福建省福州第一中学2017届高三5月质检(最后一模)数学(文)试题Word版含答案
福建省福州第一中学2017届高三5月质检(最后一模)理科
福建省福州第一中学2017届高三5月质检（最后一模）理科综合生物试题一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.细胞是生物体结构和功能的基本单位，下列有关细胞的说法正确的是A.细胞分裂过程中形成纺锤丝的蛋白质，其基因主要在分裂期的前期进行转录和翻译B.小分子物质均可通过自由扩散的方式进出细胞C.细胞器中不一定含有磷脂但一定含有蛋白质D.组织液中K+浓度明显降低可导致神经细胞的兴奋性增强2.下列关于酶的叙述，错误的是A.直接参与代谢过程B.提供活化能催化反应C.与底物特异性结合D.可能在细胞核内合成3.下列关于细胞生命历程的叙述，正确的是A.细胞增殖、分化、衰老和凋亡，贯穿所有生物体生命的始终B.随着细胞衰老导致细胞内的黑色素逐渐累积，形成“老年斑”C.癌症的发生是原癌基因或抑癌基因发生单一基因突变的结果D.不同动植物体内器官的大小，主要取决于细胞数量的多少4.下列与实验相关的表述，正确的是A.用血细胞计数板统计酵母菌液中的种群密度时，为保证计数准确，对处于中方格四角的细胞应只计数左上、左下、右上三个角B.低温诱导染色体数目加倍的实验中，根尖用卡诺氏液固定后应用蒸馏水漂洗10分钟再进行后续操作C.探究细胞大小与物质运输的关系模拟实验中，用塑料勺将琼脂块从NaOH溶液中取出后，应立即用塑料刀把琼脂块切开，对切面上的NaOH扩散深度进行观察和测量D.观察花生子叶中的脂肪颗粒、叶绿体色素的提取以及观察根尖分生组织细胞的有丝分裂实验操作中均用到一种试剂，而其使用浓度各不相同5.下列关于内环境稳态和调节的叙述错误的是A.组织液中某些物质可以经毛细血管静脉端进入血浆B.人体进行异体器官移植后注射的药剂，其生理作用与HIV感染对人体的影响接近C.血糖浓度保持相对稳定既受激素调节也受神经调节D.寒冷环境中，机体通过神经—体液调节，使皮肤毛细血管收缩，汗液分泌减少，从而减少散热量6.如下图所示为去除顶芽前后侧芽部位激素甲和乙的含量变化以及侧芽长度的变化情况。
2017年福建省普通高中毕业班质量检查数学(文科)+试卷分析
C．
D． 1
2．已知正方形 ABCD 的边长为1， AB a, BC b,CD c ，则 a b c 等于（ ）
A．1
B． 2
C． 2 2
D． 3
3．某网店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，
（1）求 an ；
（2）求数列
1
的前 n 项和．
anbn
第3页
18．（本小题满分 12 分）
某通讯商推出两款流量套餐，详情如下：
套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位：M）
A
20
300
B
30
500
这两款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值
何及函导数．
下面我们来具体分析一下整张考卷中各模块的考点、难度，并会给出相应的备考建议，希望大家根据自己的情
况对各模块进行针对性地提升．具体知识模块如下：
1、小题模块（25 分）
模块
位置 分值 考点
备考建议
集合逻辑 第 1 题 5 分 解不等式、集合间的运算
无
复数
第 13 题 5 分 复数的运算
平面向量 第 2 题 5 分 平面向量的基本运算
200M 流量，资费 20 元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值 200M 流量，资费 20 元，以此类推，如
果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．
小王过去 50 个月的手机月使用流量（单位：M）频数分布表如下：
月使用流量分组 100, 200 200,300 300, 400 400,500 500, 600 600, 700
福建省福州第一中学高三数学下学期模拟考试(5月质检)
2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第 Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．（1） 若集合{}1216xA x =≤≤，{}23log (2)1B x x x =->，则A B I 等于(A)(]3,4 (B) []3,4 (C) (](,0)0,4-∞U (D) (](,1)0,4-∞-U （2） 计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=o o o o2 (C)(D) 12 （3） 已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(6)0.16P ξ>=，则(03)P ξ≤≤= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.34 (D) 0.16（4）设命题0300:(0,),3x p x x ∃∈+∞<，则p ⌝为(A) 3(0,),3xx x ∀∈+∞≥ (B) 3(0,),3x x x ∃∈+∞≥ (C) 3(0,),3xx x ∀∈+∞< (D) 3(0,),3x x x∃∈+∞<（5）二项式5(2x 的展开式中x 的系数等于 (A) 40- (B) 40 (C) 20- (D) 20（6）设向量12,,OA e OB e ==u u u r u r u u u r u r 若1e u r 与2e u r不共线，且6AP PB =u u u r u u u r ，则OP =u u u r(A) 121677e e -u r u r (B) 126177e e -u r u r (C) 121677e e +u r u r (D) 126177e e +ur u r（7）已知函数1()sin()()46f x x x R π=+∈，把函数()f x 的图象向右平移83π个单位得函数()g x 的图象，则下面结论正确的是(A) 函数()g x 是奇函数 (B) 函数()g x 在区间[],2ππ上是增函数(C) 函数()g x 的最小正周期是4π (D) 函数()g x 的图象关于直线x π=对称（8）在一球面上有,,A B C 三点，如果43,60AB ACB =∠=o ，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的表面积为(A) 36π (B) 64π (C) 100π (D) 144π （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南 宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书 九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序 框图，若输入的,,n n a x 分别为5,1,2-， 且432105,10,10,5,1a a a a a =====，则输出的v =(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) 42 (B) 34 (C) 41 (D) 52(11) 已知,O F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的中心和右焦点，点,G M 分别在E 的渐近线和右支，FG OG ⊥，//GM x 轴，且OM OF =，则E 的离心率为(A)52 (B) 62 (C) 72(D) 2 (12) 设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数是()f x '，且43()3()xx f x x f x e'+=，3(3)81e f =，则0x >时，()f x(A) 有极大值，无极小值 (B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值53 4输入i ai v vx a =+1i i =-开 始 输入,,n n a x 的值n v a =是0?i ≥ 输出v 结 束 否第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）已知复数z 的共轭复数112iz i+=-，则复数z 的虚部是_______. （14）若,x y 满足约束条件2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且3z x y =-的最小值是最大值的3-倍，则a 的值是_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2230x y --=与椭圆相交，所得弦 的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________. （16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin A C B +=，则角C 的最大值是_______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n Sn b b b =gg L g . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前n 项和为n T ，求2016T .（18）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中11//,,12,BC AD AB AD AD AD ⊥==4AB BC ==. （Ⅰ）在线段AD 上求一点N ，使得//CN 平面11ABB A ，并加以证明； （Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N ，求锐二面角11D ND C --的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A 商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A 商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A 商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A 商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A 商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A 商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A 商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,A B 两点，E 的准线与x 轴交于点C ，CAB ∆的面积为4，以点(3,0)D 为圆心的圆D 过点,A B .（Ⅰ）求抛物线E 和圆D 的方程；（Ⅱ）若斜率为(1)k k ≥的直线m 与圆D 相切，且与抛物线E 交于,M N 两点，求FM FN⋅u u u u r u u u r 的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数2()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0,()(2)x f x f >≥. （Ⅰ）写出()b g a =的表达式；（Ⅱ）已知,c d 为不相等的两个整数，且c k d ≤≤时ln 0a kb +≤恒成立，求c 的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD 与BC 的延长线交于圆O 外一点E ，自E 引一直线平行于AC ，交BD 的延长线于M ，自M 引MT 切圆O 于T . （Ⅰ）求证：MT ME =；（Ⅱ）若,3,1AE BM MT MD ⊥==，求BE 的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为8cos 2sin ρθθ=+.（Ⅰ）将1C 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的22C ，求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若,P Q 分别为曲线2C 与直线l 上的两个动点，求PQ 的最小值以及此时点P 的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如果关于x 的不等式16x x a -+-≤的解集为空集. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若实数b 与实数a 取值范围相同，求证：255ab a b ->-.2016届福州一中高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）C （7）B （8）C （9）C （10）C （11）D （12）C（12）简解： 343()()x e x f x f x x -'=，设3()3()x h x e f x x =-，则32()3()3()x h x e f x x f x x ''⎡⎤=-+⎣⎦433()3()x e f x x f x x x'⎡⎤=-+⎣⎦ 33x x x x e e e x x-=-⋅=⋅，所以3()(3)81(3)0h x h e f ≥=-=， 即()0f x '≥，因此()f x 在(0,)+∞既无极大值，又无极小值.二、填空题：每小题5分，满分20分．（13）35- （14）1- （15）2212x y += （16）12π（16）简解：2,a c c +==，222)2cos 2a a b C ab-+-=223284a b ab ++=≥，即cos cos 12C π≥，所以角max 12C π=，当,,0b c a ==>时取得. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题满分12分解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ···················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ················ 3分 所以3n a n =. ··························· 4分 易知164b =， ·························· 5分当2n ≥时11214n S n b b b --=gg L g ，又124n Sn b b b =gg L g ， 两式相除得64(2)nn b n =≥， ···················· 7分164b =满足上式，所以64n n b =. ················· 8分（Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++g ， ···10分 11(1)361n T n =-+，························ 11分 因此2016562017T =. ························ 12分（18）本小题满分12分解：（Ⅰ）在线段AD 上截取4AN =，连接NC ， ··········· 1分 因为//,AN BC AN BC =，所以四边形ABCN 为平行四边形， ················ 2分 所以//CN AB ，又CN ⊄平面11ABB A ，因此//CN 平面11ABB A . ···················· 3分A1 D 1 B 1-C 1A N D（Ⅱ）因为2222116144AA AD +=+=，211144A D =， 所以2221111AA AD A D +=，且1112A D AA =，所以11AD AA ⊥，且1130A D A ∠=o，因为11//,//BC AD BB AA ，所以平面11//BCC B 平面11ADD A . ····· 4分 作11NK A D ⊥于点K ，则,,NC ND NK 两两垂直，以点N 为原点O ，分别以,,NC ND NK u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示． ························· 5分可得1D ，1(4,C -， ················· 6分 易知平面1DND 的法向量(1,0,0)=m ，设平面11C ND 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,ND NC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r n n 即50,430,y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取y =5)=-n ， ·· 10分 则|cos ,|m m m ⋅<>==n n n ··············· 11分 所以锐二面角11D ND C --············· 12分 （19）本小题满分12分解：（1）记“恰有三人是以每件200元的价格购买”为事件B ，则3162484()7C C P B C ⋅==. ······················ 5分 （2）设商场销售A 商品获得的平均利润为ξ（单位：元）依题意，将频率视为概率，为使每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为6件或7件或8件. ················· 6分 当购进A 商品6件时，()1006600E ξ=⨯=（元） ··········· 7分 当购进A 商品7件时，46()(100640)10076441010E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=（元） 9分当购进A 商品8件时，403525()(1006240)(100740)1008100100100E ξ=⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯即()639E ξ=（元） ························ 11分 所以商场每天购进7件A 商品时所获得的平均利润最大. ········· 12分（20）本小题满分12分解法一：（Ⅰ）如图，2(,0),(,),(,),(,0),2222ABC p p p pF