不等式性质3
不等式的基本概念与性质
不等式的基本概念与性质在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。
不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。
不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。
2. 不等式的符号及其含义（1）≠：不相等。
表示两个数或两个代数式不相等。
（2）<：小于。
表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。
（3）≤：小于等于。
表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。
（4）>：大于。
表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。
（5）≥：大于等于。
表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。
3. 不等式的解集不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。
解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。
二、不等式的性质1. 不等式的传递性如果a＜b，b＜c，那么a＜c。
即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之间的大小关系也成立。
2. 不等式的加减性如果a＜b，那么a±c＜b±c。
即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。
3. 不等式的乘除性（1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。
即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。
（2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。
即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。
4. 不等式的倒置性如果a＜b，那么-b＜-a。
即不等式两边取相反数，不等式的方向发生改变。
5. 不等式的平方性（1）如果a＜b，且a、b≥0，那么a²＜b²。
即两个非负数之间的不等关系，其平方的大小关系保持不变。
新教材高中数学第一章预备知识3不等式3-1不等式性质课件北师大版必修第一册
+
>
.
+
1
,x>y,求证:
+
>
1
,x>y,∴
>
>
.
+
>0,∴0<
<
,故
0<+1<+1,即
角度3利用不等式性质求取值范围
【例4】 如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b, 2 的取值范围.
解因为3<a<7,1<b<10,
所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17.
以改变符号后移到不等号的另一边,称为移项法则,在解不等式时经常用到.
4.倒数法则:
如果a>b,ab>0,那么
1 1
<
a b
,结论成立的条件是a,b要同号.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数,不等式仍然成立.( × )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性.( × )
性质4(同向不等
如果a>b,c>d,那么a+c>b+d
式可加性)
如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
性质5(不等式的
如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd.
可乘性)
乘方法则:当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2
第3节 不等式的性质、一元二次不等式
第3节 不等式的性质、一元二次不等式1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式相应的函数、方程的联系.1.两个实数大小比较的基本事实{a -b >0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b =0⇔a b (a ,b ∈R ),a -b <0⇔a b (a ,b ∈R ). 2.不等式的基本性质3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表所示1.涉及实数的倒数有关的结论 (1)a>b,ab>0⇒1a <1b .(2)a<0<b ⇒1a <1b.(3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >bd.(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒1b <1x<1a.2.两个重要不等式(1)若a>b>0,m>0,则ba <b+ma+m.(2)已知a,b均为正数,s,t均为正整数,则a s+t+b s+t≥a s b t+a t b s.1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为( )A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}2.下列四个命题中为真命题的是( )A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,c>d,则a-c>b-dC.若a>|b|,则a2>b2D.若a>b,则1a <1 b3.一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x<13},则ab的值为( )A.-5B.5C.-6D.64.已知f(x)=x2+4x+1+a,∀x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.[√5-12,+∞} B.[2,+∞) C.[-1,+∞) D.[3,+∞)5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.不等式的性质及其应用1.已知a>0>b,则下列不等式一定成立的是( )A.a2>b2B.ab>b2C.ln|ab|>0 D.2a-b>12.已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是( )A.y>x≥zB.z≥x>yC.y>z≥xD.z≥y>x3.已知-1<x<4,2<y<3,则x-2y的取值范围是,3x+4y的取值范围是.4.