2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
2009—数二真题、标准答案及解析
) ( x ≥ 0 ) 满足微分方程 xy′′ − y′ + 2 = 0 ，当
曲线 y = y ( x ) 过原点时， 其与直线 x = 1 及 y = 0 围成平面区域 D 的面积为 2， 求D绕 y轴 旋转所得旋转体体积.
（ 19 ）（ 本 题 满 分
（Ⅰ）求满足 Aξ 2 = ξ1 , A
2
ξ3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ3 ；
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量 ξ 2 , ξ3 ，证明： ξ1 , ξ 2 , ξ3 线性无关. （23） （本题满分 11 分）设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax1 + ax2 + ( a − 1) x3 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3
块矩阵 ⎜
⎛O A⎞ ⎟ 的伴随矩阵为（ ⎝ B O⎠
）
⎛ O 3B* ⎞ . A ( )⎜ * ⎟ O ⎠ ⎝ 2A
⎛ O ( B) . ⎜ * ⎝ 3A
2 B* ⎞ ⎟ O ⎠ 2 A* ⎞ ⎟ O ⎠
T
(C ) . ⎜
⎛ O 3 A* ⎞ ⎟ * O ⎠ ⎝ 2B
T
( D) . ⎜
⎛ O * ⎝ 3B
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数 f ( x ) =
x − x3 的可去间断点的个数为（ sin nx
）
( A ) 1.
x − x3 的可去间断点的个数为（ sin nx
2009年考研数学试题详解及评分参考
=
lim
n®0
an2
|
bn
|=
0
,
2009 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2009 年数学试题详解及评分参考
¥
å 于是根据正项级数比较判别法的极限形式，知 an2bn2 收敛，因此应选 (C) .
n=1
注：取 an = bn = (-1)n
1 n
，可排除(A)和(D)；取 an
F ¢(x) = 0 ，即 F (x) 恒为常数. 再结合 F (x) 的连续性，即知选项(D)是正确的.
(4)
设有两个数列 {an } , {bn } ，
若
lim
n®¥
an
= 0 ，则
¥
¥
å å (A) 当 bn 收敛时， anbn 收敛.
n=1
n=1
¥
¥
å å (B) 当 bn 发散时， anbn 发散.
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
，
g(x) = x2 ln(1- bx) = x2[(-bx) + o(x)] = -bx3 + o(x3) ，
因此有 lim x®0
(1 -
a)x
+
a3 6
x3
- o(x3)
-bx3 + o(x3 )
=
1 ，于是1-
a
=
0
，且
1 6
a3
=
-b
，即
a
=
1 ，b
=
-
1 6
= 6A-1
=
6
A* A
= 3A*, X4
=
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数，则（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A 、B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A 、B的伴随矩阵。
2009考研数学二真题及答案解析
2009年全国硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数()3sin x x f x xπ-=的可去间断点的个数为()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无穷多个 【答案】C【解析】由于()3sin x x f x xπ-=,则当x 取任何整数时,()f x 均无意义.故()f x 的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±.320032113211131lim lim ,sin cos 132lim lim ,sin cos 132lim lim .sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个,即0,1±.(2) 当0x →时,()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小,则()A 11,6a b ==- ()B 11,6a b == ()C 11,6a b =-=- ()D 11,6a b =-= 【答案】A【解析】 22000()sin sin limlim lim ()ln(1)()x x x f x x ax x axg x x bx x bx →→→--==-⋅- 22002301cos sin lim lim 36sin lim 1,66x x x a ax a ax bx bxa ax ab b axa→→→---==-=-⋅洛洛 36a b ∴=-,故排除,B C .另外,201cos lim3x a axbx →--存在,蕴含了1cos 0a ax -→()0x →,故 1.a =排除D .所以本题选A .(3) 设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+,则点()0,0()A 不是(),f x y 的连续点 ()B 不是(),f x y 的极值点()C 是(),f x y 的极大值点 ()D 是(),f x y 的极小值点 【答案】D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂. 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂,又在()0,0处,0,0z zx y∂∂==∂∂,210AC B -=>, 故()0,0为函数(,)z f x y =的一个极小值点. (4) 设函数(),f x y 连续,则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰()D ()221,ydy f x y dx ⎰⎰ 【答案】C【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤,{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-,将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤-, 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰,故答案为C .