高三数学总复习9.5几何概型及互斥事件的概率教学案新人教版必修1
江苏省高级中学高三数学第一轮复习学案：几何概型及互斥事件及其发生的概率
几何概型、互斥事件及其发生的概率【教学目标】1．了解几何概型的基本特点；会进行简单的几何概型的运算；2．了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件；3．了解两个互斥事件概率的加法公式，了解对立事件概率之和为1的结论，会利用相关公式进行简单的概率计算．一、知识梳理1．几何概型定义：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点，这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为．2．几何概型特点：①无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；②等可能性：在这个随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件发生是等可能的．3．几何概型的概率计算：在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A) = ．4．求几何概型的概率的一般步骤：①适当选择观察角度(必要时可以辅之图形)；②把基本事件转化为与之对应的区域；③把随机事件A转化为与之对应的区域；④利用概率公式计算．5．古典概型与几何概型的区别：古典概型和几何概型中基本事件发生的可能性都是的，但古典概型要求基本事件有个，几何概型要求基本事件有个，它的特点是试验结果在一个区域内分布，所以随机事件发生的概率与随机事件所在的区域的形状、位置无关，只与该区域的有关．6．若有A，B两个事件，当事件A发生时B就不发生，当事件B发生时事件A就不发生，也即事件A，B不可能．我们把这种不可能同时发生的两个事件叫做事件(也称为不相容事件)．两个可同时发生或同时不发生的事件不是互斥事件．互斥事件是对两个事件而言的．7．两个互斥事件一个发生，则称这两个事件为事件．事件A的事件记做A￣．8．“A + B”的意义：设A，B是两个事件，则A + B表示在同一试验中，A或B中发生．我们把事件A + B称为事件A与B的和．9．概率的加法公式：如果A与B互斥，那么P(A + B) = ．特殊地：P(A) + P(A￣) = P( ) = ．如果A1，A2，…A n两两互斥，则此它们是彼此互斥，此时有：P(A1 + A2 + …+ A n) = P(A1 ) +P( A2 ) + …+ P( A n) ．10．互斥事件与对立事件的关系：互斥事件和对立事件都是就两个事件而言的．互斥事件是发生的两个事件，而对立事件是其中的互斥事件．因此，对立事件必是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件．二、基础训练1．在区间[0，10]中任意取一个数，则它与4 的和大于10 的概率是．2．在面积为S的△ABC的内部任取一点P，则△PAB的面积大于13S的概率是．3．已知O是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心，若在正方体内随机地取点，则点落在四棱锥O-ABCD内的概率是．4．点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为。
高中数学第五章概率教案
高中数学第五章概率教案教学目标：1. 了解概率的基本概念和定义，掌握概率计算的方法。
2. 能够在实际问题中运用概率知识解决问题。
3. 能够通过实验来验证概率的计算结果。
教学内容：1. 概率的基本概念和定义2. 概率计算的方法3. 事件的互斥与独立4. 事件的排列组合5. 概率的实际应用教学重点：1. 概率的基本概念和定义2. 概率计算的方法教学难点：1. 事件的互斥与独立2. 事件的排列组合教学准备：1. 教学课件2. 教学实验器材3. 习题集教学步骤：一、引入概率的概念（10分钟）通过一个简单的实例引导学生了解概率的概念，并引出概率的定义。
二、概率的计算方法（20分钟）1. 讲解概率计算的基本方法2. 给学生演示概率计算的步骤3. 练习相关计算题目三、事件的互斥与独立（15分钟）1. 解释事件互斥和独立的概念2. 给学生举例说明互斥和独立事件的计算方法四、事件的排列组合（20分钟）1. 介绍排列组合的概念2. 解释有放回、无放回抽样的排列组合计算方法五、概率的实际应用（15分钟）通过实际问题的练习，让学生运用概率知识解决问题，加深对概率的理解。
六、总结与展望（10分钟）对概率的学习进行总结，展望下一节课内容。
教学评估：1. 教师课堂表现评价2. 学生练习题表现评价3. 学生实验结果报告评价拓展延伸：1. 给学生布置概率实验项目，让学生通过实验来验证概率的计算结果。
2. 鼓励学生参加数学建模比赛，应用概率知识解决实际问题。
高中数学 复习课(三)概率教学案 新人教A版必修3-新人教A版高一必修3数学教学案
复习课(三) 概 率 古典概型古典概型是命题的热点，主要考查古典概型概率的求法，常与互斥事件、对立事件结合在一起考查．也有时与抽样方法交汇命题．主要以选择题、填空题为主．有时也出解答题，属中低档题．[考点精要]1．互斥事件与对立事件的概率(1)互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．(2)当事件A 与B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，当事件A 与B 对立时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝1，即P (A )＝1－P (B )．(3)求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．2．古典概型的求法 对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件的总数n 与事件A 包含的基本事件的个数m ，有时需用列举法把基本事件一一列举出来，再利用公式P (A )＝m n 求出事件发生的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某种顺序，以保证不重复、不遗漏．[典例] 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)假设从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)假设从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．[解] 甲校两名男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两名女教师分别用E ，F 表示．(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．从中选出的2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以，选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25. [类题通法]解决与古典概型问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．[题组训练]1．某导演先从2个金鸡奖和3个百花奖的5位演员中挑选2名演主角，后又从剩下的演员中挑选1名演配角．这位导演挑选出2个金鸡奖演员和1个百花奖演员的概率为( )A.13B.110C.25D.310解析：选D 设2个金鸡奖演员编号为1,2,3个百花奖演员编号为3,4,5.从编号为1,2,3,4,5的演员中任选3名有10种挑选方法：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共10种．其中挑选出2名金鸡奖和1名百花奖的有3种：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，故所求的概率为P ＝310. 2．随着经济的发展，人们生活水平的提高，中学生的营养与健康问题越来越得到学校与家长的重视．从学生体检评价报告单了解到我校3 000名学生的体重发育评价情况，得下表：(1)求x 的值； (2)假设用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取60名，问应在肥胖学生中抽多少名？(3)y ≥243，z ≥243，求肥胖学生中男生不少于女生的概率．解：(1)由题意得，从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏痩男生的概率为0.15，可知x 3 000＝0.15，所以x ＝450. (2)由题意，可知肥胖学生人数为y ＋z ＝500(人)．设应在肥胖学生中抽取m 人，那么m 500＝603 000.所以m ＝10. 即应在肥胖学生中抽10名．(3)由题意，可知y ＋z ＝500，且y ≥243，z ≥243，满足条件的基本事件如下： (243,257)，(244,256)，…，(257,243)，共有15组．设事件A ：“肥胖学生中男生不少于女生〞，即y ≤z ，满足条件的(y ，z )的基本事件有：(243,257)，(244,256)，…，(250,250)，共有8组，所以P (A )＝815. 所以肥胖学生中男生不少于女生的概率为815. 几何概型题型多为选择题和填空题，主要涉及长度型、面积型以及体积型的几何概率模型．属低档题．