数值分析上机作业1 1解析

数值计算方法上机题目1

1、实验1. 病态问题

实验目的：

算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。

数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。

问题提出：

考虑一个高次的代数多项式

20?)kx20)??(?1)(x?2)...(x?)p(x?(x）E1-1 （

1?k显然该多项式的全部根为l，2，…，20，共计20个，且每个根都是单重的（也称为简单的）。现考虑该多项式方程的一个扰动

19??x)?0xp((E1-2)

19?x的系数作一个小的扰动。我们希望是一个非常小的数。这相当于是对（E1-1其中）中）的解对扰动的敏感性。E1-2）根的差别，从而分析方程（E1-1比较（E1-1）和（：实验内容”，输入函数roots”和“poly为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函数：“）（au＝roots nua1?n 的元素依次a维的向量，则该函数的输出其中若变量维的向量。设存储为一个a,...,,aa u，则输出为的各分量是多项式方程1?2n1nn?1?...axx??axa?0a1n12n?的全部根，而函数

b=poly(v)

的输出b是一个n＋1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“Poly”是两个互逆的运算函数.

ve=zeros(1,21);

ve(2)=ess;

roots(poly(1:20))+ve)

?。中的）ess”即是（E1-2程序中的（上述简单的Matlab程序便得到E1-2）的全部根，“实验要求：

（1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项?很小，我们自然感觉（E1-1）和(E1-2)的系数的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？

18?x E1-22（）将方程（）中的扰动项改成或其他形式，实验中又有怎样的现象出现？1

实验步骤：

（1）程序

t_charpt1_1function clcresult=inputdlg({'请输入扰动项:在[0 20]之间的整

数:'},'charpt

});'19'1_1',1,{Numb=str2num(char(result));if((Numb>20)|(Numb<0))errordlg('请输入正确的扰动项:[0 20]之间的整end;!');return数result=inputdlg({'请输入(0 1)之间的扰动常数:'},'charpt

});'0.00001'1_1',1,{ess=str2num(char(result));ve=zeros(1,21);

ve(21-Numb)=ess;root=roots(poly(1:20)+ve);x0=real(root);

y0=imag(root););'*'plot(x0',y0',

disp(['对扰动项 ',num2str(Numb),'加扰动',num2str(ess),'得到的全部根]);:'为

disp(num2str(root));二、实验结果分析

ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12.

对扰动项19加扰动1e-006得到的全部根为:

21.3025+1.56717i 21.3025-1.56717i 18.5028+3.6004i 18.5028-3.6004i

15.1651+3.76125i 15.1651-3.76125i 12.4866+2.88278i 12.4866-2.88278i

10.5225+1.71959i 10.5225-1.71959i 9.04485+0.594589i 9.04485-0.594589i 7.9489+0i 7.00247+0i 5.99995+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i

对扰动项19加扰动1e-010得到的全部根为:

19.9953+0i 19.0323+0i 17.8696+0i 17.2186+0i

15.4988+0.0211828i 15.4988-0.0211828i 13.7707+0i 13.1598+0i

11.9343+0i 11.029+0i 9.99073+0i 9.00247+0i 7.99952+0i

7.00007+0i 5.99999+0i 5+0i 4+0i 3+0i 2+0i 1+0i

ess分别为1e-6,1e-8.1e-10,1e-12的图像如下：

当的解相差很小，E.1.1和方程E.1.2 从实验的图形中可以看出，当ess充分小时，方程

逐渐增大时，方程的解就出现了病态解，这些解都呈现复共轭性质。ess18时方程的解都比较准确，没有出现复共轭现象。xess=1e-009上后，（2）将扰动项加到191819小一个数量级。对上比加到时误差与xx(ess=1e-009)时相当，即扰动加到xess=1e-0088时没有出现复共轭，x的扰动

ess=10e10的扰动ess=1000时没有出现复共轭，误差很小；对x n上时，n误差很小。因此，扰

动作用到x越小，扰动引起的误差越小。、2多项式插值的振荡现象，即插值的龙格（Runge）现象实验2。问题提出：拉格朗日插值中使用的节点越多，考虑在一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然，)(xL是否也更加靠近被逼插值多项式的次数就越高、自然关心插值多项式的次数增加时，n],1[?1上函数近的函数。龙格给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间1?)f(x2x1?25：实验内容],1[?1的一个等距划分，分点为考虑区间

i2n,2,...,1,i?0,x??1?i n则拉格朗日插值多项式为n1?)(x)?xlL(

in2x?2510i?i)xl(n,...,1,20i?, n其中的是次拉格朗日插值基函数。，i实验要求：)(Lx)xf2n?,3,...(在及插值多项式函数，画出原函数）（l选择不断增大的分点数目n]1,[?1上的图像，比较并分析实验结果。5][-52（）选择其他的函数，例如定义在区间，上的函数3

x,g(x)?arctanh(x)?x4x1?重复上述的实验看其结果如何。[a,b]上切比雪夫点的定义为（3）区间???b?abk?1)?a(2??,k?1,2,...,?xn??cos1

??k2)2(2(n?1??x,x,...,x为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值多项式，比较其结果。以12n?1实验步骤：

（1）试验程序：

y=Lagrange(x0, y0, x);function % Lagrange插值n= length(x0); m=length(x);

i=1:m for z=x(i); s=0.0; k=1:n for p=1.0; j=1:n for(j ~= k) if p = p*(z - x0(j))/(x0(k) - x0(j));end

end

s = s + p*y0(k);end

y(i) = s;end

t_charpt2function promps = {'请选择实验函数，若选f(x),请输入f,若选h(x),请输入h,若选g(x),请输};入g:';titles = 'charpt_2'});,1,{'f'result =

inputdlg(promps,'charpt 2'Nb_f = char(result);if(Nb_f ~= 'f'& Nb_f ~= 'h'& Nb_f ~= 'g')errordlg('实验函数选择错误！end;);return'

});'10'},N:''charpt_2',1,{result = inputdlg({'请输入插值结点数Nd =

str2num(char(result));end;'结点输入错误！);return'if(Nd <1)errordlg(

Nb_f switch4

'f'case); a = -1;b = 1;'1./(1+25*x.^2)' f=inline('h'case); a = -5; b = 5;'x./(1+x.^4)' f=inline('g'case); a = -5; b= 5;'atan(x)'

f=inline(end x0 = linspace(a, b, Nd+1); y0 = feval(f, x0); x = a:0.1:b; y = Lagrange(x0, y0, x););'co' fplot(f, [a b],

;on hold

);'b--' plot(x, y,

xlabel('x'); ylabel('y = f(x) o and y = Ln(x)--');

增大分点n=2，3，…时，拉格朗日插值函数曲线如图所示。

n=3 n=6

n=7 n=8

从图中可以看出，随着n的增大，拉格朗日插值函数在x=0附近较好地逼近了原来的函数f(x)，但是却在两端x= -1和x=1处出现了很大的振荡现象。通过分析图形，可以看出，当n为奇数时，虽然有振荡，但振荡的幅度不算太大，n为偶数时，其振荡幅度变得很大。

（2）将原来的f(x)换为其他函数如h(x)、g(x)，结果如图所示。其中h(x), g(x)均定义在[-5，4)，g(x)=arctan xh(x)=x/(1+x5]区间上，。