山东省泰安第一中学2020-2021学年第一学期期中考试高二数学试卷
2020-2021学年山东省泰安一中高二上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．22．（3分）如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN 上一点，且MG＝2GN，若记，则＝（）A．B．C．D．3．（3分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（）A．21B．19C．9D．﹣114．（3分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，，共面，则λ＝（）A．2B．3C．4D．65．（3分）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为6．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．7．（3分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．（3分）椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]二、多选题（共4小题）9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G⊥BCB．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C．A1H∥面AEFD．二面角E﹣AF﹣C的大小为10．（3分）已知直线x sinα+y cosα+1＝0（α∈R），给出下列命题正确的是（）A．直线的倾斜角是π﹣αB．无论α如何变化，直线不过原点C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于111．（3分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为12．（3分）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（）A．e＝B．k＝C．k1•k2＝﹣D．k3•k4＝三、填空题（共4小题）13．（3分）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a 的取值范围是．14．（3分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为．15．（3分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．16．（3分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于四、解答题（共6小题）17．已知P（3，2），一直线l过点P，①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．18．已知过点M（0，2）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点．（1）求斜率k的取值范围；（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．19．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB＝BC＝AC＝4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±x，且双曲线过点（，）．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．22．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题）1．（3分）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．解：∵直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，∴a≠0，且＝≠，则实数a＝2，故选：D．2．（3分）如图，已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别是OA，BC的中点，点G为线段MN 上一点，且MG＝2GN，若记，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出．解：＝+，＝，＝﹣，＝＝，＝（+）＝（+），可得：＝++．故选：C．3．（3分）若圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0外切，则m＝（）A．21B．19C．9D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．解：由C1：x2+y2＝1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m＝9．故选：C．4．（3分）已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），若向量，，共面，则λ＝（）A．2B．3C．4D．6【分析】根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．解：∵＝（2，﹣1，2），＝（﹣1，3，﹣3），＝（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（2，﹣1，2）＝x（﹣1，3，﹣3）+y（13，6，λ）∴解得：故选：B．5．（3分）对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为（0，1）B．开口向上，焦点为C．开口向右，焦点为（1，0）D．开口向右，焦点为【分析】根据二次函数的性质进行判断．解：∵a＝4＞0，∴图象开口向上，焦点为．故选：B．6．（3分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤2，若将军从点A（3，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．【分析】求出A关于x+y＝4的对称点A'，根据题意，A'C﹣为最短距离，求出即可．解：设点A关于直线x+y＝4的对称点A'（a，b），设军营所在区域为的圆心为C，根据题意，A'C﹣为最短距离，先求出A'的坐标，AA'的中点为（，），直线AA'的斜率为1，故直线AA'为y＝x﹣3，由，联立得故a＝4，b＝1，所以A'C＝，故A'C﹣＝，故选：B．7．（3分）已知F1，F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先假设A在右支上，利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|AF1|，|AF2|与a 的关系，然后在三角形中利用余弦定理化简即可求解．解：设OF2的中点为M，另设|AF1|＝m，|AF2|＝n，假设A在双曲线的右支上，由角平分线的性质可得＝＝，又M是OF2的中点，则，根据双曲线的定义可得：m﹣n＝2a，所以m＝3a，n＝a，则在三角形AF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2＝，所以cos60°＝＝，化简可得，即，所以双曲线的离心率为，故选：B．8．（3分）椭圆+＝1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]【分析】设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|＝|AF′|，推知|AF|+|BF|＝2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|＝2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|＝2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|＝2a又∵|BF|＝|AF′|∴|AF|+|BF|＝2a…①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|＝2c又|AF|＝2c sinα…②|BF|＝2c cosα…③②③代入①2c sinα+2c cosα＝2a∴＝即e＝＝∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选：B．二、多选题（共4小题）9．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为CC1、BC、CD、BB1的中点，则下列结论正确的是（）A．B1G⊥BCB．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1C．A1H∥面AEFD．二面角E﹣AF﹣C的大小为【分析】建立空间坐标系，求出各向量坐标，利用向量的平行和垂直关系判断．解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则A（1，0，0），E（0，1，），F（，1，0），B1（1，1，1），G（0，，0），H（1，1，），A1（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），∴＝（0，1，﹣），＝（﹣，1，0），＝（﹣，0，），＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，0，0），＝（﹣1，﹣，﹣1），∴＝2，∴AD1∥EF，∴平面AEF与平面ADD1A1的交线为AD1，故B正确；∵＝1≠0，∴B1G与BC不垂直，故A错误；设平面AEF的法向量为＝（x，y，z），则，∴，令y＝1可得＝（2，1，2），•＝0+1﹣1＝0，∴A1H∥平面AEF，故C正确；平面ABCD的一个法向量为＝（0，0，1），∴cos＜＞＝＝＝，设二面角E﹣AF﹣C的大小为θ，则cosθ＝，故D错误．故选：BC．10．（3分）已知直线x sinα+y cosα+1＝0（α∈R），给出下列命题正确的是（）A．直线的倾斜角是π﹣αB．无论α如何变化，直线不过原点C．无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1【分析】根据倾斜角的范围，可判断A；将（0，0）代入直线方程，可判断B；将原点和直线方程代入直线距离公式，可得直线总和单位圆相切，可判断C；求出三角形面积公式，结合三角函数的图象和性质，可判断D．解：根据倾斜角的范围为[0，π），而π﹣α∈R，可知A错误；当x＝y＝0时，x sinα+y cosα+1＝1≠0，故直线必不过原点，故B正确；原点到直线的距离d＝1，故直线总和单位圆相切，故C正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S＝||＝≥1，故D正确；故选：BCD．11．（3分）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆B．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为C．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为【分析】通过k的值，判断曲线的形状，然后判断选项的正误即可．解：曲线C的方程为，当k＝4时，方程为x2+y2＝2，曲线C为圆，所以A正确；当k＝0时，曲线C为，是双曲线，其渐近线方程为，所以B正确；“6＞k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充要条件，所以“k＞4”是“曲线C 为焦点在x轴上的椭圆”的必要而不充分条件，所以C不正确；k＞6时，曲线C为双曲线，其离心率为e＝＝，如果＝，可得k﹣4＝k﹣2，无解，所以k＜2时，＝，然后＝，可得4﹣k＝6﹣k，显然不成立，所以≠，所以D不正确．故选：AB．12．（3分）已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，M、N是左、右顶点，e为椭圆C的离心率，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，已知＝0，3，|AF1|＝2|AF2|，设直线AB的斜率为k，直线AM和直线AN的斜率分别为k1，k2，直线BM和之间BN的斜率分别为k3，k4，则下列结论一定正确的是（）A．e＝B．k＝C．k1•k2＝﹣D．k3•k4＝【分析】过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，可得AB|＝5t，由椭圆定义可得a＝3t．|BF1|＝|BF2|＝3t，在△EF1F2中，由勾股定理可得：c，b即可判断AB的正误，设A（x，y），则＝，即可判断CD正误．解：∵＝0，∴AF1⊥BF1，过点F2作F1B的平行线，交AF1于点E，∴AF1⊥EF2．设|F2A|＝2t，|F1A|＝4t，又3，∴|AB|＝5t，∵AF1⊥BF1，∴|F1B|＝3t，∴12t＝4a，∴a＝3t．