝180°C.∠1＋3∠2＝180°D.3∠1－∠2＝180°第3题第4题5、下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；?③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③ D ．①②③④6、如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（）A ．等边三角形B ．腰和底边不相等的等腰三角形C ．直角三角形D ．不等边三角形第6题第8题7、Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠B=30°，AD=2cm ，则AB 的长度是（） A ．2cm B ．4cm C ．8cm D ．16cm8、如图，E 是等边△A BC 中AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD ，则对△ADE 的形状最准备的判断是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．不能确定形状 9、正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°10、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个A36°E DFB CCA1DB23第10题第12题11、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm，则腰长为（）A. 2cmB. 8cmC. 2cm或8cmD. 以上都不对二、填空题12、如图，ABC是等边三角形，BCBD90CBD==∠，，则1∠的度数是________。

等腰三角形的判定同步培优题典(解析版)

专题3.4等腰三角形的判定姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•肥城市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC、∠BCD 的平分线，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．2个【分析】根据已知条件和等腰三角形的判定定理，对图中的三角形进行分析，即可得出答案．【解析】共有5个．∵AB＝AC∴△ABC是等腰三角形；∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣36°）＝72°，又BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=12∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．故选：C．2．（2019秋•河西区期中）在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是（）A．△ABC是直角三角形B．△ABC是锐角三角形C．△ABC是等腰三角形D．∠A和∠B互余【分析】根据等腰直角三角形的判定解答即可．【解析】∵在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45，∴∠C＝90°，即△ABC是等腰直角三角形，∠A和∠B互余故选：B．3．（2019秋•东海县期中）△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，若∠EBC＝∠BAD，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】发现∠ABC与∠C分别是∠BAD与∠EBC的余角，得到二角相等，根据等腰三角形的判定可得答案．【解析】∵∠EBC+∠C＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD∴∠BAD＝∠CAD，∠CAD+∠C＝90°∠BAD+∠ABC＝90°∴∠ABC＝∠C∴AB＝AC∴为等腰三角形．故选：A．4．（2020春•松江区期末）如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．【解析】①、∵△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故①正确；②、∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故②正确；③∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，故③正确；④、∵△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，故④正确；即正确的个数是4，故选：D．5．（2020•海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据题意可得，以点B为圆心，BA长为半径画圆，圆与格点的交点即为符合条件的点C．【解析】如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，所以所有符合条件的点C的个数是6个．故选：C．6．（2020春•阜宁县期中）以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1cm、2cm、3cm B．3cm、3cm、4cmC．1cm、3cm、1cm D．2cm、2cm、4cm【分析】根据三角形的三边关系即可作出判断．【解析】根据三角形的三边关系可知：A.1+2＝3，不能构成三角形，不符合题意；B.3+3＞4，能构成三角形，而且是等腰三角形，符合题意；C.1+1＜3，不能构成三角形，不符合题意；D.2+2＝4，不能构成三角形，不符合题意．故选：B．7．（2020•衡水模拟）在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA．1个B．2个C．3个D．4个【分析】①②③分别从能否判定△ABD≌△ACD来分析，④从辅助线本身作法来分析即可．【解析】①作∠BAC的平分线AD交BC于点D，则由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故①正确；②取BC边的中点D，连接AD，则∠B＝∠C，BD＝CD，AD＝AD，无法判定△ABD≌△ACD，故没法证明AB＝AC，故②错误；③过点A作AD⊥BC，垂足为点D，则由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA，AD＝AD，可判定△ABD≌△ACD（AAS），从而可得AB＝AC，故③正确；④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点D，过已知点不能作出已知线段的垂直平分线，辅助线作法错误，故④错误．综上，正确的有①③．故选：B．8．