2014-2015上学期厦门一中高三数学期中考试卷(理)
2014-2015福建省厦门市高三(上)质量检查(含答案)
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：V Sh =柱.其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．设集合{}|20A x x =+>，|B x y ⎧==⎨⎩,则A B = A ．{|2}x x >- B ． {|3}x x < C ．{|32}x x x ><-或 D ． {|23}x x -<< 2. 已知命题:p 0x R ∃∈，01sin 2x ≥，则p ⌝是 A ．1,sin 2x R x ∀∈≤B ．1,sin 2x R x ∀∈< C ．001,sin 2x R x ∃∈≤D ．001,sin 2x R x ∃∈< 3.已知向量()1a m,= ,()22b m ,= ,+0a b λ= 则m =A. 0B. 2C. 0或2D. 0-2或 4.曲线23y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的封闭图形的面积是 A. 1 B.3 C. 7 D. 85.函数()sin y x x x R =+∈的图象的一条对称轴经过点A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,6π C. 03,π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,3π 6. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥ B. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若//,//l m αα，则l // m 7.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是方程2160x x c -+=(64)c <的两实根， 则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1768.在直角坐标系中，函数()1 sinf x xx=-A9 . 椭圆2:13Ea+=的右焦点为F B两点.若△FAB周长的最大值是8，则m的值为A. 0B.1C.D. 210. 设函数[]35211*()(1),(0,1,)3!5!(21)!nnnx x xf x x x n Nn--=-+-+-∈∈-，则A.23()sin()f x x f x≤≤ B.32()sin()f x x f x≤≤C. 23sin()()x f x f x≤≤ D.23()()sinf x f x x≤≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11.已知sin2cosαα=,则tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____.13. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与圆22(5)9x y-+=相切，则双曲线C的离心率为.14.已知数列{}n a中，13a=，()130nn na ab b++=>，*n N∈.①当1b =时，712S =； ②存在R λ∈,数列{}nn a bλ-成等比数列；③当()1b ,∈+∞时，数列{}2n a 是递增数列； ④当()01b ,∈时， 数列{}n a 是递增数列.以上命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）.（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分． 15. （1）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，且103xA y -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. （2）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos 1ρθ=，圆C 的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则圆心C 到直线的距离等于_____________(3)（选修4-5：不等式选讲）已知,x y R +∈且22x y +=的最大值等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题12分） 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点（0，12）,且相邻两条对称轴间的距离为2π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1cos 22A f A ()-=， 且1,3bc b c =+=，求a 的值. 17. （本小题12分）如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线交于点O, DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：AC ⊥ BE ；(Ⅱ)若120o ADC ∠=，2DE =，BE 上一点F 满足//OF DE求直线AF 与平面BCE 所成角的正弦值.A18. （本小题12分）已知梯形OABC 中，21OA OC AB ===,OC //AB ，3π=∠AOC ,设OA OM λ=,μ=()00,λμ>>, ()12OG OM ON =+,如图： (Ⅰ)当1124,λμ==时，点O,G,B 是否共线，请说明理由； (Ⅱ) 若OMN ∆,求OG 的最小值.19. （本小题13分）营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）.某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主， 1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元； 1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(Ⅰ)如果某学生只吃食物A ，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(Ⅱ) 根据营养学家的建议，同时使得花费最低，学生每天需要同时吃食物A 和食物B 各多少千克.20. （本小题13分）已知抛物线E :x y 42=,点(),0F a ，直线:,l x a =-，0a >，且a 为常数. (Ⅰ) 当1a =时，P 为直线l 上的点,R 是线段PF 与y 轴的交点.若点Q 满足:,RQ FP PQ l ⊥⊥,判断点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线E 于A,B 两点, 直线OA ,OB 分别与直线x a =-交于M ,N 两点.，求证：以MN 为直径的圆恒过定点并求定点的坐标.21. （本小题14分）设函数()*()ln 1,2,1n f x ax x n N n a =--∈≥> .（Ⅰ）当2a =，2n =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个零点12x ,x .(i)求a 的取值范围； (ii)求证：2212n x x e->（e 为自然对数的底数）.厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：三、解答题： 16．（本小题满分12分）本题主要考查三角函数的对称性、周期性与单调性，两角和与差的正弦公式及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想与数形结合思想． 解：（Ⅰ）由()f x 的图象过点（0，12），得1sin 2ϕ= 又02πϕ<<，6πϕ∴=……………………………………………………………….………1分由相邻两条对称轴间的距离为2π，知()f x 的周期T=π…………………………………….2分 则2ππω=，2ω∴=……………………………………………………………………………3分()sin(2)6f x x π∴=+…………………………………………………………………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，………………………………………………..….5分得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈…………………………………………..….6分（Ⅱ）由1cos 22A f A ()-=，可得1sin()cos 62A A π+-=11cos cos 22A A A +-=11cos 22A A -=…………………………..…7分 化简得，1sin()62A π-=………………………………………………………………………8分50,666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………………….……9分66A ππ∴-=，即3A π=………………………………………………………….………….10分又bc =1，b+c=3，据余弦定理可得22222cos ()36a b c bc A b c bc =+-=+-= …………………………………………….11分a ∴=…………………………………………………………………………………..…..12分17．（本小题满分12分）本题考查空间线面位置关系以及利用空间向量这一工具解决立体几何中有关长度、角度、垂直、平行问题的能力.考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了转化与化归思想以及方程思想的应用能力. (Ⅰ)证明：,DE ABCD AC ABCD ⊥⊂平面平面， DE AC ∴⊥ …………….……..…….1分四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，……………………………………………………..2分 又DEBD D =，E AC BD ∴⊥平面 ，……………………………………………..…… 4分BE BDE ⊂平面，∴AC BE ⊥ …………………5分（Ⅱ）（解法一）,//DE ABCD OF DE ⊥平面 ，O F A B C D ∴⊥平面，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………….…6分依题意可得(0,1,0),((0,1,2),(0,0,1)A B C E F -，(AF =，(1,0)BC =-，(0,1,1)BF =-, …………………………………7分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩………………8分取(1,3,n =- ,……………………………………………………………………...……9分则2cos ,7||||AF n AF n AF n ⋅-<>===, ………………………………………….…11分 设直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则21sin |cos ,|AF n θ=<>=12分 (Ⅱ)（解法二）,//DE ABCD OF DE ⊥平面，OF ABCD ∴⊥平面，..6分由题意可得 112O F D E ==，AO OC ==1BO OD ==，..……7分xABE CE ==……………………………………….……8分2AF ==，212BCE S BC ∆==………………………………………………….…9分 连接AE ，设点A 到平面BCE 的距离为d ,A BCE E ABC V V --=，即1111(1)23332BCE ABC S d S DE ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯ ,解得7d = ，………….…11分 所以直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin d AF θ==. ………………..……12分 18．（本小题满分12分）本题考查平面向量基本定理、几何性质、模与数量积的运算，以及基本不等式等知识的综合应用，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法.解法一：(Ⅰ)当11,24λμ== 时，12OB OA AB OA OC =+=+………………………….…..2分 （或：依题意2,//OC AB OC AB =12OB OC OA ∴=+ )111111()()()222442OG OM ON OA OC OA OC =+=+=+..3 4O B O G ∴=…………………………………………….……...4分//OB OG ∴……………………………………………………..5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………..6分 (Ⅱ) 1sin 23OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= ………………………………8分 ()()1122OG OM ON OA OC λμ=+=+ ()22222124OG OA OC OC OA λμλμ=++⋅…………………………..……………………..9分 ()2222112cos 434πλμλμλμλμ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭……………………………………10分33416λμ≥=……………………………………….…...11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43 …………………………….…….12分 解法二：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系…………….…..1分(Ⅰ)15(0,0),(1,0),((,24O A C B ………………….………….…2分54OB ⎛∴= ⎝⎭()()111111151,0,,222448221616OG OM ON OA OC ⎛⎫⎛⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………3分 4OB OG ∴=……..………………………………………………………………………………4分 //OB OG ∴……………………………………………………………………………………….5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………………………………………….6分(Ⅱ) 1sin 23416OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= …………………….……….8分()12,0,24M N G λμλμμμ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………….…….……9分=()22222144λμμλμλμ⎫+⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………….…..……10分 33416λμ≥= …………………………………………….…11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43…………………………..………12分19．（本小题满分13分）本题主要考查二元一次不等式（组）的区域表示，线性规划问题等相关概念，考查学生应用线性规划思想解决实际生活问题的能力以及数据处理能力，同时考查了数形结合、转化与化归等数学思想方法.