φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近
广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近
广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的迭代逼近张树义;李丹【摘要】在一致光滑Banach空间中研究用带混合型误差的修改的Ishikawa迭代序列,逼近广义一致Lipschitz渐近伪压缩型映象的不动点问题.在去掉D有界之下,使用新的分析方法,建立了强收敛定理,从而推广和改进了已知的结果.【期刊名称】《渤海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(036)004【总页数】5页(P294-297,304)【关键词】一致光滑Banach空间;广义一致Lipschitz;渐近伪压缩型映象;混合误差【作者】张树义;李丹【作者单位】渤海大学数理学院,辽宁锦州121013;渤海大学数理学院,辽宁锦州121013【正文语种】中文【中图分类】O177.91设E是实Banach空间，E*为E的对偶空间，〈·，·〉表示E与E*之间的广义对偶对.正规对偶映象J:E→2E*定义为J(x)={f∈E*:〈x，f〉=‖x‖2=‖f‖2}.定义1 设D是E的非空凸子集，T:D→D是一个映象. (i)T称为渐近伪压缩的，若存在实数列{kn}⊂，且对∀x,y∈D，存在j(x-y)∈J(x-y)，使〈Tn-Tny,j(x-y)〉≤kn‖x-y‖2. (ii)T称为渐近伪压缩型的，若存在实数列{kn}⊂，且∀x∈D ，存在非负序列{rn(x)}，使∀y∈D，及某个j(x-y)∈J(x-y)，有〈Tnx-Tny,j(x-y)〉≤kn‖称为一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1，有‖Tn-Tny‖≤L‖x-y‖.(iv)T称为广义一致L-Lipschitz的，其中L≥1，若∀x,y∈D,∀n≥1,有‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).显然若T:D→D是一致L-Lipschitz的或∀x∈D,{Tnx}n≥1，有界，则T是广义一致L-Lipschitz的，但反之一般不成立,反例见文献〔5〕.关于几类非线性映象不动点的迭代逼近问题，已被许多学者做过广泛研究,如文献〔1-6〕. 本文的目的是进一步研究渐近伪压缩型映象不动点的迭代逼近问题,在去掉E有界之下，把文献〔1〕中的定理2.1推广到广义一致L-Lipschitz渐近伪压缩型映象带混合型误差的修改的Ishikawa迭代程序的情形.由于没有使用D有界条件，以及将一致L-Lipschitz条件减弱为广义一致L-Lipschitz条件，因此本文结果改进与推广了文献〔1〕中的定理，并且本文充分性证明的方法也不同于文献〔1〕中的方法.定义2 设T：D→D是一个映象，∀x0∈D，由下式定义的序列{xn}n≥0⊂D，其中{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0，{μn}n≥0和{δn}n≥0为[0，1]中五个满足某些条件的实数列，{un}n≥0 ，{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，则称{xn}n≥0为T的带混合型误差的修改的 Ishikawa迭代序列.引理1〔7〕设E是实一致光滑Banach空间, 则存在一个非减连续函数b:[0,+∞)→[0,+∞),b(0)=0,满足b(ct)≤cb(t),∀c≥1且‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,jx〉+max{‖x‖,1}‖y‖b(‖y‖),其中∀x,y∈E,∀jx∈Jx.引理2〔8〕设{an}n≥0和{bn}n≥0是两个非负实数列，满足条件，存在正整数n0，当n≥n0时，有an+1≤(1-tn)an+bn，其中,则an→0(n→∞).定理1 设E是一致光滑Banach空间，D是E的一非空闭凸子集，D+D⊂D，T：D→D是广义一致L-Lipschitz的渐近伪压缩型映象,具有实数列{kn}⊂，且∀x∈D，存在非负序列{rn(x)}n≥0使得,(x)=0，又设F(T)≠φ，{αn}n≥0，{βn}n≥0，{γn}n≥0,及{μn}n≥0是[0，1]中的五个实数列，满足条件(i)αn+γn+μn≤1，δn+βn≤1;(ii)αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)；(iii),设x0∈D是给定一点，{xn}n≥0，{yn}n≥0是由(1)所定义的带混合型误差的修改的Ishikawa 迭代序列，则有下列结论1)若{xn}n≥0强收敛到T在D中的不动点q，则存在不减函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0使得‖yn-q‖2+φ(‖yn-q‖)}≤02)反之，若存在严格增加函数，φ:[0,+∞)→[0,+∞),φ(0)=0,满足条件(2)，则{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).证明先证充分性. 因D是E的一非空闭凸子集，且D+D⊂D，所以{xn}n≥0⊂D，{yn}n≥0⊂D，又因为μn=o(αn),{un}n≥0,{vn}n≥0和{wn}n≥0为D中的有界序列，所以存在εn≥0，εn→0(n→∞),使μn=εnαn(n≥0),并且{‖wn‖+‖un‖+‖vn‖}+‖q‖<∞.