已知-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,则3x-2y 的取值范围是 .1.根据不等式的性质判断不等式是否成立的方法主要是利用不等式的性质或特殊值法,而对于待比较的不等式的两端可以化为相同的函数的形式,可以利用构造函数,利用函数的单调性进行判断.2.当两个数(或式子)正负未知且为多项式时,用作差法,作差时要注意变形技巧.3.已知x,y 的范围,求由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围时,可利用不等式的性质直接求解.4.已知由ax,by(ab ≠0)通过加、减、乘、除构成的运算式子的范围,求解形如cx ±dy(cd ≠0)的范围问题时,要利用待定系数法,将cx ±dy 用已知条件的关系式整体代换.此种类型中不要直接求出x,y 的范围后求cx ±dy 的范围,由于a>b,c>d ⇒a+c>b+d 不是可逆的,因此容易出现错解.一元二次不等式的解法及其应用角度一 不含参数的一元二次不等式不等式-3<4x-4x 2≤0的解集为( ) A.{x|-12<x<32} B.{x|-12<x ≤0或1≤x ≤32}C.{x|1≤x<32} D.{x|-12<x ≤0或1≤x<32}a ≤f(x)≤b 等价于{f (x )≥a ,f (x )≤b .角度二 一元二次不等式与一元二次方程的关系(多选题)已知关于x 的不等式ax 2+bx+c>0的解集为(-1,3),则下列说法正确的是 A.a>0 B.bx-c>0的解集是{x|x>32}C.cx 2+ax-b>0的解集是{x|x<-23或x>1} D.a+b<c1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定 系数.角度三 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式:ax 2+(2-4a)x-8>0.1.一般地,在解含参数的一元二次型不等式时,若所给不等式能够直接通过因式分解求出方程的根,则需要从如下两个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x 1>x 2,x 1=x 2,x 1<x2.2.若含参数的不等式对应的二次方程的判别式含参数,主要对关于不等式对应的方程是否有根进行讨论. [针对训练](1)不等式组{x 2-1<0,x 2-3x ≥0的解集是( )A.{x|-1<x<1}B.{x|1<x ≤3}C.{x|-1<x ≤0}D.{x|x ≥3或x<1} (2)设函数f(x)={x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f(x)>f(1)的解集是( )A.(-3,1)∪(3,+∞)B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,3) (3)(多选题)对于给定实数a,关于x 的一元二次不等式a(x-a)(x+1)>0的解集可能为 A.R B.(-1,a ) C.(a,-1) D.(-∞,-1)∪(a,+∞)一元二次不等式恒成立问题角度一 一元二次不等式在R 上的恒成立问题若不等式2kx 2+kx-38<0对一切实数x 都成立,则k 的取值范围为( )A.(-3,0)B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0]一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是{a>0,b2-4ac<0.(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是{a<0,b2-4ac<0.角度二一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法若对任意的x∈[-1,2],都有x2-2x+a≤0(a为常数),则a的取值范围是( ) A.(-∞,-3] B.(-∞,0] C.[1,+∞) D.(-∞,1]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)最值转化法:若f(x)>0在集合A中恒成立,则函数y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分离参数转化为函数的值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.角度三一元二次不等式的有解问题若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是A.(-∞,-2) B.(-∞,-2] C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)一元二次不等式在给定区间上的有解问题,常用分离参数的方法,通过分离参数后利用:a>f(x)在区间[m,n]上有解,则a>f(x)min,a<f(x)在区间[m,n]上有解,a<f(x)max.(对于a≥f(x),a≤f(x)可类似处理)[针对训练](1)若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m<0成立,则m的取值范围为( )A.(13,+∞)B.(5,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,13)(2)若关于x的一元二次不等式ax2+2ax+1>0的解集为R,则实数a的取值范围是.(3)若对于任意的x∈[0,2],不等式x2-2ax-1≤0恒成立,则实数a的取值范围是.。
9.1.2(3)不等式的性质
实际问题 (不等关系) 数学问题 (不等式) 数学问题的解 (不等式的解)
V+30×50×30≤30×50×100 V+45000≤150000 V≤105000
又因为新注入水的体积V不是负数, 因此,V的取值范围是: V≥0 且 V≤105000. ● 你能在数轴上表示 V 的取值范围吗?
,且
x≥0
要考虑实际意义
A
c a b
1
B
C
三角形任意两边之和大于第三边.
a+b＞c ,a+c＞b ,b+c＞a
三角形一个外角大于与它不相邻 的任何一个内角.
∠1＞ ∠A ,∠1＞ ∠B
试一试
长方体形状的鱼缸长50cm, 宽30cm, 高100cm,鱼缸内原有水的高度为30cm, 现准备往里继续注水,用Vcm 表示新注 入水的体积, 你能写出V的取值范围吗?
练一练
一部电梯最大负荷为1000千克,有12人共 携带40千克的东西乘电梯, 他们的平均体重x 应满足什么条件?
检验
实际问题的解
练一练
机ห้องสมุดไป่ตู้零件的设计图纸:
(1)现有一个零件的尺寸为39.97,你认为这个 零件合格吗? (2)你能用不等式零件长度的合格尺寸(L的 取值范围)吗?
L≥39.98 且L≤40.02
想一想
A
c a b
a+ b＞c a+c＞b b+ c ＞a
三角形任意两边之和大于第三边.
