平衡态与分子热运动的统计规律
分子热运动和统计规律
商店的百分数
f i (Ni N ) 1,归一化条件
分布函数和平均值
例: 我们以人的身高为例，来引入分布函数的概念。
设 N 为总人数，dN（h）为身高在 h--h+dh 间 的人数。显然
dN (h) N
令 f（h）=dN（h）/Ndh，则
f (h)dh 1
我们把 f（h）称为归一化分布函数。
的统计规律，即统计性。 例如： 在平衡态下，气体分子的空间分布（密度）
是均匀的。（分子运动是永恒的） 可作假设：气体分子向各个方向运动的机
会是均等的，或者说沿各个方向运动的平均分 子数应相等且分子速度在各个方向的分量的统 计平均值也相等。
对大量分子体系的热平衡态，它是成立的。
分子热运动的基本特征
宏观量：表征大量分子的整体特征的量。如温度、 压强、热容等，是实验中能测得的量。
微观量：表征大量分子的整体中个别分子特征的物 理量。如某个分子的质量、速度、能量等， 在现代实验条件下是不能直接测得的量。
(3)统计方法 分子热运动具有无序性与统计性，与机械
运动有本质的区别，故不能简单应用力学定律 来解决分子热运动问题。必须兼顾两种特征， 应用统计方法。
分子热运动的基本特征
统计方法：
1.分子热运动的基本特征
分子热运动的基本特征是永恒的运动与频繁 的相互碰撞。它与机械运动有本质的区别，故不 能简单应用力学定律来解决分子热运动问题。
(1)无序性 某个分子的运动，是杂乱无章的，无序的；
各个分子之间的运动也不相同，即无序性；这正 是热运动与机械运动的本质区别。
分子热运动的基本特征
(2)统计性 但从大量分子的整体的角度看，存在一定
f（h）表征在单位高度内，身高为 h 的人数占总 人数的比率。
教案分子热运动和统计规律性
1．少数粒子的情况 粒子数目很少时，例如 N = 5 ，速率分布 n(v) 随时变化，如图 3 所示，其中
的三个分图表示三个不同瞬时 t1 、 t2 和 t3 的分布．在大部分时间内，某些区间内 只有一个粒子，其它区间内没有粒子（见图 3 中的前两个分图）．偶尔在某个区 间中出现两个粒子（图 3 中的第三个图）．各个瞬时的分布，差别很大，没有稳 定的分布．
复旦大学物理系，孙鑫，2004. 3
3
刻的条形折线都在此稳定曲线附近．
图 3 五个粒子的速率分布
4
分子热运动和统计规律性
图 4 500 个粒子的速率分布．横坐标是速率，它以最可几速率 v 0 作单位．
如果 N 增加到 2000，如图 5 所示，条形折线更靠近稳定的曲线， n(v) 虽然 仍在变化着，但起伏的幅度变小了．
设想在一个容器里装有气体， N 个分子在不停地运动并相互碰撞，同时与
器壁碰撞，见图 1．在每一瞬间，每个分子都有一定的速度 v ．由于碰撞非常频 i
繁，各个分子的速度都在不断变化着，可谓是瞬息万变． 在 N 个分子中，有的跑的快，有
的跑的慢．为了对 N 个分子的运动情 况有整体的定量了解，可以按速率
3．Maxwell 速率分布 上面从计算机模拟实验中看到，当粒子数目不断增大时，速率分布 n(v) 的起
复旦大学物理系，孙鑫，2004. 3
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伏愈来愈小，趋向于一种稳定的分布，呈现了统计规律性*．
图 5 2000 个粒子的速率分布
对于三维体系，这种稳定分布的定量表达式是
f kT
2．粒子数目增多 当粒子数 N 增加时，每个速率间隔 ∆v 中的粒子数目可以很多．此时，速率 分布 n(v) 不再像图 3 那样的断断续续，而是连成一片，有高有低（见图 4）．总
《气体分子运动的统计规律》 讲义
《气体分子运动的统计规律》讲义一、气体分子的热运动在我们的日常生活中，气体无处不在，比如我们呼吸的空气、充满气球的氢气等。
那么，这些气体分子是如何运动的呢？气体分子处于永不停息的无规则运动之中，这种运动被称为热运动。
想象一下，在一个封闭的容器中，充满了气体分子，它们就像一群顽皮的孩子，四处乱跑，相互碰撞，没有固定的方向和轨迹。
气体分子的热运动具有以下几个特点：速度的多样性：不同的气体分子具有不同的速度。
有的分子运动速度快，有的则慢。
无规则性：它们的运动方向是随机的，无法预测下一刻某个分子会往哪个方向跑。
频繁的碰撞：分子之间会不断地发生碰撞，这使得它们的运动状态不断改变。
二、气体分子运动的统计规律既然气体分子的运动如此复杂和无规则，那我们要如何去描述和理解它们的整体行为呢？这就需要依靠统计规律。
什么是统计规律呢？简单来说，就是通过对大量个体行为的观察和分析，总结出的总体的、平均的规律。
对于气体分子，我们无法确切知道每个分子在每一时刻的具体运动状态，但我们可以通过统计方法来了解它们的一些总体特征。
比如，我们可以统计在一定温度和压强下，气体分子的速度分布情况。
麦克斯韦速度分布律就是描述气体分子速度分布的重要规律。
它告诉我们，在一定条件下，气体分子的速度分布呈现出一定的规律性，速度较小和较大的分子较少，而具有中等速度的分子较多。
再比如，气体分子对容器壁的压强，也是通过对大量分子撞击容器壁的行为进行统计得出的。
三、麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律是描述气体分子运动速度分布的关键规律。
假设在一个容器中充满了理想气体，处于平衡态。
