2020年全国卷1函数与导数压轴题一题多解,深度解析
2020年高考全国Ⅰ卷函数及导数试题分析及备考建议
(
)
=4b + log2 a − 4b + log2 2 + log2 b = −1 < 0.
因 此 f (a) < f (2b), 故 a < 2b. 因 为 2a + log2a = 4b +
2log4b = 22b + log2b, 从而
f (a)
−
f
(b2)
=
2a
+
log2
a
−
( 2b2
+
log2
2020 年第 9 期 (上)
中学数学研究
39
2020 年高考全国 Ⅰ 卷函数及导数试题分析及备考建议
广东省惠州市第一中学 (516007) 郭慧敏 华南师范大学数学科学学院 (5106311) 苏洪雨
摘要 评析 2020 年高考数学全国 Ⅰ 卷“函数与导数”试 题, 以客观题和解答题两个类型为方向, 对题目特点, 考查的 知识及能力及解答方法进行剖析, 通过对试题内涵与外延的 探索, 给出相关的教学及备考建议.
关键词 2020 年高考数学; 函数与导数; 分析; 建议 历年高考中,“函数与导数”是较为重要, 也是较为稳定 的考查模块, 今年也不例外. 其题型设置选择题, 填空题, 解 答题均有; 难度分布易, 中, 难, 梯度明显; 知识点考查全面, 主要涉及: 函数模型识别, 指对数函数, 导数的几何意义及应 用, 函数单调性研究, 函数零点等; 将函数与方程, 转化与化 归, 分类与整合, 数形结合的数学思想方法贯穿始终; 深刻体 现了数学建模, 逻辑推理, 数学运算、直观想象等的数学核心 素养. 其“稳”且“重”的试题特点, 以“秤砣效应”突出了今年 试题的均衡与平稳, 为数学整体达到高考评价“一核四层四 翼”的要求, 做出了重要的贡献.
2020年高考全国ⅰ、ⅱ、ⅲ卷数学(理)解答压轴21题对比
1．（2020•新课标Ⅰ）已知函数2()x f x e ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围． 2．（2020•新课标Ⅱ）已知函数2()sin sin 2f x x x =． （1）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； （2）证明：33|()|f x ； （3）设*n N ∈，证明：2222sin sin 2sin 4sin 2x x x ⋯34nnn x ．3．（2020•新课标Ⅲ）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点1(2，1())2f 处的切线与y轴垂直． （1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．参考答案与试题解析1．（2020•新课标Ⅰ）已知函数2()x f x e ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x 时，31()12f x x +，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当1a =时，2()x f x e x x =+-，()21x f x e x '=+-，设()()g x f x ='，因为()20x g x e '=+>，可得()g x 在R 上递增，即()f x '在R 上递增， 因为(0)0f '=，所以当0x >时，()0f x '>；当0x <时，()0f x '<， 所以()f x 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞； （2）当0x 时，31()12f x x +恒成立， ①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈； ②当0x >时，可得32112xx x e a x++-恒成立， 设32112()x x x e h x x ++-=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x----'=， 可设21()12x m x e x x =---，可得()1x m x e x '=--，()1x m x e ''=-，由0x ，可得()0m x ''恒成立，可得()m x '在(0,)+∞递增， 所以()(0)0min m x m '='=，即()0m x '恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以()(0)0min m x m ==， 再令()0h x '=，可得2x =，当02x <<时，()0h x '>，()h x 在(0,2)递增；2x >时，()0h x '<，()h x 在(2,)+∞递减，所以()maxh x h =（2）274e -=，所以274e a -，综上可得a 的取值范围是27[4e -，)+∞．【点评】本题考查导数的运用：求单调性和最值，考查构造函数法，主要考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．2．（2020•新课标Ⅱ）已知函数2()sin sin 2f x x x =． （1）讨论()f x 在区间(0,)π的单调性； （2）证明：33|()|f x ； （3）设*n N ∈，证明：2222sin sin 2sin 4sin 2x x x ⋯34nnn x ．