B
C
三角形中任意两边之差与第三边又有怎样 的大小关系呢?
三角形任意两边之差小于第三边.
想一想
不等式的基本性质2、3
不等式的基本性质2、3学习目标理解、掌握不等式的基本性质2、3，会用不等式的基本性质2、3进行简单的不等式的变形；学习重难点不等式的基本性质3及其运用。
学习过程一、引入新课a)提出问题：能否解不等式：3x＞11？根据我们现有的知识无法解决这个问题，但是我们如果将问题中的“＞”改成“＝”便成了我们所熟悉的一元一次方程----3x＝11。
解这个方程，并指出求解过程中运用了哪些方程的简单变形？就像学习方程的简单变形之前要首先学习其变形的依据一样，学习不等式的简单变形之前也应先学习其变形的依据——不等式的性质。
上节课我们已经研究了不等式的性质1，回顾性质1：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 这堂课我们便来一起学习不等式的性质2、3b)探究新课阅读教材，尝试解决下面的问题：问题1：7 47×3 4×37×2 4×27×1 4×17×0 4×07×（-1） 4×（-1）7×（-2） 4×（-2）7×（-3） 4×（-3）7 × a 4 × a讨论：①请注意观察前面八个小问题，从数的符号的改变到不等号方向的改变，可以发。
现引起不等号方向改变的直接因素是乘了-----------------②试概括不等式的基本性质2、3不等式的性质 2：如果a＞b ，。
即：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向。
不等式的性质 3：如果a＞b ，。
即：不等式的两边都③根据我们刚刚总结出的规律，“ 7 × a 4 ×a”该怎样回答呢？二、巩固练习1、用不等号填空。
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质不等式是数学中一类非常重要的结构，其中内容涉及多个知识点，为研究和应用这类结构提供了有效的框架。
其中，不等式的4个基本性质是很重要的，它们是：（1）不等式的交换性；（2）不等式的可分解性；（3）不等式的传递性；（4）不等式的联合性。
本文旨在阐述这4个基本性质，并通过实例阐释它们的作用。
首先，让我们讨论不等式的交换性。
它的定义是：对于任一不等式，如果其双边都是相同的，那么可以交换左右两边。
比如，a>b，b<c，那么有a>c的结果，即a>b，b<c的结果等价于a>c的结果。
交换性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符时，可以通过交换左右两边，得到一个不同的不等式，而其结果也是完全相同的。
其次，让我们讨论不等式的可分解性。
它的定义是：对于一个不等式，可以将其分解成几个不等式的乘积，且其中的乘法操作不会改变其结果。
比如，有一个不等式x>2，那么，可以将其分解成x+1>3和x-3>-1两个不等式的乘积，且两边乘积的结果是不变的。
可分解性的作用是，可以将一个复杂的不等式，分解成若干个相对简单的不等式，有效拆解复杂问题，达到简化分析过程的目的。
第三，让我们讨论不等式的传递性。
它的定义是：如果某一不等式的两边都有相同的运算符，并且有一个中间变量，那么这个不等式的结果可以从左到右或者从右到左传递。
比如，a>b，b>c，那么可以得到a>c的结果。
传递性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符，并且有一个中间变量时，可以以中间变量为准，从左到右或者从右到左传递这个不等式的结果，从而可以得到更精确的结果。
最后，让我们讨论不等式的联合性。
它的定义是：当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以联合这两个变量，形成一个更大的范围。
比如，x>2，y>3，那么有x和y同时大于2和3，即x、y>2、3。
联合性的作用是，当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以将其联合，得到一个更大的范围，从而可以获得更精确的结果。
3、不等式基本性质
第2章不等式【教材解读】用不等式表示的不等关系是数学中的一种基本数量关系．本章内容包括不等式的性质、不等式的解法，两个基本不等式及其应用．不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据．在不等式的解法中，重点是解一元二次不等式，其它不等式一般都是通过等价变换化为一元一次或一元二次不等式（组）来解．本章的重点内容是不等式的性质和一元二次不等式的解法．难点是用不等式解决实际应用问题．不等式是高考必考的热点内容，往往与函数等其它知识相结合，主要考查学生分析问题、解决问题的能力与综合运用知识及逻辑推理能力．在复习中，我们必须注意以下几个方面：1．掌握不等式的性质，会对这些性质进行证明；会应用不等式的性质判断大小或证明简单的不等式．掌握比较法、综合法和分析法的基本思想．2．理解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，能熟练地解一元二次不等式，会对含有字母参数的一元二次不等式问题进行讨论．3．对分式不等式、含有绝对值的不等式和其它不等式，会运用转化的方法化为一元一次或一元二次不等式（组），但在复习中要注意控制这类不等式的难度．4．理解基本不等式，掌握它们的证明方法，会应用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的实际问题，要注意基本不等式的应用条件．5．在应用不等式解决函数、方程等方面的问题时，关键要将问题转化、化归为不等式问题，在转化和化归时，尤其要注意等价性，即注意在转化过程中一些变量的范围和式的等价变形．6．不等式的应用常见于解决实际问题，这时，要通过阅读充分理解背景材料，寻找材料中量与量之间的内在联系，抽象出材料中的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学关系式，从而建立起最佳数学模型，然后用不等式知识解决问题．