【金版学案】苏教版高中数学必修4练习：模块综合检测卷(含答案解析)
【金版学案】2016-2017苏教版高中数学必修4检测：第2章2.2-2.2.2向量的减法 Word版含解析
第2章 平面向量2.2 向量的线性运算2.2.2 向量的减法A 级 基础巩固1．若非零向量a ，b 互为相反向量，则下列说法错误的是( )A ．a ∥bB ．a ≠bC ．|a |≠|b |D ．b ＝－a解析：根据相反向量的定义：大小相等，方向相反，可知|a |＝|b |，C 不正确．答案：C2．在平行四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，BD →＝d ，则下列等式中不正确的是( )A ．a ＋b ＝cB ．a －b ＝dC ． b －a ＝dD ．c －a ＝b解析：根据向量加法的平行四边形法则和三角形法则知， AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，即a ＋b ＝c ，b －a ＝d .所以A 、C 、D 正确，B 不正确．答案：B3．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )A ．1B ．2 C.32D. 3解析：作出菱形ABCD (如图所示)，则AC ⊥BD ，BC →＝AD →，故|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝2|BO →|＝2×32＝ 3. 答案：D4.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →.所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立；BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立；AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立；BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立．答案：A5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝2，则|AB →－AC →|的值为______．解析：AB →－AC →＝CB →，则|CB →|＝|BC →|＝2.答案：26．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ→＝PQ →.答案：PQ →7．在平行四边形ABCD 中，若AB →＝a ，AD →＝b ，且|a ＋b |＝|a －b |，则四边形ABCD 的形状是________．解析：由平行四边形法则知，|a ＋b |，|a －b |分别表示对角线AC ，BD 的长，当|AC →|＝|BD →|时，平行四边形ABCD 为矩形．答案：矩形8．在△ABC 中，D 是BC 的中点，设AB →＝c ，AC →＝b ，BD →＝a ；AD →＝d ，则d －a ＝________，d ＋a ＝________．解析：根据题意画出图形，如图所示，d －a ＝AD →－BD →＝AD →＋DB →＝AB →＝c ；d ＋a ＝AD →＋BD →＝AD →＋DC →＝AC →＝b .答案：c b9．若|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( )A ．[3，8]B ．(3，8)C ．[3，13]D ．(3，13)解析： 因为|BC →|＝|AC →－AB →|，又因为|AB →|－|AC →|≤|AC →－AB →|≤|AB →|＋|AC →|，所以3≤|AC →－AB →|≤13，即3≤|BC →|≤13.答案：C10．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝a ，则DC → ＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：DC →＝DA →＋AB →＋BC →＝－b ＋a ＋c ＝a －b ＋c .答案：a －b ＋cB 级 能力提升11.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB →＝a ，DA →＝b ，OC →＝c ，求证：b ＋c －a ＝OA →.证明：法一：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以DA →＝CB →.所以b ＋c ＝DA →＋OC →＝CB →＋OC →＝OB →.所以b ＋c －a ＝OB →－AB →＝OB →＋BA →＝OA →.法二：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →.所以c －a ＝OC →－AB →＝OC →－DC →＝OC →＋CD →＝OD →.因为DA →＝b ，所以b ＋c －a ＝b ＋OD →＝DA →＋OD →＝OA →.12．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)当a ，b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？(2)当a ，b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?(3)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？解：(1)由平行四边形法则，知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →.因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直．(2)假设|a ＋b |＝|a －b |，即|AC →|＝|BD →|.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 是矩形．所以a ⊥b ，所以当a 与b 垂直时，|a ＋b |＝|a －b |.(3)不可能．因为▱ABCD 的两条对角线不可能平行，所以a ＋b 与a －b 不可能为共线向量，更不可能为相等向量．13．已知|a |＝6，|b |＝8，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.解：设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如图所示．则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝6，|AD →|＝8，由勾股定理得|DB →|＝ |AB →|2＋|AD →|2＝62＋82＝10. 所以|a －b |＝10.。
苏教版高中数学必修4综合检测.docx
综合检测一、填空题1．sin 2 010°＝________.2．已知△ABC 中，tan A ＝－512，则cos A ＝________. 3．已知向量a ＝(2,1)，a ＋b ＝(1，k )，若a ⊥b ，则实数k ＝________.4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →＝________.5．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin αcos α＝________. 6．若|a |＝2cos 15°，|b |＝4sin 15°，a ，b 的夹角为30°，则a ·b ＝________.7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________．8．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，1＋sin θ(θ为锐角)，且a ∥b ，则tan θ＝________.9．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________. 10．把函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的图象向右平移π3个单位可以得到函数g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎫π4＝________.11．已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)＝________. 12．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在CD →上的投影为________．13．若2α＋β＝π，则y ＝cos β－6sin α的最大值和最小值分别是________．14．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点(2，－12)，则函数解析式为________． 