第19讲 正定二次型_正定矩阵

C T AC 和 C T BC 均为对角阵．
证：因为 B 是正定矩阵，所以存在可逆实阵 P ，使 P T BP E ，由 A 是实 对 称 矩 阵 ， 故 P T AP 也 是 实 对 称 矩 阵 ， 于 是 存 在 正 交 矩 阵 Q ， 使
QT ( PT AP)Q diag(1 ,, n ) ， i 是 P T AP 的特征值．
2 2 如： f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 x3 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2
2 f ( x1 , x2 ) x12 x2
备注
T
是正定的； 是半正定的； 是正定的；
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x2 x3
1 0, 2 1 0, 3 2 0 ，
故 f ( x1 , x2 , x3 ) 正定．
2 2 例 2： 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 6x12 4x2 2x3 8tx1 x2 4x1 x3 是正定的， 试求 t 值．
解一：配方
f ( x1 , x2 , x3 ) 4( x2 tx1 ) 2 2( x3 x1 ) 2 4(1 t 2 ) x12
解一：配方
2 f ( x1 , x2 , x3 ) ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 2 2x3 0
等号在 x1 x2 x3 0 时成立，故 f ( x1 , x2 , x3 ) 正定． 解二：
1 1 0 ，求得 | A 1 2 1 0 1 3
10 2 1 1 x 6( y x) 2 4( z x) 2 3 3 2 2 2 26 2 40 2 5( x y z ) 2 ( y z ) 2 z 0 ，故为负定． 5 5 5 13 13
也可用西尔维斯特定理来判断． 例 4： 设 A 是实对称矩阵， B 是正定矩阵，证明：存在可逆实矩阵 C ，使得
而当 t 1 时， f ( x1 , x2 , x3 ) 是半正定的； t 1 或 t 1 时 f ( x1 , x2 , x3 ) 是 当
不定的． 例 3：判断二次型 f ( x, y, z) 5x 2 6 y 2 4z 2 4xy 4xz 的正定性． 解： f ( x, y, z) 5x 2 6 y 2 4z 2 4xy 4xz
当 4(1 t 2 ) 0 时， f 是正定的，这时 1 t 1 ． 解二： A 4t
2 6 4t 4 0 2 ， 1 0 2
6 0, 2 8(3 2t 2 ) 0, 3 32(1 t 2 ) 0 ，
3 2t 2 0 由 1 t 1 ，故当 1 t 1 时 f ( x1 , x2 , x3 ) 是正定的． 1 t 2 0
子式均为正；实对称矩阵 A 负定的充要条件为 A 的奇数阶顺序主子式均为负， 而偶数阶顺序主子式均为正，即 (1) k k 0 ( k 1, 2,, n )． 二、正定的判别法应用举例
2 2 例 1：判断二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x12 2x2 3x3 2x1 x2 2x2 x3 的正定性．
T
x Cy
2 y12 y2 y 2 y 2 1 yr2 ． p p
如果正惯性指数 p n ， y n 的系数为 0 或 1 ， 则 2 那么取 y 0 (0 ,0 ,,0 ,1) T ， 令 x 0 C y 0 ，因为 C 可逆，显然 x 0 0 ．但 f ( x 0 ) 0 或 1 ．这与 f 的正定性 矛盾，因此 p n ． “ ” f (x) x Ax 的正惯性指数等于 n ， 设 则可作可逆线性变换 x C y ， 化 f 为规范形，即 f (x) x Ax
授课时间 授课方式 （请打√）
第
周
星期
wk.baidu.com
第
节
课次 课时 安排
19 2
理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□
授课题目（教学章、节或主题） ： 第十九讲 正定二次型 教学目的、要求（分掌握、熟悉、了解三个层次） ： 了解正定二次型、正定矩阵的定义；熟练掌握正定性的判别法。 正定矩阵
教学重点及难点： 重点：正定性的判别定理及判别。 难点：判定定理的介绍。 教 学 基 本 内 容 一、实二次型正定性的概念 任实二次型 f (x) 均是一个 n 元实函数，由它恒正、恒负引入二次型的正 定及负定，三元二次函数对应了二次曲面，二次曲面的分类也与正定性有一 定的关系。 定义１：设实二次型 f (x) x Ax ，若对任意 x 0 ，恒有 （1） f (x) 0 ，则称 f 是正定的，称 A 为正定矩阵； （2） f (x) 0 ，则称 f 是负定的，称 A 为负定矩阵； （3） f (x) 0 ，则称 f 是半正定的，称 A 为半正定矩阵； （4） f (x) 0 ，则称 f 是半负定的，称 A 为半负定矩阵； （5）若 f (x) 既可大于零，又可小于零，则称 f 是不定的． [注 1] 二元正定二次型 f ( x, y) c 是椭圆；三元正定二次型 f ( x, y, z ) c 是椭 球面．
定理２： n 元实二次型 f (x) 是正定的 A 与 E n 合同 存在可逆阵 C ，使
A C T EC C T C ．
定理３： n 元实二次型 f (x) 是正定的 A 的特征值全为正数． 推论：若 A 是正定矩阵，有 | A | 0 ． （反之不成立，如 1 0 负定）
取 C PQ ，则 C T AC diag(1 ,, n ) ，且 C T BC QT Q E ，得证．
作业： 1、复习 P132-P134 3、习题：P136 教学后记： 2、复习全书各部分
32、33
是不定的．
[注 2] f (x) 是负定的 f (x) 是正定的．故着重讨论正定性． 二、实二次型正定性的判别法 定理 1： n 元实二次型 f (x) 是正定的 正惯性指数 p n ，或实规范形为
2 2 y12 y2 yn ，或它的标准形中各系数全为正数．
证： ”设 f (x) 是正定的．作可逆线性变换 x C y ，化 f 为规范形， “ 即 f (x) x Ax
A E | (2 )(2 4 1) ，特征值为：
故 1 2 0, 2 2 3 0, 3 2 3 0 ， f ( x1 , x2 , x3 ) 正定． 解三：
1 1 0 ， 1 A 1 2 1 0 1 3
T T
x Cy
2 2 y12 y2 yn ．
任取 x 0 0 ，令 y 0 C 1 x 0 (b1 , b2 ,, bn )T ．因为 C 1 可逆，显然 y 0 0 ，
2 2 从而可得 f ( x 0 ) b12 b2 bn 0 ．因此 f (x) 是正定的．
0 1
定 义 ２ ： 设 A aij

a11
a12
a1k
nn
， 称 a 21 a 22 a 2 k 为 A 的 k 阶 顺 序 主 子 式 k
a k1 a k 2 a kk
（ k 1, 2,, n ） ． 定理４（西尔维斯特定理） ：实对称矩阵 A 正定的充要条件为 A 的各阶顺序主