（2019秋•新泰市期末）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB 于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义得到∠DBF＝∠CBF，根据平行线的性质得到∠DFB＝∠CBF，推出△BDF 是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，于是得到DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；根据三角形的内角和和角平分线的定义得到∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；推出DF不一定等于EF，故④错误．【解析】∵BF是∠AB的角平分线，∴∠DBF＝∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DBF＝∠DFB，∴BD＝DF，∴△BDF是等腰三角形；故①正确；同理，EF＝CE，∴DE＝DF+EF＝BD+CE，故②正确；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠FBC=12∠ABC，∠FCB=12∠ACB，∴∠FBC+∠FCB=12（∠ABC+∠ACB）＝65°，∴∠BFC＝180°﹣65°＝115°，故③正确；当△ABC为等腰三角形时，DF＝EF，但△ABC不一定是等腰三角形，∴DF不一定等于EF，故④错误；故选：C．9．（2019秋•江油市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．5B．4C．3D．2【分析】延长BD交AC于E，如图，利用CD平分∠ACB，BD⊥CD先判断△BCE为等腰三角形得到DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，再证明EA＝EB＝2，然后计算AE+CE即可．【解析】延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：A．10．（2019秋•西青区期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝2，ED＝6，则EB+DC的值为（）A．6B．7C．8D．9【分析】只要证明EG＝EB，DF＝DC即可解决问题．【解析】∵ED∥BC，∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，∵∠GBC＝∠GBE，∠FCB＝∠FCD，∴∠EGB＝∠EBG，∠DCF＝∠DFC，∴BE＝EG，CD＝DF，∵FG＝2，ED＝6，∴EB+CD＝EG+DF＝EF+FG+FG+DG＝ED+FG＝8，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•田家庵区期末）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．【分析】以A点为顶点的等腰三角形可作3个，以B点为顶点的等腰三角形可作3个，以AB为底边的等腰三角形可作2个．【解析】如图，△ABC是等腰三角形，这样的格点C有8个．故答案为8．12．（2019秋•永定区期末）如图，∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为124°或76°或28°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解析】∵∠AOB＝56°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝28°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝28°，∴∠OEC＝180°﹣28°﹣28°＝124°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OCE＝∠OEC=12（180°﹣28°）＝76°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝28°；故答案为：124°或76°或28°．13．（2019秋•樊城区期末）已知：如图△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ACD的度数为70°或40°或20°．【分析】分三种情形分别求解即可；【解析】如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ACD＝70°．②当CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°．③当AC＝AD″时，∠ACD″＝20°，故答案为70°或40°或20°14．（2019秋•来凤县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在坐标轴上找一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P共有6个．【分析】分类讨论：AB＝AP时，AB＝BP时，AP＝BP时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．【解析】①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P，在x轴上有1点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P，在x轴上有2点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．③当AP＝BP时，在x轴、y轴上各有一点满足条件的点P，有1点与AB＝AP时的x轴正半轴的点P重合．综上所述：符合条件的点P共有6个．故答案为：6．15．（2019秋•江油市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有9个．【分析】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标准，AB为底边；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边．【解析】①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．16．（2018秋•恩施市期末）如图，∠AOB是一钢架，∠AOB＝15°，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH，添的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管5根．【分析】因为每根钢管的长度相等，可推出图中的5个三角形都为等腰三角形，再根据外角性质，推出最大的∠0BQ的度数（必须≤90°），就可得出钢管的根数．【解析】如图所示，∠AOB＝15°，∵OE＝FE，∴∠GEF＝∠EGF＝15°×2＝30°，∵EF＝GF，所以∠EGF＝30°∴∠GFH＝15°+30°＝45°∵GH＝GF∴∠GHF＝45°，∠HGQ＝45°+15°＝60°∵GH＝HQ，∠GQH＝60°，∠QHB＝60°+15°＝75°，∵QH＝QM，∴∠QMH＝75°，∠HQM＝180﹣75°﹣75°＝30°，故∠OQM＝60°+30°＝90°，不能再添加了．