7．函数、不等式、方程密不可分，它们之间既相互联系，也可以相互转化．因此，要加强不等式、函数、方程三部分知识的综合训练．8．要加强分类讨论思想的训练，如遇到含参数的问题，注意对参数进行分类讨论，在讨论的过程中，要合理分类，做到不重不漏．【知识结构】【教案样例】不等式的性质解不等式基本不等式一元二次不等式其它不等式不等式应用问题不等式的证明1．不等式的性质【教学目标】1．掌握不等式的性质并能加以证明，会用不等式性质判断大小关系． 2．会用比较法比较两个代数式的大小或证明简单的不等式．3．会用综合法证明简单的不等式．掌握综合法和分析法的基本思路及其表达．【教学重点】1．应用不等式的性质判断大小关系． 2．用比较法比较大小和证明不等式．【教学难点】用不等式的性质判断大小关系．【教学过程】一．知识整理1．不等式的性质．性质1 如果b a >，c b >，那么c a >． 性质2 如果b a >，那么c b c a +>+．性质3 如果b a >，0>c ，那么bc ac >；如果b a >，0<c ，那么bc ac <． 推论1 如果b a >，d c >，那么d b c a +>+．推论2 如果0>>b a ，那么nn b a >（*N n ∈）推论3 如果0>>b a ，那么n n b a >．2．用比较法判断或证明大小关系的依据．0>-b a b a >⇔；b a b a =⇔=-0；b a b a <⇔<-0．二．例题解析【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】给出下列命题，①若b a >，且d c =，则22bd ac >；②若b a <，则33b a <；③若0<<b a ，则b a 11>；④若0>>b a ，0>>dc ，则dbc a >；⑤若0<<b a ，0<<d c ，则bd ac <；⑥若b a <||，则b a b <<-． 其中是真命题的序号是____________________．【解答】解：②③⑥【属性】高三，不等式，不等式的性质，填空题，中，逻辑思维【题目】已知三个不等式：①0>ab ；②bda c >；③ad bc >．以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成_____________个正确命题．并加以证明．【解答】答案：3．证明如下：（1）若0>ab ，bda c >，在第二个不等式两边同乘以ab 得ad bc >．（2）若b d a c >，ad bc >，由条件知0≠ab ，假设0<ab ，在bda c >两边同乘以ab 得ad bc <，与ad bc >矛盾．（3）若0>ab ，ad bc >，在ad bc >两边同除以ab ，得bda c >．所以所得三个命题都是正确的．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】设a 、R b ∈，比较222c b a ++与24614a b c -+-的大小．【解答】解：0)3()2()1()14642(222222≥-+++-=-+--++c b a ca b a c b a ，当且仅当1=a 且2-=b 且3=c 时等号成立．所以，当1=a 且2-=b 且3=c 时，222c b a ++=14642-+-ca b a ； 当1≠a 或2-≠b 或3≠c 时，222c b a ++>14642-+-ca b a ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，证明题，中，分析问题解决问题【题目】已知a 、+∈R b ，*N n ∈，求证：n n n n ab b a b a +≥+++11．证明：))(()()()(11n n n n n n n n b a b a b a b b a a ab b a b a --=---=+-+++，因为a 、+∈R b ，*N n ∈，所以当b a >时，n n b a >；当b a =时，nn b a =；当b a <时，nn b a <，即只要b a ≠总有0))((>--n n b a b a ．所以n n n n ab b a b a +≥+++11（当且仅当b a =时等号成立）．【属性】高三，不等式，大小关系的判断，证明题，难，逻辑思维【题目】设1a ，2a ，1b ，R b ∈2，证明不等式2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++．将此不等式进行推广（只要写出推广后的不等式，不必证明）．【解答】证明：因为0)()())((212212221122212221≥-=+-++b a b a b a b a b b a a ，所以 2221122212221)())((b a b a b b a a +≥++．推广：设1a ，2a ，…，n a ，1b ，2b ，…，R b n ∈，则222112222122221)())((n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ ．三．课堂反馈【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】下列命题中，真命题的序号是_________________．①若b a >，则22bc ac >；②若22cb c a >，则b a >；③若0>>b a ，0>>d c ，则d bc a >；④不等式b a >与不等式ba 22>等价．【解答】答案：②④【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，易，运算已知x 、R y ∈，比较22y x +与524--y x 的大小．【解答】解：0)1()2()524(2222≥++-=---+y x y x y x ，所以52422--≥+y x y x （当2=x 且1-=y 时等号成立）．