【解答】解：（1）23()sin sin 22sin cos f x x x x x ==，2222222()2sin (3cos sin )2sin (34sin )2sin [32(1cos2)]2sin (12cos2)f x x x x x x x x x x ∴'=-=-=--=+，令()0f x '=，解得，3x π=，或23x π=， 当(0,)3x π∈或2(3π，)π时，()0f x '>，当(3x π∈，2)3π时，()0f x '<，()f x ∴在(0,)3π，2(3π，)π上单调递增，在(3π，2)3π上单调递减．证明：（2）(0)()0f f π==，由（1）可知2()3f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭极小值()3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭极大值，()max f x ∴=()min f x = ()f x 为周期函数， 33|()|f x ∴； （3）由（2）可知322333sin sin 2()4x x =，322333sin 2sin 4()4x x =，2sin 23232333sin 2()4x x =，⋯，2sin 2312333sin 2()4n nx x -=，3333sin sin 2sin 4sin 2x x x ∴⋯⋯13sin 2n x -2333sin (sin sin 2sin 4sin 2nx x x x x =⋯⋯12sin 2n x -323)sin 2()4nnn x x ，2222sin sin 2sin 4sin 2x x x ∴⋯⋯34nnn x ．【点评】本题考查了导数和函数的单调性的和极值最值的关系，不等式的证明，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题．3．（2020•新课标Ⅲ）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点1(2，1())2f 处的切线与y轴垂直． （1）求b ；（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【解答】（1）解：由3()f x x bx c =++，得2()3f x x b '=+，211()3()022f b ∴'=⨯+=，即34b =-；（2）证明：设0x 为()f x 的一个零点，根据题意，30003()04f x x x c =-+=，且0||1x ，则30034c x x =-+，由0||1x ，令33()(11)4c x x x x =-+-，2311()33()()422c x x x x ∴'=-+=-+-， 当(1x ∈-，11)(22-⋃，1)时，()0c x '<，当1(2x ∈-，1)2时，()0c x '>可知()c x 在1(1,)2--，1(2，1)上单调递减，在1(2-，1)2上单调递增．又1(1)4c -=，c （1）14=-，11()24c -=-，11()24c =， ∴1144c-． 设1x 为()f x 的零点，则必有31113()04f x x x c =-+=，即311131444c x x -=-+， ∴321111321111431(1)(21)0431(1)(21)0x x x x x x x x ⎧--=-+⎪⎨-+=+-⎪⎩，得111x -， 即1||1x ．()f x ∴所有零点的绝对值都不大于1．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。
2020高考—函数(解答+答案)
（ii）若0<2a+1<2，即 1 a 1 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，
2
2
2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，
（1）若 f x x2 2x，g x x2 2x，D (， ) ，求 h(x)的表达式；
（2）若 f (x) x2 x 1，g(x) k ln x，h(x) kx k, D (0， ) ，求 k 的取值范围； （3）若
f (x) x4 2x2，g(x) 4x2 8 ，h(x) 4 t3 t x 3t4 2t2 (0 t 2)，
（ii）若a> 1 ，则f（lna）<0． e
由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．
由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
f
(x)
x
e2
x
e2
a(x
2)
eln(2a) ( x
2)
a(x
2)
2a
0
．
2
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
(1，+∞)单调递减.从而当 x=1 时，h(x)取得最大值，最大值为 h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0，即 c≥−1 时，f(x)≤2x+c.