由于T:D→D是广义一致L-Lipschitz的，因此存在L≥1，使∀x,y ∈D，‖Tnx-Tny‖≤L(1+‖x-y‖).于是因E是一致光滑Banach空间，正规对偶映象J:E→2E*是单值的，利用J(·)在E的有界子集上一致连续性有en=‖‖→0(n→∞).记An+1=(1-αn-γn-μn)xn+αnTnyn+μnwn,应用引理1并化简得‖‖注意到式(2)，存在n0，当∀n>n0时，式(5)可写成其中σ(yn,q)=((φ(‖yn-q‖)/(1+‖yn-q‖2+φ(‖yn-q)‖))∈[0,1).因T是渐近伪压缩型映象，故对q∈F(T)及∀xn∈D有〈Tnxn-q,j(xn-q)〉≤kn‖xn-q‖2+rn(q),∀n≥0,从而由(1)，引理1和广义Lipschitz条件并整理可得将式(7)代入式(6)整理化简可得‖An+1-q‖2≤(1-αn)2‖‖xn-q‖2+‖xn-q‖)2注意到(1+‖xn-q‖)2≤2+2‖xn-q‖2, 由式(8), 当∀n>n0时，有‖xn+1-q‖其中:.令下面考虑两种可能的情形:(I)若r>0,则可取，且∃n1∈N，n1>n0,∀n≥ n1，有σ(yn,q)>τ,下面证,假设,因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞)故∃n2≥n1,∀n≥n2,有‖xn-q‖≥(1+‖xn-q‖)‖xn-q‖,‖.由式(9)∀n≥ n2有‖xn-1-q‖‖xn-q‖+Mγn令‖xn-q‖和bn=Mγn,则，于是∀n≥n2，由式(10)有an+1≤(1-tn)an+bn.由引理2有xn→q(n→∞)这与δ>0矛盾，故δ=0.于是存在子列{xnj}⊂{xn}，使xnj→q(j→∞),即∀ε>0,∃n3∈N,∀nj>n3,有‖xnj-q‖.下面证明m≥1,有‖xnj-q‖<2ε.当m=1时，(i)若‖xnj+1-q‖<ε,则结论成立；(ii)若‖xnj+1-q‖≥ε,由αn→0,γn→0,μn→(n→∞) 及式(3)易知‖xnj-q‖.因λn→0, fn→0,gn→0(n→∞),故∃n4≥n3,∀n≥n4,有,从而∀nj≥n4,由式(9)有‖xnj+1-q‖因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖，即xn→q(n→∞).(II)若r=0, 则存在子列{ynj}⊂{yn}强收敛于q(j→∞). 注意到我们断定{xnj-q}有界，若无界，则必存在子列{xnjk-q}⊂{xnjk-q},使‖‖→+∞(k→∞). 因此((‖xnjk-q‖)/(1+‖xnjk-q‖))→1，这与式(11)矛盾,故{xnj-q}有界，从而‖xnj-q‖‖xnj-q‖)→0(j→∞),于是∀ε>0,∃n5∈N,∀nj>n5,有‖xnj-q‖<ε及‖ynj-q‖<ε.下面证明m≥1,有‖xnj+m-q‖<2ε.当m=1时, 若‖xnj+1-q‖<ε，则结论成立;若‖xnj+1-q‖≥ε，则由式(4)有‖ynj-q‖,‖xnj-q‖,由φ的严格增加性有,其中，则(0，1).因λn→0,fn→0,gn→0(n→∞),故∃n6≥n5,∀n≥n6,有.从而∀nj≥n6,由式(9)有‖xnj-q‖ε.因此由归纳法可证m≥1，有‖xnj+m-q‖ε.再证必要性. 设{xn}n≥0强收敛于q∈F(T).由T是广义Lipschitz条件及αn→0,βn→0,δn→0(n→∞)有‖yn-q‖≤(1-βn-δn)‖xn-q‖+βnL(1+‖xn-q‖)+δn‖vn-q‖→0(n→∞).令{‖yn-q‖}<∞，余下证明与文〔1〕相同，故省略.定理1证毕.〔1〕曾六川. 关于渐近伪压缩型映象的不动点的迭代构造〔J〕. 系统科学与数学，2004， 24(2)： 261-270.〔2〕张树义, 宋晓光, 有限族广义一致拟Lipschitz映象公共不动点的迭代逼近〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2013, 14(1): 17-21.〔3〕张树义, 宋晓光. 广义Lipschitz-φ半压缩算子的迭代收敛性〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2013, 14(5): 520-525.〔4〕张树义, 宋晓光, 万美玲. 非Lipschitz渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2014, 15(5): 581-587.〔5〕张树义, 万美玲, 李丹. 渐近伪压缩型映象迭代序列的强收敛定理〔J〕. 江南大学学报: 自然科学版, 2014, 13(6): 726-730〔6〕张树义, 赵美娜, 李丹. 渐近半压缩映象具混合型误差的迭代收敛性〔J〕. 北华大学学报: 自然科学版, 2015, 16(3): 165-169.〔7〕Reich S. An iterative procedure for constructing zeros of accretivesets in Banach spaces〔J〕. Nonlinear Anal., 1978, 2(1): 85-92.〔8〕Liu L S. Ishikawa and Mann iterative process with errors for nonlinear strongly accretive mappings in Banach space〔J〕. J. Math. Anal. Appl.，1995，194(1)： 114-125.〔9〕张树义. 多值φ-伪压缩映象带混合型误差的Ishikawa和Mann迭代程序的收敛性问题〔J〕. 渤海大学学报: 自然科学版, 2005,26(1):45-48.〔10〕张树义, 刘平. Φ-强增生算子方程的迭代解〔J〕. 渤海大学学报: 自然科学版, 2008,29(3)：228-233.。
