连续函数的运算性质

§2.2 连续函数的运算与初等函数的连续性

【导语】

对于一般函数，从定义出发讨论其连续性不仅困难，也没必要。因为许多函数都是由简单函数经过四则运算和复合运算得到的。得到了简单函数的连续性结果后，只要再了解连续函数经过运算之后的连续性结论，我们就可以得到一般函数的连续性结果。本讲将介绍连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数的连续性结果，并给出初等函数在其定义区间上的连续性。

【正文】

一、连续函数的四则运算

定理2 如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，那么它们的和、差、积、商函数()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ，0()(()0)()

f x

g x g x ≠均在0x 处连续．

二、复合函数的连续性

定理3 如果函数()f u 在0u 处连续，函数()g x 在0x 处连续，且00()u g x =，那么复合函数(())f g x 在0x 处连续．

从运算的角度看，有

000

lim (())(lim ())((lim ))x x x x x x f g x f g x f g x →→→== 成立．即对连续函数来说，极限求值运算与函数求值运算可以交换次序．

三、反函数的连续性

定理 4 设1()f y -是函数()f x 的反函数，且00()y f x =．如果函数()f x 在0x 处连续，那么函数1()f y -在0y 处连续．

例 1 证明：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．

解 对任意的0(0,)x ∈+∞，记00ln y x =，因为指数函数e y x =在0y 处连续，所以其反函数ln y x =在0x 处连续。

由0x 的任意性可知：对数函数ln y x =在(0,)+∞内连续．

例 2 证明：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．

证 当(0,)x ∈+∞时，根据指数函数与对数函数的性质，得

ln ln e e x x y x ααα===．

对任意的0(0,)x ∈+∞，因为函数ln x α在0x 处连续，且指数函数e u 在00ln u x α=处连续，所以ln e x y x αα==在0x 处连续．

由0x 的任意性可知：幂函数y x α=在(0,)+∞内连续．

例 3 证明：如果函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，且0()0f x >，则函数()()g x y f x =在0x 处连续．

证 根据指数函数与对数函数的性质，得

()()ln ()

()ln ()()e e g x g x f x g x f x y f x ===． 因为0()0f x >，所以对数函数ln u 在0()f x 处连续。又因为函数()f x 在0x 处连续，所以函数ln ()f x 在0x 处连续．

由于函数()g x 在0x 处连续，所以函数()ln ()g x f x 在0x 处连续． 又指数函数e v 在000()ln ()v g x f x =处连续，所以()ln ()e g x f x y =在0x 处连续．

例 4 设函数()f x 和()g x 均在0x 处连续．证明：函数m a x {(),()f

x g x 和min{(),()}f x g x 也在0x 处连续．

证 因为

()()|()()|max{(),()}22f x g x f x g x f x g x +-=

+， ()()|()()|min{(),()}22

f x

g x f x g x f x g x +-=-， 且函数()f x 和()g x 均在0x 处连续，所以函数()()f x g x +和|()()|f x g x -均在0x 处连续。

从而函数max{(),()}f x g x 和min{(),()}f x g x 也在0x 处连续．

四、初等函数的连续性

一般地，常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数这六类函数称为基本初等函数。基本初等函数经过有限次四则运算及有限次函数复合得到的函数称为初等函数．

利用定义可以证明常函数y C =，指数函数e x y =和三角函数sin y x =在定义域中都是连续的。

利用反函数的连续性，就会得到对数函数ln y x =，反三角函数arcsin y x =在定义域中也是连续函数。

利用复合函数的连续性及和、差、积、商函数的连续性结论可以证明如下函数在各自的定义域中都是连续性，它们是：幂函数ln e x y x αα==，指数函数ln e x x a a =，对数函数ln log ln a x x a

=，余弦函数πcos sin()2x x =-，正切函数sin tan cos x x x =，余切函数cos cot sin x x x =，正割函数1sec cos x x =，余割函数1csc sin x x =． 定理5 初等函数在其定义域区间内是连续函数．

例如函数()f x ={0}[1,)+∞，连续范围是[1,)+∞．

当()f x 是初等函数时，对其定义域区间内的任意一点0x ，都有0

0lim ()()x x f x f x →=成立．所以对一般的函数而言，求极限的问题就变成了计算函数值的问题．

【本讲总结与下讲预告】

本讲介绍了连续函数的运算性质，得到了连续函数的和、差、积、商函数，复合函数，以及反函数都是连续的结果，并给出了初等函数在其定义区间上的连续性结论。下一讲将介绍连续函数的局部性质和零点存在定理。