数学归纳法经典例题及参考答案
(完整版)数学归纳法经典例题及
数学概括法（）一、用数学法明与正整数相关命的步是：（ 1）明当n取第一个n0（如 n0 1或2等）正确；（ 2）假当n k( k N , k n0 ) 正确，明n k 1也正确．合（ 1）、（ 2），⋯⋯注意：数学法使用重点：两步 ,一。
二、型：型 1.明朝数恒等式例 1．用数学概括法证明：1111n1335572n12n12n111，右侧11证明：① n=1 时，左侧，左侧 =右侧，等式建立．123313②假定 n=k 时，等式建立，即：1111k．1335572k12k12k1当n=k+1 时．111111335572k 1 2k12k12k3k12k12k12k 32k 23k12k1 k12k12k32k12k3k1k12k3 2 k11这就说明，当n=k+1 时，等式亦建立，由①、②可知，对全部自然数n 等式建立．题型 2.证明不等式例 2．明不等式111n (n∈N)．1322n明：①当 n=1 ，左 =1，右 =2．左 <右，不等式建立．②假 n=k ，不等式建立，即111k ．1322k那么当 n=k+1 ，1111 13k k 1 22k1 2 k k11 k1k1k k11 2 k12k 1k1k1就是，当n=k+1 ，不等式建立．由①、②可知，原不等式随意自然数n 都建立．明：里要注意，当n=k+1 ，要的目是1111 13k 2 k 1 ，今世入假后，就是要明：2k 11k 1 ．2 k2k1了个目，于是便可朝个目下去，并行相关的形，达到个目．题型 3.证明数列问题例3 ( x＋1) n＝a0＋a1(x－1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3(x－ 1)3＋⋯＋ a n( x－1)n (n≥ 2， n∈ N* ) ．(1)当 n＝ 5 ，求 a0＋ a1＋ a2＋ a3＋ a4＋a5的．a2(2)b n＝2n－3， T n＝ b2＋ b3＋ b4＋⋯＋ b n.用数学法明：当n≥ 2 ， T n＝n(n＋1)(n－1).3解：(1)当 n＝ 5 ，原等式 (x＋ 1)5＝ a0＋ a1(x－ 1)＋ a2(x－ 1)2＋ a3( x－ 1)3＋a4(x－ 1)4＋ a5(x－ 1)5令 x ＝ 2 得 a 0＋ a 1＋ a 2＋ a 3＋ a 4＋ a 5＝ 35 ＝243.(2)由于 (x ＋ 1)n ＝ [2＋ (x － 1)]n ，因此 a 2＝ C n 2·2n －2b n ＝a 2＝ 2C n 2＝ n(n － 1)(n ≥ 2)2n－3① 当 n ＝ 2 时．左侧＝ T 2＝ b 2 ＝ 2，右侧＝2(2＋ 1)(2－1)＝ 2，左侧＝右侧，等式建立．3② 假定当 n ＝ k(k ≥ 2，k ∈ N * ) 时，等式建立，即T k ＝ k(k ＋ 1)(k － 1)建立3那么，当 n ＝ k ＋1 时，左侧＝ T k ＋ b k ＋ 1＝k(k ＋1)(k －1)＋(k ＋1)[( k ＋ 1)－ 1]＝k(k ＋1)(k － 1)＋ k(k ＋ 1)33＝ k(k ＋ 1)k － 1＋ 1 ＝ k(k ＋ 1)(k ＋ 2)33＝(k ＋ 1)[( k ＋1)＋ 1][( k ＋ 1)－1]＝右侧． 3故当 n ＝ k ＋ 1 时，等式建立．n( n ＋ 1)( n － 1)综上 ①② ，当 n ≥ 2 时， T n ＝.3。
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§ 11.5 教学归纳成（时间:50分钟满分：75分）—、选择题（每小题5分，共25分）1.（2011-怀化模拟）用数学归纳法证明命题“当"是正奇数时，x n+y n能被x+y整除”,在第二步时，正确的证法是（）A.假设n=k（kwN+）,证明n = k~\-1命题成立B.假设n = k（k是正奇数），证明n=k+ 1命题成立C.假设n = 2A'+ l（fc£N+）,证明n=k~\-1命题成立D.假设n=k（k是正奇数），证明n=k+ 2命题成立解析：A、B、C中，上+1不一定表示奇数，只有。
中k为奇数，k+2为奇数.答案：D2.（2011-鹤壁模拟）用数学归纳法证明“ 1+；+§+•••+死产*作此n>l）”时，由〃=k（k>I）不等式成立，推证n = k+1时，左边应增加的项数是（）A. B. 2k~lC. 2kD. 2*+l解析：增加的项数为（2奸1 —1）—（2」l）=2'+i—2'=2七答案：C3.（2011-巢湖联考）对于不等式4E<"+1（"EN*）,某同学用数学归纳法的证明过程如下：（1）当〃=1时，VF+ivi + i,小等式成立.⑵假设当n = k（k^N'）时，不等式成立，即勺k'+k<k+1,则当n = k~\~ 1时,^/（Zr+ l）2 +（Zr+1）=/炉 + 3人+2〈寸（启+ 3k+2）+伙+2）=寸伙+2尸=以+1） +1,.•.当n = k+l 0t，不等式成立，则上述证法（）A.过程全部正确B.77=1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n = k+1的推理不正确解析：在"哉+1时，没有应用"哉时的假设，不是数学归纳法. 答案：D4.用数学归纳法证明"/+（&+1）3+（&+2）3（作时）能被9整除”，要利用归纳假设证&=k+ 1时的情况，只需展开（）A.佐+3）3B.侬+2）3C. （k+1）3D. （k+1），+ 侬+2沪解析：假设当〃哉时，原式能被9整除，即尸+伙+1）3+化+2）3能被9整除. 