麦克斯韦速度分布律表明，分子速度在三个方向上（x、y、z）的分量的分布都是独立的，且满足一定的概率分布。
具体来说，速度分量 vx 的分布函数为 f(vx) ， vy 和 vz 的分布函数类似。
通过对这些分布函数的积分，可以得到分子速度的大小 v 的分布函数 f(v) 。
麦克斯韦速度分布律在许多方面都有重要的应用。
第9章 平衡态与分子热运动的统计规律
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二. 理想气体分子运动模型
• 分子当作质点，不占体积； 分子当作质点，不占体积； 分子间的平均距离） （因为分子的尺寸<<分子间的平均距离） 因为分子的尺寸 分子间的平均距离 • 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 • 弹性碰撞（动能不变） 弹性碰撞（动能不变） • 服从牛顿力学 服从牛顿力学* 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。 必须用统计方法来研究。 统计方法来研究 必须用统计方法来研究。
同理： 同理：
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个粒子， 例. 设有N个粒子，其速率分布函数为 个粒子 其速率分布函数为:
C ( vo> v > 0) 0
2、由vo求常数C。 、 求常数 。 3、求粒子的平均速率。 、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。 、求粒子的方均根速率。
( v > vo )
1、作速率分布曲线。 、作速率分布曲线。
n=
dN N = dV V
dV----体积元（宏观小，微观大） 体积元（宏观小，微观大） 体积元
（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的 方向的分布是各向均匀的 ）平衡态时分子的速度按方向的分布 Σ vix i N Σ vix2 i N
ห้องสมุดไป่ตู้
vx =
vx 2 =
vx = vy= vz = 0
v2 vx2 = vy2 = vz2 = 3
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三．理想气体压强公式的推导 一定质量的处于平衡态的某种理想气体， 一定质量的处于平衡态的某种理想气体， 把所有分子 按速度分为若干组。 按速度分为若干组。 r r r 区间内。 设第 i 组分子的速度在 vi ∼ vi + d vi 区间内。 以 ni 表示第 i 组分子的分子数密度 n = ∑ ni
第二篇 热学
平衡态与分子热运动的统计规律一 选择题1.下列物理量属于微观量的是［ ］A 温度B 压强C 体积D 分子质量2若系统A 与系统B 处于热平衡态， 则［ ］A A 与B 的温度一定相同B A 与B 的温标一定相同C A 与B 的温度的数值一定相同D A 与B 的宏观态一定相同3如图所示，两个大小不同的容器用均匀的细管相连，管中有一水银滴作活塞，大容器装有氧气，小容器装有氢气. 当温度相同时，水银滴静止于细管中央，则此时这两种气体中 ［ ］ (A) 氧气的密度较大． (B) 氢气的密度较大．(C) 密度一样大． (D) 哪种密度较大无法判断4两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则［ ］(A) 两种气体分子的平均平动动能相等．(B) 两种气体分子的平均动能相等．(C) 两种气体分子的平均速率相等．(D) 两种气体的内能相等．5若理想气体的体积为V ，压强为p ，温度为T ，一个分子的质量为m ，k 为玻耳兹曼 常量，R 为摩尔气体常量，则该理想气体的分子数为［ ］(A) pV/m (B) pV/(kT)(C) pV/(RT) (D) pV/(mT)6在一密闭容器中，储有A 、B 、C 三种理想气体，处于平衡状态，A 种气体的分子数 密度为1n ，它产生的压强为1p ，B 种气体的分子数密度为12n ，C 种气体的分子数密度为13n ，则混合气体的压强p 为 ［ ］(A)31p (B)41p (C)51p (D)61p7一个容器内贮存mol 1氢气和mol 1氮气，若两种气体各自对容器产生的压强分别为P 1和P 2，则两个的大小关系是 ［ ］（A ）P 1＞P 2； （B ）P 1＜P 2； （C ）P 1=P 2； （D ）不能确定8温度、压强相同的氦气和氧气，它们的分子的平均动能ε和平均平动动能t ε有如下关系［ ］（A ）ε和t ε都相等 （B ）ε相等，而t ε不相等（C ）t ε相等 （D ）ε相等9一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m ，根据理想气体分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值为 ［ ］（A ）m kT /3 （B ）m kT /231 （C ）m kT /3 （D ）m kT / 10下列各式中哪一式表示气体分子的平均平动动能？