2020年全国统一高考数学试卷(新课标Ⅰ)(解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学+答案一、选择题：（本题共10小题，每小题6分，共60分）1.若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A. 0B. 1C.D. 2 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-. 故2222z z -=-=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A. –4B. –2C. 2D. 4 【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A. 514-B. 512-C. 514+D. 512+【答案】C【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224aPO PE OE b =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24()210b ba a -⋅-=，解得15b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ）A. 2B. 3C. 6D. 9【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p .故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ）A. y a bx =+B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A. 21y x =--B. 21y x =-+C. 23y x =-D. 21y x =+ 【答案】B【解析】【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可.【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9B. 7π6C. 4π3D. 3π2 【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭ 又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ） A. 5B. 10C. 15D. 20 【答案】C【解析】【分析】求得5()x y +展开式的通项公式为515rr rr T C x y -+=（r N ∈且5r ≤），即可求得2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与5()x y +展开式的乘积为65r r r C x y -或425r r r C x y -+形式，对r 分别赋值为3，1即可求得33x y 的系数，问题得解.【详解】5()x y +展开式的通项公式为515r r r r T C x y -+=（r N ∈且5r ≤） 所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的各项与5()x y +展开式的通项的乘积可表示为： 56155r r r r r r r xT xC xy C x y --+==和22542155r r r r r r r T C x y x C y y y x x --++== 在615r r r r xT C x y -+=中，令3r =，可得：33345xT C x y =，该项中33x y 的系数为10，在42152r r r r T C x x y y -++=中，令1r =，可得：521332T C y x xy =，该项中33x y 的系数为5 所以33x y 的系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.9.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A. 3B. 23C. 13D.9 【答案】A【解析】【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去）， 又(0,),sin απα∈∴==故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.10.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形， 由正弦定理可得2sin 6023AB r=︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020全国1卷关键试题分析
2020全国1卷关键试题分析原创吕荣春高中数学研究与应考本期推送如下三篇文章，从微信订阅号中查看全部文章：2020全国1卷关键试题分析2020 年全国2 卷关键试题分析2020 山东海南新高考卷压轴题剖析全国I卷适用地区:广东、河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、安徽、福建这属于独立多变量中构造相同结构类型。
参考《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》。
【解析】还原三棱锥,根据同一个半平面内位置关系和长度一样,可得各边长,用余弦定理可得。
模型2: 共点的直线系与椭圆相交,这属于同理简化运算型。
PB 斜率为AP 斜率的3倍。
只需把C 点坐标中的斜率k 换为3k 可得D 坐标。
模型3:直线与椭圆的一个交点已知,另一个交点韦达定理可求。
模型4:横截式,设PB: x = my + 3 ,只需把D 点坐标中的斜率m 换为3m 可得C 坐标。
证明三点共线,即斜率相等即可。
【点评】《解析几何的系统性突破》给出了很多结论,秒杀大部分全国卷解析几何题目,《解析几何的高观点、新视野》告诉我们:我们习惯了程序化的运算,寻思几何分析进行优化,却常常忽略模型与结论。
【点评】常常优先考虑分参,《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》对参数的处理做了全面的解读。
其中一部分如下:方法的比较:对分离参数法、直接构造函数法的便捷和难点来思考与突破。
分离参数的好处在于减少讨论,绝大部分时候,让解题变得更简洁,易错点有二:其一是不等式两边要考虑正负;等式分离参数容易忽略定义域。
其困难也有二:一是求导之后,分子看起来可能比较复杂,但是往往求导之后,有可能比较简单,或者通过合并同类项、提公因式、因式分解等,使得分子的零点容易研究,故求导之后的观察显得尤为重要;二是对极限的考虑,比如，需要对左右极限的考察,洛比塔法则能帮助学生顺利解决极限的求解问题。