(5) 若()f x ''不变号,且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=,则函数()f x 在区间()1,2内()A 有极值点,无零点 ()B 无极值点,有零点()C 有极值点,有零点()D 无极值点,无零点 【答案】B【解析】由题意可知,()f x 是一个凸函数,即()0f x ''<,且在点(1,1)处的曲率322||(1())y y ρ''=='+而(1)1f '=-,由此可得,(1)2f ''=-. 在[1,2] 上,()(1)10f x f ''≤=-<,即()f x 单调减少,没有极值点. 对于(2)(1)()1(1,2)f f f ξξ'-=<- , ∈ ,(拉格朗日中值定理)(2)0f ∴ <而(1)10f =>,由零点定理知,在[1,2] 上,()f x 有零点.故应选B .（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为：则函数()()0xF x f t dt =⎰的图形为()A ()B()C ()D【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征：①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减。
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数的可去间断点的个数为（A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个 （2）当 时， 是等价无穷小，则（A）（B）（C）（D）（3）设函数的全微分为，则点（0,0）（A）不是的连续点（B）不是的极值点1/9（C）不是的极大值点（D）不是的极小值点（4）设函数连续，则（A）（B）（C）（D）（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则函数在区间内（A）有极值点，无零点 （B）无极值点，有零点 （C）有极值点，有零点 （D）无极值点，无零点 （6）设函数 在区间 上的图形为：2/9则函数的图形为（7）设 随矩阵为均为 2 阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块长阵的伴3/9（A）（B）（C）（D）（ 8 ） 设均 为 3 阶 矩 阵 ，为 P 的 转 置 矩 阵 ， 且， 若，则为（A）（B）（C）（D）二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。
4/9（9）曲线在处的切线方程为_________。
（10）已知，则 K=_______（11）=________。
（12）设是由方程确定的隐函数，则=_______。
（13）函数在区间上的最小值为_____。
（14）设为 3 维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则=_____。
三、解答题：15~23 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤。
矚慫润厲钐瘗睞枥。
（15） （本题满分 9 分）求极限（16） （本题满分 10 分）计算不定积分（17） （本题满分 10 分）设，其中具有 2 阶连续偏导数，求与（18） （本题满分 10 分）设非负函数 点时，其与直线氇。
满足微分方程，当曲线过原围成平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。
2009-数二真题、标准答案及解析
（6）设函数 y = f ( x) 在区间−1,3 上的图形为：
则函数 F ( x) = x f (t ) dt 的图形为 0
( A)
(B)
(C)
(D)
【答案】 D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由 y = f (x) 的图形可见，其图像与 x 轴及 y 轴、
x = x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F (x) ，从而可得出几个方面的特征：
a
a3 = −6b ,故排除 B,C .
另外,
lim
x→0
1− a cos ax −3bx2
存在,蕴含了1−
a
cos
ax
→
0
(
x
→
0)
,故
a
=
1.
排除
D
.
所以本题选 A .
(3) 设函数 z = f ( x, y) 的全微分为 dz = xdx + ydy ,则点 (0, 0)
( A) 不是 f ( x, y) 的连续点 ( B) 不是 f ( x, y) 的极值点
【解析】1 =
+ ek x dx = 2 + ekxdx = 2 lim 1 ekx b
−
0
k b→+
0
【答案】 −2
因为极限存在所以 k 0 1=0− 2
k k = −2
（11） lim 1e−x sin nxdx = n→ 0
【答案】0
【解析】令 In = e−x sin nxdx = −e−x sin nx + n e−x cos nxdx
y = t2 ln(2 − t2 )
【答案】 y = 2x
【解析】
考研数学二真题2009
考研数学二真题20092009年数学二真题回顾2009年的考研数学二真题是考研数学历年真题中的一道经典题目。
本文将回顾这道题目所涉及的知识点和解题技巧，并为考生提供一些解题思路和指导。
一、题目回顾与分析题目要求：已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)在(0,1)内可导，函数满足方程f(x) - f(x^2) = ln(1 + x) - ln(1 - x)，求f(x)的表达式。
题目分析：根据题目要求，我们需要找到函数f(x)的表达式。
首先，根据方程f(x) - f(x^2) = ln(1 + x) - ln(1 - x)，我们可以发现方程右侧是两个对数函数的差，因此我们可以考虑对数函数的性质进行分析。
另外，我们还可以考虑使用微分学的知识来解决这道题目。
二、解题思路与方法1. 利用对数函数性质解题：我们可以将方程f(x) - f(x^2) = ln(1 + x) - ln(1 - x)两边同时取指数，得到e^(f(x) - f(x^2)) = (1 + x) / (1 - x)。
进一步化简，我们可以得到f(x) - f(x^2) = ln((1 + x) / (1 - x))。
根据对数函数的性质，我们知道对数函数的真数大于1时，对数函数的值大于0，真数小于1时，对数函数的值小于0。
因此，我们可以得到一个重要的性质：当x在区间(0,1)内变化时，x^2的取值范围是(0,1)，显然，f(x)和f(x^2)的差值也应在区间(0,1)内变化。
2. 使用微分学解题：考虑到函数f(x)在(0,1)内可导，我们可以通过微分学的知识来解决这道题目。
我们可以对方程f(x) - f(x^2) = ln(1 + x) - ln(1 - x)两边同时求导，得到f'(x) - 2x * f'(x^2) = 1 / (1 + x) + 1 / (1 - x)。