（式中M 为气体的质量，m 为气体分子的质量，N 为气体分子的总数目，n 为气体分子数密度，A N 为阿伏加德罗常数） ［ ］（A ）PV M m 23； （B ）PV m M 23； （C ）nPV 23； （D ）PV N Mm A 23 11速率分布函数)(v f 的物理意义为［ ］ (A) 具有速率v 的分子占总分子数的百分比．(B) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数占总分子数的百分比．(C) 具有速率v 的分子数．(D) 速率分布在v 附近的单位速率间隔中的分子数．12按麦克斯韦分布，速率在21v v →之间的分子数表达式为：A ．()v v f v v v d 212⎰B ．()v v f N v v d 21⎰C ．()N v v f v v d 21⎰D ．()v v vf N v v d 21⎰ 13已知一定质量的某种理想气体，在温度为T 1和T 2时，分子的最概然速率分别为1p v 和2p v ，分子速率分布函数的最大值分别为)(1p v f 和)(2p v f ，已知T 1＞T 2，则［ ］（A ）21P P v v >，)()(21P P v f v f >； （B ）21P P v v <，)()(21P P v f v f >；（C ）21P P v v >，)()(21P P v f v f <； （D ）21P P v v <，)()(21P P v f v f <14设某种气体的分子速率分布函数为)(v f ，则速度在21v v →区间内的分子的平均速率为［ ］（A ）⎰21)(v v dv v vf （B ）⎰21)(v v dv v f （C ）⎰⎰2121)(/)(v v v v dv v f dv v vf （D ）⎰⎰∞121)(/)(v v v dv v f v f 15一容器内装有N 1个单原子理想气体分子和N 2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T 的平衡态时，其内能为 ［ ］(A) (N 1+N 2) (23kT +25kT )． (B) 21(N 1+N 2) (23kT +25kT )．(C) N 123kT +N 225kT ． (D) N 125kT + N 223kT ． 16若氧分子气体离解为氧原子后，其热力学温度提高一倍，则氧原子的平均速率是氧分子的平均速率的 ［ ］(A) 1 /2倍． (B) 2倍． (C) 2倍．(D) 4倍．17水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几？（不计振动自由度）［ ］（A ）66.7% （B ）50% （C ）25% （D ）018有容积不同的A 、B 两个容器，A 中装有单原子分子理想气体，B 中装有双原子分子理想气体，若两种气体的压强相同，那么这两种气体单位体积的内能A V E )(和B VE )(的关系为［ ］（A ）(V E )A ＜(V E )B （B ）(V E )A ＞(V E )B （C ）(V E )A =(VE )B （D ）不能确定 19一定量的某种理想气体，若体积保持不变而温度升高，则其平均自由程λ和平均碰撞频率Z 与温度的变化情况是［ ］ (A) λ减少而Z 增大 (B) λ增大而Z 减少 (C) λ和Z 均增大． (D) λ保持不变而Z 增大20容积恒定的容器内盛有一定量某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为0λ，平均碰撞频率为0Z ，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程λ和平均碰撞频率Z 分别为 ［ ］ (A) λ＝0λ，Z ＝0Z ． (B) λ＝0λ，Z ＝210Z ． (C) λ＝20λ，Z ＝02Z ． (D) λ＝20λ，Z ＝210Z ． 二 填空题1平衡态是指2热力学第零定律的表述为 .3一定质量的理想气体处于热平衡状态时，此热力学系统的不随时间变化的三个宏观量为 ;而随时间不断变化的微观量是 .4在定压下加热一定量的理想气体，若使其温度升高1K 时，它的体积增加了0.005倍，则气体原来的温度是__________.5从分子动理论导出的压强公式来看, 气体作用在器壁上的压强决定于___________和_________________．6在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是(1) ______________________________________________________；(2) ______________________________________________________．7 1标准大气压、C 27时，一立方米体积中理想气体的分子数n ＝____________, 分子热运动的平均平动动能＝________________．8 若i 是刚性气体分子的运动自由度数，则kT i 2所表示的是 ；kT 23所表示的是 ；RT i 2所表示的是 . 9 分子热运动自由度为i 的一定量刚性分子理想气体，当其体积为V 、压强为p时，其内能E ＝__________．10一氧气瓶的容积为V ，充入氧气的压强为1p ，用了一段时间后压强降为2p ，则瓶中剩下的氧气的内能与未用前氧气的内能之比为__________．