当〃=k+l时，(k+l)' + (k十2)'+(上+3)3为了能用上面的归纳假设，只需将侬+3)，展开，让其出现矽即可.答案：A5.用数学归纳法证明不等式寿+土+•••+土奇(&N2, «£N*)的过程中，由递推到n=k+1时不等式左边()A.增加了一项2(4 十1)B.增加了两项刃Z7VZ2k十1 2k十2C.增加了B中两项但减少了一项仕7K~V 1D.以上各种情况均不对解析：•.•《哉时，左边=击+击+•“+土"=11时，左边=圭+击+•••+§+—+二2k+l 2k+2'增加了两项£7、Z7VZ,少了一项土.2k~r 1 2k 十 2 k~r 1答案：c二、填空题(每小题4分，共16分)6.(2011•淮南调研)^»=12+22+32+- + (2/7)2,则＞+1)与推)的递推关系式是.解析:,；/(/：)=12+22+-+(2^)2,:.f(k +1) = 12+22H------ H (2贵+(2A +1 尸+(2k+2尸；:.f(k+1)=推)+ (2k+1 尸+(2k+2)2.答案：f(k+1) =f(k)+(2/r+1 )2+(2A;+2)27.观察不等式：1＞；, 1+；+|＞1‘1+；+§ ----------- l+；+§ ------------------- 1^2,1+；+§------------- h—＞1，…，由此猜测第"个不等式为(«£N*).解析：3 = 22—1,7=23—1,15=24— 1,可猜测：1+；+§ -------------- 2”\ ]＞；.答案：1十§+；+•. 壹8.(2011•东莞调研)已知整数对的序列如下：(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1),(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), (1,5), (2,4),…，则第60 个数对是.解析：本题规律：2=1 + 1； 3 = 1+2=2+1；4=1+3 = 2+2=3 + 1；5 = 1+4=2+3 = 3+2=4+1；. • •・一个整数n所拥有数对为("一1)对.设1+2+3 ---------- (n-1) = 60,.•."=11时还多5对数，且这5对数和都为12,12 = 1 + 11=2+10=3+9=4+8=5+7,.•.第60个数对为(5,7).答案：(5,7)9.如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有»(neN*)行，在这些数中非1的数字之和是11 12 13 3 1解析：所有数字之和S"=2°+2+22+•••+2"T=2”—1,除掉1 的和2”—1—(2"—1)=2"答案：2"~2n三、解答题(共3小题，共34分)10.(本小题满分10分)试证：当〃eN*时，» = 32,,+2-8»-9能被64整除.证明：证法一：(1)当〃=1时，犬1)=64,命题显然成立.(2)假设当〃=k(kEN*, )21)时,» = 32i+2-8A—9 能被64 整除.当n=k+l时，由于3?伙+D+2—8侬+1)—9=9(32&+2 一次一9)+9•跃+9・9—8(1+1)—9=9(32*+2一跃一9)+64(1+1),即.似+1)=9/伙)+64伙+1), :.n=k+l时命题也成立.根据(1)、(2)可知，对于任意〃eN*,命题都成立.证法二:(1)当〃=1时人1) = 64命题显然成立.(2)假设当〃=gN*, Q1)时，flk)=3-k+--8k-9能被64 整除.由归纳假设，设32*一跃一9=6物伽为大于1的自然数)，将32k+2=64m + 8k+9代入到>+1)中得Ak+l)=9(64m +跃+9) —8(1+1)—9 = 64(9m+k+l), ：.n=k+l时命题也成立.根据⑴⑵知，对于任意&6N*,命题都成立.11.(本小题满分12分)已知数列｛%,｝的各项都是正数，且满足：“0=1, a…+1=|a…-(4—«…)(«EN).证明：a n<a n+i<2(nN).证明：证法一：用数学归纳法证明：1 3(1)当〃=0 时，。
12 数学归纳法 作业1(Word版 含答案) 高中数学选修4-5 北师大版
第二章 §3 3.1、2一、选择题1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n >n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6解析： 使2n >n 2＋1，经过计算知应选C ．答案： C2．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假使n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3正确B ．假使n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1正确C ．假使n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1正确D ．假使n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析： 因为是奇数，所以排除C 、D ，又当k ∈N *时，A 中2k ＋1取不到1，所以选B ． 答案： B3．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A ．1(n －1)(n ＋1)B ．12n (2n ＋1)C ．