2019年考研数学三真题与解析
2019年考研数学三真题解析一、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.1.当x 0时, 若X tanx 与x k是同阶无穷小，则k ( )(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4【答案】（C）【详解】当x0时, tan x x 1捫o(x3)，所以x tanx1x3 o(x3)3，所以k 32.已知方程X55x k 0有三个不同的实根，则k的取值范围是（）(A)(,4)(B)(4,)(C) (4,0)(D) ( 4,4)【答案】（D）【详解】设f（x）x55x k，则f (),f( ) , f (x) 5x4 5 5(x21)(x 1)(x 1),令f (x)0得x i1,x2 1 且f (1)20, f （1）20 ,也就是函数在x!1处取得极大值f ( 1) 4k，在X21处取得极小值 f (1)k 4;f（ 1）4 k 0由于方程有三个不同实根，必须满足' ' ，也就得到k （ 4, 4）.f（1） k 2 03.已知微分方程y ay by c6的通解为y (G C2x)e x e x，则a, b, c依次为（)(A) 1,0,1(B) 1,0,2 (C) 2,1,3(D) 2,1,4【答案】（D）【详解】（1）由非齐次线性方程的通解可看出* r21是特征方程r2ar b0的实根，从而确定a 2, b 1 ;（2）显然，y*xe是非齐次方程的特解，代入原方程确定 c 4 .4.若级数nu n绝对收敛，V n条件收敛，则（)n 1n 1 n(A) u n v n条件收敛（B）u n v n绝对收敛（C）u n v n收敛(D) u n V n发散n 1n 1n 1n 1（注：题目来自网上，我感觉选项（C）应该有误差，否则（A），（B）选项显然没有（C）选项优越，若（A），（B）中有一个正确，则（C）一定正确•题目就不科学了.答案】（B）【详解】由于V n条件收敛，则lim V n 0，也就是有界；n 1 n n n从而，u n v n nu n M nu n，由正项级数的比较审敛法，u n v n绝对收敛.5•设A 是四阶矩阵，A*为其伴随矩阵，若线性方程组 Ax 0基础解系中只有两个向量， 则r(A*)()【答案】(A )所以 r(A*) 0 •【答案】(C )【答案】(A )【详解】由于随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从正态分布 N(,2)，则 X Y ~ N(0, 2 2)，从而P{X Y1} P{ 1 X Y 1}(A ) 0(B )1(D ) 3【详解】线性方程组Ax 0基础解系中只有两个向量, 也就是 4 r(A) 2r(A) 26•设A 是三阶实对称矩阵， E 是三阶单位矩阵，若A 2 A2E ,4，则二次型 x T Ax 的规范形(A) y ； y |2 / 、 2 2 2 y a ( B ) y 1y 2 y a2 2 (C ) y 1 y22 ya(D)22 2 y 1 y2ys【详解】假设 是矩阵A 的特征值，由条件 A 2 A 2E 可得2 2 0，也就是矩阵A 特征值只可能是1和2 • 所以三个特征值只能是11,32，根据惯性定理，二次型的规范型为y 22 2y 2 y a7.设代B 为随机事件，则P(A)P(B)的充分必要条件是 (A) P(AU B) P(A)P(B)(B) P(AB) P(A)P(B) (C ) P(AB)P(BA)(D) P(AB)P(AB)【答案】(C ) 【详解】选项(A )是代B 互不相容；选项(B )是A, B 独立，都不能得到 P(A) P(B); 对于选项(C ),显然，由 P(AB) P(A) P(AB),P(BA) P(B) P(AB),P(AB) P(BA) P(A) P(AB) P(B) P(AB) P(A)P(B)&设随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从正态分布N( , 2) •则P{ X Y1}( )(A )与无关，而与2有关(B )与 有关，而与 2无关(C )与，都有关 (D )与，2都无关1000只与2有关. 二、填空题（本题共 6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1 9. lim n1 2 1 n (n 1)【答案】e 1 解: limn 1 (n 1)lim 1 nn 110.曲线 y xsin x 2cos x (【答案】 (,2) 【详解】 y xsinx 2cos x , ）的拐点坐标是2 xcosxsin x , y xsin x , y sin x xcosx ;xsinx 0 得 x 1 0,x 2 ）0 ,所以（，2）是曲线的拐点;而对于点 (0,0)，由于 f (0) 0 ,而 f ⑷（0） 0，所以不是曲线的拐点.11.已知函数f （X ）r ~ dt ，则 1 2x 2f(x)dx【答案】1 2218【详解】（1）用定积分的分部积分:1 2 0x f (x)dx 3 f (x)dx 3 ^x 3f (x)|0 x 31 x 4dx 01 12 1,1 x 4d(1 0 x 4) 418（2）转换为二重积分: 1 2 0x 2f(x)dx 。
仏：」1 t 4dt 0& t 4dt 0x 2dx 1t 3、.1 t 4dt 0 1 2,2 1812 .以P A ,P B 分别表示 代B 两个商品的价格.设商品 A 的需求函数 2 Q A 500 P A P A P B 2P B ，则当P A 10,P B 20时，商品A 的需求量对自身价格弹性AA ( AA 0) 【答案】0.4 【详解】Q A 500 P A P A P B 2P ；，当 P A 10, F B20时, Q A 1000则边际需求Q A P A2P A P B ,商品A 的需求量对自身价格弹性为AA 詈F A Q AQ AP A卫 40 0.4.1 0 1 0 13.已知矩阵A1 11 ,b 1 .若线性方程组Ax b 有无穷多解，则a0 1 a 2 1a【答案】1.【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换 :1 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0 (A, b) 11 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 a 21 a0 1 a 2 1a0 0 a 2 1 a 1显然，当且仅当a 1时，r(A)r(A,b) 23线性方程组 Ax b 有无穷多解.1令f (x)0得到捲 1K 丄.14 .设随机变量 X 的概率密度为 f(x)F(x)为其分布函数,E(X)其数学期望，则P{F(X) E(X) 1}______2【答案】23【详解】F(x) P{X x}0,其他0, x 0122x 2 4x , 0 x 2 , E(X)dx —4231,x 21P{F(X) E(X) 1} P{F(X) 3}三、解答题15.