广东省2019年广州市普通高中毕业班综合测试(二)理科数学考试试题(二模)

2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

理科数学

2019.4/24 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是

A． B. C． D.

2．己知集合A= ，则

A.x|x<2或x≥6}

B.x|x≤2或x≥6

C.x|x<2或x≥10}

D.x|x≤2或x≥10

3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n=

A. 96

B. 72

C. 48

D. 36

4．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是

A. 21

B. 22

C. 23

D. 24

5．己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为

A.(3,4)

B. (4,5)

C. (-4,-3)

D. (-5,-4)

6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，则数学期望=

A． B.1 C. D．2

7．已知：,其中,则

A. B. C. D.

8．过双曲线的左焦点F作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右交于点P，若，则双曲线的离心率为

A. B. C. D．

9．若曲线y= x3 -2x2 +2在点A处的切线方程为y=4x-6,且点A在直线mx+ ny -l=0(其中m>0，n>0)上，则的最小值为

A.4

B. 3+2

C. 6+4

D.8

10．函数的部分图像如图所示，先把函数y=f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图像，则函数y=g(x)的图像的一条对称轴为

A.x=

B. x= C．x= - D．x= -

11.已知点P在直线x+2y-l=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M(x o，y o)，且1≤y o -x o≤7，则

的取值范围为

A. B. C. D.

12.若点A(t，0)与曲线y=e x上点P的距离的最小值为，则实数t的值为

A. 4-

B. 4-

C. 3+

D. 3+

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，向量a=2e1+e2，则|a|= ．

14．若(ax-l)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是____．

15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得

积。”如果把以上这段文字写成公式就是其中a，b，c是△ABC的内角

A，B，C的对边．若sinC=2sinAcosB，且b2，1，c2成等差数列，则△ABC面积S的最大值为____．16.有一个底面半径为R，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a的最大值为____．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：共60分．

17. （本小题满分12分）

己知{a n}是递增的等比数列，a2+a3 =4，a l a4=3．

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)令b n=na n，求数列{b n}的前n项和S n．

18. （本小题满分12分）

科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：

根据上表的数据得到如下的散点图．

(1)根据上表中的样本数据及其散点图：

(i)求;

(ii)计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度．

(2)若y关于x的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量。

附：

参考数据：

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∠APD=90°，且AD=PB．

(l)求证：平面PAD ⊥平面ABCD；

(2)若AD⊥PB，求二面角D-PB-C的余弦值．

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，动点M分别与两个定点A(-2，0)，B(2，0)的连线的斜率之积为

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)设过点（-1，0）的直线与轨迹C交于P，Q两点，判断直线x=与以线段PQ为直径的圆的位置关系，并说明理由．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)=lnx -

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个零点x l，x2，求k的取值范围，并证明x1+x2>

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4 -4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨

⎧+=+=α

αsin 3,

cos 2t y t x （t 为参数）．在以坐标原点为

极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2= 2p cosθ+8． (1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且求直线l 的倾斜角．

23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 己知函数f(x) =|2x-l|-a ．

(1)当a=l 时，解不等式f(x)>x+1； (2)若存在实数x ，使得f(x)< f(x+1)成立，求实数a 的取值范围.

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理科数学试题答案及评分参考

评分说明:

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．