A p B p C S p --=V ,··· 1分 由24p =得2p =，圆D半径R = ················· 3分所以抛物线2:4E y x =，圆22:(3)8D x y -+=. ·············· 4分 （Ⅱ）m解法一：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y b x k y x -⎧=⎪⎨⎪=⎩得2440ky y b -+=，()*1616kb ∆=-， ······· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,y y ，且121244,by y y y k k+== ········· 7分点221212(,),(,)44y y M y N y ，221212(4)(4)16y y FM FN y y --⋅=+u u u u r u u u r221212121()4()241616y y y y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦ 22264b kb k k ++-=24k = ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是(]0,4. ············· 12分 解法二：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y kx b y x=+⎧⎨=⎩得2222(2)0k x kb x b +-+=，()*1616kb ∆=-， ··· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,x x ，且21212222(2),kb b x x x x k k--+== ······ 7分点1122(,),(,)M x kx b N x kx b ++， 1212(1)(1)()()FM FN x x kx b kx b ⋅=--+++u u u u r u u u r221212(1)(1)()1k x x kb x x b =++-+++22264b kb k k ++-= 24k = ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是(]0,4. ············· 12分（21）本小题满分12分解：（Ⅰ）()22222=(0,0)ax bx f x ax b x a x x+-'=+->>， ·········· 1分依题意，2是关于x 的方程2220ax bx +-=的正数根， ············ 2分可得14b a =-，此时()(21)(2)=(0,0)ax x f x x a x+-'>>，所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，满足()(2)f x f ≥， ···· 3分 所以()14(0)g a a a =->. ························ 4分 （Ⅱ）ln ln 4a kb a ka k +=-+，记()ln 4(0)h a a ka k a =-+>，（ⅰ）当0k =时，()ln (0)h a a a =>，(2)ln20h =>，所以0k =不合题意； ····················· 5分（ⅱ）当0k ≠时，14()4()k a k h a a-'=- ················· 6分 若0k <，则()0h a '>，故()h a 在(0,)+∞单调递增，(1)30h k =->，所以0k <不合题意； ·············· 8分若0k >，则()h a 在1(0,)4k单调递增，在1(,)4k +∞单调递减，故max 1()()ln(4)14h a h k k k==-+-. ·················· 9分记()ln(4)1(0)P k k k k =-+->，1()(0)k P k k k-'=>故()P k 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， ············· 10分11()044P e e=>，(1)ln 40P =-<，(2)1ln80P =-<， (3)2ln120P =-<，(4)3ln160P =->，所以()P k 在(0,1)和(3,4)分别存在一个零点12,k k ， ··········· 11分 即12(0,1),(3,4)k k ∈∈，因此13x ≤≤时()0P k ≤，即ln 0a kb +≤，综上，min 1c =，max 3d =． ······················ 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲 本小题满分10分解：（Ⅰ）因为MT 切圆O 于T ，所以2MT MD MB =⋅， ········ 1分 又因为//ME AC ，所以MED DAC ∠=∠， ··············· 2分 因为DAC MBE ∠=∠，所以MED MBE ∠=∠ ·············· 3分 又因为DME EMB ∠=∠，所以DME ∆∽EMB ∆, ············· 4分所以MD ME ME MB=，即2ME MD MB =⋅， 所以MT ME =. ·························· 5分 （Ⅱ）因为MT ME =，所以3ME =， ················ 6分因为1,MD MD DE =⊥，所以2222DE ME MD =-= ······ 7分因为2ME MD MB =⋅，3ME =，1MD =，所以8DB =， ······· 8分 又因为DB DE ⊥，所以22BE DB DE =+，即62BE = ··························· 10分 （23）选修44-：坐标系与参数方程本小题满分10分 解：（Ⅰ）在曲线2C 上任取一点M ，设点M 的坐标为(,)M x y ， ······· 1分则点1()23M x y '在曲线1C 上，满足221()()123x y += ········· 3分所以曲线2C 的直角坐标方程为22143x y +=. ················ 5分 （Ⅱ）解法一：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=， ·········· 6分设点P 的坐标为(2cos 3)P θθ， ··················· 7分点P 到直线l 的距离为4sin()82cos 23sin 8655h πθθθ+-+-==， ···· 8分当3πθ=，即点P 坐标为3(1,)2时，h 455 ·········· 9分所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 解法二：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=，············· 6分设与直线l 平行的直线11:2l y x m =-+， ·················· 7分 1l 与2C 联立得：2230x mx m -+-=（*） ················ 8分 由判别式224(3)0m m ∆=--=得2m =±，依题意取2m =，此时方程（*）的根为1x =， ·············· 9分 即点P 坐标为3(1,)2时，点P 到直线l所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题满分10分解：（Ⅰ）解法一：由|1|6(1)(6)5x x x x -+-≥---=，当且仅当16x ≤≤时取等号， ······················ 2分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值范围是(5,5)-. ····················· 5分 解法二：记()|1|6f x x x =-+-，则27(6)()5(16)27(1)x x f x x x x ->⎧⎪=≤≤⎨⎪-+<⎩， ························ 2分 当且仅当16x ≤≤时min ()5f x =， ···················· 3分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值范围是(5,5)-. ····················· 5分 （Ⅱ）解法一：依题意，实数b 的取值范围是(5,5)-， ··········· 6分 因为222222(25)25()6252525ab a b a b a b ---=+-- 22(25)(25)0a b =-->， ························ 9分 所以255ab a b ->-. ························· 10分 解法二：依题意，实数b 的取值范围是(5,5)-， ·············· 6分 要证255ab a b ->-，只需证22(25)25()ab a b ->-， ·········· 7分 即证222262525250a b a b +-->，即证22(25)(25)0a b --> ······· 9分 因为2225,25a b <<，所以22(25)(25)0a b -->成立， 所以255ab a b ->-成立. ······················· 10分。
2017年福建省福州市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2017年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B＝（（）A．∅B．（1，2]C．{2}D．{1，2} 2．（5分）已知复数z＝2+i，则＝（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i3．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 4．（5分）在检测一批相同规格共500kg航空耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（）A．2.8kg B．8.9kg C．10kg D．28kg5．（5分）要得到函数f（x）＝sin2x的图象，只需将函数g（x）＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．（5分）已知a＝ln8，b＝ln5，c＝ln﹣ln，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a 7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．58．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7B．4，56C．3，7D．3，569．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB＝AC＝BC＝2，则球O的表面积为（）A．πB．16πC．πD．64π10．（5分）已知m＝，若sin2（α+γ）＝3sin2β，则m＝（）A．﹣1B．C．D．211．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，若射线y＝2（x﹣1）（x≤1）与C，l分别交于P、Q两点，则＝（）A．B．2C．D．512．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（﹣x）＝f（x）有五个不同的根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+a）为奇函数，则a＝．14．（5分）正方形ABCD中，E为BC的中点，向量，的夹角为θ，则cosθ＝．15．（5分）如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为m/s（精确到0.1）参考数据：≈1.414，≈2.236．16．（5分）不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：①∀（x，y）∈D，y≥ax；②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a．则实数a的取值范围为．三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1+a3+a9+…+．18．（12分）如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB ＝45°，DA⊥PB于点A，将△P AD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD，点M的棱PB上，且PM＝MB．（1）求证：PD||平面MAC；（2）若平面P AD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．19．（12分）在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如表：（1）根据表中的比赛数据，比较A与B的成绩及稳定情况；（2）从前7场平均分低于6.5的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率．（3）请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．20．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）＝f（x）﹣2x在区间[1，e]的最小值h（a）．21．（12分）已知圆O ：x2+y2＝4，点A（﹣，0），B（，0），以线段AP为直径的圆C1内切于圆O，记点P的轨迹为C2．（1）证明|AP|+|BP|为定值，并求C2的方程；（2）过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D（﹣2，0），直线DM，DN 与C2的另一个交点分别为S，T，记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|F A|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求mn的最小值．2017年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B＝（（）A．∅B．（1，2]C．{2}D．{1，2}【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4x+3＜0}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|1＜2x≤4，x∈N}＝{1，2}，∴A∩B＝{2}．故选：C．2．（5分）已知复数z＝2+i，则＝（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i【解答】解：由z＝2+i，得，则＝，故选：A．3．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣＝1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：B．4．（5分）在检测一批相同规格共500kg航空耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（）A．2.8kg B．8.9kg C．10kg D．28kg【解答】解：由题意，这批垫片中非优质品约为≈8.9kg，故选：B．5．（5分）要得到函数f（x）＝sin2x的图象，只需将函数g（x）＝cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：将函数g（x）＝cos2x的图象向右平移个单位，可得y＝cos2（x﹣）＝sin2x＝f（x）的图象，故选：D．6．（5分）已知a＝ln8，b＝ln5，c＝ln﹣ln，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：a＝ln8＝，b＝ln5，c＝ln﹣ln＝，∵ln2＜ln3＜ln5，∴a＜c＜b．故选：B．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，底面ABCD是正方形．则此图中含有4个直角三角形（除了底面正方形）．故选：C．8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的m＝168，n＝112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7B．4，56C．3，7D．3，56【解答】解：执行如图所示的程序框图，输入m＝168，n＝112，满足m、n都是偶数，k＝1，m＝84，n＝56，满足m、n都是偶数，k＝2，m＝42，n＝28，满足m、n都是偶数，k＝3，m＝21，n＝14，不满足m、n都是偶数，满足m≠n，d＝|m﹣n|＝7，m＝14，n＝7，满足m≠n，d＝|m﹣n|＝7，m＝7，n＝7，不满足m≠n，退出循环，输出k＝3，m＝7．故选：C．9．（5分）已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB＝AC＝BC＝2，则球O的表面积为（）A．πB．16πC．πD．64π【解答】解：设平面ABC截球所得球的小圆半径为r，则2r＝＝4，∴r ＝2，由得R2＝16，所以球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．10．（5分）已知m＝，若sin2（α+γ）＝3sin2β，则m＝（）A．﹣1B．C．D．2【解答】解：∵sin2（α+γ）＝3sin2β，∴sin[（β+α+γ）﹣（β﹣α﹣γ）]＝3sin[（α+γ+β）﹣（α+γ﹣β）]，∴sin（β+α+γ）cos（β﹣α﹣γ）﹣cos（β+α+γ）sin（β﹣α﹣γ）＝3sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）﹣3 cos（α+γ+β）sin（β﹣α﹣γ），即sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）+cos（α+β+γ）sin（α+γ﹣β）＝3sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）+3cos（α+γ+β）sin（α+γ﹣β），∴﹣2sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）＝2cos（α+γ+β）sin（α+γ﹣β），∴tan（α+γ+β）＝﹣tan（α+γ﹣β），故m＝＝﹣1，故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，若射线y＝2（x﹣1）（x≤1）与C，l分别交于P、Q两点，则＝（）A．