不是所有的都可以分离参数,比如问题中既有a , 还有这时候就直接求导,求导、因式分解、结合定义域分离正项、对参数讨论。
2020年高考数学试题(全国1卷解析版+试卷版)
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为 1 ． 2
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率．
20．（12
分）已知
A
，B
分别为椭圆
E:
x2 a2
y2
1(a
1) 的左、右顶点，G
为
E
的上顶点，AGGB
8
．P
为直线
x
6
上的动点， PA 与 E 的另一交点为 C ， PB 与 E 的另一交点为 D ．
A． y a bx
B． y a bx2
C． y a bex
D． y a blnx
6．函数 f (x) x4 2x3 的图象在点 (1 ， f （1） ) 处的切线方程为 ( )
A． y 2x 1
B． y 2x 1
C． y 2x 3
D． y 2x 1
7．设函数 f (x) cos( x ) 在 [ ， ] 的图象大致如图，则 f (x) 的最小正周期为 (
17．（12 分）设{an} 是公比不为 1 的等比数列， a1 为 a2 ， a3 的等差中项． （1）求{an} 的公比； （2）若 a1 1 ，求数列 {nan} 的前 n 项和． 18．（12 分）如图， D 为圆锥的顶点， O 是圆锥底面的圆心， AE 为底面直径， AE AD ． ABC 是底面的内接正三角 形， P 为 DO 上一点， PO 6 DO ．
与参数方程]（10 分）
22．（10
分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x y
cos k t , sink t
(t
十种解法妙解2020年高考导数压轴题
解题篇经典题突破方法高二数学2021年4月■福建省泉州市第七中学彭耿铃2020年山东卷导数压轴题在形式上有“简约而不简单”之感，试题的设计有层次感，不但考査了同学们的数学核心素养，还给同学们提供更广阔的思考空间、更多的思考角度，从而探索不同的解题方法。
本文从多角度解析，旨在探究此题型考査特点，仅供同学们参考，希望大家将来能决胜高考。
（2020年高考山东卷第21题）已知函数_/（工）=ae I~1—In x+ln a o（1）当a=e时，求曲线y=/<rr）在点（1/（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若/（工）玄1,求a的取值范围。
解析：（1）当a=e时，/"0）=^-In x+ 1,所以/Cl）=e+l o又因为f'S=€—丄，所以切线的斜率yfe=r（l）=e-l,切线JC方程为y=（e—1）（JU—1）+e+1,与x轴交于点人（三彳，0）,与夕轴交于点£（0,2）。
所以围成的三角形的面积为：(2)解法一：构造同构式1o由f(rc)1得a e x_1—In rc+ln a工1,变形得e lnfl+x_1—In rr+ln a^l,即e lnfl+"_1+ In a+rc—l^ln rr~\~jc=e lna:H-lri oc o令g(£) =e’+E,则g'Q)=e'+l>0,所以gQ)在R 上单调递增。
原不等式等价于g(lna+工一l)Ng(ln匚)，所以In a+匚一l^ln jc恒成立，即In aNln x,—工+1恒成立，只需In q二(In a+l)max o令h(rc)=In ac.—h+1,贝|j h r=—JC1—z_1=-------。
分析可知鼻Q)在(0,1)上单调递re增，在(1,+oo)上单调递减，所以h(X)< h(1)=0,即In.,a^l o故a的取值范围是口，+oo)。
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《函数与导数》真题汇编含解析
数学《函数与导数》高考复习知识点一、选择题1．若函数321()1232b f x x x bx ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在区间[3,1]-上不是单调函数，则函数()f x 在R 上的极小值为（ ）.A ．423b -B ．3223b - C ．0D ．2316b b -【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性，求出b 的范围，从而求出函数的单调区间，得到(2)f 是函数的极小值即可．【详解】解：2()(2)2()(2)f x x b x b x b x '=-++=--， ∵函数()f x 在区间[3,1]-上不是单调函数，31b ∴-<<，由()0f x '>，解得：2x >或x b <， 由()0f x '<，解得：2b x <<，()f x ∴的极小值为()84(2)424233f b b b =-++=-，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题.2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（ ） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.3．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】 【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r ra T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰． 故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x x g x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-, 故选:D 【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.5．若曲线43y x x ax =-+(0x >)存在斜率小于1的切线，则a 的取值范围为（ ） A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导，将问题转化为不等式有解问题，再构造函数利用导数研究函数的最值，即可得答案； 【详解】由题意可得32431y x x a '=-+<在()0,x ∈+∞上有解，设()3243f x x x a =-+(0x >)，()()2126621f x x x x x '=-=-，令()0f x '<，得102x <<；令()0f x '>，得12x >， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增，∴()min 11124f x f a ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，解得：54a <.