2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛小一及小二决
国际奥林匹克数学竞赛
国际奥林匹克数学竞赛国际数学奥林匹克竞赛，英文名：International Mathematical Olympiad，简称：IMO。
“数学奥林匹克”的名称源自苏联，其将体育竞赛、科学的发源地——古希腊和数学竞赛相互关联。
在20世纪上半叶，不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步形成了金字塔式的竞赛系统。
从各国的竞赛进一步发展，自然为形成最高一层的国际奥林匹克竞赛创造了必要的条件。
1994年，美国奥数队首次创下了IMO历史上全队6人满分的出色成绩。
[6]2022年7月15日，2022年第63届IMO最终成绩公布，中国队6名选手全部获得满分，中国队以252分的成绩获得团队总分第一名。
1956年罗马尼亚数学家罗曼教授提出了倡议，并于1959年7月在罗马尼亚举行了第一次国际奥林匹克数学（International Mathematical Olympiad 简称IMO），当时只有保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联参加。
以后每年举行（中间只在1980年断过一次），参加的国家和地区逐渐增多，参加这项赛事的代表队达80余支。
中国第一次参加国际数学奥林匹克是在1985年。
经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。
历届赛事编辑播报罗马尼亚的Brasov和布加勒斯特(1959)，7个国家参赛罗马尼亚Sinaia(1960)匈牙利Veszprem(1961)捷克斯洛伐克Ceske Budejovice(1962)波兰的华沙和Wroclaw(1963)苏联莫斯科(1964)东德柏林(1965)保加利亚索菲亚(1966)南斯拉夫Cetinje(1967)苏联莫斯科(1968)罗马尼亚布加勒斯特(1969)匈牙利Keszthely(1970)捷克斯洛伐克Zilina(1971)波兰Torun(1972)苏联莫斯科(1973)德意志民主共和国的Erfurt和东柏林(1974)保加利亚的Burgas和索菲亚(1975)奥地利Linz(1976)南斯拉夫贝尔格勒(1977)罗马尼亚布加勒斯特(1978)英国伦敦(1979)美国华盛顿(1981)匈牙利布达佩斯(1982)法国巴黎(1983)捷克斯洛伐克布拉格(1984)芬兰Joutsa(1985)波兰华沙(1986)古巴哈瓦那(1987)澳洲坎培拉(1988)西德Brunswick(1989)中国北京市(1990)，54个国家参赛瑞典Sigtuna(1991年7月12-23日)，55个国家参赛俄罗斯莫斯科(1992年7月10-21日)，56个国家参赛土耳其伊斯坦堡(1993年7月13-24日)，73个国家参赛中国香港特别行政区(1994年7月8-20日)，69个国家参赛加拿大多伦多(1995年7月13-25日)，73个国家参赛印度孟买(1996年7月5-17日)，75个国家参赛阿根廷马德普拉塔(1997年7月18-31日)，82个国家参赛中国台湾省台北市(1998年7月10-21日)，76个国家参赛罗马尼亚布加勒斯特(1999年7月10-22日)，81个国家参赛大韩民国大田(2000年7月13-25日)，82个国家参赛美国华盛顿(2001年7月1-14日)，83个国家参赛英国格拉斯哥，84个国家参赛(2002年7月19-30日)日本东京(2003年7-19日)，82个国家参赛希腊雅典(2004年6-18日)，85个国家参赛墨西哥坎昆(2005年7月8-19日)，98个国家参赛斯洛文尼亚卢布尔雅那(2006)越南(2007)西班牙(2008)德国不莱梅(2009)哈萨克斯坦首都阿斯塔纳（2010），95个国家的522名选手参赛荷兰阿姆斯特丹（2011）阿根廷马德普拉塔（2012）哥伦比亚圣玛塔（2013）南非开普敦（2014）泰国清迈（2015）中国香港（2016）巴西里约热内卢（2017）罗马尼亚克鲁日纳波卡（2018）英国巴斯（2019）挪威奥斯陆（2022）历届冠军编辑播报(1977-2019)[1]1977:美国1982:西德1983:西德1987:罗马尼亚1988:苏联1989:中国1990:中国1991:苏联1992:中国1993:中国1995:中国1996:罗马尼亚1997:中国1998:伊朗1999:中国/俄罗斯2000:中国2001:中国2002:中国2003:保加利亚2004:中国2005:中国2006:中国2007:俄罗斯2008:中国2009:中国2010:中国2011:中国2012:韩国2013:中国2014:中国2015:美国2016:美国2017:韩国2018:美国2019:中国[2]/美国2020:中国[3] 2022中国。
2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析
2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析一、前言2018年协作体数学奥林匹克夏令营，作为一项具有挑战性和深度的数学活动，吸引着全国各地优秀的数学爱好者参与。
其中，o水平解析作为该夏令营的重要内容之一，具有一定的难度和复杂性。
本文将深入剖析2018年协作体数学奥林匹克夏令营o水平解析的相关内容，帮助读者更加全面、深刻和灵活地理解这一主题。
二、o水平解析的基本概念o水平解析是指在数学奥林匹克竞赛中，对o水平题目进行深入剖析，探讨解题思路和方法，以及解题过程中可能遇到的困难和技巧。
这需要对数学知识有着深厚的理解和灵活的运用，同时也需要具备较强的逻辑思维能力和解决问题的能力。
在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析更是成为了参与者们深入思考和探讨的热点之一。
我们将对该夏令营中的o水平解析进行全面评估，并撰写一篇有价值的文章，帮助读者更好地理解这一主题。
三、解析题目和思路在2018年协作体数学奥林匹克夏令营中，o水平解析的题目主要涉及到数论、代数、几何等多个领域。
我们先从数论领域的题目入手，逐步深入探讨其中的解题思路和方法。
1. 数论题目解析题目：已知整数序列$${a_n}$$满足$$a_1 = 1$$，$$a_2 = 2$$，且$$a_{n+2} = a_{n+1} + \dfrac{(-1)^n}{a_n}$$，证明：对于任意的正整数$$n$$，$$a_n$$都是正整数。
解析思路：首先我们可以递归地计算出数列$$a_n$$的前几项，观察规律。
可以假设$$a_k$$是正整数，再来证明$$a_{k+1}$$也是正整数。
通过数学归纳法证明，最终得出结论。
2. 代数题目解析题目：设$$a,b,c$$是非负实数，且$$a+b+c=1$$，求证：$$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc \leq 1$$。
解析思路：这是一个典型的不等式证明题，可以通过各种方法进行证明，如洛必达法则、绝对值法、柯西不等式等。
2018中国数学奥林匹克希望联盟夏令营(二)
丄 /2/(27^-2/) v 1
=4V
2
T'
当且仅当a2 =¥，沪"2=警时，上式
等号成立.
