2019年考研数学三真题与解析

2019年考研数学三真题解析一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.

1.当x 0时, 若X tanx 与

x k是同阶无穷小，则k ( )

(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】（C）

【详解】当x0时, tan x x 1

捫

o(x

3

)

，所以

x tanx

1

x3 o(x3)

3

，所以k 3

2.已知方程X55x k 0有三个不同的实根，则k的取值范围是（）

(A)(,4)(B)(4,)(C) (4,0)(D) ( 4,4)

【答案】（D）

【详解】设f（x）

x5

5x k，则f (),f( ) , f (x) 5x4 5 5(x21)(x 1)(x 1),令f (x)0得x i1,x2 1 且f (1)20, f （1）20 ,也就是函数在x!1处取得极大值f ( 1) 4k，在X21处取得极小值 f (1)k 4;

f（ 1）4 k 0

由于方程有三个不同实根，必须满足' ' ，也就得到k （ 4, 4）.

f（1） k 2 0

3.已知微分方程y ay by c6的通解为y (G C2x)e x e x，则a, b, c依次为（)

(A) 1,0,1(B) 1,0,2 (C) 2,1,3(D) 2,1,4

【答案】（D）

【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出* r21是特征方程r2ar b0的实根，从而确定a 2, b 1 ;

（2）显然，y*

x

e是非齐次方程的特解，代入原方程确定 c 4 .

4.若级数nu n绝对收敛，V n条件收敛，则（)

n 1

n 1 n

(A) u n v n条件收敛（B）u n v n绝对收敛（C）u n v n收敛(D) u n V n发散

n 1n 1n 1n 1

（注：题目来自网上，我感觉选项（C）应该有误差，否则（A），（B）选项显然没有（C）选项优越，若（A），（B）中有一个正确，则（C）一定正确?题目就不科学了.

答案】（B）

【详解】由于V n条件收敛，则lim V n 0，也就是有界；

n 1 n n n

从而，u n v n nu n M nu n，由正项级数的比较审敛法，u n v n绝对收敛.

5?设A 是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，若线性方程组 Ax 0基础解系中只有两个向量， 则r(A*)()

【答案】(A )

所以 r(A*) 0 ?

【答案】(C )

【答案】(A )

【详解】由于随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从正态分布 N(,

2

)，则 X Y ~ N(0, 2 2)，从而

P{X Y

1} P{ 1 X Y 1}

(A ) 0

(B )1

(D ) 3

【详解】线性方程组

Ax 0基础解系中只有两个向量, 也就是 4 r(A) 2

r(A) 2

6?设A 是三阶实对称矩阵， E 是三阶单位矩阵，若

A 2 A

2E ,

4，则二次型 x T Ax 的规范形

(A) y ； y |

2 / 、 2 2 2 y a ( B ) y 1

y 2 y a

2 2 (C ) y 1 y

2

2 y

a

(D)

2

2 2 y 1 y

2

y

s

【详解】假设 是矩阵A 的特征值，由条件 A 2 A 2E 可得2 2 0，也就是矩阵A 特征值只可

能是1和2 ? 所以三个特征值只能是

1

1,

3

2，根据惯性定理，二次型的

规范型为y 2

2 2

y 2 y a

7.设代B 为随机事件，则P(A)

P(B)的充分必要条件是 (A) P(AU B) P(A)

P(B)

(B) P(AB) P(A)P(B) (C ) P(AB)

P(BA)

(D) P(AB)

P(AB)

【答案】(C ) 【详解】选项(A )是

代B 互不相容；选项(B )是A, B 独立，都不能得到 P(A) P(B); 对于选项(C ),显然，

由 P(AB) P(A) P(AB),P(BA) P(B) P(AB),

P(AB) P(BA) P(A) P(AB) P(B) P(AB) P(A)

P(B)

&设随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从正态分布

N( , 2) ?则P{ X Y

1}( )

(A )与无关，而与

2

有关

(B )与 有关，而与 2

无关

(C )与，

都有关 (D )与，

2

都无关

1000

只与2有关. 二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

1 9. lim n

1 2 1 n (n 1)

【答案】e 1 解: lim

n 1 (n 1)

lim 1 n

n 1

10.曲线 y xsin x 2cos x (

【答案】 (,2) 【详解】 y xsinx 2cos x , ）的拐点坐标

是

2 xcosx

sin x , y xsin x , y sin x xcosx ;

xsinx 0 得 x 1 0,x 2 ）0 ,所以（，2）是曲线的拐点;

而对于点 (0,0)，由于 f (0) 0 ,而 f ⑷

（0） 0，所以不是曲线的拐点.

