对数与对数函数知识点与例题讲解
对数与对数函数知识点与例题讲解
知识梳理: 一、对数
1、定义:一般地,如果()0,1x a N a a =>≠,那么实数x 叫做以a 为底N 的对数,记作a x log N =,其中a 叫做对数的底数,N 叫做对数的真数.
2、特殊对数
⑴通常以10为底的对数叫做常用对数,并把10log N 记为lgN ; ⑵通常以e 为底的对数叫做自然对数,并把e log N 记为lnN . 3、对数的运算
⑴运算性质:如果0,1,0,0a a M N >≠>>且,那么:
①()a a a log MN log M log N =+;②a a a M
log log M log N N
=-;③()n a a log M nlog M n R =∈; ④(),0m n
a a n log M log M n R m m =∈≠;⑤1a
b log b log a
=;⑥a log N a N =.
⑵换底公式:c a c log b
log b log a
=.
二、对数函数
1、定义:一般地,函数()01a y log x a a =>≠,且叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是()0,+∞.
定义域: 值域:
过定点 ,即当1=x 时,0=y 3、同底的指数函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数,它们的图像关于直线x y =对称.
【课前小测】
1、2
193-??
= ???
写成对数式,正确的是( )
A 、9
123log =- B 、1392log =- C 、()13
29log -= D 、()9123log -= 2、函数()0,1a y log x a a =>≠的图像过定点( )
A 、()1,1
B 、()1,0
C 、()0,1
D 、()0,0 3、49343log 等于( ) A 、7 B 、2 C 、23 D 、32
4、函数()()31f x lg x =+的定义域是( )
A 、1
,3??-+∞ ??? B 、()0,+∞ C 、(),0-∞ D 、1,3??-∞- ???
5、函数()f x = )
A 、(),-∞+∞
B 、()0,+∞
C 、1,2??+∞????
D 、10,2
?? ??
?
考点一、化简和求值
例1、⑴552log 10log 0.25+=( ) A 、0 B
、1 C 、2 D 、4 解析:2log 510+log 50.25=log 5100+log 50.25=log 525=2 ⑵计算:3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+. 解:原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3(
)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+3lg 25lg35
2lg36lg 24
=?=. 变式、⑴(辽宁卷文10)设25a
b
m +=,且
11
2a b
+=,则m =( ) A B 、10 C 、20 D 、100
⑵已知32a
=,用a 表示33log 4log 6-;
⑶已知3log 2a =,35b
=,用a 、b 表示 30log 3.
考点二、比较大小
例2、较下列比较下列各组数中两个值的大小:
⑴6log 7,7log 6; ⑵3log π,2log 0.8; ⑶0.9
1.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; ⑷5log 3,6log 3,7log 3. 答案:⑴>;⑵>;⑶>,>;⑷>,>.
变式、⑴已知函数()|lg |f x x =,若1
1a b c
>>>,则()f a 、()f b 、()f c 从小到大依次
为 ;a c b <<
⑵已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小. 解:∵log 4log 4m n <, ∴
4411log log m n <,当1m >,1n >时,得4411
0log log m n
<<
, ∴44log log n m <, ∴1m n >>.当01m <<,01n <<时,得
4411
0log log m n
<<,
∴44log log n m <, ∴01n m <<<.当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<.
综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 考点三、解与对数相关的不等式 例3、⑴解不等式2)1(log 3≥--x x .
解:原不等式等价于?????-≥->->-2)3(11301x x x x 或??
?
??-≤-<-<>-2)3(113001x x x x
解之得:4<x ≤5 ∴原不等式的解集为{x |4<x ≤5}
⑵解关于x 的不等式:)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a . 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a
当a >1时有2212
34121)12(23403401222
<?
??
????
<<-<<->??????->-+>-+>-x x x x x x x x x x
(其实中间一个不等式可省,为什么?让学生思考)
当0<a <1时有42234121)12(23403401222
<?
??
