高中数学 1.1正弦定理和余弦定理教案(4) 新人教A版必修5

正弦定理與餘弦定理

重要例題：

1. 設ABC ∆中，6,4,30==︒=∠c b A ，求其面積。

2. 在ABC ∆中，︒=∠120ABC ，BD 為ABC ∠的分角線且交AC 於D 點，試

證：BD

BC BA 1

11=+。若3=AB ，5=AC ，則=AD 。

類1. ABC ∆中，若︒=∠==120,8,6A AC AB ，則其面積為 。

類2. △ABC 中，5,2==BC AB ，面積為4，則=∠ABC cos 。 類3. 單位圓之內接正三角形面積為 。

類4. 若θ為四邊形ABCD 之對角線AC 與BD 的一個交角，試證：四邊形ABCD

面積=

θsin 2

1

⋅⋅⋅BD AC 。 類5. 凸四邊形ABCD 中，2=AB ，6=BC ，4=CD ，6=BD ，︒=∠60ABD ，

則四邊形的面積= 。 Ans: 1. 312，2. 5

3

±

，3. 433，4. 略，5. 2833+。

=2b ；=2c 。

5. 鈍角三角形的判別：三角形ABC 中，A ∠為鈍角若且唯若2

2

2

a c

b <+。

6. 海龍公式：設ABC ∆的三邊長為c b a ,,，2

c

b a s ++=

，則其面積為))()((c s b s a s s ---。

7. 投影定理：△ABC 中，b CA a BC c AB ===,,，則B c C b a cos cos +=，

=b ，=c 。

重要例題：

1. ABC ∆中，4,30,120=︒=∠︒=∠AC B C ，試解ABC ∆。

2. 設三角形兩邊長為10，6，夾角為

60，則第三邊長為 ，三角形面積

為 。 3. 在ABC ∆中，已知2,2==

b a ,13-=

c ，解此三角形。

4. 已知二邊與一角

120,10,310===B c b ，則ABC ∆之面積＝ 。

類1. 已知32=a ，6=

b ， 105=

c ，試解ABC ∆。

類2. ABC ∆中，已知

45,60==B A ，其最短邊為2公尺，試求(1)其他二邊

的長為 ，(2)面積為 。 類3. 已知ABC ∆三邊長為2

1

3,1,22

-===

c b a ，求三內角。

Ans: 1. ︒=∠︒=∠+=30,45,33B A c ，2. (1)13,6+,(2)

2

3

3+，3. ︒=∠︒=∠︒=∠15,135,30C B A 。

5. △ABC 三邊長為c b a ,,，且02=+-c b a ，023=-+c b a ，則

(1)C B A sin :sin :sin = ； (2)

=+C

B

A sin sin sin ；(3) 最大

角為 ；(4) =C cos ；(5)若△ABC 周長為15，則其面積為 ；(6)△ABC 之外接圓面積為 ；(7)△ABC 內切圓面積為 。

類1. △ABC 中，︒=∠45A ，︒=∠30B ，3=c ，則△ABC 之外接圓半徑

為 。

類2. ABC ∆中，5:4:3::=C B A 且AB ＝１，則 (A)

45=A (B)

60=B

(C)

75=C (D)13-=

BC (E)12+=BC

類3. △ABC 中，︒=∠45A ，︒=∠30B ，三邊之和為323++

，則最長邊

為 。

類4. 在△ABC 中，已知1=BC ，B A sin sin <，且A sin 與B sin 為

013482=+-x x 的兩根，則△ABC 的外接圓半徑等於 (A)13-

(B)132- (C)13+ (D)23+ (E)132+。(84.社)

類5. 半徑10的圓周上有三點C B A ,,，若5:4:3::=CA BC AB ，則△ABC

面積= 。

類6. △ABC 中，已知13:6:2::+=c b a ，則△ABC 為 △。(銳

角、直角或鈍角)

類7. 設△ABC 的三邊分別為a BC =，b CA =，c AB =，若

5:6:7)(:)(:)(=+++b a a c c b ，則=A cos 。 類8. △ABC 中，若

C B A c b a sin sin sin )(3

2

-+=-+，則其外接圓之直徑為 。

類9. 設△ABC 中，2=AB ，31+=AC ，︒=∠30A ，則=BC 。

(84.自)

類10. △ABC 中，若︒=∠︒=∠60,45C B ，26+=

a ，則=

b ，

=c ，外接圓半徑= 。

類11. 設圓內接四邊形ABCD 中，2,45,30=︒=∠︒=∠CD ACB CAD ，求

=AB ？

類12. 若ab c b a c b a 3))((=-+++，則=∠C 。

Ans: 1.

2)26(3-，2. ABCD ，3. 13+，4. C ，5. 24，6. 銳角，7. 87

，

8. 2

3

，9. 2，10. 2,32,22===R c b ，11. 22， 12. ︒60 。

6. 圓內接四邊形ABCD ，a AD AB ==，︒=∠90C ，︒=∠105D ，則對角

線=AC ，BD = 。

類1. 圓的內接四邊形ABCD 中，已知5=AB ，3=BC ，2=CD ，︒=∠60B ，