我们可以观察到这是一个用到了复合函数的求导法则的题目，即f(g(x))的导数等于f'(g(x)) * g'(x)。
最新硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析汇总
2009年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 函数«Skip Record If...»的可去间断点的个数为«Skip Record If...» 1 «Skip Record If...» 2 «Skip Record If...» 3 «Skip Record If...»无穷多个【答案】«Skip Record If...»【解析】由于«Skip Record If...»,则当«Skip Record If...»取任何整数时,«Skip Record If...»均无意义.故«Skip Record If...»的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是«Skip Record If...»的解«Skip Record If...».«Skip Record If...»故可去间断点为3个,即«Skip Record If...».(2) 当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是等价无穷小,则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»【答案】«Skip Record If...»【解析】«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»,故排除«Skip Record If...».另外,«Skip Record If...»存在,蕴含了«Skip Record If...»«Skip Record If...»,故«Skip Record If...»排除«Skip Record If...».所以本题选«Skip Record If...».(3) 设函数«Skip Record If...»的全微分为«Skip Record If...»,则点«SkipRecord If...»«Skip Record If...»不是«Skip Record If...»的连续点«Skip Record If...»不是«Skip Record If...»的极值点«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的极大值点«SkipRecord If...»是«Skip Record If...»的极小值点【答案】«Skip Record If...»【解析】因«Skip Record If...»可得«Skip Record If...».«Skip Record If...»,又在«Skip Record If...»处,«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,故«Skip Record If...»为函数«Skip Record If...»的一个极小值点.(4) 设函数«Skip Record If...»连续,则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»«Skip Record If...»【答案】«Skip Record If...»【解析】«Skip Record If...»的积分区域为两部分：«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,将其写成一块«Skip Record If...»,故二重积分可以表示为«Skip Record If...»,故答案为«Skip Record If...».(5) 若«Skip Record If...»不变号,且曲线«Skip Record If...»在点«SkipRecord If...»上的曲率圆为«Skip Record If...»,则函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内«Skip Record If...»有极值点,无零点«Skip Record If...»无极值点,有零点«Skip Record If...»有极值点,有零点«Skip Record If...»无极值点,无零点【答案】«Skip Record If...»【解析】由题意可知,«Skip Record If...»是一个凸函数,即«Skip Record If...»,且在点«Skip Record If...»处的曲率«Skip Record If...»,而«Skip Record If...»,由此可得,«Skip Record If...».在«Skip Record If...»上,«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»单调减少,没有极值点.对于«Skip Record If...»,(拉格朗日中值定理)«Skip Record If...»而«Skip Record If...»,由零点定理知,在«Skip Record If...»上,«Skip Record If...»有零点.故应选«Skip Record If...».（6）设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的图形为：则函数«Skip Record If...»的图形为«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»【答案】«Skip Record If...»【解析】此题为定积分的应用知识考核，由«Skip Record If...»的图形可见，其图像与«Skip Record If...»轴及«Skip Record If...»轴、«Skip Record If...»所围的图形的代数面积为所求函数«Skip Record If...»，从而可得出几个方面的特征：①«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，且单调递减。
2009年全国硕士研究生入学考试数学二真题及答案
,
) 的光滑曲线，当
22
x 0 时，曲线上任一点处的发现都过原点，当 0 x 时，函数 y(x)满足
y y x 0 。求 y(x)的表达式。
（21）（本题满分 11 分）（I）证明拉格朗日中值定理：若函数 f (x) 在[a,b]上连续，在（a,b）
可导，则存在 (a,b) ，使得 f (b) f (a) f ( )(b a) 。（II）证明：若函数 f (x) 在 x=0
（A）
0 2 A
3B
0
（B）
0 3 A
2B
0
（C）
0 2B
3A
0
（D）
0 3B
2 A
0
100
（8）设
A，P
均为
3
阶矩阵，
PT
为
P
的转置矩阵，且
PT
AＰ＝
010
，若
002
P (1,2,3),Q (1 2,2,3) ，则 QT AQ 为（）