∴|BF1|＝|BF2|＝3t＝a，∴B（0，b），在△EF1F2中，EF1＝＝，EF2＝＝，F1F2＝2c，∵EF12+EF22＝F1F22，∴，b＝＝，∴椭圆离心率e＝，故A正确，k＝，故B错，设A（x，y），易得M（﹣a，0），N（a，0），则＝，故C正确，同理，故D错．故选：AC．三、填空题（共4小题）13．（3分）已知点P（2，﹣3），Q（3，2），直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则实数a 的取值范围是．【分析】分别求出直线MQ、MP的斜率，进而即可求出直线MN的斜率的取值范围．解：画出图象∵，＝﹣．要使直线ax+y+2＝0与线段PQ相交，则满足．∴，∴．故答案为．14．（3分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值为．【分析】分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则异面直线BD1与AM所成角的余弦值，转化为求向量与的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即可求得，注意向量夹角与异面角间的关系．解：分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），M（0，1，），D1（0，0，1），所以＝（﹣1，﹣1，1），＝（﹣1，1，），则cos＜，＞＝＝＝，即异面直线BD1与AM所成角的余弦值为，故答案为：．15．（3分）若△ABC的两个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（y≠0）．【分析】根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点．解：（1）∵△ABC的两顶点A（﹣4，0），B（4，0），周长为18，∴AB＝8，BC+AC ＝10，∵10＞8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，∵2a＝10，2c＝8，∴b＝3，所以椭圆的标准方程是（y≠0）．故答案为：（y≠0）16．（3分）设F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且|PF1|：|PF2|＝2：1，则△PF1F2的面积等于12【分析】先由双曲线的方程求出|F1F2|＝6，再由|PF1|：|PF2|＝2：1，求出|PF1|，|PF2|，由此转化求出△PF1F2的面积．解：F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点，F1（﹣3，0），F2（3，0），|F1F2|＝6，∵|PF1|：|PF2|＝2：1，∴设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，由双曲线的性质知|2x﹣x|＝2，解得x＝2．∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝，sin∠F1PF2＝．∴△PF1F2的面积为×4×2×＝12．故答案为：12．四、解答题（共6小题）17．已知P（3，2），一直线l过点P，①若直线l在两坐标轴上截距之和为12，求直线l的方程；②若直线l与x、y轴正半轴交于A、B两点，当△OAB面积为12时，求直线l的方程．【分析】设斜率为k，得出直线的点斜式方程，从而求出截距，再根据条件列方程求出k，从而得出直线l的方程．解：①显然直线l有斜率且不为0，设斜率为k，则直线l的方程为：y＝k（x﹣3）+2，令x＝0得y＝﹣3k+2，令y＝0得x＝+3．∴﹣3k+2++3＝12，解得k＝﹣或k＝﹣2．∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2或y＝﹣2（x﹣3）+2．②∵直线l与x、y轴交于正半轴，∴﹣3k+2＞0，+3＞0，∴（﹣3k+2）（+3）＝12，解得k＝﹣．∴直线l的方程为y＝﹣（x﹣3）+2．18．已知过点M（0，2）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣1）2+y2＝1交于A，B两点．（1）求斜率k的取值范围；（2）以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围；（3）O为坐标原点，求证：直线OA与OB斜率之和为定值．【分析】（1）写出直线l的方程，若直线与圆相交，则圆心C到直线l的距离d小于半径r，进而解得k的取值范围．（2）若若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，则直线与圆外切，相交，内切，所以|r﹣1|≤|MC|≤r+1，进而解除r的取值范围．（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与圆方程，消去y整理得（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，韦达定理得，代入化简k OA+k OB＝+＝2k+＝1，进而得出答案．解：（1）根据题意可得，直线l的方程为：y﹣2＝k（x﹣0），即kx﹣y+2＝0，圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝1，则其圆心C（1，0），半径r＝1，若直线与圆相交，必有d＜r，即，解得k＜﹣，所以斜率k的取值范围为k＜﹣．（2）若以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，则|r﹣1|≤|MC|≤r+1，即|r﹣1|≤≤r+1，所以﹣1≤r≤+1．（3）证明：联立直线与圆的方程：，消去y整理得（k2+1）x2+（4k﹣2）x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理得，则k OA+k OB＝+＝+＝2k+＝2k+＝2k+＝2k﹣2k+1＝1，故直线OA与直线OB的斜率之和为定值1．19．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC，AB＝BC＝AC＝4，AD＝CD＝，O是AC的中点，E是BD的中点．（1）证明：DO⊥底面ABC；（2）求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．【分析】（1）证明DO⊥AC．利用平面DAC⊥底面ABC，推出DO⊥底面ABC．（2）以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系．求出平面ADE的一个法向量，平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D﹣AE﹣C的余弦值即可．【解答】（1）证明：∵AD＝CD＝，O是AC的中点，∴DO⊥AC．∵平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，∴DO⊥底面ABC．（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．OA＝OC＝OD＝2，OB＝如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间0﹣xyz直角坐标系．则A（2，0，0），，C（﹣2，0，0），D（0，0，2），，，，．设平面ADE的一个法向量为，则即令z1＝1，则，所以．同理可得平面AEC的一个法向量．．因为二面角D﹣AE﹣C的平面角为锐角，所以二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．20．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y＝±x，且双曲线过点（，）．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）过双曲线右焦点F作倾斜角为的直线交双曲线于A，B，求|AB|．【分析】（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2＝λ，点代入，即可求双曲线的方程；（Ⅱ）直线AB的方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求|AB|．解：（Ⅰ）设双曲线方程为：3x2﹣y2＝λ，点代入得：λ＝3，所以所求双曲线方程为：…（6分）（Ⅱ）直线AB的方程为：y＝x﹣2，由得：2x2+4x﹣7＝0，…（10分）∴．…（12分）21．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，CD⊥平面PAD，E，F，G，O分别是PC，PD，BC，AD的中点．（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；（Ⅲ）线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，若存在，求线段PM的长度；若不存在，说明理由．【分析】（I）因为PO⊥AD，又CD⊥平面PAD，得到PO⊥CD，进而证明结论；（II）以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，平面EFG的法向量，又平面ABCD的法向量，利用夹角公式求出即可；（III）假设线段PA上存在点M，设，由直线GM与平面EFG 所成角为，得到关于λ的方程，解方程判断即可．解：（Ⅰ）证明：因为△PAD是正三角形，O是AD的中点，所以PO⊥AD．又因为CD⊥平面PAD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，所以PO⊥面ABCD；（Ⅱ）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则，，，设平面EFG的法向量为，由，得令z＝1，则，又平面ABCD的法向量，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为θ，所以．所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为；（Ⅲ）假设线段PA上存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为，设，由，所以．所以＝，整理得2λ2﹣3λ+2＝0，无解，所以，不存在这样的点M．22．已知椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A（﹣2，1）是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．【分析】（1）由题意可得b，运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到所求椭圆方程；（2）可设直线l的方程为y＝x+t，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理，计算可得所求定值．解：（1）椭圆C：的离心率，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点，可得b＝，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝2，c＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）若直线l的斜率为，可设直线l的方程为y＝x+t，联立椭圆方程x2+4y2﹣8＝0，可得x2+2tx+2t2﹣4＝0，则△＝4t2﹣4（2t2﹣4）＞0，解得﹣2＜t＜2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），E（﹣x1，﹣y1），可得x1+x2＝﹣2t，x1x2＝2t2﹣4，则k AE+k AQ＝+＝+＝+＝•＝•＝•＝0．则直线AE与AQ的斜率之和为定值0．。
山东省新泰一中2020年学年高中高二数学上学期期中试卷试题
