第七章_格与布尔代数

如果l1和l2有glb, 则glb是唯一的； 如果l1和l2有lub, 则lub是唯一的。 证明：假设a1和a2都是l1和l2的glb, 则由最大下界 的定义知： a1 ≤l1 , a1 ≤l2 , a2 ≤l1, a2 ≤l2 , 且 a1 ≤a2 , a2≤a1 , 由偏序关系的反对称性知a1 =a2 。 lub的唯一性同理可得。
例1 实数集R上的小于等于关系‘≤’ 是一个偏序关系,是否为格？ 解：对于任意两个实数x和y 既存在∨(lub), 也存在∧ (glb): lub(x,y)=x ∨ y=max(x,y); glb(x,y)=x ∧ y=min(x,y). 因此偏序集<R; ≤>是格.
例2 正整数集N上的整除关系‘|’是一个 偏序关系,是否为一个格？ 解: 对于任意两个正整数m和n, 既存在∨ (lub), 也存在∧ (glb), 且 lub(m,n)=m ∨ n=lcm(m,n); glb(m,n)=m ∧ n=gcd(m,n); 其中, lcm和gcd分别表示 m与n的最小公倍数和最大公约数。 因此, 偏序集<N; |>是格。
b) 定义 设l1,l2是偏序集<L;≤ >中的两个元素, 若存在元素b∈L, 如果满足l1≤b,且l2≤b, 则称b是l1和l2的上界。 如果元素b是l1和l2的上界,且对于任意b’∈L, 若b’是l1和l2的上界,且有b≤b’,则b是l1和l2的最小上界, 记为lub (l1,l2)。
c) 定理 设l1,l2是偏序集<L;≤ >中的两个元素,
6. 有补分配格（布尔代数） 定义 若一个格既是有补格又是分配格, 则称它为有补分配格。 记为< L, ∧,∨,1,0, >
6.有补分配格的性质 定理 在有补分配格<L; ∧,∨>中 任意元素l∈L的补元是唯一的。 证明: 如果有两个元素l1和l2使得: l∨l1=1, l ∧ l1=0 l∨l2=1, l ∧ l2=0 则有l∨l1= l∨l2, l ∧ l1= l ∧ l2, 则有前面的定理2有l1=l2成立。
3. 偏序集的最小(大)元
a) 定义 设<L;≤>是一偏序集, (1)如果对于所有的元素l∈L, 有a≤l, 则称元素a∈L是最小元素; (2)如果对于所有的元素l∈L, 有l≤b, 则称元素b∈L是最大元素。 b) 定理 如果偏序集<L;≤>有最小元素, 则最小元素是唯一的。 如果<L;≤>有最大元素, 则最大元素是唯一的。
三、偏序集中的特殊元素
1. 两元素的下界（最大下界）、上界（最小上界）
a) 定义 设l1,l2是偏序集<L;≤ >中的两个元素,
若存在元素a∈L, 如果满足a≤l1,且a≤l2, 则称a是 l1和l2的下界。 如果元素a是l1和l2的下界，且对于任意a’∈L, 若a’是l1和l2的下界,且有a’≤a,则a是l1和l2的最大下界, 记为glb(l1,l2).
