高中数学 第四章 导数应用本章整合课件 北师大版选修11
高中数学(北师大版,选修11)：第四章+导数应用(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,10份)第
3．解决优化问题的基本思路：
牛刀小试 1．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面 积最小时，底面边长为( )
A.3 V
B.3 2V
C.3 4V
D．23 V
[答案] C
[解析] 如图，设底面边长为 x(x>0)，
则底面积
S＝
43x2，∴h＝VS＝
4V 3x2.
S 表＝x·43Vx2×3＋ 43x2×2
设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积 最小时，底面边长为( )
3 A. V
3 B. 2V
3 C. 4V
D．23 V
[答案] C
[解析] 设底面边长为 x，侧棱长为 l，则 V＝12x2·sin60°·l， ∴l＝ 43Vx2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝ 23x2＋ 4 3V x. ∴S 表′＝ 3x－4 x32 V＝0， ∴x3＝4V，即 x＝3 4V，又当 x∈(0，3 4V)时，S 表′<0； 当 x∈(3 4V，V)时，S 表′>0 ∴当 x＝3 4V时，表面积最小．
＝4 x3V＋ 23x2，
S′表＝ 3x－4 x32 V，令 S′表＝0 得 x＝3 4V，
因为 S 表只有一个极值，故 x＝3 4V为最小值点．
2．在周长为l的矩形中，面积的最大值为________．
[答案]
l2 16
[解析] 设一边长为 x，则另一边长为12(l－2x)，其面积 S ＝12x(l－2x) (0∴h＝2r，
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为
6πS 3π .
[方法规律总结] 1.利用导数解决实际问题中的最值的一 般步骤：
高中数学(北师大版,选修11)：第四章+导数应用(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,10份)第
第四章 §1 1.1一、选择题1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，6)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，6)上是减函数[答案] A[解析] ∵0<x <6，∴f ′(x )＝1＋1x >0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调增区间是( ) A ．(0，43)B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(43，＋∞)[答案] A[解析] f (x )＝x 2(2－x )＝2x 2－x 3，f ′(x )＝4x －3x 2，令f ′(x )>0，得0<x <43，故选A.3．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞) [答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键．4．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图像如图所示，则y ＝f (x )的图像最有可能的是( )[答案] C[分析]由导函数f′(x)的图像位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图像，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图像知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有()A．f′(x)>0，g′(x)>0B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0′，g′(x)>0D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析]由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.6．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为()[答案] D[解析] 函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A 、C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正，故D 选项符合．二、填空题7．函数f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6的单调递减区间为________． [答案] (13，3)[解析] f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝(3x －1)(x －3)，令f ′(x )<0，得13<x <3，故函数f (x )的单调递减区间为(13，3)．8．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________. [答案] 92[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92.9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－∞，0][解析] ∵f (x )＝x 3－ax 2－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－2ax －3， 又因为f (x )＝x 3－ax 2－3x 在区间[1，＋∞)上是增函数， f ′(x )＝3x 2－2ax －3≥0在区间[1，＋∞)上恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3≤1，f ′(1)＝3×12－2a －3≥0，解得a ≤0，故答案为(－∞，0]．三、解答题10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图像过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[答案] (1)a ＝4，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－3)，(13，＋∞)，减区间(－3，13)[解析] (1)∵函数f (x )的图像过点P (1,2)， ∴f (1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图像在点P 处的切线斜率为8， ∴f ′(1)＝8，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴2a ＋b ＝5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3， 令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13)．一、选择题11．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A. 12．函数f (x )＝－xe x (a <b <1)，则( )A ．f (a )＝f (b )B ．f (a )<f (b )C ．f (a )>f (b )D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 [答案] C[解析] f ′(x )＝(－xe x )′＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2＝x －1ex .当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a <b <1，∴f (a )>f (b )．13．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)>e 2012f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2012)<e 2012f (0) [答案] C[解析] ∵函数F (x )＝f (x )ex 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴函数F (x )＝f (x )ex 是定义在R 上的减函数，∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2012)<e 2012f (0)．故选C.14．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f ′(x )的图像可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.二、填空题15．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是____________． [答案] a ＜0[解析] 由题知f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12a >0，∴a <0. 16．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________．[答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1(x ＋2)2，由题意得x >－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数，∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[答案] (1)a ＝1，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－1)，(3，＋∞) 减区间(－1,3) [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3. (2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 18．已知f (x )＝e x －ax －1.(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[答案] (1)a ≤0 (2)a ＝1 [解析] (1)∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a . ∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. (2)f ′(x )＝e x －a .若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(e x)max. 当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1. ①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(e x)min.当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1. ②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．。
数学北师大版选修11 第四章2.1 实际问题中导数的意义 课件(30张)
[解] (1)c′(x)＝15002－84x′
＝5
284′×（100－x）－5 284×（100－x）′ （100－x）2
＝0×（100－（x1）00－－5x2）842×（－1）＝（10502－84x）2.