山东省新泰一中2020学年高二数学上学期期中试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两卷，满分150分，测试时间120分钟，第Ⅰ卷将正确的选项填涂在答题卡的相应地点，第Ⅱ卷直接答在试卷上。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．命题“存在x Z，使x22x m0”的否认是（）．A．存在x Z，使x22x m0B．不存在x Z，使x22x m0C．关于随意x Z，都有x22x m0D．关于随意xZ，都有x22x m02．等差数列｛a｝中，已知前15项的和S1590，则a8等于（）．nA．45B．12C．45D．6243、抛物线y216x的焦点坐标为（）A.(0,4)B.(4,0)C.(0,4)D.(4,0)4．在ABC中，“A”是“cosA 1”的（）23A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5.已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（）A．8，2B．2，4C．4，10D．2，86．已知m0,n0，则112mn的最小值是（）m nA．5B．4C．22D．27．若b a0，则以下不等式①ab ab；②|a||b|;③11；④b a2中，a b a b正确的不等式有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M,N两点，若MF2N 的周长为8，则椭圆方程为（）（A）x 2y21（B）y2x21（C）x2y21（D）y2x21434316151615 9.等差数列的前n项和为30，前2n项的和为100，则它前3n项的和为（）A.130 C.21010、探照灯反射镜的轴截面是抛物线y22pxx0)的一部分，光源位于抛物线的焦点处，(已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的焦点坐标为（）A、45,0B、45,0C、45,0D、45,0 2481611．数列{a n}的前n项和为s n，若，则s5等于（）A．1B．C．D．12、双曲线C的左右焦点分别为F1,F2，且F2恰巧为抛物线y24x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A、2B、12C、13D、23二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13．若椭圆x2y21，则实数x的取值范围是. 5414．已知x＜0，则24的最大值等于. 3xx15．将全体正整数摆列成一个三角形数阵：依据以上摆列的规律，第16行从左向右的第3个数为．16、已知双曲线x2y21的一条渐近线和圆x2y24x30相切，则该双曲线的m离心率为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．（此题满分10分）等差数列a n的前n项和记为S n，已知a1030，a2050．（１）求通项a n；（2）若S n242，求n．18．（此题满分12分）若不等式a2x22a2x40对x R恒建立，务实数a的取值范围。
山东省泰安市高二上学期期中数学试卷
山东省泰安市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）“命题∃x∈R，x2+ax﹣4a≤0为假命题”是“﹣16≤a≤0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）已知命题p：函数y=loga（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（﹣1，1）；命题q：函数y=|sinx|的最小正周期为2π，则（）A . “p∧q”为真B . “p∨q”为假C . p真q假D . p假q真3. （2分） (2018高一下·芜湖期末) 我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的（单位：升），则输入的值为（）B . 7C . 8D . 94. （2分） (2019高二上·龙潭期中) 已知，是椭圆与双曲线共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分）已知椭圆的两个焦点分别为、，．若点在椭圆上，且，则点到轴的距离为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二上·绍兴期末) 如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点P在平面a内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（）B . 椭圆C . 一条直线D . 两条平行直线7. （2分） (2019高二上·齐齐哈尔期末) 将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是（）A . ；乙比甲成绩稳定B . ；甲比乙成绩稳定C . ；乙比甲成绩稳定D . ；甲比乙成绩稳定8. （2分） (2016高二下·丰城期中) 袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差D（X）的值为（）A .B .C .D .9. （2分）已知两个样本，甲：2，4，6，8，10；乙：1，3，5，7，9．样本方差分别为，则二者的关系是（）A .B .C .D . 无法确定10. （2分） (2017高一上·肇庆期末) 已知变量x，y有如表中的观察数据，得到y对x的回归方程是，则其中a的值是（）x0134y 2.4 4.5 4.6 6.5A . 2.64B . 2.84C . 3.95D . 4.3511. （2分）下列试验中,是古典概型的为（）A . 种下一粒花生,观察它是否发芽B . 向正方形ABCD内,任意投掷一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合C . 从1,2,3,4四个数中,任取两个数,求所取两数之一是2的概率D . 在区间[0,5]内任取一点,求此点小于2的概率12. （2分）(2016·安庆模拟) 在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，点P为矩形ABCD内一点，则使得≥1的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 已知点p（x，y）是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2﹣2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．14. （1分） (2016高二上·如东期中) 过椭圆内一点M（l，l）的直线l交椭圆于两点，且M 为线段AB的中点，则直线l的方程为________15. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于、两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为________．16. （1分）在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为________ ．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知椭圆的焦点为，，（），为椭圆上一点，且是，的等差中项.（1）求椭圆方程；（2）如果点在第二象限且，求的值.18. （5分） (2017高二下·长春期末) 已知命题若非是的充分不必要条件，求的取值范围．19. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知F1 ， F2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（﹣1，）在椭圆上，且• =0，⊙O是以F1F2为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B（1）求椭圆的标准方程；（2）当• =λ，且满足≤λ≤ 时，求弦长|AB|的取值范围．20. （15分） (2016高二下·赣州期末) 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30]30.12（30，35]50.20（35，40]80.32（40，45]n1f1（45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．21. （10分） (2018高二下·长春期末) 已知与之间的数据如下表：附：，，， .（1）求关于的线性回归方程；（2）完成下面的残差表：并判断（1）中线性回归方程的回归效果是否良好（若，则认为回归效果良好）.22. （10分）(2018·朝阳模拟) 今年，楼市火爆，特别是一线城市.某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有套房源，则设置个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．（1）求每个家庭能中签的概率；（2）已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号，目前该小区剩余房源有某单元27、28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，第28层有4套房．记甲、乙两个家庭抽取到第28层的房源套数为，求的分布列及数学期望.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、。
山东省泰安市第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试——数学试题
高一质量调研试题数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I 卷（选择题共52分）一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3I =，集合{}0,1,2A =，集合{}2,3B =，则I A ∪I B 等于 A ．｛0｝ B ．｛0，1｝ C ．｛0，1，3｝D ．｛0，1，2，3｝ 2.已知 ，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.已知命题“0R x ∃∈，20040x ax a +-<”为假命题，则实数a 的取值范围为A. (4,0)-B. (16,0)-C. [4,0]-D. [16,0]-4.设集合{}2|A x x x =≤，1|1B x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则A. (0,1]B. [0,1]C. (,1]-∞D. (,0)(0,1]-∞ 5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为A ．1y x =B ．2y x =-C ．||y x =-D ．||1y x =+6.幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是 A. 11()()()()f a f b f f b a <<< B. 11()()()()f f f b f a a b<<< C. 11()()()()f a f b f f a b <<< D. 11()()()()f f a f f b a b<<< 7.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．当(2,3]x ∈时，函数()f x 的值域是A. 1[,0]4-B. 1[,0]2-C. [1,0]-D. (,0]-∞ 8.设2:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 A. 1[0,]2B. 1(0,]2C.1(,0)[,)2-∞+∞D. 1(,0)(,)2-∞+∞ 9.已知95241()(1)m m f x m m x--=--是幂函数，对任意的12,(0,]x x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若,R a b ∈，且0a b +>，0ab <，则()()f a f b +的值 A. 恒大于 B. 恒小于 C. 等于 D. 无法判断 10.李冶（），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部正中有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 平方步为 亩，圆周率按 近似计算）A.步、步B.步、步C.步、步D.步、步（二）多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11.给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y <<．其中能成为x y >的充分条件的是A. ①B. ②C. ③D. ④ 12.关于x 的方程2||0ax x a -+=有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是A.12 B. 13 C. 14D. 16 13.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是 A. 228a b +≥ B. 114ab ≥ C.D.第II 卷（非选择题 共98分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.14.已知集合{}2|120A x x x =--≤，{}|211B x m x m =-<<+，且 A B B =，则实数m 的取值范围是 .15.若“R x ∀∈，(2)10a x -+>”是真命题，则实数a 的取值集合是 ．16.已知关于实数x 的不等式22520(0)x ax a a -+<>的解集为12(,)x x ，则1212a x x x x ++⋅的最小值是 ． 17.某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120x ≤≤）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数.若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，则k =_____，欲使每小时的油耗不超过．．．