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tan
x)]
（16）（本题满分 10 分）计算不定积分 ln(1 1 x )dx(x 0)
x
（17）（本题满分 10 分）设 z f (x y, x y, xy) ，其中 f 具有 2 阶连续偏导数，求 dz 与
2z xy
（18）（本题满分 10 分）设非负函数 y=y(x)(x 0)，满足微分方程 xy y 2 0 ，当曲线
（23）（本题满分 11 分）设二次型 f (x1, x2, x3) ax12 ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3
（I）求二次型 f 的矩阵的所有特征值；（II）若二次型 f 的规范形为 y12 y22 ，求 a 的值。
2009—数二真题、标准答案及解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-= （3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.（6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫ ⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭ ()C .**32O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭()D .**23O A BO ⎛⎫⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，TP 为P 的转置矩阵，且100010002T P AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . （10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = . （11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.（12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 .(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.（16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. （17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy =+-，其中f 具有2阶连续偏导数，求dz 与2z x y∂∂∂.（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x = ()0x ≥满足微分方程20xy y '''-+=，当曲线()y y x = 过原点时，其与直线1x =及0y =围成平面区域D 的面积为2，求D 绕y 轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+-（Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）函数()3sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（ ）()A 1.()B 2. ()C 3.()D 无穷多个.【答案】C 【解析】()3s i n x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±320032113211131lim lim sin cos 132lim lim sin cos 132lim lim sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππππ→→→→→-→---==--==--== 故可去间断点为3个，即0,1±（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与()()2ln 1g x x bx =-是等价无穷小，则（ ）()A 11,6a b ==-. ()B 11,6a b ==. ()C 11,6a b =-=-. ()D 11,6a b =-=. 【答案】A【解析】2()sin ,()(1)f x x ax g x x ln bx =-=-为等价无穷小，则222200000()sin sin 1cos sin lim lim lim lim lim ()ln(1)()36x x x x x f x x ax x ax a ax a axg x x bx x bx bx bx→→→→→---==-⋅---洛洛230sin lim 166x a ax a b b axa→==-=-⋅ 36a b ∴=- 故排除,B C . 另外201cos lim3x a axbx→--存在，蕴含了1cos 0a ax -→()0x →故 1.a =排除D .所以本题选A.（3）设函数(),z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点()0,0（ ）()A 不是(),f x y 的连续点. ()B 不是(),f x y 的极值点. ()C 是(),f x y 的极大值点. ()D 是(),f x y 的极小值点.【答案】 D【解析】因dz xdx ydy =+可得,z zx y x y∂∂==∂∂ 2222221,0,1z z z zA B C x x y y x y∂∂∂∂== === ==∂∂∂∂∂∂又在（0，0）处，0,0z zx y∂∂==∂∂ 210AC B -=>故（0，0）为函数(,)z f x y =的一个极小值点.（4）设函数(),f x y 连续，则()()222411,,yxydx f x y dy dy f x y dx -+=⎰⎰⎰⎰（ ）()A ()2411,xdx f x y dy -⎰⎰. ()B ()241,xxdx f x y dy -⎰⎰.()C ()2411,ydy f x y dx -⎰⎰.()D .()221,y dy f x y dx ⎰⎰【答案】C 【解析】222211(,)(,)xxdx f x y dy dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分区域为两部分：{}1(,)12,2D x y x x y =≤≤≤≤，{}2(,)12,4D x y y y x y =≤≤≤≤-将其写成一块{}(,)12,14D x y y x y =≤≤≤≤- 故二重积分可以表示为2411(,)ydy f x y dx -⎰⎰，故答案为C.（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点()1,1上的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间()1,2内（ ）()A 有极值点，无零点. ()B 无极值点，有零点.()C 有极值点，有零点. ()D 无极值点，无零点.