[考点精要](1)几何概型满足的两个特点：①等可能性；②无限性．(2)几何概型的概率求法公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度面积、体积试验的全部结果长度面积、体积. [典例] (1)平面区域D 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y | ⎩⎪⎨⎪⎧ |x |＜2，|y |＜2，D 2＝{}x ，y |x －22＋y －22＜4.在区域D 1内随机选取一点P ，那么点P 恰好取自区域D 2的概率是( )A.14B.π4C.π16D.π32 (2)把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段，那么“其中一段长度大于另一段长度2倍〞的概率为________．[解析] (1)因区域D 1和D 2的公共部分是一个半径为2的圆的14，从而所求概率P ＝14×22π42＝π16，应选C. (2)将木棒折成两段的折点应位于距木棒两端点小于13木棒长度的区域内，故所求概率为2×13＝23. [答案] (1)C (2)23[类题通法]几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用P (A )＝m n 求解，因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解．(2)在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题．[题组训练]1．如图，两个正方形的边长均为2a ，左边正方形内四个半径为a 2的圆依次相切，右边正方形内有一个半径为a 的内切圆，在这两个图形上各随机撒一粒黄豆，落在阴影内的概率分别为P 1，P 2，那么P 1，P 2的大小关系是( )A ．P 1＝P 2B ．P 1＞P 2C ．P 1＜P 2D ．无法比较解析：选A 由题意知正方形的边长为2a.左图中圆的半径为正方形边长的14，故四个圆的面积和为πa2，右图中圆的半径为正方形边长的一半，圆的面积也为πa2，故P1＝P2.2．在区间[0,2]上随机地取一个数x，那么事件“－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1〞发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：选A 不等式－1≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤1可化为log122≤log12⎝⎛⎭⎪⎫x＋12≤log1212，即12≤x ＋12≤2，解得0≤x≤32，故由几何概型的概率公式得P＝32－02－0＝34.3．区域E＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2}，F＝{(x，y)|0≤x≤3,0≤y≤2，x≥y}，假设向区域E内随机投掷一点，那么该点落入区域F内的概率为________．解析：依区域E和区域F的对应图形如下图．其中区域E的面积为3×2＝6，区域F的面积为12×(1＋3)×2＝4，所以向区域E内随机投掷一点，该点落入区域F内的概率为P＝46＝23.答案：231.同时掷3枚质地均匀的骰子，记录3枚骰子的点数之和，那么该试验的基本事件总数是( )A．15 B．16C．17 D．18解析：选B 点数之和可以为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18，共16个基本事件．2．某娱乐栏目中的“百宝箱〞互动环节是一种竞猜游戏，游戏规那么如下：在20个商标中，有5个商标的背面注明了一定的奖金额，其余商标的背面是一X 苦脸，假设翻到带苦脸的商标就不获奖．参加这个游戏的观众有三次翻商标的机会．某观众前两次翻商标均获假设干奖金，如果翻过的商标不能再翻，那么这位观众第三次翻商标获奖的概率是( )A.14B.16C.15D.320解析：选B 该观众翻两次商标后，还有18个商标，其中有3个含奖金，所以第三次翻商标获奖的概率为P ＝318＝16. 3．欧阳修在《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元〞，卖油翁的技艺让人叹为观止．铜钱是直径为3 cm 的圆，中间有边长为1 cm 的正方形孔．假设你随机向铜钱上滴一滴油，那么这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是( )A.9π4B.94πC.4π9D.49π 解析：选D 此题显然是几何概型，用A 表示事件“这滴油正好落入孔中〞，可得P (A )＝正方形的面积圆的面积＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322π＝49π. 4．掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M ＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N ＝{至少一次正面向上}．那么以下结果正确的选项是( )A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝34C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝12解析：选B 掷一枚质地均匀的硬币两次，所有基本事件为(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，所以P (M )＝24＝12，P (N )＝34. 5．在全运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．假设从中任选3人，那么选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25 解析：选A 从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，所以选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310. 6．任意抛掷两颗骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么点P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的概率为( )A.2536B.16C.14D.112解析：选D 基本事件为6×6＝36，P (a ，b )落在区域|x |＋|y |≤3中的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，所以P ＝36×6＝112. 7．为了调查某某阿克苏野生动物保护区内鹅喉羚的数量，调查人员逮到这种动物400只做过标记后放回．一个月后，调查人员再次逮到该种动物800只，其中做过标记的有2只，估算该保护区共有鹅喉羚________只．解析：设保护区内共有鹅喉羚x 只，每只鹅喉羚被逮到的概率是相同的，所以400x ≈2800，解得x ≈160 000.答案：160 0008．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{}0，1，2，…，9.假设|a －b |≤1，那么称甲、乙“心有灵犀〞．现任意找两人玩这个游戏，那么他们“心有灵犀〞的概率为________．解析：当a 为0时，b 只能取0,1两个数；当a 为9时，b 只能取8,9两个数；当a 取其他数时，b 都可以取3个数，所以他们“心有灵犀〞的情况共有28种，又基本事件总数为100，所以所求的概率为28100＝0.28. 答案：0.289．在一棱长为6 cm 的密闭的正方体容器内，自由飘浮着一气泡(大小忽略不计)，那么该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为________．解析：距离顶点小于1 cm 的所有点对应的区域可构成一个半径为1 cm 的球，其体积为4π3，正方体的体积为216，故该气泡距正方体的顶点不小于1 cm 的概率为1－π162. 答案：1－π16210．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.假设a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根〞，当a ≥0，b ≥0时，此方程有实根的条件是a ≥b .从两组数中各取数一个数的所有的基本事件有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共12个(其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值)，事件A 包含的基本事件有(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共9个．故P (A )＝912＝34. 11．一个盒子里装有三X 卡片，分别标记有数字1,2,3，这三X 卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取一X ，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同〞的概率．