二、解答题15．已知向量a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)． (1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin 2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的最大值． 16．设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .17．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值． 18．已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π16]上的最小值． 19．已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x ). (1)求f (－11π12)的值； (2)当x ∈[0，π4)时，求g (x )＝12f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值． 20．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255. (1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.答案1．－12 2.－1213 3．3 4.16 5．－256.3 7．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 8．1 9.23 10．1 11．－14 12.210513．7，－514．f (x )＝sin(πx 2＋π6) 15．解 (1)∵a ∥b ，∴32cos x ＋sin x ＝0， ∴tan x ＝－32， 2cos 2x －sin 2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)f (x )＝(a ＋b )·b ＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0， ∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22， ∴－22≤f (x )≤12， ∴f (x )max ＝12. 16．(1)解 因为a 与b －2c 垂直，所以a ·(b －2c )＝4cos αsin β－8cos αcos β＋4sin αcos β＋8sin αsin β＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，因此tan(α＋β)＝2.(2)解 由b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，得|b ＋c |＝(sin β＋cos β)2＋(4cos β－4sin β)2 ＝17－15sin 2β≤4 2.又当β＝－π4＋k π(k ∈Z )时，等号成立， 所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明 由tan αtan β＝16得4cos αsin β＝sin α4cos β， 所以a ∥b .17．解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ.又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15， ∴sin 2θ＝45. 又θ∈(0，π2)， ∴sin θ＝255，cos θ＝55. (2)∵5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ.∴cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ，即cos 2φ＝12. 又∵0<φ<π2，∴cos φ＝22. 18．解 (1)因为f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx ，所以f (x )＝sin ωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 所以g (x )＝f (2x ) ＝22·sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4≤1. 因此1≤g (x )≤1＋22.故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值为1.19．解 (1)f (x )＝(1＋cos 2x )2－2cos 2x －1sin (π4＋x )sin (π4－x )＝cos 22xsin (π4＋x )cos (π4＋x )＝2cos 22x sin (π2＋2x )＝2cos 22xcos 2x ＝2cos 2x ，∴f (－11π12)＝2cos(－11π6)＝2cos π6＝ 3.(2)g (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＝2sin(2x ＋π4)．∵x ∈[0，π4)，∴2x ＋π4∈[π4，3π4)．∴当x ＝π8时，g (x )max ＝2，当x ＝0时，g (x )min ＝1.20．解 (1)∵|a |＝1，|b |＝1，|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝|a |2＋|b |2－2(cos αcos β＋sin αsin β) ＝1＋1－2cos(α－β)＝2－2cos(α－β)， |a －b |2＝(255)2＝45，∴2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵－π2<β<0<α<π2，∴0<α－β<π.由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45， 由sin β＝－513得cos β＝1213.∴sin α＝sin [(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝45×1213＋35×(－513)＝3365.。
【金版学案】2021学年高中数学 2．3.1平面向量大体定理检测试题 苏教版必修4(1)
2.3 向量的坐标表示2．3.1 平面向量大体定理情景：“神舟”十号宇宙飞船在升空的某一时刻，速度能够分解成竖直向上和水平向前的两个分速度．在力的分解的平行四边形法那么中，咱们看到一个力能够分解为两个不共线方向的力的和．试探：平面内任一贯量是不是能够用两个不共线的向量来表示呢？ 基础巩固1．e1，e2是平面内的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e1和e1＋e2B ．e1－2e2和e2－2e1C ．e1－2e2和4e2－2e1D ．e1＋e2和e1－e2答案：C2．下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是________(填序号)．答案：②③3．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λ1a ＋λ2b(λ1，λ2∈R)，假设c 与b 共线，那么λ1＝________.答案：04．假设3x ＋4y ＝a 且2x －3y ＝b ，其中a ，b 为已知向量，那么x ＋y ＝________(用a ，b 表示)．答案：517a ＋117b 能力升级5．向量OA →，OB →，OC →的终点A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，设OA →＝p ，OB →＝q ，OC →＝r ，那么以劣等式成立的是( )A ．r ＝－12p ＋32qB ．r ＝－p ＋2qC ．r ＝32p －12q D ．r ＝－q ＋2q 解析：由AC →＝－3CB →，得OC →－OA →＝－3(OB →－OC →)，2OC →＝－OA →＋3OB →，OC →＝－12OA →＋32OB →，即r ＝－12p ＋32q. 答案：A6．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么AO →＝________AD →.解析：由D 为BC 边中点可得：OD →＝12(OB →＋OC →)，又2OA →＋OB →＋OC →＝0，因此2OA →＋2OD →＝0，故AO →＝OD →，从而AO →＝12AD →. 答案：127．在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，假设AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，那么λ＝________. 