高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.2知识点总结含同步练习题及答案
(好题)高中数学选修1-1第一章《常用逻辑用语》测试(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知命题p ：x R ∀∈，0x x +≥，则（ ） A ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +≤ B ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +≤ C ．p ⌝：x R ∃∈，0x x +<D ．p ⌝：x R ∀∈，0x x +<2．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）A ．p ：a c b d +>+，q ：a b >且c d >B ．p ：1a >， 1b >，q ：()x f x a b =-(0a >且1a ≠)的图像不过第二象限C ．p ：1x =，q ：2x x =D ．p ：1a >，q ：()log a f x x =(0a >且1a ≠)在()0,∞+上为增函数 3．“∀x ∈R ，e x -x +1≥0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，e x -x +1<0 B ．∃x ∈R ，e x -x +1<0 C ．∀x ∈R ，e x -x +1≤0 D ．∃x ∈R ，e x -x +1≤0 4．命题“a ∀∈R ，20a >或20a =”的否定形式是（ ）A ．a ∀∈R ，20a <B ．a ∀∈R ，20aC ．0a R ∃∈，200aD ．0a R ∃∈，200a <5．“2a =”是直线“1:210l ax y ++=与2:3(1)30l x a y ++-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．“x y <”是“1122log log x y >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件7．命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是（ ） A ．,40x x ∀∉<R B ．,40x x ∀∈≤R C ．00,40xx ∃∉<RD ．00,40x x ∃∈≤R8．若,a b ∈R ，使||||6a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．6a b +≥B ．6a ≥C ．6b <-D ．||3a ≥且3b ≥9．命题:p “11,22xx N *⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭”的否定为（ ）A ．11,22xx N *⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭B ．11,22xx N *⎛⎫∀∉> ⎪⎝⎭C ．0011,22x x N *⎛⎫∃∉> ⎪⎝⎭D ．0011,22xx N *⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭10．命题“21,1x x ∀>>”的否定是（ ） A ．21,1x x ∀>≤B ．21,1x x ∀≤≤C ．21,1x x ∃≤≤D ．21,1x x ∃>≤11．若条件:|1|1p x -，条件:q x a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ） A ．2aB ．2aC ．2a -D ．2a -12．“2x <”是“22320x x --<”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要二、填空题13．若命题“2,10x x ax ∃∈-+≤R ”是假命题，则a 范围是_________． 14．下列说法中，正确的序号为___________．①命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”；②已知,x y R ∈，则“10x y +≠”是“5x ≠或5y ≠”的充分不必要条件； ③命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真；④若p q ∨为真命题，则p ⌝与q 至少有一个为真命题； 15．命题p ：已知0a >，且满足对任意正实数x ，总有1ax x+≥成立.命题q ：二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性.若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则实数a的取值范围为_________；16．若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.17．能够说明“设x ，y ，z 是任意实数.若x y z >>，则x y z >+”是假命题的一组整数x ，y ，z 的值依次为______.18．命题“x R ∀∈，使20x a -≥”是真命题，则a 的范围是________. 19．原命题“若1z 与2z 互为共轭复数，则2121z z z =”，则其逆命题，否命题，逆否命题中真命题的个数为___________． 20．条件:25p x -<<，条件2:0x q x a+<-，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题21．已知2:760p x x -+≤，22:230q x ax a -≤-．（1）若1a =，“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知A ={x |112x +-<0}，B ={x |x 2-2x+1-m 2<0，m>0}. （1）若m =2，求A ∩B ；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围. 23．已知集合{}3A x x a =<+，501x B x x ⎧⎫-=>⎨⎬+⎩⎭.