5-?-
如图4.
由题意，不妨设
正四面体的高为/i,
PF = BE=x,
PE = FC = y.
则棱长为x +y.
B
于是，在/XPEF中，
图4
x2 + y2 - = 3 ；
在 /\ PAF 中,x2 +y2 +xy =4.
000,恰有一
家航空公司开通一条由城市q到q的单向 航线•求最大的正整数",使得某旅客总能选
择其中一家航空公司，并乘坐其航班完成一
次从某城市出发，途中(不含出发城与到达
城)依次经过n-1座城市，最终到达第n座
城市的航程.
参考答案
第一试
一、1.(3 挖,6但］. 由,8o = a + 6, + 一a1 + —9b
则ax + by的取值范围是_____.
2. 设向量a、b、c 满足lal= IZ>I= 1 ,a-b =y,
向量Q-c与c-b的夹角为扌.贝Ijlcl的最大
值为_____ • 3. 在平面直角坐标系％Oy中，两圆均经
过点（1,1），且与直线y = jx及％轴均相切.
则该两圆的半径之和为_____ .
由以上两式得x+y=^,xy = j.
则 S&ef = *ysin y = y,
h = (x + 故V三棱锥A - PEF =亍X £ %存=g •
6.3. 由题意，知
中等数学
+ b 1.
由 x E [ 1,2 r],知 - /=%+丄1 € 2’孕.
2018第十五届国际数学竞赛台湾区初赛-IMC国际数学竞赛
2018第十五屆國際數學競賽 台灣區初賽2018 Fifteenth International Mathematics Primary Contest(Taiwan)高中二年級組請將答案寫在答案卷上一、選擇題 (每題10分，共250分)( )1.設x 為正整數，將x 的整數部分以)(x f 表示，則)300(....)2()1(f f f +++最接近下列何數？(Ａ) 2500(Ｂ) 3000(Ｃ) 3500(Ｄ) 4000。
解析：1，2，3的整數部分為1，共3個 4，5，6，7，8的整數部分為2，共5個9，10，11，12，13，14，15的整數部分為3，共7個 ∴整數部分為k 的數字各有2k ＋1個 300≈17.……，整數部分為17∴289，290，……，300的整數部分為17，共12個 ∴f （1）＋f （2）＋……＋f （300） ＝∑=161k k （2k ＋1）＋12×17＝2〃6331716⨯⨯＋21716⨯＋204＝3332 選(C)。
( )2. 設實數x ，y 滿足x 2－xy ＋y 2－2x ＝0，若y 的最佳範圍為a ≦y ≦b ，則 3a ＋2b 之值為(Ａ)0 (Ｂ)1 (Ｃ)2 (Ｄ)3 。
解析：x 2－（y ＋2）x ＋y 2＝0因為 x ∈R ，所以 D ＝（y ＋2）2－4y 2≧0 ⇒ 3y 2－4y －4≦0⇒（y －2）（3y ＋2）≦0 ⇒－32≦y ≦2 故3a ＋2b ＝3×32－＋2×2＝－2＋4＝2，故選(Ｃ) ( )3.若[x]表小於或等於x 的最大整數，則[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋……＋[log 21024]＝？ (Ａ)8192 (Ｂ)8204 (Ｃ)9218 (D)以上皆非。
解析：[log 2N]＝⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧10109322210229222221＝，當＜≦，當＜≦，當＜≦，當N N N NC C B[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋……＋[log 21024] ＝1〃（22－2）＋2〃（23－22）＋3〃（24－23）＋……＋9〃（210－29）＋10 ＝9〃210－（29＋28＋……＋2）＋10 ＝9〃210－（210－2）＋10＝8〃210＋12 ＝8×1024＋12＝8204，選B 。
2018年欧洲女子数学奥林匹克第二天
Thursday,April 12,2018Problem 4.A domino is a 1×2or 2×1tile.Let n ≥3be an integer.Dominoes are placed on an n ×n board in such a way that each domino covers exactly two cells of the board,and dominoes do not overlap.The value of a row or column is the number of dominoes that cover at least one cell of this row or column.The configuration is called balanced if there exists some k ≥1such that each row and each column has a value of k .Prove that a balanced configuration exists for every n ≥3,and find the minimum number of dominoes needed in such a configuration.Problem 5.Let Γbe the circumcircle of triangle ABC .A circle Ωis tangent to the line segment AB and is tangent to Γat a point lying on the same side of the line AB as C .The angle bisector of ∠BCA intersects Ωat two different points P and Q .Prove that ∠ABP =∠QBC .Problem 6.(a)Prove that for every real number t such that 0<t <12there exists a positive integer n with the following property:for every set S of n positive integers there exist two different elements x andy of S ,and a non-negative integer m (i.e.m ≥0),such that|x −my |≤ty.(b)Determine whether for every real number t such that 0<t <12there exists an infinite set S of positive integers such that|x −my |>ty for every pair of different elements x and y of S and every positive integer m (i.e.m >0).Language:English Time:4hours and 30minutes Each problem is worth 7points Language:English Day:2。
第34届中国数学奥林匹克试题(2018年)
第三十四届中国数学奥林匹克成都
第一天
1. 对全体满足a, b, c, d, e≥−1且a + b + c + d + e = 5 的实数. 求
S = (a + b)(b + c)(c + d)(d + e)(e + a)
的最大值和最小值.
