关于型矩阵的特征值和特征向量的一个说明_徐怀

下面将证明 AB 和 BA 两个矩阵的非零特征值 是相同的， 所对应的特征空间的维数也是相同的， 并给出特征向量的表达式。 定理： 设有矩阵 A m ˑn B n ˑm ， 若 λ 为 AB 的非零 L， 特征值， 其对应的特征空间的维数为 α， ζ1 ， ζ1 ， ζα 是特征空间里的线性无关的特征向量， 则 λ 为 BA 的非零特征值， 其对应的特征空间的维数也为 α， B ζ1 ， B ζ1 ， L， B ζ α 是特征空间里的线性无关的特征 向量。 证明： 证明分成三部分： （ 1 ） 设 λ 为 AB 的非零特征值， ζ 为对应的特征 向量。 即 AB ζ = λζ， 在两端同时乘以 B n ˑm ， 有 BAB ζ = λBζ， 显然 B ζ ≠ 0 ， 若 Bζ = 0 ， 则由 AB ζ = λζ 知 λζ = 0 ， 这与 λ 为 AB 的非零特征值， ζ 为对应的特 征向量显然矛盾。
A Discussion of Eigenvalues and Eigenvectors about Matrix AB
XU Huai， WANG Xiao － tao， LIU Bao － kuan
（ School of mathematics，Anhui University，Hefei， 230039 ，China）
第 34 卷 第 4 期 2016 年 07 月
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） Journal of Jiamusi University （ Natural Science Edition）
Vol． 34 July
No． 4 2016
文章编号： 1008 － 1402 （ 2016 ） 04 － 0643 － 02
关于型矩阵的特征值和特征向量的一个说明
徐 怀， 汪啸涛， 刘保款
（ 安徽大学数学科学学院， 安徽 合肥 230039 ）
①
讨论和型矩阵的特征值和特征向量问题 。指出和两个矩阵的非零特征值是相同的 ， 且 所对应的特征空间的维数也是相同的 ， 并给出特征向量的表达式， 最后给出一个数值例子。这些 摘 结论的指出丰富了对型矩阵的认识 。 关键词： 矩阵； 特征值； 特征向量； 特征空间的维数 中图分类号： O151． 22 文献标识码： A B ζ 为对应的特 所以设 λ 为 BA 的非零特征值， 征向量。 （ 2 ） 设 λ 为 AB 的非零特征值， 其对应的特征 L， 空间的维数为 α， ζ1 ， ζ1 ， ζ α 是特征空间里的线性 无关的特征向量。 由第一部分的证明知： λ 为 BA 的 B ζ1 ， L， B ζ α ，是特征空间里的非零 非零特征值 B ζ1 ， 特征向量， 下证这个向量线性无关。 k2 ， L， kα ， 对任意的 k1 ， 令 k1 B ζ1 + k2 B ζ2 + L + k α Bζ α = 0 ， 在两端同乘 A m ˑn A（ k1 B ζ1 + k2 B ζ2 + L + k α B ζ α ） = AB0 即有 k1 λζ1 + k2 λζ2 + L + k α λζ α = 0 由于 λ 为 AB 的非零特征值， 即 k1 ζ1 + k2 ζ2 + L + kα ζα = 0， L， 注意到 ζ1 ， ζ1 ， ζ α 是特征空间里的线 k2 = 0 ， L， kα = 0。 所以 k1 = 0 ， 性无关的特征向量， B ζ1 ， L， B ζ α 是矩阵 BA 在特征值 λ 所对 故 B ζ1 ， 应的特征空间里的线性无关的特征向量 。 所以非负 特征值 λ 在矩阵 BA 中所对应的特征空间的维数大 于等于特征值 λ 在矩阵 AB 所对应的特征空间的维 数。 若记为 V λ （ AB ） 非负特征值 λ 在矩阵 AB 中所对 即有 V λ （ AB ） ≤ V λ （ BA） 。 反 应的特征空间的维数， 之亦 有 V …… λ （ BA） ≤ V λ （ AB ） 。 故 有 V λ （ BA） = V λ （ AB ） ， 即非负特征向量在 AB 和 BA 型矩阵的非 零特征值的维数相等。 （ 3 ） 由第二部分的证明知， L， 若 ζ1 ， ζ1 ， ζ α 为 AB 矩阵中非零特征值 λ 特征空间里的线性无关的特 B ζ1 ， L， B ζ α 为 BA 矩阵中非零特征 征向量， 则 B ζ1 ，