(本题满分10分)已知函数f(x)x 2x ,x x ‘xe 1,x，求f (x)，并求函数f(x)的极值.【详解】当x 0时, f(x) x 2x2xln xe(x) 2x 2x (lnx 1)；当 x 0 时，f(x)xe x 1 , f (x) (x 1)e x ；在 x 0 处，f (0) limx 0f(x) f(0)limx 0x 2x，所以f (x)在x 0处不可导.综合上述：f (x)2x2x (l nx 1), x 0 (x 1)e x , x 02 31 时，f (x)0，当 1 x 0时，f(x) 0，当1—时，f (X)0 ;e故x 1 1是函数的极小值点，极小值为f (1) 1 e 1； 0是函数的极大值点，极大值为 f (0)1丄是函数的极小值点，极小值为ef($ e(本题满分10)设函数f (u, v)具有二阶连续的偏导数，函数z xy f (x y, x y),2z2z~2y【详解】-zxy f i (xy, x y) f 2(xy,xzy)， x yf i (xy,x y) f 2(x y,x y)11 12 212211 2 f 12f 22，11f 22， 17.(本题满分10分) 设函数y(x)是微分方程 xy11 2 f 12 f 22 ；(1)求y(x)的表达式; (2)设平面区域 D {( x, y)|1 2z2z~~2y3 f 1122 -1 2.xx 2e 2满足条件y(1)x 2,0 y 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程 xy 0的通解: x 2 再用常数变易法求 xyy(x)｝，求D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积. e 2 通解 2 *；xx 2 Ce 2，其中C 为任意常数; x 2 设y C(x)e 2为其解，代入方程， x 2C (x)e 2 子亠(x) 1 2 .x,C(x)x 2 .x C 1，也就是通解为： y (••. x C 1 )e 2 x 2 把初始条件 y(1) “e 代入, (2)旋转体的体积为V x 得C 1 2 1 y(x)2dx 0 ,从而得到y(x) 2 2 e x dx 118.(本题满分10分)求曲线y e x sinx (x 【详解】先求曲线与x 轴的交点：令e x sinxR.尹4 e). 0)与x 轴之间形成图形的面积. 0得 x k , k 0,1,2, L当2k x (2k 1)时，y e x sinx 0 ；当2k x (2k 2)时，y e x sinx 0 .由不定积分 e x sin xdx (sin x cosx) C 可得2ke x sin xdx2k所求面积为1 2ke2 (1 e2k 22ke x sin xdx1 2ke2 (1 e )sin xdx2k2k1e022k2k(119.(本题满分10分) a nsin xdxk 01e022k2ke x sin xdx(1 e )2ke (1k 0)22(1)2)1 e21 1 e21 e 0x n Cdx (n 0,1,2,L )n 1(1)证明：数列｛a n｝单调减少，且a n —— a nn 2 (n 2,3,L (2)求极限lim旦n a n 11【详解】(1)证明：a n o x n■. 1x2dx，a n 1 1 x2dx (n 0,1,2,L)(0,1)时，显然有n 1 nx x，a n 1 a n 1(x0 \x n)、彳dx 0，所以数列｛a n｝单调减少;先设则当2sin n xdxn 2时，I n 02cos n dx,n 0,1,2,LI n 02si n n xdx 2 sin n1 xd cosx (n 1)2sin x cos2 xdx(n 1)(I n 2 I n)也就是得到I nsint,ta n 1n x同理,a n 综合上述, (2)由( ' 1 x2dxI n2,n0,1,L2sin n tcos tdt 02sin n dt2si n…tdt I n1I nn 21I nn 1可知对任意的正整数n，均有a na n 2a n1)的结论数列｛a n｝单调减少，且a n(n1n 2% 2 (n2,3,L )2,3丄)；令n，由夹逼准则，可知lim anna n 11 .20.(本题满分11分)11 1 已知向量组I:11 , 20 , 3 2 ; 4 4 a 2 310 1向量组n ：11 , 22 , 33 .若向量组i 和向量组n 等价，求常数 a 的值，并将a 31 aa 2 33用1, 2 , 3线性表示.【详解】向量组i 和向量组n 等价的充分必要条件是a n2a n1a na n 11 11 1 0 1 (1,2, 3；1 , 2, 3)0 11220 0 a 2 1 a 1 1 a a 21(k 2) 2 k 3，其中k 为任意常数;(2)当a 1时，继续进行初等行变换如下:显然，当a 1 且 a 1 时，r ( 1 , 2, 3)r(1, 2,3； 1,r( 1,2, 3) r( 1, 2, 3)r( 1, 2, 3；1,2,3)(1,23；1, 2, 3)4 4 a 2 3 a 3 1 aa 2 30 1 1 0 2 20 0 a 2 1 a 1 1 a a 2 12，两个向量组等价.1 1 1 1此时，(1,2, 3； 3)0 1 1 20 0 0 0方 程 组 x 1 1 x 22X 3 3的1 02 30 11 20 0 0X 12 3 通 解 为xX 2k 1 2X 31也就是3(2k 3) 12, 3)(1)当a 1时，显然,r( 1,2,3)r( 1,2,3)r( 1, 2,3， 1， 2,3)1 01 1 0 1 1 0 1同时1,2,30 2 2 0 2 2 0 1 1， r( 1, 2, 3) 3，也就是1 1 a 1 0 1 a0 0 a 1r( 1,2,3) 「（1,2,3） 「（1,2,3； ;1,2, 3）2，两个向量组等价.这时，3可由1 , 2, 3线性表示，表示法唯一：3123-2 2 12 1 0 21 .（本题满分 11分）已知矩阵A2 x 2 与B0 1 0相似0 0 20 0 y（1）求x,y 之值；（2）求可逆矩阵P ，使得P 1AP B .2 13 2(2)( 2)( 1) 0得矩阵A 的三个特征值0 22, 2 1, 32 ；分别求解线性方程组 (i E A)x 0 （i 1,2,3）得到分属三个特征值12, 2 1, 3 2的线性无关111 的特征向量为：12 ,21 ,32 .411 12令 R1,2,3212 ， 则R 可逆，且1AP 1 ;0 42同样的方法，可求得属于矩阵B的三个特征值 12, 21, 32的线性无关的特征向量为1 11 0 ,2 3,30 .0 0141 1 02令 B1,2,30 3 0， 则F 2可逆，且 F 21BF 1;0 0 12【详解】（1）由矩阵相似的必要条件可知:A B，即2( 2X 4) 2y，解得 X 3trA tr B4 x 1 y y 2（2）解方程组 E A1 1由前面R AR P2 BP2，可知令P RP21 1 12 1 2 ，就满足P 1AP B •22 •(本题满分11分)设随机变量X,Y相互独立, X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为: P{Y 1} p , P{Y 1} 1 p, (0 p 1) •令Z XY•(1)求Z的概率密度; (2) p为何值时，X,Z不相关; (3)此时, X,Z是否相互独立.