解：(Ⅰ) 如果学生只吃食物A ，则当蛋白质摄入量在[60，90]（单位：克）时，则食物A 的重量在[1，1.5] （单位：千克），其相应的脂肪摄入量在[9，13.5] （单位：克），不符合营养学家的建议；……………………….2分 当脂肪摄入量在[9，27] （单位：克）时，则食物A 的重量在[2，3] （单位：千克），相应的 蛋白质摄入量在[120，180] （单位：克），不符合营养学家的建议. ………………………….4分 (Ⅱ)设学生每天吃x 千克食物A ，y 千克食物B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0272791890306060y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0332322y x y x y x ，分作出其相应的可行域，如图阴影部分所示…....8分 每天的伙食费为2015z x y =+……..………….9分由⎩⎨⎧=+=+2322y x y x 解得42(,)55M作直线0:20150l x y +=，平移0l 过点M 时，z 有最小值………………………………………………………………………………………..10分所以min 4220152255z =⨯+⨯=………………………………………………….………….…12分所以学生每天吃0.8千克食物A ，0.4千克食物B ，既能符合营养学家的标准又花费最少.………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）本题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线的方程、圆的方程等基本知识.本题通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查学生运算求解能力以及应用解析几何知识解决问题的能力.考查数形结合思想与方程思想等数学思想.(Ⅰ)解法一:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线1分因为O 点为FC 的中点且O R ∥PC,所以R 点为线段PF 的中点.又因为R Q ⊥PF,所以QR 为PF 的垂直平分线,可知PQ=QF. ………4分根据抛物线定义,Q 点在抛物线E :x y 42=上,如图所示. ………5分解法二:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线 设P 点坐标为(0,1y -),则直线PF 的方程为)1(210--=x y y ……………………….……….2分 R 点坐标(0,021y ),直线RQ 的方程为00212y x y y +=…………………………….…………..3分 又直线PQ 的方程为0y y =.故Q 点坐标为),41(020y y ………………………………………….4分 把Q 点代入x y 42=,满足方程,即Q 点在抛物线E :x y 42=上………………………….……5分 (Ⅱ)解法一: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .①当直线AB 的斜率不存在时,设直线AB 的方程为a x =,求得)2,(a a A ,)2,(a a B -)2,(),2,(a a N a a M ---,显然以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………………..………6分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)(a x k y -=,代入x y 42= 得0)42(22222=++-k a x ak x k .设)2,(11x x A )2,(22x x B -由韦达定理得2212221,42a x x kak x x =+=+………….……7分 又求得212,2x K x K OB OA -==.故直线OA 的方程:x x y 12=,直线OB 的方程:x x y 22-= ………………………………8分得到)2,(),2,(12x a a N x a a M ---………………………………………………………………..9分由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=, …………………………………………………..………………………….10分 求得),2,(2x a m a ---=)2,(1x a m a --=代入上式得…………………..………11分04)(2122=-+x x a m a ,⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).……………………….………13分 解法二: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(221y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………………7分 又求得214,4y K y K OB OA ==.故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= …………………….………………8分 得到)4,(),4,(21y aa N y a a M ----…………………………………………………………….……9分 由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=,………………………………………………………………………….……….10分 求得),4,(1y a m a ---=)4,(2y am a ---=.代入上式得………………………………11分016)(2122=++y y a m a ⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..………….………13分解法三: 设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(222y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………..………6分又求得214,4y K y K OB OA ==. 故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= ………………………….….………7分 得到)4,(),4,(21y a a N y a a M ----……………………………………………………….………8分 以MN 为直径的圆的圆心(a -,)22(21y a y a +-),半径|22|21y ay a r -=…………….……………9分 故圆的方程2212212)22()22()(y a y a y a y a y a x -=++++ 化简得016)(4)(212212122=+++++y y a y y y y a y a x ……………………………………………11分由韦达定理结论可得04)(422=-+++a y a x yt满足题目要求只须对于任意非零实数t 上式恒成立.解得⎩⎨⎧=--=02y a a x ,⎩⎨⎧=-=02y a a x .故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..……………….13分 21．（本小题满分14分）本题考查函数与导数的基础知识、导数的应用、方程的解及不等式证明等问题，考查运算求解能力，考查了分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想． （Ⅰ）依题意得：由已知得()0x ,∈+∞，2,2n a ==，21144122()x x x f x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'∴== ………………………………………….……… 1分令 ()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<, …………………..………………… 2分则函数()f x 在102,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，…………………………..… 3分11ln 222f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值,且无极大值..………………….………………..…4分（Ⅱ）(i)11()n f x nax x -'=-，1a >，令11()010n n f x nax nax x -'=-=⇒-=，设0x =，…………..………………..…… 5分函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x ,+∞上单调递增，函数()f x 存在两个零点，∴函数的最小值0()0f x <，………………….…………….… 6分则()0111()1ln 1f x a na na n n=⋅-=+-， 即()11ln 10na n n +-<，111n a e n-∴<<，…………………………………………...……… 7分 又11n n na ee-+<<，111n nn e na +-⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， 111+10nn n n n n f e a e n ++--⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝， (8)分011nx na=<，且1a >，()110f a ∴=->， 根据零点存在性定理可知()f x 在()00x ，和()0,x +∞各有一个零点………………………..…9分（ii ）解法一：不妨设1x >2x ,依题意得：1122ln 1...........ln 1..........n n ax x ax x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，①-②得：()1212ln ln n na x x x x -=-，①+②得：()()1212ln 2nn a xx x x +=+，…………………………………………..……… 10分又1212ln ln n nx x a x x -=-，()()()12121212ln ln ln 2n nn nx x x x x x x x -+∴+=-，设121x t x =>，()12ln x x ∴=()1ln 21n n t t t +⋅--，……………………………… …………..… 11分 欲证2212n x x e ->，只要证：()122ln 2x x n >-，即证：()12ln 1n n t t t n+⋅>-，……………… 12分即证：21ln 1n n t t n t ->⋅+，设()()21ln 11n n t g t t t n t -=-⋅>+，()()()()()()2212221411220111nnnn n n n t t t ntg t t n t t t t t -+--'=-⋅==>+++， ()g t ∴ 在()1,+∞上递增，()()10g t g ∴>= ， ……………………………..…....… 13分21ln 1n n t t n t -∴>⋅+， ()12ln 1n n t t t n+∴⋅>- ，2212nx x e-∴> …………………………………………………..… 14分。
福建省厦门一中高三数学上学期期中试题 文(含解析)
2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分）1．集合M={y|y=lg（x2+1），x∈R}，集合N={x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（1，+∞）D．（0，1]2．设复数z满足=（）A．0 B．1 C．D．23．“a＜b＜0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知•=﹣12，||=4，和的夹角为135°，则||为（）A．12 B．6 C．D．35．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．156．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知数列{a n}中，a3=，a7=，且{}是等差数列，则a5=（）A．B．C．D．8．函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．9．平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，M为OC的中点，若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．B．﹣C．3 D．﹣310．给出下列四个命题：①f（x）=sin（2x﹣）的对称轴为x=，k∈Z；②若函数y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，则a=2；③函数f（x）=sinxcosx﹣1的最小值为﹣；④函数y=sin（x+）在[﹣]上是增函数，其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（每小题5分）13．已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值为．14．已知等差数列{a n}中，a3=，则cos（a1+a2+a6）= ．15．已知点A（2，4）在抛物线y2=2px上，且抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．16．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题17．（12分）（2015秋•厦门校级期中）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S1，S3，S2成等差数列，且a1﹣a3=3，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n，并求满足S n≤2的n的值．18．（12分）（2015秋•厦门校级期中）已知函数f（x）=﹣3，=（2sinx，4），=（2cosx，cos2x）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若f（A）为f（x）的最大值，且a=2，sinC=sinB，求△ABC的面积．19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）（2014•黑龙江）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．四、选修4-4坐标系与参数方程22．（10分）（2014•黑龙江）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．五、选修4-5：不等式选讲23．（2014•黑龙江）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．集合M={y|y=lg（x2+1），x∈R}，集合N={x|4x＞4，x∈R}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．[0，1）C．（1，+∞）D．（0，1]【考点】对数函数的值域与最值；交集及其运算；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题．【分析】根据所给的两个集合中的对数和指数式的特点，首先根据对数中真数的范围求出对数的范围，再根据指数的底数大于1，求解指数不等式，最后求交集得到结果．【解答】解：∵x2+1≥1∴集合M={y|y=lg（x2+1），x∈R}={y|y≥0}集合N={x|4x＞4，x∈R}={x|4x＞41}={x|x＞1}∴M∩N=（1，+∞）故选C【点评】本题考查指数函数与对数函数的值域和定义域，本题解题的关键是求出两个集合中的元素的范围，最后求交集，本题是一个基础题．2．设复数z满足=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．【专题】计算题．【分析】化简复数方程，求出复数z为a+bi（a、b∈R）的形式，然后再求复数|1+z|的模．【解答】解：由于，所以1﹣z=i+zi所以z=═则|1+z|=故选C．【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，复数求模，是基础题．