解析：CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，故λ＝23. 答案：238．已知△ABC 和点M 知足MA →＋MB →＋MC →＝0.假设存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，那么m ＝________.解析：依题意可知M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，那么AM →＝23AD →.① 因为AD 为中线，因此AB →＋AC →＝2AD →＝mAM →，即2AD →＝mAM →.②联立①②解得m ＝3.答案：39．用向量证明三角形的三条边的中线共点．证明：设AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线．设AC →＝a ，BC →＝b ，AG →＝23AD →， 则AB →＝a －b ，AD →＝a －12b ， BE →＝－12a ＋b ， 设AD 与BE 交于点G1，并设AG1→＝λAD →，BG1→＝μBE →，则AG1→＝λa －λ2b ，BG1→＝－μ2a ＋μb ， 又因为AG1→＝AB →＋BG1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μ2a ＋(μ－1)b. 因此⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1－μ2，－λ2＝μ－1，解得λ＝μ＝23，即AG1→＝23AD →. 再设AD 与CF 交于点G2，同理可得AG2→＝23AD →，故G1点与G2点重合，即AD 、BE 、CF 相交于一点．因此三角形的三条边的中线共点．10．如右以下图，在△ABC 中，M 是边AB 的中点，E 是CM 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，MH ∥AF.求证：BH →＝HF →＝FC →.证明：设BH →＝a ，BM →＝b.则BA →＝2b ，MH →＝a －b ，AF →＝2MH →＝2a －2b ，BF →＝AF →＋BA →＝2a －2b ＋2b ＝2a.因此HF →＝BF →－BH →＝a.因此BH →＝HF →，同理可证：HF →＝FC →.因此结论成立．11．如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为60°，OA →与OC →，OB →与OC →的夹角都为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，假设OC →＝λOA →＋μOB →，求λ＋μ的值．解析：过C 别离作CN ∥OA ，交射线OB 于N ，作CM ∥OB ，交射线OA 于M ，那么OC →＝OM →＋ON →＝λOA →＋μOB →.因此OM →＝λOA →，ON →＝μOB →.由已知，|OA →|＝|OB →|＝1，在平行四边形OMCN 中，∠MOC ＝∠NOC ＝∠NCO ＝30°，因此△NOC 为等腰三角形．因此ON ＝NC ＝OM ，因此平行四边形OMCN 为菱形．连接MN 交OC 于H ，那么OC ⊥MN ，且H 为OC 中点．在Rt △OHM 中，cos ∠HOM ＝OH OM ＝12OC OM， 即cos 30°＝3OM ＝32，解得OM ＝2， 因此ON ＝2，因此λ＝|OM →||OA →|＝2， μ＝|ON →||OB →|＝2，故λ＋μ＝4. 12．在一个平面内有不共线的三个定点O 、A 、B ，动点P 关于点A 的对称点为Q ，Q 关于点B 的对称点为R.已知OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示PR →.解析：如右图所示．方式一 由题意知A 为PQ 的中点，B 为QR 的中点，∴P R ∥AB 且PR ＝2AB ，∴PR →＝2·AB →＝2(OB →－OA →)＝2(b －a)．方式二 PR →＝OR →－OP →，在△OQR 中，B 为QR 中点，∴2OB →＝OR →＋OQ →，∴OR →＝2OB →－OQ →.同理有2OA →＝OP →＋OQ →，∴OP →＝2OA →－OQ →.则PR →＝2OB →－OQ →－(2OA →－OQ →)＝2b －OQ →－2a ＋OQ →＝2b －2a.。
【金版学案】高中数学 第一章章末知识整合试题 苏教版必修4
【金版学案】2014-2015学年高中数学 第一章章末知识整合试题 苏教版必修4若角θ的终边与函数y ＝－2|x|的图象重合，求θ的各三角函数值．分析：由于y ＝－2|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≥0，2x ，x ＜0的图象为三、四象限中的两条射线，故可根据三角函数的定义来求解．解析：∵角θ的终边与函数y ＝－2|x|的图象重合， ∴θ是第三或第四象限的角．若θ为第三象限的角，取终边上一点P(－1，－2)，r ＝|OP|＝5，从而 sin θ＝y r ＝－255，cos θ＝x r ＝－55，tan θ＝yx＝2.若θ在第四象限，可取点P(1，－2)，易得： sin θ＝－255，cos θ＝55，tan θ＝－2.◎规律总结：三角函数的基本概念是本单元内容的基本部分，是研究三角公式、三角函数图象及性质的出发点，尽管大纲对本部分内容难度的要求有所降低，但同学们仍然要注意考试中对基本概念、基本公式、三角函数基本性质的应用和计算、推理能力的考查，解题的关键是对有关概念的正确理解和灵活应用．变式训练1．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx2，－1＜x ＜0，ex －1，x ≥0，若f(1)＋f(a)＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1，－22 D ．1，22解析：此题可运用代入排除法．∵f(1)＋f(a)＝2，f(1)＝e0＝1，∴f(a)＝1，选项中提供的a 的可能值有三个，分别为1，22，－22，因此把这三个数代入f(x)中，值为1的即为所求．f(1)＝e0＝1，f ⎝⎛⎭⎫22＝e 22－1，f ⎝⎛⎭⎫－22＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＝1. ∴a 的所有可能值为1，－22. 答案：C2．在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，则tan α＝________.解析：角α的终边在第二象限或第四象限，tan α＝－34.答案：－34已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．(1)求f(x)的解析式；(2)将f(x)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向x轴正方向平移π3个单位，得到函数g(x)的图象，写出函数g(x)的解析式，并用五点作图的方法画出g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．分析：由题目可以获取以下主要信息：①要求的函数的形式是f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2；②图象与y 轴交点是(0,1)．③相邻的一个最大值点和最小值点分别是(x0,2)和(x0＋3π，－2)，其中x0＞0.解答本题可先由已知求出A 、ω、φ，然后再根据图象变换得到函数y ＝g(x)．解析：(1)由f(x)＝Asin(ωx ＋φ)在y 轴上的臷距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12，φ＝π6.又因为两相邻的最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)． 所以T ＝2[(x0＋3π)－x0]＝6π，所以ω＝2πT ＝13.所以，函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6.(2)压缩后函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，再平移得g(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6.列表、作图.◎规律总结：三角函数图象是本章的重点内容，它是研究三角函数性质的根据，重点抓住图象的特征及变换与函数解析式中各变量之间的内在联系．主要解决两个方面的问题：一是根据图象写函数解析式，关键要把握图象与函数性质的关系，从而确定出相关的数值．对于y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)的解析式求解问题：ymax ＝M ，ymin ＝m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m 2.