（1）若2a =-，求()RAB ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．命题:p 函数()0,1xy cc c =>≠是R 上的单调减函数；命题:120q c -<．若p q∨是真命题，p q ∧是假命题，求常数c 的取值范围．25．在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：命题“如果直线l 过点T （3，0），那么OA OB ⋅＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 26．已知: p x R ∀∈，230ax x -+>，:[1,2]q x ∃∈，21x a ⋅≥.（1）若p 为真命题，求a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，且p q ∧为假命题，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行否定即可得答案. 【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p ：x R ∀∈，0x x +≥的否定为：p ⌝：x R ∃∈，0x x +<. 故选：C.2．A解析：A 【分析】一一分析每个选项中,p q 的充分必要性即可. 【详解】A 选项中，由不等式的性质可知,q p p q ⇒⇒，故p 是q 的必要不充分条件；B 选项中，若:()(0x q f x a b a =->且1)a ≠的图象不过第二象限，则1,1a b >≥，故p 是q 的充分不必要条件；C 选项中，若q ：2x x =，则1x =或0，故p 是q 的充分不必要条件；D 选项中，若:()log (0a q f x x a =>,且1)a ≠在(0,)+∞上为增函数，则1a >，故p 是q 的充要条件； 故选：A.3．B解析：B 【分析】由全称命题的否定即可得解. 【详解】因为命题“∀x ∈R ，e x -x +1≥0”为全称命题， 所以该命题的否定为：∃x ∈R ，e x -x +1<0. 故选：B.4．D解析：D 【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得出结论. 【详解】命题“a ∀∈R ，20a >或20a =”为全称命题，该命题的否定为“0a R ∃∈，200a <”.故选：D.5．A解析：A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当2a =时，1:2210l x y ++=，2:10l x y +-=，此时两直线斜率都是1-且不重合，所以12//l l ，即2a =可以得出12//l l ， 若12//l l ，则21313a a =≠+- ，即()16a a +=，解得3a =-或2a =， 所以12//l l 得不出2a =，所以“2a =”是“直线1:210l ax y ++=与直线2:3(1)30l x a y ++-=平行”的充分不必要条件， 故选：A6．B解析：B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 【详解】解：若0x y <<，则1122log log x y >不成立，故不具有充分性，因为12log y x =单调递减，若1122log log x y >，所以x y <，故有必要性，故选：B .7．D解析：D 【分析】利用全称命题的否定可得出结论. 【详解】命题“,40x x ∀∈>R ”的否定是“00,40x x ∃∈≤R ”，故选：D.8．C解析：C 【分析】利用不等式的性质以及充分条件、必要条件的定义逐一判断即可. 【详解】A ，3+36≥，不满足6a b +> ；B ，660a b =≥=，，不满足6a b +> ；C ，由6b <-可得6a b +>，反之，6a b +>，得不到6b <-，如2,5a b ==-.D ，33≥，33≥，不满足6a b +>. 故选：C9．D解析：D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得正确选项. 【详解】命题:p “11,22x x N *⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭”的否定为0011,22xx N *⎛⎫∃∈> ⎪⎝⎭，故选：D.10．D解析：D 【分析】根据命题的否定的定义写出命题的否定． 【详解】命题“21,1x x ∀>>”的否定是21,1x x ∃>≤．故选：D ．11．A解析：A 【分析】转化成两个集合之间的包含关系求解即可. 【详解】:|1|1p x -解之得02x ≤≤设{}|02A x x =≤≤，{}|B x x a =，p 是q 的充分不必要条件，则A 是B 的真子集 则2a 故选：A12．B解析：B 【分析】解不等式22320x x --<，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解不等式22320x x --<，可得122x -<<， {}2x x < 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，因此，“2x <”是“22320x x --<”的必要不充分条件. 故选：B.二、填空题13．【分析】由题设可得为真命题利用判别式可得a 的范围【详解】因为命题是假命题故恒成立故即故答案为： 解析：(2,2)-【分析】由题设可得2,10x x ax ∀∈-+>R 为真命题，利用判别式可得a 的范围. 【详解】因为命题“2,10x x ax ∃∈-+≤R ”是假命题，故x ∀∈R ，210x ax -+>恒成立，故240a ∆=-<即22a -<<. 故答案为：(2,2)-.14．