【详解】(1)显然X的概率密度函数为f x(x)xe , x0, x先求Z XY的分布函数:F z(z) P{Z z} P{XY z} P{X(1(1乙丫P)P{X)F X(Z)P{X 乙丫1}pP{X z}z))1}z}P(1 F X(再求Z XY的概率密度:f z(z) (F z(z)) pf x( z) (1 P) f x(Z)zpe ,0,(1P)ezz,z(2)显然E(X) 1,D(X) 1; E(Y) 1 2p ;由于随机变量X,Y相互独立，所以E(Z) E(XY)E(X)E(Y) 2p ;E(XZ) E(X2Y) E(X2)E(Y) 2 4p; COV(X,Z) E(XZ) E(X)E(Z) 1 2p ;要使X,Z不相关，必须COV(X,Z) E(XZ) E(X)E(Z) 1 2p 0,也就是p0.5时X,Z不相关;(3) X,Z显然不相互独立，理由如下：设事件 A {X 1}，事件B {Z 1}，则P(A) P{X 1} dx eP(B) P{Z 1} P{X 1,Y 1,Y 1}1 P(AB) P{X 1,Z 1} P{X 1,XY 1} P(X 1,Y 1 1e ;21} P{X 1} P{Yx1} pe1，当p 0.5 时，显然P(AB) P(A)P(B)，也就是X , Z显然不相互独立.23•(本题满分11分)设总体X的概率密度为f (x)A害,x，其中是已知参数, 是未知0, x参数，A是常数，X i,X2丄,X n是来自总体X的简单随机样本.(1)求常数A的值；(2)求 2 的最大似然估计量.【详解】(1)由f(x)dxA1可知e(x )2"2~dx 2A0 2A 1所以A似然函数为L(X1,X2 ,L X n；2)if(X i，1A nn en(X ii 12)2,x取对数，得In L(X1,X2,L ,X n；2) n In A 2"(2)解方程d In L(X1,X2,L ,X n；2)d( 2)12~22()0, 其他(X i1)2量为?2(Xi(X ii 1)2 0，得未知参数2的最大似然估计。
2019年考研数学一真题答案及解析1
(9)
(答案）
)'
cosx
X
cosy
【解析）因z=/(siny-sinx)+入y ,
则— ooxz=-COSX·f'+y ,
空= cosy• .f'+x,
切
则
— I · cosx
— ooxz +— cosI y ·
— ooyz =-·r+.co.sLx +I'十
二
cosy
＝上 cosx 十
二
cosy
一X ， 0< ,t< 2 f(x)=
lo, 其他
寸叶= 叶｝ 平(X) >£X-I}= PlF(X)
P\F(X)
=P卢计= pt气｝飞泸叶
方法二易知Y=F(X)~U(O,l),
中干 叶｝叶 平(X) >£X-l}=
}=P\Y
三、解答题： 15~23小题，共94分请将解答写在答题纸指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算
步鞭，
［卢 J' ()5)【觯析） (l)由一阶线性微分方程公式得 y= e-f对，,
心心 +c�=e一号 (x+c)
x ，．
由忠目知y(O) = 0. 可得c=O. 故 y(x)=x·e 2
-�'
(2)由(I)知 y(x)=x·e 2,
可得
,
y
(x)=(l-x2
-�'
)·e 2
工
y"(x)=(x3 -3x)·e 2
OX V
oP 故只需选择在上半平面有连续偏导数，且满足一匈－＝
－ yl·召内P函数只有D选项成
立
闽南师范大学802数学综合2018-2019年考研专业课真题试卷
⇒ 2x −1= x − 2 ⇒ x =−1
答题要求： （1）指出解题过程中的错误之处，并分析产生错误的原因； （2）给出正确解法，并简述应采取哪些教学措施避免此类错误发生.
三、简答题（每小题 10 分，共计 30 分）
14.数学思想方法是数学知识的精髓和本质.请简要回答：在数学教学中，教师讲授思想方法需要 注意哪些方面. 15.简述高中数学课堂小结的功能和作用. 16.列举 2011 年版义务教育数学课程标准指出的数学学习内容的核心概念.
两种方式.
7.2017 年版普通高中数学课程标准指出数学学科核心素养包括：
、逻辑推理、数
学建模、直观想象、数学运算和数据分析，这些数学学科核心素养既相互独立、又相互交融，是
一个有机的整体。
8.已知函数 y =(1− x2 )(x2 + ax + b) 的图像关于直线 x = −2 对称，则 a =
，
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
一、填空（1-8 小题每空 2 分，9-12 小题每空 4 分，共 40 分）
1.由基本初等函数 f1(x) = x 和 f2 (x) = c 经过有限次代数运算所得的初等函数，叫做初等代数函
b=
.
9.函数
y
=
a
与函数(x −1)2
有两个交点，
a
的取值范围是
.
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精都考研（）——全国100000考研学子的选择
闽南师范大学2019年考研专业课真题试卷
10.函数 y= (x − 2) 1+ x 的值域是 1− x
2019考研数学二答案真题解析
0034 0034
三、解答题：15 23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15.设函数
y
f (x) 是微分方程
y
xy
e
x2 2
满足条件
y(0)
0 的特解。
（1）求 y f (x) ；
（2）求曲线 y y(x) 的凹凸区间及拐点。
4/9
【答案】A
【解析】在区域
D
上，x2
y2
2 4
，令
x2
y2
，则 0
u
2
，所以有 sin
x2 y2
x2 y2 ；
令 f (u) 1 cos u sin u ，则 f (u) sin u cos u ，
故当 0
u
4
，
f
(u)
0 ；当
4
u
2
，
f
(u)
0；
而 f (0) f (2 ) 0 ，所以 f (u) 0 ，即1 cos u sin u ，得到1 cos x2 y2 sin x2 y2
又因为 A 4 123 ，故 A 的 3 个特征值为1, 2, 2 ，所以二次型 xT Ax 的规范形为 y12 y22 y32 .
