专题12 导数与函数的单调性--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】

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专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)

专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间万能模板内容使用场景知函数()f x 的解析式判断函数的单调性解题模板第一步计算函数()f x 的定义域；第二步求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二判定含参数的函数的单调性万能模板内容使用场景函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0；第三步根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三由函数单调性求参数取值范围万能模板内容使用场景由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步根据题意转化为相应的恒成立问题；第三步得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间；（2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性；（2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间；（2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（）（1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数．（1）若，证明：在单调递增；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数．（1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数．（1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证有三个零点．【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围；（2）当时，证明：函数有且仅有3个零点．【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。

专题12 利用导数解决函数的单调性

专题12导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间例1已知函数()ln xf x e=.（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【解析】（1）当1a =时，()ln 1xx f x e+=，第一步，计算函数()f x 的定义域：()0,+∞.第二步，求出函数()f x 的导函数'()f x ：()1ln 1xx x f x e --'=第三步，令()1ln 1g x x x=--，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g =所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减.故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞【变式演练1】函数()2sin sin 2f x x x =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________．【答案】(0,)3π；（区间两端开闭都可以）【分析】利用三角恒等变换得32sin y =，再利用换元法设sin [0,1]t x =∈，利用导数和复合函数的单调性解不等式0sin x <<，即可得到答案；【详解】令223sin sin 22sin cos sin 2sin y x x x x x =⋅=⋅=，设sin [0,1]t x =∈，则3()2h t t =，∴()'362h t tt ='，2242246122346t t t t t t---=，[0.1)t∈，∴()002h t t >⇒<<'，∴0sin 03x x π<<<<，∴()f x 在区间(0,)3π单调递增.故答案为：(0,)3π.【点睛】本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.【变式演练2】已知函数()()2ln 1x xf x x e e -=+++，则不等式()()2210f x f x --+≤的解集为___________.【答案】(]1,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数()f x 的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因为()()2ln 1x xf x x e e -=+++，x ∈R ，所以()()()2ln 1x xf x x e e f x -+-=++=，所以()f x 是偶函数.因为()22222111x x xx x x e f x e e x x e-'==++-+-+当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递减.所以()()2210f x f x --+≤，即()()221f x f x -≤+，所以221x x -≤+，即23830x x +-≥，解得3x ≤-或13x ≥.故答案为：(]1,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.【变式演练3】已知函数()2sin f x x x =-+，若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <>，得到()22(log 7)(f f f >>，进而得到2(2)(log 7)(f f f -->>，即可得到答案.【详解】由题意，函数()2sin f x x x =-+的定义域为R ，且()2()sin()2sin ()f x x x x x f x -=-⋅-+-=-=-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是R 上的奇函数，又由()2cos 0f x x '=-+<，所以函数()f x 为R 上的单调递减函数，又因为133>=，22log 7log 42>=且22log 7log 83<=，即22log 73<<，所以2log 72>>，可得()22(log 7)(f f f >>，又由函数()f x 是R 上的奇函数，可得()(2)2f f --=，所以2(2)(log 7)(f f f -->>，即a c b <<.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及指数函数与对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的基本性质，结合指数函数与对数函数的性质求得自变量的大小关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【变式演练4】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211xf x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e=，利用导数分析出函数()y g x =在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，并推导出函数()()x f x g x e=的图象关于直线1x =-对称，进而可判断出各选项的正误.【详解】构造函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，当1x ≠-时，()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦.当1x >-时，则()()0f x f x '->，()0g x '<；当1x <-时，则()()0f x f x '-<，()0g x '>.所以，函数()()xf xg x e=在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减.又()()211xf x f x e-+=--，所以()()1111xxf x f x ee-+---+--=，即()()11g x g x -+=--，故函数()()x f x g x e=的图象关于直线1x =-对称．对于A 选项，()()10g g ->，即()()10ef f ->，()1f -与()0f 的大小关系不确定，A 选项错误；对于B 选项，()()21g g -<-，即()()221e f ef -<-，即()()21ef f -<-，B 选项正确；对于C 、D 选项，()()20g g -=，即()()220e f f -=，C 、D 选项错误.故选：B ．【点睛】本题考查利用构造函数法判断函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查推理能力，属于难题.类型二判定含参数的函数的单调性例2已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：()2122122(0)'x ax x x x xf a x -+=+-=>，记()2221g x x ax =-+.第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0：当0a ≤时，因为0x >，所以()1g x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <≤时，因为()2420a ∆=-≤，所以()0g x ≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，由()00x g x >⎧⎨>⎩，解得22,22a a x ⎛+∈⎪⎝⎭，第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：所以函数()f x 在区间22,22a a ⎛-+⎝⎭上单调递减，在区间20,2a ⎛- ⎪⎝⎭和22a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.【变式演练5】（主导函数是一次型函数）已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；【解析】（1）因为()ln (0)f x x ax x =->，所以11()'-=-=ax f x a x x，当0a时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令()0f x '>，即10ax ->，解得10x a<<；令()0f x '<，即10ax -<，解得1x a>，综上所述：当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.【变式演练6】（主导函数为类一次型）已知函数()xf x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【解析】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为R ，且()xf x a e -'=-.①当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，可得ln x a <-；令()0f x '>，可得ln x a >-.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）函数()2ln a f x x a x x =--的定义域为()0,∞+，()222221a a x ax af x x x x-+'=+-=.令()22g x x ax a =-+，244a a ∆=-.①当2440a a ∆=-≤时，即当01a ≤≤时，对任意的0x >，()0g x ≥，则()0f x '≥，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当2440a a ∆=->时，即当1a >时，方程()0g x =有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x <，令220x ax a -+=，解得10x a =>，20x a =+>.解不等式()0f x '<，可得a x a <<+解不等式()0f x '>，可得0x a <<-或x a >+此时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a ，()a ++∞，单调递减区间为(a a -+.综上所述，当01a ≤≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a ，()a ++∞，单调递减区间为(a a -+；【变式演练8】（主导函数是类二次型）已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【解析】（1）()2(2)x x f x kxe x x ke '=-=-，当0k ≤时20x ke -<，令'()0f x >得0x <，令'()0f x <得0x >，故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，当02k <≤时，令'()0f x =得0x =，或2ln 0x k=≥，当02k <<时2ln0k >，当'()0f x >时2ln x k >或0x <；当'()0f x >时20ln x k <<；()f x 的单调递增区间为()2,0,ln ,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.当2k =时2ln0k=，当0x >时'()0f x >；当0x <时'()0f x >；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；【变式演练9】已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,1【答案】A 【分析】利用导数求出函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，进而可得出()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为()22ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，()14f x x x'=-，由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，所以12122m mm +>⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114m ≤<.因此，实数m 的取值范围是1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：A.【点睛】方法点睛：利用函数()f x 在区间D 上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：（1）区间D 为函数()f x 单调递增区间的子集；（2）对任意的x D ∈，()0f x '≥恒成立.同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.类型三由函数单调性求参数取值范围例3．若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】第一步：计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：因为()()21ln 242f x x b x =-++，故可得()2b f x x x '=-++，第二步根据题意转化为相应的恒成立问题：因为()f x 在区间()2,-+∞是减函数，故02bx x -+≤+在区间()2,-+∞上恒成立.因为20x +>，故上式可整理化简为()2b x x ≤+在区间()2,-+∞上恒成立，因为()2y x x =+在区间()2,-+∞上的最小值为1-，第三步得出结论：故只需b ≤-1.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18【答案】B 【解析】【分析】由函数()()22xf x exax b =-++在()1,1-上单调递增得：()2402a x a b x -+-++≥在()1,1-上恒成立，转化成26020a b b +-≥⎧⎨+≥⎩，结合线性规划知识求解即可【详解】因为函数()()22xf x e xax b =-++在()1,1-上单调递增，所以()()()()22''22'xx f x ex ax b e x ax b =-+++-++=()2402x a x a b e x ⎡⎤+-++≥⎣⎦-在()1,1-上恒成立．又0x e >，所以()2402a x a b x -+-++≥在()1,1-上恒成立．记()()224g x a x x a b -=+-++，则()()()()12401240g a a b g a a b ⎧-=---++≥⎪⎨=-+-++≥⎪⎩，整理得：26020a b b +-≥⎧⎨+≥⎩，把横坐标看作a 轴，纵坐标看作b 轴，作出不等式组表示的区域如下图，令2816a z b =++，则2288a z b =-+-，抛物线28a b =-恰好过图中点()4,2G -，由线性规划知识可得：当抛物线2288a zb =-+-过点()4,2G -时，28z -最小，此时z 取得最小值．所以()2min 4821616z =+⨯-+=故选B【点睛】本题主要考查了单调性与导数的关系，还考查了恒成立问题及线性规划求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题．【变式演练12】（转化为变号零点）已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【答案】D【解析】【分析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a x a f x x x x-'=-=，根据题意可得到，12<<，从而可得答案．【详解】解：函数2()1f x x alnx =-+，定义域{|0}x x >，∴22()2a x a f x x x x-'=-=，当0a时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，当0a >时，在⎫+∞⎪⎪⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在⎛ ⎝上，()0f x '<，()f x 单调递减，函数2()1f x x alnx =-+在(1,2)内不是单调函数，12∴<<，28a ∴<<，故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到02a -是关键，也是难点所在，属于中档题．【变式演练13】（直接给给定单调区间）已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的单调区间，得到导函数()'fx 的零点，结合根与系数关系，求得m n +的值.【详解】依题意()'22f x x mx n =++，由于函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，所以3x =-，1x =是()'22fx x mx n =++的两个零点，所以3121313m m n n -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨-⨯==-⎩⎩，所以2m n +=-.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.【变式演练14】（转化为存在型恒成立）若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是()A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【答案】D【解析】【分析】f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.【详解】f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间,只需()f x '>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴为12x =,故()f x '在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.。

导数与函数的单调性+课件-2024届高考数学一轮复习

间为（－∞，＋∞）.
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[变式演练]
1. 若函数 f （ x ）＝ ax 3＋（ a －1） x －1（ a ＞0）且 f （ x ）的单调减区
间为（－1，1），则 a ＝

.
⁠
解：由题意，得f'（ x ）＝3 ax 2＋ a －1＜0的解集为（－1，1），则
−

－1×1＝
，解得 a ＝ .
（4） “已知含参函数 f （ x ）在给定区间上不单调，求参数的取值范
围”，通常先将其转化为求函数在给定区间上单调时，参数的取值集
合，再取目录
考向2 证明或讨论函数的单调性
例3 （1）（2022·北京卷改编）已知函数 f （ x ）＝e x ln（1＋
2）e x ＋ a ＝（2e x － a ）（e x －1）（ a ∈R）.当 a ＞2时，令f'（ x ）＞

x
x
0，即（2e － a ）·（e －1）＞0，解得 x ＞ln 或 x ＜0；令f'（ x ）＜

x
x
0，即（2e － a ）（e －1）＜0，解得0＜ x ＜ln ，所以函数 f （ x ）在

数 f （ x ）在区间[1，4]上单调递增，则f'（ x ）≥0在区间[1，4]上恒成

立，即易得 a ≤（－）min＝－1.所以 a ≤－1.因为函数 f （ x ）在区

间[1，4]上不单调，且 a ≠0，所以实数 a 的取值范围是（－1，－）.