9L ，则速度x 的取值范围为____ _______．三、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程18.（本小题满分12分）已知集合{}|3,5M x x x =<->或 ，{}|()(8)0P x x a x =-⋅-≤.（1）求{}|58M P x x =<≤的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为{}|58MP x x =<≤的一个充分但不必要条件． 19.（本小题满分14分）定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++- (0)a ≠．（1）当1a =，2b =- 时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求实数a 的取值范围．20.（本小题满分14分）已知不等式250ax x b -+> 的解是 {}|32x x -<<，设{}2|50A x bx x a =-+>，3|51B x x ⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭． （1）求a ，b 的值；（2）求A B 和U A B ．21.（本小题满分14分）已知函数22()2()f x x x a =+-（1）讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若()2f x >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 在[]0,1上有最大值9，求实数a 的值．22.（本小题满分14分）某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日 115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （单位：元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （单位：元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数()y f x =的解析式及其定义域．（2）当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多?23.（本小题满分14分）关于x 的方程2220x ax --= 的两根为α，β()αβ<，函数24()1x a f x x -=+． （1）证明()f x 在区间(,)αβ上是增函数．（2）当a 为何值时，()f x 在[,]αβ上的最大值与最小值之差最小．高一质量调研试题数学试题参考答案 2019. 11一、选择题： CAAAD BCAAB 11. AD 12. BCD 13.AB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.15.{2}17. 100， [60,100] 三、解答题：本大题共6小题，共82分.18. 解：（1）当8a =时，{}8P =，{}8MP =，不合题意；…………2分 当8a >时，{}|8P x x a =≤≤，{}|8M P x x a =≤≤，不合题意；…4分当8a < 时，{}|8P x a x =≤≤，由{}|58MP x x =<≤，…6分 得 35a -≤≤．综上所述，{}|58M P x x =<≤的充要条件是35a -≤≤.………8分（2） 求实数a 的一个值，使它成为 {}|58MP x x =<≤的一个充分但不必要条件，就是在集合{}|35a a -≤≤中取一个值，如取0a =，此时必有{}|58MP x x =<≤； ...........................10分 反之，{}|58M P x x =<≤ 未必有0a =， (11)故0a = 是{}|58M P x x =<≤的一个充分不必要条件．………12分19. 解：（1）当1a =，2b =-时2()3f x x x =--，由23x x x --=，…………2分解得3x = 或1x =-所求的不动点为或 ． …………………6分 （2）令2(1)1ax b x b x +++-=，则 210ax bx b ++-=，……① ……………8分由题意，方程①恒有两个不等实根，所以24(1)0b a b ∆=-->， ……12分即2440b ab a -+> 恒成立，则216160a a '∆=-<，故01a << ………………………14分20.解：（1）根据题意知， 3.2x =- 是方程250ax x b -+=的两实数根；…2分 所以由韦达定理得，532,32q q a⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩， ………………………4分解得5a =-，30b = ………………………6分（2） 由上面，5a =-，30b =；所以{}211|30550|32A x x x x x x ⎧⎫=-->=<->⎨⎬⎩⎭或，且 2|15B x x ⎧⎫=-<≤-⎨⎬⎩⎭； ………………………8分 所以2|15A B x x ⎧⎫=-<≤-⎨⎬⎩， ………………………10分 ；………………………12分所以 ．………………………14分21.解：（1）当0a =时，()f x 为偶函数；当0a ≠时，()f x 为非奇非偶函数；…1分当0a =时，222()2(0)3f x x x x =+-=，满足()()=f x f x --，所以为偶函数； ………………………2分当0a ≠时，222222()2()2()2()f x x x a x x a x x a -=+--=++≠+-，即()()f x f x -≠,同样()()f x f x -≠-，所以为非奇非偶函数. ………………3分（2）22()32f x x ax a =-+>2对任意实数x 恒成立,即223220x ax a -+->对任意实数x恒成立， ………………………4分所以只需()2241220a a ∆=--<,解得a <a >…………6分 （3）22()32f x x ax a =-+，对称轴为3a x =， …………………7分 ①当132a ≤，即32a ≤时，2max ()(1)239f x f a a ==-+=， ……………9分 解得1a =1a =， ………………………11分②当132a >，即32a >时，2max ()(0)9f x f a ===，………………………12分 解得3a =或3a =-（舍去）综上：1a =-3a =. ………………………………………………14分 22. 解：（1）当6x ≤时，50115y x =-，令501150x ->，解得 2.3x >．∵*N x ∈，∴ 3x ≥，∴ 36x ≤≤,*N x ∈．………………………………2分 当6x > 时，[503(6)115y x x =---，令[503(6)1150x x --->，得23681150x x -+<，上述不等式的整数解为 220x ≤≤（*N x ∈），…………………………………6分 所以620x <≤（*N x ∈），所以*2*50115,36,N 368115,620,Nx x x y x x x x ⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩． ……………………………8分 （2） 对于50115y x =-（36x ≤≤,*N x ∈），显然当6x = 时，max 185y =（元）， …………………………………………10分 对于22348113681153()33y x x x =-+=--+（620x <≤，*N x ∈）， 当11x = 时，max 270y =（元）． …………………………………………13分 因为270185>，所以当每辆自行车的日租金定在11元时，一日的净收入最多． ……………14分 23. 解：（1） 任取 12x x αβ<<<，则1212221244()()11x a x a f x f x x x ---=-++ 2212212212(4)(1)(4)(1)(1)(1)x a x x a x x x -+--+=++ 2112122212()[4()4](1)(1)x x x x a x x x x --+-=++，…………………………………………3分 方程2220x ax --= 的两根为α，β()αβ<，12x x αβ<<<∴211220x ax --<，222220x ax --<，………………………………………5分 两式相加得2212122()()40x x a x x +-+-<，∵2212122x x x x +>，∴12124()40x x a x x -+-<，∴12()()f x f x <，∴()f x 在区间 (,)αβ上是增函数． …………………………………………7分 （2）∵()f x 在区间 (,)αβ上是增函数，∴max ()()f x f β=，min ()()f x f α=， …………………………………………8分 ∵2220x ax --= 的两根为α，β，∴,12a αβαβ+==-， …………………………………………10分 ∴ max min ()()()()f x f x f f αβ-=-224411a a βαβα--=-++ 22()[4()4](1)(1)a αβαβαβαβ--+-=++2()4βα=-=≥.…………………13分 所以当0a =时，max min ()()f x f x - 取最小值4．………………………………14分 ∴11,2m n ==. …………………………………………………………12分如何学好数学高中学生不仅仅要“想学”，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。
山东省泰安第一中学2020学年高二数学上学期期中试卷(含解析)
山东省泰安第一中学2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【解析】由可得，所以当成立时可得到成立，反之不成立，所以是的必要不充分条件，选B.2.等差数列{a n}中，a4=13，a6=9，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A. 66B. 99C. 144D. 297【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质可得，a1+a9=a4+a6，代入求和公式S9=可求．【详解】等差数列{a n}中，a4=13，a6=9，∴a1+a9=a4+a6=22，则数列{a n}前9项的和S9==99.故选B.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．3. 下列结论正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】出题考查不等式的性质所以不能推导出，A错B对因为不知道的正负情况，所以C,D是错的答案 B点评：不等式两边同时乘以或者除以一个负数时，不等式要变化。
4.命题“∀，||”的否定是（）A. ∀， ||B. ∀， ||C. ∃，||D. ∃，||【答案】C【解析】试题分析：根据全称命题的否定形式，可知应该为，||，故选C．考点：含有量词命题的否定．5.已知数列{a n}，a1=1，a n+a n+1=3，则S2020等于（）A. 3009B. 3025C. 3010D. 3024【答案】B【解析】【分析】由数列的递推式可得奇数项为1，偶数项为2，S2020=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2020+a2020）+a2020，计算可得所求和．【详解】数列{a n}，a1=1，a n+a n+1=3，可得a2=2，a3=1，a4=2，…，即奇数项为1，偶数项为2，则S2020=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2020+a2020）+a2020=3+3+…+3+1=3×1008+1=3025．故选B．【点睛】本题考查数列的求和，注意运用分组求和，考查运算能力，属于基础题．6.已知2m+n=1，m，n＞0，则+的最小值为（）A. B. 8 C. 9 D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意可知，+=(+)(2m+n)，展开利用基本不等式即可求解．【详解】∵2m+n=1，m，n＞0，则+=(+)(2m+n)=5++≥5+4=9，当且仅当m=n=时取等号，故+的最小值为9.故选C.【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是进行1的代换．7.等差数列的首项，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设出抽取的为第n项，根据所给的条件求出第六项求出公差，根据首项和求出的公差d写出等差数列的通项公式，令通项公式等于15列出关于n的方程，解方程即可．解答：解：设抽去的是第n项．∵前11项的平均值为5，从前11项中抽去某一项后，余下的10项平均值为4.6∴S11=55，S11-a n=46，∴a n=9，又∵S11=11a6=55．解得a6=5，由a1=-5，得d==2，令9=-5+2（n-1），∴n=8故选B点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，本题解题的关键是熟练应用公式，注意能够把所求的问题的实质看清楚，本题是一个中档题目．