3．“a＜b＜0”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】利用不等式的性质判断出“a＜b＜0”则有“”，通过举反例得到，“”成立，推不出“a＜b＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：由a＜b＜0，得，﹣a＞﹣b＞0，由不等式的性质可得，＞0；反之则不成立，例如a=1，b=2满足，但不满足“a＜b＜0”∴“a＜b＜0”是“”的充分不必要条件，故选A．【点评】此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，此题可以举反例进行求解，属基础题．4．已知•=﹣12，||=4，和的夹角为135°，则||为（）A．12 B．6 C．D．3【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【专题】计算题．【分析】利用两个向量的数量积的定义可得=cos135°，把=4代入求得的值．【解答】解：由题意利用两个向量的数量积的定义可得=cos135°=4•（），解得=6，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．3 C．7 D．15【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S 值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值，∵跳出循环的k值为3，∴输出S=1+2+4=7．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，求得cos （+2α）的值．【解答】解：∵tanα=2，α∈（0，π），则cos（+2α）=cos（+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣=﹣═=﹣，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．7．已知数列{a n}中，a3=，a7=，且{}是等差数列，则a5=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】设等差数列{}的公差为d，则=+4d，解出d，即可得出．【解答】解：设等差数列{}的公差为d，则=+4d，∴=+4d，解得d=2．∴=+2d=10，解得a5=．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．函数y=x+cosx的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化；函数的图象．【专题】计算题；数形结合．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、C两个选项，再看此函数与直线y=x的交点情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A、C；又当x=时，x+cosx=x，即f（x）的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为，排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，属于中档题．9．平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，M为OC的中点，若=（2，4），=（1，3），则等于（）A．B．﹣C．3 D．﹣3【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意画出图形，利用向量的加法法则与减法法则，结合坐标运算得到的坐标，则答案可求．【解答】解：如图，∵ABCD为平行四边形，且AC与BD交于点O，M为OC的中点，∴，又=（1，3），∴，则=（），又=（2，4），∴=（﹣1，﹣1），则=（﹣1，﹣1）•（）=（﹣1）×（）+（﹣1）×（﹣）=3．故选：C．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减法及数量积的坐标表示，是中档题．10．给出下列四个命题：①f（x）=sin（2x﹣）的对称轴为x=，k∈Z；②若函数y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，则a=2；③函数f（x）=sinxcosx﹣1的最小值为﹣；④函数y=sin（x+）在[﹣]上是增函数，其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；三角函数的图像与性质．【分析】求出函数的对称轴方程判断①；由周期公式求出a值判断②；利用倍角公式化简，进一步求出函数的最小值判断③；由函数的单调性判断④．【解答】解：①由，得x=，k∈Z，∴f（x）=sin（2x﹣）的对称轴为x=，k∈Z，①正确；②若函数y=2cos（ax﹣）（a＞0）的最小正周期是π，则，即a=2，②正确；③函数f（x）=sinxcosx﹣1=，最小值为﹣，③正确；④当x∈[﹣]时，x[﹣]，∴函数y=sin（x+）在[﹣]上不是单调函数，④错误．∴正确命题的个数是3个．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是基础题．11．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．12．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．二、填空题（每小题5分）13．已知实数x，y满足条件，则z=x﹣2y的最大值为﹣2 ．【考点】简单线性规划．【专题】作图题；数形结合；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=x﹣2y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2﹣2×2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知等差数列{a n}中，a3=，则cos（a1+a2+a6）= ﹣1 ．【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等差数列的通项公式求得a1+a2+a6，则cos（a1+a2+a6）可求．【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，且a3=，∴a1+a2+a6=，∴cos（a1+a2+a6）=cosπ=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了三角函数的求值，是基础的计算题．15．已知点A（2，4）在抛物线y2=2px上，且抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求出p，得到抛物线的准线方程，进一步求出双曲线的半焦距，结合离心率求得a，再由隐含条件求出b，则双曲线方程可求．【解答】解：∵点A（2，4）在抛物线y2=2px上，∴16=4p，即p=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣2．又抛物线的准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，则c=2，而，∴a=1，则b2=c2﹣a2=4﹣1=3．∴双曲线方程为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查了双曲线方程的求法，是基础题．16．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是[﹣6，﹣2] ．【考点】函数恒成立问题．【专题】导数的综合应用．【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*），当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣，由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．故答案为：[﹣6，﹣2]．【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题．三、解答题17．（12分）（2015秋•厦门校级期中）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S1，S3，S2成等差数列，且a1﹣a3=3，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n，并求满足S n≤2的n的值．【考点】等比数列的前n项和．【专题】综合题；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，由S1，S3，S2成等差数列，且a1﹣a3=3，可得2S3=S1+S2即=a1（2+q），=3，解出即可得出．（II）利用等比数列的前n项和公式，并对n分类讨论即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵S1，S3，S2成等差数列，且a1﹣a3=3，∴2S3=S1+S2即=a1（2+q），=3，解得a1=4，q=﹣．∴．（II）S n==．，当n为奇数时不满足，当n为偶数时，S n==≤2，解得n=2．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其的前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015秋•厦门校级期中）已知函数f（x）=﹣3，=（2sinx，4），=（2cosx，cos2x）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及此时x的值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若f（A）为f（x）的最大值，且a=2，sinC=sinB，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的图像与性质；解三角形；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式f （x）=4sin（2x+）﹣1，由正弦函数的图象和性质即可解得最大值及此时x的值．（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）可得：A=．利用正弦定理及sinC=sinB，可得c=，由余弦定理可得b，c，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）=﹣3=4sinxcosx+4cos2x﹣3=2sin2x+4×﹣3=2sin2x+2cos2x﹣1=4sin（2x+）﹣1…4分所以，当2x+=2kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值3，此时，x=k，k∈Z…6分（Ⅱ）∵f（A）为f（x）的最大值及A∈（0，π），由（Ⅰ）可得：A=…7分∵sinC=sinB，∴c=，由余弦定理可得：，把A=，a=2代入解得：b=2，可得c=2．∴△ABC的面积s=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．20．（12分）（2014•黑龙江）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】椭圆的应用．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）（2013•天津）设a∈[﹣2，0]，已知函数（Ⅰ）证明f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义；导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）令，．分别求导即可得到其单调性；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．已知曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，可知x1，x2，x3互不相等，利用导数的几何意义可得．不妨x1＜0＜x2＜x3，根据以上等式可得，从而．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，利用二次函数的单调性可得．由，解得，于是可得，通过换元设t=，已知a∈[﹣2，0]，可得，故，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）令，．①，由于a∈[﹣2，0]，从而当﹣1＜x＜0时，，所以函数f1（x）在区间（﹣1，0）内单调递减，②=（3x﹣a）（x﹣1），由于a∈[﹣2，0]，所以0＜x＜1时，；当x＞1时，，即函数f2（x）在区间（0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．综合①②及f1（0）=f2（0），可知：f（x）在区间（﹣1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：f′（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．因为曲线y=f（x）在点P i（x i，f（x i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且．不妨x1＜0＜x2＜x3，由+a=．可得，解得，从而．设g（x）=3x2﹣（a+3）x+a，则．由，解得，所以，设t=，则，∵a∈[﹣2，0]，∴，故，故．【点评】本题主要考查了导数的运算与几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想、化归思想、函数思想，考查了分析问题和解决问题的能力．四、选修4-4坐标系与参数方程22．（10分）（2014•黑龙江）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．【考点】参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD 和直线l的斜率相等求得cotα 的值，可得α 的值，从而得到点D的坐标．【解答】解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）由于点D在C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．【点评】本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．五、选修4-5：不等式选讲23．（2014•黑龙江）设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f （x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a 的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．- 21 -。
2008-2009学年福建厦门第一中学第一学期高三期中考试理