2. 若正整数a,b,c是一个直角三角形的三边长，则称三元集合{a,b,c}为勾股三元组. 求证：对任意勾股三元组P,Q，存在正整数m≥2勾股三元组P1,P2,··· ,P m使得P = P1, Q = P m且∀ 1≤i ≤m−1,P1∩P i+1≠∅.
3. △ABC中，AB < AC, O为外心，D是∠BAC平分线上一点，E在BC上，满足OE∥AD, DE ⊥BC，在射线EB去取点K满足EK = EA，△AKD外接圆与BC交于另一点P≠D，△ADK外接圆与△ABC外接圆交于另一点Q≠A. 求证：PQ与△ABC外接圆相切.
第二天
4. 给定一个长轴与短轴不等长的的椭圆.
（1）证明：其面积最小的外切的菱形是唯一的；
（2）写出用尺规作图作出这个菱形的过程.
5. 给定一个n×n的方格表，每个格子中填入一个整数，每次操作选择一个方格，将其同行、同列的2n−1个数都加1. 求最小的N(n)，使得无论开始时方格表内数填的是多少，均可以通过有限次操作使得方格表内至少有N(n)个偶数.
6. 设点P1,P2,…,P2018放在给定正五边形的内部或边界上. 求所有的放置方法使得
取到最大值.。
高三数学-2018年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前
测试题E学校： 姓名： 营员证号：一、 设11 n n a b b c c ，，，，，，是实数，使得： 2212222111()()n n n n n x ax ax ax x b x c x b x c --+++++=++++对任意的实数x 成立，求12,,n c c c 的值。
二、 证明下面的不等式对任意自然数n 成立：154ni n =<å其中[x ]表示不超过x 的最大整数三、 在一个九人小班中。
已知没有4个人是相互认识的。
求证：这个小班能分成4个小组,使得在每个小组的人是互不认识的。
四、 设122005122005,,, ,a a a b b b 是实数使得()()200521(), {1,2,,2005}i i jj j j i a x b a xb i =¹-??å对任意实数x 成立。
问122005122005,,, ,a a a b b b 中,最多能有多少个正实数？测试题E 解答学校： 姓名： 营员证号：五、 设11 n n a b b c c ，，，，，，是实数，使得： 2212222111()()n n n n n x ax ax ax x b x c x b x c --+++++=++++对任意的实数x 成立，求12,,n c c c 的值。
解：令()2211n n p z z az az -=++++，则多项式()p z 在上半单位圆周上至少有1n -个复根.事实上，若()p z =，即()()2211,nn z z a z z+--=-记2z w =则()()()()()4222142212111nnn nn n w w w w w w a w ww w -----+-+--==--，取cos sin i w e i θθθ==+，则222cos 2n n w w n θ-+=，12sin w w i θ--=，()()21212sin 21n n w wi n θ----=-，因此()2cos 2sin sin 21n a n θθθ-==-()()sin 211sin 21n n θθ+--，只须说明，对每个实数a ，关于θ的方程()()()()sin 211sin 210f n a n θθθ=++--=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭中至少有1n -个解.这是由于，若1a =，则当 21k k n πθ=+，1,2,,,k n = 有()0k f θ=；若1a ≠，对于21k k n πθ=+，1,2,,,k n =注意()()121k k n k πθπ-<-<，因此()()11sin 210k k n θ--->，从而()()10k k f f θθ+<，即()0f θ=在()1,k k θθ+上至少有一个解.因此()0p z =在()0,π上至少有1n -个根.回到本题，设()0p z =在上半单位圆周上的1n -个根为121,,,n z z z -，则其共轭复数121,,,n z z z -也是它的根，因此 2k k x b x c ++=()()k k x z x z --，由此得 1k k k c z z =⋅=，1,2,,1k n =-，又因 121n c c c =，故1n c =.即有121n c c c ====.六、证明下面的不等式对任意自然数n成立：15 4nin =<∑其中[]x表示不超过x的最大整数。
2018年世界各地数学竞赛试题汇集(PDF版)
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Olga和Sasha在一个无限六边形网格上玩游戏. 他们轮流选择一个空的六边形,并在其上放置一张骨牌, 由Olga先行. 恰在第2018张骨牌放置之前, 一条新规则开始起效: 从此时起, 只能在和至少两个已被放置骨牌的六边形相邻的空六边形上放置骨牌. 如果一个玩家无法继续放置骨牌, 或者放置骨牌后会出现呈菱形分布的四个相邻六边形均被放置骨牌的情况(如图所示, 但方向可以不同), 则判该玩家输. 确定是否某个玩家有获胜策略; 如果有, 赢家是谁?10. 将整数1, 2, …, n写在n张卡片上, 每张上写一个不同的数. 首先, 由玩家1取走一张卡片. 接下来, 玩家2取走写有连续正整数的两张卡片. 然后, 再由玩家1取走写有连续正整数的三张卡片. 最后, 由玩家2取走写有连续正整数的四张卡片. 求最小的n, 使得玩家2能确保完成他的两次取卡片的操作. 11. 