11 设两容器内分别盛有质量为1M 和2M 、内能均为E 的不同种类的单原子理想气体，则此两种气体分子的平均速率之比为 ．12三个容器内分别贮有mol 1氦、mol 1氢和mol 1氨（均视为刚性分子的理想气体）.若它们的温度都升高K 1，则三种气体内能的增加值分别为：氦：=∆E ，氢：=∆E ，氨：=∆E .13在容积为V 的容器内盛有质量不等的两种单原子分子理想气体，处于平衡状态时，设它们的内能相等，且均为E ，则混合气体的压强为 .14某种气体分子在温度T 1时的方均根速率等于温度T 2 时平均速率，则T 1: T 2为 .15在容积为3210m -的容器中，装有质量为g 100的气体，若气体分子的方均根速率为1200-⋅s m ，则气体的压强为 .16现有两条气体速率分布曲线为（1）和（2）a 、若两条曲线分别表示同一种气体处于不同温度下的速率分布，则曲线 表示的气体温度较高.b 、若两条曲线分别表示同一温度下氢气和氧气的速率分布，则曲线 表示氧气的速率分布曲线.17氮气在标准状态下的分子平均碰撞次数为181042.5-⨯s ，分子平均自由程为cm 6100.6-⨯，若温度不变，气压降为atm 1.0，则分子平均碰撞次数变为 ；平均自由程变为 .18设气体的速率分布函数为)(v f ，总分子数为N ，则：（1）处于)(~dv v v +速率区间的分子数dN = ；（2）处于P v ~0的分子数为N ∆，而=∆NN ； （3）平均速率v 与)(v f 的关系为v = .19（1）分子的有效直径数量级是 ；（2）在常温下，气体分子的平均速率数量级是 ；（3）在标准状况下，气体分子的碰撞频率的数量级是 .20用总分子数N 、气体分子速率v 和速率分布函数)(v f ，表示下列各量：(1)速率大于0v 的分子数= ___________________；(2)速率大于0v 的那些分子的平均速率=___________________；(3)多次观察某一分子的速率，发现其速率大于0v 的概率=_______________.三 计算题1 定体气体温度计的测温气泡放入水的三相点的槽内时，气体的压强为6.65×103Pa.问：（1）用此温度计测量373.15K 的温度时，气体的压强是多少？（2）当气体压强为2.20×103Pa 时，待测温度是多少K ？2容积为V=1.20×10-2m 3的容器储有氧气，其压强P=8.31×105Pa ，温度为300K ，求（1）单位体积中的分子数；（2）分子的平均平动动能；（3）气体的内能.3 已知一个气球的体积为37.8m V =，充得温度C t 151=的氢气.当温度升高到C 37时，原有压强p 和体积维持不变，只是跑掉部分氢气，其质量减少了kg 052.0.试求气球内氢气在C 0、压强为p 下的密度ρ是多少？4容器内有2.66kg 氧气，已知其气体分子的平动动能总和是4.14×105J，求：（1）气体分子的平均平动动能；（2）气体的温度.5容器内贮有理想的混合气体，温度为C 100 ，压强为1333Pa .0；其中有mol 10-7的氧， g 610-的氮. 试求：(1) 混合气体的分子数密度； （2）氧气和氮气的分压强；（3）容器的体积； （4）氧气分子的总平动动能.6气体的温度为K T 273=，Pa 10013.13⨯=p 密度32m kg 1025.1--⋅⨯=ρ.试求 （1）该气体分子的方均根速率；（2）该气体的摩尔质量.7把标准状态下L 224的氮气不断压缩，按照范德瓦耳斯方程，它的体积将趋近于多少？这时分子引力所产生的内压力为多大？已知氮的常数26mol m Pa 141.0-⋅⋅=a ，135mol m 10913.3--⋅⨯=b8某状态下的氧气的扩散系数125s m 1022.1--⨯，粘滞系数s m kg 1095.15⋅⨯=-η.氧分子的有效直径m 106.310-⨯=d .求(1)氧气的密度及分子数密度； (2)氧分子的平均速率.9 有N 个粒子，其速率分布函数为：(1)作速率分布曲线并求常数a ； (2)求速率区间在（05.1v ，02v ）内的粒子数； (3)求粒子平均速率v .00000()/(0)()(2)()0(2)f v av v v v f v a v v v f v v v =≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪=>⎩热力学定律一、填空题1一物质系统从外界吸收一定的热量，则 ［ ］(A) 系统的温度一定升高．(B) 系统的温度一定降低．(C) 系统的温度一定保持不变．(D) 系统的温度可能升高，也可能降低或保持不变．2 mol 1的单原子分子理想气体从状态A 变为状态B ，如果变化过程不知道，但A 、B 两态的压强，体积和温度都知道，则可求出［ ］（A ）气体所作的功. （B ）气体内能的变化.（C ）气体传给外界的热量. （D ）气体的质量.3 在下列各种说法中，哪些是正确的? ［ ］(1)热平衡过程就是无摩擦的、平衡力作用的过程.(2)热平衡过程一定是可逆过程.(3)热平衡过程是无限多个连续变化的平衡态的连接.(4)热平衡过程在V p 图上可用一连续曲线表示.(A) (1)、(2) (B) (3)、(4)(C) (2)、(3)、(4) (D) (1)、(2)、(3)、(4)4对于理想气体系统来说，在下列过程中，哪个过程系统所吸收的热量、内能的增量和对外作的功三者均为负值？