不动点迭代总结
非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。
从具体的空间（如pL 空间或pl 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。
可以说成果丰富。
迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。
在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。
下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展一 算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。
2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。
Banach空间中广义Lipschitz Φ-强伪压缩映射的Ishikawa迭代逼近
Banach空间中广义Lipschitz Φ-强伪压缩映射的Ishikawa
迭代逼近
汪志明;薛志群
【期刊名称】《河北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2007(31)3
【摘要】设1<q≤2,T是从实q-一致光滑Banach空间E的非空闭凸子集到自身的广义Lipschitz Φ-强伪压缩映射,且有不动点.证明了Ishikawa迭代强收敛到T 的唯一不动点.
【总页数】6页(P299-304)
【关键词】广义Lipschitz;Φ-强伪压缩映射;Ishikawa迭代法;q-一致光滑的Banach空间;不动点
【作者】汪志明;薛志群
【作者单位】唐山学院基础部;石家庄铁道学院数理系
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Banach空间中Lipschitz严格伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代逼近 [J], 王黎明;崔艳兰
2.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象不动点的带误差的Ishikawa型迭代逼近问题 [J], 王绍荣;杨泽恒
3.q一致光滑Banach空间中非线性Ф-强伪压缩映射和强增生映射的Ishikawa迭代过程 [J], 范瑞琴;薛志群
4.关于Banach空间中Lipschitz强伪压缩映象的带误差的Ishikawa型迭代序列[J], 曾六川
5.广义Lipschitz Φ-强伪压缩映射的Ishikawa迭代过程 [J], 薛志群;田虹
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不动点法特征根法总结
不动点法特征根法总结不动点法（Fixed-Point Method）是一种用于数值计算的迭代方法，用来求解非线性方程的根。
特征根法（Eigenvalue Method）用于求解线性方程组的本征值和本征向量。
本文将对这两种方法进行总结，以便读者更好地理解和应用。
一、不动点法1.原理不动点法是基于不动点定理的迭代方法。
定理指出，如果对于给定的非线性方程f(x) = 0，存在一个实数x*满足f(x*) = x*，则x*称为方程的不动点。
不动点定理指出，如果f(x)连续且在一些区间[a, b]上满足Lipschitz条件，则从一些初始值x0开始的迭代序列：xn+1 = f(xn)，该序列将收敛到方程的不动点x*。
2.迭代步骤不动点法的迭代步骤如下：（1）选择初始点x0；（2）根据不动点迭代公式xn+1 = f(xn)，计算下一个近似值；（3）重复步骤2，直到近似解收敛。
3.应用不动点法最常用于求解非线性方程的根，例如f(x)=x^2-x-1、可以通过构造f(x)=x的形式来找到不动点，即x^2-x-1=x。
然后，选择一个初始点x0，例如0，进行迭代计算，直到近似解收敛。
不动点法对于求解非线性方程的根具有广泛的应用，且相对简单易实现。
但是，不动点法的收敛性并不总是保证，且收敛速度较慢。
因此，在实际应用中需结合具体问题进行选择和优化。
二、特征根法1.原理特征根法是基于线性代数理论的求解线性方程组的方法，用于计算矩阵的本征值和本征向量。
对于一个n阶方阵A，如果存在非零向量x和标量λ使得Ax=λx，则λ为A的本征值，x为A对应于λ的本征向量。
2.求解步骤特征根法求解线性方程组的步骤如下：（1）构造特征方程，将A-λI（其中I为单位矩阵）的行列式设为0；（2）解特征方程，求解出A的所有本征值λ；（3）对于每个本征值λ，将λ带入(A-λI)x=0中，解得A对应于λ的本征向量x。
3.应用特征根法在数值计算和工程领域具有广泛的应用，例如电力系统稳定性分析、结构动力学分析等。
不动点迭代
不动点迭代
不动点迭代可以求解方程f(x)=0在区间[a,b]内的根。
1、不动点（FixedPoint）