①②【分析】对于①把特称命题否定为全称命题即可；对于②由充分条件和必要条件的定义判断即可；对于③取验证即可；对于④由为真命题得命题与命题至少有一个为真命题由此可判断【详解】解：对于①命题的否定是所以解析：①②【分析】对于①，把特称命题否定为全称命题即可；对于②，由充分条件和必要条件的定义判断即可；对于③，取0m =验证即可；对于④，由p q ∨为真命题，得命题p 与命题q 至少有一个为真命题，由此可判断 【详解】解：对于①，命题“2,0x R x x ∃∈->”的否定是“2,0x R x x ∀∈-≤”，所以①正确；对于②，因为10x y +≠，所以5x =与5y =不可能同时成立，即10x y +≠可得5x ≠或5y ≠，但5x ≠或5y ≠不能得到10x y +≠，比如4,6x y ==，可得10x y +=，所以“10x y +≠”是“5x ≠或5y ≠”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，题“若22am bm <，则a b <”的逆命题为“若a b <，则22am bm <”，当0m =时，结论不成立，所以③错误；对于④，若p q ∨为真命题，则命题p 与命题q 至少有一个为真命题，而当命题p 为真命题，命题q 为假命题时，p ⌝与q 均为假命题，所以④错误， 故答案为：①②15．或【分析】依据题意知p 均为真命题再计算p 为真命题时的取值范围求公共解即得结果【详解】若或与均为真命题则p 均为真命题若命题为真命题即且满足对任意正实数总有成立而当且仅当时等号成立故则若命题为真命题即二解析：1143a ≤≤或23a ≥【分析】依据题意知p ，q 均为真命题，再计算p ，q 为真命题时a 的取值范围，求公共解即得结果. 【详解】若“p 或q ⌝”与“q ”均为真命题，则p ，q 均为真命题.若命题p 为真命题，即0a >，且满足对任意正实数x ，总有1ax x+≥成立，而a x x +≥=a x x =时等号成立，故min 1a x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则14a ≥. 若命题q 为真命题，即二次函数2()6f x x ax a =-+在区间[]1,2上具有单调性， 由对称轴3x a =，故31a ≤或32a ≥，故13a ≤或23a ≥. 由p ，q 均为真命题，知14a ≥，且13a ≤或23a ≥， 故1143a ≤≤或23a ≥.故答案为：1143a ≤≤或23a ≥.16．【分析】由题意得从而解出实数a 的取值范围【详解】若命题使得成立是真命题则在上有解即解得或故答案为：【点睛】关键点点睛：开口向上的二次函数图象的应用 解析：()(),13,-∞-+∞【分析】由题意得()2140a ∆=-->，从而解出实数a 的取值范围． 【详解】若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则()2110x a x +-+<在R 上有解，即()2140a ∆=-->，解得3a >或1a <-. 故答案为：()(),13,-∞-+∞【点睛】关键点点睛：开口向上的二次函数图象的应用.17．321(答案不唯一)【分析】由题意举出反例即可得解【详解】由题意整数满足但不满足所以的值依次可以为321故答案为：321(答案不唯一)解析：3，2，1(答案不唯一) 【分析】由题意举出反例即可得解. 【详解】由题意，整数x ，y ，z 满足x y z >>，但不满足x y z >+， 所以x ，y ，z 的值依次可以为3，2，1. 故答案为：3，2，1(答案不唯一).18．【分析】等价于在恒成立即得解【详解】命题使是真命题等价于时恒成立所以在恒成立所以故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的真假求参数的问题的求解意在考查学生对该知识的理解掌握水平解析：0a ≤. 【分析】等价于2a x ≤在x ∈R 恒成立，即得解. 【详解】命题“x R ∀∈，使20x a -≥”是真命题等价于x ∈R 时，2x a ≥恒成立. 所以2a x ≤在x ∈R 恒成立， 所以0a ≤. 故答案为：0a ≤ 【点睛】本题主要考查全称命题的真假求参数的问题的求解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.19．1【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假【详解】解：根据共轭复数的定义原命题若与互为共轭复数则是真命题；其逆命解析：1 【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假，根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假，再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假. 【详解】解：根据共轭复数的定义，原命题"若1z 与2z 互为共轭复数，则2121z z z =”是真命题；其逆命题是：“若2121z z z =，则1z 与2z 互为共轭复数”，例10z =，23z =，满足条件，但是1z 与2z 不是共轭复数，原命题的逆命题是假命题；根据原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，原命题的否命题是假命题逆否命题是真命题. 故答案为: 1 【点睛】本题考查原命题, 逆命题，否命题，逆否命题的真假,是基础题.原命题与其逆否命题同真同假，否命题与逆命题互为逆否命题，同真同假，原命题的否命题是假命题逆否命题是真命题.20．【详解】解：是的充分而不必要条件等价于的解为或故答案为： 解析：5a >【详解】 解：p 是q 的充分而不必要条件，p q ∴⇒，20x x a+<-等价于(2)()0x x a +-<，(2)()0x x a +-=的解为2x =-，或x a =， 5a ∴>，故答案为：(5,)+∞．三、解答题21．（1）(][)1,13,6-；（2）(,6][2,)-∞-⋃+∞．【分析】（1）分别解二次不等式求出命题p 、q 为真命题时x 的范围，由已知条件可得p ，q 一真一假，讨论p 真q 假、p 假q 真即可求解；（2）若p 是q 的充分不必要条件，可得不等式2760x x -+≤的解集是不等式22230x ax a --≤解集的真子集，讨论0a ≥和0a <时22230x ax a --≤的解集，借助数轴即可求解. 【详解】（1）由276(1)(6)0x x x x -+=-≤-，解得16x ≤≤．当1a =时，由223(3)(1)0x x x x --=-≤+，解得13x -≤≤． 因为“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以p ，q 一真一假． 当p 真q 假时，[]1,6x ∈且(,1)(3,)x ∈-∞-⋃+∞，所以(]3,6x ∈； 当p 假q 真时，()(,6,1)x ∈-∞+∞且[]13,x ∈-，所以[)1,1x ∈-．