由T ＝2πω求得ω的值；φ的值采取代入特殊点 (顶点或平衡点)坐标法求得．二是关于三角函数图象的平移和伸缩，此类问题关键要搞清在x 轴方向的左右平移或伸缩是对解析中的字母x 而变换．变式训练3．函数y ＝2cos x,0≤x ≤2π的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积是( ) A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π解析：如图，由函数y ＝cos x 的图象的对称性，知：所求封闭图形的面积即为图中矩形OABC 的面积，即S ＝2π×2＝4π.答案：D4．要得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位解析：y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4，而y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π8＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－π2.故选A.答案：A已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x0,2)和⎝⎛⎭⎫x0＋32，－2(x0＞0)上，f(x)分别取得最大值和最小值． (1)求f(x)的解析式．(2)在区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f(x)的对称轴？请说明理由．解析：(1)∵A ＝2，T 2＝⎝⎛⎭⎫x0＋32－x0＝32，∴T ＝3，即2π|ω|＝3，ω＞0，∴ω＝2π3.这时f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋φ.把点(0,1)代入，得2sin φ＝1.而|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤214，234，∴2π3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤11π3，4π，sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，0， 故sin ⎝⎛⎭⎫2π3x ＋π6≠±1，即在区间⎣⎡⎦⎤214，234上不存在f(x)的对称轴． ◎规律总结：三角函数的图象和性质密不可分，在解决三角函数的综合问题时，应借助于图象特征，充分利用三角函数的有关性质进行求解．如单调区间、最值、周期性、对称性等问题．变式训练5．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－32x ＋π4的单调递增区间．解析：方法一 令t ＝－32x ＋π4，则y ＝sin t ，因为t 是x 的一次递减函数，故应取y ＝sin t的减区间才符合要求．由已知得2k π＋π2≤t ≤2k π＋3π2，k ∈Z.即2k π＋π2≤－3x 2＋π4≤2k π＋3π2，k ∈Z.∴－4k 3π－56π≤x ≤－4k 3π－16π，k ∈Z.∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－32x ＋π4的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－4k 3π－56π，－4k 3π－16π，k ∈Z. 方法二 y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4，令u ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4，则y ＝－u ，故应取u ＝sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4的减区间才符合要求，故有2k π＋π2≤32x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z. ∴4k π3＋π2≤x ≤4k π3＋7π6，k ∈Z ，∴y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32x －π4的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤4k π3＋π2，4k π3＋7π6，k ∈Z.注：两种形式，结果一致．6．已知函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，其图象关于点M ⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，求ω.解析：∵f(x)关于⎝⎛⎭⎫3π4，0对称． ∴f ⎝⎛⎭⎫3π4＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ， 即f ⎝⎛⎭⎫3π4＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝0， 令x ＝0得f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0.∴cos 3ωπ4＝0.3ω4π＝k π＋π2，k ∈Z.∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，…当k ＝0时，ω＝23，f(x)＝cos 23x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调减函数．当k ＝1时，ω＝2，f(x)＝cos 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调减函数．当k ≥2时，ω≥103，f(x)在⎝⎛⎦⎤0，π2上不再是单调函数．∴ω＝23或ω＝2.一、数形结合的思想和方法已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如右图所示，则函数的解析式为________，方程f(x)－lg x ＝0的实根个数为______．解析：根据图中的特殊点，可确定f(x)解析式中的特定系数A 、ω、φ.研究方程f(x)－lg x ＝0的实数根即是研究函数y ＝f(x)与y ＝lg x 图象的交点个数． 显然A ＝2.由图象过(0,1)点则f(0)＝1， 即sin φ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又⎝⎛⎭⎫11π12，0是图象上的点，则f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫11π12ω＋π6＝0，由图象可知，⎝⎛⎭⎫11π12，0是图象在y 轴右侧部分与x 轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π. ∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.如图，在同一坐标系中作函数f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和函数y ＝lg x 的示意图．因为f(x)的最大值为2，令lg x ＝2，得x ＝100，令1112π＋k π＜100(k ∈Z)，得k ≤30(k ∈Z)，而1112π＋31π＞100，所以在区间(0,100]内有31个形如⎣⎡⎦⎤1112π＋k π，1712π＋k π(k ∈Z ，0≤k ≤30)的区间，在每个区间上y ＝f(x)与y ＝lg x 的图象都有2个交点，故这两个函数图象在⎣⎡⎦⎤11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在⎝⎛⎭⎫0，1112π上还有1个交点，所以方程f(x)－lg x＝0共有实根63个．答案：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 63个◎规律总结：自觉应用数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法．本章中的数形结合通常有两种形式：一是利用单位圆解决角的范围或三角不等式问题；二是利用三角函数图象求方程解的个数问题，或已知方程解的个数，求方程中的字母参数的范围问题．变式训练7．已知函数y ＝sin x ＋2|sin x|，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有四个不同的交点，求实数k 的取值范围．解析：y ＝sin x ＋2|sin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈[π，2π].观察图象可知，0<k<1，所以k 的取值范围是(0,1)．二、分类讨论的思想已知－π6≤β＜π4，3sin2α－2sin2β＝2sin α，试求sin2β－12sin α的最小值．