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有可能的结果为：(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞为事件A ，那么事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种，所以P (A )＝327＝19， 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c 〞的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同〞为事件B ，那么事件B 包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种，所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89，因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同〞的概率为89. 12．如图，从A 1(1,0,0)，A 2(2,0,0)，B 1(0,1,0)，B 2(0,2,0)，C 1(0，0,1)，C 2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点．(1)求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；(2)求这3点与原点O 共面的概率．解：从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果是：x 轴上取2个点的有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，共4种；y 轴上取2个点的有B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，共4种；z 轴上取2个点的有C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共4种．所选取的3个点在不同坐标轴上有A 1B 1C 1，A 1B 1C 2，A 1B 2C 1，A 1B 2C 2，A 2B 1C 1，A 2B 1C 2，A 2B 2C 1，A 2B 2C 2，共8种．因此，从这6个点中随机选取3个点的所有可能结果共4＋4＋4＋8＝20种．(1)选取的这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的所有可能结果有A 1B 1C 1，A 2B 2C 2，共2种，因此，这3个点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率为P 1＝220＝110.(2)选取的这3个点与原点O 共面的所有可能结果有A 1A 2B 1，A 1A 2B 2，A 1A 2C 1，A 1A 2C 2，B 1B 2A 1，B 1B 2A 2，B 1B 2C 1，B 1B 2C 2，C 1C 2A 1，C 1C 2A 2，C 1C 2B 1，C 1C 2B 2，共12种，因此，这3个点与原点O 共面的概率为P 2＝1220＝35.(时间120分钟 总分值150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．某产品共有三个等级，分别为一等品、二等品和不合格品．从一箱产品中随机抽取1件进行检测，设“抽到一等品〞的概率为0.65，“抽到二等品〞的概率为0.3，那么“抽到不合格品〞的概率为( )A ．0.95B ．0.7C ．0.35D ．0.05解析：选D “抽到一等品〞与“抽到二等品〞是互斥事件，所以“抽到一等品或二等品〞的概率为0.65＋0.3＝0.95，“抽到不合格品〞与“抽到一等品或二等品〞是对立事件，故其概率为1－0.95＝0.05.2．总体容量为203，假设采用系统抽样法进行抽样，当抽样间距为多少时不需要剔除个体( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 由于203＝7×29，即203在四个选项中只能被7整除，故间隔为7时不需剔除个体．3．如下图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ≤－1，0，－1＜x ≤2，x 2，x ＞2的值的程序框图，那么在①、②、③处应分别填入的是( )A ．y ＝－x ，y ＝0，y ＝x 2B ．y ＝－x ，y ＝x 2，y ＝0C ．y ＝0，y ＝x 2，y ＝－xD ．y ＝0，y ＝－x ，y ＝x 2解析：选B 框图为求分段函数的函数值，当x ≤－1时，y ＝－x ，故①y ＝－x ，当－1＜x ≤2时，y ＝0，故③为y ＝0，那么②y ＝x 2.4．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分为五组，并绘制频率分布直方图(如下图)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg 属于偏胖，低于55 kg 属于偏瘦．图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的纵坐标分别为0.05,0.04,0.02,0.01，第二小组的频数为400，那么该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为( )A ．1 000,0.50B ．800,0.50C ．800,0.60D ．1 000,0.60解析：选D 第二小组的频率为0.40，所以该校高三年级的男生总数为4000.40＝1 000(人)；体重正常的频率为0.40＋0.20＝0.60.5．现有甲、乙两颗骰子，从1点到6点出现的概率都是16，掷甲、乙两颗骰子，设分别出现的点数为a ，b 时，那么满足a ＜|b 2－2a |＜10a的概率为( ) A.118B.112 C.19D.16解析：选B ∵试验发生包含的总的基本事件有36种，满足条件的事件需要进行讨论． 假设a ＝1时，b ＝2或3；假设a ＝2时，b ＝1； ∴共有3种情况满足条件， ∴概率为P ＝336＝112.6．为积极倡导“学生每天锻炼一小时〞的活动，某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛，9位评委给高三(1)班打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清，假设记分员计算无误，那么数字x 应该是( )评委给高三(1)班打出的分数A.2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选A ∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后，余下的7个数字的平均数是91，即89＋88＋92＋90＋x ＋93＋92＋917＝91.∴635＋x ＝91×7＝637，∴x ＝2.7．点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，那么动点P 到定点A 的距离|PA |＜1的概率为( )A.14B.12C.π4D ．π 解析：选C 如下图，动点P 在阴影部分满足|PA |＜1，该阴影是半径为1，圆心角为直角的扇形，其面积为S ′＝π4，又正方形的面积是S ＝1，那么动点P 到定点A 的距离|PA |＜1的概率为S ′S ＝π4. 8.甲、乙两名选手参加歌手大赛时，5名评委打的分数用茎叶图表示(如右图)．s 1，s 2分别表示甲、乙选手分数的标准差，那么s 1与s 2的关系是( )A ．s 1＞s 2B ．s 1＝s 2C ．s 1＜s 2D ．不确定解析：选C 由茎叶图可知：甲得分为78,81,84,85,92；乙得分为76,77,80,94,93.那么x 甲＝84，x 乙＝84，那么s 1＝15[78－842＋…＋92－842]＝22，同理s 2＝62，故s 1＜s 2，所以选C.9．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，那么取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )A.310B.15 C.110D.112解析：选A 随机取出2个小球得到的结果数有10种，取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{}1，2，{}1，5，{}2，4，共3种，故所求概率为310.10．将二进制数110 101(2)转化为十进制数为( ) A ．106 B ．53 C ．55 D ．108解析：选B 110 101(2)＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×2＋1×20＝53.11．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8,9～16，…，153～160)，假设第16组得到的为126，那么第1组中用抽签的方法确定的是( )A ．8B ．6C ．4D ．2解析：选B ∵16020＝8，∴抽样间隔为8，∴第1组中为126－15×8＝6.12．某公司共有职工8 000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表： 所用时间(分钟)[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]人数 25 50 15 55y t 钟)的关系是y ＝200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20，其中⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20表示不超过t20的最大整数．