【答案】 B【解析】由题意可知，()f x 是一个凸函数，即''()0f x <，且在点(1,1)处的曲率322|''|(1('))y y ρ==+而'(1)1f =-，由此可得，''(1)2f =-在[1,2] 上，'()'(1)10f x f ≤=-<，即()f x 单调减少，没有极值点. 对于(2)(1)'()1(1,2)f f f ζζ-=<- , ∈ ， （拉格朗日中值定理）(2)0f ∴ <而 (1)10f =>由零点定理知，在[1,2] 上，()f x 有零点. 故应选（B ）. （6）设函数()y f x =在区间[]1,3-上的图形为则函数()()0x F x f t dt =⎰的图形为（ ）()A .()B .()C .()D .【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()y f x =的图形可见，其图像与x 轴及y 轴、0x x =所围的图形的代数面积为所求函数()F x ，从而可得出几个方面的特征： ①[]0,1x ∈时，()0F x ≤，且单调递减. ②[]1,2x ∈时，()F x 单调递增. ③[]2,3x ∈时，()F x 为常函数.④[]1,0x ∈-时，()0F x ≤为线性函数，单调递增. ⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D .（7）设A ，B 均为2阶矩阵，**A B ，分别为A ，B 的伴随矩阵.若23A B ==，，则分块矩阵O A B O ⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为（ ）()A .**32O B A O ⎛⎫⎪⎝⎭()B .**23OB A O ⎛⎫⎪⎝⎭()C .**32O A BO ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D .**23OA B O ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】 B【解析】根据CC C E *=若111,C C C CC C*--*==分块矩阵00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的行列式22012360A AB B ⨯=-=⨯=（）即分块矩阵可逆11110066000100B BA A AB B BBAA A **---*⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭10023613002B B AA ****⎛⎫ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭（8）设A P ，均为3阶矩阵，T P 为P 的转置矩阵，且100010002TP AP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若1231223P Q ααααααα==+（，，），（，，），则TQ AQ 为（ ）()A .210110002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()B .110120002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()C .200010002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭()D .100020002⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭【答案】 A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001Q E αααααααααα⎡⎤⎢⎥=+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002T T TT T Q PE Q AQ PE A PE E P AP E E E ===⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线2221-x=0ln(2)u t e du y t t -⎧⎪⎨⎪=-⎩⎰在（0，0）处的切线方程为 . 【答案】2y x =【解析】221222ln(2)22t dy t t t t dt t ==--⋅=--2(1)1(1)1t t dxe dt --==⋅-=- 所以 2dydx=所以 切线方程为2y x =.（10）已知+1k xe dx ∞=-∞⎰,则k = . 【答案】2-【解析】1122lim bk xkxkxb e dx e dx e k +∞+∞-∞→+∞===⎰⎰因为极限存在所以0k <210k =-2k =-（11）1n lime sin x nxdx -→∞=⎰.【答案】0 【解析】令sin sin cos xx x n I enxdx e nx n e nxdx ---==-+⎰⎰2sin cos x x n e nx ne nx n I --=---所以2cos sin 1xn n nx nx I e C n -+=-++即11020cos sin lim sin lim()1xx n n n nx nx e nxdx e n --→∞→∞+=-+⎰ 122cos sin lim()110n n n n ne n n -→∞+=-+++= （12）设()y y x =是由方程xy 1ye x +=+确定的隐函数，则22x yx=∂=∂ .【答案】3-【解析】对方程xy 1ye x +=+两边关于x 求导有''1y y xy y e ++=，得'1yyy x e-=+ 对''1yy xy y e ++=再次求导可得''''''22()0y yy xy y e y e +++=，得''2''2()yyy y e y x e +=-+ (*)当0x =时，0y =，'(0)0101y e-==，代入(*)得 ''20''032(0)((0))(0)(21)3(0)y y e y e +=-=-+=-+（13）函数2xy x =在区间(]01，上的最小值为 .【答案】2ee-【解析】因为()22ln 2xy xx '=+，令0y '=得驻点为1x e=. 又()22222ln 2xxy x x x x ''=++⋅，得21120e y e e -+⎛⎫''=> ⎪⎝⎭，故1x e=为2xy x =的极小值点，此时2e y e -=，又当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0y x '<；1,1x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0y x '>，故y 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增.