例3 集合U的幂集2U和定义在其上的包含关系 构成偏序集< 2U ; >,是否为一个格？
对于任意的子集S1, S2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2U ，S1 S1∪S2， S2 S1∪S2, 并且若有子集S 2U ， S2 S, 则必有 S1∪S2 S。 使得S1 S，
因此对于幂集2U中的任意(S1,S2)都有lub和glb, 且 lub(S1,S2)= S1∨S2 = S1∪S2; glb(S1,S2)= S1 ∧ S2 =S1∩S2。 因此偏序集< 2U; >是格。
3.分配格的性质 定理 在格<L; ∧,∨>中, 如果交运算对并运算是可分配的, 则并运算对交运算也是可分配的; 如果并运算对交运算是可分配的, 则交运算对并运算也是可分配的。
定理 设l1,l2,l3∈L是分配格<L; ∧,∨>中 任意的三个元素,则有: l2 =l3 (l1∨l2= l1∨l3, l1∧l2= l1∧l3)
定义 设<L; ≤>是一偏序集, H是L的一个子集, 如果元素a∈L,对于所有的h∈H有a≤h, 则称 a是H的下界。 若a是H的下界, 且对于任意 a’∈L, 若a’是H下界便有a’≤a, 则a是H的最大下界。 如果元素b∈L,对于所有的h∈H有h≤b, 则称b是H的上界。 若b是H的上界, 且对于任意b’∈L, 若b’是H的上界便有b≤b’, 则b是H的最小上界。
7.4 分配格和有补格
一、分配格
1.定义 设<L; ∧,∨>是一个格, 若对于任意的l1,l2,l3∈L,有: l1∨(l2∧l3)= (l1∨l2)∧(l1∨l3) ; l1∧(l2∨l3)=(l1∧l2)∨(l1∧l3) 成立, 则称<L; ∧,∨>是一个分配格。
2.定理 如果<L; ≤>是全序集, 则<L; ≤>是分配格。
7.2 格及其性质
一、格的定义 1.定义 格是一个偏序集<L;≤>, 且每一对元素l1,l2∈L 均存在最大下界和最小上界。 2.规定 将元素l1和l2的最大下界和最小上界 分别用l1∧l2和l1∨l2来表示。 l1∧l2=glb(l1,l2); ∧: 交运算 l1∨l2=lub(l1,l2); ∨: 并运算
二、格的交、并运算的性质 在格<L; ≤>中, 对于任意的 a,b,c∈L, 有
(1) a∧b≤a , a∧b≤ b ;
(2) a∨b≥ a, a∨b≥ b; (3) 若a≤ b , a≤ c , 则a≤b∧c; (4) 若a≥b , a≥c , 则a≥b∨c.
三、格的性质
定理1 如果l1和l2是格<L;≤>的元素, 则: l1≤ l2 l1∧l2= l1 l1∨l2= l2 定理2 (交换律) 在格<L; ≤>中, 对于任意的 l1,l2∈L, 有 (1) l1∨l2= l2∨l1 (2) l1∧l2= l2 ∧l1
二、有补格 1. 格的界 定义 如果一个格存在有最小元和最大元, 则称它们为该格的界,用0和1来表示。 2.格的最大（小）元运算 如果一个格<L; ∧,∨>有最小(大)元0和1, 则对于所有的i∈L, 有 i≤1, 0≤i。 且 i∨1=1, i∧1=i; i∧0=0, i∨0=i。
3. 有界格
定理7(分配不等式) 在格<L; ≤>中, 对于 任意的l1,l2,l3∈L, 有下列分配不等式成立: (1) l1∨(l2∧l3)≤ (l1∨l2)∧(l1∨l3) (2) l1∧(l2∨l3)≥(l1∧l2)∨(l1∧l3)
例7 设<L; ≤>是一个格, 试证对任意a,b,c∈L, 有： a∨[(a∨b)∧(a∨c)]=(a∨b)∧(a∨c) 证明: 对任意a,b,c∈L, 有a∨b≥a, a∨c≥a。 由格的保序性及等幂律: (a∨b)∧(a∨c)≥a∧a=a 又(a∨b)∧(a∨c)≥ (a∨b)∧(a∨c) 所以a∨[(a∨b)∧(a∨c)]≤ (a∨b)∧(a∨c) 又(a∨b)∧(a∨c) ≤ a∨[(a∨b)∧(a∨c)] 所以a∨[(a∨b)∧(a∨c)]=(a∨b)∧(a∨c)
3) 一个元素有补元时也不一定唯一。
4)最大元1与最小元0互补。
例5 考察如下图中表示的格中元素的补元。
解: (a)中除了0与1互补外其余元素都没补元。 (b)中a与b互补, 0与1互补。 (c)中a,b,c两两互为补元。 (d)中除0与1互补之外其余元素均无补元。
例6 求下图中各元素的补元。 解: 从左边的图表示的格可以看出 c没有补元, b和e都是d的补元, a和d都是e的补元, 0和1互为补元。
例1 判断下图表示的格是否是分配格？为什么?
