同角三角函数基本关系
同角三角函数基本关系
同角三角函数的基本关系如下：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1。
(2)商数关系：＝tanα。
同角三角函数关系式的常用变形：
(sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα。
诱导公式的记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点 [归纳·知识整合] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？ 提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α 3＝1，tan 4α＝sin 4α cos 4α 等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立． 2．诱导公式 即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． [探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－ α，π 2 ＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝1 2，则sin α的值为( ) A ．±1 2 B.12 C.32 D ．±32 解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－1 2， ∴sin α＝±1－cos α2＝±3 2. 2．tan 690°的值为( ) A ．－ 3 3 B.33 C. 3 D ．－ 3 解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 3 3 . 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos α sin α＋cos α的值为( ) A ．－13 B ．－53 C.13 D.53 解析：选C sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝1 3 . 4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜3 2π，则cos α－sin α＝________. 解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝4 3π， ∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 4 3π ＝－cos π3＋sin π3＝－12＋3 2＝3－12. 答案： 3－1 2 5．计算sin 10π 3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎫4π＋π3
同角三角函数
同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式 根据三角函数定义，容易得到如下关系式 (1)平方关系 sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (2)乘积关系 sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα cotα=cosα²cscα,cscα=cotα²secα secα=cscα²tanα,tanα=secα²sinα (3)倒数关系 sinα²cscα=1,cosα²secα=1,tanα²cotα=1 说明：(1)以上关系式仅当α的值使等式两边都有意义时才能成立.例如，当α=(k ∈Z)时，tanα²cotα=1就不成立. 另外，要注意是同角，如sin2α+cos2α=1，但sin2α+cos2β=1就不恒成立. (2)对公式除了顺用，还应学会逆用、变用、活用.例如，由sin2α+cos2α=1变形为cos2=1-sin2α,cosα=±,sinα²cosα=等等. 对于cosα=±,“±”号的选取要由α所在象限来确定，当α在第一或第四象限时，取“+”；当α在第二或第三象限时，取“-”.而对于其他形式的公式就不必考 虑符号问题.如α是第二象限角，tanα=而不能认为tanα=- (因为α是第二象限角，所以tanα为负值).其实α在第二象限，sinα为正值，cosα为负值，所以tanα =结果自然得负值，如果再加“-”，结果就得正值了.
(3)要注意“1”的代换.如可用sin2α+cos2α,sec2α-tan2α,sinα²cscα,tanα²cot α等去代换1. (4)记忆方法(如图).首先某函数与它的余函数在同一水平线上. ①在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，如tanα²cotα=1. ②在阴影的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方，如1+tan2α=sec2α。 ③任意一个顶点上的三角函数值等于与它相邻的两个顶点的函数值的乘积，如sinα=cosα²tanα,cosα=sinα²cotα. 2.同角三角函数关系式的应用 主要解决如下几类问题： (1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其它三角函数. (2)三角函数式的化简. (3)证明三角恒等式，熟悉几种常用方法. 【重点难点解析】 1.同角三角函数的基本关系反映了各种三角函数之间的内在联系，这些关系式为三角函数式的求值、化简与证明等恒等变形提供了工具和方法，导出这些关系式的过程与方法——利用三角函数的定义方法，本身就是一种重要的证题方法. 2.已知角α的一种三角函数值，而利用关系式求其它三角函数值时，一般要用一次平方关系式，此时在实施开方运算而选择符号时，要依据α的象限定符号，而用其他关系式时，则结果取自然运算符号. 3.对三角函数式的化简问题，首先要明确化简标准与目标，即要尽量使次数低、项数少、函数种类少；尽量使式中不含三角函数；尽量使分母中不含三角函数；能求出值的必须求出值. 对于三角恒等式的证明，要明白其实质是通过恒等变形消除等式两端外形上的差异，因此观察与寻找恒等式两边在角、函数名称、代数结构之间的变化规律，是确定实施怎样的变形以及选择什么样的三角公式的依据，这些恒等变形的能力要重点培养. 相关例题 例1已知tanα=m(π＜α＜2π且m≠0），求sinα,cosα的值. 分析：已知角α的一个三角函数值，求它的其他三角函数，可利用同角三角函数的关系式.又因为tanα的值是用字母m给出的，所以要对字母m的正负进行分类讨论. 解：当m＞0时，α为第三象限角， ∵sec2α=1+tan2α=1+m2,∴secα=-. ∴cosα==-,