????>-<<<->??????-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或
∴当a >1时不等式的解集为
22
1
< 4log a x x x x a > 解:两边取以a 为底的对数: 当0 9 )(log 2 - 4log 2 1 < 9 )(log 2 -> x x a a ∴0)1log 2)(4(log >--x x a a ,∴ 2 1log 4log <>x x a a 或 ,∴a x a x <<>04 或 ∴原不等式的解集为}10,|{4<<<<<>a a x a x x 或 考点四、对数型函数的性质 ① 定义域、值域 例4、 ⑴函数2()lg(31)f x x = ++的定义域是( ) A 、1 (,)3-+∞ B 、1(,1)3- C 、11(,)33- D 、1(,)3 -∞- ⑵函数(21)log x y -= ) A 、()2,11,3??+∞ ??? B 、()1,11,2?? +∞ ??? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2?? +∞ ??? ⑶函数()() 2log 31x f x =+的值域为( ) A 、()0,+∞ B 、[)0,+∞ C 、()1,+∞ D 、[)1,+∞ 变式 、求函数y 的定义域. ② 单调性、奇偶性 例5、⑴函数y =log 3(x 2-2x )的单调减区间是________. 解: 令u =x 2-2x ,则y =log 3u . ∵y =log 3u 是增函数,u =x 2 -2x >0的减区间是(-∞,0), ∴y =log 3(x 2-2x )的减区间是(-∞,0). ⑵设0<a <1,函数f (x )=log a (a 2x -2a x -2),则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A 、(-∞,0) B 、(0,+∞) C 、(-∞,log a 3) D 、(log a 3,+∞) 解:由f (x )<0,即a 2x -2a x -2>1,整理得(a x -3)(a x +1)>0,则a x >3.∴x <log a 3. ⑶函数y =log 22-x 2+x 的图象( ) A 、关于原点对称 B 、关于直线y =-x 对称 C 、关于y 轴对称 D 、关于直线y =x 对称 解:∵f (x )=log 22-x 2+x ,∴f (-x )=log 22+x 2-x =-log 22-x 2+x ∴f (-x )=-f (x ),∴f (x )是奇函数.故选A . 变式、⑴若011log 2 2<++a a a ,则a 的取值范围是( ) A 、),21 (+∞ B 、),1(+∞ C 、)1,21( D 、)2 1,0( ⑵若02log )1(log 2<<+a a a a ,则a 的取值范围是 . ⑶若函数)2(log )(2 2a x x x f a ++= 是奇函数,则a = . ③综合应用 例6、设函数f (x )=log a ???1-a x ,其中0<a <1. ⑴证明:f (x )是(a ,+∞)上的减函数; ⑵解不等式f (x )>1. 解析:⑴证明:设0<a <x 1<x 2,g (x )=1-a x , 则g (x 1)-g (x 2)=1-a x 1-1+a x 2=a (x 1-x 2) x 1x 2<0, ∴g (x 1)<g (x 2).又∵0<a <1,∴f (x 1)>f (x 2). ∴f (x )在(a ,+∞)上是减函数. ⑵∵log a ????1-a x >1,∴0<1-a x <a ,解得:????? x >a ,x <a 1-a , ∴不等式的解集为:{x |a <x <a 1-a }. 变式、已知函数22()log (32)f x x x =+-. ⑴求函数()f x 的定义域;⑵求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数;⑶求函数()f x 的值域. 随堂巩固 1、6632log log +等于( ) A 、6 B 、5 C 、1 D 、65log 2、在()23a b log -=中,实数a 的取值范围是( ) A 、2a < B 、2a > C 、23,3a a <<>或 D 、3a > 3、下列格式中成立的是( ) A 、22a a log b log b = B 、a a a log xy log x log y =+ C 、()()()a a a log xy log x log y =? D 、a a a x log log y log x y =- 4、2 13 a log > ,则a 的取值范围是( ) A 、312a << B 、30112a a <<<<或 C 、213a << D 、2 013 a a <<>或 5、已知a b M =()0,0,1a b M >>≠,且log M b x =,则log M a 等于( ) A 、1x - B 、1x + C 、 1 x D 、1x - 6、(08山东济宁)已知8log 9a =,2log 5b =,则lg 3等于( ) A 、 1a b - B 、()321a b - C 、() 321a b + D 、()312a b - 7、已知函数()()32f x lg x =+的定义域为F ,函数()()()12g x lg x lg x =-+-的定义域为 G ,那么( ) A 、G F ≠? B 、G F = C 、F G ? D 、F G =? 8、(08山东)已知函数()2300 x x f x log x x ?≤=?>?,,,12f f ???? ???????( ) A 、1- B 、log C D 、13 9、若()6430log log log x =????,则1 2 x -等于( ) A 、9 B 、 91 C 、3 D 、3 3 10、若M =?32log 4log 3log 3132 ,则M 的值是( ) A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 11、已知3log 2a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、2a - B 、5a - C 、23(1)a a -+ D 、2 31a a -- 12、已知偶函数()x f 在[]4,2上单调递减,那么)8(log 2 1f 与)(π-f 的大小关系是( ) A 、)8(log 2 1f >)(π-f B 、)8(log 2 1f =)(π-f C 、)8(log 2 1f < )(π-f D 、不能确定 13、若3 12log 19 x -=,则x = ; 14、已知:lg 21.3a =,则lg 0.213=___________; 15、()2211log log 1a a x x -->+,则a 的取值范围为________________; 16、比较大小 ⑴8.1log 3 7.2log 3;⑵5log 6 7log 6; 17、若14log 3=x ,则=+-x x 4 4___________; 18、已知log 1a x =,log 2b x =,log 4c x =,则log abc x =____________; 19、(08山东) 知()lg lg 2lg 2x y x y +=- ,求的值. 20、⑴已知a =2lg ,b =3lg ,试用b a 、表示5log 12; ⑵已知a =3log 2,b =7log 3,试用b a 、表示56log 14. 