二、填空题：9 14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.
2
9. lim(x 2x ) x
.
x0
【答案】 4e2
2
【解析】 lim(x 2x ) x
0
0
n1
k 0
e (k 1) x
sin x
dx
n1
(1)k
2019考研数学二考试真题及答案详解(完整版)
f (a ) g (a )
lim
f' (x)
g
' (
x)
xa 2(x a)
f (a) g(a)
lim f (x) g(x) = f (a) g(a) f ( a) g( a)
xa
2
2
f(x)与 g(x)相切于点 a.且曲率相等.选择（B）
f
+ y × f + 2y 2 f x
= - 2 y3 f + yf + 2 y3 f
x
x
=
yf
ççç
y2 x
÷÷÷÷
12. 设函数 y lncosx(0≤x≤ )的弧长为
.
6
解析：
y ln cos x, 0 x 6
l
6 0
1
sin x cos x
2019 考研数学二考试真题及答案详解 来源：文都教育
一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求 的.
1.当 x→0 时， x tan x与x k 同阶，求 k（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：
x - tan x - x3 若要 x - tan x 与 xb 同阶无穷小， \ k = 3 3
A. y12 y22 y32
B. y12 y22 y32
C. y12 y22 y32
D. y12 y22 y32
解析： 由 A2 + A = 2E 得 λ2 + λ=2 ， λ 为 A 的特征值， l=-2 或 1， 又 A λ1λ2 λ3=4 ，故 λ1=λ2=-2，λ3=1 ，
2019年考研数学二真题及全面解析(Word版)
2019年考研数学（二）真题及完全解析（Word 版）一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 kx 是 同阶无穷小量，则k=（ ）A 、 1.B 、2.C 、 3.D 、 4.【答案】C .【解析】因为 3tan ~3x x x --，所以3k =，选 C .2、曲线3sin 2cos y x x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭ －２２的拐点是（ ） A 、,ππ⎛⎫⎪⎝⎭ ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ２２.【答案】C . 【解析】cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。
当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。
故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ）A 、xxe dx +∞-⎰. B 、 2x xe dx +∞-⎰. C 、 20tan 1arx x dx x +∞+⎰. D 、201x dx x+∞+⎰. 【答案】D . 【解析】A 、1xxx x xe dx xde xee dx +∞+∞+∞+∞----=-=-+=⎰⎰⎰，收敛；B 、222001122x x xe dx e dx +∞+∞--==⎰⎰，收敛；C 、22200tan 1arctan 128arx x dx x x π+∞+∞==+⎰，收敛； D 、2222000111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞+∞+∞=+=+=+∞++⎰⎰，发散，故选D 。
4、已知微分方程的x y ay byce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、 1,0,1.B 、 1,0,2.C 、2,1,3.D 、2,1,4. 【答案】D .【解析】 由题设可知1r=-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=，所以2,1a b == 。
2019考研数一真题及解析
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ）(A) 1(B) 2(C)3(D) 4【答案】C【解析】0x →时，有3tan 3x x x --，故3k =.（2）设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤=⎨>⎩，则0x =是()f x 的（ ）(A) 可导点，极值点 (B)不可导点，极值点 (C) 可导点，非极值点(D)不可导点，非极值点【答案】B【解析】由定义可得00()(0)ln (0)lim lim x x f x f x xf x x+++→→-'===-∞； 200()(0)(0)lim lim 0x x f x f x f x x---→→--'===，故(0)f '不存在； 另外直接对()f x 求导有：2,0()ln 1,0x x f x x x -<⎧'=⎨+>⎩，可得0x =是()f x 的极大值点.（3）设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）(A) 1n n un∞=∑(B) 11(1)nn n u ∞=-∑(C) 11(1)nn n u u ∞=+-∑ (D)2211()n n n uu ∞+=-∑【答案】D【解析】由已知可得，{}n u 收敛，不妨设()n u a n →→∞，则有22()n u a n →→∞；对于选项D ：部分和22222211111()()nk k n k uu uu a u n ++=-=-→-→∞∑，所以2211()n n n u u ∞+=-∑收敛； 对于选项A ：令tan n u arc n =，则111tan 14n n n n u arc n n n n π∞∞∞====≥∑∑∑发散，此时也可排除选项B ； 对于选项C ：令1n u n =-，则11111111(1)1111n n n n n n u n n u n n n ∞∞∞∞====+⎛⎫- ⎪+⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-+⎝⎭∑∑∑∑发散，排除C.（4）设函数2(,)xQ x y y =，如果对上半平面（0y >）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰，那么函数(,)P x y 可取为（ ）(A) 23x y y- (B) 231x y y - (C) 11x y - (D) 1x y-【答案】D【解析】由已知可得，在上半平面（0y >）内积分与路径无关，即只需选择在上半平面（0y >）内有连续偏导数且(,)(,)Q x y P x y x y∂∂=∂∂，而C 选项函数在0x =不连续，故仅有选项D 满足. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）(A) 222123y y y ++ (B) 222123y y y +-(C) 222123y y y --(D) 222123y y y ---【答案】C【解析】设矩阵A 的特征值为λ，由22A A E +=可得，22λλ+=，解得1λ=，2-，又因为1234A λλλ==，故A 的3个特征值为1，2-，2-，所以二次型T x Ax 的规范形为222123y y y --.（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123i i i i a x a y a z d ++=（1,2,3i =）组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A ，A ，则（ ）(A) ()2,()3r A r A == (B) ()2,()2r A r A == (C) ()1,()2r A r A ==(D) ()1,()1r A r A ==【答案】A【解析】由图像可得，3张平面没有公共交点，即()()3r A r A ≠≤，又因为3个平面两两相交，故其中任意两个平面不平行，所以()2r A ≥，答案为A.