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总结提炼
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4. （多选）（RA选二P87练习第3题改编）如图所示为函数 f （ x ）的导

考点17导数与函数的单调性(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点17导数与函数的单调性（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用【知识点】1．函数的单调性与导数的关系条件恒有结论f ′(x )>0f (x )在区间(a ，b )上________f ′(x )<0f (x )在区间(a ，b )上________函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＝0f (x )在区间(a ，b )上是________2.利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的；第2步，求出导数f ′(x )的；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．常用结论1．若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．2．若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则当x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解【核心题型】题型一　不含参函数的单调性确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则()f x 的单调递增区间为（）A ．()2,3B ．()3,4C ．(),3-¥D ．()3,+¥【变式1】（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为（）A ．(),e -¥-B ．()e,0-C ．(),0¥-D ．()1,0-【变式2】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数()f x 的导函数为()f x ¢，若当0x <时()2af x x x=-，且()10f ¢-=.则()f x 的单调增区间为 .【变式3】（2024·河南开封·三模）已知函数()33ln f x x x =-，()f x ¢为()f x 的导函数．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)求函数()()()9g x f x f x x¢=--的单调区间和极值．题型二　含参数的函数的单调性(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点【例题2】（多选）（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数()322f x x ax x=++（R a Î）的大致图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【变式1】（2024·天津·二模）已知()()ln R f x x ax x a =+×Î，(1)当2a =时，求()f x 在点()()e e f ，处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若函数()f x 存在极大值，且极大值为1，求证：()2e xf x x -£+．【变式2】（2024·陕西商洛·三模）已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =--ÎR ．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0a >时，若函数()2e e 2x x g x a =+和()22h x a x =的图象在()0,1上有交点，求实数a 的取值范围．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()(2)ln f x a x a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()9ln f x a >．（参考数据：ln 20.693»）题型三　函数单调性的应用由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)函数在区间(a ，b )上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立．(2)函数在区间(a ，b )上存在单调区间，实际上就是f ′(x )>0 (或f ′(x )<0)在该区间上存在解集命题点1　比较大小或解不等式【例题3】（2024·四川成都·模拟预测）若函数()f x 对任意的x ÎR 都有()()f x f x ¢<恒成立，则2(2)f 与2e (ln 2)f 的大小关系正确的是（）A ．2(2)f >2e (ln 2)fB ．2(2)f =2e (ln 2)fC ．2(2)f <2e (ln 2)f D ．无法比较大小【变式1】（2023·全国·模拟预测）比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c>>D ．a b c>>【变式2】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）已知函数()()21e ln 12xf x x a x =--+.(1)证明：当1a £时，()1f x ≥对[)0,x Î+¥恒成立.(2)若存在()1212,x x x x ¹，使得()()12f x f x =，比较()()1211x x ++与2e e a的大小，并说明理由.【变式3】（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数()()2ln 12x f x x =++.(1)当[)0,x Î+¥时，比较()f x 与x 的大小；(2)若函数()2cos 2x g x x =+，且()()2e 10,0a f g b a b æö=->>ç÷èø，证明：()()211f b g a +>+.命题点2　根据函数的单调性求参数【例题4】（2023·全国·模拟预测）若对任意的1x ，2(,)x m Î+¥，且12x x <，122121ln ln 2x x x x x x -<-，则实数m 的取值范围是（）A ．1,e e æöç÷èøB ．1,e e éùêúëûC ．1,e ¥éö+÷êëøD ．1,e æö+¥ç÷èø【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期中）设()0,1a Î，若函数()(1)x xf x a a =++在()0,¥+递增，则a 的取值范围是（）A．B．ö÷÷øC．ö÷÷øD．æççè【变式2】（多选）（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数()2ln f x x ax x =--，下列命题正确的是（）A ．若1x =是函数()f x 的极值点，则1a =B ．若()10f =，则()f x 在[]0,2x Î上的最小值为0C ．若()f x 在()1,2上单调递减，则1a ≥D ．若()()l ln x x f x -≥在[]1,2x Î上恒成立，则2a ≥【变式3】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数2()e 1x f x a x =+-在(0,)+¥上单调递增，则a 的取值范围是．【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·全国·高考真题）已知函数()e ln x f x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（）．A ．2e B ．eC ．1e -D ．2e -2．（23-24高三上·山西大同·阶段练习）设()af x x a x=-+在()1,+¥上为增函数，则实数a 取值范围是（）A ．[)0,¥+B ．[)1,+¥C ．[)2,-+¥D ．[)1,-+¥3．（2024·云南楚雄·一模）若a b >，则函数()2()y a x a x b =--的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数()()ln 224(0)f x x a x a a =+--+>，若有且只有两个整数12,x x 使得1()0>f x ，且2()0f x >，则实数a 的取值范围为（）A ．[ln 3,2)B ．(0,2ln 3]-C ．(0,2ln 3)-D ．[2ln 3,2)-5．（2024·全国·模拟预测）已知8sin 15a =，3ln 2b =，25c =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．c b a>>二、多选题6．（2023·全国·模拟预测）已知函数()33f x x x =-，则（）A ．函数()()()'g x f x f x =× 是偶函数B ．y x =-是曲线()y f x =的切线C ．存在正数(),a f x 在(),a a -不单调D ．对任意实数a ，()(f a f a £+7．（23-24高三上·江西宜春·期中）下列函数中，是奇函数且在区间()0,1上是减函数的是（）A ．()exf x =B ．()sin f x x =-C ．()1f x x=D ．3()2f x x x=-三、填空题8．（2024·云南大理·模拟预测）函数()12ln f x x x =--的最大值为.9．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2e e e x x x g x x x =--，若方程()g x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .四、解答题10．（2024·江西南昌·一模）已知函数()()2ln2ln f x x x x =+-.(1)求()f x 的单调递减区间；(2)求()f x 的最大值.11．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2ln f x ax x x =--．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.综合提升练一、单选题1．（2023·贵州毕节·一模）给出下列命题：①函数2()2x f x x =-恰有两个零点；②若函数()4a af x x x =-+在(1,)+¥上单调递增，则实数a 的取值范围是[1,)-+¥；③若函数()f x 满足()(1)4f x f x +-=，则12918101010f f f æöæöæö+++=ç÷ç÷ç÷èøèøèøL ；④若关于x 的方程20x m -=有解，则实数m 的取值范围是(0,1].其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．③④D ．②③2．（2023·江西·模拟预测）已知函数()32f x ax bx cx d =+++的大致图象如图所示，则（）A ．0,0,0a b c >><<C ．0,0,0a b c ><>D ．a 0,b 0,c 0<>>3．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()()()1e x f x x a =-+在区间()1,1-上单调递增，则a 的最小值为（）A ．1e -B ．2e -C ．eD ．2e 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()4e e 2e x x xf x x =--，()f x ¢为()f x 的导函数，()()e xf xg x ¢=，则（）A ．()g x 的极大值为24e 2-，无极小值B ．()g x 的极小值为24e 2-，无极大值C ．()g x 的极大值为4ln22-，无极小值D ．()g x 的极小值为4ln22-，无极大值5．（2024·全国·模拟预测）已知13,,ln2e 14a b c ===-，则它们之间的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b<<D ．c b a<<6．（2023·贵州遵义·模拟预测）若函数()2e x axf x -=在区间()1,3上单调递增，则a 的可能取值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．（2024·全国·模拟预测）若22ln 2e a -=，12e b =，ln 24c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（）A ．a c b<<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c<<8．（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数()e ln xf x a x =-有两个大于1的零点，则a 的取值范围可以是（）A ．(]0,1B ．1e 1,e æùçúèûC ．1ee ,e æùçúèûD ．)e 12e e ,e +éë二、多选题9．（22-23高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数21e 1xx y x -=×-，则（）A ．函数的极大值点为=0x B ．函数的极小值点为=0x C ．函数在(1,)+¥上单调递增D ．函数在31,2æöç÷èø上单调递减10．（2023·云南昆明·模拟预测）已知函数3()f x x mx n =--，其中,m n ÎR ，下列选项中，能使函数()y f x =有且仅有一个零点的是（）A ．1m =-，1n =B ．0m =，1n =C ．3m =，2n =D ．3m =，3n =-11．（2023·山东泰安·一模）已知函数()()()ln f x x x ax a =-ÎR 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，则（）A ．102a <-D ．()10<f x ，()212f x >-三、填空题12．（2024·四川成都·三模）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()()1ln f x x x =-，则当0x <时，()f x 的单调递增区间为．13．（2023·湖南·模拟预测）已知函数()sin esin a xf x a x =-，对于任意12,x x ÎR ，都有()()12e 2f x f x -£-，则实数a 的取值范围为 .14．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数()()()222e 22e 0x xf x a x a x a =--->恰有两个零点，则=a .四、解答题15．（2024·全国·模拟预测）已知函数2()ln f x x ax bx =+-．(1)当1a =，3b =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在2x =处取得极值ln 2，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．16．（2024·全国·模拟预测）已知函数()2()e x f x a a x =+-．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当0a >时，()4ln 2f x a ≥+．17．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21ln 12f x x x a x =+++，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a <-时，()21a f x +>．18．（2024·青海·模拟预测）已知函数()()3211132f x x mx m x =+-+．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有3个不同的零点，求m 的取值范围．19．（2023·全国·模拟预测）已知函数()e xf x ax b =+-，其中e 为自然对数的底数．(1)若()f x 在区间(]1,2上不是单调函数，求a 的取值范围．(2)当0x ≥时，()2112f x x b ≥+-恒成立，求a 的取值范围．拓展冲刺练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）下列函数是奇函数且在()0,¥+上单调递减的是（）A ．()32xxf x -=+B ．()2222x xxxf x ---=+C ．()3f x x x=-D ．()(12log f x x =2．（2024·全国·模拟预测）已知函数()32()log 2(0a f x x ax x a a =-+->且1)a ¹在区间(1,)+¥上单调递减，则a 的取值范围是（）A ．20,3æùçúèûB ．2,13éö÷êëøC ．(1,2]D ．[2,)+¥3．（2024·甘肃兰州·三模）函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12æöç÷èø是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．(,2]-¥B ．(,2)-¥C ．(,3]-¥D ．(3),-¥4．（2024·全国·模拟预测）已知 2.012.0111110312,ln ,1001011021001015a b c æöæö=++==+ç÷ç÷èøèø，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<b c aD ．<<c a b二、多选题5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数()321f x x ax ax =+-+，则下列说法正确的是（）A ．若()f x 为R 上的单调函数，则3a <-B ．若2a =时，()f x 在()1,1-上有最小值，无最大值C ．若()1f x -为奇函数，则0a =D ．当0a =时，()f x 在1x =处的切线方程为310x y --=6．（2024·云南曲靖·一模）下列不等式正确的是（）A ．πe e π>B ．1ln 0.99-<C ．15sin 15<D ．11sin 3π<三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知1a >，0b >，1c >，且e e ln a b a b --==a ，b ，c 的大小关系为．（用“<”连接）8．（2023·安徽·二模）若不等式2ln 23x ax a -£-对(0,)"Î+¥x 恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题9．（2024·湖南衡阳·二模）已知函数()()321f x ax bx a =++ÎR ，当2x =时，()f x 取得极值3-．(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]1,3-上的最值．10．（2024·陕西西安·三模）已知函数1()ln ()m f x mx x m x-=--ÎR ，函数1π()ln ,[0,cos 2g x x x q q =+Î在区间[1,)+¥上为增函数．(1)确定q 的值，求3m =时曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)设函数()()()h x f x g x =-在,()0x Î+¥上是单调函数，求实数m 的取值范围．11．（2024·辽宁丹东·一模）已知函数()ln 1f x x mx =++．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1m =时，数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=①求证：12n n a -£；②求证：22223111(1)(1(1e na a a +++<L ．。