以样本频率为概率，那么公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为( )A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9解析：选D 由题意知y ≤300， 即200＋40⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤300，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤t 20≤2.5，解得0≤t <60， 由表可知t ∈[0,60)的人数为90人， 故所求概率为90100＝0.9.二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下：0 001，0 002，…，1 000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，从第一部分随机抽取一个为0 015，那么第40个为________．解析：根据系统抽样方法的定义，得第40个对应15＋39×20＝795，即得第40个为0 795. 答案：0 79514．有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，那么使两截的长度都大于18米的概率为________．解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，那么在线段CD 的任意位置剪断此绳得到的两截细绳长度都大于18米．由几何概型的概率计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为P ＝681＝34.答案：3415．盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球，从中任意取出两个，那么这两个球的编号之积为偶数的概率是________(结果用最简分数表示)．解析：从中任意取出两个的所有基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(2,3)，(2,4)，…，(6,7)共21个．而这两个球编号之积为偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(6,7)共15个．故所求的概率P ＝1521＝57.答案：5716．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：由表中数据得到的线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝1.1，预测当产量为9千件时，成本约为________万元．解析：由表中数据得x ＝4，y ＝9，代入回归直线方程得a ^＝4.6，∴当x ＝9时，y ^＝1.1×9＋4.6＝14.5.答案：14.5三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题总分值10分)某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下：(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在图中画出频率分布直方图；(2)假设以上述频率作为概率，标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据经常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．解：(1)频率分布表如下：分组频数频率频率组距[39.95,39.97)100.10 5[39.97,39.99)200.2010[39.99,40.01)500.5025[40.01,40.03]200.2010合计100 1(2)误差不超过0.03 mm，即直径落在[39.97,40.03]X围内的概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9.(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．18.(本小题总分值12分)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑，有关报价信息如图．(1)写出所有选购方案；(2)如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？解：(1)画出树状图如图：那么选购方案为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )．(2)A 型号电脑被选中的情形为(A ，D )，(A ，E )，即基本事件为2种，所以A 型号电脑被选中的概率为P ＝26＝13.19．(本小题总分值12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如下图.(1)计算甲班的样本方差；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．解：(1)甲班的平均身高为x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(2)设“身高为176 cm 的同学被抽中〞的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173 cm 的同学的身高，那么所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件， 故P (A )＝410＝25.20．(本小题总分值12分)甲、乙两人参加知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：甲、乙两人各抽一题共有20种情况．把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题〞的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题〞的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题〞的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题〞的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题〞的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题〞的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题〞的概率为310＋310＝35.(2)“甲、乙两人都抽到判断题〞的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题〞的概率为1－110＝910.21．(本小题总分值12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为此作了四次实验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y ^－b ^x .解：(1)散点图如下图． (2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54.∴b ^＝52.5－4×3.5254－4×3.52＝0.7，∴a ^＝3.5－0.7×3.5＝1.05， ∴y ^＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程， 得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．22．(本小题总分值12分)(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100] 分分组频数281410 6(1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)．图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意解：(1)如下图．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意〞；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意〞．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．。
数学学案-互斥事件与几何概型
20.2 互斥事件与几何概型【复习导航】1.目标定位：1、了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式进行概率计算；2、了解几何概型的含义,会构建几何概率模型解决一些简单的几何概型问题。
高考中往往是直接考查几何概型的计算以及互斥事件计算公式的应用，基本是中低档题，考察定义公式的基本应用。