(2)c′(90)＝（1050－28940）2＝52.84(元/吨)，
c′(98)＝（1050－28948）2＝1 321(元/吨)．
s′(1)和 s′(2)分别表示 t＝1 s 和 t＝2 s 时，位移 s 关于时间 t 的瞬时变化率，即瞬时速度．
方法归纳 (1)套用ΔΔst公式即可求出平均变化率，即质点在该段时间内 的平均速度；
(2)利用导数运算法则求出质点的运动方程 s＝s(t)的导数， 它表示 t 时刻的瞬时速度．
1.电流通过一导线，从0时刻到t时刻通过该导线横断面的电 荷量Q与t有如下的函数关系：Q＝4t2＋t＋1(Q的单位：C；t 的单位：s)，求t＝3时的瞬时电流． 解：∵Q＝4t2＋t＋1，∴Q′(t)＝8t＋1. t＝3时，Q′(3)＝8×3＋1＝25(A)．
4．若某段导体通过的电量 Q(单位：C)与时间 t(单位：s)的函 数 关 系为 Q＝ f(t)＝210t2＋ t－ 80， t∈ [0， 30]，则 f′(15)＝
_52__C__/s___，它的实际意义是_t_＝__1_5_s_时__的__电__流__强__度__为__52__C_/_s. 解析：Q′＝f′(t)＝110t＋1，令 t＝15，则 f′(15)＝52 (C/s)，它表 示 t＝15 s 时的电流强度，即单位时间内通过的电量．
导数在物理中的应用
某质点的运动方程为s＝2t2＋3t，其中s是位移 (单位：m)，t是时间(单位：s)． (1)求t从1 s变到3 s时，位移s关于时间t的平均变化率，并解释 它的实际意义； (2)求s′(1)，s′(2)，并解释它们的实际意义． (链接教材第四章2.1例1)
【高中课件】高中数学北师大版选修11导数与函数的单调性导学课件ppt.ppt
(续表)
【解析】(1)函数 y=x 的定义域为 R,并且在定义域上是增函数,其导数 y'=1>0. (2)函数 y=x2 的定义域为 R,在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递 增. 而 y'=2x,当 x<0 时,其导数 y'<0;当 x>0 时,其导数 y'>0;当 x=0 时,其 导数 y'=0. (3)函数 y=x3 的定义域为 R,在定义域上为增函数. 而 y'=3x2,若 x≠0,则其导数 3x2>0,当 x=0 时,其导数 3x2=0. (4)函数 y=1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在(-∞,0)上单调递减,在
问题2 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就 说这个函数在这个区间M上具有 单调性 ,区间M称为 单调区间 . 问题3 判断函数的单调性有 图像法 和 定义法 ,图像法是作出函 数图像,利用图像找出上升或下降的区间,得出结论.奇函数在两 个对称的区间上具有 相同 的单调性;偶函数在两个对称的区 间上具有 相反 的单调性.定义法是利用函数单调性的定义进行 判断,通过设变量、作差、变形、定号,得出结论. 作图并观察函数的图像,找出图像上升(或下降)的起点和终点的
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 单调增函数 .(如图(1)所示)
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、 x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上 是 单调减函数.(如图(2)所示)
高中数学(北师大版,选修11)：第四章+导数应用(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,10份)第
第四章 §2 2.2 第2课时一、选择题1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cm B.1033cmC.1633cmD.2033cm[答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2，其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033.当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0，所以当x ＝2033时，V 取最大值．2．将数8拆分为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( ) A ．2和6 B ．4和4 C ．3和5 D ．以上都不对[答案] B[解析] 设一个数为x ，则另一个数为8－x ，则y ＝x 3＋(8－x )3,0≤x ≤8，y ′＝3x 2－3(8－x )2，令y ′＝0，即3x 2－3(8－x )2＝0，解得x ＝4.当0≤x <4时，y ′<0，函数单调递减；当4<x ≤8时，y ′>0，函数单调递增，所以x ＝4时，y 最小．3．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为，那么容器容积最大时，高为( ) A ．0.5m B ．1m C ．0.8m D ．1.5m [答案] A[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ，则高为6－12x －16x 4＝⎝⎛⎭⎫32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·⎝⎛⎭⎫32－7x ＝18x 2－84x 3⎝⎛⎭⎫0<x <314，V ′＝36x －252x 2，由V ′＝0得x ＝17或x ＝0(舍去)．x ∈⎝⎛⎭⎫0，17时，V ′>0，x ∈⎝⎛⎭⎫17，314时，V ′<0，所以在x ＝17处，V 有最大值，此时高为0.5m.4．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.5．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( ) A.3V B.3V πC.34V D ．23V 2π[答案] D[解析] 设底面圆半径为r ，高为h ，则V ＝πr 2h ，∴h ＝V πr 2.∴S 表＝2S 底＋S 侧＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2＋2πr ·V πr 2＝2πr 2＋2V r .∴S 表′＝4πr －2Vr 2，令S 表′＝0得，r ＝3V 2π，又当x ∈(0，3V 2π)时，S 表′<0；当x ∈(3V 2π，V )时，S 表′>0，∴当r ＝3V2π时，表面积最小．6．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1 D ．－8[答案] C[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1. 二、填空题7．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最小，则圆柱的底面半径为________． [答案] 3[解析] 设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R 2，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π27R，∴S ′(R )＝2πR －54πR 2＝0，令S ′＝0得R ＝3，∴当R ＝3时，S 表最小．