［ ］(A) 等体降压过程． (B) 等温膨胀过程．(C) 绝热膨胀过程． (D) 等压压缩过程．5如图，bca 为理想气体绝热过程，a b 1和a b 2是任意过程，则上述两过程中气体作功与吸收热量的情况是［ ］ (A) a b 1过程放热，作负功；a b 2过程放热，作负功．(B) a b 1过程吸热，作负功；a b 2过程放热，作负功．(C) a b 1过程吸热，作正功；a b 2过程吸热，作负功． (D) a b 1过程放热，作正功；a b 2过程吸热，作正功． 6氦气、氮气、水蒸汽(均视为刚性分子理想气体)，它们的摩尔数相同，初始状态相同，若使它们在体积不变情况下吸收相等的热量，则［ ］(A) 它们的温度升高相同，压强增加相同．(B) 它们的温度升高相同，压强增加不相同． p O V b1 2 a c(C) 它们的温度升高不相同，压强增加不相同．(D) 它们的温度升高不相同，压强增加相同．7一定量某理想气体所经历的循环过程是：从初态(V 0,T 0)开始，先经绝热膨胀使其体积增大1倍，再经等体升温回复到初态温度T 0，最后经等温过程使其体积回复为V 0，则气体在此循环过程中［ ］(A) 对外作的净功为正值． (B) 对外作的净功为负值．(C) 内能增加了． (D) 从外界净吸的热量为正值．8在所给出的四个图象中，能够描述一定质量的理想气体在可逆绝热过程中，密度随压强变化的是［ ］9理想气体绝热地向真空中自由膨胀，体积增大为原来的两倍，则始、末两态的温度T 1与T 2和始末两态气体分子的平均自由程1λ与2λ的关系为［ ］（A ）T 1=T 2, 1λ=2λ （B ）T 1=T 2, 1λ=212λ （C ）T 1=2T 2, 1λ=2λ （D ）T 1=2T 2, 1λ=212λ 10对于室温下的双原子分子理想气体，在等压膨胀的情况下，系统对外所作的功与从外界吸收的热量之比等于［ ］（A ）1/3 （B ）1/4 （C ）2/5 （D ）2/711气缸有一定量的氮气（视为刚性分子理想气体），经过绝热压缩，体积变为原来的一半，则气体分子的平均速率变为原来的［ ］（A ）542 （B ）322 （C ）522 （D ）31212如图所示，设某一热力学系统经历一个由c →d →e 的过程.其中，ab 是一条绝热曲线，ec 在该曲线上.由热力学定律可知，该系统在过程中［ ］（A ）不断向外界放出热量 （B ）不断从外界吸收热量.（C ）有的阶段吸热，有的阶段放热，整个过程中吸收的热量等于放出的热量.（D ）有的阶段吸热，有的阶段放热，整个过程中吸收的热量大于放出的热量. （E ）有的阶段吸热，有的阶段放热，整个过程中吸收的热量小于放出的热量. 13不可逆过程指的是 ［ ］（A ）不能反向进行的过程. （B ）系统不能回复到初始状态的过程.（C ）有摩擦存在的过程或者非准静态过程. （D ）外界有变化的过程.14在温度分别为327℃和27℃的高温热源和低温热源之间工作的热机，理论上的最大效率为 ［ ］（A ）%25 （B ）%50 （C ）%75 （D ）%4.9115根据热力学第二定律判断下列哪种说法是正确的 ［ ］（A ）热量可以从高温物体传到低温物体，但不能从低温物体传到高温物体（B ）功可以全部变为热，但热不能全部变为功（C ）气体能够自由膨胀，但不能自由压缩（D ）分子运动可以自动地从无序向较为有序的状态变化.16 设高温热源的热力学温度是低温热源的热力学温度的n 倍，则理想气体在一次卡诺循环中，传给低温热源的热量是从高温热源吸取的热量的［ ］(A) n 倍 (B) 1-n 倍 (C)n 1倍 (D) nn 1+倍 17 两个完全相同的气缸内盛有同类气体，设其初始状态相同，今使它们分别作绝热压缩至相同的体积，其中气缸1内的压缩过程是非准静态过程，气缸2内的压缩过程是准静态过程，比较这两种情况的温度变化 ［ ］（A ）气缸1和2内气体的温度变化相同.（B ）气缸1内较气缸2内的气体的温度变化大.（C ）气缸1内较气缸2内的气体的温度变化小.（D ）气缸1和气缸2内的气体的温度无变化.18一定量的理想气体向真空作绝热自由膨胀，体积由V 1增至V 2，在此过程中气体的 （A ）内能减小，熵增加 （B ）内能不变，熵减少（C ）内能减小，熵不变 （D ）内能不变，熵增加 ［ ］ 19设有以下一些过程：［ ］（1）两种不同气体在等温下互相混合；（2）理想气体在定容下降温；（3）液体在等温下汽化；（4）理想气体在等温下压缩；（5）理想气体绝热自由膨胀.在这些过程中，使系统的熵增加的过程是（A ）（1）、（2）、（3） （B ）（2）、（3）、（4）（C ）（3）、（4）、（5） （D ）（1）、（3）、（5）二、填空题1 一气缸内贮有mol 10的单原子分子理想气体，在压缩过程中外界作功J 200、气体升温K 1，此过程中气体内能增量为 ，外界传给气体的热量为 .2一定量的某种理想气体在等压过程中对外作功为J 100.若此种气体为单原子分子气体，则该过程中要吸热 J ；若为双原子分子气体，则需吸热 J .3 V p -图上的一点代表____________________________________；V p -图上任意一条曲线表示______________________________．