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，证明题，中，分析问题解决问题【题目】设x 、R y ∈，求证：y x xy y x ++≥++122．【解答】证法一：0])1()1()[(21)(122222≥-+-+-=++-++y x y x y x xy y x ． 证法二：因为x 、R y ∈，所以xy y x 222≥+，x x 212≥+，y y 212≥+，将这三个不等式相加得，y x xy y x 22222222++≥++，即y x xy y x ++≥++122．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知11<<-a ，比较a -1与a+11的大小．【解答】解：aa a a +-=+--11112，因为11<<-a ，所以01>+a ，02≤-a ，所以a a +≤-111（当且仅当0=a 时等号成立）．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，分析问题解决问题【题目】已知m 是实常数，解关于x 的不等式x m mx 242+<+．【解答】解：原不等式可化为4)2(2-<-m x m ．所以，当2=m 时，原不等式解集为空集；当2>m时，原不等式解集为{}2+>m x x ；当2<m 时，原不等式解集为{}2+<m x x ．四．课堂小结1．在应用不等式的性质进行不等式的推导、证明时，一是要注意不等式性质成立的条件．二是要防止由思维定势造成的错误——将等式性质迁移到不等式．2．用比较法判断或证明大小关系的基本步骤． （1）作差；（2）变形（因式分解或配方）；（3）判断符号．在比较两个正数的大小时，也可以用作商后与1比较的办法．如已知0>>b a ，比较b a ba 与abb a 的大小．可用1>⎪⎭⎫⎝⎛=-ba ab b a b a b a b a ．五．课后作业【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】若01<<<-βα，则βα-的取值范围是______________．【解答】答案：)0,1(-【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】能由条件y x <推得的结论序号有_____________．①y x y x ->+；②xy x >2；③0))((≥-+y x y x ；④x y y x -<-；⑤y x 32<【解答】答案：④【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，运算【题目】设1>a ，01<<-b ，将a 、a -、b 、b -、ab -按照从小到大的次序用“<”号排列起来为__________________________．【解答】答案：a ab b b a <-<-<<-【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】“d b c a +>+”是“b a >且d c >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：B【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】设a 、b 是非零实数，若b a <，则下列不等式中成立的是（ ）A ．22b a < B ．b a ab 22< C ．ba ab 2211< D ．b a a b <【解答】答案：C【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】已知2>a ，2>b ，试比较ab 与b a +的大小．【解答】解：1)1)(1()(---=+-b a b a ab ，由已知2>a ，2>b ，所以11>-a ，11>-b ，所以1)1)(1(>--b a ，即0)(>+-b a ab ．于是b a ab +>．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，逻辑思维【题目】已知||||b a b a m -++=，则以下不等式恒成立的是（ ）A ．||2a m ≤B ．||2b m ≤C ．||2a m ≥D ．|)||(|2b a m +≥【解答】答案：C ．利用||2|)()(|||||a b a b a b a b a =-++≥-++．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，难，逻辑思维【题目】设bx ax x f +=2)(满足2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，求)2(-f 的取值范围．【解答】解：设)1()1()2(nf mf f +-=-，则b m n a n m b a )()(24-++=-，所以⎩⎨⎧-=-=+24m n n m ，解得⎩⎨⎧==13n m ，所以)1()1(3)2(f f f +-=-，又因为2)1(1≤-≤f ，4)1(2≤≤f ，所以10)1()1(35≤+-≤f f ，即]10,5[)2(∈-f ．【题目资源】【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，运算【题目】若a 、R b ∈，则“0<<b a ”是“22b a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：A【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，运算【题目】在下列命题中，真命题是（ ）A ．若b a >，则c b c a ->-B ．若b a >，则cb c a > C ．若bc ac >，则b a > D ．