2.考题预测：几何概型与互斥事件是高考考查的重要内容,主要以应用题形式考查,以现实生活为背景，背景新颖、别致,具有时代气息,但实质仍是对几何概型、互斥事件的考查.考查题型可以是选择题、填空题和解答题.结合《考纲》预测2013年试题在以上各个考查点的基础上还会青睐常规试题,只是背景更贴近于生活或者更时尚一些,试题仍以选择题、填空题或解答题的形式考查,试题总体难度不大.【要点梳理】1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件__________________成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型．2．几何概型的概率公式：P (A )＝_________________________________________________.3． 在一个随机试验中，一次试验下_________________的两个事件A 与B 称作互斥事件．互斥的和事件概率为P (A ＋B )＝_______________; 若A 1，A 2，A 3，…，A n 任意两事件都互斥，则 P(A 1＋A 2＋A 3＋…＋ A n )＝_________________________________．4．在一个随机试验中，一次试验下_________________________的两个事件A 与B 称作对立事件．事件A 的对立事件也称为逆事件，记作A .对立事件概率公式为 P (A ) ＝___________________.【基础自测】1.甲、乙两人下棋,下成和棋的概率是12,乙获胜的概率是13,则甲不获胜的概率是 ( ) (A) (B) 65 (C) 61 (D) 32 2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 ( )（A ） 103 （B ） 51 （C ） 101 （D ） 121 3.长方形ABCD 中,AB =2,BC =1,O 为AB 的中点,在长方形ABCD 内随机取一点,取到的点到O 的距离大于1 的概率为 .4. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，求这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率__________. 【典例精析】题型一 事件的判断12例1 (1)小华在打靶中连续射击2次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是 ( ) (A)至多有一次中靶. (B)只有一次中靶.(C)两次都不中靶. (D)两次都中靶.(2)下列说法正确的是 ( )(A)事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B恰有一个发生的概率大.(B)只有当事件A、B为对立事件时,A、B中至少有一个发生的概率才等于事件A发生的概率加上B 事件发生的概率.(C)互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件.(D)互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件.【分析】(1)可以从对立事件的定义入手,也可以从集合的角度入手.(2)根据事件所具备的性质判断.【解】(1)“至少有一次中靶”包括两种情形:①有一次中靶;②有两次中靶.故对立事件为“两次都不中靶”.故选C.(2)当A、B为对立事件时,A错;B与对立事件不同时发生矛盾;互斥事件不一定是对立事件C 错.故选D.【反思】(1)可以从集合的角度来理解,其交集为空集,其并集为全集.判断事件的类型从定义出发,当两个事件不能同时发生时为互斥事件.(2)当两个事件不能同时发生且其中必有一个发生时为对立事件,有时借助集合来判断更简捷.变式练习1. (1)从1,2,…,9中任取两数,其中①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是偶数和两个都是偶数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个偶数.在上述事件是,是对立事件的是 ( )A)①. (B)②④. (C)③. (D)①③.(2)从装有3个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的是 ( )(A)至少有1个白球;都是白球. (B)至少有1个白球;至少有1个红球.(C)至少有1个白球;都是红球. (D)恰有一个白球;恰有2个红球.题型二互斥事件的应用已知同血型的人可以输血,O型血可以输给任何一种血型的人,其他不同血型的人不能互相输血.张三是B型血,若他因病需要输血,问:(1)任找一人,其血可以输给张三的概率是多少?(2)任找一人,其血不能输给张三的概率是多少?【分析】对于互斥事件,直接用公式即可解决.【解】(1)对任一人,其血型为A,B,AB,O的事件分别记为A',B',C',D'.由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.因为B,O型血可以输给张三,所以“任找一人,其血可以输给张三”为事件B'+D',依据互斥事件的概率加法公式,有P (B '+D ')=P (B ')+P (D ')=0.29+0.35=0.64.(2)(法一)由于A ,AB 型血不能输给B 型血的人,所以“任找一人,其血不能输给张三”为事件A '+C',依据互斥事件的概率加法公式,有P (A '+C ')=P (C ')+P (A ')=0.28+0.08=0.36.(法二)因为事件“任找一人,其血可以输给张三”与事件“任找一人,其血不能输给张三”是对立事件,所以由对立事件的概率公式,有P(A '+C ')=1-P(B '+D ')=1-P(B ')-P(D ')=1-0.64=0.36.【反思】在运用概率的加法时,有时我们直接使用概率的加法公式,有时我们会使用相互对立事件的概率公式P (A )=1-P (A ),这也就是我们平时所说的“正难则反”,它经常应用在求“至少”或者是“至多”这样的题目中.变式练习2. (2011年江西)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A 饮料,另外2杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A 饮料.若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力.(1)求此人被评为优秀的概率; (2)求此人被评为良好及以上的概率.题型三 几何概型例3. 在平面直角坐标系xOy 中,设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D 中随机投一点,则所投点在E 中的概率是 .【分析】此题属于几何概型问题,需计算满足条件的正方形的面积和圆的面积,利用几何概型概率公式求解.【解】如图:区域D 表示边长为4 的正方形的内部(含边界),区域E 表示单位圆及其内部,因此,P = 164412ππ=⨯⨯ 故填 16π . 【反思】几何概型问题主要分为三类:测度为长度的几何概型、测度为面积的几何概型、测度为体积的几何概型.其分类主要由P (A )=的测度的测度D d 中的D 确定,当D 分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的“测度”分别是长度、面积和体积等.因此,解题时只要能准确理解“测度”的意义,将问题归结为相应的类型进行求解,则不难得解.变式练习3. 平面上画了一些彼此相距2a 的平行线,把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这平面上,则硬币不与任一条平行线相碰的概率为 .【课堂小结】1.几何概型:(1)我们是就平面的情形给出几何概型的,同样的方法显然也适用于直线和空间的情况,只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”;(2)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验,如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果,每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示,而所有基本结果对应于一个区域Ω,这时,与试验有关的问题即可利用几何概型来解决.2.应用互斥事件的概率的加法公式时,一定要注意首先确定诸事件彼此是否互斥,然后求出各事件分别发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再应用公式P (A )=1-P (A )求解.3.P (A +B )=P (A )+P (B )称之为互斥事件有一个发生的概率加法公式,在使用此公式时,要先判断事件A 与B 是否互斥,如果A 与B 不互斥,则不能使用此加法公式.4、对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.两个对立事件的和事件为必然事件.【巩固深化】1. 甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件2. 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 （ ）A.60%B.30%C.10%D.50%3. 