2008-2009学年度福建省厦门第一中学第一学期高三期中考试数学（理科）试卷第Ⅰ卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么（A U）B 等于A ．{}5B ．{}8,2C ．{}1,3,7D ．{}1,3,4,5,6,7,8 2、已知函数y=2sin （ωx+φ）（ω>0）在区间[0，2π]的图像如下, 那么ω=A ．4B ．2C ．12D ．143．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A ．R x x y ∈-=,3B ．R x x y ∈=,sinC ．R x x y ∈=,D ．R x x y ∈=,)21(4．设p ∶12x -<，q ∶5x >，则⌝p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、已知3(,),tan 224ππαα∈-=-，则sin α= A ．45 B ．35- C ．45-D ．35±6．若ab ＜0, bc ＜0, 则直线ax + by + c = 0所经过的象限是 A ．1、2、3B ．1、2、4C ．1、3、4D ．2、3、47．如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足β γ＝l , l ∥α, m ⊂α且m ⊥γ, 则必有 A ．m ∥β且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ．α⊥γ且l ⊥mD ．α∥β且α⊥γ8、设函数f （x ）=2(1)2x ⎧+⎪⎨-⎪⎩ 11x x <≥，(10),a f =则f （a ）＝A ．9B ．12C ．14D ．169、设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则42S a = A ． 2 B ． 4 C ．152D ．17210、在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的法向量为→a ＝（2, –2, 1）, 已知P （－1, 3, 2），则P 到平面OAB 的距离等于A ．4B ．2C ．3D ．111、由曲线2,2,1xy e x y ===围成的平面图形的面积等于A ．41(4)2e - B ．41(5)2e - C ．44e -D ．45e -12、2()(2)3,(3)f x x f x f ''=-已知则＝A ．－13B ．－3C ．23D ．3二、填空题（每题4分，共16分）13、等差数列 {a n }的前n 项和为23n S n bn c =++，若3a ＝17，则10a ＝ .14、若一个几何体的三视图都是直角边为6的全等的等腰直角三角形（如图），则这个几何体的体积等于15．若2402x x ->-则x 的取值范围是 16、动点P （x ，y ）在平面区域()()11014x y x y x ⎧-+++≥⎨-≤≤⎩上移动，2z x y =-，则z 的取值范围是 。
福建省厦门第一中学2016届高三上学期期中考试理数试题
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1、设全集{}{}{}15,1,2,5,14U x Z x A B x N x =∈-≤≤==∈-<<，则U B C A =（ ）A 、 {}3B 、 {}0,3C 、 {}0,4D 、 {}0,3,4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意{1,0,1,2,3,4,5}U =-，所以{1,0,3,4}U C A =-，{0,3}U B C A =，故选B ．考点：集合的运算． 2、在复平面内，复数21iz i+=-， 则其共轭复数z 对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、 第三象限 D 、第四象限 【答案】D考点：复数的运算，复数的几何意义． 3、下列说法错误的是（ ）A 、命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B 、"1"x >是"1"x >的充分不必要条件 C 、若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D 、命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则:",p x R ⌝∀∈均有210"x x ++≥【答案】C 【解析】试题分析：逆否命题是把条件与结论交换并都加以否定所得，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，A 正确；由11x x >⇒>，但1x >时，不能得出1x >，如2x =-，B 正确；p 和q 中一假一真时，p 且q 也为假命题，C 错误；命题的否定就是把结论否定，条件不变，但存在量词与全称量词要互换，命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定为",x R ∀∈均有210"x x ++≥，D 正确．故选C ． 考点：命题真假的判断（四种命题，充分必要条件，复合命题的真假，命题的否定）． 4、已知数列{}n a 为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（ ） A 、、、【答案】C考点：等比数列的性质，三角函数求值．5、如果,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为030和045，则A 点离地面的高AB 等于（ ）A 、10mB 、C 、)51m D 、)51m【答案】D 【解析】 试题分析：10tan 30tan 45AB AB-=︒︒，解得1)AB =．故选D ．考点：解三角形的实际应用．CBA6、已知函数()()1222,1log 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）A 、 74-B 、 54-C 、 34-D 、 14- 【答案】A考点：分段函数．7、函数()()()0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，若2AB BC AB ⋅=，则ω等于（ ）A 、6π B 、 4π C 、 3π D 、 12π 【答案】A 【解析】试题分析：由三角函数的对称性知22AB BC AB BD AB BD ⋅=⋅=⋅222cos()AB ABD AB π-∠=，所以1cos 2ABD ∠=-，即23ABD π∠=，623T AD π===，12T =，2126ππω==．故选A ． 考点：8、变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ） A 、 —2 B 、 —1 C 、 1 D 、 2 【答案】C 【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域如图ABO ∆内部（含边界），联立2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩，解得A （22,2121mm m --）， 化目标函数z =2x ﹣y 为y =2x ﹣z ，由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为42422212121m mm m m --==---，解得：m =1．故选C ．考点：简单的线性规划．9、已知(),,,xf x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f aB b a f a f b =-=-+，则,A B 的大小关系是（ ）A 、 AB > B 、 A B ≥C 、 A B <D 、A B ≤ 【答案】C考点：指数函数的性质，比较大小．【名师点睛】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．本题还可以用构造法解题．如下图易知：A 为曲边梯形面积；B 为梯形MNPQ 面积，故B>A ,故选C ．10、函数ln 1y x =-的图象与函数()2cos ,24y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A 、3B 、 6C 、 4D 、 2 【答案】 BP考点：函数的图象的作法，函数图象的交点． 11、设函数()f x 在R 上存在导数()/,fx x R ∀∈，有()()2f x f x x -+= ，在()0,+∞上()/f x x ≤，若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为（ ）A 、 []2,2-B 、 [)2,+∞C 、 [)0,+∞D 、 (][),22,-∞+∞【答案】B考点：利用导数研究函数的单调性．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．作为选择题可以采取特殊值法，即构造特殊函数，令()212f x x x =- ，符合题意，代入求解可得.12、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足()111,10,1,01n n n n na a a m m a a a +->⎧⎪=>=⎨<≤⎪⎩ ，则下列结论错误的是（ ）A 、 若34a =，则m 可以取3个不同的数；B 、若m =，则数列{}n a 是周期为3的数列； C 、 存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；D 、对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．【答案】C 【解析】试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =<≤时，由34a =得54m =；2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .B:234111,11,1,m a a a =>∴=<==>=> 所以3T =，正确．C ：命题较难证明，先考察命题D ．D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13、已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 5α=-，则tan α= ． 【答案】2考点：同角三角函数基本关系．14、曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 【答案】16【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0， 直线y=x 与曲线y=x 2所围图形的面积120()S x x dx =-⎰，而12230111111()()023236x x dx x x -=-=-=⎰， ∴曲边梯形的面积是16．考点：定积分在求面积中的应用．15、平面上四点,,,A B C D 满足2,4,6,4AB AC AD AB AC ===⋅=，则DBC ∆面积的最大值为【答案】考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．【名师点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC ，A 到BC 的距离是解题的关键，属中档题．在解题时，要做到动中有静，静中有动，有题意分析知ABC ∆形状大小是确定的，因此可固定ABC ∆的位置，这样题中只有D 点在运动，问题就很容易解决，要使DBC ∆面积最大，只要点D 到BC 边的距离最大即可．16、已知曲线2:2C y x a =+在点((),0,n P n a n N >∈处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴、y 轴分别于点()(),0,0,n n n n A x B y ，且n n x y =，给出以下结论： ①1a =；②当n N *∈时，n y 的最小值为54 ；③当n N *∈时，2sin n k < ；④当n N *∈时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则 )1n S <．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④①00,1x a y a a =-=-=⇒= ，正确；②1122n y n ==≥,=即0n =时取等号，考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【名师点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于难题和易错题．四个命题要一一验证，命题①，从极端情形入手，取0n =；命题②，变形得12n y ==，考虑到基本不等式不能取到等号，因此考虑函数11()()2f t t t=+的单调性，这是大家非常熟悉的函数（可根据定义证明其单调性）<，因此构造函数()f t t t =，此函数的单调性必须利用导数的知识才能研究出；命题④，写出n S ，123521n n S k k k n =+++=+++，为了求和（证明不等式），用放缩法把和式中每一项放大为两项的差，从而和易求．这里每个命题的方法不同，对学生的能力要求较高． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17、（本小题满分10分） 设函数()f x x a =-（Ⅰ）当2a =时，解不等式()41f x x ≥-- ； （Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a b c b c+=>>求证：24b c +≥ 【答案】（Ⅰ）17,22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）证明见解析．法2：不等式化为2234x x ≥⎧⎨-≥⎩或1214x <<⎧⎨≥⎩或1324x x ≤⎧⎨-≥⎩，解得17,22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或（Ⅱ）：1x a -≤，即11x a -≤-≤，由题得()10111,10,0122a a b c a b c -=⎧⇒=∴+=>>⎨+=⎩()112222422c b b c b c b c b c ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2b c =时，取等号 .考点：绝对值不等式． 18、（本小题满分12分）已知向量()()2cos ,3sin ,cos ,2cos a x x b x x ==，函数()(),f x a b m m R =⋅+∈，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再把所得的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有根之和．【答案】（Ⅰ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）3π．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．19、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中， △ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2,CD=1,F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面ABE;（Ⅱ）求直线BD 和平面ACDE 所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；． 【解析】FEDCBA(Ⅱ)解法一：取AC 中点M ，连结BM ，DM∆ABC 为正三角形，M 为AC 中点，∴BM ⊥AC ,又AE ⊥面ABC ,AE ⊂面ACDE , ∴面ACDE ⊥面ABC ,∴BM ⊥平面ACDE , ∴∠BDM 为所求的线面角 .∆ABC 为正三角形且AB=2，,BM又CD ⊥面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴CD ⊥BC ,在Rt ∆BCD中，BC =2,CD =1, ∴∴sin ∠BDM∴cos ∠∴直线BD 和平面ACDE所成角的余弦值为5. 解法二：由（Ⅰ）可知CG ⊥AB ,CG ⊥GF ,GF ⊥AB 分别以GB 、GC 、GF 为轴建系，则由已知，相关点的坐标为A (-1,0,0),B (1,0,0),CDFEDA G MCB()()(1,0,3,0,1,0,AC CD BD ∴===- 设面AEDC 的法向量(),,n x y z = ， 由0,0AC n CD n ⋅=⋅=得0,0x y ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩令z =，得平面AED 的一个法向量(3,3n =-.