（7）设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） (A) ()()()P AB P A P B =+(B) ()()()P AB P A P B = (C) ()()P AB P BA =(D) ()()P AB P AB =【答案】C【解析】由减法公式可得：()()()P AB P A P AB =-，()()()P B A P B P AB =-，所以()()P A P B =的充要条件为()()P AB P BA =.（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y -<（ ）(A) 与μ无关，而与2σ有关 (B) 与μ有关，而与2σ无关 (C) 与μ，2σ都有关(D) 与μ，2σ有无关【答案】A【解析】由已知可得，2(0,2)X YN σ-(0,1)N所以{1}{(P X Y P P -<=<=<<=Φ-Φ21=Φ-，所以{1}P X Y -<与μ无关，而与2σ有关. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9.设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11_______cos cos z z x x y y∂∂⋅+⋅=∂∂ 【答案】cos cos y x x y+ 【解析】(sin sin )(cos )zf y x x y x∂'=--+∂，(sin sin )cos z f y x y x y ∂'=-⋅+∂，故11(sin sin )(sin sin )cos cos cos cos cos cos z z y x y xf y x f y x x x y y x y x y∂∂''⋅+⋅=--++-+=+∂∂. 10.微分方程2220yy y '--=满足条件(0)1y =的特解________y =【答案】【解析】由已知222y y y+'=，所以222y dy dx y =+⎰⎰，即2ln(2)x C y +=+， 因为(0)1y =，所以ln3C =，故2ln(2)ln 3y x +=+， 则223xy e +=，因此y =.11.幂级数0(1)(2)!n nn x n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()________S x =.【答案】【解析】由泰勒公式可得20(1)cos (2)!n nn x x n ∞=-=∑，故有0(1)(2)!n n n x n ∞=-=∑12.设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则________∑=.【答案】323【解析】由投影法可得：224,02x y y y dxdy ydxdy ∑∑∑+≤≥===⎰⎰⎰⎰220322sin 3d r dr πθθ==⎰⎰. 13.设123(,,)A ααα=为3阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+，则线性方程组0Ax =的通解为___________.【答案】(1,2,1),Tx k k R =-∈【解析】由已知可得矩阵()2r A =，故0Ax =的基础解系中含有1个线性无关的解向量，又因为3122ααα=-+，即1231(,,)201ααα⎛⎫⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，故通解为(1,2,1),T x k k R =-∈. 14.设随机变量X 的概率密度为,02()20,xx f x else⎧<<⎪=⎨⎪⎩，()F x 为X 的分布函数，EX 为X 的数学期望，则{()1}P F X EX >-=.【答案】23【解析】由已知可得，224()23x EX xf x dx dx +∞-∞===⎰⎰， 且分布函数20,0()(),0241,2xx xF x f t dt x x -∞<⎧⎪⎪==≤<⎨⎪≤⎪⎩⎰，所以22112{()1}{()}{}{34323X x P F X EX P F X P P X dx >-=>=>=>==. 【法二】易知()(0,1)Y F X U =，所以42{()1}{1}33P F X EX P Y >-=>-=.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数()y f x =是微分方程22x y xy e -'+=满足条件(0)0y =的特解。
2019年考研数学二真题及答案解析
2019年研究生统一入学考试数学（二）一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.当时，若与是同阶无穷小，则k=（ ）。
A.1B.2C.3D.42.设函数的拐点（ ）。
A.B.C.D 3.下列反常积分发散的是（ ）。
A.B.C.D.4.已知微分方程的通解为，则、、、依次序为（ ）。
A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，45.已知区域，，，，试比较的大小（ ）。
A.B.C.D.CCDDA6.已知是二阶可导且在处连续，请问相切于且曲率相等是的什么条件？A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.即非充分又非必要条件7.设A是四阶矩阵，是A的伴随矩阵，若线性方程组的基础解系中只有2个向量，则的秩是（ ）。
A.0B.1C.2D.38.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵。
若，且，则规范形为（ ）。
A.B.C.D.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.9.。
10.曲线在对应点处切线在y轴上的截距。
11.设函数可导，，则。
12.已知函数的弧长为。
13.已知函数，则。
14.已知矩阵，表示中元的代数余子式，则。
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本题为多选，计算步骤符合采分点即可得分。
15.已知求，并求的极值。
当x>0时，当x<0时，AA C故，而在x=0附近时，当x>0，，单调递减；当x<0，，单调递增；故在x=0处取极大值16.求不定积分。
17.是微分方程满足的特解。
（1）求；由于则可以得出，两边同时积分可以得由于，代入得c=0，故（2）设平面区域求D绕x轴旋转一周的体积；由体积公式得18.已知平面区域D满足，，求。
极坐标方程为，由于对称性==19.，是的图像与x轴所围成图形的面积，求，并求。
2019全国硕士研究生考研数学二真题及答案解析
x ⎰ ⎰ 2 2019 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当 x → 0 时，若 x - tan x 与 x k是同阶无穷小，则k = A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.【答案】C3 【解析】 x - tan x ~ - ，所以选C. 32、设函数 y = x sin x + 2 cos x (- π x 3π) 的拐点π πA. ( , ).2 22 2 B. (0, 2). C. (π, -2).【答案】C.D. (3π , - 3π). 2 2【解析】令 y '' = -x sin x = 0 ，可得 x = π ，因此拐点坐标为（π，- 2）. 3、下列反常积分发散的是A.+∞x e - xd xB.+∞x e - x 2d x 0 C. +∞ arctan x d xD. +∞ x d x⎰0 【答案】D 1+ x 2⎰1+ x 2+∞【解析】xd x = +∞ln(x 2 +1)= +∞ ，其他的都收敛，选D. 0 1+ x 2 04、已知微分方程 y '' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A 、1,0,1B 、 1,0, 2C 、2,1, 3D 、2,1, 4【答案】 D.