故实数x 的取值范围为(][)1,13,6-．（2）根据（1）知，:16p x ≤≤．因为22:23(3)()0q x ax a x a x a -=-+≤-，且p 是q 的充分不必要条件，所以当0a ≥时，:3q a x a -≤≤，则136a a -≤⎧⎨≥⎩，解得2a ≥；当0a <时，:3q a x a ≤≤-， 则31,6a a ≤⎧⎨-≥⎩，解得6a ≤-． 综上，实数a 的取值范围为(,6][2,)-∞-⋃+∞． 【点睛】结论点睛：用集合的观点看充分不必要条件：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 22．（1）{}12x x <<；（2）2m ≥ 【分析】（1）分别求两个集合，再求交集；（2）根据条件转化为A B ,列不等式求解. 【详解】 （1）1110022x x x -+<⇔<--，解得：12x <<， {}12A x x ∴=<<，()()22210110,0x x m x m x m m -+-<⇔-+--<>，解得：11m x m -<<+，{}11B x m x m ∴=-<<+；当2m =时，{}13B x x =-<<，{}12A B x x ∴⋂=<<；（2）若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则A B , 1112m m -≤⎧∴⎨+≥⎩，解得：2m ≥. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．23．（1）{}11x x -<≤；（2）(],4-∞-.【分析】（1）先求出集合A ，B 和B R ，再利用交集运算即得结果； （2）先根据充分不必要条件得到集合A ，B 的包含关系，再列关系计算即可. 【详解】（1）∵{|1B x x =<-或}5x >，∴{}15R B x x =-≤≤， 当2a =-时，{}1A x x =<，因此，{}11R A B x x =-≤<；（2）∵x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，∴A B ⊆，且A B ≠，又{}3A x x a =<+，{|1B x x =<-或}5x >.∴31a +≤-，解得4a ≤-.因此，实数a 的取值范围是(],4-∞-.24．()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦．【分析】由p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，得到,p q 一真一假，分两种情况，求出c 的范围.【详解】解：∵p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．若p 真q 假，则有01,120,c c <<⎧⎨-≥⎩解得012c <≤； 若p 假q 真，则有1,120,c c >⎧⎨-<⎩解得1c >． 综上可知，满足条件的c 的取值范围是()10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦．本题考查了命题真假的应用，逻辑连结词的理解与应用，还考查转化与化归思想，分类讨论思想，属于中档题.25．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）直线方程与抛物线方程联立，消去x 后利用韦达定理判断2121212121()4OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题； （2）根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.【详解】（1）证明：设过点(,)30T 的直线l 交抛物线22y x =于点1122(,),(,)A x y B x y ，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =，此时，直线l 与抛物线相交于(3,A B ，所以963OA OB ⋅=-=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，22(3)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2260ky y k --=， 则126y y =-， 又因为22112211,22x y x y ==， 所以212121212136()6344OA OB x x y y y y y y ⋅=+=+=-=， 综上所述，命题“如果直线l 过点T （3，0），那么OA OB ⋅＝3”是真命题；（2）逆命题是：“设直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点，如果OA OB ⋅＝3，那么该直线过点2(1)3y x =+”，该命题是假命题， 例如：取抛物线上的点1(2,2),(,1)2A B ，此时OA OB ⋅＝3，直线AB 的方程为2(1)3y x =+，而T （3，0）不在直线AB 上. 【点睛】该题考查的是有关判断命题真假的问题，涉及到的知识点有四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积，属于简单题目.26．（1）112a >；（2）11124a <<.（1）分0a =和0a ≠两种情况讨论即可；（2）因为p q ∨为真命题，且q q ∧为假命题，所以分p 真q 假或p 假q 真两种情况，分别解出即可.【详解】（1）当0a =时，30x -+>不恒成立，不符合题意；当0a ≠时，01120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得112a > 综上所述，112a >. （2）[]1,2x ∃∈，21x a ⋅≥，则14a ≥. 因为q ρ∨为真命题，且p q ∧为假命题，所以p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，有11214a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即11124a <<； 当p 假q 真时，有11214a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩则a 无解. 综上所述11124a <<. 【点睛】 由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．可把“p 或q”为真命题转化为并集的运算；把“p 且q”为真命题转化为交集的运算．。