而()11y =，()()002022ln limlim11lim 222ln 00lim lim 1x x x xx x xx xxx x x y x e eee++→→+→++--+→→======，所以2xy x =在区间(]01，上的最小值为21e y e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭.(14)设αβ，为3维列向量，T β为β的转置，若矩阵Tαβ相似于200000000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则T =βα .【答案】2【解析】因为T αβ相似于200000000⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T αβ得特征值是2,0,0而Tβα是一个常数，是矩阵Tαβ的对角元素之和，则T2002βα=++=三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限()[]401cos ln(1tan )limsin x x x x x→--+.【解析】()[][]244001ln(1tan )1cos ln(1tan )2lim limsin sin x x x x x x x x x x→→-+--+= 22201ln(1tan )lim 2sin sin x x x x x x →-+=201ln(1tan )1lim 2sin 4x x x x →-+== （16）（本题满分10 分）计算不定积分ln(1dx +⎰(0)x >. 【解析】t =得22212,1(1)tdtx dx t t -= =--2221ln(1ln(1)1ln(1)11111dx t d t t dt t t t +=+-+=---+⎰⎰⎰而22111112()11411(1)111ln(1)ln(1)2441dt dtt t t t t t t C t =---+-++--++++⎰⎰所以2ln(1)111ln(1ln1412(1)1ln(1211ln(122t tdx Ct t tx Cx x C+++=+-+--+=++-=+++⎰（17）（本题满分10分）设(),,z f x y x y xy=+-，其中f具有2阶连续偏导数，求dz与2zx y∂∂∂.【解析】123123zf f yfxzf f xfy∂'''=++∂∂'''=-+∂12312321112132122233313233 31122331323()()1(1)1(1)[1(1)]()()z zdz dx dyx yf f yf dx f f xf dyzf f f x f f f x f y f f f xx yf f f xyf x y f x y f∂∂∴=+∂∂''''''=+++-+∂''''''''''''''''''' =⋅+⋅-+⋅+⋅+⋅-+⋅++⋅+⋅-+⋅∂∂'''''''''''=+-++++-（18）（本题满分10分）设非负函数()y y x= ()0x≥满足微分方程20xy y'''-+=，当曲线()y y x= 过原点时，其与直线1x=及0y=围成平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积.【解析】解微分方程20xy y'''-+=得其通解212122,y C x C x C C=++其中，为任意常数又因为()y y x=通过原点时与直线1x=及0y=围成平面区域的面积为2，于是可得1C=111223222002()(2)()133C Cy x dx x C x dx x x==+=+=+⎰⎰从而23C=于是，所求非负函数223(0)y x x x=+ ≥又由223y x x=+ 可得，在第一象限曲线()y f x=表示为11)3x=（于是D围绕y轴旋转所得旋转体的体积为15V Vπ=-，其中5522100511)9(2393918V x dy dyy dyππππ==⋅=+-=⎰⎰⎰395117518186V ππππ=-==. （19）（本题满分10分）计算二重积分()Dx y dxdy -⎰⎰，其中()()(){}22,112,D x y x y y x =-+-≤≥.【解析】由22(1)(1)2x y -+-≤得2(sin cos )r θθ≤+，32(sin cos )4()(cos sin )04Dx y dxdy d r r rdr πθθθθθπ+∴-=-⎰⎰⎰⎰332(sin cos )14(cos sin )034r d πθθθθθπ⎡+⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎰ 2384(cos sin )(sin cos )(sin cos )34d πθθθθθθθπ=-⋅+⋅+⎰3384(cos sin )(sin cos )34d πθθθθθπ=-⋅+⎰3344438814(sin cos )(sin cos )(sin cos )3344d πππθθθθθθπ=++=⨯+⎰83=-.（20）（本题满分12分）设()y y x =是区间-ππ（，）内过点（的光滑曲线，当-0x π<<时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0x π≤<时，函数()y x 满足0y y x ''++=.求()y x 的表达式.【解析】由题意，当0x π-<<时，'x y y =-，即ydy xdx =-，得22y x c =-+，又(y =代入22y x c =-+得2c π=，从而有222x y π+=当0x π≤<时，''0y y x ++=得 ''0y y += 的通解为*12cos sin y c x c x =+令解为1y Ax b =+，则有00Ax b x +++=，得1,0A b =-=， 故1y x =-，得''0y y x ++=的通解为12cos sin y c x c x x =+- 由于()y y x =是(,)ππ-内的光滑曲线，故y 在0x =处连续于是由1(0),(0)y y c π-=± += ，故1c π=±时，()y y x =在0x =处连续 又当 0x π-<<时，有22'0x y y +⋅=，得'(0)0xy y-=-=， 当0x π≤<时，有12'sin cos 1y c x c x =-+-，得2'(0)1y c +=- 由'(0)'(0)y y -+=得210c -=，即 21c =故 ()y y x =的表达式为0cos sin ,0x y x x x x πππ⎧-<<=⎨-+-≤<⎪⎩或0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩，又过点,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0cos sin ,0x y x x x x πππ-<<=+-≤<⎪⎩.（21）（本题满分11分）（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 可导，则存在(),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-；（Ⅱ）证明：若函数()f x 在0x =处连续，在()()0,0δδ>内可导，且()0lim x f x A +→'=，则()0f +'存在，且()0f A +'=.