故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义、不等式有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6．已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （2−x ），若函数 y=|x 2−2x−3|与y=f （x ）图像的交点为（x 1,y 1），（x 2,y 2），…，（x m ,y m ），则1=mi i x =∑A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B 【解析】试题分析：因为2(),23y f x y x x ==--的图像都关于1x =对称，所以它们图像的交点也关于1x =对称，当m 为偶数时，其和为22mm ⨯=；当m 为奇数时，其和为1212m m -⨯+=，因此选B. 【考点】 函数图像的对称性 【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．已知函数())2ln1f x x x =+，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 ∵())2ln1f x x x =+∴221()1)1f x x x x x=+=++∴())f x x -=∵当0x >1x >；当0x <时，01x <∴当0x >时，())))f x x x x ==-=，())f x x -=；当0x <时()))f x x x ==；()))f x x x -=-=.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得())f x x =为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.9．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．已知函数()f x 的导函数为()f x '且满足()()21ln f x x f x '=⋅+，则1f e ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A ．12e- B ．2e - C ．1-D ．e【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导得到导函数，代入1x =可求得()11f '=-，从而得到()f x '，代入1x e=求得结果. 【详解】由题意得：()()121f x f x''=+令1x =得：()()1211f f ''=+，解得：()11f '=-()12f x x '∴=-+12f e e ⎛⎫'∴=- ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查导数值的求解，关键是能够通过赋值的方式求得()1f '，易错点是忽略()1f '为常数，导致求导错误.11．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】 根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.12．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2f -的值为（ ） A ．0 B ．3C ．32D ．92-【答案】A 【解析】 【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则函数的周期3T =， 据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．已知函数()f x 为偶函数，当x ＜0时，2()ln()f x x x =--，则曲线()y f x =在x ＝1处的切线方程为（ ） A ．x -y ＝0 B ．x -y -2＝0 C ．x +y -2＝0 D ．3x -y -2＝0【答案】A 【解析】 【分析】先求出当0x >时，()f x 的解析式，再利用导数的几何意义计算即可得到答案. 【详解】当0x >时，0x -<，2()ln f x x x -=-，又函数()f x 为偶函数，所以2()ln f x x x =-，(1)1f =，所以'1()2f x x x=-，'(1)1f =，故切线方程为11y x -=-，即y x =.故选：A ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，涉及到函数的奇偶性求对称区间的解析式，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.14．如图，对应此函数图象的函数可能是( )A ．21(1)2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22(1)x y x =-C ．ln y x =D ．1x y xe =-【答案】B 【解析】 【分析】观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案. 【详解】由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足； 当1x =时，0y =，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，显然A 不成立； 而B 都成立. 故选：B 【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.15．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（ ）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f <【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()f xg x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】 令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x '-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.16．40cos2d cos sin xx x xπ=+⎰（ ）A ．2(21)-B ．