B．2C．D．5【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为l：x＝﹣1，射线y＝2（x﹣1）（x≤1）过抛物线的焦点坐标（1，0），如图：直线的斜率为：2，倾斜角为：θ，可得tanθ＝2，则cosθ＝＝．作PN垂直抛物线的准线于N，则PF＝PN，则＝＝．故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝，若方程f（﹣x）＝f（x）有五个不同的根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）【解答】解：∵f（x）＝，∴f（﹣x）＝．显然x＝0是方程f（﹣x）＝f（x）的一个根，当x＞0时，e x＝﹣ax，①当x＜0时，e﹣x＝ax，②显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，即方程①，②含有相同个数的解，∵方程f（﹣x）＝f（x）有五个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y＝e x（x＞0）和y＝﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：设y＝kx与y＝e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝1，k＝e．∵y＝e x与y＝﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e．故选：A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）＝x（x﹣1）（x+a）为奇函数，则a＝1．【解答】解：由题意，f（﹣1）＝﹣f（1），即﹣1×（﹣2）×（﹣1+a）＝0，∴a＝1，故答案为1．14．（5分）正方形ABCD中，E为BC的中点，向量，的夹角为θ，则cosθ＝．【解答】解：如图，分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则：A（0，2），E（2，1），B（2，2），D（0，0）；∴；∴，．∴．故答案为：．15．（5分）如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°．若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为22.6m/s（精确到0.1）参考数据：≈1.414，≈2.236．【解答】解：由题意，AB＝200m，AC＝100m，由余弦定理可得BC＝≈316.2m这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6m/s故答案为：22.6．16．（5分）不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：①∀（x，y）∈D，y≥ax；②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a．则实数a的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，即D，由图象可得A（2，2），B（1，3）∵①∀（x，y）∈D，y≥ax，当a≤0时，恒成立，当a＞0时，暂且过点A（2，2）时斜率最大，即2≥2a，∴0＜a≤1，综上所述a的范围为a≤1，∵②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a，∴直线x﹣y＝a一定在点B（1，3）的下方或过点B，∴a≥1﹣3＝﹣2，综上所述a的范围为﹣2≤a≤1，故答案为：[﹣2，1]三、解答题（本题共70分）17．（12分）已知等差数列{a n}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a 1+a3+a9+…+．【解答】解：（1）等差数列{a n}的各项均为正数，其公差为2，a2a4＝4a3+1．所以（a1+2）（a1+6）＝4a1+17，解得a1＝1或者﹣5（舍去）．所以{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1；+a3+a9+…a＝﹣n＝（2）由（1）得到＝2×3n﹣1，所以a3n+1﹣n﹣3．18．（12分）如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB＝3，DC＝1，∠DPB ＝45°，DA⊥PB于点A，将△P AD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD，点M的棱PB上，且PM＝MB．（1）求证：PD||平面MAC；（2）若平面P AD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，连接BD交AC于O，连接OM，∵DC∥AB，∴△DOC∽△AOB，则，∵PB＝3，DC＝1，∠DPB＝45°，DA⊥PB于点A，得AB＝2，∴，又PM ＝MB，即，∴PD∥OM，∵PD⊄平面MAC，OM⊂平面MAC，∴PD||平面MAC；（2）解：∵DA⊥P A，且平面P AD⊥平面ABCD，∴P A⊥平面ABC，，PC ＝，BC ＝，PB ＝，∴，设点A到平面PBC的距离为d，由V P﹣ABC ＝V A﹣PBC，得，解得：d ＝．19．（12分）在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如表：（1）根据表中的比赛数据，比较A 与B 的成绩及稳定情况；（2）从前7场平均分低于6.5的运动员中，随机抽取2个运动员进行兴奋剂检查，求至少1个运动员平均分不低于5分的概率．（3）请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．【解答】解：（1）由表格中的数据，我们可以分别求出运动员A 和B 前7场比赛积分的平均数和方差，作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据． 运动员A 的平均分＝＝3，方差＝[（3﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（6﹣3）2]＝2；运动员B 的平均分＝＝4，方差＝[（1﹣4）2+（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2+（4﹣4）2+]（4﹣4）2]＝8，从平均分和积分的方差来看，运动员A 的平均积分及积分的方差都比运动员B 的小，也就是说，在前7场比赛过程中，运动员A 的成绩最为优秀，且表现也最为稳定．（2）表中平均分低于6.5分的运动员共有5个，其中平均分低于5分的运动员有3个，平均分不低于5分且低于6.5分的运动员有职有2个， 从这5个数据中任取2个，基本事件总数n ＝，至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分，∴至少1个运动员平均分不低于5分的概率p＝1﹣＝．（3）尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后的成绩，从已结束的7场比赛的积分来看，运动员A的成绩最为出色，而且表现最为稳定，故预测A运动员获得最后的冠军，而运动员B和C平均分相同，但运动员C得分整体呈下降趋势，所以预测运动员C将获得亚军．20．（12分）已知函数f（x）＝alnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）＝f（x）﹣2x在区间[1，e]的最小值h（a）．【解答】解：（1）f′（x）＝+2x﹣a（x＞0）．∵x＝3是函数f（x）的一个极值点，∴f′（3）＝+6﹣a＝0，解得a＝9，∴f′（x）＝，∴0＜x＜或x＞3时，f′（x）＞0，＜x＜3时，f′（x）＜0，∴x＝3是函数f（x）的一个极小值点，（2）g（x）＝alnx+x2﹣ax﹣2x，x∈[1，e]，g′（x）＝，①≤1即a≤2时，g（x）在[1，e]递增，g（x）min＝g（1）＝﹣a﹣1；②1＜＜2即2＜a＜2e时，g（x）在[1，）递减，在（，e]递增，故g（x）min＝g（）＝aln﹣﹣a；③≥e即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，故g（x）min＝g（e）＝a（1﹣e）+e（e﹣2）；综上h（a）＝．21．（12分）已知圆O：x2+y2＝4，点A（﹣，0），B（，0），以线段AP为直径的圆C1内切于圆O，记点P的轨迹为C2．（1）证明|AP|+|BP|为定值，并求C2的方程；（2）过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D（﹣2，0），直线DM，DN 与C2的另一个交点分别为S，T，记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．【解答】（1）证明：设AP的中点为E，切点为F，连OE，EF，则|OE|+|EF|＝|OF|＝2，故|BP|+|AP|＝2（|OE|+|EF|）＝4．所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a＝2，c＝，b＝1，则动点P的轨迹方程是＝1（2）解：设直线DM的方程为x＝my﹣2（m≠0），∵MN为圆O的直径，∴∠MDN＝90°，∴直线DN的方程为x＝﹣y﹣2，由得（1+m2）y2﹣4my＝0，∴y M＝，由得（4+m2）y2﹣4my＝0，∴y S＝，∴＝，∴＝，∴＝•＝•，设s＝1+m2，s＞1，0＜＜3，∴＝（4﹣）（1+）∈（4，]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A、B两点．求|F A|•|FB|的值；（Ⅱ）设曲线C的内接矩形的周长为P，求P的最大值．【解答】解：（I）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2＝12，即．∴曲线C的左焦点F的坐标为F（﹣2，0）．∵F（﹣2，0）在直线l上，∴直线l的参数方程为（t为参数）．将直线l的参数方程代入x2+3y2＝12得：t2﹣2t﹣2＝0，∴|F A|•|FB|＝|t1t2|＝2．（II）设曲线C的内接矩形的第一象限内的顶点为M（x，y）（0，0＜y＜2），则x2+3y2＝12，∴x＝．∴P＝4x+4y＝4+4y．令f（y）＝4+4y，则f′（y）＝．令f′（y）＝0得y＝1，当0＜y＜1时，f′（y）＞0，当1＜y＜2时，f′（y）＜0．∴当y＝1时，f（y）取得最大值16．∴P的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求mn的最小值．【解答】解：（1）∵∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立，∴|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值大于或等于t，∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣（x﹣2）|＝2，当且仅当1≤x≤2时，取等号，故|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值为1，∴t≤1，故T＝{t|t≤1}．（2）∵m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，∴log3m•log3n≥1．又log 3m+log3n＝log3m•n≥2≥2＝log39，∴mn≥9，故mn的最小值为9．。
福建省福州第一中学2016届高三下学期模拟考试(5月质检)数学(文)试题 Word版含答案
福州一中2015-—2016学年第二学期校质量检查试卷高三文科数学试卷（完卷时间120分钟 满分150分） （请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.(1)设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b =(A) 2 (B) 2- (C) 1 (D) 1- (2)若集合{}}{R x x y y N R t x x Mt ∈==∈==-,sin ,,2，则MN =(A) ∅ (B) (]0,1 (C) []1,1- (D) [)1,0- (3)已知命题:,cos()cos p R απαα∃∈-=；命题2:,10q x R x ∀∈+>，则下面结论 正确的是(A) p q ∨是真命题 (B) p q ∧是假命题 (C) q ⌝是真命题 (D) p 是假命题 (4)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0>A ，0>ω，2πϕ<)的图象如图1所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 (A) 最小正周期是π (B) 对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈Z(C)6πϕ=-(D) 对称中心是(,0)()6k k ππ-+∈Z(5)已知函数2(10)(),(01)x x f x x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是(A) (B) (C) (D)(6)若实数,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为(A)13 (B) 12(C) 1 (D) 2 (7) 关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 (A) ①② (B) ③④ (C) ①④ (D) ②③ (8)已知三棱锥的三视图如图2所示，则它的外接球的体积为 (A) π (B) 4π (C) 43π (D) 23π(9)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，左顶点M 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 (A) 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) (1,2) (C) 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(D) (2,)+∞ (10)函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22xf x x a =-+. 则函数()f x 的零 点个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (11) 如图3，O 为ABC ∆的外心，6,4,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=(A) -10 (B) 36 (C) 13 (D) 16(12)已知函数21()()36f x x mx m R =++∈，且关于x 的不等式()1f x a <-的解集为(3,2)m m -+，则实数a 的值是图1图2图3(A)294 (B) 254 (C) 6 (D)214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)已知3cos α=，且 000180α<<，则角α的值________________. (14)已知数列{}n a 满足1,1n na q q a +=>，且47562,8a a a a +=⋅=-，则110a a +=____. (15)若斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则弦长AB 的最大值为_____. (16) 已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,,a b c ，其中2c =，3cos cos 2sin ca Bb A C+=，则ABC ∆周长的取值范围为_____________________.三、解答题：解答应写出说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，60分.(17)（本小题满分12分） 已知数列}{n a ，记123,*nn a a a a V n N n++++=∈.（I ）若21+=n V n ，求数列{n a }的通项公式； （II ）若数列}{n a 是首项为1-，公比为2q =的等比数列，试比较n V 与6-的大小. (18) (本小题满分12分）某汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按轿车种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. （I ）求z 的值;（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率. (19) (本小题满分12分）如图4，AB 是圆O 的直径，E 是圆O 上不同于,A B 的动点，四边形ABCD 为矩形， 且2,1AB AD ==，平面ABCD ⊥平面ABE . （I ）求证：平面DAE ⊥平面EBC ；（II ）当点E 在AB 上的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33； (III)在（II ）的条件下，求EBC ∆以EC 为轴旋转所围成的几何体体积.(20)（本小题满分12分）图4如图5，已知圆O '过定点(0,)(0)A p p >，圆心O '在抛物线22x py =上运动，MN 为圆O '在x 轴上所截得的弦.（I ）当O '点运动时，MN 是否有变化？并证明你的结论；（II ）当OA 是OM 与ON 的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆O '的位置关系，并 说明理由.(21)（本小题满分12分）设函数1()1,()1xf xg x x ax =-=+(其中a R ∈, e 是自然对数的底数). （I ）若函数(),()f x g x 的图象在012x =处的切线斜率相同，求实数a 的值；（II ）若()()xf eg x ≤在[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。