在区间[－1,1]上随机取一个数x ，cos πx 2的值介于0到12之间的概率为 ( ) A.13 B.2π C.12 D.234、有3个相识的人某天各自乘火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2人在车厢内相遇的概率为( )A.29200B.725 C.29144 D.7185、如图：矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是（ ） A .712π B.23π C .34π D.56π 6. (2008年湖北)明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是____ ____．7. 在区间[0,1]上随机取两个数m ,n ,则函数f (x )=3mx 34-nx +1在[1,+∞)上为增函数的概率为 .8. 若区域M 为{(x ，y )||x |＋|y |≤2}，在区域M 内的点的坐标为(x ，y )，则x 2－y 2≥0的概率是________．9.袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？10．国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．11. 如图所示，在等腰直角ABC ∆中，过直角顶点C 在ACB ∠内部做一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM AC <的概率。
高三数学 第71课时 互斥事件有一个发生的概率教案
课题：互斥事件有一个发生的概率教学目标：了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 教学重点：会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 .（一） 主要知识及主要方法：1.互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件.A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时()0P A B =，()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥.2.对立事件的概念:事件A 和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生这时()0P A B =，()P A B +()P A = ()1P B +=，一般地,()()A P A p -=1.3.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系;第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A A U =,A A =∅。
对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.当A 和B 互斥时，事件A B +的概率满足加法公式：()()()P A B P A P B +=+（A 、B 互斥）当计算事件A 的概率()P A 比较困难时，有时计算它的对立事件A 的概率则要容易些，为此有()()1P A P A =-. 4.互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++.5.分类讨论思想：分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.（二）典例分析：问题1．()1从装有2个红球和2各白球的口袋中任取两个球，那么下列事件中互斥事件的个数是 .A 0个 .B 1个 .C 2个 .D 3个①至少有1个白球，都是白球；②至少有1个白球，至少有1个红球；③恰有1个白球，恰有2个白球；④至少有1个白球，都是红球.()2将一枚骰子向上抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不少于4，则.A A 与B 是互斥而非对立事件 .B A 与B 是对立事件.C B 与C 互斥而非对立事件 .D B 与C A 与B 是对立事件问题2．()1从分别写有0,1,2,3,4,5的六件卡片中，任取三张并组成三位数，计算：①这个三位数是偶数的概率；②这个三位数能被三整除的概率；③这个三位数比340小的概率.()2（07天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．①略；②求取出的4个球中恰有1个红球的概率；③略．()3（07重庆）从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为.A 14.B79120.C34.D2324问题3．从男女生共有36人的班中，选出两名代表，每人当选的机会均等，如果选的同性代表的概率是12，求该班中男女相差几名？问题4．（07全国Ⅱ文）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A=．()1求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；()2若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B．（三）课后作业：1.()1袋中有9个编号为1,2,3，…，9的小球，从中任意随机取出2个，求至少有1个编号为奇数的概率；()2同时掷3枚骰子时，求出现的点数的和是5的倍数的概率.（四）走向高考：2.（05重庆文）若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为3.（06四川）从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能被3整除的概率为.A 1954.B3554.C3854.D41604.（06浙江）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.()1若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；()2若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n .。
高中数学互斥事件学案教案
高中数学互斥事件学案教案
一、学习目标
1.了解互斥事件的概念和性质。
2.掌握互斥事件的计算方法。
3.能够应用互斥事件求解实际问题。
二、学习内容
1.互斥事件的概念及性质。
2.互斥事件的计算方法。
3.互斥事件的应用。
三、学习重点和难点
重点：互斥事件的概念和计算方法。
难点：互斥事件的应用。
四、教学过程
1.引入：通过一个生活实例引入互斥事件的概念，让学生了解互斥事件的意义和特点。
2.讲解：介绍互斥事件的定义和性质，以及互斥事件的计算方法。
讲解完毕后，组织学生
进行相关练习。
3.拓展：通过一些实际问题，引导学生应用互斥事件来解决问题，培养学生的逻辑思维能
力和解决问题的能力。
4.总结：总结本节课的重点内容，强调互斥事件的重要性和应用价值。
鼓励学生多加练习，巩固所学知识。
五、课后作业
1.完成相应的练习题。
2.选择一个实际问题，应用互斥事件来求解。
六、教学反思
本节课主要介绍了互斥事件的概念、性质和计算方法，通过生动有趣的例子和实际问题，引导学生理解和掌握互斥事件的相关知识。
在今后的教学中，可以通过更多的实例和练习来帮助学生更好地理解和应用互斥事件。
(新人教A)高三数学教案全集之1.2互斥事件有一个发生的概率(一)
课 题： l1．2互斥事件有一个发生的概率(一)教学目的：1 掌握互斥事件的概念； 2．掌握互斥事件概率的求法 教学重点：互斥事件的概率的求法 教学难点：互斥事件的概念 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：对于一些较复杂的事件的概率，直接根据概率的定义来进行计算是很不方便的为了将一些较复杂的概率的计算化成较简单的概率的计算，首先要学会将所考虑的事件作出相应的正确运算这一节先讲事件的和的意义然后再讲对于怎样的事件可应用哪一种概率加法公式计算事件的概率 教学过程：一、复习引入：1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()mP A n=8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 二、讲解新课： 1.事件的和的意义对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的A+B 表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 中至少有一个发生就表示它发生例如抛掷一个六面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A ；如果掷出的点数不大于3，记作事件B ，那么事件A+B 就是表示掷出的点数为1、2、3、5当中的一个事件“12n A A A +++L ”表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A L 中至少有一个发生即表示它发生 2 互斥事件的概念不可能同时发生的个事件叫做互斥事件在一个盒子内放有１０个大小相同的小球，其中有７个红球、２个绿球、１个黄球现从盒中任意摸出一个球，我们把得到红球叫事件Ａ，得到绿球叫事件Ｂ，得到黄球叫事件Ｃ若摸出的球是红的，就说事件Ａ发生了；若摸出的球是绿的，就说事件Ｂ发生了，若摸出的球是黄的，就说事件Ｃ发生了在摸球的时候，若Ａ发生，则Ｂ一定不发生；若Ｂ发生，则Ａ也一定不发生即Ａ、Ｂ不可能同时发生这种不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件在上面的问题中，Ａ和Ｂ是互斥事件，Ａ和Ｃ也是互斥事件；Ｂ和Ｃ也是互斥事件一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥3．