给定一圆w及圆上依A, B, C, D顺序排列的四点, 且AD为圆w的直径. 假设AB = BC = a , CD = c , 其中a 和c 为互质正整数. 证明: 如果圆w 的直径长d 也是正整数, 则d 及2d 中必有一个完全平方数.12. 锐角△ABC 的高BB 1, CC 1相交于点H . 点B 2, C 2分别位于线段BH , CH 上, 且BB 2 = B 1H , CC 2 = C 1H . △B 2HC 2的外接圆与△ABC 的外接圆相交于点D 和E . 证明: △DEH 为直角三角形.13. 在△ABC 中, ∠A 的内角平分线与直线BC 交于点D , 与△ABC 的外接圆交于点E . 设K , L , M , N 分别为线段AB , BD , CD , AC 的中点. 点P , Q 分别为△EKL , △EMN 的外心. 证明: ∠PEQ = ∠BAC .14. 设四边形ABCD 有内切圆w . 令圆w 与AC 的交点中较靠近点A 的那个为E . 设F 为E 关于圆w 的对径点. 经点F 作圆w 的切线, 分别交直线AB , BC 于A 1, C 1, 并与直线AD , CD 分别交于A 2, C 2. 证明: A 1C 1 = A 2C 2.15. 考虑平面内相离的两个圆. 分别选取两个圆的直径A 1B 1和A 2B 2, 使得线段A 1A 2与B 1B 2相交于点C . 设A 1A 2, B 1B 2的中点分别为A , B . 证明: 不管如何选取直径A 1B 1和A 2B 2, △ABC 的垂心总位于一条直线上.16. 设p 为奇质数. 求所有的正整数n , 使得np n -2为正整数.17. 证明: 对所有满足q p >11的正整数p , q , 不等式pqq p 2111>-成立. 18. 设整数n ≥ 3满足4n + 1为质数. 证明: 4n + 1整除12-n n .19. 设无限正整数集合B 满足以下条件: 对任意的a , b ∈ B 且a > b , 有),gcd(b a b a - ∈ B . 证明: B 是由所有正整数构成的集合.20. 求所有的正整数(a , b , c ), 使得ba c a cbc b a 444)()()(+++++为整数, 且a + b + c 为质数.2018年第10届Benelux 数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年4月28日1. a) 设x , y 为正实数. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+201811201811x y x y y x y x 的最小值. b) 设x , y 为正实数. 求⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+201811201811x y x y y x y x 的最小值. 2. 在七星岛上, 共使用4种不同的硬币和3种不同的纸币, 它们的面额分别为7个不同的正整数, 且最小额纸币的面额大于4种不同硬币的面额之和. 一位游客恰好有不同面额的硬币各1枚及不同面额的纸币各1张, 但是这些钱的总额不够支付他想购买的一本关于钱币学的书. 幸运的是, 爱好数学的书店老板同意将此书按这位游客所提出的价格卖给他, 但前提是该游客可以用超过一种方式支付此价格.(游客可以用超过一种方式支付某价格, 指的是在由他的硬币与纸币构成的集合中, 存在两个不同的子集, 每个子集里钱的面额之和均等于该价格.) a) 证明: 如果每张纸币的面额均小于49, 则该游客能够购买到这本书. b) 证明: 如果最大额纸币的面额等于49, 则该游客有可能空手而归.3. 设H 为三角形ABC 的垂心, D , E , F 分别为AB , AC , AH 的中点. 点B , C 关于点F 的对称点分别为P , Q .a) 证明: 直线PE 和QD 的交点位于三角形ABC 的外接圆上.b) 证明: 直线PD 和QE 的交点位于AH 上.4. 我们称一个恰有s 个正因数1 = d 1 < d 2 < … < d s = n 的正整数n > 2为"好"的, 如果存在整数2 ≤ k ≤ s , 满足d k > 1 + d 1 + … + d k –1.如果一个整数n > 2不是"好"的, 则称之为"坏"的.a) 证明: 存在无穷多个"坏"的整数.b) 证明: 在均大于2的任意7个连续整数中, 至少有4个整数为"好"的. c) 证明: 存在无穷多个由连续7个整数构成的序列, 其中每个序列里的数都是"好"的.2018年巴尔干地区数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年5月9日1. 凸四边形ABCD内接于圆k, 其中AB > CD, 且AB不平行于CD. 点M为对角线AC与BD的交点, 自M作AB的垂线, 与AB相交于点E.如果EM平分 CED, 证明: AB为圆k的一条直径.2. 设q为正有理数. 两只蚂蚁最初均位于平面上的同一点X处. 在第n分钟(n = 1, 2, …), 每只蚂蚁各自在北, 东, 南, 西四个方向中选择一个方向, 并沿此方向移动q n米. 经过整数个分钟后, 它们再次位于平面上的同一点处(不一定是点X), 但是在此时间段内它们的移动路径并不完全相同.求q所有可能的取值.3. Alice和Bob一起玩如下的移硬币游戏. 他们从两堆均非空的硬币开始, 首先由Alice开始, 轮流进行以下操作: 该轮玩家选择数目为偶数的一堆硬币, 将该堆的一半硬币移到另一堆里. 如果某位玩家无法进行上述操作, 则游戏结束, 并判对方获胜.求所有的正整数对(a, b), 使得如果最初两堆分别有a和b枚硬币, 则Bob有获胜策略.4. 