8.已知，给出下列四个结论：①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2其中正确结论的序号是（）A. ①②B. ②④C. ②③D. ③④【解析】试题分析：，∴b＜a＜0．①a＜b，错误．②∵b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，∴a+b＜ab，正确．③∵b＜a＜0，∴|a|＞|b|不成立．④，∵b＜a＜0，∴a-b＞0，即，∴ab＜b2成立．∴正确的是②④．考点：不等式的性质9.已知F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF|＜|EF|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．【详解】根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|∵|AF|=，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac-c2＞0，两边都除以a2，得e2-e-2＜0，解之得-1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）.故选A．【点睛】本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．10.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和为A n和B n，且=，则为（）A. 13B. 11C. 10D. 9【解析】【分析】由等差数列的性质和前n项和公式，将转化为,再代入求值．【详解】∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和为A n和B n，且=, 则= =9.故选D.【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n项和公式灵活应用，是常考的题型，注意总结．11.若点O（0，0）和点分别是双曲线-y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a，则双曲线的方程可得，设出点M，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据M，F，O的坐标表示, 进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得的取值范围．【详解】设M（m，n），A（a，0），则=（m，n）•（m-a，n）=m2-am+n2．由F（，0）是双曲线-y2=1（a＞0）的右焦点，可得a2+1=3，即a=, 则双曲线方程为-y2=1, 由点M为双曲线右支上的任意一点，可得-n2=1（m≥）即有n2=-1, 则=m2- m+n2=m2-m+-1=-m-1可得函数在[,+∞）上单调递增，即有m2-m+n2≥2-2+1-1=0.【点睛】本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．12.设，分别为椭圆：与双曲线：的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：设，则，又，，所以，，则，由得，又，所以，即，所以．故选B．考点：椭圆与双曲线的性质．【名师点睛】本题是椭圆与双曲线的综合题，解题时要注意它们性质的共同点和不同点，如离心率是相同的，准线方程是，但椭圆中有，，双曲线中有，，这在解题时要特别注意不能混淆，否则易出错．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.等比数列{a n}中，若前n项的和为S n=2n-1，则a12+a22+…+a n2=______．【答案】【解析】【分析】等比数列{a n}中，由前n项的和为S n=2n-1则可求出即可得出等比数列的公比，即可求得a n2的表达式，即可求和.【详解】由题意可得 a1=1，a2=s2-s1=3-1=2，则等比数列{a n}的公比为2，所以{ a n2}的公比为4，首项为1,所以a12+a22+…+a n2=.故答案为【点睛】本题考查等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题.14.已知双曲线的渐近线方程为, 并且焦距为20,则双曲线的标准方程为【答案】【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线的标准方程为有，又焦距为20,所以；则双曲线的标准方程为有，又焦距为20,所以；则双曲线的标准方程为15.当时，不等式恒成立，则的取值范围是_______．【答案】【解析】不等式恒成立，则：恒成立，考虑区间为开区间，则，结合二次函数的性质可得，对于二次函数，当时，函数取得最大值，综上可得，的取值范围是.点睛：含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．16.已知为椭圆上任意一点，为圆的任意一条直径，则的取值范围是__________．【答案】[5,21]【解析】因为.又因为椭圆的，N(1,0)为椭圆的右焦点，∴∴.故答案为：[5,21].三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）[2，3）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q 为真命题的x的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．【详解】（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．∴p，q都为真命题时x的取值范围是[2，3）；（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），则，即．【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．18.已知数列{a n}为等比数列，a1=2，公比q＞0，且a2，6，a3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，，求使的n的值．【答案】（1）；（2）n的取值为1，2，3，4，5.【解析】【分析】（1）由a2，6，a3成等差数列，知12=a2+a3，由{a n}为等比数列，且a1=2，故12=2q+2q2，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n＝log22n＝n，知b n b n+1＝由此利用裂项求和法能够求出由的n的取值．【详解】（1）由a2，6，a3成等差数列，得12=a2+a3又{a n}为等比数列，且a1=2，故12=2q+2q2,解得q=2，或q=-3，又q＞0,∴q=2，∴,（2）∵，∴,∴,故由，得n＜6，又n∈N*∴n的取值为1，2，3，4，5．【点睛】本题考查数列与不等式的综合，考查运算求解能力，推理论证能力；对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．19.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x 轴的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.【解析】试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得，，解出求出、的值即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）由题意得点，设直线方程为，将直线，代入椭圆方程得到，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即可得出的值，从而可求得直线方程．试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），由题意得=， +=1，a2=b2+c2．解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： ==1．（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），由3+=，得3y1+y2=0，y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，∴直线l的方程为：y=±（x﹣2）．【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2.当n≥2时，S n－1＋1，a n，S n＋1成等差数列．(1)求证：{S n＋1}是等比数列；(2)求数列{na n}的前n项和T n.【答案】（1）见解析（2）T n＝【解析】解：(1)证明：∵S n－1＋1，a n，S n＋1成等差数列，∴2a n＝S n＋S n－1＋2(n≥2)．∴2(S n－S n－1)＝S n＋S n－1＋2，即S n＝3S n－1＋2，∴S n＋1＝3(S n－1＋1)(n≥2)．∴{S n＋1}是首项为S1＋1＝3，公比为3的等比数列．(2)由(1)可知S n＋1＝3n，∴S n＝3n－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2×3n－1.又a1＝2，∴a n＝2×3n－1(n∈N*)．na n＝2n·3n－1∴T n＝2＋4×3＋6×32＋…＋2(n－1)×3n－2＋2n×3n－1，①3T n＝2×3＋4×32＋6×33＋…＋2(n－1)×3n－1＋2n×3n，②由①－②得，－2T n＝2＋2×3＋2×32＋…＋2×3n－1－2n×3n＝－2n×3n＝3n－1－2n×3n，∴T n＝.21.某科研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水果的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：百元）．（1）求的函数关系式；当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．【解析】【分析】（1）收入等于售价乘以产量：，减去成本即为利润（2）求分段函数最值，先求各段函数最大值，再取两者最大值中较大的，一个是二次函数最值，注意研究对称轴与定义区间位置关系，一个是对勾函数，利用基本不等式求最值，注意等于号是否取到.【详解】（1）（2）当当当且仅当时，即时等号成立答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．【点睛】这个题目考查了函数的实际应用；对于这种题目，首先理解好题意，找到函数模型，列出数学表达式，注意函数的定义域要结合实际。
2020-2021学年山东省泰安一中高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1. 直线l 1:ax +2y +a =0与直线l 2:2x +ay −a =0互相平行，则实数a =( ) A.4 B.−4 C.−2 D.22. 如图，已知三棱锥O −ABC ，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 为线段MN 上一点，且MG =2GN ，若记OA →＝a →，OB →＝b →，OC →＝c →，则OG →=( )A.13a →+13b →+16c →B.13a →+13b →+13c →C.16a →+13b →+13c →D.16a →+16b →+13c →3. 若圆C 1:x 2+y 2＝1与圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +m ＝0外切，则m ＝（ ） A.19 B.21 C.−11 D.94. 已知a →=(2, −1, 2)，b →=(−1, 3, −3)，c →=(13, 6, λ)，若向量a →，b →，c →共面，则λ=( ) A.3 B.2 C.4 D.65. 对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A.开口向上，焦点为(0,116) B.开口向上，焦点为(0, 1) C.开口向右，焦点为(1, 0) D.开口向右，焦点为(0,116)6. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2+y 2≤2，若将军从点A(3, 0)处出发，河岸线所在直线方程为x +y ＝4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A.√17−√2 B.2√5 C.3−√2 D.√177. 已知F 1，F 2分别为双曲线C:x 2a 2−y 2b 2＝1(a >0, b >0)的左、右焦点，点A 在双曲线上，且∠F 1AF 2=60∘，若∠F 1AF 2的角平分线经过线段OF 2（O 为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ） A.√72 B.√7 C.√14 D.