4一定量的理想气体，经绝热压缩，由状态),(11V p 变化到状态),(22V p ，在状态变化过程中，p 与35-V成正比，则在此过程中，外界对系统所作的功为=A .5已知一定量的理想气体经历T p -图上所示的循环过程，图中各过程的吸热、放热情况为：(1) 过程1－2中，气体__________； (2) 过程2－3中，气体__________； (3) 过程3－1中，气体__________．6一卡诺热机（可逆的），低温热源的温度为27℃，热机效率为40%，其高温热源温度为 K .今欲将该热机效率提高到50%，若低温热源保持不变，则高温热源的温度增加了 K.7一定量理想气体，从同一状态开始使其体积由V 1膨胀到2V 1，分别经历以下三种过程：(1) 等压过程；(2) 等温过程；(3)绝热过程．其中：__________过程气体对外作功最多；____________过程气体内能增加最多；__________过程气体吸收的热量最多．8有γ摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba ，其中acb 为半圆弧，a b →为等压过程，a c p p 2=，在此循环过程中气体净吸收的热量为Q )(b a T T R -γ.（填入：＞，＜或＝）p9 在大气中有一绝热气缸，其中装有一定量的理想气体，然后用电炉徐徐供热(如图所示)，使活塞(无摩擦地)缓慢上升．在此过程中，以下物理量将如何变化？(选用“变大”、“变小”、“不变”填空)(1) 气体压强______________； (2) 气体分子平均动能______________； （3）气体内能______________．10在一个孤立系统内，一切实际过程都向着______________的方向进行．这就是热力学第二定律的统计意义．从宏观上说，一切与热现象有关的实际的过程都是_____________．11热力学第二定律的克劳修斯表述为： . 热力学第二定律的开尔文表述为： .12如图，温度为0T ，02T ，03T 三条等温线与两条绝热线围成三个卡诺循环：(1) abcda ，(2) dcefd ，(3) abefa ，其效率分别为1η________，2η________，3η _________． 13 mol 1理想气体向真空膨胀的熵增量是_____________．三、计算题1若一定量的理想气体，按paV =的规律变化，a 为常数，求： （1）气体从体积1V 膨胀到2V 所作的功；（2）体积为1V 时的温度1T 与体积为2V 时的温度2T 之比.pOV 3T 02T 0T 0fad b c e2 一定质量的理想气体，开始时处于Pa p 50102.1⨯=， 3301031.8m V -⨯=，K T 3000=的初态，经过一等容过程后，温度升为K T 4501=，再经过一等温过程，压强3（4收的热量.（1（25 如图所示，容器下半部分内有kg 3100.4-⨯的氢气与标准状态下的大气平衡.不计活塞质量.若把4100.2⨯67 mol 1单原子分子理想气体循环过程的V T -图如图所示，K T c 600=，求：。
气体动理论
平衡过程：气体和外界交换能量时，气体的状态就会发生改变，
当气体从一个状态变化到另一个状态，在这期间所经历的中间状 态如果无限接近平衡态，这个过程则成为平衡过程。
三、理想气体状态方程
对质量为m的理想气体
PV RT
其中 ＝m/M —气体的摩尔数， M —的摩尔质量，
普适恒量：R＝8.31J/（mol· K）—气体常数 摄氏温度 t 与理想气体温度 T的关系 t=T-273.16
2 vz
1 3
v
2
四 压强公式的推导
理想气体的压强是大量气体分子在单位 时间内作用在单位面积上的冲量的统计平均 值。
a. 利用理想气体模型； b. 利用平衡态的统计假设。
设 边长分别为 l1 、2 及 l 3 的长方体中有 N 个全 l 同的质量为m 的气体分子，计算 A1壁面所受压强 . 单个分子对器壁碰 撞特性: 偶然性 、 不连续性.
F f ix
i 1 N
N
mv l1
2 ix
i 1
3 A1面受到的压强为：
P F S
i 1
N
mv ix l1 l 2 l 3
体积V
2
V l1l 2 l 3
压强
P
i 1
N
mv ix V
2
上下同乘 N 得
P
N V
m
i 1
N
v ix N
应用统计规律
2
分子数密度
R ( T 2 T1 ) m/M mol理想气体温度由T1变化到T2的 内能增量 2
统计规律
压强公式的推导及物理意义
气体分子平均平动动能和温度的关系
1. 温度公式的推导
第9章气体动理论11
• 分子间存在相互作用力（分子力） 分子间既有引力作用, 又有斥力作用
o
r0
R
r
8
二、理想气体的微观模型
分子本身的大小比起它们之间的平均距离 可忽略不计。 （分子可看作质点） 除碰撞外，重力、分子之间的作用力可忽略不计。 分子间的碰撞是完全弹性的。 ——理想气体的分子可视为弹性的、自由运动的质点。 处在平衡态时分子的速度按方向的分布是均匀的。
3
二、状态参量 -----描述系统的状态特性的物理量。
一定质量的气体的状态，一般用体积V；压强 P； 温度T，三个参量来表示：
注意： （1）气体体积的单位是m3; （2）压强单位:1Pa=1N/m2; 另： 1L 103 m3 另：
5
1atm 76mmHg 1.01 10 Pa
