湖南省衡阳市2012届高三12月六校联考试题

湖南省衡阳市2012届高三12月六校联考试题

数学理

联考学校： 衡东一中 衡南一中 衡阳县一中 祁东二中 岳云中学 衡阳市一中 试题满分：150分 考试时量：120分钟 考试时间：2011-12-8

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注意事项：

将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答卷上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求的． 1．若

(),,,11R b a bi a i

i

∈+=+-则a b 的值是 ( )

A . 1

B . 0

C . 1-

D . 2- 2．全集,R U =且},086|{},21|{2<+-=>-=x x x B x x A 则=?B A C U )(（ ） A ．)4,1[- B. )3,2( C. ]3,2( D. )4,1(- 3．命题“"04

1

,2

≥+-∈?x x R x 的否定是（ ） A ．041,2

<+

-∈?x x R x B ．041

,2<+-??x x R x C ．041,2<+-??x x R x D ．04

1,2

<+-∈?x x R x

4．给定性质: ①最小正周期为π；②图象关于直线x =3

π

对称，则下列四个函数中，

同时具有性质①、②的是（ ）

A ．y = sin(

2x +6π) B ．y = sin(2x －6π) C ．y = sin(2x+6

π

) D ．y = sin|x | 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且

156ON a OM a OP =+

（直线MP 不过点O ）

，则S 20等于（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．40

6．已知函数)(x f 是),(+∞-∞上的偶函数，若对于0≥x ，都有)()2(x f x f -=+，且

当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则=+-)2012()2011

(f f （ ） A ．3log 12+ B ．3log 12+- C ．1- D ．1

7．实数y x ,满足条件??

?

??≥++-≤+≥05242

y x y x x 则该目标函数y x z +=3的最大值为 ( )

A ．10

B ．12

C ．14

D ．15

8．定义域为[,a b ]的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，M (x ，y )是()f x 图象上任意一点，其中[]1,0,)1(∈-+=λλλb a x ．已知向量()OB OA ON λλ-+=1，

若不等式k 恒成立，

则称函数()f x 在[,a b ]上“k 阶线性近似”．若函数x

x y 1

-=在[1，2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为( ) A ．[0，+∞) B ．????

??+∞,121 C ．??????+∞+,223 D ．??

?

???+∞-,223

二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题

卡中对应题号的横线上．

（一）选做题（请考生在第9，10，11题中任选两题，如果全做，按前两题给分）

9．若曲线的极坐标方程为=2sin 4cos ,ρθθ+,以极点为原点，极轴为x 轴正半轴 建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 ．

10．如图，圆O 是ABC ?的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D

3CD AB BC ===，则AC 的长为 ． 11．已知函数f (x )＝|x －

2|，若a ≠0，且a ，b ∈R ，都有 不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |·f (x )成立，则实数x 的取值 范围是 .

（二）必做题（12~16） 12．已知1

sin()3

απ+=-，且α是第二象限角， 则sin 2α＝ ．

13．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是

边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ．

14．在一个数列中，如果*

N n ∈?,都有k a a a n n n =++21（k 为常数），那么这个数列叫做等

积数列，k 叫做这个数列的公积。已知数列{}n a 是等积数列，且2,121==a a ，公积

为8，则1

2312a a a a ++++= ．

15．若等边ABC ?的边长为M 满足1263

CM CB CA =+

, 则

MA MB ?=

．

16．当

时，定义函数

表示n 的最大奇因数.如

，

，记

则

（1）S （3）=___________；（2）S （n ）=___________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知向量m ,1)4x =，n 2(cos ,cos )44x x

=，函数()f x =n m ? （1）若()1f x =，求2cos()3

x π

-的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足1

cos 2

a C c

b +=，求()

f B 的取值范围．

俯视图

已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形， 边长为2a ，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点. （1）求证：//AF 平面BCE ； （2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （3）求直线BF 和平面BCE 所成角的正弦值.