福建省福州第一中学2017届高三5月质检(最后一模)数学(文)试题
福州一中2016-2017学年第二学期模拟试卷高三文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 当时,复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】,在复平面内对应的点在第四象限,故选D.点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部;当时复数为实数, 当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.复数的几何意义为:表示复数z对应的点与原点的距离,表示两点的距离,即表示复数与对应的点的距离.2. 已知,则的值( )A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】C【解析】,故选C. 3. 为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是( )A. 23B. 27C. 31D. 33【答案】C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中，18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31,故选C.4. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为( )A. 528B. 1020C. 1038D. 1040【答案】D【解析】,,,故选D.5. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱和半个圆锥拼接而成,,故选C.6. 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为( )A. B. C. D. ...【答案】A【解析】试题分析：任取3个数的种数为种，当取2．3．4，3．4．5，2．4．5时可构成三角形，因此概率为考点：古典概型概率7. 若实数，满足不等式组，则的最大值为( )A. 13B. 11C. 3D. 1【答案】B【解析】根据题中约束条件做可行域如图所示:的取值范围即中z的取值范围,由图可以看出最大值为经过(6,-1)时取得,此时z=11,故选B.点睛:本题考查简单的线性规划. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.8. 点在抛物线上，为抛物线焦点，，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则( )A. 9B. 12C. 18D. 32【答案】C【解析】设,由抛物线的定义可得:,即,以为圆心为半径的圆交x轴于A,B两点，,又由投影的几何意义,,故选C.9. 如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是( )A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】B【解析】因为框图是“二分法”求方程近似解的流程图,所以判断框的内容是根的存在性定理的应用,所以填,“是”则直接进行验证精度,否则在赋值框中实现的交换,故选B.点睛:对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点, 函数的零点就是方程的实数根,也是函数的图象与x轴的交点的横坐标.判断函数在给定区间零点的步骤:一,确定函数的图象在上连续;二,计算的值并判断的符号;三,若,则有实数解.10. 已知函数的（，）图象关于点对称，且的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是的单调递增区间( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设图象上最高点的坐标为,最低点的坐标为,则,解得,又,;图象关于点对称,,解得,又,,令,解得,令k=1,可知C正确,故选C.11. 已知，是焦点在轴的双曲线（，）的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. C. 2 D.【答案】C【解析】根据题意,,一条渐近线方程为,则到渐近线的距离为,设关于渐近线的对称点为M,与渐近线交于A, ,A为的中点,又O是的中点,,为直角, 为直角三角形,由勾股定理得:,,解得,,故选C.12. 已知函数，，函数（），若存在，，使得成立，则实数的取值范围是( )...A. B. C. D.【答案】A点睛:求参数的范围经常使用的方法:一,分离变量;二,运用最值.例如:恒成立;有解;有解的值域;本题为存在,使得成立,等价转化为两个函数的值域的交集不为空,再利用正难则反的思想,先求两个函数的值域没有公共部分时的参数范围,再求其补集即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，均为单位向量，且，则与的夹角__________．【答案】【解析】,解得,,所以与的夹角为,故填.14. 已知函数，若实数满足，则实数的值是__________．【答案】4或【解析】为偶函数,且在上单调递增,所以,即,或,故填或.15. 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，，棱的中点为，棱的中点为，平面与平面的交线与所成角的正切值为，则三棱柱外接球的半径为__________．【答案】【解析】连接AG,在平面内过G作GH交的延长线于H,则,得,把原直三棱柱补体成正方体,则正方体的棱长为4,所以三棱柱外接球半径,故填.16. 已知函数，若，，则数列的前（）项和等于__________．【答案】【解析】时,;,时,,时,,时,,故填.点睛:根据n为奇数时,,求出,,当时,,可得的通项公式为,再根据分组求和,分别利用等比数列和等差数列的求和公式求出,最后写成分段函数的形式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且，（为外接圆的半径）.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的面积.【答案】（1）（2）试题解析:解：（Ⅰ）∵，∴.∴，即，又，∴，，∴求得：....（Ⅱ）.∴，∴或（不合）∴.18. 目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：（Ⅰ）请把列联表补充完整；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.参考公式与临界表：【答案】（1）见解析（2）有把握（3）【解析】试题分析: （1）根据题中条件,结合调查了500名居民,即可不全列联表; （2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中做出观测值,同所给的临界值表进行比较,得出结论; （3）根据分层抽样的比例计算出两类数据各取的人数,并一一列举,根据古典概型的公式计算出概率.试题解析:解：（Ⅰ）列联表如下：（Ⅱ）观察值....∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.（Ⅲ）采用分层抽样抽取6名，有呼吸系统疾病的抽取4人，记为，，，，无呼吸系统疾病的抽取2人，记为，.从6人中抽取2人基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共有15中.“2人都有呼吸系统疾病”有，，，，，，共6种.∴.答：2人都有呼吸系统疾病的概率为.点睛: 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}.利用随机变量、独立性假设来确定是否一定有把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.19. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且.（Ⅰ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线，使得平面，并给予证明.（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）到平面的距离为.【解析】试题分析: （1）根据平行四边形的定义判断出四边形的形状,再根据线面平行的判定定理,由线线平行得到线面平行; （2）根据三棱锥等体积法求出点面距离.试题解析: 解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，直线即为所求.证明如下：取中点，连接，连接交于.则为的中位线.∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵，分别为，中点，∴，∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵平面，平面，∴平面，∴到平面的距离等于到平面的距离，设为.∵平面，∴，∵，∴，∵，，∴平面.在中，，，∴.∵，∴，∴.∴到平面的距离为....20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC表示成的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：，同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号，所以面积的最小值为8.21. 已知函数.（Ⅰ）若是函数是极值点，1是函数零点，求实数，的值和函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析: （1）对求导,,利用已知条件x=2是函数极值点,1是函数零点,可得a,b的值,进而得到的单调区间; （2）构造函数,由b的范围及其范围内的任意性将问题转化为存在,使得,对求导并构造函数,利用分类讨论的方法研究两种情况下的函数正负,最终证明当a>1时,对任意,都存在,使得成立.试题解析:解：（Ⅰ）.∵是函数的极值点，∴.又∵1是函数的零点，∴.联立，解得：，∴，，.∵在，，∴在（0,2）上单调递减；又在，，... ∴在上单调递增.（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，∴要使成立，只需在有解.令：，只需存在，使得.由于，，令：，∴，∴在递增，∴.（ⅰ）当时，，即，∴在是单调递增，∴，不合题意.（ⅱ）当时，，若，则上单调递减，∴存在，使得，符合题意.若，则，即，∴存在使得.∴在上成立，∴在上单调递减，∴存在使得成立.综上所述：当时，对任意，都存在使得.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：，，曲线：（为参数）.（Ⅰ）求的直角坐标方程；（Ⅱ）与相交于，，与相切于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析: （1）将代入方程,可得曲线的直角坐标方程; （2）先求出直线所经过的定点坐标,联立直线的参数方程与,消元写出韦达定理,判断和的符号,即可求值.试题解析: 解：（Ⅰ）因为，，由得，所以曲线的直角坐标方程为：.（Ⅱ）设，易知直线的斜率，所以，即，所以，故.取，，不妨设，对应的参数分别为，.把代入，化简得，即，易知，.所以.23. 选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）求函数的最大值.（Ⅱ）是否存在满足的实数，，使得.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析: （1）根据绝对值三角不等式放缩,可求得函数的最大值; （2）将要求的不等式进行换元配凑,将平方和放缩成和的形式,再验证取等条件,求出满足条件的的值.试题解析: 解：（Ⅰ），等号成立，当且仅当或，所以.（Ⅱ），当且仅当，，时取等，所以存在实数，满足条件.。
【定稿】2017福州市普通高中毕业班质量检测参考答案及评分标准(文科数学)
a3n
2 3n 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分
2 1 1 2 3 1 2 32 1 2 1 3 32
B
数学参考答案及评分标准（第 1 页 共 6 页）
∵ PM
1 BN BM · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 MB ，∴ 2 ，∴在 BPD 中， MN // PD ， · 2 ND MP
又∵ PD 平面MAC ， MN 平面MAC . ∴ PD // 平面MAC ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 （Ⅱ）∵平面 PAD 平面 ABCD ，且交于 AD ， PA AD ， PA 平面 PAD ， ∴ PA 平面 ABCD ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
(18) 本小题主要考查空间直线与直线、 直线与平面的位置关系及点到平面的距离等基础知识， 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分 12 分． 【解析】解法一： （Ⅰ）在四棱锥 P ABCD 中，连结 BD 交
2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷(文科)-Word版含解析
2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=m+2i，且（2+i）z是纯虚数，则实数m=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．若公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，则a9=（）A．1 B．9 C．17 D．193．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B． C．D．4．已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=﹣1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A．8 B．9 C．10 D．116．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．π D．π7．执行如图所示的程序框图，若输入n=2017，输出S的值为0，则f（x）的解析式可以是（）A． B． C． D．8．已知函效f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）有极值B．f（x）有零点C．f（x）是奇函数D．f（x）是增函数9．如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．10．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=111．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B． C．6 D．12．已知函数f（x）=x（a﹣e﹣x），曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，+∞）B．（﹣e2，0）C．（﹣e﹣2，+∞）D．（﹣e﹣2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设向量，且的夹角为，则m=．14．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．15．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为B1，B2，右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D．若2|AB1|=3|B1D|，则C的离心率等于．16．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3，且AC边上的中线长为，求c的值．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．19．某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80 万元，同时，当预计投入的资金低于20 万元时，就按20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）20．已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．21．已知函数f（x）=（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=m+2i，且（2+i）z是纯虚数，则实数m=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z=m+2i代入（2+i）z，然后利用复数代数形式的乘法运算化简，再由已知条件列出方程组，求解可得答案．【解答】解：∵（2+i）z=（2+i）（m+2i）=2m+4i+mi+2i2=（2m﹣2）+（m+4）i 为纯虚数，∴，解得m=1．故选：A．2．若公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，则a9=（）A．1 B．9 C．17 D．19【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列前n项和公式求出首项，由此能求出第9项．【解答】解：∵公差为2的等差数列{a n}的前9项和为81，∴，解得a1=1，∴a9=1+（9﹣1）×2=17．故选：C．3．函数y=x2+ln|x|的图象大致为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）=x2+ln|x|=f（x），∴y=f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x→0时，y→﹣∞，故排除D，或者根据，当x＞0时，y=x2+lnx为增函数，故排除D，故选：A4．