1(2n －1)(2n ＋1)D ．1(2n ＋1)(2n ＋2)解析： 经过a 1＝13可算出a 2＝13×5，a 3＝15×7，所以选C ． 答案： C4．用数学归纳法证明“1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)”时，由n ＝k (k >1)时不等式成立，推证n ＝k ＋1时，左边应增加的项数是( )A ．2k －1B ．2k －1C ．2kD ．2k ＋1 解析： 由k 到k ＋1，则左边增加了12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k 项． 答案： C二、填空题5．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n ，总有2n >n 3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n 0应当是__________ ________.解析： 经过计算知n 0最小应为10.答案： 106．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是__________ ______.解析： 应该比原来增加了1(2k ＋1)(2k ＋2). 答案： 1(2k ＋1)(2k ＋2)三、解答题7．求证：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N ＋)．证明： (1)当n ＝1时，等式左边＝2，等式右边＝2×1＝2，∴等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )＝2k ×1×3×5×…×(2k －1)成立．那么n ＝k ＋1时，(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)＝2(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)＝2k ＋1×1×3×5×…×(2k －1)[2(k ＋1)－1]．即n ＝k ＋1时等式成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N ＋等式均成立．8．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立． 证明： (1)当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边>右边，∴不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥2)时，不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k ＋1>2k ＋12. 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12(k ＋1)－1> 2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋22k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2(k ＋1)＋12 ∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立．9．是否存在常数a ，b ，c 使得1·22＋2·32＋3·42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c )对一切n ∈N ＋都成立？证明你的结论．解析： 此题可用归纳猜想证明来思考．假设存在a ，b ，c 使题设的等式成立．令n ＝1，得4＝16(a ＋b ＋c )；当n ＝2时，22＝12(4a ＋2b ＋c )；当n ＝3时，70＝9a ＋3b ＋c ，联立得 a ＝3，b ＝11，c ＝10.∴当n ＝1,2,3时，等式1·22＋2·32＋3·42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(3n 2＋11n ＋10)12成立． 猜想等式对n ∈N ＋都成立，下面用数学归纳法来证明．记S n ＝1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2，设当n ＝k 时，上面等式成立，即有S k ＝k (k ＋1)(3k 2＋11k ＋10)12. 则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝S k ＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12·(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12·(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝(k ＋1)(k ＋2)12·(3k 2＋5k ＋12k ＋24) ＝(k ＋1)(k ＋2)12·[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]． ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．综上所述，当a ＝3，b ＝11，c ＝10时，题设的等式对n ∈N ＋均成。