√1428. 椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF =a ，且a ∈[π12, π4]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A.[√22, √63]B.[√22, 1]C.[√63, 1)D.[√22, √32]二、多选题（共4小题）正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为CC 1、BC 、CD 、BB 1的中点，则下列结论正确的是（ ）A.平面AEF ∩平面AA 1D 1D =AD 1B.B 1G ⊥BCC.A 1H // 面AEFD.二面角E −AF −C 的大小为π4已知直线x sin α+y cos α+1=0(α∈R)，给出下列命题正确的是（ ） A.无论α如何变化，直线不过原点 B.直线的倾斜角是π−αC.无论α如何变化，直线总和一个定圆相切D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k ＝1(k ∈R)，则下列结论正确的是（ ） A.当k =0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y ＝±√3x B.当k =4时，曲线C 为圆C.“k >4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2已知F 1、F 2是椭圆C:x 2a2+y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知AF 1→⋅BF 1→=0，3AF 2→＝2F 2B →，|AF 1|=2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和之间BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是（ ） A.k =12B.e =√55C.k 1⋅k 2=−45D.k 3⋅k 4=45三、填空题（共4小题）已知点P(2, −3)，Q(3, 2)，直线ax +y +2=0与线段PQ 相交，则实数a 的取值范围是________．如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 为棱CC 1的中点，则异面直线BD 1与AM 所成角的余弦值为________．若△ABC 的两个顶点坐标A(−4, 0)、B(4, 0)，△ABC 的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为________．设F 1，F 2是双曲线x 25−y 24=1的两个焦点，P 是该双曲线上一点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则△PF 1F 2的面积等于________四、解答题（共6小题）已知P(3, 2)，一直线l 过点P ，①若直线l 在两坐标轴上截距之和为12，求直线l 的方程；②若直线l 与x 、y 轴正半轴交于A 、B 两点，当△OAB 面积为12时，求直线l 的方程．已知过点M (0, 2)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −1)2+y 2=1交于A ，B 两点． （1）求斜率k 的取值范围；（2）以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围；（3）O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值．如图，四面体ABCD 中，平面DAC ⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AC ＝4，AD ＝CD =2√2，O 是AC 的中点，E 是BD 的中点．（1）证明：DO ⊥底面ABC ；（2）求二面角D −AE −C 的余弦值．已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y =±√3x ，且双曲线过点(√2, √3) （1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点F 作倾斜角为π4的直线交双曲线于A ，B ，求|AB|．已知在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，CD ⊥平面PAD ，E ，F ，G ，O 分别是PC ，PD ，BC ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；(Ⅲ)线段PA 上是否存在点M ，使得直线GM 与平面EFG 所成角为π6，若存在，求线段PM 的长度；若不存在，说明理由．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√32，且圆x2+y2＝2过椭圆C的上，下顶点．（1）求椭圆C的方程．（2）若直线l的斜率为12，且直线l交椭圆C于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E，点A(−2, 1)是椭圆C上一点，判断直线AE与AQ的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东省泰安一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）1.【答案】此题暂无答案【考点】直线的水根式方务式直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】圆与来的位德米系及米判定圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】抛物使之性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】椭于凸定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直直线体平硫平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】充分常件、头花条件滤充要条件曲常与树程双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆水明心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题（共4小题）【答案】此题暂无答案【考点】两条直验立交点坐标【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】轨表方擦【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】双曲根气离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题（共6小题）【答案】此题暂无答案【考点】待定系数因求滤线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角直线验周面垂直二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭明的钾用椭圆较标准划程直线与椭常画位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
山东省泰安市宁阳县第一中学2020年学年高中高二数学上学期阶段性测试试卷试题一
山东省泰安市宁阳县第一中学 2020学年高二数学上学期阶段性测试试题（一）考试内容：数列、不等式满分150分考试时间：120分钟一、单项选择题：此题共10个小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1.不等式的解集是（）A .B .C. D.2.在等差数列{a}中，若a12a23a318，则2a1a5（）nA．9B．8C．6D．33.已知为非零实数，且，则以下命题建立的是（）A、B、C、D、4.不等式的解集为（）A. B.C. D.5 .假如－1,,,,－9挨次成等比数列，那么（）abcA.b3,ac9 B.b3,ac9 C.b3,ac9 D.b3,ac96.已知的最小值是（）A．15B．6C．60D．17.已知等差数列{a n}前n项和为S n，若S1010，S2060，则S40（）A.110B.150C.210D.2808.设a0,b0，若3是3a与3b的等比中项，则14的最小值为（）a bA.22B.8C.32D.9329.设A.，若对于x的不等式在区间[1,2]B.上有解，则（）9798C. D.99100三国期间有名的数学家刘徽对推导特别数列的乞降公式很感兴趣，创建并发展了很多算101法，显现了聪慧才华．他在《九章算术》“盈不足”章的第19题的注文中给出了一个特别数102列的乞降公式．这个题的粗心是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地，长安与齐地相距1033000里（1里=500米），良马第一天走193里，此后每日比前一天多走13里．驽马第一天走104里，此后每日比前一天少走半里．良马先到齐地后，立刻返回长安迎驽马，问两匹马在第几日相遇（）A.14天B.15天C.16天D.17天二、多项选择题：此题共3个小题，每题4分，共12分.在每题给出的四个选项中，有多个选项是切合题目要求的.所有选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分.11.设Sn是数列{a n}的前n项和，且a11，a n1S n S n1，则（）11,n1,A.anB.a11n1n2n1nC.数列1为等差数列 D.1115050 S n S1S2S10012.已知数列n2a n2，若存在两项,a n，使得a m a n64，则{a}的前n项和为S n，S n a m以下结论正确的选项是（）A.数列a n为等比数列B.数列a n为等差数列C.m n为定值D.设数列b的前n项和为T n，b n log2a n，则数列T n为等差n n数列13.给出以下语句，此中结论正确的选项是（）A.若a,b正实数，则a2b22B.若a,m为正实数，a b，则211a ba m ab m bC.设f x x2ax4,若不等式f x0在1,2上恒建立，只要f10且f20建立111111D.2b2c2ab ac bca三、填空题：此题共4个小题，每题4分，共16分.14.二次不等式的解集为，则ab的值为_______.15.已知a,b R,且a b3ab,则ab的取值范围_______.16.已知数列{a n}知足a2a518,a3a432，若{a n}为单一递加的等差数列，其前n项和为S n，则S10__________,若n}为单一递减的等比数列，其前n项和为T n63，则{an=__________.n n}的前n项和，若a n sin n，则S2019的值为_________.17.已知S是数列{a2四、解答题：此题共6个小题共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（12分）已知函数f(x) x22x8（1）解不等式f(x) 0；（2）若对全部x 0，不等式f(x) mx 9恒建立，务实数m的取值范围．（14分）已知数列{a}是等比数列，数列{b}是等差数列，且知足：a1b11,b2b34a2，n na33b25.（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n a n b n，求数列{c n}的前n项和S n.（14分）解对于x的不等式ax10.x 221.（14分）已知数列{a n}知足a11，且a n2a n12n(n≥2,nN*)（1）求证数列a n是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；2n（2）设b n2n2，数列{bn}的前n项和Bn，求证B n1. (2n1)a n3（14分）设数列{a n的前n项和为S n，且S n2n1，在正项等比数列n中b2a2，b4a5．}n{b}（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n a n b n，求数列{c n}的前n项和．23.（14分）（1）一家商铺使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购置10克黄金，售货员先将5克的砝码放在天平左盘中，拿出一些黄金放在天平右盘使天均匀衡；再将5克砝码放在天平的右盘中，再拿出一些黄金放在天平左盘中使天均匀衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你以为顾客购置得的黄金是小于10克，等于10克，仍是大于10克？为何？2）两次购置同一种物件，能够用两种不一样的策略，第一种是不考虑物件价钱的起落，每次购置这类物件的数目必定；第二种是不考虑物件价钱的起落，每次购置这类物件所花的钱数必定.哪一种购物方式比较经济？能把所得结论作一些推行吗？二〇一八级阶段性测试（一）数学参照答案10.记良马每日所走行程组成的数列为a n，驽马每日所走行程组成的数列为b n，由题意可得：a n19313(n1)18013n，b n971(n1)1n195，设经过n天，两匹马相遇；222n(a1a n)n(b1b n)，即n(19318013n)n(97195n)，则有600022 22226000整理得5n2227n4800，当n16知足题意，所以两匹马在第16天相遇.