2023届高考数学导数满分通关：函数的单调性

专题04 函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f (x )在区间(a ，b )上可导，(1)如果f ′(x )＞0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增；(2)如果f ′(x )＜0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递减；(2)如果f ′(x )＝0，那么函数y ＝f (x )在(a ，b )内是常数函数．注意：1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．(1)在函数定义域内讨论导数的符号．(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．考点一不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性．【例题选讲】[例1](1)定义在[－2，2]上的函数f (x )与其导函数f ′(x )的图象如图所示，设O 为坐标原点，A ，B ，C ，D四点的横坐标依次为－12，－16，1，43，则函数y ＝f (x )e x 的单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫－16，43B ．⎝⎛⎭⎫－12，1C ．⎝⎛⎭⎫－12，－16 D ．(1，2) 答案 B 解析若虚线部分为函数y ＝f (x )的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x 轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数y ＝f (x )的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x 轴恰好也只有两个交点，符合题意．对函数y ＝f (x )e x 求导得y ′＝f ′(x )－f (x )e x，由y ′<0，得f ′(x )<f (x )，由图象可知，满足不等式f ′(x )<f (x )的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1，因此，函数y ＝f (x )e x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－12，1．故选B ． (2)已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可以是( )答案 C 解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f ′(x )的图象可知，原函数 f (x )先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C 符合题意，故选C ．(3)函数f (x )＝x 2＋x sin x 的图象大致为( )答案 A 解析函数f (x )＝x 2＋x sin x 的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )2＋(－x )sin(－x )＝x 2＋x sin x ＝ f (x )，即函数f (x )为偶函数．当x ＞0时，x ＋sin x ＞0，故f ′(x )＝x (1＋cos x )＋(x ＋sin x )＞0，即f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故选A ．(4)函数f (x )＝x ＋21－x 的单调递增区间是________；单调递减区间是________．答案 (－∞，0) (0，1) 解析 f (x )的定义域为{x |x ≤1}，f ′(x )＝1－11－x．令f ′(x )＝0，得x ＝0．当0<x <1时，f ′(x )<0．当x <0时，f ′(x )>0．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1)．(5)设函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2，则f (x )的单调递增区间是________，单调递减区间是________．答案 (－∞，－1)，(0，＋∞) [－1，0] 解析 ∵f (x )＝x (e x －1)－12x 2，∴f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x － 1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝0．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0．当x ∈[－1，0]时，f ′(x )≤0．当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0．故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在[－1，0]上单调递减．(6)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1) B ．(0，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 B 解析 y ＝12x 2－ln x ，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ＝(x －1)(x ＋1)x(x >0)．令y ′＜0，得0<x ＜1，∴递减区间为(0，1)．(7)设函数f (x )＝2(x 2－x )ln x －x 2＋2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 答案 B 解析由题意可得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(2x －1)ln x ＋2(x 2－x )·1x－2x ＋2＝(4x －2)ln x ．由f ′(x )＜0可得(4x －2)ln x ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＞0，ln x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧4x －2＜0，ln x ＞0，解得12＜x ＜1，故函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，1，选B ．(8)已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为．答案 ⎝⎛⎭⎫0，π6，⎝⎛⎭⎫5π6，π 解析 f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝π6或x ＝5π6，当0<x <π6时，f ′(x )>0，当π6<x <5π6时，f ′(x )<0，当5π6<x <π时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π6和⎝⎛⎭⎫5π6，π上单调递增，在⎝⎛⎭⎫π6，5π6上单调递减．(9)函数f (x )＝2|sin x |＋cos2x 在[－π2，π2]上的单调递增区间为( ) A ．[－π2，－π6]和[0，π6] B ．[－π6，0]和[π6，π2] C ．[－π2，－π6]和[π6，π2] D ．[－π6，π6] 答案 A 解析由题意，因为f (－x )＝2|sin(－x )|＋cos(－2x )＝2|sin x |＋cos2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，当0≤x ≤π2时，f (x )＝2sin x ＋cos2x ，则f ′(x )＝2cos x －2sin2x ，令f ′(x )≥0，得sin x ≤12，所以0≤x ≤π6，由f (x )为偶函数，可得当－π6≤x ≤0时，f (x )单调递减，则在[－π2，－π6]上单调递增，故选A ． (10)下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝sin2xB ．f (x )＝x e xC ．f (x )＝x 3－xD ．f (x )＝－x ＋ln x答案 B 解析对于A ，f (x )＝sin 2x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)；对于B ，f ′(x )＝e x (x ＋1)，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数；对于C ，f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )>0，得x >33或x <－33，∴函数f (x )＝x 3－x 在⎝⎛⎭⎫－∞，－33和⎝⎛⎭⎫33，＋∞上单调递增；对于D ，f ′(x )＝－1＋1x ＝－x －1x，令f ′(x )>0，得0<x <1，∴函数f (x )＝－x ＋ln x 在区间(0，1)上单调递增．故选B ． [例2] 已知函数f (x )＝ln x ＋k e x(k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求实数k 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．解析 (1)f ′(x )＝1x －ln x －k e x (x ＞0)．又由题意知f ′(1)＝1－k e＝0，所以k ＝1． (2)由(1)知，f ′(x )＝1x －ln x －1e x (x ＞0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，所以f ′(x )＞0；当x ＞1时，h (x )＜0，所以f ′(x )＜0．综上，f (x )的单调增区间是(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)．【对点训练】1．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2，1)上f (x )单调递增B ．在区间(1，3)上f (x )单调递减C ．在区间(4，5)上f (x )单调递增D ．在区间(3，5)上f (x )单调递增1．答案 C 解析在(4，5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在区间(4，5)上单调递增．2．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．答案 D 解析设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3，由导函数y ＝f ′(x ) 的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，所以函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上单调递减，在(x 1，x 2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D 选项符合．3．(多选)已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f (x )的图象的是( )3．答案 BCD 解析由导函数图象可得：当x <0时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(－∞，0)上单调递增；当0<x <2 时，f ′(x )<0，即函数f (x )在(0，2)上单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增．故选B 、C 、D ．4．函数f (x )的导函数f ′(x )有下列信息：①f ′(x )>0时，－1<x <2；②f ′(x )<0时，x <－1或x >2；③f ′(x )＝0时，x ＝－1或x ＝2．则函数f (x )的大致图象是( )4．答案 C 解析由题意可知函数f (x )在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)和(2，＋∞)上单调递减，故选C ．5．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )5．答案 D 解析由函数f (x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上，f ′(x )＞0；在(0，＋∞)上，f ′(x )＜0，选项D 满足．6．已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )A B C D 6．答案 A 解析设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，则g ′(x )＝2－2cos x ≥0．所以函数f ′(x )在R 上单调递增，故选A ．7．函数y ＝4x 2＋1x的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞C ．(－∞，－1)D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12 7．答案 B 解析由y ＝4x 2＋1x (x ≠0)，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2 ＋1x的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞．故选B ． 8．函数f (x )＝(x －2)e x 的单调递增区间为．8．答案 (1，＋∞) 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝(x －1)e x ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1，＋∞) 时，f ′(x )>0；当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．9．函数f (x )＝(x －1)e x －x 2的单调递增区间为，单调递减区间为．9．答案 (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2) 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝x e x －2x ＝x (e x －2)，令f ′(x ) ＝0，得x ＝0或x ＝ln 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表，∴f (x )10．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，1)10．答案 A 解析 ∵f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1，∴当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0， f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．11．函数y ＝x ＋3x＋2ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－3，1) B ．(0，1) C ．(－1，3) D ．(0，3)11．答案 B 解析 y ′＝1－3x 2＋2x ＝x 2＋2x －3x 2(x ＞0)，令y ′＜0得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3＜0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选B ． 12．函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫0，1e 2C ．⎝⎛⎭⎫e e ，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫0，e e 12．答案 A 解析因为函数f (x )＝x ln x ＋x (x ＞0)，所以f ′(x )＝ln x ＋2，由f ′(x )>0，得ln x ＋2>0，可得x >1e2，故函数f (x )＝x ln x ＋x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e 2，＋∞． 13．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12和(1，＋∞)B ．(0，1)和(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1，2) 13．解析 C 答案函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x＝(x －2)(2x －1)x ，令f ′(x )＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，12和(2，＋∞)． 14．函数f (x )＝x ln x的单调递减区间是________． 