19. （本小题满分12分）

已知数列}{n a 满足条件：1a t =,121n n a a +=+ （1）判断数列}1{+n a 是否为等比数列；

（2）若1t =，令1

2n

n n n c a a +=?, 记n n c c c c T ++++= (321)

证明：（ⅰ）1

11

n n n c a a +=-

； （ⅱ）1n T <

20. （本小题满分13分）

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车 流速度v （单位：千米/小时）是车流密度 x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达 到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速 度为60千米/小时．研究表明当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）当0≤x ≤200时，求函数v （x ）的表达式；

（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位：辆/小时）f （x ）＝x ·v （x ）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）

A

B

C

D

E

F

已知函数x

a

x x f -=ln )(,x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R ． （1）当a =1时，判断)(x f 的单调性；

（2）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；

（3）设函数4)(2+-=mx x x h ,当2=a 时，若)1,0(1∈?x ，]2,1[2∈?x ，总有 )()(21x h x g ≥成立，求实数m 的取值范围．

22.（本小题满分13分）

函数)0(1)(>+=

x x

x x f ，数列{}n a 和{}n b 满足：11

2a =，)(1n n a f a =+，函数

)(x f y =的图像在点)))((,(*N n n f n ∈处的切线在y 轴上的截距为n b . （1）求数列{n a }的通项公式；

（2）若数列2{}n n n b a a λ-的项中仅5255

b a a λ

-最小,求λ的取值范围；

（3）若函数x x x g -=1)(，令函数,10,11)]()([)(2

2

<<+-?+=x x

x x g x f x h 数列{}n x 满足:10,2

11<<=n x x 且)(1n n x h x =+证明:2

222311212231()()()n n n n x x x x x x x x x x x x ++---+++

…<.

衡阳市2012届高三六校联考

理科数学试题参考答案

一．选择题（每小题5分，共40分）

1---4：BCDB 5—8：A CAD 二．填空题（共35分） （一）选做题

9. 5)1()2(22=-+-y x

10. 11. [0,4] (二) 必做题 12.

9

-

14. 28 15. - 2 16. (1) 16 (2) 4n-1

三．解答题（共75分） 17．（本小题12分）

解：由题意得：

2()cos cos 444x x x f x =

+111

cos sin()22222262

x x x π=++=++…（3分）

（1）若()1f x =，可得1

sin()262

x π+=，

则22cos()2cos ()1332x x ππ-=--212sin ()1262

x π=+-=- ………（6分） （2）由1cos 2a c c b +=可得2221

22

a b c a

c b ab +-+=,即222b c a bc +-= 2221

cos 22

b c a A bc +-∴==，得2,33A B C ππ=+= ……（9分）

2003236262

B B B ππππ

π<

13

()sin()(1,)2622

B f B π∴=++∈ 。。。。。。。。。。。。。（12分）

18．（本小题12分）

解：依题意，建立如图所示的坐标系A xyz -，则

()()(

)(

)(

)

000200,0,0,,,0,,2A C a B a D a E a a ，，,，，.

∵F 为CD

的中点，∴3,02F a a ?? ? ???

. (1) 证明

(

)

()3,0,,,2,0,2AF a BE a a BC a a ??===- ? ???

， ∵()

12

AF BE BC =+

，AF ?平面BCE ， ∴//AF 平面BCE . ………4分

(2) 证明

∵()

()3,,0,,0,0,0,222AF a a CD a ED a ??==-=- ? ???

，

∴0,0AF CD AF ED ?=?= ，∴,AF CD AF ED ⊥⊥

. ∴AF ⊥ 平面

CDE ，又//AF 平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE …….8分

(3) 解 设平面BCE 的法向量为(),,n x y z = ，由0,0n BE n BC ?=?=

可得：

0,20x z x z +=-=，

取()

1

,n =

.

又3,,22BF a a a ??=- ? ???

，设BF 和平面

BCE 所成的角为θ

，则sin 4BF n BF n θ==

=? . ∴直线BF 和平面BCE

. ………13分 19.（本小题满分12分）

解:（1）证明：由题意得11222(1)n n n a a a ++=+=+ ……………2分 又111a t +=+, 所以，当1t =-时，{1}n a +不是等比数列

当1t ≠-时，{1}n a +是以1t +为首项，2为公比的等比数列． …………5分 (2)解：由⑴知21n n a =-， ……………7分

故11

12211

(21)(21)2121

n n n n n n n n n c a a +++===----- 111n n a a +=-……………9分 12311111113372121n n n n T c c c c +??????∴=++++=-+-++- ? ? ?--??????