+ C x )e- x+ e x ，则 a 、b 、c 依次为 【解析】由通解形式知， λ = λ = -1 ， 故特征方程为（λ +1）2=λ 2+ 2λ +1=0 ， 所以12a = 2,b = 1 ，又由于 y = e x 是 y '+2 y ' + y = ce x 的特解，代入得c = 4 .5 、 已 知 积 分 区 域D = {(x , y ) | x + y， I 1 = ⎰⎰D x 2 + y 2 d x d y ，2 π} 21 ⎰ 1D1 2 31 2 3 1 2 3I 2 = ⎰⎰D x d y ， I 3 = ⎰⎰ (1-x d y ，试比较 I , I , I 的大小A. I 3 < I 2 < I 1C. I 2 < I 1 < I 3B. I 1 < I 2 < I 3D. I 2 < I 3 < I 1【答案】C【解析】在区域D 上0 ≤ x2+ y 2≤ π2 4,∴，进而 I 2 < I 1 < I 3.6 、已知 f (x ), g (x ) 的 二 阶导 数 在 x = a 处 连 续， 则 limx →af (x ) - g(x )(x - a )2= 0 是曲线y = f (x ), y = g (x ) 在 x = a 处相切及曲率相等的A. 充分非必要条件.B. 充分必要条件.C. 必要非充分条件.D. 既非充分又非必要条件. 【答案】A【解析】充分性:利用洛必达法则,有limf (x ) - g(x ) = lim f '(x ) -g '(x ) = lim f '(x ) - g '(x ) = 0.x →a(x - a )2 x →a 2(x - a ) x →a 2从而有 f (a ) = g (a ), f '(a ) = g '(a ), f '(a ) = g '(a ) ,即相切,曲率也相等. 反之不成立,这是因为曲率 K =f '(a ) = -g '(a ) ;选 A.3(1+ y '2 )2,其分子部分带有绝对值,因此 f '(a ) = g '(a ) 或7、设 A 是四阶矩阵， A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程组 Ax = 0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有 2 个向量，则r ( A ) = 2 ， r ( A ) < 3 ， r ( A *) = 0 .8、设 A 是3 阶实对称矩阵， E 是3 阶单位矩阵. 若 A 2+ A = 2E ，且 A = 4 ，则二次型x T Ax 规范形为A. y 2 + y 2 + y 2.B. y 2 + y 2 - y 2. y ''1 2 3 1 2 3⎩ C. y 2 - y 2 - y 2. D. - y 2 - y 2 - y 2.【答案】C【解答】由 A 2+ A = 2E ，可知矩阵的特征值满足方程 λ 2+ λ - 2 = 0 ，解得， λ = 1 或λ = -2 . 再由 A = 4 ，可知λ = 1, λ = λ = -2 ，所以规范形为 y 2 - y 2 - y 2 . 故答案选C.123123二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分． 29. lim(x + 2x) x= .x →02 2 x x lim ln(x +2 ) 【解析】lim(x + 2 ) x = e x →0 xx →02 x x + 2x -1 x其中lim ln(x + 2 ) = 2 l im = 2 lim(1+ 2 ln 2) = 2(1+ ln 2)x →0 x x →0 xx →02所以lim(x + 2x) x= e2+2ln 2= 4e 2x →0⎧x = t - sin t 310. 曲线 ⎨y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距 .【解析】d y= d x sin t 1- cos t 当t = 3 π 时， x = 3 π +1, y = 1, d y= -12 2 d x所以在t = 3 π 对应点处切线方程为 y = -x + 3π + 22 2所以切线在 y 轴上的截距为 3π + 22 y 2 ∂z ∂z11. 设函数 f (u ) 可导， z = yf ( x )，则2x ∂x + y ∂y= .∂z 【解析】 =' y 2- y 2= - y 3 ' y 2∂x yf ( )( x x 2) f ( ) x 2 x∂z = y 2' y 2 2 y y 2 2 y 2 ' y 2f ( ) + yf ∂y x ( )( x ) = f ( ) + x x xf ( )x∂z ∂z y 2 所以2x ∂x + y ∂y = yf ( x)12. 设函数 y = ln cos x (0 xπ) 的弧长为.66 ⎝ ⎭ ⎩πππ 1【解析】弧长 s =⎰61+ ( y ')2d x = ⎰61+ tan 2x d x = ⎰ 6d x0 cos x= ln |1 cos xπ+ tan x | = ln 0= 1 ln 3 2xsin t 2113. 已知函数 f (x ) = x⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x =.xsin t 211【解析】设 F (x ) =⎰1td t ，则⎰0 f (x )d x = ⎰0 xF (x )d x = 1 1 F (x )d x 2 = 1 [x 2F (x )] 1 - 11 x 2d F (x )2 ⎰22 ⎰0= - 1 ⎰1 x 2 F '(x )d x = - 1 ⎰1 x 2 sin x 2 d x2 0 2 0 x = - 1 1 x sin x 2d x = 1 cos x 21 = 1 (cos1-1)2 ⎰04 04⎛ 1 -1 0 0 ⎫ -2 1 -11 ⎪14. 已知矩阵 A =⎪ ， A 表示 | A | 中 (i , j ) 元的代数余子式， 则3 -2 2 -1⎪ ij0 0 3 4 ⎪A 11 - A 12 = .1 -1 0 0 1 0 0 0 -2 1-1 1-2 -1 -1 1【解析】 A 11 - A 12 =| A |= 3-2 2 -1 =3 1 2 -1 0 03 4 03 4-1 -1 1 -1 -1 1= 1 2 -1 = 0 1 0 = -4 0 3 4 0 3 4三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分 10 分）⎧⎪x 2 x , x > 0, 已知 f (x ) = ⎨⎪x e x +1, x 0, 求 f '(x ) ，并求 f (x ) 的极值.解: x > 0 时, f '(0) = (e2 x ln x)' = e 2 x ln x (2 ln x + 2) ;x < 0 时, f '(x ) = (x +1)e x ;3e xe + ⎩ ⎰ ⎰' f (x ) - f (0)e 2 x ln x -1又 f (0) = lim x →0+x - 0 = limx →0+x= lim 2x ln x = lim 2 l n x = -∞ ,x →0+xx →0+所以 f '(0) 不存在,因此'⎪⎧2x 2 x(1+ ln x ),x > 0,f (x ) = ⎨⎪(x +1)e x , x < 0. 令 f '(x ) = 0 ,得驻点 x = -1, x = 1;另外 f (x ) 还有一个不可导点 x = 0 ;1 3 e2又(-∞, -1) 为单调递减区间, (-1, 0) 为单调递增区间, (0, 1) 为单调递减区间, (1, +∞) 为单e e 1 1- 2 调递增区间;因此有极小值 f (-1) = 1- 和极小值 f ( ) = e e ,极大值 f (0) = 1.e e16、（本题满分 10 分） 3x + 6求不定积分(x -1)2(x 2+ x +1) d x .3x + 6232x +1解:⎰ (x -1)2(x 2+ x +1) d x = ⎰[- x -1 + (x -1)2+ x 2+ x + ]d x117、（本题满分 10 分）= -2 ln x -1 -3x -1+ ln(x 2 + x +1) + Cy = y (x ) 是微分方程 y ' - xy =x 2e 2 满足 y (1) = 的特解.