设直线BD 和平面ACDE所成角为θ，则10s i n ,c o s 555B D n B Dn θθ⋅===∴= ，∴直线BD 和平面ACDE 所成角的余弦值 . 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 20、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-，数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和n T（Ⅰ）求,n n a T（Ⅱ）若n N *∀∈，不等式223n t t T λ++<恒成立，求使关于t 的不等式有解的充要条件．【答案】（Ⅰ）2nn a =,222n n n T +=-；（Ⅱ）λ>或λ<．E（Ⅱ）1111231,,222n n n n n n n n n n n T T T T T +++++++-=-=∴>单调递增 . 由恒成立条件知()2min 1232n t t T λ++<=，即22450t t λ++<由关于t 的不等式有解知，只需()244250λ=-⨯⨯>，解得λ>或λ<故关于t 的不等式有解的充要条件为2λ>或2λ<- . 考点：已知n S 与n a 的关系求通项n a ，等比数列的通项公式，错位相减法求和，不等式恒成立与不等式有解问题．【名师点睛】求数列{}n T 的最小项方法还有： 法一：因为02n n nb =>，所以当2n ≥时，11n n n n T T b T --=+>，即数列{}n T 是递增数列，所以1T 最小．法二：（作商法），首先有0n T >，11322222n n n n n T n T +++-=+-222(3)2(24)n n n n ++-+=-+，显然324n n +<+，所以222(3)2(24)0n n n n ++-+>-+>，所以11n nT T +>，即1n n T T +>，所以1T 是{}n T 中的最小值．法三：如果数列{}n a 先减后增，则可通过解不等式组11n n nn a a a a +-≤⎧⎨≤⎩，求得数列的最小项．法四：数列作为特殊的函数，也可以用导数的方法证明相应函数的单调性，从而得数列的单调性（但要注意数列的单调性与函数的单调性可能有一点不一致）． 21、（本小题12分）如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线2y =的焦点相同，又椭圆C 上有一点(2,1)M ，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于,A B 两点，连,MA MB （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当,MA MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）{}22,0m m m -<<≠．（Ⅱ）∵l ∥OM 12l OM K K ⇒==，设直线在y 轴上的截距为m ，则直线1:2l y x m =+ 直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点 .()()22222212224024240182y x m x mx m m m x y ⎧=+⎪⎪⇒++-=⇒-->⎨⎪+=⎪⎩m ∴的取值范围是：{}22,0m m m -<<≠ ，设MA ，MB 的斜率分别为1212,,0k k k k ∴+=设()()1122,,,A x y B x y ，则12121211,22y y k k x x --==-- ()()()()()()1221121212121212112222y x y x y y k k x x x x --+----∴+=⨯=---- ()()()()()()()()()122112121212111212241222222x m x x m x x x m x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭==---- ()()2212242444022m m m m x x --+-+==-- 故,MA MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，m 的取值范围是{}22,0m m m -<<≠. 考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题．22、（本小题满分14分） 已知函数()()32ln ,63,6x x x x f x e x x ax b x -⎧>⎪=⎨⎪+++≤⎩，其中,,a b R e ∈为自然对数的底数．（Ⅰ）当3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当6x ≤时，若函数()()()31x h x f x ex b -=-+-存在两个相距大于2的极值点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()g x 与函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()g x 在()()6,,2,m n -单调递减，在()(),2,,m n +∞单调递增，试证明：()f n m -<． 【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间是()(),3,0,3-∞-；减区间为()()3,0,3,6-()6,+∞ ；（Ⅱ）735a -≤<-a >（Ⅲ）证明见解析．（Ⅱ）法1：当()()()()2/26,31,361x x x h x ex ax h x e x a x a --⎡⎤≤=++=---+-⎣⎦ 令()()2361x x a x a ϕ=+-+- ，设其零点为12,x x ，由()()()21264310606662a a a x x ϕ⎧--⨯->⎪≥⎪⎪⎨--<⎪⎪⎪->⎩，解得735a -≤<-或a > 法2：令()/0x ϕ=，得126666a a x x --==故12216662a x x x x ⎧-<=≤⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得273512a a ⎧≥-⎪⎨⎪>⎩，故735a -≤<-a >（Ⅲ）()g x =()()()32ln ,63,6x x x x g x e x x ax b x --⎧<-⎪-=⎨⎪-+-+≥-⎩当6x ≥-时，()()()/36x gx e x a x b a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ， 由()/20g =得34b a =-，从而()()()/3642x gx e x a x a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()()()()()()//30,6422g m g n x a x a x x m x n ==∴+-+-=---考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【名师点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题特难．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．第（Ⅰ）小题是用导数求单调区间的基本题，第（Ⅱ）小题转化为方程'()0h x =有两个相距大于2的根，第（Ⅲ）小题，由对称性求得()g x 的解析式，分析后知'()0g x =有三个根2，n ，m ，从而得出参数之间的关系，最后函数不等式的证明，要利用函数的单调性．。
福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合M={x|（x+3）（5﹣x）＞0}，N={x|log3x≥1}，则M∩N=（）A．1，32．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．常数数列一定是等比数列C．一个命题的逆命题和否命题同真假D．x+≥23．（5分）若a、b为实数，则“ab＜1”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知等比数列{a n}的公比q=2，其前4项和S4=60，则a2等于（）A．8B．6C．﹣8 D．﹣65．（5分）等差数列{a n }的通项公式为a n=2n﹣19，当S n取到最小时，n=（）A．7B．8C．9D．106．（5分）设x＞0，y＞0，xy=4，则s=取最小值时x的值为（）A．1B．2C．4D．87．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若角A、B、C 成等差数列，且a=3，c=1，则b的值为（）A．B．2C．D．78．（5分）若实数x，y满足不等式组则z=2x+y+1的最小值为（）A．﹣1 B．2C．5D．39．（5分）已知三角形△ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）A．18 B．21 C．24 D．1510．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．511．（5分）已知P（x，y），A（3，1），B（1，2）在同一直线上，那么2x+4y的最小值是（）A．B．4C．16 D．2012．（5分）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）请写出命题“若a+b=3，则a2+b2≥4”的逆否命题：．14．（4分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c=，∠C=，则△ABC的面积是．15．（4分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞f （1）的解集是．16．（4分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知不等式ax2+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}．（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）若“ax2+2x+4c＞0”是“x+m＞0”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知实数x，y满足约束条件：（Ⅰ）请画出可行域，并求z=的最小值；（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，求实数a的值．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB=bcosA．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的最大值．21．（12分）已知数列{a n}满足．（1）求证：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}的前n项和S n，求使得S n＞21﹣2n成立的最小整数n．22．（14分）某厂家拟在2014年举行的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，已知2014年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）求k的值，并求年促销费用为9万元时，该厂的年产量为多少万件？（2）将2014年该产品的利润y（万元）表示为年促销费用m（万元）的函数；（3）该厂家2014年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大值．福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．（5分）设集合M={x|（x+3）（5﹣x）＞0}，N={x|log3x≥1}，则M∩N=（）A．1，3考点：交集及其运算．专题：集合．分析：利用交集定义和不等式性质求解．解答：解：∵集合M={x|（x+3）（5﹣x）＞0}={x|﹣3＜x＜5}，N={x|log3x≥1}={x|x≥3}，∴M∩N={x|3≤x＜5}=﹣2，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题给出不等式的解集，叫我们判断充分必要性，着重考查了一元二次不等式的解法和充要条件的判断等知识，属于基础题．熟练掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和充要条件的定义是解题的关键．18．（12分）已知实数x，y满足约束条件：（Ⅰ）请画出可行域，并求z=的最小值；（Ⅱ）若z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，求实数a的值．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）先根据约束条件画出可行域，z=，利用z的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（1，0）连线的斜率的值最小，从而得到的最小值．（II）先根据约束条件画出可行域，设z=x+ay，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x+ay 与可行域的边界BC平行时，最优解有无穷多个，从而得到a值即可．解答：解：（Ⅰ）如图示画出可行域：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵表示（x，y）与（1，0）连线的斜率，如图示，得，即A（3，4），∴当x=3，y=4时，z取最小值=2．﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）取z=0得直线l：y=﹣x，∵z=x+ay取最小值的最优解有无穷多个，如图示可知：﹣=k BC=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列的通项公式、前n项和公式、等比数列的性质求出a1=3，d=2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由已知得=3n﹣1，从而b n=（2n+1）•3n﹣1，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵等差数列{a n}的前n项和S n，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列，∴，解得a1=3，d=2，∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1．（2）∵{}是首项为1，公比为3的等比数列，∴=3n﹣1，即b n=（2n+1）•3n﹣1，∴T n=3•30+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣1，①3T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n，②①﹣②，得：﹣2T n=3+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n=3+2×﹣（2n+1）•3n=3﹣3+3n﹣1﹣（2n+1）•3n+（m+1），∵m≥0时，+（m+1）≥2=8，∴y≤29﹣8=21，当且仅当=m+1，即m=3（万元）时取等号，此时，y max=21（万元）．答：该厂家2012年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大值为21万元．点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定函数解析式．。
福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案
(1)将曲线和化成普通方程，并求曲线和公共弦所在直线的极坐标方程；
(2)若过点 M，倾斜角为的直线 l 与曲线交于 A，B 两点，求的值.