故答案为5．17．（2019春•盐湖区校级月考）在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．【分析】由已知条件，根据题意，分两种情况讨论：①∠B是顶角；②∠B是底角，③∠B＝∠C＝50°，利用三角形的内角和进行求解．【解析】①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．18．（2018秋•宿松县期末）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD 为等腰三角形，则∠ADC的度数为20°或70°或100°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解析】如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝70°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝100°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝20°，故答案为：70°或100°或20°三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•邵阳县期末）如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC（1）试判定△ODE的形状，并说明你的理由；（2）若BC＝10，求△ODE的周长．【分析】（1）证明∠ABC＝∠ACB＝60°；证明∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，即可解决问题．（2）证明BD＝OD；同理可证CE＝OE；即可解决问题．【解析】（1）△ODE是等边三角形；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°；∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°，∴△ODE为等边三角形．（2）∵OB平分∠ABC，OD∥AB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ABO＝∠DBO，∴∠DOB＝∠DBO，∴BD＝OD；同理可证CE＝OE；∴△ODE的周长＝BC＝10．20．（2020•沙坪坝区自主招生）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出∠DBC＝36°，进而根据等腰三角形的判定解答即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∠A＝36°，∴BD＝AD，即△ABD是等腰三角形；（2）∵点E是AB的中点，∴AE＝EB，∴∠DEB＝90°，∴∠BDE＝90°﹣36°＝54°．21．（2019秋•嘉祥县期末）（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF之间的关系EF＝BE﹣CF．【分析】（1）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系；（2）等腰三角形有△BEO和△CFO，根据角平分线性质和平行线性质推出∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，根据等角对等边推出即可；根据BE＝OE，CF＝OF即可得出EF与BE、CF之间的关系．【解析】（1）EF＝BE+CF，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF；（2）不成立，理由：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCD，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCD，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE﹣OF＝BE﹣CF．故答案为EF ＝BE ﹣CF ．22．（2019秋•确山县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，且BE ＝CF ，BD ＝CE ．（1）求证：△DEF 是等腰三角形；（2）当∠A ＝40°时，求∠DEF 的度数．【分析】（1）由AB ＝AC ，∠ABC ＝∠ACB ，BE ＝CF ，BD ＝CE ．利用边角边定理证明△DBE ≌△CEF ，然后即可求证△DEF 是等腰三角形．（2）根据∠A ＝40°可求出∠ABC ＝∠ACB ＝70°根据△DBE ≌△CEF ，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF 的度数．【解答】证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，在△DBE 和△CEF 中{BE =CF ∠ABC =∠ACB BD =CE，∴△DBE ≌△CEF ，∴DE ＝EF ，∴△DEF 是等腰三角形；（2）∵△DBE ≌△CEF ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B =12（180°﹣40°）＝70°∴∠1+∠2＝110°∴∠DEF＝70°23．（2020•恩施州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性质求出∠ABC 即可解决问题．（2）只要证明∠FBE＝∠FEB即可解决问题．【解析】（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴BF＝EF．24．（2019秋•永城市期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABF=∠CBF=12∠ABC．根据平行线的性质得到∠ABF＝∠E，推出△BCE是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．（2）根据平行线的性质待定的∠ABC+∠BCD＝180°．根据角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF=12∠ABC．∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠E，∴∠CBF＝∠E，∴BC＝CE，∴△BCE是等腰三角形．∵F为BE的中点，∴CF平分∠BCD，即CG平分∠BCD．（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°．∵∠ABC＝52°，∴∠BCD＝128°．∵CG平分∠BCD，∴∠GCD=12∠BCD=64°．∵∠ADE＝110°，∠ADE＝∠CGD+∠GCD，∴∠CGD＝46°．。