8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10km/h 时燃料费是每小时6元 ，而其他与速度无关的费用是每小时96元，则此轮船的速度为______km/h 航行时，能使行驶每公里的费用总和最小．[答案] 20[解析] 设船速为每小时x (x ＞0)公里，燃料费为Q 元，则Q ＝kx 3， 由已知得：6＝k ·103， ∴k ＝3500，即Q ＝3500x 3.记行驶每公里的费用总和为y 元，则 y ＝(3500x 3＋96)·1x ＝3500x 2＋96xy ′＝3250x －96x 2，令y ′＝0，即3250x －96x 2＝0，解之得：x ＝20.这就是说，该函数在定义域(0，＋∞)内有唯一的极值点，该极值必有所求的最小值，即当船速为每小时20公里时，航行每公里的总费用最小，最小值为7.2元．9.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________．[答案][解析] 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，∴窗户周长L ＝πx ＋2x ＋2h＝π2x ＋2x ＋Sx， ∴L ′＝π2＋2－S x 2.由L ′＝0，得x ＝2Sπ＋4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0，∴当x ＝2S π＋4时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1. 三、解答题10．(2014·福州市八县联考)永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝30万元时，y ＝50.5万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)．(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)． [答案] (1)f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10) (2)24.4万元[解析] (1)由条件可得⎩⎨⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×302＋10150×30－b ln3＝50.5，解得a ＝－1100，b ＝1， 则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－(x －1)(x －50)50x ，令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数， ∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝24.4(万元)．即该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值为24.4万元.一、选择题11．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25 D ．50[答案] C[解析] 如图，设∠NOB ＝θ，则矩形面积S ＝5sin θ·2·5cos θ＝50sin θ·cos θ＝25sin2θ，故S max ＝25.12．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A ．2πr 2 B ．πr 2 C ．4πr 2 D.12πr 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ， 则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21.∴S ＝4πr 2r 21－r 41.令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝22r . 此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝⎛⎭⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2.13．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 39 000＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300[答案] D[解析] 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000,0≤x ≤390.由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x ≤300时，p ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大，故选D.二、填空题14．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <32)，故体积为V ＝2x 2⎝⎛⎭⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1， ∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3.15．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________件．[答案] 25[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ， 由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．三、解答题16．(2014·三峡名校联盟联考)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．(保留1位小数)[答案] (1)10 (2)3.3元/套 [解析] (1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)[10x －2＋4(x －6)2]＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在(0，103)上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在(103，6)上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．17．(2014·山东省德州市期中)统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数为y ＝1128000x 3－380x ＋8(0<x <120)． (1)当x ＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ [答案] (1)11.95升 (2)200千米[解析] (1)当x ＝64千米/小时时，要行驶100千米需要10064＝2516小时，要耗油(1128000×643－380×64＋8)×2516＝11.95(升)．