分析：本题注意隐含条件对结果的制约作用． 解析：∵－π6≤β＜π4，∴－12≤sin β＜22，0≤sin2β＜12，∴0≤2sin2β＜1.∵2sin2β＝3sin2α－2sin α， ∴0≤3sin2α－2sin α＜1，即⎩⎪⎨⎪⎧3sin2α－2sin α≥0，3sin2α－2sin α－1＜0. 解得23≤sin α＜1或－13＜sin α≤0.∴y ＝sin2β－12sin α＝12(3sin2α－2sin α)－12sin α ＝32⎝⎛⎭⎫sin α－122－38. 当sin α∈⎣⎡⎭⎫23，1时，y 是增函数． ∴当sin α＝23时，ymin ＝－13；当sin α∈⎝⎛⎦⎤－13，0时，y 是减函数， ∴当sin α＝0时，ymin ＝0.综上，函数y ＝sin2β－12sin α的最小值为－13.◎规律总结：在三角运算中，有关三角函数所在象限符号的选取、三角函数与二次函数综合问题以及三角函数最值等问题要注意分类讨论． 变式训练8．函数f(x)＝1－2a －2acos x －2sin2x 的最小值为g(a)(a ∈R)． (1)求g(a)的值．(2)若g(a)＝12，求a 的值及此时f(x)的最大值．解析：(1)由f(x)＝1－2a －2acos x －2sin2x ＝1－2a －2acos x －2(1－cos2x) ＝2cos2x －2acos x －(2a ＋1) ＝2(cos x －a 2)2－a22－2a －1.①若－1≤a 2≤1，则当cos x ＝a 2时，f(x)min ＝－a22－2a －1；②若a2>1，则当cos x ＝1时，f(x)min ＝1－4a ；③若a2<－1，则当cos x ＝－1时，f(x)min ＝1，因此g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a<－2，－a22－2a －1，－2≤a ≤2，1－4a ，a>2.(2)∵g(a)＝12.∴若a>2，则有1－4a ＝12⇒a ＝18，矛盾；若－2≤a ≤2，则有－a22－2a －1＝12⇒a ＝－1或a＝－3(舍)．∴当g(a)＝12时，a ＝－1，此时f(x)＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋12＋12，故当cos x ＝1时，f(x)max ＝5.三、函数与方程的思想是否存在α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，则请说明理由．分析：本题属探索性问题，应将α、β满足的关系当作条件，从而去求α、β；因条件式较繁琐，故先化简，再求出α与β的一个三角函数值和其范围，进而求角．解析：由条件得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， ∴sin2α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴α＝π4或α＝－π4.将α＝π4代入②，得cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，代入①可知符合．将α＝－π4代入②，得cos β＝32，又β∈(0，π)， ∴β＝π6，代入①可知不符合．综上可知，存在α＝π4，β＝π6满足条件．◎规律总结：函数、方程、不等式三者密不可分．在三角中，已知条件等式，求一个三角函数值的问题，常采用方程的思想，把某一三角函数看做未知数，解三角方程．在求角的问题时要注意两点：一是求一个三角函数值，二是求该角的范围．变式训练9．设有函数f(x)＝asin ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3和g(x)＝btan ⎝⎛⎭⎫kx －π3(a ＞0，b ＞0，k ＞0)．若它们的最小周期之和为32π，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝g ⎝⎛⎭⎫π2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝－3g ⎝⎛⎭⎫π4＋1.求两函数解析式．分析：欲求两个函数解析式，只需利用两个函数的周期和两个函数对应两个值的关系，用特定系数法求解．解析：由题意2πk ＋πk ＝3π2，得k ＝2.由⎩⎨⎧asin ⎝⎛⎭⎫2×π2＋π3＝btan ⎝⎛⎭⎫2×π2－π3，asin ⎝⎛⎭⎫2×π4＋π3＝－3btan ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，a ＝－2b ＋2，得a ＝1，b ＝12. 因此f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g(x)＝12tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.四、转化与化归的思想求函数f(x)＝sin xcos x 1＋sin x ＋cos x的最大值和最小值． 解析：设sin x ＋cos x ＝t ，则sin xcos x ＝t2－12，t ∈[－2，2]且t ≠－1，则f(x)＝t2－12（1＋t ）＝（t ＋1）t －12（1＋t ）＝t －12，t ∈[－2，2]． 解得x ＝2k π＋π4(k ∈Z)时，f(x)的最大值为2－12. 当x ＝2k π－34π(k ∈Z)时，f(x)的最小值为－2＋12. ◎规律总结：在三角函数式中，若同时含有sin α±cos α与sin αcos α，可利用换元的思想，将三角问题转化为代数问题来解决． 变式训练10．定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ， 令f(x)＝(cos2x ＋sin x)54，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数f ⎝⎛⎭⎫x －π2的最大值．解析：设y ＝cos2x ＋sin x ＝－sin2x ＋sin x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴0≤sin x ≤1，∴1≤y ≤54，即1≤cos2x ＋sin x ≤54. 根据新定义的运算，可知f(x)＝cos2x ＋sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴f ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－⎣⎡⎦⎤sin （x －π2 ）－122＋54＝ －⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋54，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， ∴函数f ⎝⎛⎭⎫x －π2的最大值为54.。
【金版学案】高一数学苏教版必修4同步训练：3.1.3 两角和与差的正切 Word版含解析[ 高考]
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3．1.3 两角和与差的正切你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C (α±β)、S (α±β)出发，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)、tan(α－β)的公式吗？1．公式T (α－β)是_________________________________________． 它成立的条件是________________________________________． 答案：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β α－β≠k π＋π2，α≠k π＋π2，β≠k π＋π2(k ∈Z) 2．公式T (α＋β)是_________________________________________． 它成立的条件是________________________________________． 答案：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β α＋β≠k π＋π2，α≠k π＋π2，β≠k π＋π2(k ∈Z)3．tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________．答案：1＋tan α1－tan α 1－tan α1＋tan α4．若A ＋B ＋C ＝π且A ≠k π＋π2，B ≠k π＋π2，C ≠k π＋π2(k ∈Z)，则tan A ＋tan B ＋tan C ＝________．答案：tan A tan B tan C 5．tan 165°＝________． －2＋36．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝______． 