人教版八年级数学上册等腰三角形培优专题练习

等腰三角形培优专题等腰三角形是一种特别的三角形，它拥有一般三角形的性质，同时，还拥有自己的特别性，这些特别性使它比一般三角形应用更为宽泛．等腰三角形的性质和判断为证明两个角相等和两条线段相等供给了依照．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，关于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，能够作等腰三角形底边上的高或建立等腰三角形、等边三角形找到解决问题的门路．练习1．如图，已知△A．7．5°ABC中，ABB．10°＝AC ，AD ＝C．12.5 °AE ，∠ BAED．18°＝ 30 °，则∠DEC 等于（）．2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在向来线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的均分线，且AA′＝AB＝ B′Ｂ，A′、 B 、3．如图，则∠ BDC等腰三角形＝ ________ABC．中，AB ＝AC ，∠A＝20 °．D是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连接CD ，例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延伸线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延伸线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明原因．ECA B D练习线交1．已知如图，在△CA 的延伸线于点ABC中，AB＝CD，D是F ，判断AD 与 AF 相等吗？AB 上一点，DE⊥BC ，E为垂足，ED? 的延伸2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与A ． BD>BA是等腰直角三角形，∠BA 的大小关系是（B ． BD<BABAC）＝90°，点 D 是△C． BD ＝BAABC内一点，且∠D ．没法确立DAC ＝∠DCA3．已知：如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且BE ＝AC，延伸BE 交 AC 于 F， AF 与 EF 相等吗？为何？例 3已知：如图，△ABD和△ BEC均为等边三角形，M 、N△ BMN是等边三角形吗？说明原因．剖析要说明一个三角形是等边三角形，只需能够证明这个三角形知足相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．此题只需利用三角形全等证得分别为AE 和 DC 的中点，那么“三条边相等或三个角BM ＝ BN ，且∠ MBN ＝ 60°即可．练习1．已知：如图，在等边三角形ABC 中，BD ＝ CE＝AF ，AD 与BE 交于G，BE与CF 交于H ，CF 与AD 交于K ，试判断△GHK 的形状．2．已知：如图，△是等边三角形，假如ABC 是等边三角形，M 是线段AD 的中点，E 是 AC 延伸线上的随意一点，N 是线段BE 的中点，那么△选择一点 D ，?使△ CDECMN是等边三角形吗？为何？3．已知：如图，等边三角形三角形PCD 、 QAE和RAB，则以ABC ，在 AB 上取点 D ，在P、 Q 、 R 为极点的三角形是等边三角形，请说明原因．＝ AE ，作等边例 4已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ A＝100°，∠ ABC的均分线交AC 于 E ，试比较AE+BE与BC的大小？A AE EB C B C练习1．如图，在△CF ⊥ AB 于 F，那么ABC中，AB＝AC，PPD+PE 与 CF 相等吗？为底边BC 上的一点，PD ⊥AB于 D，PE⊥AC 于 E，2．已知：如图，△ABC和△ ADE都是等边三角形． B 、 C 、 D 在一条直线上，说明CE 与AC+CD相等的原因．连接3．已知：如图，△ABCAE ，则AD_______AE+AB是等边三角形，延伸AC ．（填“ >”或“＝”或“到<”）D ，以BD 为一边作等边三角形BD，E。

八年级数学下----等腰三角形和等边三角形培优练习题

八年级数学下----等腰三角形和等边三角形培优练习题一、填空选择题:1．如下图1，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝60°，则CD 的长为（） A ．32 B ．23C ．12D ．342．如上图2，△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，若BC ＝6，则DF 的长是（）（A ）2 （B ）3 （C ）25（D ）4 3．如上图3，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是（）A ．(4，0) B ．（1．0） C ．（-22，0） D ．（2，0）4．如上图1，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（）A ．20B ．30C ．35D ．405．如上图2，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分么BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( ) A ．7+5 B ．10 C ．4+25 D ．126．如上图3，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 、CE 分别是△ABC 、△BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（） (A)5个 (B)4个 (C)3个 (D)2个7.在等腰ABC △中，AB AC ，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A ．7B ．11C ．7或11D ．7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ． 9．已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是． 10.在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_ 度．AD CP60°ED CBA(第6题) BA D C11.如下图1，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA＝CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（）A ．13 B ．12 C ．23D ．不能确定12．如下图2，等腰△ ABC 中，AB=AC ，∠A=20°。

八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：等腰三角形

八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：等腰三角形【思维入门】例如图，BD是等腰AABC底边AC 上的高线，DE〃BC角AB于点E,求证：ΔBED是等腰三角形。

例1—1：如图，ZABC的平分线BF与AABC中ZACB相邻的外角的平分线CF相交于点F,过点F作DF〃BC, 交AB 于点D,交AC于点E, （1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。