（1） 求 y (x ) ；（2） 设平面区域 D = {(x , y }|1 x 2, 0 y y (x )} ，求 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积.x 2解(1) y (x ) = e ⎰x d x[ e ⎰- x d x⋅1e 2 d x + C ] 2x 2= e 2 (⎰ x 2 d x + C ) = e 2(+ C ) ;又由 y (0) = 得C = 0 ,最终有2 x 2 x x 1 1sin 2 θ 2⎰π⎰πn n1 1(2)所求体积y (x ) = x 2 x e 2.V = ⎰ π( x 2x e 2 )2 d x = π⎰2x e x 2 d x= π e x 2 2 1 = π (e 4- e) . 218、已知平面区域 D 满足 xy ,(x 2+ y 2 )3y 4，求 ⎰⎰x d y .解:由 x y 可知区域 D 关于 y 轴对称,在极坐标系中,π θ3π;将 x = r cos θ , y = r sin θ代入(x 2+ y 2 )3由奇偶对称性,有44y 4 得 r ;x + yyπsin 2 θr sin θ ⎰⎰D x d y = ⎰⎰x d y = 2 2 d θ 04r d r rππ 43 2 = 2 sin 5 θ d θ = - 2 (1- cos 2 θ )2 dcos θ =1204419、设n 为正整数，记 S 为曲线 y = e - xsin x (0求lim S . n →∞x n π) 与 x 轴所围图形的面积，求 S n ，并解:设在区间[k π,(k +1)π] (k = 0,1, 2,L , n -1) 上所围的面积记为u k ,则u k =(k +1) π e - x| sin x | d x = (-1)kk π(k +1) π e - xsin x d x ;k π记 I = ⎰e- xsin x d x ,则 I = -⎰e - x d cos x = -(e - x cos x - ⎰ cos x de - x )= -e - x cos x - ⎰e - x dsin x = -e - x cos x - (e - x sin x - ⎰sin x de - x ) = -e - x (cos x + sin x ) - I ,所以 I = - 1e - x(cos x + sin x ) + C ;2因此u k= (-1)k(-1 )e -k (cos x + sin x )2 (k +1) πk π= 1(e -(k +1) π + e -k π ) ; 2(这里需要注意cos k π = (-1)k)x 2+ y 2x 2 + y 2x 2+ y 2⎰π ⎰⎰2⎰xx x 1因此n -11n-k π1 e -π - e -(n +1) πS n = ∑u k = 2 + ∑e = 2 + 1- e -π ;k =0k =11 e -π - e -(n +1) π1e -π 1 1 lim S n = + lim -π= + -π = + π n →∞2 n →∞ 1- e2 1- e 2 e -120 、已知函数 u (x , y ) 满足 2 ∂2u ∂x 2∂2u 2 ∂y 2 + 3 ∂u ∂x + 3 ∂u∂y = 0 ，求 a , b 的值， 使得在变换u (x , y ) = v (x , y )e ax +by 下，上述等式可化为v (x , y ) 不含一阶偏导数的等式.解: ∂u = v 'e ax +by + va e ax +by ,∂x ∂2u =x ' ax +by' ax +by ' ax +by2 ax +by ∂x 2v xx e + v x a e + v x a e + va e= v ' eax +by + 2av 'e ax +by + a 2v e ax +by∂u'ax +by ax +by ∂2u' ax +by ' ax +by 2 ax +by同理,可得 ∂y = v y e + bv e , ∂y 2= v yye + 2bv y e + b v e ;将所求偏导数代入原方程,有eax +by[2v ' - 2v ' + (4a + 3)v ' + (3 - 4b )v ' + (2a 2 - 2b 2+ 3a + 3b )v ] = 0 , xx yy x y从而4a + 3 = 0, 3 - 4b = 0 ,因此a = - 3 , b = 3.4 4121、已知函数 f (x , y ) 在[0,1] 上具有二阶导数，且 f (0) = 0, f (1) = 1, ⎰f (x )d x = 1 ，证明：（1）存在ξ ∈(0,1) ，使得 f '(ξ ) = 0 ；（2）存在η ∈(0,1) ，使得 f ''(η) < -2 .证明:(1)由积分中值定理可知,存在c ∈(0,1) ,使得⎰f (x )d x = (1- 0) f (c ) ,即 f (c ) = 1 .因此 f (c ) = f (1) = 1,由罗尔定理知存在ξ ∈(c ,1)(⊂ (0,1)) ,使得 f '(ξ ) = 0 .(2)设 F (x ) = f (x ) + x 2,则有 F (0) = 0, F (c ) = 1+ c 2, F (1) = 2 ;由拉格朗日中值定理可得:存在η ∈(0, c ) ,使得 F '(η = F (c ) - F (0) =c 2 +11 1 ) c - 0 c ;存在η ∈(c ,1) ,使得 F '(η = F (1) - F (c ) = 1- c 2 = +2 2 ) 1- c 1- c1 c ;-⎝ ⎭⎝ ⎭对于函数 F '(x ) ,由拉格朗然中值定理同样可得,存在η ∈ (η1,η2 (⊂ (0,1)) ,使得c 2 +1 1'' F '(η ) - F '(η ) (c +1) - 1- cc F (η) = 2 1 = = < 0 ,η2 -η1 η2 -η1 η2 -η1即 f ''(η) + 2 < 0 ;结论得证.⎡1 ⎤ ⎡1⎤ ⎡ 1 ⎤22. 已知向量组（Ⅰ） α = ⎢1 ⎥，α = ⎢0⎥ , α = ⎢ 2 ⎥，1 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦2 ⎢ ⎥ ⎢⎣4⎥⎦3 ⎢ ⎥⎢⎣a 2+ 3⎥⎦⎡ 1 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ 1 ⎤（Ⅱ） β = ⎢ 1 ⎥ , β = ⎢ 2 ⎥ , β =⎢ 3 ⎥ , ，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，1 ⎢ ⎥2 ⎢⎥ 3 ⎢ ⎥ ⎢⎣a + 3⎦⎥ ⎣⎢1- a ⎦⎥ ⎢⎣a 2+ 3⎥⎦求a 的取值，并将β3 用α1 , α2 , α3 线性表示.【解析】令 A = (α , α , α ) , B = ( β , β , β ) ，所以， A = 1- a 2 ， B = 2(a 2-1) .123123因向量组 I 与 II 等价，故r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) ，对矩阵( A , B ) 作初等行变换.因为⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 0 1 ⎫ ( A , B ) =1 02 1 23 ⎪ → 0 -1 1 0 2 2 ⎪.⎪ ⎪ 4 4 a 2 + 3 a + 3 1- a a 2 + 3⎪ 0 0 a 2 -1 a -1 1- a a 2 -1⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭当 a = 1时，r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 2 ；当a = -1 时，r ( A ) = r (B ) = 2 ，但r ( A , B ) = 3 ； 当 a ≠ ±1时， r ( A ) = r (B ) = r ( A , B ) = 3 . 综上，只需a ≠ -1即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.