专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题(解析版)
专题12 二次函数中动点引起的面积最值及图形存在性问题
思路提示：
二次函数中的面积问题通常用转化的数学思想将面积转化为线段的最值问题求解，常见的是先分割再用三角形的面积计算方法（“铅垂高、水平宽法”）求解.
题型一、四边形面积最值问题
1.（2019·山东枣庄中考）如图，已知抛物线y =42
32++x ax 的对称轴是直线x =3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解折式和A 、B 两点的坐标；
（2）如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大?若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，试说明理由；
（3）如图2，若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN =3时，求点M 的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x =3， ∴3
232a -=，解得：a =14
- 即抛物线的解析式为：y =213442x x -+
+， 令y =0，得：21
3442
x x -++=0， 解得：x =－2或x =8，
即A (－2,0)，B (8,0)；
（2）如图，过P 作PD ⊥x 轴交直线BC 于点D ，
由题意知，C (0,4),设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，
得：480b k b =??+=?，解得：412
b k =???=-??， 即直线BC 的解析式为：y =12
-
x +4， S 四边形PBOC =S △BOC +S △PBC =1184822
PD ??+??=4PD +16， 设P (m ，213442m m -++)，D (m ，12-m +4)，则PD =2124m m -+ ∴S 四边形PBOC =4PD +16
=2816m m -++
=()2432m --+
∴当m =4时，四边形PBOC 的面积取最大值，为32，此时P 点坐标为（4,6）；
（3）设M (x ，213442x x -+
+)，N (x ，12-x +4)，则MN =|2124
x x -+|， ∵MN =3， ∴|21
24
x x -+|=3， 即2124x x -+=3（0
，x 4
，
综上所述，当MN =3时，点M 的坐标为：(2,6)，（6,4），（4－
－1），（
－1）.
2. （2019·四川自贡中考）如图，已知直线AB 与抛物线2
:2C y ax x c =++相交于点A （－1,0）和点B （2,3）两点.
（1）求抛物线C 函数表达式；
（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB
，当平
行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；
（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线4
17=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）把A （－1,0），B （2,3）代入抛物线得：
???=++=+-34402c a c a
解得???=-=3
1c a
∴抛物线的函数表达式为：y =－x 2+2x +3
（2）∵A （－1,0），B （2,3），
∴直线AB 的解析式为：y =x +1，
如下图所示，过M 作MN ∥y 轴交AB 于N ，
设M (m ,－m 2+2m +3)，N (m ,m +1)，（－1＜m ＜2）
∴MN =－m 2+m +2，
∴S △ABM =S △AMN +S △BMN =1()2
B A x x MN -
∴S △ABM =2213127(2)3()2228m m m -++?=--+， ∴当21=m 时，△ABM 的面积有最大值827，而S □MANB =2S △ABM =427，此时)2
7,21(M
（3）存在，点)4
15,1(F 理由如下：抛物线顶点为D ，则D （1,4），则顶点D 到直线417=
y 的距离为41， 设),1(n F 、)32,(2++-x x x P ，设P 到直线417=
y 的距离为PG . 则PG =22175(23)244
x x x x --++=-+， ∵P 为抛物线上任意一点都有PG =PF ，
∴当P 与顶点D 重合时，也有PG =PF .
此时PG =
41，即顶点D 到直线4
17=y 的距离为14， ∴PF =DF =4
1， ∴)415,1(F ， ∵PG =PF ，
∴PG 2=PF 2， ∵2222222153(1)(23)(1)(2)44
PF x x x x x x =-++--=-+-+ 2225(2)4
PG x x =-+ ∴222222153(1)(23)(1)(2)44x x x x x x -++--=-+-+225(2)4
x x =-+ 整理化简可得0x =0， ∴当)4
15,1(F 时，无论x 取任何实数，均有PG =PF . 3. （2019·甘肃中考）如图，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），
与y 轴交于点C ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A 、B 、P 、F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标；
（3）点E 是二次函数第四象限图象上一点，过点E 作x 轴的垂线，交直线BC 于点D ，求四边形AEBD 面积的最大值及此时点E 的坐标．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），
∴
10
930
b c
b c
++=
?
?
++=
?
，解得：b=－4，c=3，
∴二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1所示，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，即点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2所示，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：
2
2
m+
，
即：
2
2
m+
＝2，解得：m＝2，
即点P（2，﹣1）；
综上所述，点P（4，3），（0，3），（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝1
2
AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x=
2
39
24
x??
--+
?
??