若b a >，则22bc ac >【解答】答案：A【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】已知a ，b ，c ，d 为实数，且d c >，则“b a >”是“d b c a ->-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【解答】答案：D【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，易，逻辑思维【题目】正数a 、b 、c 满足c b d a +=+||||c b d a -<-，则（ ）A ．bc ad =B ．bc ad <C ．bc ad >D ．ad 与bc 的大小不确定【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】若b a >，则下列不等式中正确的是________________．①22b a >；②1<a b ；③0)lg(>-b a ；④ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121；⑤x b x a lg lg >（0>x ）⑥22bx ax >（R x ∈）；⑦xx b a 22⋅>⋅（R x ∈）；⑧ba 11<．【解答】答案：④⑦【属性】高三，不等式，大小判断，选择题，易，逻辑思维【题目】若0>>b a ，0>m ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．m a m b a b ++>B ．m b m a b a -->C ．m a m b a b ++<D ．mb m a b a --<【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，易，逻辑思维【题目】若02<+x x ，则2x ，x ，2x -，x -从小到大的排列是___________________．【解答】答案：x ，2x -，2x ，x -【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，易，逻辑思维【题目】已知a 、b 、+∈R c 且c b <，比较ab 与bc ac +的大小．【解答】解：bc b c a ab bc ac +-=-+)(，因为a 、b 、+∈R c 且c b <，所以0)(>-b c a ，0>bc ，所以0>-+ab bc ac ，即bc ac ab +<．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，中，逻辑思维【题目】适当地添加条件，使下列各命题成为真命题：（1）若b a >，则bc ac ≤； （2）若b a >，d c >，则bd ac >； （3）若b a >，则ba 11<； （4）若44b a >，则b a >．【解答】答案：（1）0≤c ． （2）0>a ，0>d 或0>b ，0>c 或0≥b ，0≥d ． （3）0<a 或0>b ． （4）0>a ． （本题答案不唯一）【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，运算【题目】若0<c ，则下列各式成立的是（ ）A ．cc 3> B ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛>31 C ．c c ⎪⎭⎫ ⎝⎛<313 D ．cc ⎪⎭⎫ ⎝⎛>313【解答】答案：C【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，运算【题目】如果01<<<-b a ，则有（ ）A ．2211b a b a <<<B ．2211a b b a <<< C ．2211b a a b <<< D ．2211a b ab <<<【解答】答案：D【属性】高三，不等式，比较法判断大小，填空题，中，运算【题目】当1>x 时，3x 与12+-x x 的大小关系为_________________________．【解答】答案：123+->x x x ．0)1)(1()1()()1(22323>+-=-+-=+--x x x x x x x x ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，中，运算【题目】已知0<<y x ，试比较))((22y x y x -+与))((22y x y x +-的大小．【解答】解：])())[(())(())((2222222y x y x y x y x y x y x y x +-+-=+---+)(2y x xy --=，因为0<<y x ，所以0<-y x ，0>xy ，所以0))(())((2222>+---+y x y x y x y x ，即))(())((2222y x y x y x y x +->-+．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，填空题，中，运算【题目】对于对于实数a ，b ，c ，有下列命题：①若b a >，则22bc ac >；②若22bc ac >，则b a >；③若0<<b a ，则22b ab a >>；④若0>>>b a c ，则b c b a c a ->-；⑤若b a >，ba 11>，则0>a ，0<b ．其中真命题的序号是________________（写出所有真命题的序号）．【解答】答案：②③④⑤．①错，因为当0=c 时，有022==bc ac ；②正确，因为由22bc ac >可得02>c ；③正确，因为由b a <，0)(2>-=-b a a ab a ，0)(2>-=-b a b b ab ；④正确，因为由0>>>b a c 得0>-a c ，0>-b c ，0>-b a ，b c b a c a ---0))(()(>---=b c a c b a c ；⑤正确，因为由b a >，b a 11>得0<-a b 且011>-=-aba b b a ，所以0<ab ，所以0>a ，0<b ．