答案：47．tan 20°＋tan 40°＋ 3 tan 20°·tan 40°＝________． 解析：∵tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°·tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°· (1－tan 20°·tan 40°) ＝3－3·tan 20°·tan 40°.∴原式＝3－3tan 20°·tan 40°＋3tan 20°· tan 40°＝ 3. 答案：3两角和与差的正切公式S (α＋β)，C (α＋β)，T (α＋β)这三个公式都叫做和角公式，类似地，S (α－β)，C (α－β)，T (α－β)都叫做差角公式．这六个公式的逻辑联系可用框图形式表示如下：当tan α，tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T (α±β)来处理某些有关问题，但可改用诱导公式或其他方式，如化简tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，因为tan π2的值不存在，不能利用公式T (α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝cos β－sin β＝－1tan β. 两角和与差的正切公式的变用1．两角和与差的正切公式的常见变形有： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． (2)tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan （α＋β）.(3)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (4)tan αtan β＝tan α－tan βtan （α－β）－1.2．利用相关公式，可进行两角正切的和、差与积的转化，这是三角变换中的一个重要技巧．基础巩固1．若A 、B 为锐角三角形的两个锐角，则tan A tan B 的值( ) A ．不大于1 B ．小于1 C ．等于1 D ．大于1解析：∵π2<A ＋B <π，∴由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B <0.∴1－tanA tanB <0，即tan A tan B >1.答案：D2．若tan α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. 答案：－33．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，则tan(β－2α)的值是________．解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan （α－β）＋tan α1－tan （α－β）tan α＝－－25＋121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－25×12＝－11065＝－112.答案：－1124．已知tan α＝3(1＋m )，3(tan αtan β＋m )＋tan β＝0，且α、β都是锐角，则α＋β＝________．解析：tan α·tan β＝－3m －tan β3＝－m －33tan β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝3（1＋m ）＋tan β1＋m ＋33tan β＝3，又∵α、β为锐角，∴α＋β＝π3.答案：π35．求值：tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°. 解析：由tan(42°＋18°)＝tan 60°＝tan 42°＋tan 18°1－tan 42°tan 18°，得tan 42°＋tan 18°＝tan 60°(1－tan 42°tan 18°)，即tan 42°＋tan 18°＝3－3tan 18°tan 42°.代入原式，得tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝ 3.能力升级6．若tan(α＋β)＝25，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.1318B.1322 C.322 D.16解析：tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4 ＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 故选C. 答案：C7．(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝________．解析：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin （－50°）cos 10°·cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 答案：－28．已知tan α、tan β是关于x 的方程x 2－4px －3＝0(p ∈R)的两个实数根，且α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)，求cos 2(α＋β)＋p sin(α＋β)·cos(α＋β)的值．解析：∵tan α、tan β是方程x 2－4px －3＝0的两实根， ∴根据韦达定理得tan α＋tan β＝4p ，tan α·tan β＝－3. ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4p4＝p .∴cos 2(α＋β)＋p sin(α＋β)·cos(α＋β)＝cos 2（α＋β）＋p sin （α＋β）·cos （α＋β）sin 2（α＋β）＋cos 2（α＋β） ＝1＋p tan （α＋β）tan 2（α＋β）＋1＝1＋p 2p 2＋1＝1.9．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 成等差数列，求tan A2＋tan C 2＋3tan A 2tan C2的值．解析：在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列， 则B ＝60°，A ＋C ＝120°，于是 tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝tan 60°⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C2 ＝ 3.10．求tan 20°tan 30°＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 20°的值．解析：原式＝tan 30°(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°tan 20°＝ 33tan (20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋tan 40°tan 20°＝ 33×3(1－tan 20°tan 40°)＋tan 40°tan 20°＝1.11．已知A ＋B ＝45°，求证：(1＋tan A )(1＋tan B )＝2(A ，B ≠k ·180°＋90°，k ∈Z)，并应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)的值．证明：∵A ＋B ＝45°，且A 、B ≠k ·180°＋90°，k ∈Z ， ∴(1＋tan A )(1＋tan B )＝1＋tan A＋tan B＋tan A tan B＝1＋tan(A＋B)(1－tan A tan B)＋tan A tan B＝1＋1＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2，(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2，…(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝222.。
【金版学案】高一数学苏教版必修4同步训练：1.3.2 三角函数的图象与性质 Word版含解析[ 高考]