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 倒数关系: tanα ²cotα=1 sinα ²cscα=1 cosα ²secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA²cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式 sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a ² tan(π/3+a)² tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin(3a) =sin(a+2a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin^3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa =4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α诱导公式 sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－ cosα cos（3π/2－α）＝－ sinα tan（3π/2－α）＝ cotα cot（3π/2－α）＝ tanα sin（3π/2＋α）＝－ cosα cos（3π/2＋α）＝ sinα tan（3π/2＋α）＝－ cotα cot（3π/2＋α）＝－ tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)
同角三角函数关系
同角三角函数关系 倒数关系： ；； 商的关系： ； 平方关系： ；； 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角－α与α的三角函数值之间的关系： 公式四：π－α与α的三角函数值之间的关系： 公式五：2π－α与α的三角函数值之间的关系： 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限。[3]和差角公式 和差化积
积化和差 倍角公式 二倍角 半角公式 （正负由所在的象限决定） 万能公式
正弦定理 正弦定理(1)：在△ABC中，a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R 其中，R为△ABC的外接圆的半径。 正弦定理（2）：在△ABC中，S=½a*b*sinC=½b*c*sinA=½a*c*sinB 其中，S为△ABC的面积。 余弦定理 余弦定理：在△ABC中， a^2=b^2+c^2-2bc·cosA b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos B c^2=b^2+a^2-2ab·cos C
三角函数的同角关系公式
三角函数的同角关系公式 引言 三角函数是数学中非常重要的一组函数，它们描述了角度和三角形之间的关系。在三角函数中，同角关系公式是一条非常重要的公式，它能够将不同的三角函数互相转化，为求解各种三角函数的值提供了便利。本文将围绕同角关系公式展开讨论，并深入探究其应用。 同角关系公式的定义 在三角函数中，同角关系公式是指一组将不同的三角函数相互表示的公式。在解决实际问题时，我们常常会遇到需要求解不同三角函数的值的情况，而同角关系公式能够帮助我们将一个三角函数的值转化为另一个三角函数的值，从而简化计算。同角关系公式的基本形式如下： 1.正弦函数的同角关系公式： s i n(-θ)=-s in(θ) 2.余弦函数的同角关系公式： c o s(-θ)=co s(θ) 3.正切函数的同角关系公式： t a n(-θ)=-t an(θ) 4.余切函数的同角关系公式： c o t(-θ)=-c ot(θ) 5.正割函数的同角关系公式： s e c(-θ)=se c(θ) 6.余割函数的同角关系公式： c s c(-θ)=-c sc(θ) 同角关系公式的推导和证明
同角关系公式可以通过单位圆的性质和三角函数的定义来推导和证明。这里我们以正弦函数的同角关系公式为例进行说明。 考虑一个半径为1的单位圆，以原点为圆心。取一个顺时针旋转的角 度θ（弧度制），则θ所对应的弧长为θ，并且在单位圆上取得了一个 点P(x,y)。根据正弦函数的定义，我们有： s i n(θ)=y 接下来，我们考虑一个逆时针旋转的角度-θ，则其对应的弧长也为 θ，并且在单位圆上取得了一个点Q(-x,y)。根据正弦函数的定义，我 们有： s i n(-θ)=y 由于点P和点Q的纵坐标相同，所以有s in(-θ)=s in(θ)。根据同 理可得证明余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数的同角 关系公式。 同角关系公式的应用 同角关系公式在解决实际问题中具有广泛的应用。以正弦函数的同角 关系公式为例，我们可以利用该公式来简化计算、求解未知数等。 例如，我们需要计算s in(-π/3)的值。通过同角关系公式，我们可 以将该问题转化为si n(π/3)的计算，由于π/3所对应的角度在单位圆 上对应的点恰好是一个等边三角形的顶点，因此s in(π/3)的值是√3/2。又根据正弦函数的同角关系公式，我们知道si n(-π/3)的值也是√3/2。 同样地，利用同角关系公式，我们可以在解决三角函数的值、方程、 不等式等问题时，将复杂的计算转化为简单而直观的计算，大大提高了计 算的效率和准确性。 结论 同角关系公式是描述三角函数之间互相转化的重要工具，它能够帮助 我们将不同三角函数的值互相转化，简化计算并提高解题效率。通过深入 理解同角关系公式的定义、推导和应用，我们可以更好地应用三角函数解 决实际问题，并进一步扩展和应用数学的相关知识。
三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式倒数关系: 商的关系： 平方关系：
两角和与差的三角函数公式万能公式
半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的和差化积公式
三角函数的积化和差公式 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） 三角函数值（附三角函数值表）来源：中考网整合文章作者：中考网编辑 2010-01-08 13:27:40 [标签：三角函数]中考热点资讯免费订阅（1）特殊角三角函数值
（2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下）（3）锐角三角函数值的变化情况
（i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. “锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法，是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。 附：三角函数值表
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、基础知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π 2(k ∈Z)． 2．诱导公式 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中 的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中，将α看 成锐角时，“k ·π 2 ＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限. 二、常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α????α≠π 2＋k π，k ∈Z .