首先来看一下什么是不动点【1】：
换句话说，函数φ的不动点是y=φ(x)与y=x的交点，下图画出了函数y=cos(x)与y=x 在区间[0,π/2]的交点，即cos(x)的不动点【2】：
2、不动点迭代（Fixed Point Iteration）
不动点迭代又称为简单迭代（simple iteration）。
下面来看一下不动点迭代【3】：
也就是说，为了求解方程f(x)=0，首先将方程转换为x=g(x)，然后初始化x0，循环迭代xi+1=g(xi)，直到满足收敛收件。
这里将方程f(x)=0转换为x=g(x)是很容易的，比如对于f(x)=x-cos(x)，求解f(x)=0即为求解x-cos(x)=0，即x=cos(x)，因此g(x)=cos(x)；再例如对于方程【4】
可以等价为
还可以等价为
也就是说，将方程f(x)=0转换为x=g(x)有不同的方式，因此对方程f(x)=0来说，g(x)也不是唯一的。
3、不动点迭代的收敛性
这个迭代过程是很简单的，但这里有个关键性的问题：迭代收敛么？即经过N次迭代后是否会收敛于不动点？
3.1 例子
先看两个例子，这里有两个方程【5】：
可以通过其它方法得到方程E1和E2的根：
画出E1和E2曲线：。
6[1]2_不动点迭代法及其收敛定理(精)
![6[1]2_不动点迭代法及其收敛定理(精)](https://img.taocdn.com/s3/m/52750928a32d7375a4178076.png)
xk 1 xk L xk xk 1
xk 1 x * L xk x *
L xk 1 x * ( xk 1 xk )
L xk 1 x * L ( xk 1 xk )
xk 1 L x* xk 1 xk 1 L
L xk x * xk xk 1 1 L 2 L xk 1 xk 2 1 L
第6章 方程与方程组的迭代解法
§ 6.2 不动点迭代法及其收敛定理
一、迭代法原理
将非线性方程 f (x) = 0 化为一个同解方程
x ( x)
并且假设 ( x)为连续函数
--------(2)
任取一个初值 x0 , 代入(2)的右端, 得 x1 ( x0 ) 继续 x2 ( x1 )
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数
点后6位
解:
e 10x 2 0 x 由于e 0,
x
则2 10x 0
x 0 .2
x 0时,
0 e 1,
x
2 10 x 2
3 2
显然迭代法发散 (2) 如果将原方程化为等价方程
x1 2
仍取初值
x0 0
x1 3
x2
3
x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
x1
x3 x * x2
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用摘要不动点定理是研究方程解的存在性与唯一性理论的重要工具之一.本文给出了线性泛函分析中不动点定理的几个应用,并通过实例进行了说明.同时,介绍了非线性泛函分析中的不动点定理——Brouwer不动点定理和Leray-Schauder不动点定理.关键词不动点;不动点定理;Banach空间Fixed Point Theorems and Its ApplicationsAbstract The fixed point theorem is one of important tools in studying the existence and uniqueness of solution to functional equation .In this paper,the fixed theorem in linear functional analysis and its applications are introduced and the corresponding examples are ,the Brouwer and Leray-Schauder fixed point theorems are also involved.Key Words Fixed point , Fixed point theorem, Banach Space不动点定理及其应用0 引言在线性泛函中,不动点定理是研究方程解的存在性与解的唯一性理论[1-3].而在非线性泛函中是研究方程解的存在性与解的个数问题[4],它是许多存在唯一性定理（例如微分方程,积分方程,代数方程等）的证明中的一个有力工具. 下面给出不动点的定义.定义 设映射X X T →:,若X x ∈满足x Tx =,则称x 是T 的不动点.即在函数取值的过程中,有一点X x ∈使得x Tx =.对此定义,有以下理解.1）代数意义：若方程x Tx =有实数根0x ,则x Tx =有不动点0x .2）几何意义：若函数()x f y =与x y =有交点()00,y x 则0x 就是()x f y =的不动点.在微分方程、积分方程、代数方程等各类方程中,讨论解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性始终是一个极其重要的内容. 对于许多方程的求解问题，往往转化为求映射的不动点问题,同时简化了运算.本文将对不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中的应用加以探索归纳.1 Banach 不动点定理及其应用 相关概念首先介绍本文用的一些概念.定义1.1.1[3]设X 为距离空间,{}n x 是X 中的点列,若对任给的0>ε,存在0>N ,使得当N n m >,时,()ερ<n m x x ,.