数学归纳法典型例题
数学归纳法典型例题【知识梳理】数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。
近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；（2）（归纳递推）假设n = k（）时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法。
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。
【要点解析】1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。
用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。
2、运用数学归纳法时易犯的错误（1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。
（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。
（3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。
数学归纳法 (3)
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1. 用数学归纳法证明⋅⋅⋅=+++312)()2)(1(nn n n n ))(12(*N n n ∈-⋅ 时，从“n k =到1+=k n ”，左边需增乘的代数式是（ ）A. 12+kB.112++k k C. )12(2+kD.132++k k 2. 用数学归纳法证明“121+++++n a a a )1(112≠--=+a aa n ”，在验证1=n 时，左边计算所得的项为（ ）A. 1B. a +1C. 21a a ++D. 321a a a +++3. 用数学归纳法证明：n n <-++++12131211 （*N n ∈，且1>n ）时，第一步即证下列哪个不等式成立（ ）A. 21<B. 2211<+C. 231211<++D. 2311<+ 4. 用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，nn y x +能被y x +整除”的第二步应是（ ） A. 假设12+=k n 时正确，再推32+=k n 时正确 B. 假设12-=k n 时正确，再推12+=k n 时正确 C. 假设k n =时正确，再推1+=k n 时正确D. 假设)1(≥≤k k n 时正确，再推2+=k n 时正确5. 空间中有n 个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k 个这样的平面把空间分成)(k f 个区域，则1+k 个平面把空间分成的区域数+=+)()1(k f k f （ ）A. 1+kB. kC. 1-kD. k 26. 用数学归纳法证明：“<-++++12131211n n （*N n ∈，且1>n ）”时，由k n =（1>k ）不等式成立推证1+=k n 不等式成立时，左边应增加的项数是（ ）A. 12-kB. 12-kC. k 2D. 12+k二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）7、平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交，每三个或三个以上的圆都不交于同一点，它们把平面分成_____________个部分。
极限习题及答案：数学归纳法
数列通项及用归纳法证明不等式例一、 在1与2间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这n+2个数成等比数列；又在1、2间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这n+2个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A ．求：（1）数列}{n A 和}{n B 的通项；（2）当7 n 时，比较A n 与B n 的大小，并证明你的结论．分析：考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法． 解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，,221123121 k n k n n n a a a a a a a a))(())()((121231212a a a a a a a a a a A n n n n n n.22,2)21(n n nn A2,,,,,,1321n b b b b 成等差数列，,3211 n b b.232)(1n n b b B n n所以数列}{n A 的通项22nn A ，数列}{n B 的通项.23n B n（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n n n要比较n A 与n B 的大小，只需比较22nn B A 与的大小，也就是比较当7 n 时，n 2与249n 的大小． 