考点一 三角函数的诱导公式 [典例] (1)已知f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ????－25π 3的值为________． (2)已知cos ????π6－α＝23，则sin ? ???α－2π 3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π 2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝ －sin α(－cos α) (－cos α)??? ?－sin αcos α＝cos α， 所以f ????－25π3＝cos ????－25π3＝cos π3＝1 2 . (2)sin ????α－2π3＝－sin ????2π3－α＝－sin ????π－????π3＋α＝－sin ????π3＋α＝－sin ??? ?π2－? ???π 6－α＝－cos ????π6－α＝－23 . [答案] (1)12 (2)－23 [题组训练] 1.已知tan α＝1 2，且α∈????π，3π2，则cos ????α－π2＝________. 解析：法一：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π 2知α为第三象限角， 联立????? tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得5sin 2α＝1，故sin α＝－5 5 . 法二：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝1 2，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－ 55 . 答案：－ 55 2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋1 4＋1＝2. 答案：2
同角三角函数的基本关系
第十一节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛ ⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．六组诱导公式 对于角“k π 2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不 变”是指“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 课前检测 1．sin 585°的值为( ) A ．－ 2 2 B.22 C ．－ 3 2 D.32 解析：选A sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22 . 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π 2，则θ等于( ) A ．－π6 B ．－π3 C.π6 D.π3 解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|<π2，∴θ＝π 3. 3．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫ π2＋θ－cos (π－θ) sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D.2 3 解析：选B 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝2 1－2 ＝－2.
4．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是____1 2____． 解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎫32π－A ＝－sin A ＝1 2. 5．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝___－25 5_____. 解析：由题意知cos α<0，又sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝ sin αcos α＝－12.∴cos α＝－25 5 . 应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． (2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化． 一、同角三角函数的基本关系式 [例1] (1)若tan θ＋ 1 tan θ ＝4，则sin 2θ＝( ) A.15 B.1 4 C.1 3 D.12 (2)已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，则sin α－4cos α 5sin α＋2cos α＝________. [自主解答] (1)∵tan θ＋ 1tan θ＝4，∴sin θcos θ＋cos θsin θ ＝4， ∴sin 2θ＋cos 2θcos θsin θ＝4，即2sin 2θ＝4，∴sin 2θ＝1 2 . (2)法一：由sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α得tan α＝2.原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－1 6. 法二：由已知得sin α＝2cos α.原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1 6. [答案] (1)D (2)－1 6 在(2)的条件下，sin 2α＋sin 2α＝________. 解析：原式＝sin 2 α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1 ＝8 5. 答案：8 5
三角函数同角三角函数的关系
三角函数同角三角函数的关系正文部分： 三角函数是我们学习高中数学时经常遇到的内容之一，而同角三角 函数是我们对三角函数的一个重要拓展。本文将详细介绍三角函数和 同角三角函数之间的关系。 一、三角函数的定义 在介绍同角三角函数之前，我们首先需要了解三角函数的定义。在 直角三角形中，我们可以定义三个基本的三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。它们的定义如下： 正弦函数sinA = 对边/斜边 余弦函数cosA = 邻边/斜边 正切函数tanA = 对边/邻边 二、同角三角函数 同角三角函数是指角度相同的两个三角函数之间的关系。对于角度 A而言，同角三角函数包括正弦函数sinA、余弦函数cosA、正切函数tanA以及它们的倒数，即正割函数secA、余割函数cosecA和余切函数cotA。 其中，正割函数secA = 1/cosA，余割函数cosecA = 1/sinA，余切函 数cotA = 1/tanA。它们与sinA、cosA和tanA之间存在着特定的关系。