21+C ．21-D ．22-【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x xx x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )214cos sin 0xx x x x x x x x πππ=-=+=-+⎰⎰，故选C ． 【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.17．如图，记图中正方形介于两平行线x y a +=与1x y a +=+之间的部分的面积为()S S a =，则()S a 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数的部分特征，利用排除法，即可得到本题答案.【详解】①当011a ≤+<时，即10a -≤<，21()(1)2S a a =+；②当11a +=时，即0a =，1()2S a =. 由此可知，当10a -≤<时，21()(1)2S a a =+且1(0)2S =，所以,,A B C 选项不正确. 故选：D【点睛】本题主要考查根据函数的性质选择图象，排除法是解决此题的关键.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C【解析】【分析】 利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】 Q 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=，32023<<=<Q ，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>. 故选：C.【点睛】 本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.19．已知函数221,0()log ,0x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩，若()1f a ≤，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4][2,)-∞-+∞U B ．[1,2]-C ．[4,0)(0,2]-UD ．[4,2]-【答案】D【解析】【分析】不等式()1f a ≤等价于0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩分别解不等式组后，取并集可求得a的取值范围.【详解】()1f a ≤⇔0,211,a a ≤⎧⎨+-≤⎩或20,log 1,a a >⎧⎨≤⎩， 解得：40a -≤≤或02a <≤，即[4,2]a ∈-，故选D.【点睛】本题考查与分段函数有关的不等式，会对a 进行分类讨论，使()f a 取不同的解析式，从而将不等式转化为解绝对值不等式和对数不等式.20．设113000,,a b xdx c x dx ===⎰⎰，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>【答案】D【解析】根据微积分定理，3120022|33a x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1210011|22b xdx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，13410011|44c x dx x ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰，所以a b c >>，故选择D 。
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全国卷1导数题一题多解，深度解析1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数f(x) = e x +ax2-x.(1)当时，讨论/(x)的单调性：(2)当.总0时，.f(X)>yA J+l,求“的取值范囤.。
2. 2020年全国卷1文科数学第20题的解析已知函数f(x) = e x-a(x + 2)・(1)当“ =1时,讨论/(x)的单调性：(2)若/(x)有两个零点，求"的取值范围・。
3. 2020年新高考1卷(山东考卷)第21题已知函数f (%) = - In x + In a(1).当a=e时，求曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线与两坐标轴围城的三角形的面积;(2)若f(x) > 1,求a的取值范围。
1、2020年全国卷1理科数学第21题的解析已知函数f(x) = e x +ax2-x.(1)当时，讨论/(x)的单调性：(2 )当XR时，./'(X)>y A J+1 ,求"的取值范围・。
解析：(1)单调性，常规题，a已知，求一个特左函数f(x)的单调性。
若一次求导不见底，则可二次或多次淸仓，即二次求导或多次求导，然后逐层返回。
通常二次求导的为多。
(2)怛成立，提髙题，在恒成立情况下，求参数的取值范囤。
常常是把恒成立化成最值问题。
由于这里的a只在一项中出现，故可以优先考虑分离参数法。
这里介绍了两种方法。
解：(1)当a=l 时，/(x) = c'+F_x,定义域为R,/'(x) = 7+2%-1,易知f，(x)是单调递增函数。
而f' (0)=0,.・.当xG (-8, 0), f，(x)V0当xW (O,+8), f (x)>0•当xW (-8, 0), f(x)单调递减：当xW (0,+8), f(x)单调递增。
2—.V+ JV +1 — K (A* — 2)(—x" + x +1 — 0*)令g(x)= --------- ；---- ，则gd)=—丄「 --------------------X X再令//(x) = -x2+x + l-，2到了这里发现，由(1)可得的e x+x2-x>\(x>0),不能引用。
所以求导，h\x) = x + \-e x令j(x)=h' (x) (x>0)j\x) = 1 -e x <0 , j(x)单调递减。
Aj(x)<j(0)=0,即h‘ (x)<0oAh(x)单调递减,h(x)<h(0)=0o即当x>0 时，-x2 +x + \-e x <0o2当XG (02)时，g‘ (x)>0：当X G(2,+8)时，g‘(x)V0e7-e2Ag(x)max=g(2)=―-—47_g2•••a的取值范围是,+oc)。
4解法二：综合法，让K玩倒立游戏，变成e" O当xNO 时，/(x) > 丄F + 1 ,即f(x) = e1 4- ax2 -x>—x^ + \2 2等价于1 + (ax2-x--x3-r)e^x>0。