⎛ 1 0 2 3 ⎫ ①当a = 1时，(α , α , α , β ) → 0 1 -1 -2 ⎪，故 β = x α + x α + x α 的等价方程1 2 3 3 ⎪ 0 0 0 0 ⎪ 3 1 1 2 2 3 3⎧ x 1 = 3 - 2x 3 , 组为 故 β = (3 - k )α + (-2 + k )α + k α （ k 为任意常数）； ⎨x = -2 + x . 3 1 2 3⎩ 23⎛ 1 0 0 1 ⎫ ②当a ≠ ±1时，(α , α , α , β ) →0 1 0 -1⎪ ，所以 β = α - α + α . 1 2 3 3 ⎪ 0 0 1 1 ⎪ 3 1 2 3⎩⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎡-2 -2 1 ⎤ ⎡2 1 0⎤ 23.已知矩阵 A = ⎢ 2 x -2⎥ 与B = ⎢0 -1 0⎥ 相似， ⎢ ⎥ ⎢ ⎥（Ⅰ）求 x , y ；⎢⎣ 0 0 -2⎥⎦ ⎢⎣0 0 y ⎥⎦（Ⅱ）求可逆矩阵P 使得P -1AP = B⎧⎪-2 + x - 2 = 2 -1+ y ,解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有⎨⎪ A = B ,又 A = -2(4 - 2x ) , B = -2 y ,所以 x = 3, y = -2 . (2)易知 B 的特征值为2, -1, -2 ;因此⎛ 2 1 0 ⎫ A - 2E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-1, 2, 0)T ,⎪1 0 0 0 ⎪ ⎛ 12 0 ⎫ A+ E ↓r↓→0 0 1 ⎪ ,取ξ = (-2,1, 0)T ,⎪2 0 0 0 ⎪ ⎛ 4 0 1 ⎫ A+ 2E ↓r↓→0 2 -1⎪ ,取ξ = (-1, 2, 4)T⎪ 0 0 0 ⎪3⎛ 2 0 0 ⎫ 令 P = (ξ ,ξ ,ξ ) ,则有 P -1AP = 0 -1 0 ⎪;1 123 1 1 ⎪ 0 0 -2⎝ ⎭⎛ 1 -1 0 ⎫ ⎛ 2 0 0 ⎫ 同理可得,对于矩阵 B ,有矩阵 P = 0 3 0 ⎪ , P -1BP = 0 -1 0 ⎪ ,所以2 ⎪ 2 2 ⎪ 0 0 1 ⎪ 0 0 -2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ P -1 AP = P -1BP ,即 B = P P -1 APP -1 ,所以11222 11 2⎛ -1 -1-1⎫ P = PP-1 =2 1 2 ⎪ . 1 2⎪ 0 0 4 ⎪。
2019考研数学一真题(含答案解析)
2019年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1.当0→x 时，若x x tan -是与kx 是同阶无穷小，则=k2.设函数,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则0x =是()f x 的3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1nn u n∞=∑ B.11(1)n n n u ∞=-∑ C.11(1n n n uu ∞=+-∑ D.2211()n n n uu ∞+=-∑（B ）的反例，取1n u n=-（C ）的反例，取1n u n =-，111n n u u n+-=-，对应的级数发散4.设函数2(,)xQ x y y=，如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)d (,)d 0CP x y x Q x y y +=⎰ ，那么函数(,)P x y 可取为（）A.23x y y - B.231x y y- C.11x y- D.1x y-【分析与解答】答案：D 为了满足条件，一需要函数在积分区域内没有暇点，此题主要指的是没有使得被积函数分母为0的点，注意到上半平面(0)y >时，x 可以取到0，即y 轴正半轴上的点，这些点会使得（C ）选项无意义，为（C ）选项的暇点，排除（C ）选项。
另外为了使闭环积分为0，需要满足(,)(,)Q x y P x y x y ∂∂=∂∂，容易算出2(,)1Q x y x y∂=∂，只有（D ）选项满足2(,)1P x y y y∂=∂5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是三阶单位矩阵，若E A A 22=+,且4=A ,则二次型Ax x T规范形为A.232221y y y ++ B.232221y y y -+ C.232221y y y -- D.232221y y y ---【分析与解答】答案：C22221,2λλλ+=⇒+=⇒=-A A E ，说明A 的特征值只能在1,2-中选择（这一点很重要，用化零多项式得到的特征值包含A 的所有特征值，有可能会多了假根，但绝对不会漏根），再由于所有特征值之积等于行列式，由于4=A ，可知矩阵A 的特征值必为1,2,2--，特征值两负一正，根据惯性定理，选（C ）。
(完整版)2019研究生数学考试数一真题
2019年考研数学—真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。
（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.（D ）4.（2）设函数(),0,ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n u n=∑B.()111mnn nu =-∑ C.111mn n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑D.()2211mn n n u u +=-∑ （4）设函数()2,xQ x y y=..如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0CP x y dx Q x y dy +=⎰Ñ，那么函数(),P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-. C.11x y-. D.1x y-. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3.阶单位矩阵。
若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++.B.222123y y y +- C.222123y y y --D.222123y y y ---（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A.()()2,3r A r A ==..........B.()()2,2r A r A == C.()()1,2r A r A ==..........D.()()1,1r A r A ==（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 ....A..()()()P A B P A P B =+U .........B.()()()P AB P A P B =.C.()()P AB P BA =..................D.()()P AB P AB =（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -< A.与μ无关，而与2σ有关..........B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,μσ都有关..................D.与2,μσ都无关.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =.......（11）幂级数()()012!nnn x n ∞=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥的上侧，则z=()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。