三、同角三角函数的关系 1. 正弦函数和余割函数的关系 根据sinA和cosecA的定义，我们可以得到如下的关系：sinA = 1/cosecA，即sinA = 1/(1/sinA)，进而推导得sin^2A = 1。这表明正弦函数和余割函数之间存在着倒数关系。 2. 余弦函数和正割函数的关系 根据cosA和secA的定义，我们可以得到如下的关系：cosA = 1/secA，即cosA = 1/(1/cosA)，进而推导得cos^2A = 1。这表明余弦函数和正割函数之间存在着倒数关系。 3. 正切函数和余切函数的关系 根据tanA和cotA的定义，我们可以得到如下的关系：tanA = 1/cotA，即tanA = 1/(1/tanA)，进而推导得tan^2A = 1。这表明正切函数和余切函数之间存在着倒数关系。 这些关系的存在使得我们在解决数学问题时能够更加灵活地应用同角三角函数。 四、同角三角函数的应用 同角三角函数的应用非常广泛，特别是在三角方程的求解中。通过同角三角函数的关系，我们可以将一个三角方程转化为另一个更简单的三角方程，从而更便捷地求解出未知数的值。
1.2.2同角三角函数的基本关系
1.2.2同角三角函数的基本关系 猜想：sin 2α+cos 2α=1 αααcos sin tan = 二、知识探究（一）：基本关系 （1、以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长度构成直角三角形，由勾股定理得sin 2α+cos 2α=1 2、根据三角函数的定义当)(2Z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =） 思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P ，那么，正弦线MP 和余弦线OM 的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？ MP 2+OM 2=1 sin 2α+cos 2α=1 思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？ sin 2α+cos 2α=1 思考3：设角α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，根据三角函数定义，有sin α=y ，cos α=x ，)0(tan ≠=x x y α， 由此可得sin α，cos α，tan α满足什么关系？ αα αtan cos sin =
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？ )(2Z k k ∈+≠π πα 思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？ sin 2α+cos 2α=1 αα αtan cos sin = 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于这个角的正切. 三、知识探究（二）：基本变形 思考1：对于平方关系sin 2α+cos 2α=1可作哪些变形？ sin 2α=1-cos 2α cos 2α=1-sin 2α (sinα+cos α)2=1+2sinαcos α (sinα-cos α)2=1-2sinαcos α 思考2：对于商数关系 αα αtan cos sin =可作哪些变形？ s inα=cos αtan α α ααtan sin cos = 四、课本例6 练习P20 1、2、3、4 五、课本例7 练习P20 5 六、小结 1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的，由此可以派生出许多变形公式，应用中具有灵活、多变的特点. 2.利用平方关系求值时往往要进行开方运算，因此要根据角所在的象限确定三角函数值符号，必要时应就角所在象限进行分类讨论． 3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题，具有一定的技巧性，需要加强训练，不断总结、提高. 七、习题 例1、化简︒-440sin 12 分析1：︒=︒=︒-=︒-80cos 80cos 80sin 1440sin 1222 分析2：︒=︒=︒=︒=︒-80cos 440cos |440cos |440cos 440sin 122 练习1、4sin 12- 练习2、教材P22 B 组2
高中数学-同角三角函数基本关系式知识点总结(知识讲解)
高中数学-同角三角函数基本关系式 一、同角三角函数的基本关系式 如下图： 在单位圆中，(),P x y 是圆上一点．正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者构成直角三角形，而且1OP =，因此221x y +=，即22sin cos 1αα+=． 显然，当α的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立． 根据三角函数的定义，当()2k k π απ≠+∈Z ，有sin tan cos ααα =． 语言描述为：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切． 【要点诠释】 （1）注意“同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表达形式无关，例如22sin 3cos 31ββ+=，但是22sin cos 1αβ+=就不一定成立了； （2）2sin α是()2 sin α的简写，读作“sin α的平方”，不能将2sin α等效成2sin α，前者是角α的正弦的平方，后者是角2α的正弦，二者是不同的，要弄清区别并能正确书写； （3）借助于上述两个公式，已知角α的某一个三角函数值，则可以计算出另外两个三角函数值．
二、同角三角函数的基本关系式的化简和求值 1.利用同角三角函数的基本关系式化简 三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值． 同角三角函数式化简过程中常用的方法： ①对于根式，可以考虑将根式内部化为完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ②化切为弦，即把非正余弦的函数都化为正余弦函数，从而减少函数名称，达到化简目的． ③对于高次三角函数式，可借助于因式分解，或构造22sin cos 1αα+=，以降低函数次数，达到化简的目的． 2.弦化切问题 已知角α的正切值，求由sin α和cos α构成的齐次式（可以是分式或者整式）： （1）对于分式齐次式（次数为n ），因为cos 0α≠，一般可在分子和分母中同时除以cos n α，此时把所求代数式转化成关于tan α的代数式，从而得解． 例如若tan m α=，将代数式22223sin 2sin 64sin 5cos cos cos αααααα -++分子分母同时除以2 cos α，得到表达式223tan 2tan 64tan 5ααα-++，然后直接代入求值即可． （2）对于整式齐次式（次数为n ），把分母“1”等价成()222sin cos n αα+，此 时代数式转化为分式齐次式，然后按照（1）的处理方式处理．