求所有的素数对(p, q), 使得3p q–1 + 1整除11p + 17p.2018年巴尔干地区初中数学奥林匹克(JBMO)试题比赛时间: 2018年6月21日1. 求满足方程m 5 – n 5 = 16mn 的所有整数(m , n ).2. 设有n 个三位正整数同时满足以下条件:i) 每个数均不含数字0;ii) 每个数的数字和为9;iii) 任意两个数的个位数均不同;iv) 任意两个数的十位数均不同;v) 任意两个数的百位数均不同.求n 的最大可能值.3. 设k > 1为正整数, n > 2018为正奇数. 不全相等的非零有理数x 1, x 2, …, x n 满足如下关系式:11433221...x k x x k x x k x x k x x k x n n n +=+==+=+=+-. i) 求乘积n x x x ⋅⋅⋅...21(用关于k 和n 的函数表示).ii) 求最小的k , 使得存在满足所给条件的n , x 1, x 2, …, x n .4. 设A', B', C'分别为△ABC 的顶点A , B , C 关于对边的对称点. △ABB'的外接圆交△ACC'的外接圆于A 1 (A 1 ≠ A ). 类似定义点B 1和C 1. 证明: AA 1, BB 1, CC 1三线共点.2018年高加索地区数学奥林匹克试题初级组第1天(2018年3月16日)1. 设a, b, c为不全为0的实数. 证明: a + b + c = 0的充分必要条件为a2 + ab + b2 = b2 + bc + c2 = c2 + ca + a2.2. 在8 ⨯ 8国际象棋棋盘上, 放置了n > 6只马, 使得对其中任意6只马, 均存在2只马可以互相攻击. 求n的最大可能值.3. 正整数a, b, c满足条件: a b整除b c, a c整除c b. 证明: a2整除bc.4. 我们定义四边形的重心为连接对边中点的两条直线的交点. 设六边形ABCDEF内接于以O为圆心的圆Ω, 且AB = DE, BC = EF. 令X, Y, Z分别为四边形ABDE, BCEF, CDFA的重心. 证明: O为△XYZ的垂心.第2天(2017年3月17日)5. Munсhausen男爵发现了如下"定理": 对任意正整数a和b, 总存在正整数n, 使得an为完全平方数, 而bn为完全立方数. 请确定该男爵的"定理"是否正确.6. 凸四边形ABCD中, ∠BCD = 90o, E为AB的中点. 证明: 2EC≤AD + BD.7. 给定正整数n > 1. 考虑一个n⨯n棋盘. 最初棋盘上没有玻璃球, 按照以下规则逐个地往棋格里放入玻璃球: 如果一个空棋格与至少2个空棋格相邻(指有一公共边), 则该棋格内可以放入一个玻璃球. 问在此规则下, 棋盘内最多可以放入多少个玻璃球?8. 设a, b, c为一个三角形的三边长. 证明:2)()()()(2cbacaacbccbabba++≥+++++.高级组第1天(2018年3月16日)1. 给定一个四面体. 是否能够将10个连续正整数分别放置在该四面体的四个顶点及六条棱的中点上, 使得每条棱中点上的数等于该棱两端点上的数的算术平均值?2. 设I为锐角△ABC的内心. 点P, Q, R分别在边AB, BC, CA上, 满足AP = AR, BP = BQ, ∠PIQ = ∠BAC. 证明: QR⊥AC.3. 我们称2n个正整数的一个匹配(即分成n对)为"非平方"的, 如果每一对中的2个数之积均不是完全平方数. 证明: 如果存在一个"非平方"匹配, 则至少存在n!个"非平方"匹配.4. Morteza在n⨯n棋盘的每一个棋格内放置一个[0, 1] → [0, 1]的函数(即定义域为[0, 1], 值域为[0, 1]的函数). Pavel计划在棋盘每一行的左边及每一列的下边分别放置一个[0, 1] → [0, 1]的函数(共放置2n个函数), 使得棋盘的每一格均满足以下条件:如果h为该棋格内的函数, f为该棋格所在列下边的函数, g为该棋格所在行左边的函数, 则h(x) = f(g(x))对所有的x∈ [0, 1]成立.证明: Pavel总是可以实现他的计划.第2天(2018年3月17日)5. Munсhausen男爵发现了如下"定理": 对任意正整数a和b, 总存在正整数n, 使得an为完全立方数, 而bn为完全五次方数. 请确定该男爵的"定理"是否正确.6. 在坐标平面内, 两个二次多项式的图像G1, G2的交点为A, B. 设O为G1的顶点. 直线OA, OB分别与G2再次相交于点C, D. 证明: CD平行于x轴.7. 锐角△ABC中, 经过顶点A, B, C的高分别交对边于A1, B1, C1, 并分别交△ABC的外接圆于A2, B2, C2. 直线A1C1分别交△AC1C2, △CA1A2的外接圆于点P, Q (P≠C1, Q≠A1). 证明: △PQB1的外接圆与AC相切.8. 考虑一个8 ⨯8棋盘. 最初棋盘上没有玻璃球, 按照以下规则逐个地往棋格里放入玻璃球: 如果一个空棋格与至少3个空棋格相邻(指有一公共边), 则该棋格内可以放入一个玻璃球. 问在此规则下, 棋盘内最多可以放入多少个玻璃球?2018年中美洲及加勒比地区数学奥林匹克试题第1天1. 在2018张卡片上分别标记数1, 2, …, 2018, 每张卡片上标记一个数. 卡片上的数始终可见. Tito 和Pepe 一起玩游戏. 由Tito 首先开始, 他们轮流选取一张卡片, 已选过的卡片不能再选, 直到所有卡片均被选取. 然后, 每个人计算自己选取卡片上所标记数的和, 判和为偶数者获胜. 确定谁有获胜策略, 并描述该策略.2. △ABC 的外接圆为w , 外心为O . 设T 为C 关于点O 的对称点, T'为T 关于直线AB 的对称点. 直线BT'与圆w 再次相交于点R . 过O 作CT 的垂线, 交直线AC 于点L . 直线TR 与AC 相交于点N . 