(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a 千米，由题意得， (1128000x 3－380x ＋8)×ax ＝22.5， ∴a ＝22.51128000x 2＋8x －380，设h (x )＝1128000x 2＋8x －380， 则当h (x )最小时，a 取最大值，h ′(x )＝164000x －8x 2＝x 3－80364000x 2，令h ′(x )＝0⇒x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，当x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，故当x ∈(0,80)时，函数h (x )为减函数，当x ∈(80,120)时，函数h (x )为增函数， ∴当x ＝80时，h (x )取得最小值，此时a 取最大值为 ∴a ＝22.51128000×802＋880－380＝200.答：若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．18．设有一个容积V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，问如何设计使总造价最小？[答案] 当此铁桶的高与底面半径之比为时，总造价最小．[解析] 设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，又设单位面积铁的造价为m ，桶的总造价为y ，则y ＝3m πr 2＋m (πr 2＋2πrh )．由于V ＝πr 2h ，得h ＝V πr 2，所以y ＝4m πr 2＋2mV r (r >0)．所以y ′＝8m πr －2mVr2，令y ′＝0，得r ＝⎝⎛⎭⎫V 4π13 ，此时，h ＝V πr2＝4⎝⎛⎭⎫V 4π13 . 当r ∈⎝⎛⎭⎫0，⎝⎛⎭⎫V 4π13时，y ′<0，当r ∈⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫V 4π13，＋∞时，y ′>0，因此r ＝⎝⎛⎭⎫V 4π13 是函数y ＝4m πr 2＋2mVr(r >0)的极小值点，也是最小值点．故当r ＝⎝⎛⎭⎫V 4π13时，y 有最小值，即h r ＝时，总造价最小．。
高中数学 第四章 导数应用 4.1.2 函数的极值课件7 北
3
3
∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (2) 28
当x=2时, f(x)的极小值为 f 2 4 3
3
单调递增
归纳总结：求函数y=f(x)的极值的步骤:
1.确定函数的定义域 2.求函数的单调区间
3.利用数轴标根法确定极大值、极小值
点，并求出函数的极值
达标检测：
1.若函数 f(x)的导函数 f′(x)的图像， 如右图所示，则( )
(图二)
y f x
hx
（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个 点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小， 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。
（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个 函数的极大值未必大于极小值。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端 点不可能成为极值点。
（1）如图是函数 y f x 的图象,试找出函数 y f x的
极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
y
x3
a x1 o x2 x4 x5
yy ff' xx x6 b x
答:
（1）. x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是 函数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
第四章 导数应用 1.2 函数的极值
学习目标
• 1.能利用导数求函数的极值 • 2.掌握求函数的极值的方法和步骤 • 重点：会利用导数求函数的极值 • 难点：函数极值点的判断和求解
本节课必须掌握的知识点
1.极大值、极小值、极值的定义
2.判断f( x0 )是极大值、极小值的方法
4.2实际问题中导数的意义课件北师大选修11
工具
第四章 导数应用
栏目导引
2.在高台跳水中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)， 与起跳后的时间 t(单位：s)间的关系式为 h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，求运动员在 t＝6958 s 时的瞬时速度，并解释此时的运 动状况．
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第四章 导数应用
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解析： 令 t0＝6958，Δt 为增量，则 h(t)在 t＝t0 处的导数 为运动员在此刻的瞬时速度．
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解析： Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝2(1－4－Δt)2－2(1－4)2 ＝2Δt2＋12Δt ΔΔst＝2Δt＋12 ∴瞬时速度 12. 答案： A
工具
第四章 导数应用
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2．从时间t＝0开始的t s内，通过某导体的电量(单位：C)可 由公式q＝2t2＋3t表示，则第5 s时的电流强度为( )
限趋近于 0 时，ΔΔvt 趋向于一个常数 a，这个常数 a 就称为物
体在 t 时刻的瞬时加速度．
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第四章 导数应用
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即运动物体的速度 v(t)对时间 t 的导数，即 v′(t)＝ ΔΔvt 称为物体运动时的瞬时加速度． 此外，在物理学中有许多变化与导数有关，如温度的变 化，物体受热或受冷后的伸长或缩短等．
工具
第四章 导数应用
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2．瞬时速度 我们知道，非匀速直线运动的物体，位移 s 与所经过的时 间 t 的关系式是 s＝s(t)．设 Δt 为时间改变量，从 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的位移是 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么，位移 改变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比，就是这段时间内物体的平均 速度 v ，即 v ＝ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0，物体在 t0 时的瞬时速度 v， 就是运动物体在 t0 到(t0＋Δt)这段时间内的平均速度 v 在 Δt 趋 于零时所趋近的那个数．
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2
由 f'(x)=0,得 x= 或 x=-1. =- ,f(-1)= ,f(-2)=0,f(2)=0,
9 50 9 2
4 3
∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-27.