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()f b f a x f x f a x a b aϕ-=----，易验证()x ϕ满足：()()a b ϕϕ=；()x ϕ在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，且''()()()()f b f a x f x b aϕ-=--.根据罗尔定理，可得在(),a b 内至少有一点ξ，使'()0ϕξ=，即'()f ξ'()()0,()()()()f b f a f b f a f b a b aξ--=∴-=--（Ⅱ）任取0(0,)x δ∈，则函数()f x 满足；在闭区间[]00,x 上连续，开区间()00,x 内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在()()000,0,x x ξδ∈⊂，使得()0'00()(0)x f x f fx ξ-=-……()*又由于()'lim x f x A +→=，对上式（*式）两边取00x +→时的极限可得：()()000000'''0000()00lim lim ()lim ()0x x x x x f x f f f f A x ξξξ++++→→→-====- 故'(0)f +存在，且'(0)f A +=.（22）（本题满分11分设111111042A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，1112ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（Ⅰ）求满足22131,A A ξξξξ==的所有向量23,ξξ；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量23,ξξ，证明：123,,ξξξ线性无关. 【解析】（Ⅰ）解方程21A ξξ=()1111111111111,111100000211042202110000A ξ---------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2r A =故有一个自由变量，令32x =，由0Ax =解得，211,1x x =-= 求特解，令120x x ==，得31x =故21101021k ξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中1k 为任意常数解方程231A ξξ=2220220440A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭()21111022012,2201000044020000A ξ-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭故有两个自由变量，令21x =-，由20A x =得131,0x x ==求特解21200η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭故 321121000k ξ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭ ，其中2k 为任意常数.（Ⅱ）证明：由于12121212122111121112(21)()2()(21)22221k k k k k k k k k k k k k -+--=+++-+-+-+102=≠ 故123,,ξξξ 线性无关.（23）（本题满分11分）设二次型()()2221231231323,,122f x x x ax ax a x x x x x =++-+- （Ⅰ）求二次型f 的矩阵的所有特征值；（Ⅱ）若二次型f 的规范形为2212y y +，求a 的值.【解析】（Ⅰ） 0101111a A aa ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭0110||01()1111111aaaE A aa a a λλλλλλλλ-----=-=---+---+222()[()(1)1][0()]()[()(1)2]()[22]19(){[(12)]}24()(2)(1)a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ=---+--+-=---+-=--++--=-+--=--+--123,2,1a a a λλλ∴==-=+（Ⅱ） 若规范形为2212y y +，说明有两个特征值为正，一个为0.则1) 若10a λ==，则 220λ=-< ，31λ= ，不符题意 2) 若20λ= ，即2a =，则120λ=>，330λ=>，符合3) 若30λ= ，即1a =-，则110λ=-< ，230λ=-<，不符题意 综上所述，故2a =.。
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f (2) f (1) f ( ) 1 (1,2) .
由于 f (1) 1 ,所以 f (2) f ( ) f (1) 1 1 0 ,由零点定理知,在区间 1, 2 内 f ( x )
-2-
有零点.故应选(B). (6) 【答案】(D) 【解析】此题为定积分的应用知识考核,由 y f ( x ) 的图形可以看出,其图像与 x 轴及 y 轴、
b
ekx dx
2 lim
1 kx 1 2 e 2 lim ekb 1 , b k b k k 0
因为极限存在,所以 k 0 .因此,
2 lim
(11) 【答案】0 【解析】令 I n
b
1 kb 2 2 e 1 k 2 . k k k
故可去间断点为 3 个,即 x1,2,3 0, 1 . (2) 【答案】(A) 【解析】 f x x sin ax 与 g x x ln 1 bx 是 x 0 时的等价无穷小,则
2
lim
x 0
f ( x) x sin ax x sin ax lim 2 等 lim 2 x 0 x 0 g ( x) x ln(1 bx) x (bx) x sin ax 1 a cos ax a 2 sin ax lim 洛 lim 洛 lim x 0 x 0 x 0 bx3 3bx 2 6bx 3 3 a sin ax a lim 1, x 0 6b 6b ax
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的, 把所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 【答案】(C) 【解析】由于 f x
x x3 ,则当 x 取任何整数时, f x 均无意义,故 f x 的间断点有无 sin x
当 t 1 时, x 0, y 0 , (10) 【答案】 2 【解析】
dy dx dy 2, 1 ,所以 2 ,切线方程为 y 2 x . dt t 1 dt t 1 dx t 1
e dx 2 ekx dx 2 lim
kx 0
b
b 0
2
1
dy
4 y
1
f ( x, y )dx ,故答案为(C).