Abstract：
Eigen values and eigenvectors problems matrix AB and BA are discussed in the paper． We
point out that the non － zero Eigen values of matrix AB are the same as matrix BA and the dimension of eigen － subspace for matrix AB is the same as matrix BA，and gives expression of eigenvector for matrix AB and BA． Finally we present a numerical example． These conclusions enrich the understanding of the matrix AB and BA． Key words： matrix AB ； eigen value； eigenvector； dimension； eigen － subspace
= B －1 A －1［2］； 关于矩阵的秩
方面有下面的结论 r（ A） + r（ B ） － s ≤ r（ AB ） ≤ min（ r（ A） ， r（ B） ） ， B 的行数［3］。 其中 s 为 A 的列数， 而对于 AB 和 BA 型矩阵的特征值和特征向量方面 的问题讨论则比较少见。
1
主要结论
［ 1］ Andrew A L，Chu K W E，Lancaster P． Derivatives of eigenval． SIAM journal on ues and eigenvectors of matrix functions［J］ 1993 ， 14 （ 4 ） ： 903 － 926． matrix analysis and applications， ［ 2］ Zhang F． Matrix theory： basic results and techniques［M］． 2011． Springer Science ＆ Business Media， ［ 3］ Horn Ｒ A，Johnson C Ｒ． Matrix analysis［M］． Cambridge uni2012． versity press，
要：
0
引
言
在线性代数中， 有许多结论讨论型矩阵问题， B 是同阶方阵， 如行列式值问题， 设 A， 行列式值方 面有 | AB | = | A | | B | ； 转置方面有下面的结论 （ AB ） T = B T A T［1］； 逆矩阵方面有下面的结论， 设 A， B 是可逆矩阵， （ AB ）
－1
1 2
－1
8 得出 AB = 2 －2
8 5 4
－ 2 λ2 4 的特征值为 λ1 = 0 ， 5
= 9， 特征值 λ2 = 9 的维数为 2 ， 由于 AB 为实对称 所以特征值 λ2 = 9 的重数与对应的特征子 矩阵， 记其中的线性无关的的特 空间的维数相同均为 2 ， 征向量为 ζ1 ， ζ2 ， 由上述结论， 所以有 BA（ B ζ1 ） = 9 B ζ1 ， BA（ B ζ2 ） = 9 B ζ2 ， 即， BA［ B ζ1 ， B ζ2］ = ［ B ζ1 ， B ζ2］ 0 [9 ] 0 9
①
收稿日期： 2016 － 07 － 08 基金项目： 安徽大学大学生创业创新训练计划项目 （ J18515467 ） 。 作者简介： 徐怀（ 1976 － ） ， 安徽合肥人， 安徽大学数学科学学院副教授， 研究方向： 线性代数。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） 整理得： BA = ［ B ζ1 ， B ζ2］ 故有： BA = 9［ B ζ1 ， B ζ2］ 即 BA = 证毕 参考文献： 0 [9 ]。 0 9 0 Bζ ］ [9 ]［Bζ ， 0 9
1 2
2016 年
值 λ 特征空间里的线性无关的特征向量 。 证毕
2
数值例子
－1
最后给出一个数值例子。 例： 设 有 矩 阵 A3 ˑ2 B2 ˑ3 ， 且 AB = 8 － 2 8 9 0 。 证明 BA = 证明： 计算 5 4 2 ， 0 9 －2 4 5
[
]
0 Bζ ］ [1 ]［Bζ ， 0 1