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
高中数学选修1-知识点清单集合
对称性
关于 x 轴、 y 轴、原点对称
离心率
e
c
b2
1 2 0 e 1
a
a
3、e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆。
2 = 2 + 2 二、双曲线
(
)
1、平面内与两个定点 F1 ， F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于 F1 F2 ）的
点的轨迹称为双曲线．即： || MF1 | | MF2 || 2a, (2a | F1 F2 |) 。
若 f x 0 ，则函数 y f x 在这个区间内单调递减．
7、求函数 y f x 的极值的方法是：解方程 f x 0 ．当 f x0 0 时：
1 如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极大值（左增
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
标准方程
x2 y 2
ห้องสมุดไป่ตู้
1 a 0, b 0
a 2 b2
y 2 x2
1 a 0, b 0
a 2 b2
范围
x a 或 x a ， y R
右减）；
2 如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极小值（左减
右增）．
8、① 注意极大值、极小值、极大值点和极小值点的区别；（极大值是一个函
数值，极大值点是一个点，包括横坐标和纵坐标）
② 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。
高中数学第一章常用逻辑用语1.2基本逻辑联结词1.2.2“非”(否定)教案新人教B版选修1_1
1.2.2“非”（否定）预习导航1．命题p的否定⌝p(1)“非”命题的表示及读法：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“⌝p”，读作“非p”或“p的否定”．(2)含有“非”的命题的真假判定：思考1对一个命题p提示：对一个命题p进行否定，否定的是此命题的结论．2．存在性命题的否定提示：存在性命题的否定是全称命题，其真假性与存在性命题相反，只需判断出原存在性命题的真假即可作出判断．3．全称命题的否定思考提示：不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．思考4省略全称量词的全称命题如何进行否定？提示：有的全称命题省略了全称量词，否定时要特别注意．例如，q：实数的绝对值是正数．将⌝q写成：“实数的绝对值不是正数”就错了．原因是q是假命题，⌝q也是假命题，这与q，⌝q一个为真一个为假相矛盾．正确的否定应为：“存在一个实数的绝对值不是正数．”为了避免出错，可用真值表加以验证．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
高中数学人教B版选修1-1课件：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命 题 和逆否命题． 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(重点) 3.利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点、易错点)
知识点一、四种命题的概念
【答案】 1
题目类型三、等价命题的应用
证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 【思路探究】 可以写出该命题的逆否命题，证明其逆否命 题正确，由原命题与其逆否命题的等价性可知原命题也正确．
证明：该命题的逆否命题为：若 p＋q＞2，则 p2＋q2≠2. 因为 p2＋q2≥12(p＋q)2. 又因为 p＋q＞2，所以(p＋q)2＞4，所以 p2＋q2＞2， 即 p＋q＞2 时，p2＋q2≠2 成立． 所以如果 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2 成立．
的函数是单调函数”，B错．逆否命题为“单调函数不是周期函
数，C错，所以选D.
(2)根据逆否命题的定义可知命题“若α＝
π 4
，则tan
α＝1”的
逆否命题是：若tan α≠1，则α≠4π.
【答案】 (1)D (2)若tan α≠1，则α≠π4
题目类型二、四种命题真假的判断
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后 判断真假．
3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通 过判定其逆否命题的真假来判断．
有下列四个命题： ①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若c＜1，则x2＋2x＋c＝0有实根”的逆命题； ④“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题． 其中真命题的个数是________．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 没有关系 .
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、1-2-1“且”与“或”
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
(3)p∧q35是15的倍数且是7的倍数，
p∨q35是15的倍数或是7的倍数． [说明] 解答这类题目的关键是要正确地使用联结词，
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并注意语法上的要求.