当n=7时，41110494949,12822 n n ，知.4922n n经验证，n=8,n=9时，均有2492n n 成立，猜想，当7 n 时有,4922n n下面用数学归纳法证明：（ⅰ）n=7时已证2492n n（ⅱ）假设)7( k k n 时不等式成立，即2492k k，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221 k k k k k k k k k,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722 k k k k k k k k k 故21)1(,492 k k ．即1 k n 时不等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）当7 n 时，2492n n成立，即.,22n n n n B A B A说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例一、 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 n na a a n n n（1）当21 a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式； （2）当31 a 时，证明对所有的1 n ，有（ⅰ）;2 n a n （ⅱ）.2111111121 n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21 a 得,311212 a a a由,32 a 得,4122223 a a a 由43 a ，得.5133234 a a a由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1 n n a n （2）（ⅰ）用数学归纳法证明： ①当213,11 a n ，不等式成立． ②假设当n=k时不等式成立，即2k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1 k k k k k a a a k k k 也就是说，当1 k n 时，.2)1(1 k a k根据①和②，对于所有1 n ，有.2 n a n （ⅱ）由1)(1 n a a a n n n 及（ⅰ），对2k ，有,121)121(1)1(1111 k k k k k a k k a k a a k …….1)1(2122211211 a a a k k k k于是,2,21111111 k a a k knk ka a a111111111nk k a 2111121n k k a 111.213121221说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k 成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题．数列与归纳法的综合题例一、 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n（Ⅰ）证明对任意;2)1(]2)1(3[51,101a a n n n n n nn（Ⅱ）假设对任意1 n 有1 n n a a ，求0a 的取值范围．分析： 本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考考灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力．证明：（Ⅰ）证法一：（1）当1 n 时，由已知0121a a ，等式成立． （ⅱ）假设当)1( k k n 等式成立，即].)1(2)1(3[5101a a a k k k k kk那么.2)1(]2)1(3[52323111a a a k k k k kkk kk].)1(2)1(3[510111a k k k k 也就是说，当1 k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）可知证法二：如果设).3(2311 n n n n a a 用1123 n n n a a 代入，可解出.51a 所以}53{n n a 是公比的－2，首项为531 a 的等比数列．).()2)(5321(5310 N n a a n n n即.2)1(52)1(302a a n n nn n n（Ⅱ）解法一：由n a 通项公式.23)1(523)1(32011111a a a n n n n n n n)(1 N n a a n n ①（ⅰ）当 ,2,1,12 k k n 时，①式即为.)23()15()1(32022 k k a即为.51)23(51320k a ② ②式对 ,2,1 k 都成立，有.3151)23(5110 a（ⅱ）当 ,2,1,2 K k n 时，.)23()15()1(22012 k k a即为.51)23(51220 k a ③ ③式对 ,2,1 k 都成立，有.051)23(512120 a综上，①式对任意 N n 成立，有.3100 a故0a 的取值范围为)31,0(解法二：如果)(1 N n a a n n 成立，特别取2,1 n 有.031001 a a a.06012 a a a因此 .3100a 下面证明当3100 a 时，对任意 N n ，有.01 n n a a 由n a 通项公式,2,1,12)(51 k k a a n n ，时.02523222352332)(511101111 n n n n n n n n a a a（2）当 ,2,1,2 k k n 时，.023********)(5111111 n n n n n n n n a a a故0a 的取值范围为).31,0(判断证明过程的正误例 试判断下面的证明过程是否正确： 用数学归纳法证明：)13(21)23(741 n n n证明：（1）当1 n 时，左边＝1，右边＝1 ∴当1 n 时命题成立．