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，中，逻辑思维【题目】已知函数x x x f +=3)(，1x ，2x ，R x ∈3且021<+x x ，032<+x x ，013<+x x ，那么)()()(321x f x f x f ++的值（ ）A ．一定大于0B ．一定小于0C ．等于0D ．不能确定符号【解答】答案：B ．由已知，)(x f 为奇函数且在R 上是增函数，由021<+x x 得21x x -<，所以)()(21x f x f -<，即0)()(21<+x f x f ，同理0)()(32<+x f x f ，0)()(13<+x f x f ，因此0)()()(321<++x f x f x f ，故选B ．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，选择题，难，逻辑思维【题目】若直线1=+bya x 经过点)sin ,(cos ααM ，则（ ）A ．122≤+b aB ．122≥+b a C ．11122≤+b a D ．11122≥+ba【解答】答案：D ．由已知，1sin cos =+ba αα，)sin(cos sin 22ϕααα++=+=b a b a ab ， 所以2222b a b a +≤，两边同除以22b a 得11122≥+ba ．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，难，运算【题目】若1≥a ，试比较a a P -+=1和1--=a a Q 的大小．【解答】解：1111)1()1(-+-++=----+=-a a aa a a a a Q P0)1)(1(11<-++++--=a a a a a a ，所以Q P <．【属性】高三，不等式，比较法判断大小，解答题，难，运算【题目】已知0>a 且1≠a ，10<<x ，用作商法比较|)1(log |x a -与|)1(log |x a =的大小．【解答】解：|)1(log ||)1(log ||)1(log |)1(x x x x a a -=+-+，因为10<<x ，所以11>+x ，1102<-<x ，0)1(log 2)1(<-+x x ，所以1)1(log 111log )1(log |)1(log |2)1(2)1()1(>--=+--=--=-+++x xx x x x x x ，所以|)1(log ||)1(log |x x a a +>-．【属性】高三，不等式，不等式性质应用，解答题，难，逻辑思维【题目】已知c ax x f -=2)(且1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的取值范围．【解答】解：由已知14-≤-≤-c a ，541≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(，令)4()(9c a n c a m c a -+-=-，则⎩⎨⎧=+=+194n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3835n m ，所以]20,1[)3(-∈f ．【属性】高三，不等式，判断大小，解答题，难，逻辑思维【题目】已知R m ∈，1>>b a ，1)(-=x mxx f ，试比较)(a f 与)(b f 的大小．【解答】解：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(x m x f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(a m a f ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=111)(b m b f ． 由1>>b a 得011>->-b a ，所以111111-+<-+b a ． 所以，当0>m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111b m a m ，即)()(b f a f <； 当0=m 时，)()(b f a f =；当0<m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111111b m a m ，即)()(b f a f >．。
2024届新高考一轮复习人教A版 第一章 第3节 不等式的性质、一元二次不等式 课件(42张)
+
.
+
若 b>a>0,m>0⇒ >
1.(必修第一册P53练习T1改编)不等式-x2-5x+6≥0的解集为(
A.{x|-6≤x≤1}
B.{x|2≤x≤3}
C.{x|x≥3或x≤2}
D.{x|x≥1或x≤-6}
A )
解析:不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,
解析:因为 y= 在(0,+∞)上单调递增,所以 < ,A 正确;
因为 y= 在(0,+∞)上单调递减,所以 > ,B 正确;
+ (-)
+
- =
>0,所以
> ,C
+ (+)
+
因为
3
3
正确;当 c=0 时,ac =bc ,所以 D 不正确.
第3节
不等式的性质、一元二次不等式
[课程标准要求]
1.梳理不等式的性质,理解不等式的性质,掌握不等式的性质.
2.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,
了解函数的零点与方程根的关系.
3.经历从实际背景中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现
实意义,能借助一元二次函数的图象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元
3.已知 a∈(-3,-2),b∈(2,4),则 的取值范围是
.