，
∵﹣1＜0，所以四边形AEBD面积有最大值，
当x＝3
2
，其最大值为
9
4
，此时点E（
3
2
，﹣
3
4
）．
4. （2019·山东枣庄中考）已知抛物线y＝ax2+3
2
x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点
（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图1，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x ＝3， ∴3
22a -＝3，解得a ＝14
-， ∴抛物线的解析式为：y ＝14-
x 2+32x +4． 当y ＝0时，14-x 2+32
x +4＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝8， ∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（8，0）．
（2）当x ＝0时，y ＝4，
∴点C 的坐标为（0，4），
设直线BC 的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将B （8，0），C （0，4）代入得：
804k b b +=??=?，解得124
k b ?=-???=?， ∴直线BC 的解析式为y ＝12
-x +4， 过点P 作PD ∥y 轴，交直线BC 于点D ，如图所示，
设点P 的坐标为（x ，14-
x 2+32x +4），则点D 的坐标为（x ，12
-x +4）， 则PD ＝14-x 2+32x +4﹣（12-x +4）＝14-x 2+2x ，（0＜x ＜8）， ∴S 四边形PBOC ＝S △BOC +S △PBC ＝12×8×4+12
PD ?OB ＝﹣（x ﹣4）2+32，
∴当x ＝4时，四边形PBOC 的面积最大，最大值是32，
即存在点P （4，6），使得四边形PBOC 的面积最大．
（3）设点M的坐标为（m，
1
4
-m2+
3
2
m+4）则点N的坐标为（m，
1
2
-m+4），
∴MN＝|
1
4
-m2+2m|，
∵MN＝3，
∴
1
4
-m2+2m=3或
1
4
-m2+2m=－3，
解得：m1＝2，m2＝6，m3＝4﹣，m4＝，
∴点M的坐标为（2，6）、（6，4）、（4﹣﹣1）或（﹣1）．
题型二、三角形面积最值问题
5. （2019·海南中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P是该抛物线上一动点（与B、C不重合），设点P的横坐标为t，
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所以点P的坐标，若不存在，请说明理由？
【答案】见解析.
【解析】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+5经过点A(－5,0)，B(－4，－3)两点，
∴2555016453a b a b -+=??-+=-?
，解得：a =1，b =6， 即抛物线的解析式为：y =x 2
+6x +5.
（2）①在y =x 2+6x +5中，当y =0时，x =－1或x =－5，
即C （－1,0），
设直线BC 的解析式为：y =mx +n ， ∴043m n m n -+=??-+=-?
，解得：m =1，n =1， 即直线BC 的解析式为：y =x +1，
过P 作PD ∥y 轴交BC 于点E ，
∴S △PBC =()1
2
C B PE x x ??- =32
PE 设P 点坐标为（t ，t 2+6t +5），则E 点坐标为（t ，t +1），
∴PE =t +1－（t 2+6t +5）=－t 2－5t －4，
∴S △PBC =3
2PE =()23542
t t --- =2
3527228t ??-++ ??? ∴当t =52-
时，△PBC 面积有最大值，最大值为278； ②由y =x 2+6x +5=（x +3）2－4知，D 点坐标为（－3，－4），
∴直线CD 的解析式为：y =2x +2，
由B (－4，－3)，C （－1,0）得：BD 2=2，CD 2=20，BC 2
=18,
∴BD 2+ BC 2=CD 2，即△CBD 是直角三角形，∠DBC =90°，
（i ）过B 作BE ∥CD ，
则∠EBC =∠BCD ，即点P 在直线BE 上，
设直线BE 的解析式为：y =2x +k ，
将点B (－4，－3)代入，得：k =5，
即直线BE 解析式为：y =2x +5，
联立y =2x +5，y
=x 2
+6x +5，并解得： 0453
x x y y ==-????==-??或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（0,5）；
（ii ）∵∠CBD =90°，取CD 中点F ，得F 点坐标为（12--，）连接BF ，
则BF =FC ，∠FBC =∠BCD ，
点P 在直线BF 上，由B (－4，－3)、F （－2，－2）可得直线BF 的解析式为：
y =12
x －1， 联立y =12
x －1，y =x 2+6x +5，并解得：
342734x x y y ?=-?=-????=-??=-??
或（与B 点重合，舍）， ∴P 点坐标为（32-,74
-）； 综上所述，点P 的坐标为：（0,5），（32-,74
-）. 6. （2019·甘肃兰州中考）二次函数y ＝ax 2+bx +2的图象交x 轴于点A （－1，0），点B （4，0）两点，
交y 轴于点C .动点M 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB 方向运动，过点M 作MN ⊥x 轴交直线BC 于点N ，交抛物线于点D ，连接AC ，设运动的时间为t 秒.