（2）假设当k n 时命题成立，即)13(21)23(741 k k k则当1 k n 时，需证))(23)(1(21]2)1(3[)23(741 k k k k由于左端等式是一个以1为首项，公差为3，项数为1 k 的等差数列的前n 项和，其和为)23)(1(21)131)(1(21 k k k k ∴)( 式成立，即1 k n 时，命题成立．根据（1）（2）可知，对一切N n ，命题成立．分析：看一个用数学归纳法证明数学问题是否正确．关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步归纳假设是否被应用，如果没有用到归纳假设，那就是不正确的．解： 以上用数学归纳法证明的过程是错误的．在证明当1 k n 时等式成立时，没有用到当k n 时命题成立的归纳假设，故不符合数学归纳法证题的要求．第二步正确的证明方法是： 假设当k n 时命题成立，即),13(21)23(741k k k 则当1 k n 时， )253(21)13()13(21]2)1(3[)23(7412 k k k k k k k]1)1(3)[1(21)23)(1(21 k k k k 即当1 k n 时，命题成立． 说明：用数学归纳法证题的两个步骤相辅相成缺一不可．尽管有些与正整数有关的命题用其它方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须严格按照数学归纳法的步骤进行，否则是不正确的．用数学归纳法证明等式例 用数学归纳法证明nn n n n n 121112)12(1431211 分析：用数学归纳法证明一个与整数有关的命题，关键是第二步，要注意当1 k n 时，等式两边的式子与k n 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．证明：（1）当1 n 时，左边21211，右边21，赞美式成立． （2）假设当k n 时，等式成立，即.2121112)12(1431211k k k k k 则当1 k n 时， )22)(12(12)12(1431211 k k k k )22)(12(1212111k k k k k 11221121213121k k k k k k 221121213121k k k k k )1)(1(1)1(12)1(11)1(1k k k k k k即当1 k n 时，等式成立．根据（1）、（2）可知，对一切N n ，等式成立．说明：解题过程中容易将1 k n 时，等式右边错写为)1()1(12111 k k k k ，从而导致证明错误或无法进行．特别要注意等式右边的每一个式子都在随n 的变化而变化．利用数学归纳法证明正切等式例 用数学归纳法证明)N ,2(tan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tann n n n n n分析：在由假设k n 时等式成立，推导当1 k n 时等式成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式，本题中涉及到两个角的正切的乘积问题，联想到两角差的正切公式的变形公式：1)tan(tan tan tan tan，问题就会迎刃而解．证明：（1）当2 n 时，左边222tan 1tan 2tan 1tan 2tan 右边222tan 1tan 22tan )tan 1(tan 22tan 2tan ，等式成立． （2）假设当k n 时，)N ,2(k k 等式成立，即k k k ktan tan tan )1tan(3tan 2tan tan 则当1 k n 时，)()1tan(tan tan tan )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tank k k k k k k k 由k k k k k k tan )1tan(1tan )1tan(])1tan[(tan得1tan tan )1tan()1tan(tank k k k代入)( 式，得 右边),1(tan )1tan(1tan tan )1tan(tan tank k k k k k即 )1tan(tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan k k k k).1(tan )1tan(k k这就是说，当1 k n 时等式成立．根据（1）、（2）可知，对任意N ,2n n ，等式成立．说明：灵活应用三角公式是解决三角问题常用的方法和技巧，恰当的应用公式是关键．如果应用公式cos sin tan来变形，本题就会出现困难．解决有关 tan tan ,tan tan 的式子时，经常要用到)tan( 展开式及其变形公式．利用归纳法证明整除问题例 用数学归纳法证明：17)13( nn 能被9整除．)N (n ．分析：证明一个与n 有关的式子)(n f 能被一个数a （或一个代数式)(n g ）整除，主要是找到)1( k f 与)(k f 的关系，设法找到式子)(),(21k f k f ，使得)()()()1(21k f a k f k f k f ，就可证昨命题成立．