高二数学导数 课件人教版

/ /
导数的几何意义
函数 f (x) 在 x = x0 处的导数就是曲线 f (x) 在点 P（ x 0 ， f ( x0 ) ）处的 f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) k = lim = f / ( x0 ) ． 切线的斜率，即 ∆x → 0 ∆x
基本初等函数的导数公式
c = 0 （ c 为常数） ；
[ f ( x) ± g ( x)] / = f / ( x) ± g / ( x) ；
[ f ( x) ⋅ g ( x)] = f ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ( x) ；
/ / /
[cf ( x)]
/
/
= cf ( x) （ c 为常数） ；
/
f ( x) f / ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g / ( x) （ g ( x) g ( x) = 2 [g ( x)]
知识回顾
导数的概念
一 般 地 ， 函 数 y = f (x) 在 x = x 0 处 的 瞬 时 变 化 率 是
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim ，我们称它为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的 ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y / / / lim lim 导数，记作 f ( x 0 ) 或 y x = x0 ，即 f ( x0 ) = ∆x→0 = ∆x→0 ； ∆x ∆x lim
2 变式 1、已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) = 2 f (2 − x) − x + 8 x − 8 ，求曲
线 y = f ( x) 在点（1， f (1) ）处的切线方程．
f ( x ) = 2 f (2 − x ) − x 2 + 8 x − 8 得 解：方法一 由
f (2 − x) = 2 f ( x) − (2 − x) 2 + 8(2 − x) − 8 ， 2 f ( x) − f (2 − x) = x 2 + 4 x − 4 ，∴ f ( x) = x 2 ∴ f / ( x) = 2 x ， 即
y/ = x x2 +1
求下列函数的导数: 例2:求下列函数的导数 求下列函数的导数
1 2 (1) y = − 2 ; x x x (2) y = ; 2 1− x (3) y = tan x ; (4) y = (2 x 2 − 3) 1 + x 2 ;
1 4 答案: 答案 (1) y′ = − 2 + 3 ; x x
∴切线方程为 y − 1 = 2( x − 1) ，即 2 x − y − 1 = 0 ．
2 方法二 由 f ( x) = 2 f (2 − x) − x + 8 x − 8 得 f (1) = 1 ，
且f
/
(x ) = 2 f / (2 − x ) ⋅ (2 − x )/ − 2 x + 8 = −2 f / (2 − x ) − 2 x + 8 ，
/ 令 x=1，得到 f (1) = 2 ，
∴切线方程为 y − 1 = 2( x − 1) ，即 2 x − y − 1 = 0 ．
y = x 3 在点 P（1，1）处的切线方程． 例 2、求曲线
y = x 3 相切的直线的方程． 变式 2、求过点 P（1，1）且与曲线
/ 2 2 解：设切点（ m ， m 3 ） ，由 y = 3x 得切线的斜率 k = 3m ，
≠ 0） ．
复合函数的导数
u 复合函数 y = f ( g ( x )) 的导数和函数 y = f (u ) ， = g (x ) 的导数间的关系
为 y x = y u ⋅ u x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 数的乘积．
/ / /
例题评析
例 1、求下列函数的导数
n
f ( x) = x 3 + 2bx 2 + cx − 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方 2、已知函数
程是 y = 5 x − 10 ． （1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）求证：直线 3x + y + m = 0 不可能是函数 f (x ) 图像的切线．
故所求切线方程为 3 x − y − 2 = 0 或 3 x − 4 y + 1 = 0 ．
课堂小结
导数的概念； 基本初等函数的导数、导数的运算法则和复合函数的导数；
导数的几何意义．
思考
1、对正整数 n，设曲线 y = x (1 − x) 在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵 an 坐标为 a n ，求数列 n + 1 的前 n 项和 S n ．
y − m 3 = 3m 2 ( x − m) ∴切线方程为
∵切线过点 P（1，1） ， 3 2 ∴ 1 − m = 3m (1 − m) ，即 2 m
+1 = 0 1 2 整理得 (m − 1) (2m + 1) = 0 ，∴ m = 1 或 m = − ， 2 故所求切线方程为 3x − y − 2 = 0 或 3 x − 4 y + 1 = 0 ．
x （1） y = ； 1− x2
x2 +1 y/ = (1 − x 2 ) 2
y = e x ( x 2 + 3x + 1) ； （2）
（3） y = 2 x sin(2 x + 5) ； （4） y = ln( x + 1) ．
2
y / = e x ( x 2 + 5 x + 4)
y / = 2 sin( 2 x + 5) + 4 x cos(2 x + 5)
∴切线方程为 3 ∵切线过点 P（1，1） ，பைடு நூலகம்a ≠3 0 2 2 − 2m 3 ∴ 1 3m = 3m (1 − m) ，即a = 3 − 3 m + 1 = 0 ∴ ，解得 ． a f (0) ⋅ f ( )2 = 0 1 1 整理得 (m −3) (2m + 1) = 0 ，∴ m = 1 或 m = − ， 2
/
( x ) = nx
n /
n −1
n ∈ Q* ） （ ；
(sin x) / = cos x ；
(a x ) / = a x ln a ；
1 (log a x) = ； x ln a
/
(cos x) / = − sin x ；
(e x ) / = e x ；
1 (ln x) = ． x
/
导数的运算法则
1 + x2 (2) y′ = ; 2 2 (1 − x )
(4) y′ = 6x3 + x 1+ x
2
1 ′= ( 3) y ; 2 cos x
;
3 例 2、求曲线 y = x 在点 P（1，1）处的切线方程．
y / = 3x 2 ，∴切线斜率 k = 3 ， 解： 故所求切线方程为 3 x − y − 2 = 0 ．
/ 当 x = x0 时， f ( x 0 ) 是一个确定的数．当 x 变化时， f ( x) 便是 x 的
/
一个函数，我们称它为 f (x) 的导函数（简称导数） y = f (x) 的导函数 ， 有时也记作 y
/
f ( x + ∆x) − f ( x) lim ，即 f ( x) = y = ∆x→0 ． ∆x
3 2
− 3m
y = x 3 − ax 2 的切线通过（0，1）点，且通过（0，1）点 变式 3、曲线
的切线有两条，求实数 a 的值． 解：设切点为（ m ， m 3 − am 2 ） y / = 3 x 2 − 2ax ，∴切线斜率 k = 3m 2 − 2am ， ∵
y − (m 3 − am 2 ) = (3m 2 − 2am)( x − m) ， 则切线方程为 ∵切线过（0，1） ， 3 2 2 3 2 ∴ 1 − (m − am ) = (3m − 2am)(0 − m) ，即 2 m − am + 1 = 0 ， 3 2 y =f x 3 相切的直线的方程． 变式 2、求过点 m − am + 1 ，则方程 ( m) = 0 有两解． 设 f (m) = 2 P（1，1）且与曲线 / 2 2 解：设切点（ m ，2m 3 ） ，由 y = 3x 得切线的斜率 k = 3m ， a / m= ， − 23 0 由 f (m) = 6my − mam =m 2 ( xm m)0 或 =3 得 −=