21、已知( )) lg f x x =. ⑴求()f x 的定义域; ⑵求证:()f x 是奇函数. 22、解关于x 的不等式:)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a 解:原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a 当a >1时有2212 34121)12(23403401222 <? ??????<<-<<->??????->-+>-+>-x x x x x x x x x x 当0 <? ?? ????>-<<<->??????-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴ 当a >1时不等式的解集为 22 1 < 课后巩固 1、()0,1,0log >≠>=N b b a N b 对应的指数式是( ) A 、N a b = B 、N b a = C 、b a N = D 、a b N = 2、设255 lg =x ,则x 的值等于( ) A 、10 B 、0.01 C 、100 D 、1000 3、()[]0log log log 234=x ,那么2 1- x 等于( ) A 、2 B 、21 C 、4 D 、4 1 4、化简9log 8log 5log 4log 8543???的结果是( ) A 、1 B 、2 3 C 、2 D 、3 5、函数()1log 2 1-= x y 的定义域是( ) A 、()+∞,1 B 、()2,∞- C 、()+∞,2 D 、(]2,1 6、若09log 9log < A 、1>>n m B 、1>>m n C 、10<< D 、10<< 7、若13 2 log A 、()+∞??? ??,132,0 B 、??? ??+∞,32 C 、?? ? ??1,32 D 、??? ??+∞??? ??,3232,0 8、函数( ) 176log 2 2 1+-=x x y 的值域是( ) A 、R B 、[)+∞,8 C 、()3,-∞- D 、[)+∞,3 9、函数?? ? ??--=112lg x y 的图像关于( ) A 、y 轴对称 B 、x 轴对称 C 、原点对称 D 、直线x y =对称 10、图中的曲线是x y a log =的图像,已知a 的值为5 1 ,103,34,2,则相应曲线4321,,,C C C C 的a 依次为( ) A 、103,51,34,2 B 、51 ,103,34,2 C 、2,34,103,51 D 、5 1 ,103,2,34 11、比较两个对数值的大小:7ln 12ln ;7.0log 5.0 8.0log 5.0. 12、计算()=?+50lg 2lg 5lg 2 . 13、函数()() x x x f -+=1lg 2 是 函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”). 14、函数x a y =的反函数的图像经过点()2,9,则a 的值为 . 15、已知函数()()1log +=x x f a ,()()x x g a -=1log ()10≠>a a ,且 ⑴求函数()()x g x f +的定义域;(10分) ⑵判断函数()()x g x f +的奇偶性.(10分) 16、已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。 解:∵log 4log 4m n <, ∴ 4411log log m n <,当1m >,1n >时,得4411 0log log m n << , ∴44log log n m <, ∴1m n >>.当01m <<,01n <<时,得4411 0log log m n <<, ∴44log log n m <, ∴01n m <<<.当01m <<,1n >时,得4log 0m <,40log n <, ∴01m <<,1n >, ∴01m n <<<. 综上所述,m ,n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<. 17、解不等式2(log 2 1x )2+9(log 2 1x )+9≤0 18、已知()x f y =是二次函数,且()80=f 及()()121+-=-+x x f x f ⑴求()x f 的解析式; ⑵求函数()x f y 3log =的递减区间及值域. 19、已知:函数2()f x x x k =-+,且(2)22log 2, (log ),(0,1)f f a k a a ==>≠. ⑴求,k a 的值;⑵当x 为何值时,函数(log )a f x 有最小值?求出该最小值. 解:(1) 22(),(2)2,log (2)2,2f x x x k f k k k =-+∴=+∴+=∴=;…………3分 2222(log ),log (log 1)0,01,log 1,2f a k a a a a a a =∴-=>≠∴=∴=且………6分 (2)2 2 222217 (log )(log )(log )log 2(log )2 4 a f x f x x x x ==-+=-+ …………8分 所以当21log ,2a x ==即2(log )f x 有最小值7 4 ……………10分 对数运算与对数函数复习 例1.求下列函数的定义域: (1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2x y a -=. 例2.比较下列各组数中两个值的大小: (1)2log 3.4,2log 8.5; (2)0.3log 1.8,0.3log 2.7; (3)log 5.1a ,log 5.9a . (4)0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; 例3.求下列函数的值域: (1)2log (3)y x =+;(2)22log (3)y x =-;(3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 例4.(1)已知:36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5.判断函数22()log (1)f x x x =+的奇偶性。 对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1.3 log 9log 28的值是( ) A .32 B .1 C .2 3 D .2 2.函数)2(x f y =的定义域为[1,2],则函数)(log 2x f y =的定义域为( ) A .[0,1] B .[1,2] C .[2,4] D .[4,16] 3.函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A .R B .