证明：（1）当1 n 时，2717)13( k ，能被9整除，命题成立． （2）假设当k n 时，17)13( kn 能被9整除，当1 k n 时，17)]2718()13[(17]7)1(21[17]1)1(3[1 k k k k k k k k k k k 7)32(9]17)13[(]17)13[( k k 和k k 7)32(9 都能被9整除． k k k k 7)32(9]17)13[( 都能被9整除．即17]1)1(3[1k k 能被9整除．即当1 k n 时，命题成立．由（1）、（2）可知，对任何N n 命题都成立． 说明：如果将1 k n 时，17]1)1[(1k k 变为673]17)13[(71 k k k 能被9整除，困难就大一些．本题也可用二项式定理把n7写成n)16( 展开后，再证明．用归纳法证明直线分割平面问题例 平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明这n 条直线把平面分成)2(212n n 个部分． 分析：用数学归纳法证明几何问题，主要搞清楚当1 k n 时比当k n 时，分点增加了多少个，区城增加了多少块，线段增加了多少条．本问题中第1 k 条直线与前k 条直线有k 个分点，平面区域增加了1 k 块．证明：（1）当1 n 时，平面被分成2部分．又2)211(212，命题成立． （2）假设当)N (k k n 时命题成立．即符合条件的k 条直线把平面分成)2(212k k 个部分．现在来考虑平面内有1 k 条直线的情况．任取其中的一条直线，记为l （如下图）图l 与其它k 条直线有k 个交点，平面区域增加了1 k 块，从而这1 k 条直线把平面分成了)1()2(212k k k )222(212 k k k ]2)1()1[(212 k k 根据（1）、（2）可知，命题对任何正整数都成立．说明：不能错误地认为第1 k 条直线被其它k 条直线分成k 段，区域增加了k 部分或2k 部分．证明有关几何问题，哪n 边形内角和公式，n 边形对角线条数公式，还要确定初始值0n 应为多少．由k n 到1 k n 时又是如何变化的．猜想并证明数列的通项例 对于数列}{n a ，若.1),10(1111n n a a a a a a a a且 （1）求422,,a a a ，并猜想}{n a 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．分析：由已知条件，可直接求出422,,a a a 式，通过观察归纳，猜想出n a 的表达式，再用数学归纳法加以证明．解：（1）,1,1111nn a a a a a a)1(111112242112 a a a a a a aa a a a a a a)1(11)1(11242462422213 a a a a a a a a a a a a a a a同理可得)1(124624684 a a a a a a a a a 猜想)1(1111)1(122221222242222222 n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a （2）（ⅰ）当1 n 时，右边12241)1(1a aa a a a ，等式成立． （ⅱ）假设当k n 时)N (k ，等式成立，即)1(1222 k k k a a a a ，则当1 k n 时，1)1(1122221 k k k k a a a a a a a a )1()1()1)(1(2222222 k k k a a a a a a,)1(1)1(2)2(2 k k a a a 这就是说，当1 k n 时，等式也成立．根据（ⅰ）、（ⅱ）可知，对于一切N n ，)1(1222 n n n a a a a 成立．说明：这类题型是常见题型，尤其是用数学归纳法证明与递推关系有关系的命题时，依归纳假设证明当1 k n 时命题也成立时，除了用上假设之外，一定还得用上递推关系，否则假设也没法用．这是用数学归纳法证明递推关系时值得注意的地方．。
数学选修4-5用数学归纳法证明不等式举例练习题含答案
11.由下列式子
…
猜想第 个表达式，并用数学归纳法给予证明．
12.是否存在常数 、 、 使等式 • 对一切正整数 成立？证明你的结论．
13.（1）已知 为实数，用分析法证明 ；13.
（2）用数学归纳法证明 ；
14.已知函数 ．设数列 满足 ， ，数列 满足 ， ．
（1）用数学归纳法证明 ；
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
20.
【答案】
证法一： 当 时，不等式左端 ，右端 ，所以不等式成立；
假设 时，不等式成立，即 ，
则
∴当 时，不等式也成立．
综合 、 得：当 时，都有 ．
证法二：设 ，
那么对任意 都有：
∴
因此，对任意 都有 ，
∴ ．
【考点】
用数学归纳法证明不等式
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
【考点】
用数学归纳法证明不等式
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
, , ,
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
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9.
【答案】
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【考点】
用数学归纳法证明不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
30.