同角三角函数的基本关系 知识点与题型归纳讲解
1 ●高考明方向 1.理解同角三角函数的基本关系式： sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α ＝tan α. 2.能利用单位圆中的三角函数线 推导出π 2 ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． ★备考知考情 同角关系式和诱导公式中的π±α，π 2 ±α是高考的热点， 题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.
2 一、知识梳理《名师一号》P47 知识点一 同角三角函数的基本关系 平方关系：;1cos sin 22=+αα 商数关系：sin tan cos =α αα 注意： 《名师一号》P50 问题探究 问题1 在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？ 利用同角三角函数基本关系式化简求值时， 涉及两个同角基本关系sin 2α＋cos 2α＝1和tan α＝sin α cos α ， 它们揭示同一角α的各三角函数间的关系， 需要在复习中通过解题、理解、掌握． 尤其是利用sin 2α＋cos 2α＝1及变形形式sin 2α＝1－cos 2α或cos 2α＝1－sin 2α进行开方运算时，要注意符号判断． 知识点二 诱导公式
记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限! 注意： 《名师一号》P50 问题探究问题2 诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变， 符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 无关，只是把α从形式上看作锐角， 从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π 2－α， π 2＋α 分别是第一、三、四，二、一、二象限角． 二、例题分析： （一)求值 例1．(1)《名师一号》P50 对点自测 4 3
同角三角函数间的关系知识点
同角三角函数间的关系知识点 同角三角函数的基本关系式是三角函数基础知识的综合应用,是高考必考内容。本文是店铺整理同角三角函数间的关系的资料，仅供参考。 同角三角函数间的关系 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 余切等于邻边比对边 互余角的三角函数间的关系： sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα. 同角三角函数基本关系
三类： 一)同角三角函数的基本关系： (sinθ)^2+(cosθ)^2=1; tanθcotθ=sinθcscθ=cosθsecθ=1; (secθ)^2-(tan^θ)^2=(cscθ)^2-(cosθ)^2=1 二)诱导公式，在360°内的变换(角度制)： 取值sinθ cosθ tanθ α sinα cosα tanα -α -sinα cosα -tanα 180+α -sinα -cosα tanα 180-α sinα -cosα -tanα 360+α sinα cosα tanα 360-α -sinα cosα -tanα 90+α cosα -sinα -cotα 90-α cosα sinα cotα 270+α -cosα sinα -cotα 270-α -cosα -sinα cotα 三)两个角的变换关系，不属于初中内容： sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 同角三角函数公式起源 “三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学：解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还
同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解
同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． 푠푖 푛훼（2）商数关系： 푐표푠훼= tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α． 휋휋 公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（ 2―α）＝sinα． 휋 휋公式六：sin（ 2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= 푡푎푛훼+ 푡푎푛훽 1― 푡푎푛훼푡푎푛훽． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= 푡푎푛훼― 푡푎푛훽 1+ 푡푎푛훼푡푎푛훽． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
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（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α= 2푡푎푛훼1― 푡푎푛2훼． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 푘휋 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2 数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 2/ 2
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 总结： 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.() (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.() (3)若α∈R，则tan α＝sin α cos α恒成立.()
(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35 解析 由同角三角函数关系得 cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9 ＝－4 5. 答案 B 3.已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－3 5. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝4 3 ，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ 432 ＝－79. 答案 A