1

11121n +=-<-…………12分

20.（本小题13分）

解：（1）由题意：当0≤x ≤20时，v （x ）＝60；

当20≤x ≤200时，设v （x ）＝ax ＋b ．

再由已知得解得 200()3

x

v x -= ………4分

故函数v （x ）的表达式为

60,(020)()200,(20200)3x v x x

x ≤

=-?≤≤??……………………6分

（2）依题意并由（1）可得

60,(020)()(200)

,(20200)3x x f x x x x ≤

=-?≤≤??………………………………………8分

当0≤x ≤20时，f （x ）为增函数，

故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；……9分当20≤x ≤200时，f （x ）＝1

3

x

（200－x ）≤13

2

2002x x +-??

???＝100003． 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f （x ）在区间[20,200]上取得最大值．.13分

21.（本小题13分）

解：解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2

)('x a

x x f +=

， 1=a )(x f 在),0(+∞上单调递增；

（Ⅱ）x x

a

ax x g ln 5)(--=，)(x g 的定义域为),0(+∞

2

2255)('x a

x ax x x a a x g +-=-+= 因为)(x g 在其定义域内为增函数，所以),0(+∞∈?x ，

0)('≥x g max

222215155)1(05???

???+≥?+≥?≥+?≥+-?x x a x x a x x a a x ax

而2

5

15152≤+=+x

x x x ，当且仅当1=x 时取等号，所以25≥a

（Ⅲ）当2=a 时，x x x x g ln 522)(--=，2

22

52)('x

x x x g +-= 由0)('=x g 得21=x 或2=x 当)21,0(∈x 时，0)('≥x g ；当)1,2

1

(∈x 时，0)('

所以在)1,0(上，2ln 53)2

1

()(max +-==g x g 而“)1,0(1∈?x ，]2,1[2∈?x ，总有

)()(21x h x g ≥成立”等价于“)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最

大值”而)(x h 在]2,1[上的最大值为)}2(),1(max{h h 所以有???????≥≥)2()2

1()1()2

1

(h g h g

???-≥+--≥+-?m m 282ln 5352ln 53??

?

??-≥-≥?)2ln 511(21

2

ln 58m m 2ln 58-≥?m 所以实数m 的取值范围是) ,2ln 58[∞+-

22.（本小题满分13分）

解:(1) n

n n n a a a f a +=

=+1)(1 ， 得111 1.n n a a +-=

1

{}n

a ∴是以2为首项，1为公差的等差数列，故1.1n a n =

+ …………3分 (2) )0(1)(>+=x x x x f ，2

')1(1)(x x f +=∴， )(x f y =∴在点))(,(n f n 处的切线方程为2

1

(),1(1)

n y x n n n -=-++ 令0=x 得22.(1)n n b n =

+22

22(1)().24

n n n b n n n a a λλλλλ∴-=-+=--- 仅当5n =时取得最小值， 4.5 5.5.2

λ

∴<< ∴λ的取值范围为(9,11). ………6分

(3) ,10,1211]11[11)]()([)(2222

2<<+=+-?-++=+-?

+=x x x

x x x x x x x x x g x f x h

所以12

1(1),1n

n n n n n x x x x x x ++-=-?

+ 又因01,n x << 则1.n n x x +> 显然121

1.2n n x x x +>>>> …………8分

1211111

(1)21448

121

n n n n n n n

n x x x x x x x x ++-=-?≤?<=

+++-+

211111111

()11111()()()()8n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++--∴=-=--<-

222231121223112231

()()()1111111[()()()]

8n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++---∴+++<-+-++-……

111

111211

()(2

)88n n x x x ++=

-=- ………12分 111,2n x +<< 1112,n x +∴<< 1

1021n x +∴<-<

22223112122311()()()111

(2)88

n n n n n x x x x x x x x x x x x x +++---∴+++=-<

… ………13分