14．答案 (0，1)和(1，e) 解析由f ′(x )＝ln x －1ln x 2<0得⎩⎪⎨⎪⎧ln x －1<0，ln x ≠0，解得0<x <1或1<x <e ．∴f (x )的单调递减区间为(0，1)和(1，e)．15．函数f (x )＝e x cos x 的单调递增区间为________． 15．答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z ) 解析 f ′(x )＝e x cos x －e x sin x ＝e x (cos x －sin x )，令f ′(x )＞0得cos x ＞sin x ，∴2k π－34π＜x ＜2k π＋π4，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－34π，2k π＋π4(k ∈Z )． 16．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间上单调递增( )A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2B ．(π，2π)C ．⎝⎛⎭⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π) 16．答案 B 解析 y ′＝－x sin x ，经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y ′>0恒成立，∴y ＝x cos x －sinx 在(π，2π)上单调递增．17．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________．17．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ．令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎭⎫0，π2． 18．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x ) 具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x 18．答案 ACD 解析对于A ，f (x )＝1x ，则g (x )＝e xx ，g ′(x )＝e x (x －1)x 2，当x <1且x ≠0时，g ′(x )<0，当 x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )在(－∞，0)，(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；对于B ，f (x )＝x 2＋1，则g (x )＝e x f (x )＝e x (x 2＋1)，g ′(x )＝e x (x 2＋1)＋2x e x ＝e x (x ＋1)2>0在实数集R 上恒成立，∴g (x )＝e x f (x )在定义域R 上是增函数；对于C ，f (x )＝sin x ，则g (x )＝e x sin x ，g ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，显然g (x )不单调；对于D ，f (x )＝x ，则g (x )＝x e x ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x ．当x <－1时，g ′(x )<0，所以g (x )在R 上先减后增；∴具有M 性质的函数的选项为B ，不具有M 性质的函数的选项为A ，C ，D ．19．已知函数f (x )＝12x 3＋x 2． (1)求曲线f (x )在点⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程； (2)讨论函数y ＝f (x )e x 的单调性．19．解析 (1)∵f (x )＝12x 3＋x 2，∴f ′(x )＝32x 2＋2x ．∴f ′⎝⎛⎭⎫－43＝0．又f ⎝⎛⎭⎫－43＝1627， ∴曲线f (x )在⎝⎛⎭⎫－43，f ⎝⎛⎭⎫－43处的切线方程为y ＝1627． (2)令g (x )＝f (x )e x ＝⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ，∴g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x e x ＋⎝⎛⎭⎫12x 3＋x 2e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x ．令g ′(x )＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4，当x ＜－4时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增；当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞0时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1，0)上单调递减，在(－4，－1)和(0，＋∞)上单调递增．20．设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4．(1)求a ，b 的值；(2)求f (x )的单调区间．20．解析 (1)∵f (x )＝x e a －x ＋bx ，∴f ′(x )＝(1－x )e a －x ＋b ．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝2e ＋2，f ′(2)＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1，解得a ＝2，b ＝e ． (2)由(1)得f (x )＝x e 2－x ＋e x ，由f ′(x )＝e 2－x (1－x ＋e x －1)及e 2－x >0知，f ′(x )与1－x ＋e x－1同号．令g (x )＝1－x ＋e x －1，则g ′(x )＝－1＋e x －1．当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，1)上递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上递增，∴g (x )≥g (1)＝1在R 上恒成立，∴f ′(x )>0在R 上恒成立．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．考点二比较大小或解不等式【方法总结】利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．【例题选讲】[例3](1)在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，1)B ．(－1，0)∪(1，＋∞)C ．(－2，－1)∪(1，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 A 解析在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f (x )单调递增，所以f ′(x )＞0，使xf ′(x )＜0的范围为(－∞，－1)；在(－1，1)上，f (x )单调递减，所以f ′(x )＜0，使xf ′(x )＜0的范围为(0，1)．综上，关于x 的不等式xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－1)∪(0，1)．(2)已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A 解析因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3．又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A ． (3)已知奇函数f (x )是R 上的增函数，g (x )＝xf (x )，则( )A ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－32)＞g (2－23)B ．g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32) C ．g (2－32)＞g (2－23)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 D ．g (2－23)＞g (2－32)＞g ⎝⎛⎭⎫log 314 答案 B 解析由奇函数f (x )是R 上的增函数，可得f ′(x )≥0，以及当x ＞0时，f (x )＞0，当x ＜0时，f (x )＜0．由g (x )＝xf (x )，得g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )，即g (x )为偶函数．因为g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以当x ＞0时，g ′(x )＞0，当x ＜0时，g ′(x )＜0．故当x ＞0时，函数g (x )单调递增，当x ＜0时，函数g (x )单调递减．因为g ⎝⎛⎭⎫log 314＝g (log 34)，0<2－32＜2－23＜20＝1＜log 34，所以g ⎝⎛⎭⎫log 314＞g (2－23)＞g (2－32)．故选B ． (4)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有( ) A ．f (0)＋f (2)＞2f (1) B ．f (0)＋f (2)≤2f (1) C ．f (0)＋f (2)＜2f (1) D ．f (0)＋f (2)≥2f (1) 答案 A 解析当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值，所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．(5)已知函数f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，则不等式f (2x －3)>1的解集为．答案 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ 解析 f (x )＝e x －e －x －2x ＋1，定义域为R ，f ′(x )＝e x ＋e －x －2≥2e x ·e －x －2＝0，当且仅当x ＝0时取“＝”，∴f (x )在R 上单调递增，又f (0)＝1，∴原不等式可化为f (2x －3)>f (0)，即2x －3>0，解得x >32，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫32，＋∞． (6)设函数f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，则不等式f (2x －1)＋f (x －2)>0的解集为( )A ．(－∞，1)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13C ．⎝⎛⎭⎫13，＋∞ D ．(1，＋∞) 答案 D 解析根据题意，当x ≥0时，f (x )＝e x －cos x ，此时有f ′(x )＝e x ＋sin x >0，则f (x )在[0，＋∞)上为增函数，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在R 上为增函数．f (2x －1)＋f (x －2)>0⇒f (2x －1)>－f (x －2)⇒f (2x －1)>f (2－x )⇒2x －1>2－x ，解得x >1，即不等式的解集为(1，＋∞)．【对点训练】1．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为．1．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 解析由f (x )图象特征可得，在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上f ′(x )≥0，在 ⎝⎛⎭⎫12，2上 f ′(x )<0，所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，f ′(x )≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，f ′(x )≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝3x ＋2cos x ，若a ＝f (32)，b ＝f (2)，c ＝f (log 27)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a 0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上为增函数．又由2＝log 24<log 27<3<32，则b <c <a ．故选D ．3．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a3．答案 A 解析 f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝cos x －sin x －2＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－2<0，∴f (x )在R 上单调递减，又2e >1，0<ln 2<1，∴－π<ln 2<2e ，故f (－π)>f (ln 2)>f (2e )，即a >c >b ．4．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)<f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )，所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)<f (0)＝a ，所以c <a <b ，故选C ．5．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是．5．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析 f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f ′(x )＝3x 2－2 ＋e x ＋1e x ≥0－2＋2＝0，所以函数f (x )为单调递增函数．不等式f (a －1)＋f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤－f (a －1)＝f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，解得－1≤a ≤12．6．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋2e x －2e －x ，其中e 为自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－1，12D ．⎣⎡⎦⎤－1，12 6．答案 D 解析 f ′(x )＝x 2－4＋2e x ＋2e －x ≥x 2－4＋24e x ·e －x ＝x 2≥0，∴f (x )在R 上是增函数．又f (－ x )＝－13x 3＋4x ＋2e －x －2e x ＝－f (x )，知f (x )为奇函数．故f (a －1)＋f (2a 2)≤0⇔f (a －1)≤f (－2a 2)，∴a －1≤－2a 2，解之得－1≤a ≤12．7．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为．7．答案 (1，2] 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1x ＋e x －cos x ．∵x >0，∴e x >1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x －1)≤f (1)，∴0<x －1≤1，即1<x ≤2，原不等式的解集为(1，2]． 8．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为． 8．答案 ⎝⎛⎭⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )．则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1)．又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，由2＋cos x >0，得当x >0时，f ′(x )>0．所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e ．考点三根据函数的单调性求参数【方法总结】利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法(1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间．方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”． (2)函数f (x )在区间D 上递增(减)．