题型一
题型二
题型三
反思1.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时,可 考虑用导数的方法求解. 2.比较极值与端点函数值大小时,有时需要利用作差或作商,甚至 需要分类讨论,由函数的最值求参数值.
题型一
题型二
题型三
已知函数最值求参数值 【例3】 已知函数f(x)=ax3-6ax2+b在[-1,2]上有最大值3,最小值29,求a,b的值. 解:由题意,知a≠0. 因为f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),x∈[-1,2], 所以令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去). 若a>0,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
题型一
题型二
题型三
这也是函数f(x)在区间[1,5]上的最小值. 又因为f(1)=-1,f(5)=15, 所以函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为f(5)=15. 综上所述,函数f(x)在区间[1,5]上的最大值为15,最小值为-9. 反思函数的最值与极值及单调性密切相关,因此在求解函数的最 值的问题时,一般都要判断函数的单调性与极值点.导数是研究函 数与极值的有力工具.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知函数f(x)=ax3+c,且f'(1)=6,函数在[1,2]上的 最大值为20,则c的值为( ) A.1 B.4 C.-1 D.0 解析:∵f(x)=ax3+c, ∴f'(x)=3ax2. 则f'(1)=3a=6,∴a=2. ∴f(x)=2x3+c,f'(x)=6x2≥0, ∴f(x)在[1,2]上是增加的. ∴f(x)的最大值为f(2)=16+c=20, ∴c=4. 答案:B
高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用4.2.1实际问题中导数的意义课件北师大版选修11
题型二
题型三
题型四
反思根据导数的实际意义,在物理学中,除了我们所熟悉的位移、 速度与时间的关系,功、功率与时间的关系,还应了解质量关于体 积的导数为密度,电荷量关于时间的导数为电流强度等.因此,在解 释某点处的导数的物理意义时,应结合这些导数的实际意义进行求 解.
题型一
题型二
题型三
题型一
题型二
题型三
题型四
导数在日常生活中的意义 【例3】 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度 的提高,所需净化费用也不断增加,已知将1吨水净化到纯净度为x% 5 284 c ( x ) = 时所需费用(单位:元)为 (80<x<100). 100-������ (1)求c'(x); (2)求c'(90),c'(98),并解释它们的实际意义. 分析:(1)利用导数的求导法则求出c'(x);(2)分别将x=90,98代入,即 可求出c'(90),c'(98),又c'(x)是净化费用的瞬时变化率,从而可知 c'(90),c'(98)的实际意义.
4.2.1
实际问题中导数的意义
1.利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解. 2.理解瞬时速度、边际成本等概念,并能利用导数解决有关实际 问题.
实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.在 物理学中,速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于线长的导 数,功率是功关于时间的导数,加速度是速度关于时间的导数;在经 济学中,边际成本是生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)当 x 从 10 件提高到 20 件时,总成本 C 从 C(10)=2 675 元 变到 C(20)=3 350 元. 此时总成本的平均改变量为