对立事件的概念事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件.从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A由于事件Ａ和事件A 不可能同时发生，它们是互斥事件又由于摸出的一个球要么是红球，要么不是红球，即事件Ａ和事件A 必有一个发生象这种其中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件4．互斥事件的概率的求法若 “从盒中任意摸出一个球，摸出的球是红的或是绿的”是一个事件，当摸出的球是红球或绿球时，表示这个事件发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ，现在问：事件Ａ＋Ｂ的概率是多少？因为从盒中任摸１个球有１０种可能，而得到红球或绿球的方法有２＋７种，所以得到红球或绿球的概率：P(A+B) =1027+ 另一方面：P(A)=107，P(B)=102所以P(A+B)=P(A)+P(B)一般地：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生（即Ａ，Ｂ中有一个发生）的概率，等于事件Ａ，Ｂ分别发生的概率的和如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么事件12n A A A +++L 发生（即12,,,n A A A L 中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和，即12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L由对立事件的意义：Ａ＋A 是一个必然事件，它的概率等于１，又由于Ａ与A 互斥，我们得到：P(A)+P(A )＝P(A ＋A )＝１对立事件的概率的和等于１ 同样 P(A )＝１－P(A)三、讲解范例：例1 某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示： 年降水量 （单位：ｍｍ）[)150,100[)200,150[)250,200[)300,250概 率0.120.250.160.14（１）求年降水量在[)200,100（ｍｍ）范围内的概率； （２）求年降水量在[)300,150（ｍｍ）范围内的概率解：（１）P(A+B)＝P(A)+P(B)＝0.12+0.25=0.37（２）P(B+C+D)＝P(B)+P(C)+P(D)＝0.25+0.16+0.14=0.55例2． 在20件产品中,有15件一级品，５件二级品，从中任取３件，其中至少有１件为二级品的概率是多少？解法１ 123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++＝228137320353201152532021515=++CC CC C CC C 解法２: P(A )＝１－P(A)＝１－22813722891=四、课堂练习：1.若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么?2.一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件A 、B 、C 、D 中有哪些是互斥事件? 事件A ：命中的环数大于8；事件B ：命中的环数大于5；事件C ：命中的环数小于4；事件D ：命中的环数小于6.3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率. 4.如果事件A 、B 互斥，那么（ ）A.A +B 是必然事件B. A +B 是必然事件C. A 与B 一定互斥D. A 与B 一定不互斥5.下列说法中正确的是（ ）A.事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大B.事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件答案：1. A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.2. 事件A 与C 、事件A 与D 、事件B 与C 分别为互斥事件3. (2819) 4. B 5. D 五、小结 ：1.互斥事件，对立事件的概念；2.互斥事件，对立事件的关系； 3.互斥事件有一个发生的和概率公式：123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++（12,,,n A A A L 彼此互斥）；4.对立事件的概率的和等于1， 即：P (A )+P （A ）=1 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
必修3第3章概率几何概型和互斥事件教案
必修3第3章概率几何概型(教案)江苏省启东中学陈存勤【教学目标】掌握几何概型中常见的几种题型，能够找出基本事件，D与d的测度【教学重点】掌握几何概型中概率的计算公式；能够进行简单的几何概率计算【教学难点】将实际问题转化为几何概型，并能正确应用几何概型的概率计算公式来解决问题．【教学过程】一、温故衔接，导引自学1、定义：设D是一个可度量的区域（例如线段、平面图形、立体图形等）。
每个基本事件可视为从区域D内随意地取一点，区域D内每一点被取到的可能性一样，随机事件A发生可以视为恰好取到区域D内某个指定区域d中的点，这时事件A发生的概率与d的测度（长度、面积、体积等）成正比，与d的形状、位置无关。
我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型。
2、计算公式P（A）=________________________3、特点：（1）______性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个（2）______性：在这个随机试验中，每个结果出现的可能性相同，即基本事件发生是等可能的4、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min．则乘客到达站台立即乘上车的概率为5、一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率6、现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽到细菌的概率为．活动单元一：1、学生回答古典概型的本质特征：（1）样本空间中样本点个数有限.（2）每一个样本点都是等可能发生的．2、教师阐明：将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型3、学生总结：古典概型与几何概型的区别相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.4、提出问题，学生动手（同桌）（1）判断4，5，6是否是几何概型？（2）D和d的测度分别是什么？（3）它们的概率分别是多少？二、交流质疑，精讲点拨题型1：线长问题（长度指：绳长、角度、时间等）例1．一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率变式：1、（1）在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率。
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§9.5几何概型及互斥事件的概率一、知识导学1.对于c一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特左的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样：而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指左区域中的点.这里的区域可以是线段、平而图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验，称为几何概型.一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内” 为事件A,则事件A发生的概率p 〃的测度D的测度•这里要求D的测度不为0,苴中"测度”的意义依D确左，当D分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等2.互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件A、B、C,其中任何两个都是互斥事件，则说事件A、B、C彼此互斥.当A, B是互斥事件时，那么事件A+B发生(即A, B中有一个发生)的槪率，等于事件A, B分别发生的概率的和.P (A+B) =P (A) +P (B).如果事件£、比、…、An彼此互斥，那么事件Ai+A=+-+An发生(即应、£、•••、A ♦中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和.3.