19．（本小题满分 13 分）经过年的运作，双十一抢购活动已经演变成为整个电商行业的大 型集体促销盛宴 2014 年双十一网购狂欢节，该促销产品双十一量万件与促销费用万元满足其中， a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本万元不含促销费用，产品的销售价格定为元／件完 全能满足市场的销售需求．
【解析】
(1)依题意，， 1 分
所以，又由切线方程可得，即，解得，
此时，， 3 分
令，所以，解得；令，所以，解得，
所以的，减区间为：. 5 分
(2)
解法一：
由(1)知，函数在上单调递减，即
9 分
解法二：
，
所以，所以对任意恒成立，则，，只需又，，则，所以在上单调递减，，，使得，即，时，的
15．已知是△AOB 所在的平面内的 n 个相异点，且. 给出下列命题：
①；
②的最小值不可能是；
③点在一条直线上；
④向量及在向量的方向上的投影必相等.
其中正确命题的序号是 ▲ .（填上所有正确命题的序号）
．（本小题满分 1 分），集合.
(1)当时，求；，命题 q：，若是的条件，求实数的取值范围．（本小题满分 1 分）已知向 量＝，＝记 f(x)＝·b.
11．已知函数，则等于 ▲ .
已知双曲线 C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线 C2：－＝1 有相同的渐近线，则 C1＝ ▲ .
1．已知＝2，＝3，＝4，…，若＝7，(a、均为正实数)，则类比以上等式，可推测 a、的 值，进而可得 a＋＝ ▲ .
上的函数的值域为，则的最大值是 ▲ .
福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i2．（5分）已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣33．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣13，+∞）D．（﹣∞，﹣13，+∞）6．（5分）有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+B．4+C．4+D．4+π7．（5分）如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知，且，则实数λ的值为．（）A．B．C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限，且，则△PF1F2内切圆半径为（）A．3B．C．2D．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f n（x）=a n x3+b n x2+c n x，满足=q（q＞1，q为常数），n∈N*，给出下列说法；①函数f n（x）可以为奇函数；②若函数f1（x）在R上单调递增，则对于任意正整数n，函数f n（x）都在R上单调递增；③若x0是函数f n（x）的极值点，则x0也是函数f n+1（x）的极值点；④若b12＞3a1c1，则对于任意正整数n函数f n（x）在R上一定有极值．以上说法中所有正确的序号是（）A．①②③④B．②③C．②③④D．②④二、填空题：本大题5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．11．（4分）二项式展开式中第三项的系数为．12．（4分）设向量=（sinθ+cosθ，1），=（5，1）垂直，且θ∈（0，π），则tanθ等于．13．（4分）若在区间上等可能的任取一实数a，则使得函数f（x）=x3﹣3x﹣a有三个相异的零点的概率为．14．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），在（﹣∞，0）上恒有2f（x）+xf′（x）＞x2成立，则不等式（x+2015）2f（x+2015）﹣4f（﹣2）＞0的解集为．15．（4分）已知（2x+1）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中令x=0，就可以求出常数项，即1=a0．请你根据其中蕴含的解题方法研究下列问题；若e x=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+a n x n+…，且n≥2，n∈N，则a1+=．【选做题】（从（1）（2）（3）题中任选两题作答，并在答题卷上标明所选题号）．16．（4分）设矩阵，若曲线C：x2+4xy+2y2=1在矩阵M的作用下变换成曲线C'：x2﹣2y2=1，则矩阵M n=．（n∈N*）17．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆M的方程为（x﹣4）2+y2=1，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，且与直角坐标系取相同的单位长度，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin （θ+）=，过直线l上的任意点P作圆M的切线，则切线长的取值范围为．18．已知函数f（x）=2，若关于x的不等式f（x）≤|m﹣2|恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（10分）己知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）（1）当x∈时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，若向量=（1，a）与向量=（2，b）共线，求a，b的值．20．（12分）如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为的中点．（1）求证：AF⊥平面CDE；（2）求异面直线CB与AE所成角的大小；‚求平面ACD和平面BCE所成锐二面角的大小．21．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．22．（12分）已知函数的图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．•若数列{a n}的通项，求其前n项和S n；‚若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．23．（12分）已知点F是抛物线Γ：x2=2py（p＞0）的焦点，抛物线上点M（x0，1）到F的距离为2．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．24．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（其中a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f（x）及线段y=0（0≤x≤1）所围成的封闭区域的面积；（3）当时，求函数f（x）在上的最大值．福建省厦门一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．专题：计算题．分析：由已知得出x=（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数解答：解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i根据复数相等的概念，解得，x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．2．（5分）已知条件p：x2+x﹣2＞0，条件q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣1 D．a≤﹣3考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先化简不等式，再根据q是p的充分不必要条件，即可求得．解答：解：∵条件p：x2+x﹣2＞0，∴条件q：x＜﹣2或x＞1∵q是p的充分不必要条件∴a≥1故选A．点评：本题主要考查一元二次不等式的解法及必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．3．（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：结合对数函数和幂函数的图象和性质，分当0＜a＜1时和当a＞1时两种情况，讨论函数f （x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象，比照后可得答案．解答：解：当0＜a＜1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：此时答案D满足要求，当a＞1时，函数f（x）=x a（x≥0），g（x）=log a x的图象为：无满足要求的答案，综上：故选D点评：本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质，是解答的关键．4．（5分）执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点：程序框图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中程序框图的含义，得到分段函数y=，由此解关于x的方程f（x）=3，即可得到可输入的实数x值的个数．解答：解：根据题意，该框图的含义是当x≤2时，得到函数y=x2﹣1；当x＞2时，得到函数y=log2x．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2﹣1=3，解之得x=±2②当x＞2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，﹣2或8，共3个数故选：C点评：本题给出程序框图，求输出值为3时可能输入x的值，着重考查了分段函数和程序框图的理解等知识，属于基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣13，+∞）D．（﹣∞，﹣13，+∞）考点：等比数列的前n项和．分析：首先由等比数列的通项入手表示出S3（即q的代数式），然后根据q的正负性进行分类，最后利用均值不等式求出S3的范围．解答：解：∵等比数列{a n}中，a2=1∴∴当公比q＞0时，；当公比q＜0时，．∴S3∈（﹣∞，﹣13，+∞）．故选D．点评：本题考查等比数列前n项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用．6．（5分）有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为（）A．4+B．4+C．4+D．4+π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是如图所示的几何体，据此可求出体积．解答：解：由三视图可知：该几何体是如图所示的几何体，∴V=π×12×2++2×2×1=4+．故选A．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．（5分）如图，四边形OABC的对角线OB与AC相交于点P，已知，且，则实数λ的值为．（）A．B．C．D．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：首先，，，然后，根据共线的条件，建立等式，求解相应的值．解答：解：∵，∴，设，∴μ，∴，∵，∴，∴λ=．故选：A．点评：本题重点考查了平面向量基本定理、平面向量的加法和减法运算等知识，属于中档题．解题关键是准确应用共线的条件进行处理．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，P为双曲线C上一点，且点P在第一象限，且，则△PF1F2内切圆半径为（）A．3B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的定义，结合，可得|PF1|=8，|PF2|=6，从而PF1⊥PF2，利用圆的切线的性质，即可得出结论．解答：解：由题意，|PF1|﹣|PF2|=2，∵，∴|PF1|=8，|PF2|=6，∵|F1F2|=10，∴PF1⊥PF2，设△PF1F2内切圆半径为r，则|PF1|﹣r+|PF2|﹣r=|F1F2|，∴r=2．故选：C．点评：本题考查双曲线的定义，考查圆的切线的性质，确定PF1⊥PF2是关键．9．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）=若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：先确定当x∈时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），可得x∈时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解答：解：当x∈﹣，01，2﹣，00，22，44，64，6﹣1，6﹣1，6x2f（x），+∞）．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先，将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后，根据圆心到直线距离、半径、切线长之间的关系进行距离转化，从而求解问题．解答：解：∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，∴ρsinθcos+ρcosθsin=，∴y+x﹣1=0，∴直线l的直角坐标方程为：y+x﹣1=0，当圆心到直线距离d最短时，此时切线长最短，则d=，此时切线长为=，故答案为：∪（）2+（）2（）2+（）2∪﹣，﹣，考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜，A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负，A表示第4局甲当裁判，分析其可能情况，每局比赛的结果相互独立且互斥，利用独立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值为0，1，2．分别求出X取每一个值的概率，列出分布列后求出期望值即可．解答：解：（I）令A1表示第2局结果为甲获胜．A2表示第3局甲参加比赛时，结果为甲负．A表示第4局甲当裁判．则A=A1•A2，P（A）=P（A1•A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值为0，1，2．令A3表示第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜．B1表示第1局结果为乙获胜，B2表示第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜，B3表示第3局乙参加比赛时，结果为乙负，则P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．故X的分布列为X 0 1 2P从而EX=0×+1×+2×=．点评：本题考查互斥、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．22．（12分）已知函数的图象如图所示．（1）求函数y=f（x）的解析式；（2）已知f′（x）是函数f（x）的导函数．•若数列{a n}的通项，求其前n项和S n；‚若在其定义域内为增函数，求实数k的取值范围．1，+∞）．点评：本题主要考查综合考查函数解析式的求解以及数列求和的计算，利用裂项法以及参数分类法是解决本题的关键．23．（12分）已知点F是抛物线Γ：x2=2py（p＞0）的焦点，抛物线上点M（x0，1）到F的距离为2．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线AB：y=x+b与曲线Γ相交于A，B两点，若AB的中垂线与y轴的交点为（0，4），求b的值．