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1．3.2 三角函数的图象与性质情景：前面我们学习了三角函数的诱导公式，我们是借助于单位圆推导出来的．思考：我们能否借助三角函数的图象来推导或直接得出三角函数的一些性质呢？1．“五点法”作正弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________．答案: (0，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1 (2π，0)2．“五点法”作余弦函数图象的五个点是__________、________、________、________、________．答案: (0，1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0 (π，－1) ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0 (2π，1)3．作正、余弦函数图象的方法有二：一是________；二是利用________来画的几何法．答案: 描点法 三角函数线4．作正弦函数的图象可分两步：一是画出_________________________________________________________的图象，二是把这一图象向________连续平行移动(每次平移2π个单位长度)．答案: y ＝sin x ，x ∈[0，2π] 左右5．正弦曲线关于________对称；正弦函数是________；余弦曲线关于________对称，余弦函数是________．答案: 原点 奇函数 y 轴 偶函数6．正弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.答案: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z)7．余弦函数在每一个闭区间________________上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间________________上都是减函数，其值从1减小到－1.答案: [2k π－π，2k π](k ∈Z) [2k π，2k π＋π](k ∈Z)8．正弦函数当且仅当x ＝____________时取得最大值1，当且仅当x ＝____________时取得最小值－1.答案: 2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－π2(k ∈Z)9．余弦函数当且仅当x ＝____________时取得最大值1，当且仅当x ＝____________时取得最小值－1.答案: 2k π(k ∈Z) 2k π＋π(k ∈Z)10．正切函数y ＝tan x 的定义域是______________，值域为________；正、余弦函数的定义域是________，值域是________．答案: ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z R R [－1，1]11．正切函数为________函数(填“奇”或“偶”)． 答案: 奇12．正切函数y ＝tan x 在每一个区间________内均为________．答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z) 增函数13．利用正切线可以得到y ＝tan x 在________内的图象，把所得图象左右连续平移________个单位，可得y ＝tan x 在整个定义域内的图象．答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2 π14．正切曲线的简图可以用“三点两线法”，这里的三个点为__________、________、________；两直线为________、________．答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，－1 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，1(k ∈Z)x ＝k π＋π2 x ＝k π－π2(k ∈Z)15．正切函数y ＝tan x 的对称中心为________．答案: ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)16．正、余弦函数的图象是连续的，而正切函数的图象不连续，它被无数条垂直于x 轴的直线________________分隔开来．答案: x ＝k π＋π2(k ∈Z)17．正、余弦函数既有单调递增区间又有单调递减区间，而正切函数在每一个_______________________________________________上都是增函数．答案: ⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)五点法画图函数y ＝sin x 在x ∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．事实上，描出这五个点后，函数y ＝sin x 在x ∈[0，2π]的图象的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到正弦函数的简图．今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”．同样，在函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，起着关键作用的点是以下五个：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．与画函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y ＝cos x 在x ∈[0，2π]的简图．正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y ＝sin x ，余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的性质： (1)定义域．正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R. (2)值域．正弦函数、余弦函数的值域都是[－1，1]．正弦函数当且仅当x ＝π2＋2k π(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝－π2＋2k π(k ∈Z)时取得最小值－1；而余弦函数当且仅当 x ＝2k π(k ∈Z)时取得最大值1，当且仅当x ＝－π＋2k π(k ∈Z)时取得最小值－1.(3)周期性．正弦函数、余弦函数都是周期函数，并且周期都是2π. (4)奇偶性．正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，其图象关于y 轴对称．(5)单调性．正弦函数在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1.类似地，余弦函数在每一个闭区间[(2k －1)π，2k π](k ∈Z)上都是单调增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2k π，(2k ＋1)π](k ∈Z)上都是单调减函数，其值从1减小到－1.正切函数的图象与性质正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，x ≠π2＋k π，k ∈Z 的图象，叫做正切曲线．如下图所示．正切函数的性质：(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z.(2)值域为实数集R.(3)周期性．正切函数是周期函数，周期是π. (4)奇偶性．奇函数，图象关于原点对称．(5)单调性．每个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)都是函数y＝tan x 的单调增区间．难点释疑：正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的，直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 是图象的渐近线．由于正切函数的定义域必须去掉x ＝π2＋k π，k ∈Z 各点，故正切函数图象与直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 无交点；又由于正切函数的值域为R ，无最大值、最小值，故其图象向上、下无限延伸；由于周期是π，所以图象每隔π长度重复出现；因为正切函数的单调性表现为在每一个单调区间内只增不减，故图象是由一系列重复出现的上升曲线构成，而在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，当x 向右无限接近于x ＝π2时，函数值不断增大，趋于正无穷大，图象无限接近于x ＝π2，但永不相交；当x 向左无限接近于x ＝－π2时，函数值不断变小，趋于负无穷大，图象无限接近于x ＝－π2，但永不相交，故x ＝±π2为正切函数图象的渐近线，由周期性知，直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 是图象的渐近线．