（3）温度单位：开尔文(K) 热力学温度T和摄氏温度的关系是：T 273.15 t Po=1.01 ╳ 105Pa，T0=273.15K-------标准状态
mv 2 2 kT
v2
f （ v）
4. 麦克斯韦分子速率分布曲线
(2) v 时， f(∞)=0
o
v v+Δv
v
某一温度下速率分布曲线
(3) 曲线下的阴影面积的物理意义是什么？
v v
v
f ( v )dv
dN N N N
即速率区间v~v+Δv内的分子数占总分子数的 比值。 (4) 曲线下的总面积的物理意义是什么？
5
理想气体状态方程的另一形式
设每个分子质量为m’，气体体积V，分子 数N， 则： Nm Nm
PV
M
RT
N A m
热力学平衡态
9-3
压强和温度的统计意义
（一）理想气体模型假设
(1) 视为质点 （气体分子大小与距离相比可忽略不 计） 气体分子线度10-10米 (2) 相互作用力，重力忽略 （以碰撞为主） (3) 看作弹性小球，遵循牛顿运动定律 （研究问题的一种方法）
（二）统计性假设 (1) 容器内各处密度均匀 (2) 分子向各个方向运动的趋势（或机会）均等
热物理学 （一）研究热现象（即热运动） (1) 什么叫热运动： 大量微观粒子的无规则运动 (2) 为什么叫热运动：热现象是物质中大量分子 无规则运动的集体表现 (3) 如何研究热运动： 二种途径 (a) 分子运动论： 从物质的分子，原子结构出发， 以统计平均的方法去研究大量分子的宏观表现。 (b) 热力学： 对热现象进行实验分析，研究能量的 守恒和热功转换关系。
l1
v
i 1
N
2 ix
F
v N l1 F F N 2 N 2 1 2 P vx vx n v S l2l3 l1l2l3 V 3
2 x
N v v v
l1
N
2 P n 3
宏观量P
其中
统计规律
1 2 v 2
C
热平衡
BC If A B then A C
达到热平衡的系统具有共同的内部属性—温度 （二） 温标 确定温度数值的表示方法（P 5）
(三) 理想气体状态方程 理想气体：在密度不太高，压力不太大，温度不 太低条件下遵循三条实验定律的气体 （玻意耳定律，盖.吕萨克定律和查理定律） 1、 理想气体状态方程 设气体的标准状态为：
273K
vP o v 3. 最可几速率 (这一速率分子出现的几率最大)
分子热运动的速度和速率统计分布规律
C 1 vo
vvf(v)dvvoC vdvCvo 2
0
0
2
1
v
2 o
vo
vo 2 2
v20 v2f(v)dv0 voC v2dv1 3vo 2
v2
3 3 vo
9.4.2 分子的速度分布函数：
速度空间（如图） 速度空间的体积元 dVxdVydVz 代表如下速度范围
Vz dVxdVy dVz
-
p
a
A
π
a
-
3 2
v
2 x
v
2 x
e
-
a
v
2 x
d
v
x
-
e
-
a
v
2 x
d
v
x
kT m
-
a m 2kT
F (V x,V y,V z)(2π m kT)3 2e-2m kT(V x2+ V y2+ V z2)
麦克斯韦速度分布函数
2. 麦克斯韦速率分布律
处于平衡态的理想气体系统，速率满足下列分布规律
处于平衡态的理想气体系统利用系统的各向同性性三个速度分量的相互独立性dvdvdvdvdvdvdvdvdvaevvvktfvvvkt麦克斯韦速度分布函数处于平衡态的理想气体系统速率满足下列分布规律麦克斯韦速率分布律分子速率处于vdv间的几率是分子速度矢量端点落在和vdv为内外半径球壳内的几率
9.4.1 分子的速率分布函数
2RT M
1.41 kT m
V 0 Vf (V)dV
V 8kT 8RT 1 .6 0 k T
πm πM
m
V2 V2f(V)dV 0
or 1mV2 3kT
第3章 气体分子热运动速率和能量的统计分布
v vxi vy j vzk
速度空间体积元
速率分布是速度矢量大小被限制在一定区间
满足此条件的速度矢量其端点位于半径为 v，厚度为dv的球壳内
球壳体积为
17
用球壳体积
代替
并注意 v2 vx2 v2y vz2 得麦克斯韦速率分布
dN 4π(
n n 1 n
•分子数∆n 越大，涨落的百分数就越小，涨落现象越不显著。
• 麦克斯韦速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。 9
三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值
平均速率（算术平均值）
离散型
v v1N1 v2N2 viNi vnNn i viNi
N
N
连续型
N
v 0 vdN 0 vNf (v)dv
•当R 以一定的角速度转动，铋分子由S3到达G需用一段时间。 • 这段时间内R己转过一角度，铋分子不再沉积在板上P处。 • 不同速率的分子将沉积在不同的地方．速率大的分子由S3到G所需
的时间短，沉积在距P较近的地方，速率小的分子沉积在距P较远 的地方。
34
•设速率为 v的分子沉积在P’处以s 表示弧PP’的长度。 表示R的
N1, N2,…, Ni, …
小球在槽内的分配情况，称为一种分布。
总数足够大，槽内的小球的数目与小球总数之比
..........
.. . .
.......
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. .
. . .
.
. . .
.
. . .