（Ⅲ）抛物线Γ上是否存在异于点A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件利用抛物线定义知：1+=2，由此能求出抛物线方程．（Ⅱ）由，得x2﹣4x﹣4b=0，△=16﹣16b＞0，x1+x2=4，由此求出AB的中垂线为y=﹣x+4﹣b，从而能求出b=0．（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假设抛物线L上存在异于点A、B的点满足题意，令圆的圆心为N（a，b），则，由此能求出存在点C，且坐标为（﹣2，1）．解答：解：（Ⅰ）∵F是抛物线Γ：x2=2py（y＞0）的焦点，∴F（），∵点M（x0，1）到F的距离为2，∴依抛物线定义知：1+=2，解得p=2，∴抛物线为x2=4y﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）由，得x2﹣4x﹣4b=0，∴△=16﹣16b＞0，x1+x2=4，∴AB的中点为（2，2+b），∴AB的中垂线为=﹣1，即y=﹣x+4﹣b，依题意可知（0，4）在垂线上，∴4=0+4﹣b，解得b=0．（7分）（Ⅲ）由（Ⅱ）知A（0，0），B（4，4），假设抛物线L上存在异于点A、B的点满足题意，令圆的圆心为N（a，b），则由，得，整理，得，解得，（10分）∵抛物线L在点C处的切线斜率k=，（t≠0），（11分）又该切线与NC垂直，∴，整理，得，∴，整理，得t3﹣2t2﹣8t=0，∵t≠0，t≠4，∴t=﹣2．故存在点C，且坐标为（﹣2，1）．（13分）点评：本题考查抛物线方程的求法，考查实数的求法，考查满足条件的点是否存在判断与求法，解题时要认真审题，注意中点坐标公式的合理运用．24．（14分）设函数f（x）=（x﹣1）e x﹣ax2（其中a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a=1时，求由直线x=0、x=1、曲线y=f（x）及线段y=0（0≤x≤1）所围成的封闭区域的面积；（3）当时，求函数f（x）在上的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出f′（x）=x（e x﹣2a），分类讨论列出表格得出单调性，（2）根据前面的结论得出；区域面积S=∫dx=|=e﹣，（3）根据f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a0，a0，1x﹣（x﹣1）e x﹣（x﹣2）e x0，a0，a时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，a0，a，x0x0，1，x0x0，10，a hslx3y3h上的最大值为：（a﹣1）e a﹣a3，点评：本综合考查了函数的导数的运用，难度较大，多次求导判断最值，单调性，必需思路清晰，目的性强．。
2014-2015年福建省厦门市海沧中学高三(上)数学期中试卷和答案
16． 已知角 α 的顶点在原点， 始边与 x 轴非负半轴重合， 与单位圆的交点为 P （﹣ ， ）是 α 终边上一点，则 sinα= ．
17． （10 分）已Байду номын сангаас椭圆的方程为 x2+4y2=16，若 P 是椭圆上一点，且|PF1|=7，则 |PF2|= ．
18． （10 分）函数 f（x）=3x﹣7+ln x 的零点位于区间（n，n+1） （n∈N）内，则 n= ．
12． （5 分）函数 y=log2x，x∈（0，16）的值域是（ A． （﹣∞，﹣4） B． （﹣∞，4） C．[﹣4，+∞）
13． （5 分） 已知函数 f （x） =x3+x2+x+1， 则f （x） 在 （0， 1） 处的切线方程为 （ A．x﹣y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣1=0
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22． （12 分）等比数列{an}中，a1=2，a4=16． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 a3，a5 分别为等差数列{bn}的第 4 项和第 16 项，试求数列{bn}的前项 和 Sn． 23． （14 分）某工厂生产某种产品，每日的成本 C（单位：万元）与日产量 x（单 位：吨）满足函数关系式 C=3+x，每日的销售额 S（单位：万元）与日产量 x 的 函数关系式 S= x=2 时，L=3． （1）求 k 的值； （2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． ，已知每日的利润 L=S﹣C，且当
2． （5 分）不等式 x2﹣3x＜0 的解集是（
A． （﹣∞，0） B． （0，3） C． （﹣∞，0）∪（3，+∞） 3． （5 分）函数 f（x）= A．{x|x＜1} B．{x|x＞1} 的定义域为（ ）
2016届福建省厦门一中高三(上)12月月考数学(理)试题
福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期12月月考高三年理科数学试卷2015.12.14满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，全集U A B = ，则()UC A B = （ ）A ．(,0)-∞B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦2．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为 （ ） A ．32- B ．12- C ．12 D ．323．若非零向量,a b 满足(4)a b a -⊥ ，()b a b -⊥，则a 与b 的夹角是 （ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．56π4．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点 P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A . 220x -280y =1B . 280x -220y =1C . 25x -220y =1 D . 220x -25y =15．已知()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则 （ ）A ．0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<-B ．0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-C ．0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-<D ．0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-6．已知命题:p “0,31x x ∀>>”的否定是“0,31xx ∃≤≤”，命题:q “2a <-”是“函数()3f x a x =+在区间[]1,2-上存在零点”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 （ ） A ．p q ∧ B ．p q ∨⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝7．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为 （ ）侧视图8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图,在 鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ AB ．2CD 9．如图，是函数)2,0(),2sin()(πϕϕ≤>+=A x A x f []b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有2)(21=+x x f ，则 （ ）A ．()f x 在)12,125(ππ-上是增函数 B ．()f x 在)12,125(ππ-上是减函数 C ． ()f x 在)8,83(ππ-上是增函数 D ．()f x 在)8,83(ππ-上是减函数 10.已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，椭圆上两点,A B 关于原点对称，,M N 分别是线段,AFBF 的中点，且以MN 为直径的圆过原点，直线AB 的斜率k 满足03k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 （）A ．⎛⎝⎭ B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．()1 D ．)1,1 11．已知函数()()()22log 11,11,x x kf x x x k x a-+-≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2， 则实数a 的取值范围是 （ A ．[]1,2 B ．(]1,2 C ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13. 已知,x y 满足不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为 ▲ .14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，*2()n n S a n n N =+∈，则n a = ▲ .15. 在平面直角坐标系中，圆心坐标均为()2,2的圆Ⅰ、圆Ⅱ、圆Ⅲ半径分别为4,2,1，直线334y x =+与圆Ⅰ交于点,A B ，点C 在圆Ⅰ上，满足线段CA 和线段CB 与圆Ⅱ均有 公共点，点P 是圆Ⅲ上任意一点，则△APB 与△APC 面积之比的最大值为 ▲ .16. 点P 在曲线xy e -=-上，点Q 在曲线ln y x =上，线段PQ 的中点为M ，O 是坐标原点，则线段OM 长的最小值是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17. （本小题10分）设函数1321)(+--=x x x f ，()f x 的最大值为M ，正数,a b 满足3311Mab a b+=． (Ⅰ)求M ；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得66a b +=18．（本小题12分）设ABC ∆的,,A B C ∠∠∠所对边分别为cb a ,,,满足c =且ABC ∆的面积222=4b c a S +-.(Ⅰ)求C ∠；(Ⅱ) 设ABC ∆内一点P 满足,AP AC BP CP ==，求PAC ∠的大小.19．（本小题12分）如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.20. （本小题12分）已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =．(Ⅰ)已知15815S a =，且对任意*n N ∈，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列； (Ⅱ)若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =． 求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式．21．（本小题12分）已知过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）焦点F 的直线l 倾斜角为60o且与抛物线E 交于点M ，N ，△OMN 的面积为4． (Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为 A 、B ，直线AB 与直线OP 、y 轴的交点分别为Q 、R ，C 、D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．22．（本小题12分）已知曲线()1x xaxf x be e -=++在点(0,(0))f 处的切线方程为220x y +-=. (Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围.厦门一中2016届高三（上）12月月考 2015.12.14理科数学参考答案一、选择题： CABDA CDBCB AD 二、填空题：13．1-； 14．12n-； 15．32； 16．2三、解答题：17.解：(Ⅰ)当1x <-时，()4f x x =+单调递增，所以()3f x <；当112x -≤≤时，()52f x x =--单调递减，所以()max ()13f x f =-=；当12x >时，()4f x x =--单调递减，所以19()22f x f ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭；所以()f x 的最大值3M =(Ⅱ)假设存在正数,a b，使得66ab +=66332a b a b += 所以552212a b ≤；又由于33113Mab ab a b +==≥，所以552223a b ≥与552212ab ≤矛盾，所以假设不成立，即不存在,a b，使得66a b += 18.解： (Ⅰ)由余弦定理得2221=cos 42b c a S bc A +-=，又因为1sin 2S bc A =， 所以sin cos A A =，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=， 由正弦定理得sin sin c aC A=，因为c =所以sin 1C A ==， 因为()0,C π∈，所以2C π=；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,42A C ππ==所以4B AC A ππ=--==，所以b a = 设PAC θ∠=，因为,AP AC =，所以,2ACP APC πθ-∠=∠= 因为2C π=，所以,22BCP ACP πθ∠=-∠=因为在APC ∆中,AP AC = 所以2sin 2sin 2sin 222PC AC b a θθθ===，因为在BPC ∆中,BP CP = 所以2cos 2cos 2BC PC PCB PC a θ=∠==，即2cos 2a PC θ=，所以2sin 22cos 2a a θθ=，即12sin cos 222θθ=，即1sin 2θ=因为0,4PAC πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以6PAC πθ∠==综上可知，(Ⅰ) 2C π=；(Ⅱ) 6PAC πθ∠==19.解：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,,DE SE ⊂平面SDE ∴AB ⊥平面SDE ,因为,DE SE ⊂平面SDE 所以AB SD ⊥. 又1SD =,故222ED SE SD =+,所以SD SE ⊥. 又因为AB SE E =I ，,AB SE ⊂平面SAB所以SD ⊥平面SAB .另解:由已知易求得1,2SD AD SA ===,于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .(Ⅱ)以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,x y z >>(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r, 由||||AS BS =uu r u u r=故x =由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =得222(2)4x y z +-+=,即22410y z y +-+=,故1,2y z==于是1(1,2S 设平面SBC 的法向量(,,)n m n p =r ,则,,0,n BS n CB n BS n CB ⊥⊥⋅=⋅r u u r r u u r r u u r ru u r.