2令^(x) = 1 + («x2-x- — x3 - l)^~r,贝ij g '(x)=丄x(x-2)[x-(2“ + l)]e72 2(1)若2a+lW0,即a<--,当xw (0.2)时，g，(x)<0,即g(x)单调递减，而2g(0)=0,故当xw (0,2)时，g(x)<0,因此不合题意(不必研究XW (2, +8)的情况，否则是多余且无功，很可能岀错)。
(2)若OV2a+l<2,即一-<a<-,当xw (0, 2a+l) U(2, +8)时，g，(x)>0：2 2当xw (2a+l, 2)时，g‘ (x)<0o所以g(x)在(0,2a-l), (2, +8)单调递增,在(2a+1.2)单调递减。
由于g(0)=0, g(x)^O,所以g(2)=l + (4a-7K2>0 ,即a> -----------47 — / 1所以当时，g(x)MO。
4 2(3)若2a+l>2,即“巴丄,当XG (0,2) U(2a+l,+oo)时，g，(x)>0：当xe(2,2a+l)2时，g9 (x)<0o所以g(x)在(02), (2a+l,十8)单调递增；在(2, 2a+l)单调递减。
又g(0)=0, g(x)>0,所以g(2a+l)=20 必须成立。
g(2a + 1) = 1 + [--(2a +1)2一(2。
+1) - 1]严、2综上，a的取值范用是［U,+s) 04注：方框里内容的处理很灵活，也很关键匚注意：(1)分离参数法中遇到h(x) = -x2+x+\-e x的正负判断，多次求导。
若用，的倒插花方2式,即考察i(x) = (-x2+x + l)e~x-\,可一次解决问题。
2(2)综合法处理第二小题，遇第三种情况不是解岀a, a是解不出来的，而是看限左条件下是否满足。
(3)有参数时，把参数叙述成“若”，把变量成“当”，若两者都叙述成“当”，那就让人看起来不舒服。
2. 2020年全国卷1文科数学第20题的解析已知函数f(x) =e x-a(x + 2).(1)当a = l时,讨论f(x)的单调性：(2)若/'(x)有两个零点，求d的取值范围.°解析：(1)单调性，常规题，当a=l时，确逹函数的单调性，一次求导或多次求导。
(2)零点，已知零点数，求参数范围，有一泄难度。
导数问题，通常可以采用五种方法：分离参数法，综合法，数形结合法，必要性充分性结合法，分类讨论法。
这里介绍了前三种方法。
后两种方法，很少单独使用，如本例综合法中就采用了先必要条件，然后充分条件的方式，来排除不合题意的情况。
再如数形结合法中，就结合了分类讨论法。
解：(1)a=l 时，fM = e x-(x + 2), f\x) = e x-l ,当xw (・8, 0)时，f (x)<0；当xW(0,+8)时，f (x)>0。
f(X)在(-8, 0)单调递减，在(0, +8)单调递增。
(2)解法一：分离参数法f\x) = e x-a当aWO时，f' (x)20, f(x)单调递增，最多只能有一个零点，所以不合题意。
当a>0时，采用分离参数法。
不过，由于x+2在分母时，必须讨论必须以-2为界进行考察，不太方便。
所以，换一种方式分离参数。
1 x + 2f(x)有两个零点，等价于g(x) =—--一-有两个零点。
a e则¥当xG(.oo, -1)时，g‘ (x)<0：当xW(・l,+8)时，(x)>0o 所以g(x)niin=g (-1)=——e。
a要g(x)有两个零点，必须满足g(x)minvO,即a>-。
e下而证明a>-时，有两个零点。
e在(・8,・1)上，g(-2)=l>0 ,所以其在有一个零点。
a在(・1, +8)上，由(1)可知疋一％—2》一1,即e x >x + l所以^=(^)2>(-+r)2 = i^212 4z、1 x + 2 1 x + 2 1 4g(Q = —一一 >—一-- = 一一-a e a(x + 2)- a x + 2""4—当x同时满足x>4a-2时，g(x)>0,所以在(-1, +8)有一个零点。
综上，g(x)有两个零点的条件是是aG(^+co), e所以f(x)有两个零点时，awd+s)*解法二：综合法f(x) = e x-a(x + 2)f\x) = e x-a若aWO,则f' (x)M0, f(x)单调递增，最多只能有一个零点，所以不合题意。
若a>0时，可采用综合法。
当xG (・8, ina), f' (x)V0：当xW(lna,+8)时,(x)>0o所以f(x)min=f(lna)= - a(lna+l)若f(x)有两个零点，必须满足f(x)min<0, RPa>-。
e下而证明a>-时，f(x)有两个零点。
e在(・8, ]na)上，f (-2) = e"2 > 0 ,所以f(x)在其上有一个零点。
在(Ina, +8)上，由(1)可得e x>x + \ ,所以= (g?)2 >(- + 1)2 =( V +2f2 4所以当x>0时.所以/(x) >(V + 2)-- - a(x + 2) = (x + 2)(— - d)4 4所以当x>0 且x>4a-2 且x>lna 时，f(x)>0<>所以f(x)在(Ina,十8)有一个零点。
综上，f(x)有两个零点的条件是aw (丄,+8)° e解法三：分离函数法(数形结合法)函数fW = e x-a(x + 2)有两个零点，也就是说指数函数/图象与一次函数y=a(x+2)图象有两个交点。
直线h y=a (x+2)表示经过点(20)。
虚线为过(20)点的切线，直线1是经过(20)的直线系。
确左指数函数过(20)的切线，此时，直线1与曲线(指数函数图象)有一个交点。
y = 上的点设为(儿,/'),那么在x=x0处的斜率就是於"，所以过该点的切线方程为y-e Xi} =e'^(x-x0)。
当该切线经过(20)点时，则有_产=卢(_2_和，解得勺=一1 ,此时斜率占=1 oe当时，直线1与曲线C相切，只有一个交点，直线1是曲线C的切线。
e当a>-时，直线1与曲线C相交，有两个交点，直线1是曲线C的割线。
e当时，直线1与曲线C没有交点。
e当a<0时，有一个交点。
综上，f(x)有两个零点的条件是aG (-,+oo) oe3.再看2020年新高考1卷(山东考卷)第21题已知函数f(x) = ae x~l -lnx + In a(1)•当a=e时，求曲线y=f(x)在点(l.f(l))处的切线与两坐标轴I羽城的三角形的而积：(2)若f(x) > 1,求a的取值范围。
解析：(1)求切线，进而求与坐标轴弗I成的面积，常规题目，按部就班就好。
(2)恒成立，求恒成立情况下的参数取值范囤，属常规题目。
但这里与其他的题目不一样。
参数a所处的位置多处，参数与对数相结合，不能通过一系列计算求得a的范羽。
这时，我们采用必要性充分性相结合的方式处理，或者采用分类讨论法处理。
解：(1)当x=e 时,f (x) = e x -lnx + 1 , f(l)=e+l of\x) = e x——,F(l)=e-kx所以过点(l,f(l))的切线方程为y- (e+1) = (e-1) (x-1),即y= (e-1) x+2。