【答案】
证明： 当 时，左 右，等式成立．
(完整版)数学归纳法典型例题1
数学归纳法典型例题【典型例题】例1. 用数学归纳法证明：时，。
解析：①当时，左边，右边，左边=右边，所以等式成立。
②假设时等式成立，即有，则当时，，所以当时，等式也成立。
由①，②可知，对一切等式都成立。
点评：（1）用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，（I）考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。
（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。
例2. 。
解析：（1）当时，左边，右边，命题成立。
（2）假设当时命题成立，即，那么当时，左边。
上式表明当时命题也成立。
由（1）（2）知，命题对一切正整数均成立。
例3. 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式成立。
解析：①当时，左=，右，左>右，∴不等式成立。
②假设时，不等式成立，即，那么当时，，∴时，不等式也成立。
由①，②知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立。
点评：（1）本题证明命题成立时，利用归纳假设，并对照目标式进行了恰当的缩小来实现，也可以用上归纳假设后，证明不等式成立。
（2）应用数学归纳法证明与非零自然数有关的命题时要注意两个步骤缺一不可，第①步成立是推理的基础，第②步是推理的依据（即成立，则成立，成立，……，从而断定命题对所有的自然数均成立）。
另一方面，第①步中，验证中的未必是1，根据题目要求，有时可为2，3等；第②步中，证明时命题也成立的过程中，要作适当的变形，设法用上归纳假设。
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由①、②可知，对一切自然数 n 等式成立． 题型 2.证明不等式
例 2．证明不等式1 1 1 1 2 n (n∈N)．
23
n
证明：①当 n=1 时，左边=1，右边=2． 左边<右边，不等式成立．
②假设 n=k 时，不等式成立，即1 1 1 1 2 k ．
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．
题型 3.证明数列问题 例 3(x＋1)n＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋an(x－1)n(n≥2，
n∈N*)． (1)当 n＝5 时，求 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 的值． (2)设 bn＝，Tn＝b2＋b3＋b4＋…＋bn.试用数学归纳法证明：当 n≥2 时，Tn
＝. 解： (1)当 n＝5 时， 原等式变为(x＋1)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－
1)5 令 x＝2 得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243. (2)因为(x＋1)n＝[2＋(x－1)]n，所以 a2＝Cn2·2n－2 bn＝＝2Cn2＝n(n－1)(n≥2) ①当 n＝2 时．左边＝T2＝b2＝2， 右边＝＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 即 Tk＝成立 那么，当 n＝k＋1 时， 左边＝Tk＋bk＋1＝＋(k＋1)[(k＋1)－1]＝＋k(k＋1) ＝k(k＋1)＝ ＝＝右边． 故当 n＝k＋1 时，等式成立． 综上①②，当 n≥2 时，Tn＝.
例 1．用数学归纳法证明：
证明：①n=1 时，左边 1 1 ，右边 1 1 ，左边=右边，等式成立．
13 3
21 3
②假设 n=k 时，等式成立，即：
1 1 3
1 35
1 5
7
2k
1
12k
Hale Waihona Puke 1k 2k 1
．
当 n=k+1 时．
这就说明，当 n=k+1 时，等式亦成立，
精心整理
数
学
归
纳
法
（
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 n 取第一个值 n0 （如 n0 1或 2 等）时结论正确；
（2）假设当 n k(k N, k n0 ) 时结论正确，证明 n k 1时结论也正确．
综合（1）、（2），…… 注意：数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。 二、题型归纳： 题型 1.证明代数恒等式
23
k
那么当 n=k+1 时， 这就是说，当 n=k+1 时，不等式成立． 由①、②可知，原不等式对任意自然数 n 都成立． 说明：这里要注意，当 n=k+1 时，要证的目标是
1 1 1 1 1 2 k 1 ，当代入归纳假设后，就是要证明：
23
k k 1
精心整理
2 k 1 2 k 1． k 1