2018学年长宁一模高三数学教学质量检测试卷参考答案

2018学年第一学期高三数学质量检测试卷

参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．}6,4,3,2,1{ 2．1 3．20 4．6-

5．π33 6．),0(+∞ 7．5

52 8．)2,1[ 9．212 10．

209 11．⎭⎬⎫⎩⎨⎧31 12．3

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．B 14．B 15．D 16．C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由5|32|<-x 得 5325<-<-x ，……………………4分

解得 41<<-x ．

所以原不等式的解集是 )4,1(-．…………………………………6分

（2）原不等式可化为()()22260x x +->， ……………………4分

因为220x +>，所以62>x ， ……………………………………5分

解得 6l o g 2>x ． ………………………………………7分

所以原不等式的解集是()2log 6,+∞． ……………………………8分

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，

则侧棱PB 在底面ABCD 上的射影是DB ，

所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分 在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=

︒=∠， ………3分 由DB PD PBD =∠tan 得 2

415tan PD =︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分

所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分

（2）由题意知底面ABCD 是长方形，

所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分

因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，

得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，

所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分

因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD = ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分

又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，

所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分

由鳖臑的定义知，四面体PDBC 为鳖臑． ………………………8分

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

（1）证明：由余弦定理得 bc

a c

b A a

c b c a B 2cos ,2cos 2

22222-+=-+=， 则 bc

a c

b b a

c b c a a A b B a 22cos cos 2

22222-+⋅+-+⋅=+ c

a c

b

c b c a 222

22222-++-+=c = 所以 c A b B a =+cos cos ． ……………………………3分

由题意得 (i)(cos icos )3i a b A B +⋅+=，

即 3i )i cos cos ()cos -cos (=++A b B a B b A a ，

由复数相等的定义可得

0cos -cos =B b A a ，且3cos cos =+A b B a ，………………………5分

即 3=c ． ………………………………………………6分

（2）由（1）得 0cos -cos =B b A a ． ………………………1分

由正弦定理得 0cos sin cos sin =⋅-⋅B B A A ，

即 B A 2sin 2sin =． ……………………………………………………2分 因为 ),0(π∈A 、),0(π∈B ，

所以 B A 22= 或 π=+B A 22，

即 B A =或2π

=+B A ，即B A =或2π

=C ．

所以 ABC ∆知等腰三角形或直角三角形．………………………………4分

当B A =

时，2cos c A b ==，所以6A π=； ……………………6分 当2π

=C

时，sin 3b A c ==

，所以arcsin 3

A =． ……………8分

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：（1）设()()2h x f x x =+，则()()221h x x m x =-+++

由于()h x 是偶函数，所以对任意R ∈x ，()()h x h x -=成立．……2分 即 1)2(1))(2()(22+++-=+-++--x m x x m x 恒成立．

即 0)2(2=+x m 恒成立， …………………………………3分

所以 02=+m ，解得 2-=m ．

所以所求实数m 的值是 2-=m ． …………………………………4分

（2）由()2(

)3g x g π≤， 得22,362k k Z πππωπ⋅+=+∈ ，即132

k ω=+()k Z ∈ ………2分 当[0,]2x π

∈时，[,]6626x ππωππ

ω+∈+()0ω>， 因为sin y x =在区间[,]62

ππ的单调递增， 所以262ωπππ+≤，再由题设得203

ω<< …………………………5分 所以12

ω=． ……………………………………6分 （3）设函数()f x 在[]1,2上的值域为A ，()g x 在[]0,π上的值域为B ， 由题意和子集的定义，得A B ⊆．………………………………………2分 当],0[π∈x 时，]6

7,6[6πππ∈+x ，]2,1[)(-∈x g ． ………………3分 所以当[]1,2x ∈时，不等式2112x mx -≤-++≤恒成立， 由[]1,1,2m x x x

≤+

∈恒成立，得2m ≤， 由[]2,1,2m x x x ≥-∈恒成立，得1m ≥， 综上，实数m 的取值范围为[]1,2 ． ………………6分

其它做法，对应给分。