则称点列{}n x 为基本点列或Cauchy 点列.如果X 中的任一基本点列均收敛于X 中的某一点,则称X 为完备的距离空间.定义1.1.2[3]定义在线性空间上的映射统称为算子.定义1.1.3[3]给定距离空间()ρ,X 及映射T :X X →,若X x ∈满足x Tx =，则称x 是T 的不动点.Banach 不动点定理定理 1.2.1[3]设X 是完备的距离空间，距离为ρ.T 是由X 到其自身的映射，且对任意的X y x ∈,,不等式()(),,Tx Ty x y ρθρ≤成立,其中θ是满足不等式01θ≤<的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点.即存在唯一的X x ∈,使得x x T =.证明 在X 中任意取定一点0x ,令01Tx x =，12Tx x =，…，n n Tx x =+1，… 首先证明{}n x 是X 中的一个基本点列. 因为()()()()00101021,,,,Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=； ()()()()002212132,,,,Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=； ……………………… 于是()()001,,Tx x x x n n n ρθρ≤+， ,3,2,1=n()()()()p n p n n n n n p n n x x x x x x x x +-++++++++≤,,,,1211ρρρρ()()0011,Tx x p n n n ρθθθ-+++++≤()()()0000,1,11Tx x Tx x np n ρθθρθθθ-≤--=. 又10<≤θ,故(),0∞→→n n θ即{}n x 是基本点列.由于X 完备,所以由定义1.1.1知{}n x 收敛于X 中某一点x .另外,由()(),,Tx Ty x y ρθρ≤知,T 是连续映射.在n n Tx x =+1中,令,∞→n 得x x T =,因此x 是T 的一个不动点.下面证明唯一性.设另有y 使y T y =,则()()(),,,,y x y T x T y x θρρρ≤=考虑到10<≤θ,则有(),0,=y x ρ即y x =.定理 1.2.2[3]设T 是由完备距离空间X 到其自身的映射,如果存在常数:1o θθ≤<以及自然数0n 使得(,)(,)n n T x T y x y ρθρ≤(,)x y X ∈ ()1那么T 在X 中存在唯一的不动点.证明 由不等式()1,0n T 满足定理1.2.1的条件,故0n T 存在唯一的不动点0x .现在证明0x 也是映射T 唯一的不动点.事实上10000()()()n n n T Tx T x T T x Tx +===可知,0Tx 是映射0n T 的不动点.由0n T 不动点的唯一性,可得00Tx x =,故0x 是映射T 的不动点.若T 另有不动点1x ,则由01111111n n n T x T Tx T x Tx x --=====知1x 也是0n T 的不动点.仍由唯一性,可得10x x =.Banach 不动点定理的应用1.3.1在讨论积分方程解的存在性与唯一性中的应用例1.3.1.1给定积分方程()()()()ds s x s t K t f t x ba ⎰+=,λ ()2其中()t f 是[]b a ,上的已知连续函数,()s t K ,是定义在矩形区域b s a b t a ≤≤≤≤,上的已知连续函数,证明当λ足够小时（λ是常数）,()2式在[]b a ,上存在唯一连续解.证明 在[]b a C ,内规定距离()()()1212,max a t by y y x y x ρ≤≤=-令 ()()()()()ds s x s t K t f t Tx ba⎰+=,λ则当λ充分小时,T 是[][]b a b a C C ,,→的压缩映射. 因()()()()()1212,max a t bTx Tx Tx t Tx t ρ≤≤=-()()()()()()()()121212max ,max ,,,ba t baba tb aK t s x s x s dsK t s x s x s ds M x x λλλρ≤≤≤≤=-≤-≤⎰⎰其中()max ,ba t baM K t s ds ≤≤=⎰,从而当1M λ<时,T 是压缩映射,则由定理1.2.1知方程对于任一()[]b a C t f ,∈解存在并且唯一.例1.3.1.2 考虑微分方程初值问题()⎪⎩⎪⎨⎧===,,,00y y y x f dx dyx x ()3 其中()2R C f ∈,且()y x f ,关于y 满足Lipschitz 条件,即存在0>L 使()()'',,y y L y x f y x f -≤-，R y y x ∈',, ()4则初值问题()3在R 上存在唯一解.