证明: CN = 2AL .3. 设x , y 为实数, 使得x – y , x 2 – y 2, x 3 – y 3均为素数. 证明: x – y = 3.第2天4. 求所有的3元正整数组(p , q , r ), 其中p , q 为素数, 满足215222=--p q r . 5. 设1 < n < 2018为正整数. 对i = 1, 2, …, n , 定义多项式S i (x ) = x 2 – 2018x + l i , 其中l 1, l 2, …, l n 为互不相同的正整数. 证明: 如果多项式S 1(x ) + S 2(x ) + … + S n (x )至少有一个整数根, 则l 1, l 2, …, l n 中至少有一个数不小于2018.6. 2018对夫妻参加在哈瓦那举行的一场舞会. 舞会中, 将一个圆周上2018个互异的点分别标记为0, 1, …, 2017, 每一对夫妻位于一个点上(不同夫妻位于不同的点). 对整数i ≥ 1, 令s i ≡ i (mod 2018), r i ≡ 2i (mod 2018). 舞会从第0分钟开始, 在第i 分钟, 位于点s i 的夫妻(如果存在的话)移至点r i , 而位于点r i 的夫妻(如果存在的话)则退场, 舞会由剩下的夫妻继续进行. 在20182分钟后, 舞会结束. 请确定舞会结束时还剩下多少对夫妻在场上注: 如果r i = s i , 则位于点s i 的夫妻留在原位, 不退场.2018年Cono Sur 数学奥林匹克试题第1天1. 设ABCD 为凸四边形, 点R , S 分别位于边DC , AB 上, 且满足AD = RC , BC = SA . 点P , Q , M 分别是RD , BS , CA 的中点. 设∠MPC + ∠MQA = 90o . 证明: ABCD 为圆内接四边形.2. 证明: 每一个正整数都可以表示成3, 4和7的若干幂的和, 其中同一个数不允许重复出现相同的幂次.例如: 2 = 70 + 70和22 = 32 + 32 + 41就是不允许出现的表示方式; 但是, 2= 30 + 70和22 = 32 + 30 + 41 + 40 + 71则是允许出现的表示方式.3. 考虑乘积P n = 1!⋅2!⋅3!⋅…⋅n !.i) 求所有的正整数m , 使得!2020m P 为完全平方数. ii) 证明: 存在无穷多个正整数n , 使得至少对2个正整数m ,!m P n 为完全平方数.第2天4. 对每一个正整整n ≥ 4, 考虑{1, 2, …, n }的m 个子集A 1, A 2, …, A m , 使得A 1恰含1个元素, A 2恰含2个元素, …, A m 恰含m 个元素; 且这些子集中没有一个子集是另一个子集的子集. 求m 可能取的最大值.5. 锐角△ABC 中, ∠BAC = 60o , I 为内心, O 为外心. 设H 为O 在△BOC 外接圆上的对径点. 证明: IH = BI + IC .6. 称正整数序列a 1, a 2, …, a n 为"好"的, 如果对所有的正整数n , 以下两个条件同时成立:i) n n a a a a a ...321!=.ii) a n 为某个正整数的n 次幂.求所有"好"的序列.2018年捷克-波兰-斯洛伐克联合数学竞赛试题第1天 (2018年6月25日)1. 求所有的函数f : R → R , 使得对所有的实数x , y , 成立等式:)()()()()(2y x xf x yf y f x f xy x f +++=+.2. 设△ABC 为锐角非等边三角形. 点D , E 分别在边AB , AC 上, 满足BD = CE . 设O 1, O 2分别为△ABE , △ACD 的外心. 证明: △ABC , △ADE 及△AO 1O 2的外接圆有一个异于点A 的公共点.3. 2018个玩家围桌而坐. 在游戏开始时, 我们将一摞共K 张牌任意地分发给玩家(有些玩家可能没有得到牌). 定义一轮操作如下: 如果一名玩家的左右邻居的牌数均非零, 则选他为这一轮的幸运玩家(如果有多名玩家符合条件, 则由我们任意选取一个), 让他从左右邻居那儿各拿一张牌给自己. 如果找不出这样的玩家, 则游戏结束. 求K 的最大可能值, 使得无论我们如何发牌及如何挑选幸运玩家, 该游戏总能在有限轮次后结束.第2天 (2018年6月26日)4. 设锐角△ABC 的周长为2s . 分别以A , B , C 为圆心, 作3个两两之间无公共内点的圆(不包括边界). 证明: 存在一个半径为s 的圆, 将上述三个圆同时覆盖.5. 在一个2 ⨯ 3矩形的内部, 有一个长度为36的折线(允许折线自交). 证明: 存在一条平行于矩形两边的直线, 与矩形的另两条边的内部相交, 且与折线的交点数少于10个.6. 我们称正整数n 为"奇妙"的, 如果存在正有理数a 和b , 使得bb a a n 11+++=. a) 证明: 存在无穷多个质数p , 使得p 的倍数均不是"奇妙"的.b) 证明: 存在无穷多个质数p , 使得p 的某个倍数是"奇妙"的.2018年捷克和斯洛伐克数学奥林匹克试题第1天1. 在一群人中, 存在一些两人对, 这两人相互为朋友. 对正整数k ≥ 3, 我们称该群人为"k -佳"的, 如果该群人中每k 个人(不计顺序)组成的一组人都可以围桌而坐, 使得每个人的邻座均为其朋友. 证明: 如果一群人是"6-佳"的, 则该群人必是"7-佳"的.2. 设x , y , z 为实数, 且数|2|12yz x +, |2|12zx y +, |2|12xy z +构成一非退化三角形的三边长. 求xy + yz + zx 的所有可能值.3. 三角形ABC 中, 点D 为∠A 内角平分线与边BC 的交点. 点E , F 分别是三角形ABD , ACD 的外心. 设三角形AEF 的外心位于直线BC 上. 