已知集合A={a，1}，B={a2，0}，那么“a=﹣1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：当a=﹣1时，A={﹣1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，即充分性成立，若A∩B≠∅，则a2=1或a2=a，即a=1或a=﹣1或a=0，当a=1时，A={1，1}不成立，当a=﹣1时，A={﹣1，1}，B={1，0}，则A∩B={1}≠∅成立，当a=0时，B={0，0}不成立，综上a=﹣1，即“a=﹣1”是“A∩B≠∅”的充要条件，故选：C5．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】对数的运算性质．【分析】经过n个“半衰期”后的含量为，可得，解出即可得出．【解答】解：设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由得：n≥10所以，若探测不到碳14含量，至少需要经过10个“半衰期”．故选：C．6．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．πB．πC．π D．π【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出PA=1，PC=，PB=2，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：∵AB=，BC=，AC=2，∴PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2，∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（）3=π故选：B．7．执行如图所示的程序框图，若输入n=2017，输出S的值为0，则f（x）的解析式可以是（）A． B． C． D．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=f（1）+f（2）+…+f+f（2）+…+f+f（2）+…+f+f（2）+…+f已知函效f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）有极值B．f（x）有零点C．f（x）是奇函数D．f（x）是增函数【考点】分段函数的应用．【分析】当x＜0时，f（x）=x﹣sinx，利用导数判断函数为增函数，当x≥0时，f（x）=x3+1，函数为增函数，再去判断零点，极值和奇偶性．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，∴f（x）＜f（0）=0，当x≥0时，f（x）=x3+1，函数为增函数，∴f（x）≥f（0）=1，综上所述f（x）是增函数，函数无极值，无零点，∵f（﹣x）≠﹣f（x），f（﹣x）≠f（x），∴函数为非奇非偶函数，故选：D9．如图，⊙O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在⊙O上，且B（，﹣），点C在第一象限，∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由题意求得sinα，cosα的值，利用两角差的余弦展开cos（﹣α）得答案．【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=，由三角函数的定义，得sin∠AOB=，cos∠AOB=．∴sinα=sin（）=sin cos∠AOB﹣cos sin∠AOB=，cosα=cos（）=cos cos∠AOB+sin sin∠AOB=．∴cos（﹣α）==．故选：B．10．已知直线l过点A（﹣1，0）且与⊙B：x2+y2﹣2x=0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过点D，一条渐进线平行于l，则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣x2=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】设直线l：y=k（x+1），求得圆的圆心和半径，运用正弦和圆相切的条件：d=r，求得斜率k，联立直线和圆方程解得交点，求出渐近线方程，设出双曲线方程，代入D的坐标，解方程即可得到所求方程．【解答】解：可设直线l：y=k（x+1），⊙B：x2+y2﹣2x=0的圆心为（1，0），半径为1，由相切的条件可得，d==1，解得k=±，直线l的方程为y=±（x+1），联立x2+y2﹣2x=0，解得x=，y=±，即D（，±），由题意可得渐近线方程为y=±x，设双曲线的方程为y2﹣x2=m（m≠0），代入D的坐标，可得m=﹣=．则双曲线的方程为﹣=1．故选：D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为（）A．B． C．6 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图还原几何体形状，求出各棱的长度，比较后，可得答案．【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位三棱锥P﹣ABC如图所示，其中，正方体棱长为4，点P是正方体其中一条棱的中点，则：，所以最长棱为6．故选：C12．已知函数f（x）=x（a﹣e﹣x），曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（）A．（﹣e2，+∞）B．（﹣e2，0）C．（﹣e﹣2，+∞）D．（﹣e﹣2，0）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，故f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，即可解出a的取值范围．【解答】解：∵曲线y=f（x）上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，∴f′（x）=a+（x﹣1）e﹣x=0有两个不同的解，即得a=（1﹣x）e﹣x有两个不同的解，设y=（1﹣x）e﹣x，则y′=（x﹣2）e﹣x，∴x＜2，y′＜0，x＞2，y′＞0∴x=2时，函数取得极小值﹣e2，∴a＞﹣e2．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．设向量，且的夹角为，则m=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积，列出方程，即可求出m的值．【解答】解：向量，且的夹角为，则，根据公式得：，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．14．若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数以及可行域，判断最值点的位置，然后求解最小值即可．【解答】解：因为线性约束条件所决定的可行域为非封闭区域且目标函数为线性的，最值一定在边界点处取得．分别将点代入目标函数，求得：，所以最小值为2．故答案为：2．15．椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为B1，B2，右顶点为A，直线AB1与B2F1交于点D．若2|AB1|=3|B1D|，则C的离心率等于．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由2|AB1|=3|B1D|，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得e的值．【解答】解：如图所示，设D（x0，y0），由2|AB1|=3|B1D|，得：，根据三角形相似得：，求得：，又直线B2F1的方程为将点代入，得：，∴．故答案为：．16．已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是（，3）．【考点】正弦函数的图象．【分析】要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，可得ω•+＜＜ω•+≤，解之即可得结论．【解答】解：要求函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上有最大值，但没有最小值，∴ω•+＜＜ω•+≤解之即可得：ω∈（，3）．故答案为（，3）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosC﹣c=2a．（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若a=3，且AC边上的中线长为，求c的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由余弦定理化简已知等式可得：a2+c2﹣b2=﹣ac，进而可求cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，取AC中点D，连接BD，由余弦定理可求cosC=，整理可得9+b2﹣c2=2（9+﹣），联立即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵2bcosC﹣c=2a，∴由余弦定理可得：2b•﹣c=2a，…3分∴化简可得：a2+c2﹣b2=﹣ac，…4分∴cosB==﹣，…5分∵B∈（0，π），∴B=．…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，①…7分又∵cosC=，…8分取AC中点D，连接BD，在△CBD中，cosC==， (9)分∴9+b2﹣c2=2（9+﹣），②…11分把①代入②，化简可得：c2﹣3c﹣10=0，解得：c=5或c=﹣2（舍去），可得：c=5．…12分18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，∠B1A1A=∠C1A1A=60°，AA1=AC=4，AB=1．（Ⅰ）求证：A1B1⊥B1C1；（Ⅱ）求三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，推导出OC1⊥AA1，OC1⊥A1B1，A1B1⊥OB1，从而A1B1⊥平面OB1C1，由此能证明A1B1⊥B1C1．（Ⅱ）在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形推导出BB1⊥OC1，C1F⊥BB1，由此能求出三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）取AA1中点O，连结OC1，AC1，∵AA1=AC=A1C1=4，∠C1A1A=60°，∴△AC1A1为正三角形，∴OC1⊥AA1，OC1=2，又侧面ACC1A1⊥侧面ABB1A1，面ACC1A1∩面ABB1A1=AA1，OC1⊂面ACC1A1，∴OC1⊥平面ABB1A1，又A1B1⊂平面ABB1A1，∴OC1⊥A1B1，在△OA1B1中，∵∠OA1B1=60°，A1B1=AB=1，OA1=2，∴=1+4﹣2×1×2×cos60°=3，解得OB1=，∴OA12=OB12+，∴A1B1⊥OB1，又OB1∩OC1=O，OB1⊂平面OB1C1，OC1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥平面OB1C1，∵B1C1⊂平面OB1C1，∴A1B1⊥B1C1．解：（Ⅱ）依题意，=8，在平行四边形ABB1A1中，过B1作B1E⊥1于点E，过O作OF⊥BB1于点F，则OFB1E为矩形，∴OF=B1E，由（1）知OC1⊥平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴BB1⊥OC1，∵BB1⊥OF，OC1∩OF=O，OC1⊂平面OC1F，OF⊂平面OC1F，∴BB1⊥平面OC1F，∵C1F⊂平面OC1F，∴C1F⊥BB1，∵，在Rt△OC1F中，OC1=2，OF=B1E=，∴C1F==，∴=BB1×，∴三棱锥ABC﹣A1B1C1的侧面积S=2=．19．某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000 万元，出售产品收入40 万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80 万元，同时，当预计投入的资金低于20 万元时，就按20 万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等．（Ⅰ）求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；（Ⅱ）预计从哪一年起该公司开始盈利？（注：盈利是指总收入大于总投入）【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a n万元，b n万元，根据题意可得{a n}是首项为1000，公比为的等比数列，{b n}是首项为40，公差为80的等差数列，问题得以解决，（Ⅱ）根据等差数列的求和公式和等比数列的求和公式得到S n，再根据数列的函数特征，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）设第n年的投入资金和收入金额分别为a n万元，b n万元，依题意得，当投入的资金不低于20万元，即a n≥20，a n=a n+1b n=b n+1+80，n≥2，此时{a n}是首项为1000，公比为的等比数列，{b n}是首项为40，公差为80的等差数列，所以a n=1000×（）n﹣1，b n=80n﹣40，令a n＜20，得2n﹣1＞50，解得n≥7所以a n=，（Ⅱ）S n=﹣=2000×（）n+40n2﹣2000，所以S n﹣S n﹣1=﹣2000×（）n+80n﹣40，n≥2，因为f（x）=﹣2000×（）x+80x﹣40为增函数，f（3）＜0，f（4）＜0，所以当2≤n≤3时，S n+1＞S n，当4≤n≤6时，S n+1＜S n，又因为S1＜0，S6=﹣528.75＜0，所以1≤n≤6，S n＜0，即前6年未盈利，当n≥7，S n=S6+（b7﹣a7）+（b8﹣a8）+…+（b n﹣a n）=﹣528.75+420（n﹣6），令S n＞0，得n≥8综上，预计公司从第8年起开始盈利．20．已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，直线l'垂直l于点P，线段PF的垂直平分线交l于点Q．（Ⅰ）求点Q的轨迹C的方程；（Ⅱ）已知点H（1，2），过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交l于点M，N，求证：以MN为直径的圆必过定点．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义可知：Q到直线x=﹣1的距离与到点F的距离相等，点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，即可求得点Q的轨迹C 的方程；（Ⅱ）求得焦点坐标，设直线方程，代入抛物线方程，求得直线直线AH，BH的斜率分别为k1，k2，求得M和N的坐标，由韦达定理求得y M•y N=4，y M+y N=﹣，代入圆的方程，即可求得x和y的值，则以MN为直径的圆必过定点．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知丨QP丨=丨QF丨，即Q到直线x=﹣1的距离与到点F的距离相等，∴点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线方程的抛物线，设抛物线的方程y2=2px（p＞0），则p=2，∴点Q的轨迹C的方程y2=4x；（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线AB：x=my+1（m≠0），，整理得：y2﹣4my﹣4=0，设A（，y1），B（，y2），则y1+y2=4m，y1•y2=﹣4，又H（1，2），设直线AH，BH的斜率分别为k1，k2，则k1==，k2==，直线AH：y﹣2=（x﹣1），BH：y﹣2=（x﹣1），设M（﹣1，y M），N（﹣1，y N），令x=﹣1，得：y M=2﹣=，同理，得：y N=2﹣=，y M•y N=•===﹣4，y M+y N=（2﹣）+（2﹣）=4﹣8（+）==4﹣，=4﹣=﹣，由MN为直径的圆的方程为（x+1）2+（y﹣y M）（y﹣y N）=0，整理得：x2+2x﹣3+y2+y=0，令，解得：x=﹣3，x=1，∴以MN为直径的圆必过定点（﹣3，0）（1，0）．21．已知函数f（x）=（ax﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；（Ⅱ）当m＞n＞0时，证明：me n+n＜ne m+m．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的定义域，以及导数，讨论a=0，a＞0，a＜0，判断导数符号，解不等式即可得到所求单调区间；（Ⅱ）运用分析法证明．要证me n+n＜ne m+m，即证me n﹣m＜ne m﹣n，也就是证＜，令g（x）=，x＞0，求出导数，再令h（x）=xe x﹣e x+1，求出导数，判断单调性，即可得证．【解答】（Ⅰ）解：f（x）的定义域为R，且f′（x）=（ax+a﹣1）e x．当a=0时，f′（x）=﹣e x＜0，此时f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣，由f′（x）＜0，得x＜﹣．此时f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），单调增区间为（，+∞）；当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＜﹣，由f′（x）＜0，得x＞﹣．此时f（x）的单调减区间为（，+∞），单调增区间为（﹣∞，﹣）．（Ⅱ）证明：要证me n+n＜ne m+m，即证me n﹣m＜ne m﹣n，也就是证m（e n﹣1）＜n（e m﹣1）．也就是证＜，令g（x）=，x＞0，g′（x）=，再令h（x）=xe x﹣e x+1，h′（x）=e x+xe x﹣e x=xe x＞0，可得h（x）在x＞0递增，即有h（x）＞h（0）=0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，由m＞n＞0，可得＜，故原不等式成立．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C1：ρ=2cosθ，曲线．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）C与C1，C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，求||PQ|﹣|RS||的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．曲线即ρ2sin2θ=4ρcosθ，利用互化公式可得直角标准方程．（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t1，t2，t3，t4．曲线C的参数方程代入抛物线方程可得：3t2﹣8t﹣32=0．△1＞0，可得t1+t4．曲线C的参数方程代入圆的方程可得：t2+t=0．△2＞0，可得t2+t3．∴||PQ|﹣|RS||=|（t2﹣t1）﹣（t4﹣t3）|=|（t2+t3）﹣（t1+t4）|即可得出．【解答】解：（I）曲线C1：ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x．曲线即ρ2sin2θ=4ρcosθ，化为直角标准方程：y2=4x．（II）设四点在C上的排列顺次为P，Q，R，S，其参数分别为t1，t2，t3，t4．曲线C的参数方程为（t为参数）代入抛物线方程可得：3t2﹣8t﹣32=0．△＞0，可得t1+t4=．1曲线C的参数方程为（t为参数）代入圆的方程可得：t2+t=0．△2＞0，可得t2+t3=﹣1．∴||PQ|﹣|RS||=|（t2﹣t1）﹣（t4﹣t3）|=|（t2+t3）﹣（t1+t4）|==．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）求证：．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（I）分类讨论，即可解不等式；（II）利用绝对值不等式，即可证明．【解答】（Ⅰ）解：当a=1时，不等式f（x）≥2，即|x﹣1|+|2x﹣1|≥2．x＜时，不等式可化为1﹣x+1﹣2x≥2，解得x≤0，∴x≤0；时，不等式可化为1﹣x+2x﹣1≥2，解得x≥2，∴x无解；x＞1时，不等式可化为x﹣1+2x﹣1≥2，解得x≥，∴x≥；综上所述，不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（Ⅱ）证明：f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|≥|a﹣x|+|x﹣|≥|a﹣|．。