又3(1,(0,2,0)2BS CB =-=uur uu r ,故30,220m n p n ⎧-=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(n =r,设AB 与平面SBC 所成角为θ，因为(2,0,0),AB =-u u ur 所以sin cos ,7||||AB a AB n AB a θ⋅=<>==⋅uu u r ruu u r r uu u rr故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为7.20. 解：当n 为奇数时，设21n k =-，则()1111112n n a a k d d -=+-=+ 当n 为偶数时，设2n k =，则()22212(1)2n na a k d d =+-=+-(Ⅰ)当n 为奇数时，因为1n n a a +<恒成立，即121112(1)22n n d d -++<+-， 12(1)()20n d d --+>恒成立，120d d ∴-≤，当n 为偶数时，因为1n n a a +<恒成立，即212(1)122n nd d +-<+，212()102nd d d -+-<恒成立，21d d ∴-0≤且21d >． 于是有 12d d =． 15815S a =Q ，1228776814304522d d d ⨯⨯∴+++=+， 12d d ∴=2=，当n 为奇数时1112n n a d n -=+=，当n 为偶数时22(1)2n na d n =+-=， 所以对任意正整数n 都有n a n =，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列．(Ⅱ)解：若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =，由题意得,在,m n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为mn a a =，所以12112(1)22m n d d -+=+-，因为123d d =，所以1631d m n =--， 因为m 为奇数，n 为偶数，所以31m n --的最小正值为2，此时123,1d d ==,所以数列{}n a 的通项公式为31,2211,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数．21. 解：（1）依题意，0,p F ⎛⎫⎪⎝，所以直线l 的方程为2p y =+；由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p =+=>+==-△，解)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，O 到MN 的距离21,42OMN p d S MN d p ===== ，所以2p =，抛物线方程为24x y =21214,42OMN p S OF x x p ===-==解法三：（略）运用定义及图形（2）设(),2P t -，221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24E x y =：得24x y =，'2x y =，则切线PA 方程为()211142x x y x x -=- 即21111242xx x y x x y =-=-，同理，切线PB 方程为112x y x y =-，把P 代入可得11222=222x t y x t y⎧--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩故直线AB 的方程为22x t y -=-即240tx y -+=所以()0,2R ，由2402tx y y x t -+=⎧⎪-⎨=⎪⎩ 得224484Q Q t x t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以r RQ =====，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin 23CPD r PR ∠==≤，等号当t =±时成立所以当()2P ±-时， 所求的角CPD ∠最大.综上，当CPD ∠最大时点P 的坐标为()2±- 解法二:同解法一得042:=+-y tx AB ，注意到AB OP ⊥2122||2||||tan||2||8CPD RQ t PQ d RQ dPQ t∠∴====∴==≤=+又当且仅当28t=即t=±22.解：(Ⅰ)()()21'()1x xxxa e axef x bee-+-=-+，依题意(0)1,1'(0)2ff=⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,122bab=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a b==，即a、b的值均为1；(Ⅱ)由(Ⅰ)得1a b==，代入()1xxxf x kee->+-得11x xx xx xe kee e--+>++-即()221111xx x xx x xk ee e e-->-=-+-，即()21x xxke e-->-，因为当0x>时0x xe e-->，当0x<时0x xe e--<，所以2x xxe e->-，所以10k->即()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，设()2,1x xm g x e e mxk-==---则0m>又()'x xg x e e m-=+-，（1）当02m<≤即0k≤时，()'20x xg x e e m m-=+-≥-≥恒成立，所以()g x在R上单调递增，所以①当0x>时()()00g x g>=，又因为此时0x xe e-->，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，②当0x<时()()00g x g<=，又因为此时0x xe e--<，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，因此，当0k≤时，当0x≠时，都有()1xxxf x kee->+-成立，符合题意；（2）当2m>即01k<<时，由()'0x xg x e e m-=+-=得12ln ln22m mx x==，因为2m>，所以2120,0x x x>=-<，当()20,x x∈时()'0g x<，所以()g x在()20,x上递减，所以()()00g x g<=，又因为此时0x xe e-->，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫--<⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee-<+-与()1xxxf x kee->+-矛盾，所以不符合题意；综上可知，k的取值范围是0k≤。
福建省厦门一中高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( ) A．B．C．D．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．211．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=__________．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为__________．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为__________．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由已知中全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出C U A再根据交集的运算方法，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴C U A={﹣1，0，3，4}又∵B={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}∴B∩C U A={0，3}故选A．【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键．2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型．【分析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】解：A、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题正确；B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜﹣1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．故选：C．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题．4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得 a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的观察思考能力．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( )A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．即A＜B．排除A、B选项．若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x ﹣1||的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=﹣2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得 4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．【解答】解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．【解答】解：∵AB=2，AC=4，•=4，∴cos∠BAC=，∠BAC=60°，∴BC=，设A到BC的距离为h，则由等面积可得=，∴h=2，∴△DBC面积的最大值为•（2+6）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．【解答】解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin （2x+）+m+1，再由当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，∴f（x）====2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴，∴时，f（x）min=2×+m+1=2，解得m=2，∴．令2kπ﹣，得f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴，∵g（x）=4，∴，解得4x﹣=2k或4x﹣=2k，k∈Z，∴或x=，k∈Z．∵，∴x=或x=，故所有根之和为：=．【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．（II）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．【解答】解：（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE∴平面DBE⊥平面ABE．（II）解：取AC中点M，连接BM、DM，∵△ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC．又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE∴平面ACDE⊥平面ABC，∴BM⊥平面ACDE．∴∠BDM为所求的线面角．又因为△ABC为正三角形且AB=2，所以BM=，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，所以BD=，所以cos∠BDM=故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T n．（Ⅱ）由b n各项大于0，可得T n的最小值为T1=b1=，由题意可得t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得即可得到充要条件．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=2n．又数列{b n}满足a n b n=log2a n，∴b n==．∴T n=+++…++，∴T n=++…++，∴T n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣；（Ⅱ）由于b n==＞0，即有T n的最小值为T1=b1=，∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，即有t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得λ＞或λ＜﹣．则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞或λ＜﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，K1+K2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线直线l与椭圆C交于A、B两点，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，∴K1+K2=0，∵==故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=b=﹣3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a 的关系，从而证明不等式成立．【解答】（1）解：当x＞6时，，则，即f（x）在（6，+∞）单调递减；当x≤6时，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f'（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上单调递增，在（﹣3，0），（3，6）上单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，3）．（2）解：当x≤6时，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h'（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]，令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，设其零点分别为x1，x2．由解得．（3）证明：当x≥﹣6时，g'（x）=e x[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g'（2）=0，得b=3a﹣4，从而g'（x）=﹣e x[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因为n＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，从而．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21。