求∠BAC 的所有可能值.第2天4. 设整数a , b , c 为某一三角形的三边长, 满足gcd(a , b , c ) = 1, 且c b a c b a -+-+222, a c b a c b -+-+222, ba cb ac -+-+222的值也均为整数. 证明: (a + b – c )(b + c – a )(c + a – b )和2(a + b – c )(b + c – a )(c + a – b )中, 至少有一个为完全平方数.5. 设ABCD 为等腰梯形, AB 为较长的底边. 令I △ABC 的内心, J 为△ACD 对应于顶点C 的旁心. 证明: IJ // AB .6. 求具有下述性质的最小正整数n : 无论用三种颜色对整数1, 2, …, n 如何染色(每个数染三种颜色之一), 从中总能够找到互异的两个数a , b , 它们染有相同的颜色, 并且|a – b |为完全平方数.2018年多瑙河地区数学奥林匹克试题比赛时间: 2018年10月27日初级组1. 求所有同时满足以下条件的正整数对(n , m ):i) n 是合数;ii) 如果d 1, d 2, …, d k (k ∈ Z +)为n 的所有真因数, 则d 1 + 1, d 2 + 1, …, d k + 1为m 的所有真因数.2. 设在△ABC 内部存在一点D , 使得∠DAC = ∠DCA = 30o , ∠DBA = 60o . E 为BC 的中点. 点F 位于线段AC 上, 且AF = 2FC . 证明: DE ⊥EF .3. 求所有具有下述性质的正整数n : 存在正整数k ≥ 2及正有理数a 1, a 2, …, a k , 使得a 1 + a 2 + … + a k = a 1a 2…a k = n 成立.4. 设M 为由全体正奇数构成的集合. 对每一个正整数n , 定义A (n )为满足元素和为n 的M 的子集的个数. 例如, A (9) = 2, 因为恰有M 的两个子集满足其元素和为9, 分别是{9}, {1, 3, 5}.a) 证明: 对每一个正整数n ≥ 2, A (n ) ≤ A (n + 1).b) 求满足A (n ) = A (n + 1)的所有正整数n ≥ 2.高级组1. 假设我们有一个由n 颗珍珠构成的项链. 在每一颗珍珠上标记一个整数, 使得所有珍珠上的数之和为n – 1. 证明: 我们可以将此项链从某处切断, 形成一根所标记整数依次为x 1, x 2, …, x n 的珍珠链, 满足11-≤∑=k x ki i 对所有k = 1, 2, …,n 成立.2. 证明: 存在无穷多组正整数(m , n )同时满足以下条件: m 整除n 2 + 1, n 整除m 2 + 1.3. 设△ABC 为非等腰锐角三角形. ∠A 的内角平分线与△ABC 的外接圆再次相交于点D . 设O 为△ABC 的外心. ∠AOB , ∠AOC 的角平分线分别与以AD 为直径的圆γ相交于点P , Q . 直线PQ 与AD 的垂直平分线相交于点R . 证明: AR // BC .4. 设n≥ 3为奇数. 将n⨯n方格纸的每一单元格都染为红色或蓝色之一. 称两个单元格为"相邻"的, 如果它们同色且至少有一个公共顶点. 称两个单元格a, b 为"连通"的, 如果存在若干个单元格c1, c2, …, c k, 满足c1 = a, c k = b, 且对每一个i = 1, 2, …, k – 1, c i与c i+1均相邻; 否则, 就称a, b为"不连通"的. (例如, 两个染色不同的单元格就是不连通的). 求最大的正整数M, 使得存在一种染色方案, 其中有M个两两不连通的单元格.2018年欧洲女子数学奥林匹克试题第1天 (2018年4月11日)1. 三角形ABC 中, CA = CB , ∠ACB = 120o , M 为AB 的中点. 设P 为三角形ABC 外接圆上一动点, Q 为线段CP 上一点, 且满足QP = 2QC . 已知经过点P 且垂直于AB 的直线与直线MQ 相交于唯一的一点N . 证明: 对点P 的所有可能位置, 点N 均位于一个固定圆上.2. 考虑集合A = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+,...3,2,1:11k k . a) 证明: 每一个整数x ≥ 2均可以表示成A 中至少1个元素之积(各元素不必互异).b) 对每一个整数x ≥ 2, 设f (x )为最小的整数, 使得x 可以表示成A 中f (x )个元素之积(各元素不必互异). 证明: 存在无穷多组整数对(x , y ), 满足x ≥ 2, y ≥ 2, 且f (xy ) < f (x ) + f (y ).(如果x 1 ≠ x 2或y 1 ≠ y 2, 则认为整数对(x 1, y 1)与(x 2, y 2)是不同的.)3. 设某一届EGMO 的n 个参赛者为C 1, C 2, …, C n . 在比赛结束后, 所有参赛者在餐厅门口按照以下规则排成一个队列候餐:i) 由组委会确定各位参赛者在队列中的最初位置.ii) 每一分钟, 组委会选择一个整数i , 其中1 ≤ i ≤ n .-- 如果在参赛者C i 前面至少有i 名其他参赛者, 她将付给组委会1欧元, 并在队列中向前移动i 个位置.-- 如果在参赛者C i 前面的其他参赛者少于i 名, 则餐厅门打开, 候餐结束. a) 证明: 不管组委会如何选择, 上述候餐过程总会结束.b) 对每一个n , 求在经过精巧地选择最初位置及移动顺序下, 组委会能够得到的欧元数的最大值.第2天 (2018年4月12日)4. 定义多米诺骨牌指的是1 ⨯ 2或2 ⨯ 1的骨牌. 设n ≥ 3为整数. 在n ⨯ n 棋盘内放置若干多米诺骨牌, 使得每一个多米诺骨牌恰好覆盖两个棋格, 且多米诺骨。
