小学奥数——用割补法求面积

小学奥数解析十三

用割补法求面积

在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。

例1求下列各图中阴影部分的面积：

分析与解：(1)如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。

(2)在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分

之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。

如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5X 5=25。

例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 (见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。

分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。

(1)割补法

从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角

nX 4X 4-4-4X 4- 2=4.56。

形拼成一个长方形〔见下图）°显然，阴影部分正好是长方形的

2,

所以

将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。

显然，图中阴影面积占平行四边形面积的苓根据商不变性质.将阴影面

积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面积的！

（3）等分法

将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个圈形面积的I

注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。

例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积

分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9X 9-5X 5）十4=14 （厘米2）。

例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。

（2）拼补法

分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A ',B与B' 面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4X6=24,所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。

例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。

甲乙

---- V--------

20

分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。

A

° C

丙1E]

把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2,宽是40十20=2 （厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）十2=9 （厘米），从而乙正方形的面积为9X 9=81 （厘米2）。

第二坊教育五年级奥数课堂练习

2•以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。

1.求下列各图中阴影部分的面积:

3.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36厘米2, 上底为3厘米，求下底和高。

5.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。求甲、乙的面积之和。

6•求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积

4.在右上图中，长方形AEFD的面积是18厘米2

1.

(

1) 25

;(

2) ab

提示：如左下图所示，所求面积等于右下图中圆面积减去正方形面积， 等于（4十

2）

2n -4X 4- 2= 4.56

3.下底9厘米，

解：用两个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（见左下图），大正方形的面积 为36X 2+3X 3=81 （厘米2）。边长为9厘米。所求梯形的下底为 9厘米，高为9-3=6

（厘米）

4.6厘米。

提示：与例4类似，右上图中甲、乙的面积相等，所以， CD=1$3=6 （厘米）

5.117 厘米 2。

…■九

E

C? i i —人 乙

提示：与例5类似，下图中丙与乙相同，C 与C ，相同。甲、乙的边长和等于 45 -3=15 （厘米），甲的边长为（15+3）十2=9 （厘米）。

甲、乙的面积和为9X 9X 2-45=117 （厘米2）。

6.20厘米2。

练习22

提示:

2456

四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ABE与等腰直角三角形CDE的面积之差，为7X 7- 2-3X 3- 2=20（厘米2）