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式知识点总结上学的时候，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？以下是小编收集整理的不等式知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。
不等式知识点总结篇1不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。
在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0)在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
不等式知识点总结篇21.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a>bb>a②传递性:a>b，b>ca>c③可加性:a>ba+c>b+c④可积性:a>b，c>0ac>bc⑤加法法则:a>b，c>da+c>b+d⑥乘法法则：a>b>0，c>d>0ac>bd⑦乘方法则：a>b>0，an>bn(n∈N)⑧开方法则：a>b>02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+，那么(当且仅当a=b时等号)如果为实数，则重要结论(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
不等式和它的基本性质 ppt课件3
1、了解不等式的概念，并能进行简单应用。 2、通过自主探究，理解和掌握不等式的基本性质。
重点难点：
1、探索不等式的三条基本性质，并能进行简单应用。 2、不等式性质2、3的掌握及综合应用。
回忆不等式解集和在数轴上的表示。 1、解集的概念 2、在数轴上表示的注意点
抽出若干位同学，分成甲、乙 两组，甲人数多乙人数少。 （1）若每组各增加3人，现在 哪组人数多？（2）若每组各 减少3人，现在哪组人数多？
一个数或同一个整式，不等式的方向不变。
例1：解不等式 （1）X－7＜8 （2）3X＜2X －3
解 ：不等式的两边都
加上7，不等式的方 向不变，所以 x－7＋7<8＋7， 得 x<15
解 ：不等式的两边都
减 去 2x （ 即 加 上 － 2x ），不等号的方向 不变，所以 3x－2x<2x－3－2x 得 x<－3
随堂练习： 解下列不等式，并在数轴上表示出它们的解集：
1 1 (1)1 x x 1 2 2 ( 2) x 7 12 (3)7 x 45 6 x ( 4 ) 4 1 .5 x 0 .5 x 7
不等式的两边都乘以（或除以）同 一个数，不等号的方向是否也不变呢 ？
请思考：如何将X的系数化为1？ 根据是什么？
随堂练习：解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1) 2 x 4 ( 2 )3 x 0 1 (3) x 2 3 1 ( 4) x 3 4
已知a＞b，判断下列不等式变形是否正确，并说明理由。
a b (1) c c 2 2 (2)ac bc (3)a(c 1)b(c 1)
试验探究
试一试，将不等式7 ＞4两边都乘以同一个数，比较所 得的数的大小，用“＜”或“＞”填空：
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1
水口坪中学七年级（下）数学案
七 年级 班 科目 数学 执笔 :邓开林 审阅 七年级数学教师 审核 廖正 训
课题 课时 使用者 预计使用时间 课型 实际使
用时间
不等式性质3（一）
1课时 第14周3 新课
三维目标
知识与能力：理解和掌握不等式的性质3
过程与方法：通过与性质2的对比加深对性质3的理解.
情感态度与价值观：在独立思考的基础上，积极参与对数学问
题的讨论，感受合作交流的好处.
教学重点
不等式的性质3的运用.
教学难点 不等式的性质3的理解.
教学过程
一、自主学习
1.知识回顾
（1）用 或 号表示大小关系的式子以及用 表示不等关系的式子，叫
做 ；
（2）使不等式成立的 叫做不等式的解；能使不等式成立的未知
数的 叫做不等式的解集；
（3）求不等式的解集的过程叫做 ；
（4）不等式的性质1
2 .
2.预习P126—127页例2.
3.自学疑难摘要 .
二、预习检测
用不等式的性质解不等式，并在数轴上表示解集；
（1）6x﹤5x-7 (2)4x+4﹥-12
三、合作探究
2
1.不等式的性质3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数， .
如果a﹥b,c﹤0,那么ac bc(或ca cb)
2. 用不等式的性质解不等式.
（1）108x （2）
323
1
x
四、展示提升
用不等式表示：
(1)a与7的和是非负数； （2）c的一半小于或等于6；
(3）a的4倍大于或等于36； （4）a的2倍与b的一半不小于0.
五、反馈与检测
1.设a﹥b,用“﹥”或“﹤”填空.
（1）5a-9 5b-9 (2)-3.4b+3 -3.4a+3
2.若L=45
±0.03,请写出L的取值范围.
3.长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点100m时他以4m/s的速度向终点冲
刺，在他身后10m的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到
达终点？
教与学的反思 学习小组长检查后签字：
检查时间： 月 日