[2,+∞] C .[3,+∞] D .(-∞,2) 4.如果0-+ C .0)a 1(log )a 1(>+- D .0)a 1(log )a 1(<-+ 5.如果02log 2log b a >>,那么下面不等关系式中正确的是( ) A .0b>1 D .b>a>1 6 若a>0且a ≠1,且14 3log a <,则实数a 的取值范围是( ) A .0或 D .4 3a 0<<或a>1 7.设0,0,a b <<且,722ab b a =+那么1lg |()|3 a b +等于( ) A .1(lg lg )2a b + B .1lg()2ab C .1(lg ||lg ||)3a b + D .1lg()3 ab 8.如果1x >,12log a x =,那么( ) A .22a a a >> B .22a a a >> C .22a a a >> D .22a a a >> 二、填空题(共8题) 8.计算=+?+3log 22450lg 2lg 5lg . 10.若4 12x log 3=,则x =________ 11 .函数f(x)的定义域是[-1,2],则函数)x (log f 2的定义域是_____________ 12.函数x )31 (y =的图象与函数x log y 3-=的图象关于直线___________对称. 一、指数的性质 (一)整数指数幂 1.整数指数幂概念: a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2.整数指数幂的运算性质:(1)(),m n m n a a a m n Z +?=∈ (2)()(),n m mn a a m n Z =∈ (3)()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=, ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? . 3.a 的n 次方根的概念 一般地,如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1,那么这个数叫做a 的n 次方根, 即: 若a x n =,则x 叫做a 的n 次方根, ()* ∈>N n n ,1 例如:27的3次方根3273=, 27-的3次方根3273-=-, 32的5次方根2325=, 32-的5次方根2325-=-. 说明:①若n 是奇数,则a 的n 次方根记作n a ; 若0>a 则0>n a ,若o a <则0 ⑤式子n a 叫根式,n 叫根指数,a 叫被开方数。 ∴ n a =. . 4.a 的n 次方根的性质 一般地,若n 是奇数,则a a n n =; 若n 是偶数,则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n . 5.例题分析: 例1.求下列各式的值: (1)() 338- (2) ()210- (3)()44 3π- (4) ()()b a b a >-2解:略。 例2.已知,0<N n n ,1, 化简:()()n n n n b a b a ++-. 解:当n 是奇数时,原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时,原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以,()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 . 例3.计算:407407-++ 解:407407-++52)25()25(22=-++= 例4.求值: 54 925-+. 解:549 25-+4 25254 5 49252 )(-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=)( (二)分数指数幂 1.分数指数幂: ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式; 如果幂的运算性质(2)() n k kn a a =对分数指数幂也适用, 例如:若0a >,则3 223233a a a ???== ??? ,4 554544a a a ???== ???, 23a = 4 5 a =. 即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (2)正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>. 2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○2 x N N a a x =?=log ; ○3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函 数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=,5 log 5x y = 都不是对数函数,而只能称 其为对数型函数. ○ 2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 对数函数·例题解析 例1.求下列函数的定义域: (1)2log x y a =; (2))4(log x y a -=; (3))9(log 2 x y a -=. 对数函数知识点及典型例题讲解 1.对数: (1) 定义:如果,那么称为,记作,其中称为对数的底,N称为真数. ①以10为底的对数称为常用对数,记作___________. ②以无理数为底的对数称为自然对数,记作_________. (2) 基本性质: ①真数N为 (负数和零无对数);②;③; ④对数恒等式:. (3) 运算性质: ① log a(MN)=___________________________; ② log a=____________________________; ③ log a M n= (n∈R). ④换底公式:log a N= (a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0) ⑤ . 2.对数函数: ①定义:函数称为对数函数,1) 函数的定义域为( ;2) 函数的值域为; 3) 当______时,函数为减函数,当______时为增函数; 4) 函数与函数互为反函数. ② 1) 图象经过点( ),图象在;2) 对数函数以为渐近线(当时,图象向上无限接近y轴;当时,图象向下无限接近y轴); 4) 函数y=log a x与的图象关于x轴对称. ③函数值的变化特征: ①②③①②③ 例1 计算:(1) (2)2(lg)2+lg·lg5+; (3)lg-lg+lg. 解:(1)方法一利用对数定义求值设=x,则(2+)x=2-==(2+)-1,∴x=-1.方法二利用对数的运算性质求解 = =(2+)-1=-1. (2)原式=lg(2lg+lg5)+=lg(lg2+lg5)+|lg-1| =lg+(1-lg)=1. (3)原式=(lg32-lg49)-lg8+lg245 = (5lg2-2lg7)-×+ (2lg7+lg5) =lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5 =lg(2×5)= lg10=. 