平面解析几何初步-知识点

平面解析几何初步

一、直线的概念与方程

1.直线的倾斜角：在直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按_______方向绕着交点旋转到___________所成的角，叫做直线l 的倾斜角。当直线l 和x 轴平行时，它的倾斜角为0O .倾斜角通常用α表示，倾斜角α的范围是

1800<≤α

2.直线的斜率：倾斜角的________值叫做直线的斜率。通常用字母k 来表示，即k =_________.

当k = 时,直线平行于x 轴或者与x 轴重合;当k 0时,直线的倾斜角为锐角;当k < 0时,直线的倾斜角为 ;当倾斜角α=90o 时，直线的斜率________. 3.直线的斜率公式：直线上两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),当1x =2x 时,直线的斜率 , 当1x ≠2x 时,直线的斜率为21

21

tan y y k x x α-==-

4.直线方程的五种表达形式及适用条件

（1）过点),(b a P 垂直于x 轴的直线的方程为：

过点),(b a P 垂直于y 轴的直线的方程为 （2）已知直线的纵截距为b ，可设其方程为：

（3）过原点且斜率为k 的直线的方程为 6．两条直线的位置关系：

（1）直线平行的条件： 两条不重合的直线21l l 、，根据两条直线平行的定义及性质可知1l //212αα=⇔l ,再由k 与α的关系可知:21//l l 时 或者

21k k 、均 ；反之21k k =或者21k k 、均不存在时两条直线平行。

注：考查两条直线平行时，应首先考虑斜率是否存在．．．．．．

。 （2）直线垂直的条件：两条直线21l l 、的倾斜角为21,αα则两条直线

21l l ⊥ 90||21=-⇔αα .根据两条直线的斜率判断两条直线垂直的情况分

为两类,一是:其中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为 ;二是:两条直线的斜率都存在,且乘积为 . 7.直线的交角：

⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时

2

1121tan k k k

k +-=θ.

⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是

⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当

90≠θ，则有2

1121tan k k k k +-=θ.

8. 距离公式

（1）两点间的距离公式：平面内任意两点1P ),(11y x ,2P ),(22y x 之间的距离为()()21221221y y x x P P -+-=

（2）点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l

的距离为d ，则有2

2

00B

A C By Ax d +++=

.

(3) 两条平行线间的距离公式：设两条平行直线11:0,l Ax By C ++=

)(0:2122C C C By Ax l ≠=++，它们之间的距离为d ，则有2

221B A C C d +-=

.

9.直线系

⑴在点斜式方程y -y 0=k (x -x 0)中，

①当（x 0，y 0）确定，k 变化时，该方程表示过定点（x 0，y 0）的旋转直线系， ②当k 确定，(x 0，y 0)变化时，该方程表示平行直线系.

⑵已知直线l ：0Ax By C ++=

则①方程0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量，表示与l 平行的直线系； ②方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量，表示与l 垂直的直线系。

⑶过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0

:222

21111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程为

λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包

括在内）

二、圆的方程

1.圆的方程的几种表达形式

（1） 圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中点),(b a C 为圆心，r 为半径. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 注：特殊圆的方程：

①与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ②与y 轴相切的圆方程2

2

2

)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ③与x 轴y 轴都相切的圆方程2

2

2

)()(a a y a x =±+± )]

,(,[a a a r ±±=圆心（2）圆的一般方程：02

2=++++F Ey Dx y x .

当042

2

>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫

⎝

⎛--

2,2E D C ，半径2

422F

E D r -+=

.

当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫

⎝⎛--

2,2

E D . 当042

2

<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.

（3）圆的参数方程：⎩⎨

⎧+=+=θ

θ

sin cos r b y r a x （θ为参数）.

（4）圆的直径式方程： 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=,其中

1122(,),(,)A x y B x y 是圆的一条直径的两个端点.（用向量可推导）

2.用待定系数法求圆的方程王新敞

：

（1）根据提议，选择标准方程或一般方程；

（2）根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； （3）解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程。 三、点、线、圆的位置关系

1.点和圆的位置关系：给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.

①M 在圆C 内22020)()(r b y a x -+-⇔

②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔

（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x -+-⇔

2.直线与圆的位置关系 ⑴代数法：直线l ：)0(022≠+=++B A C By Ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x 联立得方程组

2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩−−−→消元

一元二次方程24b ac

∆=-−−→000>⇔⎧⎪=⇔⎨⎪<⇔⎩

△相交△相切△相离

（2）几何法：设圆C ：)0()()(222 r r b y a x =-+-；直线l ：0=++C By Ax ；