复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案.docx

复合函数

一，复合函数的定义：设y是U的函数，即y=f(u),u是X的函数，即u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，那么y通过U的联系成为X的函数，这个函数称为由y=f(u) ，u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中U称为中间变量。

二,对高中复合函数的通解法——综合分析法

1、解复合函数题的关键之一是写出复合过程

例1:指出下列函数的复合过程。

2 2

(1)y=√2-x (2)y=sin3x ⑶y=sin3x (4)y=3cos √ 1-x

解：(1 ) y= √2-x2是由y=√u,u=2-x2复合而成的。

(2)y=sin3x 是由y=sinu,u=3x 复合而成的。

(3)τ y=sin3x=(sinx)-3

.∙∙ y=sin3x 是由y=u-3,u=sinx 复合而成的。

(4)y=3cos√ 1+x2 是由y=3cosu,u= √r,r=1+x2 复合而成的。

2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。

看下例题：例2:已知f(x+3)的定义域为[1、2],求f(2x-5)的定义域。

经典误解1:解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3 复合而成的。

F(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5 复合而成的。由

g(x),G(x)得：u2=2x-11 即: y=f(u2),u2=2x-11 V f(u1)的定

义域为[1、2]

∙∙∙1≤ X V 2

••• -9 ≤ 2x-11 V -6

即: y=f(u2)的定义域为[-9、-6]

•f(2x-5)的定义域为[-9、-6]

经典误解2:解：V f(x+3)的定义域为[1、2]

•1≤x+3< 2

•-2 ≤X < -1

•-4 ≤2x< -2

•-9 ≤2x-5 < -7

•f(2x-5)的定义域为[-9、-7]

(下转2页)

注：通过以上两例误解可得，解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概念的理解模棱两可，从定义域中找出“ y”通过U的联系成为X的函数，这个函数称为由

y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数，记作y=f[g(x)],其中U称为“中间变量”。从以上误解中找出解题者易将f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围，从而导致错误。而从定义中可以看出U 仅仅是中间变量，即U既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是指y=f(u),u=g(x) 中

u=g(x)中的X的取值范围，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3 复合而成的复合函数，其定义域是X的取值范围。

正确解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u仁x1+3(1 ≤x< 2)复合而成的。

f(2x-5) 是由y=f(u2),u2=2x2-5 复合而成的

V1≤ x1 < 2

•4≤u1 < 5

•4≤u2< 5

•4≤2x2-5 < 5

•2≤x2< 5

∙∙∙ f(2x-5)的定义域为[2、5]

结论：解高中复合函数题要注意复合函数的分层，即U为第一层，X为第二层，一、

二两层是不可以直接建立关系的，在解题时，一定是同层考虑，不可异层考虑，若异层考虑则会出现经典误解1与2的情况。

三、高中复合函数的题型(不包括抽象函数) 题型一：单对单，如：已知f(x)的定义域为[-1,4],求f(x2)的定义域。

题型二：多对多，如：已知f(x+3)的定义域为[1、2 ],求f (2x-5 )的定义域。

(下转3页) 题型三：单对多，如：已知f(x)的定义域为[0、1],求f(2x-1)的定义域。题型四：多对单，如：已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

注：通解法一一综合分析法的关键两步：第一步：写出复合函数的复合过程。

第二步：找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关键) 下面用综合分析法解四个题型

题型一：单对单：例3:已知f(x)的定义域为[-1、4],求f(x2)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(x2)是由y=f(u),u=x22 复合而成的。

(由于要同层考虑，且U与X的取值范围相同，故可这样变形)f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

V f(x)的定义域为[-1、4] 第2步：找出复合函数定义域的真正对应•••-1 ≤x1< 4

即-1 ≤ U V 4 又V u=x22 ••• -1 ≤ x22<

4

(x2是所求f(x2)的定义域，此点由定义可找出)••• -2 V x2 V 2

∙∙∙ f(x2)的定义域为(-2,2) 结论：此题中的自变量x1,x2通过U联系起来，故可求解。

题型三：单对多：例4:已知f(x)的定义域为[0,1],求f(2x-1)的定义域。第1步：写出复合函数的复合过程：f(x)是由y=f(u),u=x1复合而成的。

f(2x-1) 是由y=f(u),u=2x2-1 复合而成.

第2步：找出复合函数定义域的真正对应：V 0≤x1≤1

∙∙∙0≤ u≤ 1

∙∙∙ 0≤2x2-1 ≤1

∙x2≤ 1 ∙f(2x-1)的定义域为[，1] 结论：由此题的解答过程可以推出：已知f(x)的定义域可求出y=[g(χ)]的定义域。

下转4页题型四：多对单：如：例5:已知f(2x-1)的定义域为[0、1],求f(x)的定义域。

第1步：写出复合函数的复合过程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1 复合而成的。f(x)

是由f(u),u=x2 复合而成的。

第2步：找出复合函数定义域对应的真正值：V 0≤x1≤1

∙0≤2x1 ≤ 2

∙-1 ≤2x1-1 ≤ 1

∙-1 ≤u≤ 1

∙-1 ≤x2≤ 1 ∙f(x)的定义域为[-1、1] 结论：由此题的解答过程可以推出：已知y=f[g(χ)]的定义域可求出f(x)的定义域。

小结：通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出，解题的关键在于通过U这