证明 微分方程(3)等价于积分方程 ()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0,0，取0>δ,使.1<δL 在[]δ+00,x x C 上定义映射()()()(),,00dt t y t f y x T xx ⎰+=φ则由(4)式得ϕφT T -=()()()()0max ,,xx x x x f t t f t t dt δϕφ≤≤+⎡⎤-⎣⎦⎰ ()()000maxxx x x x L t t dt δϕφ≤≤+≤-⎰,ϕφδ-≤L []δϕφ+∈00,,x x C ，已知1<δL ,故由定理 1.2.1知存在唯一的连续函数[],,000δφ+∈x x C 使,00φφT =即()()()dt t t f y x xx ⎰+=0000,φφ，且()x 0φ在[]δ+00,x x 上连续可微，且()x y 0φ=就是微分方程()2在[]δ+00,x x 上的唯一解.1.3.2在数列求极限中的应用由定理1.2.1的证明可知,若f 是[]b a ,上的压缩映射,则对[]b a x ,1∈∀,由递推公式()n n x f x =+1确定的数列{}n x 收敛,且n n x x ∞→=lim 0为f 的唯一不动点.例 1.3.2.1[5]证明：若()x f 在区间[]r a r a I +-=,上可微,()1<≤'a x f 且()()r a a a f -≤-1，任取I x ∈0.令()()()n n x f x x f x x f x ===+11201,,, ,则**lim ,n n x x x →∞=为方程()x f x = 的根（即*x 为()x f 的不动点）.证明 已知I x ∈0,设I x n ∈则()()(){}()a a f a x f a a f a f x f a x n n n -+-≤-+-=-+ξ'1（),(a x n ∈ξ） 由已知得 ()r r a ar a x n =-+≤-+11即I x n ∈+1,从而得知,一切I x n ∈.由微分中值定理,存在ξ在n x 与1+n x 之间,即I ∈ξ使得()()()()10,11'11<<-≤-≤-=----+a x x a x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ.这表明()n n x f x =+1是压缩映射,所以{}n x 收敛.又因()x f 连续.在()n n x f x =+1里取极限知{}n x 的极限为()x f x = 的根.例 1.3.2.2[9]设[];3,2,22,1,0,2121 =-=∈=-n x a x a a x n n 求证数列{}n x 收敛并求其极限.证明 易知20ax n ≤≤.则我们在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上考虑函数()222x a x f -=,对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀2,0,21a x x 有()()21212122122122122x x a x x x x x x x f x f -≤+-=-=- []()1,0∈a .即()x f 是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0a 上的压缩映射.从而{}n x 收敛于方程的解.设22020x a x -=得110-+=a x .1.3.3在数学建模中的应用不动点定理也是连续函数的一个重要性质,在数学分析中我们就知道这样一个结论“闭区间上的连续函数必然存在不动点”.在一些数学建模题目的解答上应用不动点定理会使得求解更简单,下面就介绍几个不动点定理在数学分析中的形式及其在解决数学建模问题中的应用,进而深化对不动点定理的认识以及说明此定理应用的广泛性.引理 1.3.3.1[6-7]设()x f 在[]b a ,上连续，且()()b f a f ,异号,则()x f 在[]b a ,内至少存在一点c 使得()0=c f .定理 1.3.3.2[6-7]设()x f 是定义在[]b a ,上的连续函数,其满足()b x f a ≤≤，则在[]b a ,上至少存在一个不动点0x ,即()00x x f =.例 1.3.3.1 日常生活中常有这样一个经验：把椅子往不平的地面上放,通常只有三个脚着地,放不稳,然而只需稍挪动几次,就可以是四只脚同时着地,放稳了.我们将这个问题转化为纯数学问题.现在应用不动点定理对其进行解释说明.模型假设： 对椅子和地面做一些假设：1）椅子四条腿一样长,倚脚与地面可视为一点,四脚的连线呈正方形. 2）地面高度是连续变化的,沿任何地方都不会出现间断点（没有像台阶那样的情况）.即地面可视为数学上的连续曲面.3）对于椅脚的间距和倚腿的长度而言,地面是相对平坦的,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.4）椅子转动时中心不动.模型分析：在图1中椅脚连线为正方形ABCD ,对角线AC 与x 轴重合,椅子绕中心点O 旋转角度θ后,正方形ABCD转至D C B A ''''的位置,所以对角线AC 与x 轴夹角θ表示了椅子的位置.其次要把椅脚着地用数学符号表示出来.如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了，椅子在不同位置是椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量θ的函数.设()θf 为C A ,两脚与地面距离之和，()θg 为D B ,两脚与地面距离之和.由假设2）知,()θf 和()θg 都是连续的函数.由假设3）,椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，所以对于任意的θ，()θf 和()θg 中至少有一个为零.即()θf ()θg =0，当0=θ时不妨设()()0,0>=θθf g .从而数学问题就转化为求证存在0θ,使x()()000==θθg f ,⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ.模型求解：令()()().θθθg f h -=因()()()0222,0000<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛>-=πππg f h g f h .则由定理1.3.3.2知,必存在,2,00⎪⎭⎫⎝⎛∈πθ使(),00=θh 即()()000==θθg f .1.3.4在解线性方程组中的应用例1.3.4.1[1]设有线性方程组b Cx x +=其中()ij c C =是n n ⨯方阵，()Tn b b b b ,,,21 =是未知向量,证明：若矩阵C 满足1sup 1,1,2,,nij ij c i n =<=∑，则方程b Cx x +=有唯一解.证明 设X 是n R （或n C ）,定义度量()i i ni y x y x -=≤≤1max ,ρ,则X 是完备的度量空间.作映射.,,:X x b Cx Tx X X T ∈+=→若()(),,,,,,,,2121X y y y y X x x x x Tn Tn ∈=∈=则 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑=≤≤i j ij n j i j ij n i b y c b x c Ty Tx 11max ,ρ()()y x a y x c y x c nj ij ni j j n j ij ni ,,max max 1111ρρ=≤-≤∑∑=≤≤=≤≤而,1max 11<=∑=≤≤nj ij ni c a 所以T 是X 上的压缩映射,定理1.2.1知,存在唯一的n R x ∈*,使得b Cx x +=**.2 Leray —Schauder 不动点定理 相关概念定义2.1.1[3]称映射:f U Y →在0x U ∈处连续,是指对任给0ε>,存在0δ>,当x U ∈且0x x δ-<时,恒有0()()f x f x ε-<.若f 在U 内每一点连续,则称f 在U 上连续.定义 2.1.2[4]设,X Y 为线性赋范空间,D X ⊂,称映射:F D Y →为紧映射,如果F 将D 中的任何有界集S 映成Y 中的相对紧集()F S ,即()F S 是Y 的紧集.如果映射F 是连续的,则称F 为紧连续映射,或全连续映射.定义 2.1.3[3]设M 是U 的一个子集,如果对任意的M y y ∈21,以及满足10≤≤α的任意实数α,元素21)1(y y αα-+仍属于M ,则称M 是U 的凸集.如果M既是闭集且凸集,则称M 是U 中的闭凸集.Leray —Schauder 不动点定理及应用定理2.2.1（Brouwer 不动点定理）设Ω是n R 中的有界闭凸子集，Ω∂表示Ω的相对边界；设),(n R C f Ω∈并且满足Ω⊂Ω∂)(f .则在Ω上必有不动点.例2.2.1 设B 是实2l 空间的闭单位球,令B B f →:为(),,,,1212⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ξξx x f ().B x k ∈=ξ则f 在B 上连续,但f 在B 上却没有不动点（否则，存在B x ∈，使()x x f =.由此推得,,,11221 ξξξ=-=x 再由2l x ∈得0=x ,这又导致()()x x f ≠= ,0,0,1，得到矛盾）.在应用中,常常涉及到无穷维空间（如[][]b a L b a C ,,,2）上的算子,由上例可知，Brouwer 不动点定理对无穷维空间不再成立,尽管如此,我们注意到有线维空间的有界闭集即紧集,若将Brouwer 不动点定理中的“有界闭凸集”改为“紧凸集”，则可利用Leray —Schauder 度理论,就可以说明下述结论.定理2.2.2（Schauder 不动点定理） 设D 是实Banach 空间E 中的非空紧凸集,D D A →:连续,则A 在D 上必有不动点.定理2.2.3（Leray —Schauder 不动点定理）设D 是实Banach 空间E 中的非空有界闭凸集,若算子D D A →:全连续,则A 在D 上必有不动点.例2.2.1考察Urysohn 积分方程()()(),,x t k t s x s ds Ω=⎰ ()5解的存在性,其中Ω是n R 中的有界闭集,()u s t k ,,在R ⨯Ω⨯Ω上连续,并满足()R u s t u u s t k ∈Ω∈+≤,,,,,βα ()6 这里().1,0,0<Ω>>m ββα证明方程()5在Ω上必有连续解.证明 令)()(:Ω→ΩC C A 为()()()(),,Ax t k t s x s ds Ω=⎰，则可知A 是全连续算子.令{},|)(,)(1)(γβαγ≤Ω∈=Ω-Ω=x C x D m m 则D 是)(ΩC 中的有界闭凸集,且当D x ∈是,由()6得()()()ds s sx t k t Ax ⎰Ω≤,()()ds s x ⎰Ω+≤βα Ω+Ω≤m x m βαγβγα=Ω+Ω≤m m 故,γ≤Ax 此即D Ax ∈.由定理 2.2.3知,A 在D 上必有不动点,即存在D x ∈使()()(),,,x t k t s x s ds Ω=⎰因此x 是方程()5在Ω上的连续解. 3 总结不动点定理及其变换形式在线性分析和非线性分析中以及其他领域有着广泛的应用.本文只是总结了在线性分析和非线性分析中最基本的应用,随着不动点定理的不断发展和完善,将会有更多更广泛的应用.参考文献[1]吴翊，屈田兴.应用泛函分析[M].长沙：国防科技大学出版社，2002.