方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题；方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”．【例题选讲】[例4](1)若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，1) C ．(－∞，2] D ．(－∞，2)答案 C 解析 f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，由已知条件知x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，设g (x )＝6x 2－6mx ＋6，则g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，解法一：若Δ＝36(m 2－4)≤0，即－2≤m ≤2，满足g (x )≥0在(1，＋∞)上恒成立；若Δ＝36(m 2－4)>0，即m <－2或m >2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2<1，g (1)＝12－6m ≥0，解得m <2，∴m <－2，综上得m ≤2，∴实数m 的取值范围是(－∞，2]．解法二：问题转化为m ≤x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立，而当x ∈(1，＋∞)时，函数y ＝x ＋1x >2，故m ≤2，故选C ．(2)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2] 解析易知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －9x ．又x >0，由f ′(x )＝x －9x≤0，得0<x ≤3．因为函数f (x )在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2．(3)若函数f (x )＝e x (sin x ＋a )在区间(0，π)上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(－∞，－2] D ．(－∞，1]答案 C 解析由题意，知f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x ＋a )≤0在区间(0，π)内恒成立，即a ≤－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4在区间(0，π)内恒成立．因为x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎝⎛⎦⎤－22，1，所以－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，1)，所以a ≤－2．故选C ．(4)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4a 2x ＋a －4a ，0<x ≤a ，x －x ln x ，x >a 是(0，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2]B ．[e ，e 2]C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)答案 D 解析由题意，当x >a 时，f ′(x )＝1－(ln x ＋1)＝－ln x ，则－ln x ≤0在x >a 时恒成立，则a ≥1；当0<x ≤a 时，f ′(x )＝1－4a 2(x ＋a )2，则1－4a 2(x ＋a )2≤0在0<x ≤a 时恒成立，即－3a ≤x ≤a 在0<x ≤a 时恒成立，解得a >0，且a ＋4a 2a ＋a－4a ≥a －a ln a ，解得ln a ≥2，即a ≥e 2，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a >0，a ≥e 2，解得a ≥e 2，故选D ．(5)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a ．由题意知，f ′(x )>0 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a ．令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞． (6)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是．答案 ⎣⎡⎭⎫1，32 解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>k －1，k －1≥0，k ＋1>12，k －1<12，解得1≤k <32．[例5] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围； (3)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围．解析 (1)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716且a ≠0，即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． (2)h (x )在[1，4]上存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在[1，4]上有解，所以当x ∈[1，4]时，a ＞1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1，所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)．(3)因为h (x )在[1，4]上不单调，所以h ′(x )＝0在(1，4)上有解，即a ＝1x 2－2x 有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1，4)，则－1＜m (x )＜－716，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－716． [例6] 已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b ．(1)若f (x )与g (x )的图象在x ＝1处相切，求g (x )；(2)若φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的取值范围．解析 (1)由已知得f ′(x )＝1x ，所以f ′(1)＝1＝12a ，所以a ＝2．又因为g (1)＝12a ＋b ＝f (1)＝0，所以b ＝－1．所以g (x )＝x －1．(2)因为φ(x )＝m (x －1)x ＋1－f (x )＝m (x －1)x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．所以φ′(x )＝－x 2＋(2m －2)x －1x (x ＋1)2≤0在[1，＋∞)上恒成立，即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m －2≤x ＋1x ，x ∈[1，＋∞)，因为x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号，所以2m －2≤2，即m ≤2．故实数m 的取值范围是(－∞，2]．【对点训练】1．已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞) 1．答案 B 解析 f ′(x )＝2x －a x 2，∴当x ∈[2，＋∞)时，f ′(x )＝2x －ax 2≥0恒成立，即a ≤2x 3恒成立，∵x ≥2，∴(2x 3)min ＝16，故a ≤16．2．已知函数f (x )＝13ax 3－x 2＋x 在区间(0，2)上是单调增函数，则实数a 的取值范围为________．2．答案 [1，＋∞) 解析f ′(x )＝ax 2－2x ＋1≥0⇒a ≥－1x 2＋2x＝－⎝⎛⎭⎫1x －12＋1在(0，2)上恒成立，即a ≥1．3．若y ＝x ＋a 2x(a ＞0)在[2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是．3．答案 (0，2] 解析由y ′＝1－a 2x 2≥0，得x ≤－a 或x ≥a ．∴y ＝x ＋a 2x 的单调递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a ，＋∞)，∴a ≤2．又a ＞0，∴0＜a ≤2． 4．若函数f (x )＝x 2＋1＋ax 2x 在[13，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 4．答案 [253，＋∞) 解析由已知得，f ′(x )＝2x ＋a －1x 2，若函数f (x )在[13，＋∞)上是增函数，则当x ∈[13，＋∞)时，2x ＋a －1x 2≥0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立，即a ≥⎝⎛⎭⎫1x 2－2x max ，设u (x )＝1x 2－2x ，x ∈[13，＋∞)，则u ′(x )＝－2x 3－2<0，即函数u (x )在[13，＋∞)上单调递减，所以当x ＝13时，函数u (x )取得最大值u ⎝⎛⎭⎫13＝253，所以a ≥253．故实数a 的取值范围是[253，＋∞)．5．已知函数f (x )＝sin2x ＋4cos x －ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[0，3]B ．[3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．[0，＋∞)5．答案 B 解析 f ′(x )＝2cos 2x －4sin x －a ＝2(1－2sin 2x )－4sin x －a ＝－4sin 2x －4sin x ＋2－a ＝－(2sin x ＋1)2＋3－a ．由题设，f ′(x )≤0在R 上恒成立，因此a ≥3－(2sin x ＋1)2恒成立，则a ≥3． 6．若函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(－∞，3]6．答案 B 解析函数g (x )＝ln x ＋12x 2－(b －1)x 的定义域为(0，＋∞)，且其导数为g ′(x )＝1x ＋x －(b －1)．由g (x )存在单调递减区间知g ′(x )＜0在(0，＋∞)上有解，即x ＋1x ＋1－b ＜0有解．因为函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，所以x ＋1x ≥2．要使x ＋1x ＋1－b ＜0有解，只需要x ＋1x 的最小值小于b －1，所以2＜b －1，即b ＞3，所以实数b 的取值范围是(3，＋∞)．故选B ．7．已知函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 7．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，94 解析由题意得f ′(x )＝1x ＋2(x －b )＝1x ＋2x －2b ，因为函数f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，所以f ′(x )＝1x ＋2x －2b >0在⎣⎡⎦⎤12，2上有解，所以b <⎝⎛⎭⎫12x ＋x max ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，由函数的性质易得当x ＝2时，12x ＋x 取得最大值，即⎝⎛⎭⎫12x ＋x max ＝12×2＋2＝94，所以b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，94． 8．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．8．答案 (0，1)∪(2，3) 解析由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3．9．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．2 9．答案 BD 解析依题意知，f ′(x )＝3ax 2＋6x －1有两个不相等的零点，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝36＋12a >0解得a >－3且a ≠0．故选BD ．10．已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋2，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图所示，f (x )＝6ln x ＋h (x )．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12上是单调函数，求实数m 的取值范围．10．解析 (1)由已知，h ′(x )＝2ax ＋b ，其图象为直线，且过(0，－8)，(4，0)两点，把两点坐标代入h ′(x )＝2ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－8，8a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－8，所以h (x )＝x 2－8x ＋2，f (x )＝6ln x ＋x 2－8x ＋2． (2)由(1)得f ′(x )＝6x ＋2x －8＝2(－1)(x －3)x ．因为x ＞0，所以f ′(x )，f (x )的变化如表所示．所以f (x )的单调递增区间为(0，1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1，3)，要使函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1，m ＋12 上是单调函数，则⎩⎨⎧1＜m ＋12，m ＋12≤3，解得12＜m ≤52．故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，52． 11．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x ．(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调递减区间；(2)若函数g (x )＝f (x )＋2x 在[1，＋∞)上单调，求实数a 的取值范围．11．解析 (1)由题意，知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x ，由f ′(x )<0得0<x <1，故f (x )的单调递减区间是(0，1)． (2)由题意，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2，∵函数g (x )在[1，＋∞)上单调，当g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数时，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥2x －2x 2在[1，＋∞)上恒成立，设φ(x )＝2x－2x 2．∵φ(x )在[1，＋∞)上单调递减，∴在[1，＋∞)上，φ(x )max ＝φ(1)＝0，∴a ≥0．当g (x )为[1，＋∞)上的单调减函数时，则g ′(x )≤0在[1，＋∞)上恒成立，易知其不可能成立． ∴实数a 的取值范围为[0，＋∞)． 12．已知函数f (x )＝e x －ax e x －a (a ∈R )．(1)若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围；(2)求证：x 在(0，2)上任取一个值，不等式1x －1e x －1<12恒成立(注：e 为自然对数的底数)．12．解析 (1)由已知得f ′(x )＝e x (x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x ＋1－a ．由函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减得f ′(x )≤0恒成立． ∴11＋x －a ≤0，即a ≥11＋x ，又11＋x∈(0，1)，∴a 的取值范围为[1，＋∞)．(2)要证原不等式恒成立，即证e x －1－x <12x (e x －1)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0在x ∈(0，2)上恒成立．设F (x )＝(x －2)e x ＋x ＋2，则F ′(x )＝(x －1)e x ＋1．在(1)中，令a ＝1，则f (x )＝e x －x e x －1，f (x )在(0，2)上单调递减，∴F ′(x )＝－f (x )在(0，2)上单调递增，而F ′(0)＝0，∴在(0，2)上F ′(x )>0恒成立，∴F (x )在(0，2)上单调递增，∴F (x )>F (0)＝0，即当x ∈(0，2)时，1x －1e x －1<12恒成立．。