2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷(文科)(解析版)
2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 .已知复数z=m+2i ，且（2+i ） z 是纯虚数，则实数 A . 1 B.2 C. - 1 D .- 2 2.若公差为2的等差数列｛a n ｝的前9项和为81，则 A .充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件5 .当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过5730年衰减为原来的 一半，这个时间称为 半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分 之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳 14用该放射性探测器探测不到，则它经过的半衰期”个数至少是（ ）A . 8 B. 9 C. 10 D . 116.已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB 壬，BCd ，AC=2m=( a 9=(A . 1 B. 9 C. 17 D . 19已知集合 A=｛a ，1｝，B=｛a 2，0｝，那么 “a = 1”是 函数y=W+ln| x|的图象大致为（)3. C4.则此三棱锥的外接球的体积为（n B RH n CA.163n D.)3237t,则下列结论正确的是（) 已知函效f（X）=[ZQO- gim,sC C8.A.f（x）有极值B. f (x)有零点C. f (x)是奇函数D. f （x）是增函数9. 如图，。
O与x轴的正半轴交点为A,点B, C在。
O上，且B （盲，- ), 点C在第一象限，/ AOC a , BC=1,贝U cos (n4才10.已知直线I过点A （- 1，0）且与。
B：x2+y2- 2x=0相切于点D，以坐标轴E过点D，一条渐进线平行于I，则E的方程为（为对称轴的双曲线C匸-x2=1D. 2=111.如图，网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图，则 A . （- e 2，+x ） B. （- e 2，0）C .（- e 「2, +^） D . （- e「2，0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13. __________________________________________________________ 设向量仮），？二（皿血）|，且的夹角为三，贝U m= ______________________ .14.若x ，y 满足约束条件 _____ ，则z=x+2y 的最小值为.［空-y-r ---------15. 椭圆C ： ^7r+yy=l （a>b>0）的左、右焦点分别为卩V 卩2，上、下顶点分a b 别为B 1，B 2,右顶点为A ,直线ABi 与B 2F 1交于点D.若2| ABi| =3| B 1 D|，贝U C 的离心率等于 _________ .JT I JU | 兀16. 已知函数f （x ） =si n （3）+孑）（3> 0）在（巨，」「）上有最大值，但没有最小值，则3的取值范围是—.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. A ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，2bcosC- c=2a. （I ）求B 的大小；X ），曲线y=f （x ）上存在不同的两点，使得曲线y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（该几何体最长的棱长为（D. [2^5在这两点处的切线都与（U）若a=3,且AC边上的中线长为匚，求c的值.18. 如图，三棱柱ABC- A1B1G中，侧面ACGA1丄侧面ABBA，/ B1A A=/C i A i A=60°, AA i=AC=4 AB=1.(I )求证：A i B i 丄B i C i;(n )求三棱锥ABC- A1B1C1的侧面积.19•某公司生产一种产品，第一年投入资金1 000万元，出售产品收入40万元，预计以后每年的投入资金是上一年的一半，出售产品所得收入比上一年多80万元，同时，当预计投入的资金低于20万元时，就按20万元投入，且当年出售产品收入与上一年相等.(I )求第n年的预计投入资金与出售产品的收入；(n)预计从哪一年起该公司开始盈利？(注：盈利是指总收入大于总投入)20. 已知点F (1, 0)，直线I: x=- 1,直线r垂直I于点P,线段PF的垂直平分线交I于点Q.(I )求点Q的轨迹C的方程；(n)已知点H (1, 2)，过F且与x轴不垂直的直线交C于A，B两点，直线AH，BH分别交I于点M , N,求证：以MN为直径的圆必过定点.21. 已知函数f (x) = (ax— 1) e x, a € R.(I )讨论f (x)的单调区间；(n)当m> n > 0 时，证明：me n+n v ne m+m.请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.女口果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. 在极坐标系中，曲线C1：p =2cos,曲线匚才Psin2©以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,曲线C的参数方程为(t为参数).(I )求C l, C2的直角坐标方程；(n) C与C i, C2交于不同四点，这四点在C上的排列顺次为P, Q, R, S,求II PQ —I RSI 的值.［选修4-5不等式选讲］23. 已知函数f (x) =| x—a|+| 2x-1| .(I )当a=1时，解不等式f (x)>2;(n)求证：F(K)列匕-寺||.2017年福建省高中毕业班单科质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知复数z=m+2i，且（2+i）z是纯虚数，则实数m=（）A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】把复数z=m+2i代入（2+i）z,然后利用复数代数形式的乘法运算化简, 再由已知条件列出方程组，求解可得答案.【解答】解：：(2+i) z= ( 2+i) (m+2i) =2m+4i+mi+2i2= (2m - 2) + (m+4) i 为纯虚数，.护时2二0° ° (时4知，解得m=1.故选：A.2.若公差为2的等差数列｛a n｝的前9项和为81，则a9=（）A. 1B. 9C. 17D. 19【考点】等差数列的通项公式.【分析】利用等差数列前n项和公式求出首项，由此能求出第9项.【解答】解：•••公差为2的等差数列｛a n｝的前9项和为81，9X8解得a1=1，.a9=1+ (9 —1 )x 2=17.故选：C.3 .函数y=x2+In | x|的图象大致为（）D.【考点】函数的图象.【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断.【解答】解：••• f (- x) =x2+ln| x| =f (x),••• y=f (x)为偶函数,••• y=f (x)的图象关于y轴对称，故排除B, C,当x—0时，y f-x，故排除D,或者根据，当x>0时，y=W+lnx为增函数，故排除D,故选：A4.已知集合A={a, 1}, B={a2, 0}，那么“a-T是“A B M?”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据集合交集的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解：当a=- 1时，A={ - 1,1} , B={1, 0}，则A H B={1}工?成立，即充分性成立，若A H B M?，则a F=1 或a2=a，即卩a=1 或a=- 1 或a=0,当a=1时，A={1, 1}不成立，当 a=- 1 时，A={ - 1, 1} , B={1, 0}，则 A H B={1}丰?成立, 当a=0时，B={0, 0}不成立，综上a=- 1,即“a -1”是“H B M ?”的充要条件， 故选：C5 •当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过5730年衰减为原来的 一半，这个时间称为 半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分 之一时，用一般的放射性探测器就测不到了•若某死亡生物体内的碳 14用该放 射性探测器探测不到，则它经过的半衰期”个数至少是（ ）A . 8 B. 9 C. 10 D . 11 【考点】对数的运算性质.【分析】经过n 个 半衰期”后的含量为 可得 隔y 需I 解出即可得出.【解答】解：设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n 个 半衰期”后的 含量为丄' , 由忖）得:n 》10所以，若探测不到碳14含量，至少需要经过10个 半衰期”. 故选：C.6.已知三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两互相垂直，且 AB 壬,BC 三,AC=2 则此三棱锥的外接球的体积为（）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】求出PA=1, PC 二,PB=2以PA PB PC 为过同一顶点的三条棱，作 长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P -ABC 外接球.算出长方体的对角线即为球直径，结合球的体积公式，可算出三棱锥 P -ABC 外接球的体积.【解答】解：：AB 」,BCJ , AC=2 ••• PA=1, PC 砸,PB=2A .冗以PA PB PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球.T长方体的对角线长为"1卡3+4|=駆！,•••球直径为2『；|,半径R=J,因此，三棱锥P-ABC外接球的体积是旬nR== nX (四)3=a【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=(1)+f(2)+・・+f+f(2) +・・+f+f (2) +- +f+f (2) +-+f 已知函效f f x)z - sinx,Qy3+l, K>0，则下列故选：B.【考点】程序框图.结论正确的是( )A . f (x )有极值 B. f (x )有零点 C. f (x )是奇函数D. f (x )是增函数【考点】分段函数的应用.【分析】当XV0时，f (x ) =x- sinx ,禾I 」用导数判断函数为增函数，当 x >0时, f (x ) =x 3+1，函数为增函数，再去判断零点，极值和奇偶性. 【解答】解：当x v 0时，f (x ) =x - sinx ， ••• f'(x ) =1 - cosx > 0 恒成立，••• f (x )在(-x ，0)上为增函数，• f (x )v f ( 0 ) =0，当x >0时，f (x ) =xM ，函数为增函数， • f (x )> f (0) =1，综上所述f (x )是增函数，函数无极值，无零点， ••• f (- x )M- f (x )，f (- x )工 f (x )， •••函数为非奇非偶函数， 故选：D9•如图，。
2017年福建省福州市高考数学一模试卷(文科)
2017年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B=（（）A．∅B．（1，2]C．{2}D．{1，2}2．已知复数z=2+i，则=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x4．在检测一批相同规格共500kg航空耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（）5．要得到函数f（x）=sin2x的图象，只需将函数g（x）=cos2x的图象（）A．向左平移个周期B．向右平移个周期C．向左平移个周期D．向右平移个周期6．已知a=ln8，b=ln5，c=ln﹣ln，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．58．执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7 B．4，56 C．3，7 D．3，569．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB=AC=BC=2，则球O的表面积为（）A．πB．16πC．π D．64π10．已知m=，若sin2（α+γ）=3sin2β，则m=（）A．﹣1 B．C．D．211．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，若射线y=2（x﹣1）（x≤1）与C，l分别交于P、Q两点，则=（）A．B．2 C．D．512．已知函数f（x）=若方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=x（x﹣1）（x+a）为奇函数，则a=．14．正方形ABCD中，E为BC的中点，向量，的夹角为θ，则co sθ=．15．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°．若山高AD=100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为≈≈16．不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：①∀（x，y）∈D，y≥ax；②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a．则实数a的取值范围为．三、解答题（本题共70分）17．已知等差数列{a n}的各项均为正数，其公差为2，a2a4=4a3+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1+a3+a9+…+．18．如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB 于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD，点M的棱PB 上，且PM=MB．（1）求证：PD||平面MAC；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．19．在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如表：运动员比赛场次总分1234567891011A322 2 4 2621 B1 3 5 1 10 4 4 28 C98 6 1 1 1 2 28 D78 4 4 3 1 8 35 E 3 12 5 8 2 7 5 42F411 6 9 3 6 8 47 G1012 12 8 12 10 7 71 H12 12 6 12 7121273（1）根据表中的比赛数据，比较A与B的成绩及稳定情况；（3）请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．20．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）=f（x）﹣2x在区间[1，e]的最小值h（a）．21．已知圆O：x2+y2=4，点A（﹣，0），B（，0），以线段AP为直径的圆C1内切于圆O，记点P的轨迹为C2．