应选C17.解：因为数列的通项公式为：a n sin n，当n1时，a sin1，当n2时，212a2sin 20.当n3时，a3sin31，当n4时，a4sin40，当n5时，222a551，所以：数列的周期为4，故：a1a2a3a410100 sin2所以：S2*******a2017a2018a20191010.故答案为：0.18.分析：（1）fx x22x8x2x40x2或x4所求不等式解集为：,24,4分（2）当x0时，f x mx9x22x11可化为：m x2x x 分又x 12x128 x x分当且当x1，即x1取等号⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10x分122 2 0m 0即m 的取范：,0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯xxmin12分19.分析：（1）a n的公比q ,b n 的公差d ,由意q0,由已知,有(1 d) (1 2d) 4q,q 23(1 d) 5,4q 3d2,2分即3d2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯q 2q 2 4q 4 0dq2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分所以a n的通公式a n 2n1,n N ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 b n 的通公式b n2n1,n N .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分 （2）c na nb n 2n12n 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分S n12nn(1 2n 1) 2nn21.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分1 2 220.【分析】原不等式等价于 (ax 1)(x 2)0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 (1)当a 0 ，解集(,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)当a 0 ，原不等式可化 ( ax 1)(x2) 0，因12，所以解集(1,2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分aa(3)当0a 1 ， 1 2，解集( ,2)U(1,)⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分1 2 a 1x a(4)当a，原不等式等价于 ( 1)(x 2) 0 ， 即(x2)2 0，2 2解集(,2)U(2,)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分(5)当a112 ，解集(1 )13分2 ，, )U(2, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯aa，解集(1,2)；上所述，当a，解集(,2)；当a 0a当0 a1，解集(,2)U( 1, ) ； 当a1，解集( ,1)U(2,)⋯⋯142a2a分21.分析：（1）∵a n2a n1na n 2a n 1 12∴2n∴anan1即ana n2n1，11⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分2n2n12n 2n 1∴数列a n 是等差数列，首a 1 1，公差1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分2n212∴ a n12n 12n2 (n1）12∴a n = 2n 1 2n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分2(2)由（1）a=2n1 2n ， b n2n=2=1 1⋯9分n2(2n1)a n(2n1)(2n 1)2n 12n1∴数列b n 的前n 和B n =b 1+b 2b 3 L bn1 b n1 1 1 11 11 1 11=()+()+()+L +()+()1335572n32n12n12n1=11⋯⋯⋯⋯11分12nQ01 1 1 故2B n 1.⋯⋯⋯⋯⋯14分2n 3322.【分析】（1）当n 1，a 1 S 11，⋯⋯⋯⋯1分当n 2，a nS nSn1=(n 2n 1) [(n 1)2 (n1) 1]=2n2 ，⋯⋯⋯⋯3分所以a n1(n 1).⋯⋯⋯⋯4分2n 2(n2)所以b 22，b 48 ，于是q 2b 4 4 ，解得q=2或q2（舍）⋯⋯⋯⋯6分b 2所以b nb 2qn2=2n1.⋯⋯⋯⋯7分（2）由以上可得，c n1(n 1)(n1)2n(n2)当n1，S 11;⋯⋯⋯⋯8分当n2时，S n =1122 223 324L(n2)2n1 (n1)2n2S n =21 232 243 25 L(n 2)2n(n 1)2n19分- 得， S n = 1 22 23 24L2n (n 1)2n110分=2(1 2n )(n 1)2 n1分3 1 212n22n 1 5所以S n =(n 2)2n15.14分23.分析：顾客购置得的黄金是大于 10克.1分原由以下：因为天平两臂不等长，设左臂为 a ，右臂为b ，ab ，先称得黄金质量为m 1，后称的黄金质量为 m 2则bm 1 5a,am 25b ，故m 1 m 2 5b5a 25b5a 10a bab所以，顾客购置得的黄金是大于10克.6分24. 第二种策略比较经济7分若依据第一种策略设第一、二次购物价钱为p 1,p 2，购物数目为n两次均匀价钱为 np1np 2 p 1 p 29分2n2若依据第二种策略第一、二次均花销为m ，第一、二次购物价钱为p 1,p 2则第一、二次购置量分别为,mp 1p 2两次均匀价钱为2m 211分mm11p 1 p 2p 1 p 2p 1 p 2 2p 1p 22p 1 p 2 2因4p 1p 2 02 112p 1p 2 2p 1 p 2p 1p 2所以，第二种经济.13分推行：假如购物 n 次，用第二种经济.14分。
山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题+答案解析(附后)
山东省泰安市2021-2022学年上学期期中考试高二数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的离心率为( )A. B.C.D.2.直线的倾斜角为( )A. B.C.D.3.已知直线与平行，则( ) A. 1 B.C. 0D. 1或4.已知，，，则点A 到直线BC 的距离为( )A. B.C.D.5.若圆与圆恰有2条公切线，则m 的取值范围为( )A.B. C.D.6.如图，平面平面ABCD ，是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，且，E 是CD的中点，F 是AD 上一点，当时，( )A. 3B.C.D. 27.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为( )A.B.C.D.8.如图，把椭圆的长轴AB 分成6等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点，，，，，F 是椭圆C 的右焦点，则( )A. 20B.C. 36D. 30二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知曲线C的方程为，则( )A. 曲线C可以表示圆B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线10.直线与圆的交点个数可能为( )A. 0B. 1C. 2D. 311.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出;反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，O 为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点下列说法正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则PB平分D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线12.正方体的棱长为2，且，过P作垂直于平面的直线l，l交正方体的表面于M，N两点，下列说法不正确的是( )A. 平面B. 四边形面积的最大值为C.若四边形的面积为，则D. 若，则四棱锥的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省泰安市新泰第一中学(东校)2021学年上学期高二年级第二次质量检测数学试卷
山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年上学期高二年级第二次质量检测数学试卷考试时间：120分钟一、单选题（每题5分，共40分） 1．抛物线28y x =的准线方程为（ ） A ．2x =-B ．2y =-C ．132x =-D ．132y =-2．已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A -在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A B C ．D 3．若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的值分别为（ ） A ．12k =-，4b =- B ．12k =，4b = C ．12k =，4b =- D ．4k =，3b = 4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．57B ．51C ．54D ．725．经过点P 2，－2且与双曲线C ：2212x y -=有相同渐近线的双曲线方程是A ．22142x y -= B ．22124y x -=C ．22124x y -= D ．22142-=y x6．已知1，a ，，b ，16这五个实数成等比数列，则的值为（ ） A ．4B ．－4C ．±4D ．不确定7．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且3BC =，4AC =，13CC =，点P 在棱1AA 上，且三棱锥A PBC -的体积为4，则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于（ ）A ．4B ．4C ．5D ．58．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）则下列埃及分数113⨯，135⨯，157⨯，…，120192021⨯的和是（ ）A ．20202021 B ．10102021C ．10092019D ．20182019 二、多选题（每个题目都有多个答案，全部选对得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．设几何体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，1A C 与1B D 相交于点O ，则下列结论正确的是（ ）A ．211A B AC a ⋅= B ．212AB AC a ⋅= C ．21CD AB a ⋅=- D ．2112AB AO a ⋅= 10．已知S n 是等差数列{}n a n ∈N *的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ） A ．数列{}n a 的公差d <0 B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10 C ．S 10>0D ．S 11>011．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=若直线()1y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取可以是 A ．1B ．2C ．3D ．412．过点(03)P ，的直线l 与圆C ：22(2)(3)4-+-=x y 交于A 、B 两点，当30CAB ∠=时，直线l 的斜率为（ ）A ．B ．-C D三、填空题13．坐标平面内过点(2,1)A -，且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为___________ 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，2(1)n n S a =+，则4a =_____．15．已知点F 为抛物线28y x =-的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且||4AF =，则||||PA PO +的最小值为_______________16．如图，1F 、2F 是椭圆221:14x C y +=与双曲线2C 的公共焦点，A 、B 分别是1C 、2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是________．