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
[例2] 判断下列命题的真假． (1)2≤2. (2)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底 边．
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
1．2
基本逻辑联结词
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第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
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第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
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第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
1．知识与技能 了解含有“且”“或”的新命题的含义，能判断复合 命题的真假． 2．过程与方法
1 的取值范围为0，2∪[1，＋∞)．
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
[说明] 本题以函数为载体将函数、不等式、简易逻
辑有机地结合在一起，要求c的范围，可先由条件p、q分别 求出c的范围；然后利用“p或q”为真，且“p且q”为假， 确定c的范围．
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第一章 常用逻辑用语
第一章 常用逻辑用语
(选修1-1)
(2)用逻辑联结词“或”把命题p，q联结起来，就得到
一个新命题，记作 p∨q ，读作“ p或q ”．
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3．含有逻辑联结词“且”与“或”的命题的真假规律 (真值表)： p 真 真 q 真 假 p∧q 真 假 p∨q 真 真
假 假
真 假
高中数学高考核心考点提醒选修1-1 第一章 常用逻辑用语
高中数学高考核心考点提醒选修1-1 第一章常用逻辑用语集合与常用逻辑用语集合概念一组对象的全体. ,x A x A∈∉。
元素特点：互异性、无序性、确定性。
关系子集x A x B A B∈⇒∈⇔⊆A∅⊆；,A B B C A C⊆⊆⇒⊆n个元素集合子集数2n 真子集00,,x A x B x B x A A B∈⇒∈∃∈∉⇔⊂相等,A B B A A B⊆⊆⇔=运算交集{}|,x xB x BA A∈∈=且()()()U U UC A B C A C B=()()()U U UC A B C A C B=()U UC C A A=并集{}|,x xB x BA A∈∈=或补集{}|Ux x UC A x A∈=∉且常用逻辑用语命题概念能够判断真假的语句。
四种命题原命题：若p，则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否。
互为逆否的命题等价。
逆命题：若q，则p否命题：若p⌝，则q⌝逆否命题：若q⌝，则p⌝充要条件充分条件p q⇒，p是q的充分条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p q⇒等价于A B⊆，p q⇔等价于A B=。
必要条件p q⇒，q是p的必要条件充要条件p q⇔，,p q互为充要条件逻辑连接词或命题p q∨，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为假。
类比集合的并且命题p q∧，,p q均为真时才为真，,p q有一为假即为假。
类比集合的交非命题p⌝和p为一真一假两个互为对立的命题。
类比集合的补量词全称量词∀，含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。
存在量词∃，含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。
一、命题及其关系1.四种命题的相互关系：（既否条件又否结论）（先逆再否）（互换条件与结论）2.四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性,即原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。
人教新课标版数学高二B版选修1-1单元测试 第一章常用逻辑用语
本章测评(时间90分钟满分100分)一、选择题(共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中是全称命题的是()A．圆有内接四边形B.3＞ 2C.3＜ 2D．若三角形的三边长分别为3,4,5，则这个三角形为直角三角形2已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题的序号是()A．①与②B．③与④C．②与④D．①与③3设集合A＝{x|xx－1＜0}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4若a，b∈R，则使|a|＋|b|＞1成立的充分不必要条件是()A．|a＋b|≥1 B．|a|≥12且|b|≥12C．a≥1 D．b＜－15在下列结论中，正确的为()A．“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分必要条件B．“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分非必要条件C．“p∨q”为真是“⌝p”为假的必要非充分条件D．“⌝p”为真是“p∧q”为假的必要非充分条件6命题“至少有一个点在函数y ＝kx (k ≠0)的图象上”的否定是( )A ．至少有一个点在函数y ＝kx (k ≠0)的图象上B ．至少有一个点不在函数y ＝kx (k ≠0)的图象上C ．