（1）证明|AP|+|BP|为定值，并求C2的方程；（2）过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D（﹣2，0），直线DM，DN 与C2的另一个交点分别为S，T，记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求mn的最小值．2017年福建省福州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|1＜2x≤4，x∈N}，则A∩B=（（）A．∅B．（1，2]C．{2}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|1＜2x≤4，x∈N}={1，2}，∴A∩B={2}．故选：C．2．已知复数z=2+i，则=（）A．﹣i B．﹣+i C．﹣i D．﹣+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z=2+i，得，然后代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z=2+i，得，则=，故选：A．3．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的离心率e=2可得c=2a，由双曲线的几何性质可得b==a，即=，由双曲线的渐近线方程可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y=±x，又由其离心率e==2，则c=2a，则b==a，即=，则其渐近线方程y=±x；故选：B．4．在检测一批相同规格共500kg航空耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为（）【考点】简单随机抽样．【分析】利用频率估计概率，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批垫片中非优质品约为≈故选B．5．要得到函数f（x）=sin2x的图象，只需将函数g（x）=cos2x的图象（）A．向左平移个周期B．向右平移个周期C．向左平移个周期D．向右平移个周期【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的周期性，得出结论．【解答】解：将函数g（x）=cos2x的图象向右平移个单位，可得y=cos2（x ﹣）=sin2x=f（x）的图象，故选：D．6．已知a=ln8，b=ln5，c=ln﹣ln，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】直接利用对数的性质判断大小即可．【解答】解：a=ln8=，b=ln5，c=ln﹣ln=，∵ln2＜ln3＜ln5，∴a＜c＜b．故选：B．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体各面直角三角形的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，底面ABCD是正方形．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，底面ABCD是正方形．则此图中含有4个直角三角形（除了底面正方形）．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7 B．4，56 C．3，7 D．3，56【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：执行如图所示的程序框图，输入m=168，n=112，满足m、n都是偶数，k=1，m=84，n=56，满足m、n都是偶数，k=2，m=42，n=28，满足m、n都是偶数，k=3，m=21，n=14，不满足m、n都是偶数，满足m≠n，d=|m﹣n|=7，m=14，n=7，满足m≠n，d=|m﹣n|=7，m=7，n=7，不满足m≠n，退出循环，输出k=3，m=7．故选：C．9．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB=AC=BC=2，则球O的表面积为（）A．πB．16πC．π D．64π【考点】球的体积和表面积．【分析】由已知求出截面圆的半径r，根据已知中球心到平面ABC的距离，根据勾股定理求出球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：设平面ABC截球所得球的小圆半径为r，则2r==4，∴r=2，由得R2=16，所以球的表面积S=4πR2=64π．故选D．10．已知m=，若sin2（α+γ）=3sin2β，则m=（）A．﹣1 B．C．D．2【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用两角而和差的三角公式化简所给的式子，求得m的值．【解答】解：∵sin2（α+γ）=3sin2β，∴sin[（α+γ+β）﹣（β﹣α﹣γ）]=3sin[（α+γ+β）﹣（α+γ﹣β）]，∴sin（α+γ+β）cos（β﹣α﹣γ）﹣cos（α+γ+β）sin（β﹣α﹣γ）=3sin（α+γ+β）cos （α+γ﹣β）﹣3 cos（α+γ+β）sin（β﹣α﹣γ），∴sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）+cos（α+β+γ）sin（α+γ﹣β）=3sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）+3cos（α+γ+β）sin（α+γ﹣β），∴﹣2sin（α+γ+β）cos（α+γ﹣β）=2cos（α+γ+β）sin（α+γ﹣β），∴﹣tan（α+γ+β）=tan（α+γ﹣β），故m==﹣1，故选：A．11．已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，若射线y=2（x﹣1）（x≤1）与C，l分别交于P、Q两点，则=（）A．B．2 C．D．5【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】画出图形，利用直线的斜率，三角函数的值的求法，转化求解即可．【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，射线y=2（x﹣1）（x≤1）过抛物线的焦点坐标（1，0），如图：直线的斜率为：2，倾斜角为：θ，可得tanθ=2，则cosθ==．作PN垂直抛物线的准线于N，则PF=PN，则==．故选：C．12．已知函数f（x）=若方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（e，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（﹣x）的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f（﹣x）=f（x）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣x）=．显然x=0是方程f（﹣x）=f（x）的一个根，当x＞0时，e x=﹣ax，①当x＜0时，e﹣x=ax，②显然，若x0为方程①的解，则﹣x0为方程②的解，即方程①，②含有相同个数的解，∵方程f（﹣x）=f（x）有五个不同的根，∴方程①在（0，+∞）上有两解，做出y=e x（x＞0）和y=﹣ax（x＞0）的函数图象，如图所示：设y=kx与y=e x相切，切点为（x0，y0），则，解得x0=1，k=e．∵y=e x与y=﹣ax在（0，+∞）上有两个交点，∴﹣a＞e，即a＜﹣e．故选A．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数f（x）=x（x﹣1）（x+a）为奇函数，则a=1．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由题意，f（﹣1）=﹣f（1），即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣1）=﹣f（1），即﹣1×（﹣2）×（﹣1+a）=0，∴a=1，故答案为1．14．正方形ABCD中，E为BC的中点，向量，的夹角为θ，则cosθ=．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据条件，可分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设正方形的边长为2，从而可求出点A，E，B，D的坐标，进而求出向量的坐标，从而便可求出cosθ的值．【解答】解：如图，分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则：A（0，2），E（2，1），B（2，2），D（0，0）；∴；∴，．∴．故答案为：．15．如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°．若山高AD=100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度为≈≈【考点】解三角形的实际应用．【分析】求出AB=200m，AC=100m，由余弦定理可得BC，即可得出结论．【解答】解：由题意，AB=200m，AC=100m，由余弦定理可得BC=≈÷14≈16．不等式组的解集记作D，实数x，y满足如下两个条件：①∀（x，y）∈D，y≥ax；②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a．则实数a的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，即D，由图象可得A（2，2），B（1，3）∵①∀（x，y）∈D，y≥ax，当a≤0时，恒成立，当a＞0时，暂且过点A（2，2）时斜率最大，即2≥2a，∴0＜a≤1，综上所述a的范围为a≤1，∵②∃（x，y）∈D，x﹣y≤a，∴直线x﹣y=a一定在点B（1，3）的下方或过点B，∴a≥1﹣3=﹣2，综上所述a的范围为﹣2≤a≤1，故答案为：[﹣2，1]三、解答题（本题共70分）17．已知等差数列{a n}的各项均为正数，其公差为2，a2a4=4a3+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求a1+a3+a9+…+．【考点】数列递推式；等差数列的通项公式．【分析】（1）由已知列出关于公差的方程解之，求出通项公式；（2）结合（1）的结论得到的通项公式，注意n≥0，利用分组求和解答．【解答】解：（1）等差数列{a n}的各项均为正数，其公差为2，a2a4=4a3+1．所以（a1+2）（a1+6）=4a1+17，解得a1=5或者﹣1（舍去）．所以{a n}的通项公式为a n=2n+3；（2）由（1）得到=2×3n+3，所以a1+a3+a9+…a=3（n+1）+2×=3n++．18．如图1，在等腰梯形PDCB中，PB∥DC，PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB 于点A，将△PAD沿AD折起，构成如图2所示的四棱锥P﹣ABCD，点M的棱PB 上，且PM=MB．（1）求证：PD||平面MAC；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求点A到平面PBC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，连接BD交AC于O，连接OM，由△DOC∽△AOB ，得，结合已知可得，又PM=MB ，即，得到PD ∥OM，再由线面平行的判定可得PD||平面MAC；（2）由DA⊥PA，且平面PAD⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，得到PA⊥平面ADC，再证明DC⊥PD，然后利用等积法求点A到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，连接BD交AC于O，连接OM，∵DC∥AB，∴△DOC∽△AOB ，则，∵PB=3，DC=1，∠DPB=45°，DA⊥PB于点A，得AB=2，∴，又PM=MB ，即，∴PD∥OM，∵PD⊄平面MAC，OM⊂平面MAC，∴PD||平面MAC；（2）解：∵DA⊥PA，且平面PAD⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，则PA⊥平面ADC，又AD⊥DC，平面PAD⊥平面ABCD，∴DC⊥平面PAB，则DC⊥PD，，．设点A到平面PBC的距离为d，由V P﹣ADC =V A﹣PDC，得，∴，解得：d=．19．在国际风帆比赛中，成绩以低分为优胜，比赛共11场，并以最佳的9场成绩计算最终的名次．在一次国际风帆比赛中，前7场比赛结束后，排名前8位的选手积分如表：运动员比赛场次总分1234567891011A322 2 4 2621 B1 3 5 1 10 4 4 28C98 6 1 1 1 2 28 D78 4 4 3 1 8 35 E 3 12 5 8 2 7 5 42 F411 6 9 3 6 8 47 G1012 12 8 12 10 7 71 H12 12 6 12 7121273（1）根据表中的比赛数据，比较A与B的成绩及稳定情况；（3）请依据前7场比赛的数据，预测冠亚军选手，并说明理由．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；极差、方差与标准差．【分析】（1）由表格中的数据，我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据．从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B的小，也就是说，在前7场比赛过程中，运动员A的成绩最为优秀，且表现也最为稳定．（3）尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，由此能求出结果．【解答】解：（1）由表格中的数据，我们可以分别求出运动员A和B前7场比赛积分的平均数和方差，作为度量两运动员比赛的成绩及稳定性的依据．运动员A的平均分==3，方差= [（3﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（6﹣3）2]=2；运动员B的平均分==4，方差= [（1﹣4）2+（1﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（10﹣4）2+（4﹣4）2+]（4﹣4）2]=8，从平均分和积分的方差来看，运动员A的平均积分及积分的方差都比运动员B 的小，也就是说，在前7场比赛过程中，运动员A的成绩最为优秀，且表现也最为稳定．从这5个数据中任取2个，基本事件总数n=，至少1个运动员平均分不低于5分的对立事件是取到的两人的平均分都低于5分，∴至少1个运动员平均分不低于5分的概率p=1﹣=．（3）尽管此时还有4场比赛没有进行，但这里我们可以假设每位选手在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同，因而可以把前7场比赛的成绩看作总体的一个样本，并由此估计每位运动员最后的成绩，从已结束的7场比赛的积分来看，运动员A的成绩最为出色，而且表现最为稳定，故预测A运动员获得最后的冠军，而运动员B和C平均分相同，但运动员C得分整体呈下降趋势，所以预测运动员C将获得亚军．20．已知函数f（x）=alnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间；（2）求g（x）=f（x）﹣2x在区间[1，e]的最小值h（a）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）由于x=3是函数f（x）的一个极值点，可得f′（3）=0，解出并验证即可；（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，求出h（a）的解析式即可．【解答】解：（1）f′（x）=+2x﹣a（x＞0）．∵x=3是函数f（x）的一个极值点，∴f′（3）=+6﹣a=0，解得a=9，∴f′（x）=，∴0＜x＜或x＞3时，f′（x）＞0，＜x＜3时，f′（x）＜0，∴x=3是函数f（x）的一个极小值点，（2）g（x）=alnx+x2﹣ax﹣2x，x∈[1，e]，g′（x）=，①≤1即a≤2时，g（x）在[1，e]递增，g（x）min=g（1）=﹣a﹣1；②1＜＜2即2＜a＜2e时，g（x）在[1，）递减，在（，e]递增，故g（x）min=g（）=aln﹣﹣a；③≥e即a≥2e时，g（x）在[1，e]递减，故g（x）min=g（e）=a（1﹣e）+e（e﹣2）；综上h（a）=．21．已知圆O：x2+y2=4，点A（﹣，0），B（，0），以线段AP为直径的圆C1内切于圆O，记点P的轨迹为C2．（1）证明|AP|+|BP|为定值，并求C2的方程；（2）过点O的一条直线交圆O于M，N两点，点D（﹣2，0），直线DM，DN与C2的另一个交点分别为S，T，记△DMN，△DST的面积分别为S1，S2，求的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）设AP的中点为E，切点为F，连OE，EF，则|OE|+|EF|=|OF|=2．说明点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解动点P的轨迹方程．（2）求出=，=，利用=•，可得结论．【解答】（1）证明：设AP的中点为E，切点为F，连OE，EF，则|OE|+|EF|=|OF|=2，故|BP|+|AP|=2（|OE|+|EF|）=4．所以点P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则动点P的轨迹方程是=1（2）解：设直线DM的方程为x=my﹣2（m≠0），∵MN为圆O的直径，∴∠MDN=90°，∴直线DN的方程为x=﹣y﹣2，由得（1+m2）y2﹣4my=0，∴y M=，由得（4+m2）y2﹣4my=0，∴y S=，∴=，∴=，∴=•=•，设s=1+m2，s＞1，0＜＜3，∴=（4﹣）（1+）∈（4，）．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，其左焦点F在直线l上．（1）若直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|•|FB|的值；（2）求椭圆C的内接矩形周长的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程；椭圆的参数方程．【分析】（1）将直线l和椭圆C的转化为普通方程，左焦点F在直线l上，求解出直线1方程与椭圆C联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|FA|•|FB|的值．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），最大值为4=4c．可得答案．【解答】解：（1）由椭圆C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=12，可得x2+3y2=12，即．其左焦点为（2，0）．直线l消去参数t可得：x﹣y=m，∵左焦点F在直线l上，∴直线l方程为：x﹣y=2．联立，解得A（，），B（，）那么|FA|•|FB|=．（2）设椭圆在第一象限上一点P（acosθ，bsinθ），内接矩形周长为：L=4（acosθ+bsinθ）=4sin（θ+φ），最大值为4=4c．由（1）可得c=，∴椭圆C的内接矩形周长的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t的集合T；（2）若m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，求mn的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得，|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大小于或等于t，利用绝对值三角不等式求得|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值为1，可得t的范围，从而求得T．（2）由题意可得log3m•log3n≥1，利用基本不等式log3m•n≥2≥2=log39，从而求得mn的最小值．【解答】解：（1）∵∃x0∈R使不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立，∴|x﹣1|﹣|x ﹣2|的最大值大于或等于t，∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣（x﹣2）|=2，当且仅当1≤x≤2时，取等号，故|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值为1，∴t≤1，故T={t|t≤1}．（2）∵m＞1，n＞1，对∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，∴log3m•log3n≥1．又log3m+log3n=log3m•n≥2≥2=log39，∴mn≥9，故mn的最小值为9．2017年3月25日。