K
| y | (1 ( y) )
3 2 2
1 . 2
曲率圆 x 2 y 2 2 两边对 x 求导,可得
x 2 x 2 y y 0 y , y (1) 1 . y
由于曲率圆与曲线在一点处有相同的切线和曲率,所以 f (1) 1 .由此可得, f (1) 2 . 在 [1,2] 上,由于 f ( x ) 0 ,所以 f ( x ) 单调减少,且 f ( x) f (1) 1 0 ,即在 [1,2] 上没有极值点. 在 [1,2] 上应用拉格朗日中值定理,可得
1 e
1 e
1 e
1 e
-5-
而
y 1 1,
2ln x x0 1 x lim lim 2 x 1 x2
y 0 lim x lim e
2x x 0 x 0
2 x ln x
e
e
x0
e x0
lim 2 x
将其写成一块
D ( x, y) 1 y 2,1 x 4 y ,
故二重积分可以表示为 (5) 【答案】(B) 【解析】由于曲率圆与曲线在一点邻近有相同的凹向,而曲率圆 x 2 y 2 2 在点 1,1 邻近 是凸的,所以曲线 f ( x ) 在点 1,1 邻近也是凸的.又由于 f x 不变号,所以 f ( x ) 是一个凸 函数,即 f ( x ) 0 ,且在点 (1,1) 处的曲率
故答案为(B). (8) 【答案】(A)
1
2 B . O
1 0 0 1 0 0 【解析】 Q (1 2 , 2 , 3 ) (1 , 2 , 3 ) 1 1 0 P 1 1 0 , 0 0 1 0 0 1
【解析】对 y x2 x 两边取对数,有 ln y 2 x ln x ,两边求导得
1 y 2 ln x 2 y y (2 ln x 2) x 2 x (2 ln x 2) . y
令 y 0 得驻点为 x
1 . e
对 y y (2 ln x 2) 两边求导,得
3 即 acos ax 存在,蕴含了 1 a cos ax 0 x 0 ,故 a 1, 排除 D. x 0 3bx 2
所以本题选 A. (3) 【答案】(D) 【解析】由 dz xdx ydy 可得
z z x, y , x y
2
1
1
所以
In
e 1 sin n ne 1 cos n n . n2 1
-4-
lim e x sin nxdx lim
n 0
1
e1 sin n ne1 cos n n n n2 1 n sin n n cos n 1 lim e 2 0. 2 n n 1 n 1
x x0 所围的图形的代数面积为所求函数 F ( x ) ,从而可得出下面几个方面的特征：
① x 1,0 时, F ( x) 0 为线性函数,单调递增； ② x 0,1 时, F ( x) 0 ,且单调递减； ③ x 1, 2 时, F ( x ) 单调递增； ④ x 2,3 时, F ( x ) 为常函数； ⑤ F ( x ) 为连续函数. 结合这些特点,可见正确选项为(D). (7) 【答案】(B) 【解析】分块矩阵
4 y y
2
1
dx f x, y dy dy
x 1
2
2
f x, y dx 的积分区域为两部分：
D1 ( x, y ) 1 x 2, x y 2 ( x, y ) 1 y 2,1 x y , D2 ( x, y ) 1 y 2, y x 4 y ,
e
0
1
x
sin nxdx ,则
1 1 0 0
I n e x sin nxdx e x sin nx n e x cos nxdx
1 0
e 1 sin n ne x cos nx n 2 e x sin nxdx
0 0
1
1
e sin n ne cos n n n I n ,
A
2 z 2 z 2 z 2 z 1, B 0, C 1. x 2 xy yx y 2
-1-
又在 0, 0 处,
z z 0, 0 , AC B 2 1 0 , x y
故 0, 0 为函数 z f ( x, y ) 的一个极小值点. (4) 【答案】(C) 【解析】
二、填空题：9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.
【解析】
dy 2t 2t 3 2 2t ln(2 t 2 ) t 2 2 t ln(2 t ) , dt 2 t2 2 t2
2 2 dx e (1t ) (1) e (1t ) , dt
1,
1 所以 y x 在区间 0， 1 上的最小值为 y e e . e
2x
2
(14) 【答案】 2
2 0 0 【解析】 因为 相似于 0 0 0 ,根据相似矩阵有相同的特征值,得到 T 的特征值是 2, 0, 0 ,而 T 0 0 0
y y(2 ln x 2) y
1 1 y 2e e 0 , e 2
2 2 2 x 2 x 2 ln x 2 x 2 x , x x
故x
1 为 y x 2 x 的极小值点,此时 y e e . e
2
又当 x 0, 时, y x 0 ； x ,1 时, y x 0 ,故 y 在 0, 上递减,在 ,1 上递增.
-3-
1 0 0 T Q AQ P 1 1 0 0 0 1 1 1 01 0 1 00 0 0 10
(9) 【答案】 y 2 x
T
1 0 0 A P 1 1 0 0 0 1 0 01 0 0 2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 . 0 2 0 0 1 0 0 2
T
是一个常数,是矩阵 T 的对角元素之和,则 T 2 0 0 2 .
三、解答题：15－23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. (15)(本题满分 9 分) 【解析】
lim
x 0
1 cos x x ln(1 tan x)
3 穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是 x x 0 的解 x1,2,3 0, 1 .
x x3 1 3x 2 1 lim , x 0 sin x x 0 cos x 3 2 xx 1 3x 2 lim lim , x 1 sin x x 1 cos x 3 2 xx 1 3x 2 lim lim . x 1 sin x x 1 cos x lim
O A 的行列式 B O A