变式训练1:化简求值. (1)log2+log212-log242-1; (2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25; (3)(log32+log92)·(log43+log83). 解:(1)原式=log2+log212-log2-log22=log2 (2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. (3)原式=( 例2 比较下列各组数的大小. (1)log3与log5;(2)log1.10.7与(3)已知logb<loga<logc,比较2b,2a,2c的大小关系.解:(1)∵log3<log31=0,而log5>log51=0,∴log3<log5. (2)方法一∵0<<1,<,∴0>, ∴, 即由换底公式可得log1.10.7<方法二作出y=与y=的图象. 如图所示两图象与x=相交可知log1.10.7<为减函数,且, ∴b>a>c,而y=2x是增函数,∴2b>2a>2c. 变式训练2:已知0<a<1,b>1,ab>1,则log a的大小关系是() B. C. D. 解: C 例3已知函数f(x)=log a x(a>0,a≠1),如果对于任意x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立,试求a的取值范围. 解:当a>1时,对于任意x∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=log a x在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x∈[3,+∞),有f(x)≥log a3. 因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3,+∞)都成立. 只要log a3≥1=log a a即可,∴1<a≤3. 当0<a<1时,对于x∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f(x)=log a x在[3,+∞)上为减函数, ∴-f(x)在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x∈[3,+∞)都有 专题:对数函数知识点总结 1.对数函数的定义: 一般地,函数 x y a log =( )叫做对数函数 .定义域是 2. 对数函数的性质为 思考:函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系? ___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数y=a x 与y=log a x (a>0且a ≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x 对称 y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f -1 (x) 如:f(x)=2x ,则f -1 (x)=log 2x,二者的定义域与值域对调,且图象关 于直线y=x 对称 函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称 专题应用练习 一、求下列函数的定义域 (1)0.2log (4);y x =-; (2)log 1a y x =- (0,1).a a >≠; (3)2(21)log (23)x y x x -=-++ (4)2log (43)y x =- (5) y=lg 1 1 -x (6) y=x 3log =log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________ = )8lg(2x - 的定义域是_______________ 3.求函数2log (21)y x =+的定义域___________ 4.函数y=13 log (21)x -的定义域是 5.函数y =log 2(32-4x )的定义域是 ,值域是 . 6.函数5log (23)x y x -=-的定义域____________ 7.求函数2 log ()(0,1)a y x x a a =->≠的定义域和值域。 8.求下列函数的定义域、值域: (1)2log (3)y x =+; (2)2 2log (3)y x =-; (3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 9.函数f (x )=x 1 ln (432322+--++-x x x x )定义域 10.设f(x)=lg x x -+22,则f )2 ()2(x f x +的定义域为 11.函数f(x)=)1(lo g 1 |2|2---x x 的定义域为 12.函数f(x)= 2 29)2(1x x x g --的定义域为 ; 13.函数f (x )= x 1 ln (432322+--++-x x x x )的定义域为 14 2 2 2 log log log y x =的定义域是 1. 设f (x )=lg(ax 2 -2x +a ), (1) 如果f (x )的定义域是(-∞, +∞),求a 的取值围; (2) 如果f (x )的值域是(-∞, +∞),求a 的取值围. 15.已知函数)32(log )(22 1+-=ax x x f (1)若函数的定义域为R ,数a 的取值围 (2)若函数的值域为R ,数a 的取值围 二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好) 知识点一:二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地,如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,,特别注意a不为零,那么y叫做x 的二次函数。)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数,叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线,这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征: ①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法: (1)先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴 (2)求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点: 当抛物线与x 轴有两个交点时,描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C 的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。 