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比賽地點： 因應實際參賽人數，比賽地點或會多於一個，地點將以准考證為準。
比賽費用： 是次比賽將會按每位參賽者收取港幣 400 元正作為行政費用 正接受「綜援計劃」的家庭可獲減免 200 元正（須遞交有關證明文件之影印本＊）
比賽報名 及 截止日期： 填寫後頁報名表，並連同比賽費用循以下任何一種途徑遞交： 郵遞報名： 於 2018 年 4 月 23 日（星期一）或以前 將報名表連同劃線支票** 郵寄（日期以郵戳為準）至郵政信箱編號 10952 郵政總局。 信封請註明「AIMO 決賽報名」。 親臨報名： 於 2018 年 4 月 23 日（星期一）或以前 將報名表連同劃線支票**／現金 遞交 至 香港九龍彌敦道 545 號安利大廈 4 樓全層 香港數學奧林匹克協會。 ※ 若資料不齊者，本會有權取消學生的參賽資格。 ** 支票抬頭為「HKMO」，現金只適用於親身遞交。（切勿郵寄現金，如有寄失恕不負責）
參賽確認： 准考證將於比賽前一星期寄出，並有手機短信確認。如有查詢，請電郵至 info@。
比賽獎項：
獎項 冠軍 金獎 銀獎 銅獎
計算方法 每個年級的第一名 約佔該年級參賽人數之 8% 約佔該年級參賽人數之 16% 約佔該年級參賽人數之 24%
將獲頒發 獎盃 及 獎狀 獎狀 及 獎牌 獎狀 及 獎牌 獎狀 及 獎牌
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽小一及小二決賽 比賽詳情
主辦機構：
亞洲國際數學奧林匹克聯合會、香港數學奧林匹克協會
比賽對象：
小學一年級 或 小學二年級 之學生
比賽日期 及 時間： 2018 年 5 月 6 日（星期日）
年級
小一級
時間
09:45– 11:00
小二級 14:25– 15:40
實際安排可能會因應參賽人數而稍作變更，請留意比賽網站公布，一切以准考證為準
參賽資格： 在 2018 AIMO 香港賽區初賽暨《港澳盃》得獎的學生（名額有限，欲報從速）
地址：香港九辦龍公彌時敦間道：香5星4港5期號數一安學至利奧日大林廈上匹午克4 樓十協時會電三H話o十n：g分K2至7o8n下7g午0M8一a5t9h時em電及at郵ica下：l O午inlfy二om@時phia至kdm六Aos.時csco三cia十比tio分賽n,（網H公站KM眾：O假htt期p:/除/w外ww）/
12:40 pm – 3:40 pm 9:00 am – 12:00 nn 4:00 pm – 7:00 pm 12:40 pm – 3:40 pm 4:00 pm – 7:00 pm 12:40 pm – 3:40 pm 9:00 am – 12:00 nn
油麻地 油麻地 油麻地 油麻地 油麻地 油麻地 油麻地
成績公布： 比賽成績將於 2018 年 5 月 22 日由比賽網頁 公布。 獎項發布： 所有獎項一律通知參賽者所屬學校代為領取。
證書頒發： 亞洲國際數學奧林匹克聯合會 及 所有聯合會成員機構 聯合頒發
證書樣本：
所有資料以 發佈為準，如有更改，恕不個別另行通知
上課時間：一堂 3 小時
年級
課程編號Biblioteka 小學一年級 小學二年級192Y 111Y 113Y 282Y 293Y 212Y 251Y
星期
星期日 星期二 星期二 星期六 星期日 星期二 星期六
上課日期
上課時間
上課地點 (註)
4 月 29 日 5月1日 5月1日 4 月 28 日 4 月 29 日 5月1日 5月5日
地址：香港九辦龍公彌時敦間道：香5星4港5期號數一安學至利奧日大林廈上匹午克4 樓十協時會電三H話o十n：g分K2至7o8n下7g午0M8一a5t9h時em電及at郵ica下：l O午inlfy二om@時phia至kdm六Aos.時csco三cia十比tio分賽n,（網H公站KM眾：O假htt期p:/除/w外ww）/
時限為 75 分鐘，不設時間獎勵。
如非特殊情況並事先取得本會許可，參賽者不能提早交卷或離場。
全卷共 25 道填充題，分為三部分，總分 120 分，包括： 甲部： 3 分題（10 題，共 30 分） 乙部： 5 分題（10 題，共 50 分） 丙部： 8 分題（ 5 題，共 40 分） 每道題只需填寫答案，不需填寫步驟。
灣仔軒尼詩道 385 – 391 號軒寧大廈 3 樓「傳藝中心」（鵝頸橋側）
屯門
屯門柏麗廣場 306 – 307 室「柏麗補習中心」（屯門市中心巴士總站上蓋）
為了有效運用課室，暫只提供大廈地址。確實課室資料將於上課前兩日以手機短訊通知家長。 * 如油麻地課室滿員，本會將於其他油麻地的上課地點及同樣時間加開相同之課程。
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2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽小一及小二決賽 特訓計劃詳情
為提升參賽者之比賽技巧，本會為參加決賽的同學特別設計特訓計劃。特訓計劃包括決賽模擬試題 及賽前分析，分析詳盡獨到，內容精闢、簡潔。
上課日期：4 月 28 日、4 月 29 日、5 月 1 日、5 月 5 日 所有日子教授內容相同，只需選擇一天上課
註： *油麻地安利
油麻地彌敦道 545 號安利大廈（油麻地港鐵站 A1 出口右側）
*油麻地長盛
油麻地砵蘭街 61 – 63 號長盛大廈（油麻地港鐵站 A1 出口，翠華餐廳對面）
*油麻地好收成
彌敦道 515 – 517 號好收成商業大廈 1 樓 （油麻地港鐵站 C 出口轉左直行，義順牛奶公司樓上）
灣仔
2018 亞洲國際數學奧林匹克公開賽小一及小二決賽 報名表
甲部（學生及家長聯絡資料）：
學生中文姓名： 學生收件地址： 家長香港手機號碼： | | | | | | |