所有点都在函数y ＝kx (k ≠0)的图象上D ．所有点都不在函数y ＝kx (k ≠0)的图象上7下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c ＞b ＋d ，q ：a ＞b 且c ＞dB ．p ：a ＞1，b ＞1，q ：f (x )＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a ＞1，q ：f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数8设有两个命题：①关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4＞0对一切x ∈R 恒成立；②函数f (x )＝－(5－2a )x 是减函数，若命题有且只有一个真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(2，52) 9 “函数f (x )(x ∈R )存在反函数”是“函数f (x )在R 上为增函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．充要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件10函数y ＝x 2＋bx ＋c 在x ∈(0，＋∞)上是单调函数的充要条件是( )A ．b ≥0B ．b ≤0C ．b ＞0D ．b ＜0二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11下面命题：①“x ＋y ＝5”是“x 2－y 2－3x ＋7y ＝10”的充分条件；②“a －b ＜0”是“a 2－b 2＜0”的充分条件；③“a －b ＜0”是“a 2－b 2＜0”的必要条件；④“两个三角形全等”是“两边和夹角对应相等”的充要条件．其中是真命题的有________．12给出下面两个命题：①如果集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则P Q ；②已知集合S ＝{x |x 2－x －2＝0}，集合T＝{x |tx －1＝0}，且T ⊄S ，则t ＝－1，t ＝12.那么这两个命题的真假情况为________． 13填写下列命题的否定形式：(1)a ＞0，或b ≤0.________.(2)三条直线两两相交．________.14设全集为U ，在下列条件中：①A ∪B ＝A ；②C U A ∩B ＝Φ；③C U A ⊆C U B ；④A ∪C U B ＝U .能作为B ⊆A 的充要条件的有________．15有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人采访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲未获奖，丙也未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话中有两句是对的，则获奖的歌手是________．三、解答题(本大题共4个小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(9分)写出下列命题的“⌝p ”命题，并判断它们的真假．(1)p ：∀x ，x 2＋4x ＋4≥0；(2)p ：∃x ，x 2－4＝0.17(10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．18(10分)已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0，a ∈R ，求：(1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件．19(11分)给出下列命题：p ：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2＞0的解集是R ，q ：函数y ＝lg(2a 2－a )x 是增函数．(1)若p ∨q 为真命题，求a 的取值范围．(2)若p ∧q 为真命题，求a 的取值范围．参考答案1解析：A中隐含全称量词“对任意一个”．答案：A2解析：①成立．若l⊥α，α∥β则l⊥β.又因为m⊂β，故l⊥m.②不成立，l与m也可能异面或相交．③成立，若l∥m，l⊥α，则m⊥α.又m⊂β，则α⊥β.④不成立，举反例即可知α与β可能相交．答案：D3解析：∵A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，∴A≠B.当m∈A时，必有m∈B；而当m∈B时，m∈A不一定成立．答案：A4解析：当b＜－1时，显然有|a|＋|b|＞1，反过来则不一定成立．答案：D5解析：“p∧q”为真“p∨q”为真，反之不然，“p∧q”为假/ “p∨q”为真，“⌝p”为假p为真p∨q为真，“p∧q”为假，p可真可假⌝p真．答案：C6答案：D7解析：∵p：a＋c＞b＋d，q：a＞b且c＞d，∴p D/q，q p.对于选项B：p⇒q，q p，p是q的充分不必要条件．对于选项C：p⇒q，q p，p是q的充分不必要条件．对于选项D：p⇔q，p是q的充要条件．故选A.答案：A8解析：若x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，则－2＜a＜2.若f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则a＜2.若①真②假，则α∈Φ，若①假②真，则a≤－2.故选A.答案：A9答案：C10解析：用特殊值法求解：取b＝0，y＝x2＋c，它在(0，＋∞)显然递增，排除C、D；取c＝0，b＝－2，则y＝x2－2x，则它在[0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，因而在[0，＋∞)上不单调，排除B.答案：A11解析：应用定义进行判断．答案：①④12解析：①是假命题，它忽略了P＝Q这一特殊情况；②是假命题，它忽略了T＝Φ时，也满足T⊄S，此时t＝0.