四、解答题17．（本题10分）已知平面内两点()1,2A -，()1,4B （1）求过点()2,3P -且与直线AB 平行的直线l 的方程；（2）一束光线从B 点射向（1）中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在的直线方程18．（本题12分）张先生2018年年底购买了一辆1.6L 排量的小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收吨二氧化碳（1）若张先生第一年（即2019年）会用车万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：141.1 3.7975≈，151.1 4.1772≈，161.1 4.5950≈）19．（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值20．（本题12分）已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+ （1）求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T21．（本题12分）已知直线20x y -+=和圆22:8120C x y x +-+=，过直线上的一点()00,P x y 作两条直线PA ，PB 与圆C 相切于A ，B 两点（1）当P 点坐标为()2,4时，求以PC 为直径的圆的方程，并求直线AB 的方程； （2）设切线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，且127k k ⋅=-时，求点P 的坐标22．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 与椭圆22143x y +=的右焦点重合，点M 是抛物线C 的准线上任意一点，直线MA ，MB 分别与抛物线C 相切于点A ，B（1）求抛物线C的标准方程；k k 为定值；（2）设直线MA，MB的斜率分别为1k，2k，证明：12（3）求AB的最小值山东省泰安市新泰第一中学（东校）2020-2021学年上学期高二年级第二次质量检测数学试卷参考答案1．D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．A 7．C 8．B 9．ACD 10．AC 11．AB 12．BC 13．12y x =-或1y x =-- 14．-16 15． 16．217．（1）因为()1,2A -，()1,4B ，所以42111ABk ----------------------2分因为直线l 过点()2,3P -且与直线AB 平行，所以直线l 方程为()312y x +=⨯-，即50x y --=-----------------------------------------4分（2）设()1,4B 关于直线l 的对称点为(),B m n '，则411145022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得94m n =⎧⎨=-⎩，()9,4B '------8分 因为()1,2A -，所以()423915B A k '--==---，则反射光线所在的直线方程为()3215y x -=-+，即3570x y +-=---------------------10分18．（1）设第n 年小轿车排出的二氧化碳的吨数为()*n a n N ∈，则11200043000a ==，2130001330003a ==，3140001430003a ==，…，显然其构成首项为14a =，公差为2113d a a =-=的等差数列------3分 记其前n 项和为n S ，则1010911045523S ⨯=⨯+⨯=，所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨------------------------------------------------------6分 （2）记第n 年林木吸收二氧化碳的吨数为()*n b n N∈，则11 1.8b=⨯，21(110%) 1.8b =⨯+⨯，231(110%) 1.8b =⨯+⨯，…，显然其构成首项为1 1.8b =，公比为 1.1q =的等比数列。
山东省泰安第一中学2020年学年高中高二数学学情检测试卷试题
2020学年度第一学期阶段检测高二数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的.1.若数列的前4项分别是1,1,1,1，则此数列的一个通项公式为（）2345A .(1)n1B.(1)nC.(1)n(1)n1 n1n1D.nn2.已知实数a,b,c,d R，且a b，c d，那么以下不等式必定正确的选项是（）A．ac2bc2B．acbd C．acbd D．adbc3.对于x的方程x2mx10有两个不相等的正实根，则实数m的取值范围是（）A.m2B.m0C.m1D.m0中国古代数学著作《张丘建算经》卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日趋功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日趋几何，其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，并且每日增添的长度都是同样的，已知第一天织5尺，经过一个月（30天）后，共织布九匹三丈，问每日多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）.A．390B．16 C.16D．133129295.对于x的不等式(a24)x2(a2)x10的解集是空集，则实数a的范围为（）A.(2,6)B.[2,6)C.[2,6]D.[2,6)U{2}55556.若m,n R,且m n0,则对于x的不等式(m x)(n x)0的解集为（）A．xx n或xm B．xnxm C.xmxn D.xxm或xn7.已知各项为正的等比数列a n中，a4与a14的一个等比中项为22，则2a7a11的最小值为（）B．4 C.22D．88. 若对于x 的不等式ax23的解集为x 5 x 1 ，则实数a （）3 3A.15B ．-3C.3D ．3559. 已知数列为等差数列，若，且它们的前 n 项和 有最大值，则使得 的的最大值为A ．19 B.20C.21D.2210.设{a n }是等差数列，以下结论中正确的选项是（）A ．若a 1 a 3 0，则a 1a 2 0C.若a 1 a 30，则a 1 a 2B．若0a 1a 2，则a 2 a 1a 3D.若a 10，则(a 2a 1)(a 2a 3)011.已知函数 f(x)xmx 5，当1x9时，f(x)1恒建立，则实数 m 的取值范围为（ ）A ．m13B ．m5C ．m4D ．m5312.定义函数 f(x)以下表，数列a n 知足a n1f(a n )，nN *.若a 12，则a 1+a 2+a 3+ +a 2018=（）A.7042B.7058C.7063D.7262第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上） 13. 函数yx1(x3)的最小值为．x314. 已知正实数a,b 知足1+41，则ab 的最小值为 ．a b15. 已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 12，S n =2a n+1，nN *.则S 6=．16．将等差数列1，4，7，按必定的规则排成了以下图的三角形数阵.依据这个摆列规则，数阵中第 20行从左至右的第 3个数是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（本小题满分10分）解以下对于x的不等式：（1）x13；（2）x2ax 2a20(a R).2（本小题满分12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，且a11，b11，a2b22.（1）若a3b35，求{b n}的通项公式；（2）若T321，求S3.（本小题满分12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.此中a12，a24，且n2时，有S n1S n12S n2建立.（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列1b n的前n项和为T n. 2b n是首项与公比均为2的等比数列，求数列a n1（本小题满分12分）已知数列{a n}中，a11，a21.且对n N*，有a n21 a n.22（1）设b n a2n1a2n，求证：数列{b n}为等比数列，并求{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n.21.（本小题满分12分）一个生产企业投资A生产线500万元，每万元可创建收益万元.该企业经过引进先进技术，在生产线A投资减少了x万元，且每万元的收益提升了0.5x%；若将少用的x万元所有投入B生产线，每万元创建的收益为1.5(a13x)万元，此中a0.1000（1）若技术改良后A生产线的收益不低于本来A生产线的收益，求x的取值范围；（2）若生产线B的收益一直不高于技术改良后生产线A的收益，求a的最大值.（本小题满分12分）设公差不为0的等差数列a n的首项为1，且a2,a5,a14组成等比数列．（1）求数列an+1的前n项和为T n；a n的通项公式，并求数列2n（2）令c n a n+1a n2cos(n1)，若c1c2c n tn2对nN*恒建立，务实数t的取值范围.2020学年度第一学期阶段监测高二数学试题第Ⅰ卷（共 60分）ADACBBDBABCC13.515.24316三、解答题（本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）2x 7x17.解：（I ）将原不等式化为2，即(2x7)(x2) 0(x2),2 x 7,2{x2x 7所以原不等式的解集}2.（II ）当a0时，不等式的解集为 {0} ；当a0时，原不等式等价于 (x a)(x 2a)0，所以当a 0 时， a 2a ，a x2a,当a0时，a 2a ，2a xa,综上所述，当a0时，不等式的解集为 {0} ，当a 0时，不等式的解集为，{xa x2a},当a0时，不等式的解集{x2ax a}.18.解：设 a n的公差为d ，b n的公比为q ，则a n 1n1d,b n q n1,由a 2 b 22得：dq3 ①（1）由a 3b 35得：2dq 26②d 3 d 1 联立 ①和②解得q,（舍去），q，2所以b n 的通项公式b n2n1(2)由b 1 1,T 3 21得q 2 q20解得q5,q4当q5 时，由①得d8，则S 321.当q4，由①得d 1，S 36.19.解：（1）；（2）∴-+2n 12步步高黄皮11815 解：（1）由意得：1.5(500x)(10.5x%)500．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分整理得：x 2300x 0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分故0x300．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分（2）由意知，生B 的利1.5(a13x)x 万元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5分1000技改后，生生A 的利1.5(500x)(10.5x%)万元，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分1.5(a13 x)x 1.5(500x)(1x%)恒建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7分1000∴axx 2500 3x ，且x 0，125 2∴ax5003 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分x．1252∵x500 4，当且当x250等号建立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分125x 0x ，∴a的最大 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分22.（Ⅰ）a n2n 12 1 1 2 2 12 3 12n 1T n222232n，1T n211221231 2(n1)12n1，22223242n2n1得1T n 3 222 2n1 ， 2 223n2n12225 2n 522n1 .T n 52n5.2n(2)c n(2n1)(2n3)cos(n1),当n为奇数时，cos(n1)1，c1c2c n355779911(2n1)(2n3)354(7112n1)154(2n8)(n1)2n26n7.4T n tn2,2n26n7tn2,t 7627(13)25t2. n2n n7,7当n为偶数时，cos(n1)1，c1c2c n355779911(2n1)(2n3) 4(59132n1)2n26n.T n tn2,2n26ntn2,t26,t 5.n综上所述，t 5.。