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例9-1 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率。设 （1）在温度t =1 000℃时；
（2）在t =0℃时；
3 20 kT 2.64 10 (J)， 解 （1）在温度t =1 000℃时 1 1 2 3RT1 2 v1 1065(m s 1 )。 M 21 （2）在t =0℃时 2 5.65 10 (J)，
对理想气体状态的修正： 对1 mol理想气体，P 状态方程为 1. 体积修正 分子具有体积： 设分子自由活动的空间为Vmol - b
RT Vmol
RT P Vmol b
Vmol为容器体积， b—反映分子本身体积的改正项。 b约为1 mol气体分子本身总体积的4倍 b = 4NA[(4/3)(d/2)3] d 10-10 m b 10-6 m3
2. 压强修正 分子a：不受力(受力 对称，抵消) 分子b：受指向气体内 部的引力 f 指向 内部的内压强Pi f 分子a 分子b
RT P pi Vmol b
Pi 被吸引的表面层内的分子数密度n
施加引力的内部分子的数密度n
pi n
2
2 mol
pi 1 V
2 mol
pi a V
三、范德瓦耳斯方程(Van der Waals equation )
f
对实际气体,应考虑分子大小和 分子间作用力二个因素 • 分子间的相互作用 • 实际气体分子 —有引力 的刚球模型
排斥 0 r0 吸引 r
f
d—分子有效直径，10-10 m ，S—分子力的有效作用距 离, d的几十至几百倍
r d S
• 气泡室: 探测粒子径迹
范德瓦斯方程
m2 a m P 2 2 V M V M
m b RT M
1、1摩尔氮气（服从范德瓦斯方程）作等温膨胀，体积由 V1变到V2。求氮气（1）对外界作功，（2）内能的改变， （3）吸收的热量。 2、摩尔质量为M、摩尔数为a的单原子理想气体进行了依次x 过程，在P-V图上过程曲线向下平移P0后，恰好与温度为 的等温曲线重合，则x过程的过程方程(V-P关系式) 为 ，x过程的比热C与压强P的关系为C= .
二氧化碳气体的等温线 临界状态：临界等温线对 应的状态。 临界点：拐点C。
P(atm)
临界等温线
临界等温线以上为气态
临界等温线以下： CA以右为气态
气 液
48.1℃
72.3
C
21℃ 31.1℃
CB以右为液态 CAB内为气液共存态 49 45
气液共存
B A 13℃ 2.1710-3 V(m3/ kg)
m 2 m 2 m 2 2 v v vz m x y 2 kT 2 kT 2 kT n dvx e dv y e dvz 0 vx e 2 kT
1 8kT 1 n nv， 4 m 4 1 n nv。 4
8kT 式中 v 为分子平均速度 m
二、相图 (Phase Diagram)
以平衡共存的温度T 和平衡共存压强P为坐标轴， 作出两相达到平衡时P与T的函数图形，称为的相图 在相图中，气—液两相 的平衡曲线称为汽化线 ，固—液两相的平衡曲 线称为熔化线，而分固 —气两相的平衡曲线称 为升华线。三条曲线的 交点为固—液—气三相 平衡共存的温度和压强 ，是唯一确定的，称为 三相点
3/ 2
v2
2 vp
e
v 2 v，
2kT 将上式中的 v，v 分别取为 vp m 和v 0.01vp，可得
1 N 4 2 v N p
nF (vx，v y，vz )dvx，dv y，dvz
单位时间撞到dA面积上速度在该间隔内的分子数应 该等于以dA为底，vx为高的斜柱体（体积为vx dA） 内该种速度的分子数
x dA nF x， y， z d xd yd z，
对所有速度的x分量大于零的分子积分并除以dA， 得到碰壁频率为 3 m 2 2 2 2 vx v y vz m 2 kT n 0 vx n dvx dv y dvz e 2 kT 3
a为比例系数，a 反映分子间引力的常数
a P 2 Vmol b RT Vmol
m V Vmol M
3. 范德瓦耳斯方程
m a m P 2 2 V M V M
2
m b RT M
遵守范德瓦耳斯方程的气体：范德瓦耳斯气体。
例9-3 求气体分子速率与最可几速率之差不超过1% 的分子数占全部分子的百分率。
解 当速率间隔 v 很小时，分布在速率区间的分 子数可近似表示为
或
N Nf v v，
3/ 2 mv2 2 kT 2
N m 4 e N 2 kT
1 v v 4 2 v p
2 v2 493(m s 1 )。
（3）t =―150℃时。
（3）t =―150℃时 2.55 1021 (J)，
2 v2 331(m s1 )。
例9-2 利用麦克斯韦速度分布计算单位时间撞到单位 面积上的分子数n’(称为碰壁频率）。 解： 设分子数密度为n，则处在速度 vx，vy，vz 附近 dvx，dv y，dvz 间隔的分子数密度为
各种气体的常数a、b可由实验测量 对压强不太高（<500atm)，温度不太低的真实 气体，范德瓦耳斯方程是一个很好的近似。
4. 范德瓦耳斯等温线
P
48℃ B A 13℃
V
BE段——过饱和汽 • 可存在，但不稳定 比同温下饱和汽的摩尔体积(B 点)小, 密度大、压强大 P • 如有凝结中心,迅速凝结 E • 云室* :探测粒子径迹 C B F CF段——过热液体 V • 可存在，但不稳定 密度小、压强小 • 比同温下平衡液体(C点)摩尔体积大， • 如有汽化中心,剧烈汽化,爆炸 *