答案：①②为假命题13答案：(1)a≤0，且b＞0(2)三条直线不都两两相交14答案：①②③④15解析：如果乙获奖，则甲、乙、丁所说的都是对的，这与只有两句是对的矛盾，所以乙未获奖．如果丙获奖，则只有甲和丙所说的是对的，符合题意．如果甲获奖，四人说的都是错的，所以甲未获奖．如果丁获奖，则仅有乙一人说的是对的，因此获奖的歌手是丙．答案：丙16分析：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定为全称命题．解：(1) ⌝p：x，x2＋4x＋4＜0.因为x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，所以“⌝p ”命题为假命题；(2) ⌝p ：x ，x 2－4≠0， 因当x ＝2时，22－4＝0， 所以“⌝p ”命题为假命题． 17分析：根据四种命题的定义写出命题，判断真假时应注意命题间的关系．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题． 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 18分析：先求出方程有两个实根的充要条件．再讨论x 2的系数及运用根与系数的关系分别求出要求的充要条件．解：(1)方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≠0，Δ≥0，即⎩⎨⎧ a ≠1(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10，即a ≥10或a ≤2且a ≠1. 设此时方程的两实根为x 1、x 2，有两个正根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1a ≤2或a ≥10x 1＋x 2＞0x 1·x 2＞0⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1＞0，4a －1＞0，即1＜a ≤2或a ≥10是方程有两个正根的充要条件．(2)由(1)知当1＜a ≤2或a ≥10时方程有两个正根，当a ＝1时，方程化为3x －4＝0，有一正根x ＝43，又方程有一正根一负根的充要条件是a ＜1，故方程至少有一个正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.19分析：先求出p 为真时，a 的取值范围及q 为真时a 的取值范围，然后再求解(1)(2)两问题．解：若p 为真，则Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，而3a 2＋2a －1＞0，a ＞13或a ＜－1. 若q 为真，则2a 2－a ＞1，a ＞1或a ＜－12. (1)若p ∨q 为真命题，则p 真q 假，或p 假q 真，或p 真q 真，设A ＝{a |p 真}，B ＝{a |q 真}，则p ∨q 为真的范围为A ∪B ＝{a |a ＞13或a ＜－12}． (2)若p ∧q 为真，则p 真，q 真，则p ∧q 为真的范围为A ∩B ＝{a |a ＞1或a ＜－1}．。
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例题：描述：例题：3.复合命题的否定“且”的否定
“或”的否定
四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
写出下列命题的否定，并判断真假．
（1），；（2） 所有的正方形都是矩形；
（3） 至少有一个实数 ，使得 ．解：（1），．因为 ， 恒成立，故不存在 ， 使得 成立，故 为假命题；（2） 至少存在一个正方形不是矩形．是假命题．（3），．
因为当 时，，故 为假命题．
p :∀x ∈R +2x +2>0x 2q :r :x 0+1=0x 30¬p :∃∈R x 0+2+2⩽0x 20
x 0∀x ∈R +2x +2=(x +1+1⩾1>0x 2)2∈R x 0+2+2⩽0x 20
x 0¬p ¬q :¬r :∀x ∈R +1≠0x 3x =−1+1=0x 3¬r ¬(p ∧q )=(¬p )∨(¬q )
¬(p ∨q )=(¬p )∧(¬q )命题 " 且 " 的否定是______．
解： 或 ．
a ⩾5
b ⩾2a <5b <2若 ， 是两个简单命题，且 " 或 " 的否定是真命题，则必有（ ）
A． 真 真 B． 假 假 C． 真 假 D． 假 真解：B
因为 " 或 " 的否定是真命题，则 " 或 "为假命题，故 ， 都为假命题．
p q p q p q p q p q p q p q p q p q 若命题 ，则 为（ ）
A． 且 B． 或 C． 且 D． 解：B
因为命题 ，所以 且 ，故命题 或 ．
p :x ∈A ∩B ¬p x ∉A x ∉B x ∉A x ∉B x ∈A x ∉B x ∉A ∪B p :x ∈A ∩B x ∈A x ∈B ¬p :x ∉A x ∉B 答案：1. 若命题 ：任意 ，，则该命题的否定是 A ．任意 B ．任意 C ．存在 D ．存在 C
p x ∈R 2−1>0x 2()
x ∈R ,2−1<0x 2x ∈R ,2−1⩽0x 2x ∈R ,2−1⩽0
x 2x ∈R ,2−1>0
x 22. 已知命题 ，则 是 A ．B ． 或 p :x ∈A ∪B ¬p ()
x ∉A ∩B
x ∉A x ∉
B
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答案：C ． 且 D ．C
x ∉A x ∉B
x ∈A ∩B
答案：3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题 是"甲降落在指定范围"， 是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为 A ．B ．C ．D ．A
p q ()
(¬p )∨(¬q )
p ∨(¬q )(¬p )∧(¬q )
p ∨q
答案：4. 如果命题" 且 "是假命题，"非 " 是真命题，那么 A ．命题 一定是真命题B ．命题 一定是真命题C ．命题 一定是假命题
D ．命题 可以是真命题也可以是假命题
D
p q p ()
p q q
q。