利用导数研究函数的单调性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)

考向15 利用导数研究函数的单调性【2022年新高考全国Ⅰ卷】设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>1．求可导函数单调区间的一般步骤（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：()0f x '>⇒()f x 单调递增；()f x 单调递增()0f x '⇒≥；()0f x '<⇒()f x 单调递减；()f x 单调递减()0f x '⇒≤.1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2.利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[],a b 上单调递增(减)可知()0f x '≥ (()0f x '≤)在区间[],a b 上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使()f x '在整个区间恒等于0，若()f x '恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有()0f x '=，则参数可取这个值．【提醒】()f x 为增函数的充要条件是对任意的,()x a b ∈都有()0f x '≥且在(),a b 内的任意一个非空子区间上()0f x '≠.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．一：单调性基础问题 1．函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =为减函数．2．已知函数的单调性问题①若()f x 在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0f x '≥恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '>，才能得出()f x 在某个区间上单调递增；②若()f x 在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0f x '≤恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0f x '<，才能得出()f x 在某个区间上单调递减．二：讨论单调区间问题类型一：不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x 轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；类型二：含参数单调性讨论（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间)；（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；（5）导数图像定区间；1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知0.02e a =， 1.02b =，ln2.02c =，则（） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．a c b >>D ．b a c >>2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()321032a f x x x x a =--≥在区间()0,1上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．()02,B ．[)0,1C ．()0,∞+D ．()2,+∞3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数()3ln 2f x x x =--，则不等式()()2325f xf x ->-的解集为（）A ．()4,2-B ．()2,2-C ．()(),22,∞∞--⋃+D ．()(),42,-∞-+∞4．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞D ．()2,1-5．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））若函数()321f x x x ax =++-在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范围( ) A ．13a ≥ B ．13a ≤C ．13a >D ．13a <1．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤D ．e e a b b a >2．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））定义：设函数()f x 的定义域为D ，如果[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则称函数()f x 在[],m n 上为“等域函数”，若定义域为21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的函数()xg x a =（0a >，1a ≠）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（） A ．221,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．22e 1,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．221e e e ,e ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭D ．221e ee ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2022·江苏无锡·模拟预测）已知1333,e ,(93ln 3)e a b c --===-，则a ，b ，c 的大小为（） A ．a b c <>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>5．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））定义在R 上的可导函数()f x 满足()2f x '<，若()()1262f m f m m --≥-，则m 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)1,-+∞D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，且()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒有()()sin cos f x f x x x '<成立，则下列不等式成立的（） A ππ264f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ππ336f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ3243⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 2ππ334f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知1,1a b >>,且1(1)e e (e a b b a a ++=+为自然对数),则下列结论一定正确的是（） A ．ln()1a b +> B ．ln()0-<a b C ．122a b +<D ．3222a b +<8．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（理））已知函数()sin 2cos f x a x x =+在ππ,34x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则a 的取值范围为（） A ．0a ≥ B ．22a -≤≤ C ．2a ≥- D ．0a ≥或2a ≤-9．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（） A ．()()20212022f ef C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+10．（2022·山东泰安·模拟预测）已知函数32()f x x ax =-+，写出一个同时满足下列两个条件的()f x ：___________.①在[1,)+∞上单调递减；②曲线()(1)y f x x =≥存在斜率为1-的切线.11．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()()()1e x f x a x a =--∈R ，()ln e k x x =-，e 为自然对数的底数．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当1x >时，不等式()()f x k x ≤恒成立，求a 的取值范围．12．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知函数 ()221f x ax x a =-+- ( a 为实常数).(1)设 ()f x 在区间 []1,2 上的最小值为 ()g a ，求 ()g a 的表达式; (2)设 ()()f x h x x=，若函数 ()h x 在区间[]1,2上是增函数，求实数a 的取值范围.13．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2ln f x x x =-．(1)求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； (2)若()()()e xg x f x ax -=+⋅在区间()01，内是单调函数，求实数a 的取值范围．14．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()ln 13f x a x x =+-． (1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：当1a =时，方程()sin 3f x x x =-在,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有且仅有一个实数解．15．（2022·天津·二模）已知函数221()2ln ()2f x a x x ax a R =-++∈． (1)当1a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)当0a <时，求函数()f x 在区间[1,e] 上的最小值．16．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知函数()()()21R 2f x x a a =-∈. (1)设()()e xg x f x =，讨论函数()()e x g x f x =的单调性； (2)当0x ≤时，()()211g x x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.17．（2022·北京八十中模拟预测）已知函数e ()axf x x=. (1)当1a =时，求函数()f x 在(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若对任意[)1,x ∈+∞，都有1()ef x >成立，求实数a 的取值范围.18．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（文））已知函数()()()21212ln R 2f x ax a x x a =-++∈(1)当1a =-时，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间.1．（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>3．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+． (1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性； (3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．4．（2022·全国·高考真题）已知函数()e e ax x f x x =-．(1)当1a =时，讨论()f x 的单调性； (2)当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围； (3)设n *∈N 2221ln(1)1122n n n+++>++++．5．（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.7．（2021·北京·高考真题）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．8．（2021·全国·高考真题）已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．9．（2020·全国·高考真题（文））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.10．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．11．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．。

导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习

增.
（
）
答案：（3）×
目录
2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是
（
）
A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增
B.在区间（1，3）上f（x）单调递减
C.在区间（4，5）上f（x）单调递增
D.在区间（3，5）上f（x）单调递增
解析：C 在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单

∴f（x）在
1
0,

上单调递增，在
1
, &#（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在
上单调递增，在
1
, +∞

上单调递减.
目录
1
0,

｜解题技法｜
讨论函数f（x）单调性的步骤
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根；
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划
分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图
象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”
2
2，故
排除D选项.故选B.
目录
2.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsin x＋cos x，则f（x）的单调
递增区间是
.
⁠
解析：f'（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f'（x）＝xcos x＞0（x∈（－π，

2025年高考数学一轮复习-3.2-导数与函数的单调性【课件】

和
解析： ,令 ,则其在区间上的解集为和 ,即函数的单调递增区间为和 .
1.“在某区间内 ”是“函数在此区间上单调递增（减）”的充分不必要条件.
2.可导函数在上单调递增（减）的充要条件是对，都有且在任意子区间内都不恒为零.
【用一用】
1.(2023·重庆綦江中学模拟)已知函数 ,则“ ”是“ 在上单调递增”的( )
（2）设，讨论函数在上的单调性.
【解】对任意的恒成立，故在上单调递增.
(2022·高考北京卷节选)已知函数 .
讨论函数 <m></m> 单调性的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数，并求方程的根；
×
2.函数在上的单调性为( )
A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减
解析：选D.因为在区间内，恒成立,所以在上单调递减，故选D.
√
3.（人A选择性必修第二册例2变条件、变设问）函数的导函数的图象如图所示，则下面判断正确的是( )
A.在区间上，单调递增B.在区间上，单调递减C.在区间上，单调递增D.在区间上，单调递增
解析：选C.在区间上，恒成立，所以在区间上单调递增.
√
4.（人A选择性必修第二册习题变条件、变设问）已知定义在区间上的函数 ,则函数的单调递增区间是_ ________________.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意， ,若在上单调递增，则 ,即恒成立，故 .所以“ ”是“ 在上单调递增”的充分不必要条件，故选A.
√
2.(2023·山东枣庄模拟)已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是__________.