1 1 a b c a b c
0
0
图(a)
图(b)
解: 在图(a)中: a∧(b∨c)= a∧1=a, (a∧b)∨(a∧c)=c 则 a∧(b∨c) (a∧b)∨(a∧c) 在图(b)中: a∨(b∧c)=a, (a∨b)∧(a∨c)=1。 则 a∨(b∧c) (a∨b)∧(a∨c) 所以这两个格都不是分配格。
第7章 格与布尔代数
本章主要内容： 偏序集、格的定义、格的性质； 分配格、有补格、布尔代数的概念。
7.1 偏序集
一、偏序集 定义 将集合L和L上的偏序关系“≤”一起 称为一个偏序集, 用<L; ≤ >来表示。 二、偏序集<L,≤ >中元素性质
对于偏序集<L,≤ >中所有元素l1,l2,l3∈L有： (1) l1 ≤ l1; (1’) l1 ≥ l1; (2) 若l1 ≤l2, l2 ≤l1, 则有l1 =l2; (2’) 若l1 ≥l2, l2 ≥l1, 则有l1 =l2; (3) 若l1 ≤l2, l2 ≤l3, 则有l1≤l3; (3’) 若l1 ≥l2, l2 ≥l3, 则有l1≥l3;
定理5 (吸收律) 在格<L; ≤>中,对于任意的l1,l2∈L, 有 (1) l1∨(l1∧l2)=l1 (2) l1∧(l1∨l2)=l1
定理6 (保序性) 在格<L; ≤>中, 对于任意的l1,l2,l3,l4∈L, 若l1≤l3, l2≤l4, 则有: (1) l1∨l2≤l3∨l4, (2) l1∧l2≤l3∧l4。 推论1 在格<L; ≤>中, 对于任意l1,l2,l3∈L, 若l2≤l3, 则有: (1) l1∨l2≤l1∨l3, (2) l1∧l2≤l1∧l3
例2 集合S={a,b,c}, S的幂集2S上的 包含关系 是偏序关系。 偏序关系的次序图如下, 从图上可以看出 {a,b,c}是{a,b}和{b,c}的上界, 也是{a,b}和{b,c}的最小上界, 而 {a}是它们的最大下界。
{a}和 都是{a,b}和{a,c}的下界,
2. 界的概念推广到集合L的子集
例1 设A={1,2,3,4,6,12}, 显然A上的整除关系是偏序, 记为“≤”。 求元素4与6、6与12的下(最大)界， 上(最小)界。 解：因为2≤4, 2≤6, 所以2是4和6的下界; 又1≤4, 1≤6,所以1也是4和6的下界, 2是4和6的最大下界。 4≤12, 6≤12,12是4和6的上界,也是最小上界。 因为6≤6,6≤12, 所以6是6和12的下界、也是最大下界； 12是6和12 的上界，也是最小上界。
定义 设<L; ∧,∨>是一个格, 如果L中既有最大元和又有最小元， 则称此格为有界格。 例3 如下图所示的格都是有界格。
例4 格<N;|>不是有界格, 因为它没有最大元; 格<Z; ≤>不是有界格,因为既没有最大元， 也没有最小元。
4. 元素的补元 定义 设<L; ∧,∨>是含有元素1和0的 格, 对于L中的一个元素l,若存在元素 l 使得 l l =1, l l =0, 则称元素 l 是元素l的补元。 注： 1) l与 l 是互补的, l 是l的一个补元。 即I是 l 的补元，也 2) 并非有界格中每个元素都有补元。
定理3 (结合律) 在格<L; ≤>中, 对于任意的 l1,l2,l3∈L,有 (1) l1∨(l2∨l3) = (l1∨l2)∨l3 (2) l1∧(l2∧l3) = (l1∧l2)∧l3
定理4 (等幂律) 在格<L; ≤>中, 对于任意的l∈L, 有 (1) l∨l=l, (2) l∧l=l。
例7 设S={a,b,c}, 则 2S , , 是一个格, 显然空集为最小元,全集S为最大元, 因此它是有界格。 对S的幂集2S的任意一个子集A∈2S, A的补集A’即为A的补元。 例如 {a}与{b,c}互补, {b}与{a,c}互补, 空集与全集S互补。
5. 有补格的定义
定义 设<L; ∧,∨>是一个含有元素1和0的格, 如果L中每一个元素都有补元, 则称格<L; ∧,∨>为有补格。
例4
e
判断如下偏序集是否是格？
e f d c c b d c b e
f
d
a
b
a
a
(a)
(b)
(c)
解: (a)表示的偏序集中{a,b}无最大下界, (b)表示的偏序集中{e,c}既无glb又无lub, (c)中{b,c}无 lub, 因此这三个都不是格。
例5 判断如下偏序集是否是格？
解: 由(a)(b)(c)(d)(e)所示的偏序集都是格, 因为任意两个元素都有lub和glb, 满足格的定义。