11.已知函数f （X ）

r ~ dt ，则 1 2

x 2f(x)dx

【答案】1 22

18

【详解】（1）用定积分的分部积分:

1 2 0x f (x)dx 3 f (x)dx 3 ^x 3f (x)|0 x 31 x 4dx 0

1 1

2 1,1 x 4d(1 0 x 4) 4

18

（2）转换为二重积分: 1 2 0x 2

f(x)dx 。仏：」

1 t 4dt 0& t 4dt 0x 2dx 1t 3、.1 t 4dt 0 1 2,

2 18

12 .以P A ,P B 分别表示 代B 两个商品的价格.设商品 A 的需求函数 2 Q A 500 P A P A P B 2P B ，则当

P A 10,P B 20时，商品A 的需求量对自身价格弹性

AA ( AA 0) 【答案】0.4 【详解】Q A 500 P A P A P B 2P ；，当 P A 10, F B

20时, Q A 1000则边际需求

Q A P A

2P A P B ,

商品A 的需求量对自身价格弹性为AA 詈

F A Q A

Q A

P A

卫 40 0.4.

1 0 1 0 13.已知矩阵A

1 1

1 ,b 1 .

若线性方程组

Ax b 有无穷多解，则a

0 1 a 2 1

a

【答案】1.

【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 :

1 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (A, b) 1

1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 a 2

1 a

0 1 a 2 1

a

0 0 a 2 1 a 1

显然，当且仅当a 1时，

r(A)

r(A,b) 2

3线性方程组 Ax b 有无穷多解.

1

令f (x)

0得到捲 1K 丄.

14 .设随机变量 X 的概率密度为 f(x)

F(x)为其分布函数,

E(X)其数学期望，则

P{F(X) E(X) 1}

______

2

【答案】2

3

【详解】F(x) P{X x}

0,其他

0, x 0

1

2

2

x 2 4

x , 0 x 2 , E(X)

dx —

4

2

3

1,

x 2

1

P{F(X) E(X) 1} P{F(X) 3}

三、解答题

15.(本题满分10分)已知函数f(x)

x 2x ,x x ‘

xe 1,x

，求f (x)，并求函数f(x)的极值.

【详解】当x 0时, f(x) x 2x

2xln x

e

(x) 2x 2x (lnx 1)；

当 x 0 时，f(x)

xe x 1 , f (x) (x 1)e x ；

在 x 0 处，f (0) lim

x 0

f(x) f(0)

lim

x 0

x 2x

，所以f (x)在x 0处不

可导.

综合上述：f (x)

2x

2x (l nx 1), x 0 (x 1)e x , x 0

2 3

1 时，f (x)

0，当 1 x 0时，f

(x) 0，当

1

—时，f (X)

0 ;

e

故x 1 1是函数的极小值点，极小值为

f (

1) 1 e 1

； 0是函数的极大值点，极大值为 f (0)

1

丄是函数的极小值点，极小值

为

e

f($ e

(本题满分10)

设函数f (u, v)具有二阶连续的偏导数，函数z xy f (x y, x y),

2

z

2

z

~2

y

【详解】-z

x

y f i (x

y, x y) f 2(x

y,x

z

y)， x y

f i (x

y,x y) f 2(x y,x y)

11 12 21

22

11 2 f 12

f 22

，

11

f 22

， 17.(本题满分10分) 设函数y(x)是微分方程 xy

11 2 f 12 f 22 ；

(1)求y(x)的表达式; (2)设平面区域 D {( x, y)|1 2

z

2

z

~~2

y

3 f 11

22 -

1 2.x

x 2

e 2满足条件y(1)

x 2,0 y 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程 xy 0的通解: x 2 再用常数变易法求 xy

y(x)｝，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. e 2 通解 2 *；

x

x 2 Ce 2，其中C 为任意常数; x 2 设y C(x)e 2为其解，代入方程， x 2

C (x)e 2 子亠(x) 1 2 .x

,C(x)

x 2 .x C 1，也就是通解为： y (??. x C 1 )e 2 x 2 把初始条件 y(1) “e 代入, (2)旋转体的体积为V x 得C 1 2 1 y(x)2dx 0 ,从而得到y(x) 2 2 e x dx 1

18.(本题满分10分)求曲线y e x sinx (x 【详解】先求曲线与x 轴的交点：令e x sinx

R.