当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D。由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A 、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。 【例1】 已知函数y=x 2-2x-3, (1)写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点,以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图; (2)求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积: (3)根据第(1)题的图象草图,说 出 x 取哪些值时,① y=0;② y <0;③ y>0 知识点二:二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式: (1)一般式:)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数, (2) 交点式:当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时,即对应的一元二次方程 02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时,根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++,二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果 没有交点,则不能这样表示。 (3)顶点式:)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数, 当题目中告诉我们抛物线的顶点时,我们最好设顶点式,这样最简洁。 【例1】 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A (1,0),B(3,0)两点,且过(-1,16),求抛物线的解析式。 【例2】 如图,抛物线c bx ax y ++=2与x 轴的一个交点A 在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C 是矩形DEFG 上(包括边界和内部)的一个动点,则: (1)abc 0 (>或<或=) (2)a 的取值范围是 ? 【例3】 下列二次函数中,图象以直线x = 2为对称轴,且经过点(0,1)的是 ( ) A.y = (x ? 2)2 + 1 B .y = (x + 2)2 + 1 C .y = (x ? 2)2 ? 3 D.y = (x + 2)2 – 3 1对数的概念 如果a(a>0,且a ≠1)的b 次幂等于N ,即N a b =,那么数b 叫做以a 为底N 的对数,记作:b N a =log ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 由定义知: ①负数和零没有对数; ②a>0且a ≠1,N>0; ③01log =a , 1log =a a , b a b a =log ,b a b a =log 特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作N 10log ,简记为lgN ;以无理数e(e=2.718 28…) 为底的对数叫做自然对数,记作N e log ,简记为N ln 2对数式与指数式的互化 式子名称指数式N a b =(底数)(指数)(幂值)对数式b N a =log (底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a ≠1,M>0,N>0,那么 (1)N M MN a a a log log )(log +=(2N M a a log log N)(M log a -=÷(3)M b M a b a log log = 问:①公式中为什么要加条件a>0,a ≠1,M>0,N>0? ②=n a a log ______ (n ∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 运算性质 n m n m a a a +=?,n m n m a a a -=÷ mn n m a a =)((a>0且a ≠1,n ∈R) N M MN a a a log log )(log +=, N M a a log log N)(M log a -=÷(a>0,a ≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中,为什么要规定a >0,,且a ≠1? 理由如下: ①若a <0,则N 的某些值不存在,例如log-28 ②若a=0,则N ≠0时b 不存在;N=0时b 不惟一,可以为任何正数 ③若a=1时,则N ≠1时b 不存在;N=1时b 也不惟一,可以为任何正数 为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 对数与对数函数 1.对数 (1)对数的定义: 如果a b =N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b . (2)指数式与对数式的关系:a b =N log a N =b (a >0,a ≠1,N >0).两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质: ①log a (MN )=log a M +log a N . ②log a N M =log a M -log a N . ③log a M n =n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1) ④对数换底公式:log b N =b N a a log log (a >0,a ≠1, b >0,b ≠1,N >0). 2.对数函数 (1)对数函数的定义 函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零,底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢? 在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。但是,根据对数定义: log a a=1;如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实对数函数典型例题
《指数函数和对数函数》知识点汇总及习题详解)
对数函数知识点总结(供参考)
对数函数知识点及典型例题讲解
专题:对数函数知识点总结及类型题归纳
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
对数知识点整理
对数与对数函数知识点及例题讲解