[2]程其蘘,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2003.[3]王声望,郑维行等. 实变函数与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2003.[4]钟承奎，范先令等.非线性泛函分析引论[M].兰州：兰州大学出版社，2004.[5]钱吉林.数学分析题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002.[6]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[7]华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.[8]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2006.[9]张卿.压缩映象原理的证明及应用[J].衡水学院学报，2008.。
matlab不动点迭代法求方程的根
不动点迭代法是求解非线性方程的一种常用方法，其原理是通过将原方程转化为不动点方程，并通过迭代来逼近方程的根。
在MATLAB中，我们可以利用不动点迭代法来求解方程的根，下面我将详细介绍该方法的原理和使用步骤。
1. 不动点迭代法的原理不动点迭代法的基本思想是将原方程化为不动点方程，即将方程f(x)=0 转化成g(x)=x 的形式，其中g(x) 是一个满足一定条件的函数。
然后通过迭代计算不动点序列 {x_k}，当序列收敛时，即可得到方程的根。
2. 使用不动点迭代法求解方程的步骤我们需要将原方程 f(x)=0 转化成 g(x)=x 的形式，确定函数 g(x)。
然后选择一个初始值 x_0，并进行迭代计算，直到满足精度要求或者迭代次数达到上限为止。
3. MATLAB中的实现在MATLAB中，可以使用函数形式来表示不动点迭代法。
定义一个函数 f(x) 和一个不动点迭代函数 g(x)，然后通过循环迭代计算来逼近方程的根。
在迭代过程中，可以设置一个收敛判据，当满足条件时即可停止迭代。
4. 个人观点和理解不动点迭代法是一种简单而有效的求解非线性方程的方法，其原理清晰、实现简单。
在MATLAB中，通过编写相应的函数和循环来实现该方法，可以更快速地求解方程的根。
不过需要注意的是，不动点迭代法的收敛性和收敛速度受到选择的初始值和迭代函数的影响，需要谨慎选择才能得到准确的结果。
利用不动点迭代法在MATLAB中求解方程的根是一种实用而重要的技能，可以帮助我们更好地解决实际问题。
希望我的文章能够帮助你更深入地理解这一方法，并在实践中灵活运用。
不动点迭代法是一种常用的求解非线性方程的方法，其原理和使用步骤在上文中已经有了详细介绍。
在本节中，我们将进一步探讨不动点迭代法的收敛性、迭代函数的选择和初始值的影响，以及在实际使用中需要注意的问题。
我们来讨论不动点迭代法的收敛性。
在使用不动点迭代法求解方程的过程中，我们需要考虑迭代函数 g(x) 是否满足一定的条件使得不动点序列 {x_k} 收敛到方程的根。
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φ序lipschitz算子的不动点定理及其迭代逼近
Lipschitz算子的不动点定理和迭代逼近是求解可微函数最小值问题
的一种重要方法。
下面给出Lipschitz算子不动点定理及其迭代逼近机
制的原理与应用：
一、 Lipschitz算子的不动点定理
以一阶Lipschitz算子为例，它是指无约束的可微的函数（例如
f:R^n→R）的梯度函数||∇f(x)||，其梯度的L-Lipschitz常数满足关系为：||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||
如果f是满足L-Lipschitz条件的一阶可微函数，给定 L-Lipschitz常数
L > 0，你就可以根据其梯度来定义一个具有不动点的收敛序列：
x(k+1) = x(k) - 1/L∇f(x(k)）
上式的证明就是经典的Lipschitz算子不动点定理。
该定理显示，在满
足一定约束条件时，满足L–Lipschitz算子的可微函数的梯度函数将产
生一种不动点的收敛序列；因此，可以使用极小化序列来找到最小值。
二、Lipschitz算子的迭代逼近
Lipschitz算子的迭代逼近是指使用L-Lipschitz常数逐步近似最小值的
逐渐进行函数极小化的方法。
这是由于：当f是Lipschitz算子连续且可微的，且存在极值点时，其
偏导数需满足L-Lipschitz条件，满足此条件的f的梯度的norm满足L-Lipschitz，即：
||∇f(x)-∇f(y)|| ≤ L||x-y||, L>0
因此当x在空间（R^n）中满足L-Lipschitz关系，不动点序列可迭代至最小值。
它是一种计算最小值的标准迭代方法，通过一系列不动点逼近f（x）的最小值。
三、 Lipschitz算子的应用
Lipschitz算子的最小值收敛序列在实际应用中有很多。
在优化学习模型中，Lipschitz算子可用于改进优化技术，如梯度下降，随机梯度下降和Adam算法。
同时，Lipschitz算子的最小值收敛序列也被用于机器学习，模式识别和计算机视觉等领域。
总之，Lipschitz算子的不动点定理和迭代逼近是求解函数最小值问题中重要的算法。
它不仅可用于优化学习模型，而且还可以应用于机器学习，模式识别和计算机视觉等领域。
因此，Lipschitz算子的不动点定理和迭代逼近的研究有重要的意义。