第18讲：巧求面积(一)

12
15
22
2
巧求面积练习题
一．夯实基础：
1.如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)
40
20
2.一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少
多少平方分米？
3.一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如图)，得到的正方形面积比原
长方形面积少31cm2．求原长方形纸片的面积．
5
2
4.一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可
得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？
30
30
甲
6
乙
8
丙5.
如图所示，把一个正方形各边中点顺次相连，可得一个新的较小的正方形；把这个小正方形的各边中点顺次相连，又可以得到一个新的更小一些的正方形……如此依次连下去，一直连到第三个新正方形为止。

如果图中阴影的面积等于1，那么图中最大的正方形面积等于多少？
二．拓展提高：
6.
甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？
10
7.如图，四边形ABCD 的周长是60厘米，点M 到各边的距离都是4.5厘米，这个四边形的面积是
平方厘米.
8.
有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长
方形的面积？
绿
红绿绿
绿58
9.
有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm ，已知两个长方形之间部分的面积是16cm 2，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．
10.空白处每个方格都是边长为4厘米的正方形，黑条的宽度为2厘米，求阴影部分的面积
和周长。

11.如图，一块正方形地砖，上面印有四周对称的花纹，正中心红色小正方形面积是
8，四
块绿色等腰直角三角形均相同，面积总和是36，那么图中阴影部分的面积是多少？
A
C B
D E
三．超常挑战：
12.下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.
20
D
O C
3
2E
11
97
5
13.两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.
A
B
F
10
14.如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，
那么最大的正方形的边长是．
15.如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．
16.如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？
17.有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的
面积是多少平方厘米？
18.如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中
阴影部分的面积是．
B
303030
30
答案：
1.这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助
线，把多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；
40
40
40
20
20
20
图一图二图三
方法一：如图一，30⨯40+20⨯（30+40）=1200+1400=2600(平方米)方法二：如图二，20⨯30+40⨯（20+30）=600+2000=2600(平方米)方法三：如图三，（40+30）⨯（20+30）-30⨯30=3500-900=2600(平方米)
2.
(方法一)如图，铁板面积比原来减少的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是用原长方形的面积减去空白部分的面积．即:15⨯12-(15-2)⨯(12-2)=180-130=50(平方分米).
(方法二)也可把阴影部分分割成两个长方形，求两个长方形的面积．3.
通过对图形进行分割，可以发现C 的长与宽分别是5cm 和2cm ，则它的面积是5⨯2=10(cm 2)，那么A +B 的面积是31-10=21(cm 2)，如给B 移到A 的旁边，则知正方形的边长：(cm )，正方形的面积是3⨯3=9(cm 2)，原长方形的面积是31+9=40(cm 2)．
5
2
24.
第一个正方形的面积是20⨯20=400(平方厘米)，第二个正方形的面积如图，实际上是第一个正方形面积的一半．依次类推，第五个正方形的面积为：400÷2÷2÷2÷2=25(平方厘米)．
5.
最小的正方形面积等于2，每往外扩一层，面积就会增加一倍。

所以最大正方形面积等于2×2×2×2=16。

6.
如右图添加辅助线割补，如果甲的面积为4份量，则甲与乙的重合部分是1份量．同理，如果乙的面积为4份量，则乙与丙的重合部分是1份量．
所以这三个正方形覆盖面积是：10⨯10+8⨯8+6⨯6-6⨯6÷4-8⨯8÷4=175(平方厘米)．
30
30
C
B
A
C
M
甲
6
乙
8
丙10
7.
本题考查整体思维.下面中四个三角形的高都是4.5厘米，底的和是60厘米，所求四边形的面积为60⨯4.5÷2=135平方厘米
D
A B
8.
长方形宽减少2米，面积减少24平方米．说明长方形长：24÷2=12(米)．
长方形长减少3米，面积减少24平方米．说明长方形宽：24÷3=8(米)．所以这个长方形的面积为：12⨯8=96(平方米)．
9.
由于长方形之间的部分是不规则的，所以可以进行分割，这样分割后，A +B 的面积是16÷2=8(cm 2)，则知小长方形的长与宽之和是8÷1-1-1=6(cm )，小长方形的宽是6÷（2+1）=2(cm )，长是2⨯2=4(cm )，那么有大长方形的长是6(cm )，宽是4(cm )，面积是4⨯6=24(cm 2)．
10.阴影部分面积为大正方形面积减去8个小正方形面积：
(4⨯3+2⨯2)2-42⨯8=128cm 2；阴影部分周长利用平移为大正方形周长加上两个
小正方形周长：(4⨯3+2⨯2)⨯4+4⨯4⨯2=96cm 。

11.48。

空白部分面积为36＋8＋8＝52。

由边上的三角形面积为2，绿三角形面积为9，可
得BC＝2，BD＝6，所以正方形面积为100，阴影面积为48。

12.所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20-5+20)⨯8÷2=140(平方厘米)．
B
A
正
13.阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接
求出它的面积.因为三角形ABC 与三角形DEF 完全相同，都减去三角形DOC 后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC 面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC 的面积.直角梯形OEFC 的上底为10-3=7(厘米)，面积
为(7+10)⨯2÷2=17(厘米2
).
所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

14.最小正方形的面积是2⨯2=4(平方厘米)，最大的正方形的面积是4⨯2⨯2⨯2⨯2=64
(平方厘米)，那么最大的正方形的边长是8厘米．15.题目中的空白部分可以组成一个如右图的正方形，正方形面积为100-36=64，右图中
的正方形边长为8，四角小等腰直角三角形的直角边长度为（10－8）÷2＝1，中间正方形面积为四角四个小等腰直角三角形的面积和，为S =12÷2⨯4=2．
16.灰色和白色区域形成一边长为11的正方形和一边长为7的正方形，它们的总面积是112+72=170；类似地，黑色和白色区域组成一边长为9的正方形和一边长为5的正方形，它们的总面积是92+52=106．
由于白色区域在这两种组合中都被计算了，根据差不变原理，可知灰色区域与黑色区域的面积之差就等于170-106=64．
17.大正方形的边长比小正方形的边长多20÷4=5（厘米）．
B 的面积是5×5＝25（平方厘米），A 的面积是（55－25）÷2＝15（平方厘米）左下角小正方形边长是15÷5＝3（厘米），面积是3×3＝9（平方厘米）18.由图中可以看出
小长方形的长+3⨯小长方形的宽=14，小长方形的长-小长方形的宽=6．第二式乘以3再与第一式相加得4⨯小长方形的长=14+6⨯3=32．
所以小长方形的长=8，小长方形的宽=2，
小长方形的面积8⨯2=16，大长方形的面积=14⨯(6+2⨯2)=140，
阴影面积=140-6⨯16=44
．。