（2） BD, CE, DE之间存在着什么关系？请证明。

【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30。

，则等腰三角形的顶角为例3：如图，在AABC 中，AB=AC, ZBAD=20°,且AD=AE,则ZCDE=例4：如图，在ZkABC 中，AB=AC, AD=DE, ZBAD=20% ZEDC=IO0,则ZDAE 的度数为 ______________________________________________________________________________________________【思维升华】例5：老师布宜了一道思考题: 如图1,点M, N分别在正三角形ABC的BC, AC边上，⅛ BM=CN, AM. BN交于点Q,求证：ZBQM = 60%（1）请你完成这道思考题;（2）做完（I）后，同学们在老师的启发下进行了反思.提岀了许多问题，如:①若将题中“BM=CK'与2BQM = 60尸的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BG AC的延长线，是否仍能得到ZBQM=60。

？③若将题中的条件“点卜1, N 分别在正三角形ABC的BGAC边上'改为“点MN分别在正方形ABCD的BGCD边上，，是否仍能得到ZBQM =60°?请你作出判断，在下列横线上填写“是"或“否① __________出证明。

_____ U对②，③的判断，选择一个给【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一泄可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，∆ABC 中，设ZA= α , ZB=0, ZC=/。

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等腰三角形培优提高
练习题
一．选择题（共6小题）
1．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是
（）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平
分线且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

（第2题）（第3题）（第4题）

3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点
O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，△ABC的面积为8cm
2
，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为

（）
A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2
5．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则
这个等腰三角形的底边长为（）
A．7 B．11 C．7或11 D．7或10
6．如图：D，E分别是△ABC的边BC、AC上的点，若AB=AC，AD=AE，则（）

A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值
C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值
二．填空题（共8小题）
7．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为
5cm，则腰长为 cm．
8．如图，在△ABC中，EG∥BC，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，AB=10，AC=12，△
AEG的周长为．

（第8题）（第9题）（第10题）
9．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=DB，DC=CA，则∠
BAC= °．
10．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P．若△ABC的面积为32cm
2
，

BP=6cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍．则AP= cm．
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则该等腰三角形的底角的度数
为．
12．如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2，则
六边形的周长是．

（第12题）（第14题）（第14题）
13．如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上的一点，OC=10cm，动点P从点C出发沿CB
以2cm/s的速度移动，动点Q从点O发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时
出发，用t（s）表示移动的时间，当t= 时，△POQ是等腰三角形．
14．如图：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，在直线AC上找点P，使△ABP是
等腰三角形，则∠APB的度数为．
三．解答题（共15小题）
15．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点F，
交AC于点E．求证：△AEF为等腰三角形．

17．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE
的平分线与AD交于点D，连接CD．
（1）求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．
（2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

18．如图（1），等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△
EDC，连接AE．
（1）△DBC和△EAC会全等吗？请说说你的理由；
（2）试说明AE∥BC的理由；
（3）如图（2），将（1）动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是
否仍有AE∥BC？证明你的猜想．
19．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC．
求证：△BDE是等腰三角形．

20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB
于E．
求证：△BDE是等腰三角形．

21．如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
22．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AE=AC，BD=BC．求证：∠
DCE=45°．

23．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，O为△ABC内一点，且∠OBC=10°，∠
OCA=20°，求∠BAO的度数．

24．如图，△ABC是边长为l的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，
以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三
角形，
求证：△AMN的周长等于2．

25．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，
BD=CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
26．如图：
（1）P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，
交CA的延长线于点R．请观察AR与AQ，它们有何关系？并证明你的猜想．
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，
（1）中所得的结论还成立吗？请你在图（2）中完成图形，并给予证明．

27．（1）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E在边AB上，且AD=AC，
BE=BC，求∠DCE的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=40°，点D、E在直线AB上，且AD=AC，BE=BC，
则∠DCE= ；
（3）在△ABC中，∠ACB=n°（0＜n＜180°），点D、E在直线AB上，且AD=AC，
BE=BC，求∠DCE的度数（直接写出答案，用含n的式子表示）．
28．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于
直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG．
（1）求∠DFG的度数．
（2）设∠BAD=θ，当θ为何值时，△DFG为等腰三角形？