尹4 e). 0)与x 轴之间形成图形的面积. 0得 x k , k 0,1,2, L

当2k x (2k 1)时，y e x sinx 0 ；当2k x (2k 2)时，y e x sinx 0 .由不定积分 e x sin xdx (sin x cosx) C 可得

2k

e x sin xdx

2k

所求面积为1 2k

e

2 (1 e

2k 2

2k

e x sin xdx

1 2k

e

2 (1 e )

sin xdx

2k

2k

1

e

02

2k

2k

(1

19.(本题满分10分) a n

sin xdx

k 0

1

e

02

2k

2k

e x sin xdx

(1 e )

2k

e (1

k 0

)22(1

)

2

)1 e2

1 1 e

21 e 0x n Cdx (n 0,1,2,L )

n 1

(1)证明：数列｛a n｝单调减少，且a n —— a n

n 2 (n 2,3,L (2)求极限lim旦

n a n 1

1

【详解】(1)证明：a n o x n■. 1x2dx，a n 1 1 x2dx (n 0,1,2,L)

(0,1)时，显然有n 1 n

x x，a n 1 a n 1(x

0 \

x n)、

彳

dx 0，所以数列｛a n｝单调减少;

先设则当

2sin n xdx

n 2时，

I n 02cos n dx,n 0,1,2,L

I n 02si n n xdx 2 sin n

1 xd cosx (n 1)

2

sin x cos2 xdx

(n 1)(I n 2 I n)

也就是得到I n

sint,t

a n 1

n x

同

理,

a n 综合上述, (2)由( ' 1 x2dx

I n

2,n

0,1,L

2sin n tcos tdt 02sin n dt

2si n…tdt I n

1

I n

n 2

1

I n

n 1

可知对任意的正整数

n

，

均有

a n

a n 2

a n

1)的结论数列｛a n｝单调减少，且a n(n

1

n 2% 2 (n

2,3,L )

2,3丄)；

令n

，由夹逼准则，可知

lim a

n

n

a n 1

1 .

20.(本题满分11分)

1

1 1 已知向量组I:

1

1 , 2

0 , 3 2 ; 4 4 a 2 3

1

0 1

向量组n ：

1

1 , 2

2 , 3

3 .若向量组i 和向量组n 等价，求常数 a 的值，并将

a 3

1 a

a 2 3

3用1

, 2 , 3线性表示.

【详解】向量组i 和向量组n 等价的充分必要条件是

a n

2a n1

a n

a n 1

1 1

1 1 0 1 (1,

2, 3；

1 , 2, 3)

0 1

1

2

2

0 0 a 2 1 a 1 1 a a 2

1

(k 2) 2 k 3，其中k 为任意常数;

(2)当a 1时，继续进行初等行变换如下:

显然，当a 1 且 a 1 时，r ( 1 , 2, 3)

r

(

1, 2,3

； 1,

r( 1,

2, 3) r( 1, 2, 3)

r( 1, 2, 3；

1,

2,3

)

(1,

2

3；

1

, 2, 3

)

4 4 a 2 3 a 3 1 a

a 2 3

0 1 1 0 2 2

0 0 a 2 1 a 1 1 a a 2 1

2，两个向量组等价.

1 1 1 1

此时，(1,

2

, 3； 3)

0 1 1 2

0 0 0 0

方 程 组 x 1 1 x 2

2

X 3 3

的

1 0

2 3

0 1

1 2

0 0 0

X 1

2 3 通 解 为

x

X 2

k 1 2

X 3

1

也就是

3

(2k 3) 1

2, 3)

(1)当a 1时，显然,

r( 1,

2,

3)

r( 1,

2,3

)

r( 1, 2

,

3， 1， 2,

3)