第六章 时变电磁场典型例题

第六章 时变电磁场

6.1 在3z m =的平面内，长度0.5l m =的导线沿x 轴方向排列。当该导线以

速度24x y m

v e e s

=+ 在磁感应强度2

2363x y z B e x z e e xz T =+-

的磁场中移动时，求

感应电动势。

解：给定的磁场为恒定磁场，故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有 ()in

v B d l ε=⨯⋅⎰

根据已知条件，得

2

233()|(24)(363)|z x y x y z z v B e e e x z e e xz ==⨯=+⨯+-

210854(1236)x y z e x e x e x =-++-

x d l e dx =

故感应电动势为 0.5

2

[10854(1236)]13.5in x y z x e x e x e x e dx V ε=

-++-⋅=-⎰

6.2 长度为l 的细导体棒位于xy 平面内，其一端固定在坐标原点。当其在恒

定磁场0z B e B =

中以角速度ω旋转时，求导体棒中的感应电动势。

解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即

()in v b dl ε=

⨯⋅⎰

根据已知条件，导体棒上任意半径r 处的速度为

v e r ωΦ=

r dl e dr =

故感应电动势为

2

0000001()()2

l

l

L in

z r v b dl e r e B e dr B rdr B l V εωωωΦ=⨯⋅=⨯⋅==⎰⎰⎰

6.3 试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。

解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E

和磁感应强度B

的关系，

将,,H B D E J E μεσ===

代入即可，注意在非均匀媒质中,,μεσ

是空间坐标的

函数。

考察麦克斯韦第一方程，有

1

1()B H B B

μμμ

∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯

2

1

1B B μμ

μ

=-

∇⨯+∇⨯

D E

J J t t

ε

∂∂=+=+∂∂

所以

E B

B J t μμμεμ∂∇⨯∇⨯=++

∂

而 ()D E E E εεερ

∇⋅=∇⋅=⋅∇+∇⋅=

，于是，微分形式的麦克斯韦方程

用E 和B

表示为

E B

B J t μμμεμ

∂∇⨯∇⨯=++∂

B

E t

∂∇⨯=-

∂

0B ∇⋅=

E E εερ

∇⋅+∇⋅=

对于无耗媒质，0σ=，因此有0J =

。

6.4 试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程J t

ρ

∂∇⋅=-

∂ 。

解：对麦克斯韦第一方程D

H J t

∂∇⨯=+∂

两边取散度，得

()0

D

H J t

∂∇⋅∇⨯=∇⋅+∇⋅=∂

又因为D ρ∇⋅=

，所以

J t

ρ∂∇⋅=-

∂

6.5 设真空中电荷量为q 的点电荷以速度()v v c 向正z 方向匀速运动，在

0t =时刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度（不考虑滞后效应）。

解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为(0,0,)vt ，且产生的场强与角度φ无关，如习题所示。设(,,)P r z φ为空间任一点，则点电荷在P 点产生的电场强度为

3

04q R E R

πε=

其中R

为点电荷到P 点的位置矢量，即

()r z R e r e z vt =+-

那么，由0

d D E

J t t

ε∂∂==∂∂

，得

225

5

22

2

2

2

2

3()

[2()]4[()]4[()]d r z qrv z vt qv z vt r J e e r z vt r z vt ππ---=++-+-

6.6 已知自由空间的磁场为

0cos()/y H e H t kz A m ω=-

式中的0H 、ω、k 为常数，试求位移电流密度和电场强度。

解： 随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度

0J =

，故由麦克斯韦第一方程得

0[cos()]y d x x H J H e e H t kz z z

ω∂∂=∇⨯=-=--∂∂

20sin()/x e k H t kz A m ω=--

而d D J t

∂=

∂

，故

20

0sin()cos()/x x

k H

D J dt e k H t kz dt e t kz C m ωωω

=

=--=-⎰

则

000

cos()/x k H D E e t kz V m ωεωε==-

6.7 由麦克斯韦方程出发，试导出静电场中点电荷的电场强度和泊松方程。 解：对于静电场，不存在位移电流，由麦克斯韦方程，有 ρ=⋅∇=⨯∇D E ,0

即

q dV S d D dV D V

V

S

==

⋅=⋅∇⎰

⎰⎰ρ

根据上式，利用球坐标，则对于孤立的、位于原点的点电荷q 有q r E =⋅24πε，所以距离该点电荷r 处的电场强度为

ε

π2

4r q e E r

=

静电场为无旋场，因此有ϕ-∇=E ，则

ρϕεϕεε=∇-=∇⋅∇-=⋅∇=⋅∇2E D