（1）求二次函数y ＝ax 2+bx +2的表达式；
（2）连接BD ，当t ＝2
3时，求△DNB 的面积； （3）在直线MN 上存在一点P ，当△PBC 是以∠BPC 为直角的等腰直角三角形时，求此时点D 的坐标；
（4）当t ＝4
5时，在直线MN 上存在一点Q ，使得∠AQC +∠QAC ＝900,求点Q 的坐标.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）将点A （－1，0），点B （4，0）代入y ＝ax 2
+bx +2中，得： 2016420a b a b -+=??++=?，解得：1232
a b ?=-????=??， 二次函数的表达式为：y ＝－
21x 2+23x +2． （2）∵ t ＝
2
3， ∴AM ＝3，
∵OA ＝1,
∴OM ＝
2,
设直线BC 的解析式为：y ＝kx +b (k ≠0),将点C （0,2）、B （4，0）代入，得：
???=+=042b k b ，解得：?????=-=2
21b k ， 即直线BC 的解析式为：y ＝－
2
1x +2． 将x ＝2分别代入y ＝－21x 2+23x +2和y ＝－21x +2中，得：D （2，3）、N （2，1） ∴DN ＝2,
∴ S △DNB ＝2
1×2×2＝2. (3)过点P 作x 轴的平行线，交y 轴于点E ，过点B 作y 轴的平行线，交EP 的延长线于点F ，
设D （m ，－2m 2+2
m +2）、E （0，n ）、P （m ,n ）、F （4，n ），由题意得： △PEC ≌△BFP ,
∴PE ＝BF , CE ＝PF ,
∴???=--=-m
n n m 24
∴??
?-==11n m
点D 的坐标为：（1，3）.
（4）当t ＝45时，AM ＝2
5,此时M 点在二次函数的对称轴上， 以M 点为圆心，AM 长为半径作圆，交MN 于Q 1、Q 2两点，
∵C （0，2），M （2
3，0）,
∴CM ＝2
5＝R , ∴C 点在该圆上,
∴∠ACB ＝90°,
∴∠CAB +∠CBA ＝90°,
∵∠CQ 1A ＝∠CAB ,
∴∠CQ 1A +∠CBA ＝90°,
∠CQ 2A +∠CBA ＝90°,
∴Q （23，25）或（23，－2
5）. 7. （2019·山东聊城中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣2，
0），点B （4，0），与y 轴交于点C （0，8），连接BC ，又已知位于y 轴右侧且垂直于x 轴的动直线l ，沿x 轴正方向从O 运动到B （不含O 点和B 点），且分别交抛物线、线段BC 以及x 轴于点P ，D ，E ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接AC ，AP ，当直线l 运动时，求使得△PEA 和△AOC 相似的点P 的坐标；
（3）作PF ⊥BC ，垂足为F ，当直线l 运动时，求Rt △PFD 面积的最大值．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）将点A 、B 、C 的坐标代入二次函数表达式得：
42016408a b c a b c c -+=??++=??=?，解得：128a b c =-??=??=?
，
故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2
+2x +8；
（2）∵点A （﹣2，0）、C （0，8），
∴OA ＝2，OC ＝8，
∵l ⊥x 轴，
∴∠PEA ＝∠AOC ＝90°，
∵∠PAE ≠∠CAO ，
∴当∠PEA ＝∠AOC 时，PEA △∽AOC ， ∴AE PE OC OA
=，即：82AE PE =， ∴AE ＝4PE ，
设点P 的纵坐标为y ，则PE ＝y ，AE ＝4y ，
∴OE ＝4y ﹣2，
将点P 坐标（4y ﹣2，y ）代入二次函数表达式并解得：
y ＝0（舍去）或
2316
， 即点P （154，2316）； （3）在Rt △PFD 中，∠PFD ＝∠COB ＝90°，
∵l ∥y 轴，
∴∠PDF ＝∠COB ，
∴Rt △PFD ∽Rt △BOC ， ∴2
PDF BOC S PD S BC ??= ???V V ， ∴S △PDF ＝2BOC PD S BC ??? ???
V
=21482??? =215
PD ?，
设直线BC 的解析式为：y =kx +b ，将B 、C 坐标代入并解得， 直线BC 的表达式为：y ＝﹣2x +8，
设点P （m ，﹣m 2+2m +8），则点D （m ，﹣2m +8），
则PD ＝﹣m 2+2m +8+2m ﹣8＝﹣（m ﹣2）2+4，
∴当m ＝2时，PD 的最大值为4，
1 5
PD
＝
16
5
．
∴当PD＝4时，△PDF的面积最大，最大值为：S△PDF＝2