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【热点聚焦】单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具.在高考导数的综合题中，所给函数往往是一个含参数的函数，且导函数含有参数，在分析函数单调性时面临分类讨论.从高考命题看，对函数单调性的考查主要有：利用导数求函数的单调区间、判断单调性、已知单调性，求参数等．【重点知识回眸】（一）函数的单调性与导数的关系条件结论函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上可导f ′(x )＞0 f (x )在(a ，b )内单调递增 f ′(x )＜0 f (x )在(a ，b )内单调递减 f ′(x )＝0f (x )在(a ，b )内是常数函数优先”原则．（二）常用结论1．在某区间内f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． 2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．（三）常见问题解题方法1.导数求单调区间的步骤：利用导数求函数单调区间的方法，大致步骤可应用到解含参函数的单调区间.即确定定义域→求出导函数→令()'0f x >解不等式→得到递增区间后取定义域的补集（减区间）→单调性列出表格.2.求含参函数单调区间的实质——解含参不等式，而定义域对x 的限制有时会简化含参不等式的求解3.求单调区间首先确定定义域，并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉，以简化讨论的不等式4.含参数问题分类讨论的时机分类时机：并不是所有含参问题均需要分类讨论，当参数的不同取值对下一步的结果影响不相同时，就是分类讨论开始的时机.【典型考题解析】热点一不含参数的函数的单调性【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数21()ln 2f x x x =-的单调递减区间为（） A ．(1,1)- B ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(0,2)【答案】B【分析】求导，解不等式()0f x '<可得. 【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞ 解不等式1(1)(1)()0x x f x x x x-+'=-=<，可得01x <<，故函数21()ln 2f x x x =-的递减区间为(0,1). 故选：B ．【典例2】（广东·高考真题（文））函数的单调递增区间是（）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由题意得，()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '=-+-=-''，令()0f x '>，解得2x >，所以函数()f x 的单调递增区间为，故选D ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f (x )＝x ＋2cos x ，则f (x )的单调递增区间为________．【答案】(0,)6π，5(,)6ππ【分析】对()f x 求导，令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π，求出()0f x '> 的解即可求出答案. 【详解】f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈(0，π)．令f ′(x )＝0，得x ＝6π或x ＝56π，当0<x <6π时，f ′(x )>0，当6π<x <56π时，f ′(x )<0，当56π<x <π时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0,)6π和5(,)6ππ上单调递增，在5(,)66ππ上单调递减．故答案为：(0,)6π，5(,)6ππ.【典例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数211,0()2,0x f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，则函数12()log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为__．【答案】20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞ 【分析】先根据题意求出()g x 的解析式，然后在每一段上求出函数的增区间即可【详解】由12log 0x ≤，得1≥x ，由12log 0x >，得01x <<，所以当1≥x 时，12log 1()112xg x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则()g x 在[1,)+∞上递增，当01x <<时，21122()loglog g x x x =-+，则121212log 11()2log 111lnlnln222x g x x x x x -'=-⋅+=，由()0g x '>，得1212log 0x -<，解得202x <<，所以()g x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，综上得函数()g x 的单调递增区间为20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞．故答案为：20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，[1,)+∞． (1)函数的一阶导数可以用来研究函数图象的上升与下降，函数的二阶导数可以用来研究函数图象的陡峭及平缓程度，也可用来研究导函数图象的上升与下降． (2)求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．热点二含参数的函数的单调性【典例5】（2021·全国·高考真题（文））设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln R kf x x k k x=--∈，，讨论函数()f x 在区间(1,e)内的单调性. 【答案】见解析【分析】先求出2()x kf x x +'=-，然后分k -与(1,e)的关系进行分类讨论,从而得出答案. 【详解】由()ln kf x x k k R x=--∈，，(1,e)x ∈ 221()k x k f x x x x+'∴=--=- ①当1k -≤，即1k ≥-时，10x k x +≥->， ()0f x '∴< ，()f x ∴在(1,e)单调递减；②当e k -≥，即e k ≤-时，e 0x k x +≤-<， ()0f x '∴> ，()f x ∴在(1,e)单调递增；③当1e k <-<，即e 1k -<<-时，当1x k <<-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当e k x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上所述，当1k ≥-时，()f x 在(1,e)单调递减当e k ≤-时，()f x 在(1,e)单调递增当e 1k -<<-时，()f x 在(1,)k -单调递增，在(,e)k -单调递减.【方法总结】解决含参数的函数的单调性问题应注意两点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．热点三已知函数的单调性求参数的取值范围【典例7】（全国·高考真题（文））若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞- C ．[)2,+∞ D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，∵函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增，∴在区间()1,+∞上恒成立．∴，而在区间()1,+∞上单调递减，∴．∴的取值范围是[)1,+∞．故选D ．【典例8】（全国·高考真题（理））若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】2a ≤ 【解析】【详解】试题分析：()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【典例9】（2019·北京·高考真题（理））设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．【答案】 -1; (],0-∞. 【解析】【分析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用导函数的解析式可得a 的取值范围. 【详解】若函数()x xf x e ae -=+为奇函数,则()()(),x x x x f x f x e ae e ae ---=-+=-+，()()1 0x x a e e -++=对任意的x 恒成立.若函数()x x f x e ae -=+是R 上的增函数,则()' 0x xf x e ae -=-≥恒成立,2,0x a e a ≤≤.即实数a 的取值范围是(],0-∞ 【规律方法】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间D 上单调，实际上就是在该区间上f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，从而构建不等式，求出参数的取值范围，要注意“＝”是否可以取到．(2)可导函数在区间D 上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，即f ′(x )max ＞0(或f ′(x )min ＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f (x )在区间D 上的单调性，区间端点含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令D 是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．热点四函数单调性与函数图像【典例10】（2018·全国·高考真题（文））函数()2e e x xf x x --=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>，所以舍去C ；因此选B.【典例11】（2023·全国·高三专题练习）函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据导函数的图象判断原函数的单调性，即可判断选项.【详解】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内.符合条件的只有D. 故选：D【典例12】（2021·浙江·高考真题）已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，221202164y ππ⎛⎫'=+> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D. 【规律方法】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．热点五函数单调性与比较大小、解不等式【典例13】（2022·全国·高考真题（理））已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】【分析】由14tan 4c b =结合三角函数的性质可得c b >；构造函数21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，利用导数可得b a >，即可得解. 【详解】因为14tan 4c b =,因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭ 所以11tan44>,即1cb >,所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A【典例14】（2022·全国·高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x xx g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当021x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，211x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当021x <<时，()0h x <，所以当021x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.【典例15】（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()3log 912xf x x =+-+，则不等式()()21f x f x -<的解集为（） A ．()1,3 B ．(),1-∞ C ．[)1,+∞D ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.【详解】函数的定义域为R ，()()()9ln 92991119191ln 391x x x x x x f x ⋅-'=-=-=+++，当0x <时，0f x ；当0x >时，0f x ，故()f x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数. 又()()3391log 912log 29x xx f x x x -+-=+++=++()()3log 9122x x x f x =+-++=，故()f x 为R 上的偶函数，故()()21f x f x -<等价于()()21f x f x -<，即21x x -<，两边平方得23410x x -+<，故1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：D.'()f x 当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是( ) A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)C ．(,1)(1,0)-∞--D ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A 【解析】【详解】构造新函数()()f x g x x=,()()()2'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f xg x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >，又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.【典例17】（2021·山东·临沂市兰山区教学研究室高三开学考试）已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()20f x x xf '+>，则不等式()()()220212021420x f x f +++-<的解集为（）A ．()2019,+∞B ．()2021,2019--C ．(),2019-∞-D ．()2019,0-【答案】C【分析】根据已知条件构造函数2()()g x x f x =，可得()g x 在(0,)+∞上为增函数，且()g x 为奇函数，然后将()()()220212021420x f x f +++-<可转化为(2021)(2)g x g +<，从而可求出不等式的解集.【详解】令2()()g x x f x =，则2()2()()[2()()]g x xf x x f x x f x xf x '=+''=+，因为当0x >时，有()()20f x x xf '+>，所以当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在(0,)+∞上为增函数，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以22()()()()()g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以()g x 为R 上的奇函数，所以()g x 在R 上为增函数，由()()()220212021420x f x f +++-<，得()()()22021202142x f x f ++<--， ()()()2220212021(2)2x f x f ++<---，所以(2021)(2)g x g +<--，因为()g x 为奇函数，所以(2021)(2)g x g +<，所以20212x +<，得2019x <-，所以不等式的解集为(),2019-∞-，故选：C【典例18】（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【分析】利用导数研究函数()sin f x x x =-，()ln(1)g x x x =-+，6()ln(1)5h x x x =-+在(0,1)上的单调性，利用函数的单调性可比较,,a b c 的大小.【详解】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->，所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++，所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<. 构造函数解不等式或比较大小一般地，在不等式中若同时含有f (x )与f ′(x )，常需要通过构造含f (x )与另一函数的和、差、积、商的新函数，再借助导数探索新函数的性质，进而求出结果．常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )；(2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→()[]'f x x； (4)f ′(x )＋f (x )→[e x f (x )]′；(5)f ′(x )－f (x )→()[]'x f x e′.（6）()()f x f x '<→()()x f x g x e = （7）()()xf x f x '<→()()f x g x x=（8）()()0xf x f x '+<→()()g x xf x =.【精选精练】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）函数()y f x =在定义域3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭内可导，图像如图所示，记()y f x =的导函数为()y f x '=，则不等式()0f x '≥的解集为（）A ．[)1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦D ．3148,,2333⎛⎤⎡⎤--⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】C【分析】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间，结合图像理解判断．【详解】()0f x '≥的解集即为()y f x =单调递增区间结合图像可得()y f x =单调递增区间为[]31,,1,223⎛⎤-- ⎥⎝⎦则()0f x '≥的解集为[]31,1,223⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦故选：C ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列判断正确的是（）A ．在区间()1,1-上，()f x 是增函数B ．在区间()3,2--上，()f x 是减函数C ．2-为()f x 的极小值点D ．2为()f x 的极大值点【答案】D【分析】利用函数与导函数的关系及其极值的定义即可求解. 【详解】由导函数()f x '的图像可知，在区间()1,0-上为单调递减，在区间()0,1上为单调递增，则选项A 不正确；在区间()3,2--上，()0f x '>，则()f x 是增函数，则选项B 不正确；由图像可知()20f '-=，且()3,2--为单调递增区间，()2,0-为单调递减区间，则2-为()f x 的极大值点，则选项C 不正确；由图像可知()20f '=，且()1,2为单调递增区间，()2,3为单调递减区间，则2为()f x 的极大值点，则选项D 正确；故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．0a ≥ B ．1a ≥ C ．3a ≤-或1a ≥ D ．31a -≤≤【答案】D【分析】结合函数单调性得到()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立，分0a =，0a >和0a <三种情况，数形结合列出不等式，求出实数a 的取值范围. 【详解】∵函数()3221343f x x ax a x =---在()3,+∞上是增函数，∴()22230f x x ax a -'=-≥在()3,+∞上恒成立， ∵()()()22233f x x ax a x a x a =--=-+'，∴当0a =时，()20f x x '=≥恒成立，满足题意；当0a >时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞--⋃+上恒成立，()0f x '<在(),3a a -上恒成立，故只需33a ≤，解得：1a ≤，故可得：(]0,1a ∈ 当0a <时，()0f x '>在()(),3,a a ∞∞-⋃-+上恒成立，()0f x '<在()3,a a -上恒成立，故只需3a -≤，解得：3a ≥-，故可得：[)3,0a ∈- 综上可得：实数a 的取值范围是[]3,1-，故选：D ．4．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））已知函数()12ln f x x x x=+-，则不等式()()211f x f x -<-的解集为（） A ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】利用导数说明函数的单调性，再根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】解：由题意可知，函数()12ln f x x x x=+-的定义域为()0,∞+. 因为()22211110f x x x x ⎛⎫'=--=--≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.则由()()211f x f x -<-可得21010211x x x x->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得213x <<，即原不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.a A ．ln ln ab a b -<-e e B ．ln ln b a a b < C ．e a b ba-> D ．sin sin 1a ba b-<-【答案】D【分析】由题设有0a b >>，分别构造e ln x y x =-、ln xy x=、e x y x =、sin y x x =-，利用导数研究在,()0x ∈+∞上的单调性，进而判断各项的正误. 【详解】由221a b >>，即0a b >>，A ：若e ln x y x =-且,()0x ∈+∞，则1e x y x'=-，故12|e 20x y ='=-<，1|e 10x y ='=->，即y '在1(,1)2上存在零点且y '在(0,)+∞上递增，所以y 在(0,)+∞上不单调，则e ln e ln a b a b -<-不一定成立，排除； B ：若ln x y x =且,()0x ∈+∞，则21ln xy x -'=，所以(0,e)上0y '>，y 递增；(e,)+∞上0y '<，y 递减；故y 在(0,)+∞上不单调，则ln ln a ba b<不一定成立，排除； C ：若e x y x =且,()0x ∈+∞，则e (1)0x y x '=+>，即y 在(0,)+∞上递增，所以e e a b a b >，即e a b ba-<，排除； D ：若sin y x x =-且,()0x ∈+∞，则1cos 0y x '=-≥，即y 在(0,)+∞上递增，所以sin sin a a b b ->-，即sin sin 1a ba b-<-，正确.故选：D6．（2022·四川成都·高三期末（理））若函数()在区间()上单调递增，则实数k 的取值范围是（） A ．[)1,+∞ B ．[)2,+∞ C ．(]0,1 D ．(]0,2【答案】B【分析】根据已知条件等价为()20f x k x =-≥'在()1,+∞上恒成立，即2k x≥在()1,+∞上恒成立，求解()()21g x x x=>的取值情况即可得出结果. 【详解】()2ln f x kx x =-由题意，已知条件等价为()20f x k x=-≥'在()1,+∞上恒成立，即2k x≥在()1,+∞上恒成立，令()()21g x x x=>， ()g x 在()1,+∞上单调递减，()2g x ∴<，2k ∴≥，k ∴的取值范围是[)2,+∞.故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()3ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．72a >-B ．72a ≥-C ．72a <D ．72a ≤【答案】D【分析】由已知可得()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，从而进行参变分离求最值即可.【详解】解：()210f x x a x'=--≥，因为函数()31ln 3f x x x ax =--在()2,+∞上单调递增，所以()210f x x a x '=--≥在()2,+∞恒成立，即21a x x≤-在()2,+∞恒成立，令()()212g x x x x =->，则()2120g x x x '=+>在()2,+∞恒成立，故()g x 在()2,+∞单调递增，所以()()722g x g >=，故a 的取值范围是72⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，，故选：D ．8．（2023·全国·高三专题练习）已知R α∈，则函数()ex x f x =的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.【详解】当12α=时，()e x xf x =且0x ≥，则12()e x x f x x-'=，所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =，所以A 图象可能；当2α=时，2()0ex x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=，所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，所以B 图象可能；当1α=-时，1()e x f x x =且0x ≠，则21()e xxf x x +'=-，所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，所以D 图象可能；综上，排除A 、B 、D. 故选：C3232b b =，03c <<且33c c =，则（）A ．a b c <，则()()8f a f =，()()32f b f =，()()3f c f =， ()21ln xf x x -'=，令()0f x '=，解得e x =，当()0,e x ∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，当()e,x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，则(),,0,e a b c ∈，且()()()3832f f f >>，所以()()()f c f a f b >>，故c a b >>，故选：A.10．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式3()(1)32f x f x x --<-的解集是（） A ．1(,0)2-B ．1(,)2-∞-C ．1(,)2+∞D ．1(,)2-∞【答案】D【分析】构造函数23()()2g x f x x =-，根据导数判断单调性，再利用奇偶性求出解集.【详解】设23()()2g x f x x =-，则()()3g x f x x '='-，因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()0g x '>，即()g x 在[0,)+∞上单调递增，因为()()f x f x -=，所以()f x 为偶函数，则()g x 也是偶函数,所以()g x 在(,0]-∞上单调递减. 因为3()(1)32f x f x x --<-,所以2233()(1)(1)22f x x f x x -<---, 即()(1)g x g x <-, 则1x x <-，解得12x <，故选：D.b a b =下列正确的是（） A ．1ab >B ．1(1)b a a b +<+C ．11a b a b a a b b ++->-D ．52+>a b 【答案】B【分析】利用指对数互化及对数的运算性质可得1b a =，进而可得1121a b b<=<<+，然后构造函数，利用函数的单调性即得. 【详解】由log b a a b =，可得1log log log b a b a b a==，所以log 1b a =，或log 1b a =-， ∴b a =(舍去)，或1b a=，即1ab =，故A 错误；又02b a b <<<，故120a a a<<<， ∴12a <<，对于函数()112y x x x=+<<，则2221110x y x x-'=-=>，函数()112y x x x =+<<单调递增，∴1322,2a b a a ⎛⎫+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故D 错误； ∵02b a b <<<，112a b<=<， ∴1212a b b <<<+<，令()()ln 12x g x x x=<<，则()21ln 0xg x x -'=>，∴函数()()ln 12xg x x x=<<单调递增， ∴()ln 1ln 1b a a b +<+，即()()1ln ln 1b a a b +<+， ∴()1ln ln 1ab a b +<+，即1(1)b a a b +<+，故B 正确； ∵011b a b <<<<+，∴函数,x x y a y b ==-单调递增，故函数x x y a b =-单调递增， ∴11a a b b a b a b ++-<-，即11a b a b a a b b ++-<-，故C 错误. 故选：B. 12．（2023·全国·高三专题练习）已知0a <，函数322()2f x x ax a x =+-+的单调递减区间是________ ．【答案】,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数导数，由()0f x '<即可求出单调递减区间. 【详解】22()32(3)()f x x ax a x a x a '=+-=-+，令()0f x '<，解得3ax a <<- ，所以()f x 的单调递减区间为,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：,3a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.13．（2021·河南宋基信阳实验中学高三开学考试（文））若函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(]0,2【分析】由题可得函数4y x x=+在区间(0,2]上是减函数，结合条件即得. 【详解】对于函数4y x x=+，0x >， ∴()()222222441x x x y x x x+--'=-==，0x >，由0y '<，可得02x <<，因为函数4y x x=+在()0,a 上为单调减函数，所以02a <≤，即实数a 的取值范围是(]0,2. 故答案为：(]0,2.14．（2022·江苏·扬中市第二高级中学高三开学考试）函数()2x x f x =的单调递增区间为__________. 【答案】2(0,)ln 2【分析】先求得导函数，并令'0f x ，再判断导函数的符号，由此可得函数的单调递增区间.【详解】函数2()2x xf x =，则()()()2'22ln 2ln 222222x x xxx fx x x x -⋅-⋅⋅⋅==，令()0f x '=解得20,ln 2x x ==，当(),0x ∈-∞时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,函数()f x 单调递增，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,函数()f x 单调递减，故答案为：2(0,)ln 2. 15．（2023·全国·高三专题练习）()3211232f x x x ax =-++，若()f x 在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上存在单调递增区间，则a 的取值范围是_______【答案】1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】分析可知，2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()212a x x >-，求出函数()212y x x =-在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的值域，可得出实数a 的取值范围.【详解】因为()3211232f x x x ax =-++，则()22f x x x a '=-++，有已知条件可得：2,+3x ⎛⎫∃∈∞ ⎪⎝⎭，使得()0f x '>，即()212a x x >-，当()221122122339y x x ⎡⎤⎛⎫=->-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以19a >-.故答案为：1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知奇函数()的定义域为R ，当0x >讨，()()20f x f x '+>，且()20f =，则不等式()0f x >的解集为___________.【答案】()(2,02,)-⋃+∞【分析】构造函数2()e ()=x g x f x ,利用导函数判断出当x >0时, ()g x 单调递增，得到当x >2时()0g x >，从而()0f x >；当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.由()f x 为奇函数得到不等式()0f x >的解集.【详解】构造函数2()e ()=x g x f x ，则当0x >时，[]2()e 2()()0xg x f x f x ''=+>，所以当x >0时()g x 单调递增.因为f (2)=0，所以()()42e 20g f ==，所以当x >2时()0g x >，从而()0f x >.当02x <<时，()0g x <，从而()0f x <.又奇函数()f x 的图像关于原点中心对称，所以()0f x >的解集为()(2,02,)-⋃+∞. 故答案为: ()(2,02,)-⋃+∞. 三、解答题17．（2022·四川成都·高三期末（理））设函数()()321113f x x x a x =-++--，其中a ∈R ．若函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间．【答案】(1)1a =(2)单调递增区间为()0,2；单调递减区间为(),0∞-，()2,+∞【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）由（1）得()32113f x x x =-+-，再求导分析函数的单调区间即可(1)()221f x x x a '=-++-．∵函数()f x 的图象在0x =处的切线与x 轴平行，∴()010f a =-='，解得1a =．此时()010f =-≠，满足题意．∴1a =． (2)由（1）得()32113f x x x =-+-，故()()222f x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得0x =或2x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),0∞-0 ()0,22 ()2,+∞()f x ' - 0 +0 -()f x单调递减1- 单调递增13单调递减∴函数()的单调递增区间为()；单调递减区间为()，()．18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22ln x f x x a =-（a ∈R 且0a ≠）．(1)2a =，求函数()f x 在()()22f ,处的切线方程． (2)讨论函数()f x 的单调性；【答案】(1)2ln 2y x =- (2)答案见解析【分析】（1）求得函数的导数，根据导数的几何意义即可求得切线方程；（2）求出函数的导数，分类讨论a 的取值，判断导数的正负，从而确定函数的单调性. (1)当2a =时，()22ln 2x f x x =-，所以()22n2l 2f =-,()2f x x x'=-，所以()22212f '=-=,所以函数()f x 在()()22f ,处的切线方程为()22ln 22y x --=-，即2ln 2y x =-. (2)()f x 的定义域为(0)+∞，， 22()x f x a x'=-,当0a <时， ()0f x '<恒成立，所以()f x 在(0)+∞，上单调递减；当0a > 时， ()()222()x f x x a x a a x ax'=-=+-,在()0,a 上，()0f x '<，所以()f x 单调递减；在(),a +∞上，()0f x '>，所以()f x 单调递增.。