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福州一中2016-2017学年第二学期模拟试卷高三文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 当231<<m 时,复数)2()3(i m i +-+在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 已知21tan -=α,则ααα2cos )cos sin 2-（的值( )A ．2B ．-2C ．3D ．-33. 为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是( )A ．23B ．27C ．31D ．334. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则115a a +的值为( )A ．528B ．1020 C. 1038 D ．10405. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( )A ．π624+3cm B ．π1224+3cm C. π1248+3cm D ．π1296+3cm6.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为 ( ) A ．103 B ．51 C. 21 D ．537. 若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+101033y y x y x ，则y x z +=2的最大值为( )A ．13B ．11 C.3 D ．18. 点P 在抛物线y x 42=上，F 为抛物线焦点，5=PF ，以P 为圆心PF 为半径的圆交x 轴于A ，B 两点，则=∙( )A ．9B ．12 C.18 D ．329. 如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是( )A ．?0)()(<∙m f a f ；m b =B ．?0)()(<∙m f b f ；m b = C. ?0)()(<∙m f a f ；b m = D ．?0)()(<∙m f b f ；b m = 10. 已知函数的)sin(3)(ϕω+=x x f （0>ω，2πϕ<）图象关于点)0,2(M 对称，且)(x f 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将)(x f 的图象向右平移31个单位长度，得到函数)(x g 的图象，则下列是)(x g 的单调递增区间( ) A ．]313,37[ B ．]310,34[ C. ]316,310[ D ．]37,31[ 11. 已知2F ，1F 是焦点在y 轴的双曲线12222=-bx a y （0>a ，0>b ）的上、下焦点，点2F 关于渐近线的对称点恰好落在以1F 为圆心，1OF 为半径的圆上，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．3 C.2 D ．212. 已知函数12)(2+=x x x f ，]1,0[∈x ，函数22)6sin()(+-=a x a x g π（0>a ），若存在1x ，]1,0[2∈x ，使得)()(21x g x f =成立，则实数a 的取值范围是( )A ．]34,21[ B ．]21,0( C. ]34,32[ D ．]1,21[第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量，1=+，则与的夹角 ． 14.已知函数221)(x x x f -=)0(≠x ，若实数a 满足)2(2)(log )(log 212f a f a f =+，则实数a 的值是 ．15.已知直三棱柱111C B A ABC -中，ABC ∆为等腰直角三角形，4==AC AB ，a AA =1，棱1BB 的中点为E ，棱11C B 的中点为F ，平面AEF 与平面C C AA 11的交线l 与1AA 所成角的正切值为32，则三棱柱111C B A ABC -外接球的半径为 ． 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-=为偶数为奇数n n f n n n f ),2(,12)(，若)42(+=n n f b ，*N n ∈，则数列}{n b 的前n（3≥n ）项和n S 等于 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且1tan 1tan 1=+BA ，RB a 3sin =（R 为ABC ∆外接圆的半径）.（Ⅰ）求C ∠的值； （Ⅱ）若10=c ，且111=+ba ，求ABC ∆的面积. 18. 目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数API 一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到22⨯列联表如下：（Ⅰ）请把22⨯列联表补充完整；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.参考公式与临界表：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19. 如图，已知多面体EABCDF 的底面是ABCD 边长为2的正方形，⊥EA 底面ABCD ，EA FD //，且121==EA FD .（Ⅰ）记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线KM ，使得//KM 平面ECF ，并给予证明.（Ⅱ）求点B 到平面ECF 的距离.20. 在平面直角坐标系xoy 中，一动圆经过点)0,21(且与直线21-=x 相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线E . （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）设P 是曲线E 上的动点，点P 的横坐标为0x ，点B ，C 在y 轴上，PBC ∆的内切圆的方程为1)1(22=+-y x ，将BC 表示成0x 的函数，并求PBC ∆面积的最小值. 21. 已知函数x a bx x x f ln )(2-+=.（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f 是极值点，1是函数)(x f 零点，求实数a ，b 的值和函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ） 若对任意]1,2[--∈b ，都存在),1(e x ∈（e 为自然对数的底数），使得0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线1C ：θθρcos 4sin 2=.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线2C 的参数方程为：⎩⎨⎧==θθsin cos y x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y y t x x 232100（t 为参数）. （Ⅰ）求1C 的直角坐标方程；（Ⅱ）C 与1C 相交于A ，B ，与2C 相切于点Q ，求BQ AQ -的值. 23.选修4-5：不等式选讲 （Ⅰ）求函数32123)(+--+=x xx x f 的最大值M .（Ⅱ）是否存在满足M c b a ≤≤+22的实数a ，b ，c 使得01)(2≤+++c b a .模拟试卷参考答案一、选择题1-5: DCCDC 6-10:ABCBC 11、12：CA二、填空题13.32π 14. 4或41 15. 32 16. n n+2 三、解答题17.解：（Ⅰ）∵1tan 1tan 1=+B A ，∴1sin cos sin cos =+BBA A . ∴B A B A A B sin sin cos sin cos sin =+ B A B A sin sin )sin(=+⇒，即B A C sin sin sin =，又23sin sin =B A ，∴23sin =C ，20π<<C ，∴求得：3π=∠C .（Ⅱ）⎩⎨⎧=+=-+ab b a C bc b a 10cos 222 103)(2=-+⇒ab b a .∴0103)(2=--ab ab ，∴5=ab 或2-=ab （不合）∴43523521sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC . 18.解：（Ⅰ）22⨯列联表如下：（Ⅱ）观察值841.3968.3300200150350)50200100150(50022>=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K . ∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.（Ⅲ）采用分层抽样抽取6名，有呼吸系统疾病的抽取4人，记为A ，B ，C ，D ，无呼吸系统疾病的抽取2人，记为E ，F .从6人中抽取2人基本事件有：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF 共有15中.“2人都有呼吸系统疾病”有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种. ∴52)(=A P .答：2人都有呼吸系统疾病的概率为52. 19. 解：（Ⅰ）取线段CD 的中点Q ， 连接KQ ，直线KQ 即为所求. 证明如下：取EC 中点G ，连接FG ，连接AC 交BD 于O .则OG 为EAC ∆的中位线. ∴EA OG 21//，∵EA FD 21//，∴FD OG //， ∴四边形FGOD 为平行四边形，∴OD FG //.∵K ，Q 分别为BC ，CD 中点，∴OD KQ //，∴FG KQ //. ∵⊂FG 平面EFC ，⊄KQ 平面EFC ，∴//KQ 平面EFC .（Ⅱ）由（Ⅰ）知，FG BD //，∵⊄BD 平面ECF ，⊂FG 平面ECF ，∴//BD 平面ECF ， ∴B 到平面ECF 的距离等于D 到平面ECF 的距离，设为h . ∵⊥EA 平面ABCD ，∴⊥EA AD ， ∵EA FD //，∴AD FD ⊥，∵CD AD ⊥，D FD CD = ，∴⊥AD 平面FCD . 在ECF ∆中，5==CF EF ，32=EC ，∴623221=⨯⨯=∆ECF S . ∵CD F A CD F E ECF D V V V ---==，∴AD S h S CDF ECF ∙=∙∆∆3131， ∴36=∙=∆∆ECF CDF S AD S h . ∴B 到平面ECF 的距离为36. 20. 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到)0,21(的距离等于直线21-=x 的距离，由抛物线的定义可知，曲线E 的方程为x y 22=. （Ⅱ）设),(00y x P ，),0(b B ，),0(c C 直线PB 的方程为：0)(000=+--b x y x x b y ，又圆心（1,0）到PB 的距离为1，所以1)(22000=+-+-x b y b x b y .整理得：02)2(0020=-+-x b y b x ， 同理可得：02)2(0020=-+-x c y c x ，所以b ，c 是方程02)2(0020=-+-x x y x x 的两根， 所以2200--=+x y c b ，200--=x x bc ， 依题意0<bc ，即20>x ，则20020202)2(844)(--+=-x x y x c b . 因为0202x y =所以)2(22000>-=-=x x x c b BC . 所以)2(2100-==x x BC S 84240≥+-+x . 当40=x 时上式取得等号， 所以PBC ∆面积的最小值为8. 21. 解：（Ⅰ）b xax x f +-='2)(. ∵2=x 是函数)(x f 的极值点，∴024)2(=+-='b af . 又∵1是函数)(x f 的零点，∴01)1(=+=b f .联立⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-01024b b a，解得：6=a ，1-=b ∴x x x x f ln 6)(2--=， 162)(--='x x x f xx x )2)(32(-+=，),0(+∞∈x .∵在)2,0(∈x ，0)(<'x f ，∴)(x f 在（0,2）上单调递减；又在),2(+∞∈x ，0)(>'x f ， ∴)(x f 在),2(+∞上单调递增.（Ⅱ）令x a x xb b g ln )(2-+=，]1,2[--∈b ，则)(b g 为关于b 的一次函数且为增函数，∴要使0ln 2<-+x a x xb 成立，只需0ln )1(2<+-=-x a x x g 在),1(e 有解. 令：x a x x x h ln )(2--=，只需存在),1(0e x ∈，使得0)(0<x h .由于x a x x h --='12)(xax x --=22，),1(e x ∈，令：a x x x --=22)(ϕ，∴014)(>-='x x ϕ， ∴)(x ϕ在),1(e x ∈递增，∴a x -=>1)1()(ϕϕ. （ⅰ）当01≥-a 时，0)(>x ϕ，即0)(>'x h ，∴)(x h 在),1(e x ∈是单调递增，∴0)1()(=>h x h ，不合题意. （ⅱ）当01<-a 时，a e e e --=22)(ϕ， 若022<--a e e ，则)(x h ),1(e 上单调递减， ∴存在),1(0e x ∈，使得0)1()(=<h x h ，符合题意. 若022>--a e e ，则0)(>e ϕ，即0)()1(<e ϕϕ， ∴存在),1(e m ∈使得0)(=m ϕ.∴在),1(m 上0)(<x ϕ成立，∴)(x h 在),1(m 上单调递减， ∴存在),1(0m x ∈使得0)(0<x h 成立.综上所述：当1>a 时，对任意]1,2[--∈b ，都存在),1(e x ∈使得0)(<x f . 22. 解：（Ⅰ）因为θρcos =x ，θρsin =y ， 由θθρcos 4sin2=得θρθρcos 4sin 22=，所以曲线1C 的直角坐标方程为：x y 42=. （Ⅱ）设)sin ,(cos θθQ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ，易知直线C 的斜率3=k ， 所以33-=OQ k ，即33tan cos sin -==θθθ，所以6πθ-=，故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23Q .取230=x ，210-=y ，不妨设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t . 把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=,2321,2123t y t x 代入x y 42=， 化简得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=224432t t ，即0138)328(32=+-+-t t ， 易知0>∆，332821+=+t t . 所以332821+=+=-t t BQ AQ . 23. 解：（Ⅰ）32123)(+--+=x x x x f 132123=+-++≤x x x ，等号成立， 当且仅当32-≤x 或21≥x ，所以1=M . （Ⅱ）≥+++1)(2c b a ≥++++1)(222b a b a 12)(22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++b a b a 0)1(2≥++=b a ， 当且仅当21-==b a ，21=c ，时取等， 所以存在实数21-==b a ，21=c 满足条件.。