对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着对立事件的概率和等于1.P ( A ) =1-P (A)4.相互独立事件：事件A (或B)是否发生对事件B (或A)发生的槪率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件.当A, B是相互独立事件时，那么事件A・B发生(即A, B同时发生)的概率，，等于事件A, B分别发生的概率的积.P (A・B) =P (A)・P (B ).如果事件A’、施、…、An相互独立，那么事件A1<A:*-.A n发生(即A：、扎、…、A ♦同时发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的积.5.独立重复试验如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率二、疑难知识导析1.对互斥事件、对立事件的理解：从集合角度看，事件A、B互斥，就是它们相应集合的交集是空集(如图1)；事件A、B对立，就是事件A包含的结果的集合是其对立事件B包含的「结果的补集(如图2).“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而育的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件“也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.根据对立事件的意义•(A+A )是一必然事件，那它发生的概率等于1,又由于A与灭互斥，于是有P (A) +P ( A ) =P (A+ A ) =1,从而有P ( A ) =1-P (A)・当某一事件的槪率不易求岀或求解比较麻烦，但其对立事件的槪率较容易求出时，可用此公"式，转而先求其对立事件的概率.2.对相互独立事件的理解：相互独立事件是针对两个事件而言的，只不过这两个事件间的关系具有一泄的特殊性，即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响.若A、B两事件相互独立，则A 与亍、入与B、X与斤也都是相互独立的.3.正确理解A・B与A+B的关系：设A、B是两个事件，则A・B表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生；而A+B表示这一事件是在A或B这两个事件中，至少有一个发生的前提下而发生的•公式P (A+B) =P (A) 4-P (B)与P (A・B) =P (A)・P (B)的使用都是有前提的.一般情况下，P (A+B) =1-P ( A + B)=P (A) +P (B) -P (A・B)它可用集合中的韦恩图来示意.三. 经典例题导讲［例1］从0,1, 2, 3这四位数字中任取3个进行排列，组成无重复数字的三位数，求排成的三位数是偶数的概率.错解：记“排成的三位数是偶数”为事件A,错因:上述解法忽略了排成的三位数首位不能为零.正解：记“排成的三位数的个位数字是0”为事•件A, “排成的三位数的个位数字是2”为事件B,且A与B互斥，则“排成的三位数是偶数”为事件A+B,于是A? A l A2 5P (A+B) =P (A) +P (B)+斗*=二・A；眉W 9［例2］从1,2, 3, 100这100个数中，随机取出两个数，求其积是3的倍数的槪率.错解：从1,2, 3, 100这100个数中，随机取出两个数，其积是3的倍数，则须所取两数至少有一个是3的倍数.记事件A为任取两整数相乘为3的倍数，则P （A ）=^k = —C 為 50错因：这里相关的排列组合问题没有过关.正解：基本事件数有种.在由1到100这100个自然数中，3的倍数的数组成的集合H 中有33个元素，不是3的倍数组成的集合N 中有67个元素，事件A 为任取两整数相乘为3 的倍数，分两类：（1）取M 中2个元素相乘有C ：种；（2）从集合M 、N 中齐取1个元素 相乘有C,C ：7种.因为这两类互斥，所以电 + eg 83P （A ）= 一 =——・C 為 150［例3］在房间里有4个人，问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少？解：由于事件A “至少有两个人的生日是同一个月”的对立事件刁是"任何两个人的生日都 不同月” •因而 至少有两个人的生日是同一个月的概率为：［例4丁某单位6名员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）. 求（1）至少3人同时上网的概率；（2）至少几人同时上网的槪率小于0・3? 解：（1）至少3人同时上网的概率等于1减去至多2人同时上网的概率，即（2） 6人同时上网的概率为C^0.56 =丄V0.3： 64 7至少5人同时上网的概率为C ：0・5&+ C ；0・5& = — <0. 3：64 至少4人同时上网的概率为C^0.56 + C ：0.5° + C^0.56 = 故至少5人同时上网的概率小于0. 3.=护0.3・ ［例5］设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0・9、Q.8,求:（1）目标恰•好被甲击中的概率：（2）目标被击中的概率.解：设事件A 为“甲击中目标”，事件B 为“乙击中目标”.由于甲、乙两射手独立射击，事件A 与B 是相互独立的，故A 与万、亍与B 也是相互独立的.（1）目标恰好被甲击中，即事件发生.P (A ・ B ) =P (A) XP (B ) =0.9X (1-0.8) =0. 18.•••目标恰好被甲击中的槪率为0・18.P(A) sd"計- 55 96 41 96 1-C ：)0・5& — C^0.56- C;0.56=l- 1 + 6+15 64 21 32(2)目标被击中即甲、乙两人中至少有1人击中目标，即事件A- 7 - B. A-B发生.由于事件人・亍、入・B、A・B彼此互斥，所以目标被击中的概率为P (A* B + A• B+A - B) =P (A•亍)+P ( A • B) +P (A • B)=P (A)・P (直)+P(X) - P (B) +P(A・B)= 0.9X0. 2+0. 1X0. 8 + 0. 9X0. 8=0. 98.「评注：运用慨率公式求解时，首先要考虑公式的应用前提.本题(2)也可以这样考虑：排除甲、乙都没有击中目标.因为P(A・B)=P(A) • P ( B ) =0.1X0. 2 = 0. 02.所以目标被击中的概率为l-P ( A • B ) =1-0.02 = 0.98.[例6]某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”则该课程考核"合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的槪率分别为0.9, 0.8, 0.7：在实验考核中合格的概率分别为0.8, 0.7, 0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响.(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三人课程考核都合格的概率.(结果保留三位小数)解：记“甲理论考核合格”为事件儿，“乙理论考核合格”为事件扎，“丙理论考核合格” 为事件儿，“甲实验考核合格”为事件B,, “乙实验考核合格”为事件B：,"丙实验考核合格”为事件B,.(1)记“理论考核中至少有.两人合格”为事件C.则P (C) =P (Ai A：石+A：石凡+瓦’A： As+儿A= A5)=P (A：錶石)+P (A：石AJ ,+P (石扎凡)+P (A： Ac AJ)=0. 9X0. 8X0. 3+0. 9X0. 2X0. 7 + 0. 1X0. 8X0. 7+0. 9X0. 8X0. 7=0. 902(2)记“三人该课程考核都合格”为事件D.则P (D) =P [ (A：• BJ • (A：・BJ • (ArBJ ]=P (扎・BJ >P (A：>B：) • P (Ao • B3)=P (AD • P (B：) - P (Ao) • P (B=) -P (A：) ・P(BJ= 0.9X0. 8X0. 8X0. 8X0. 7X0. 95. 254所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0. 902：这三人该课程考核都合格的概率为0. 254o四、典型习题导练1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有1个黑球，都是黑球B.至少有1个黑球，至少有1个红球C.恰有1个黑球，恰有2个红球D.至少有1个黑球，都是红球2.取一个边长为2 d的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的槪率.3.某小组有男生6人，女生4人，现从中选出2人去开会，求至少有1划女生的概率. 4•设有编号分别为1,2, 3,4, 5的五封信，另有同样编号的五个信封，现将五封信任意装入五个信封，每个信封装入一封信，试求至少有两封信配对的概率.5.某班级有52个人，一年若按365天计算，问至少有两个人的生日在同一天的概率为多大？6.九个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组（每组3队）进行预赛，试求：（1）三个组各有一个亚洲国家队的概率；（2）至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率.。