基础巩固1．下列函数的图象相同的是( ) A ．y ＝sin x 与y ＝sin(π＋x )B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2与y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－xC ．y ＝sin x 与y ＝sin(－x )D ．y ＝sin(2π＋x )与y ＝sin x 答案：D2．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]上的大致图象是( ) 答案：B3．把函数y ＝sin x 的图象向________平移________个单位长度可得y ＝cos x 的图象．答案：左 π24．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2的奇偶性为________．答案：偶函数5．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于________．答案：06．使函数y ＝sin(2x ＋φ)为奇函数的φ值可以是( ) A.π4 B.π2 C ．π D.3π2 答案：C7．y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－33 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 D ．(0，0)答案：C8．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3 答案：A9．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是( )A.π4 B ．0 C ．1 D ．2解析：∵y ＝tan ωx 的周期T ＝πω，∴y ＝π4与y ＝tan ωx 的图象的交点中相邻两点间的距离为πω，故πω＝π4，ω＝4，∴f (x )＝tan 4x . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫4×π4＝tan π＝0，故选B. 答案：B10．函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝2k π＋π，k ∈Z11．函数y ＝lg tan x ＋16－x 2的定义域为________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2∪(π，4]能力升级12．已知f (x )＝x ·sin x ，x ∈R.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f (1)及f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系为______________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝π4sin π4<sin π4，sin π4<sin 1<sin π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝π3sin π3>sin π3.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3. 答案：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π413．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集是________________．解析：∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cos x 是(－3，3)上的偶函数，从而观察图象可知解集为：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，314．求函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解析：令z ＝12x －π3. 函数y ＝cos z 的单调递增区间是[2k π－π，2k π]，k ∈Z.由2k π－π≤12x －π3≤2k π得4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3(k ∈Z)． 取k ＝0，得－4π3≤x ≤2π3， 而⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4π3，2π3[－2π，2π]，因此，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －π3，x ∈[－2π，2π]的单调递增区间是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－4π3，2π3.15．求函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 3的单调区间． 解析：y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x 3＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 3－π4. 故由2k π－π2≤2x 3－π4≤2k π＋π2(k ∈Z)⇒3k π－3π8≤x ≤3k π＋9π8(k ∈Z)，由2k π＋π2≤2x 3－π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)⇒3k π＋9π8≤x ≤3k π＋21π8(k ∈Z)．∴函数的单调递减区间为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3k π－3π8，3k π＋9π8(k ∈Z)，单调递增区间为[3k π＋9π8，3k π＋21π8](k ∈Z)．16．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________． 解析：由题意知，ω＝2，∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π6，5π6.由三角函数图象知：f (x )的最小值为3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π6＝－32，最大值为3sin π2＝3，∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，317．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π] 解析：作出它们的图象，在四个选项中，只有A 选项才能满足正弦图象在余弦图象下方．答案：A18．函数y ＝3cos 2x －4cos x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3的值域是________． 解析：y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫cos 2x －43cos x ＋49＋1－43＝ 3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －232－13. ∵x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，2π3，∴cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 当cos x ＝23时，y min ＝－13；当cos x ＝－12时，y max ＝154，∴函数y 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，154.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，15419．若函数y ＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是____________．解析：y ＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ，sin x ≥0，－sin x ，sin x <0，图象如下：显然，当k ∈(1，3)时，两曲线有且仅有两个不同的交点． 答案：(1，3)20．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：ω只是变换函数的周期并将函数图象进行伸缩，若ω使函数在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上递减，则ω必小于0，而当|ω|＞1时，图象将缩小周期，故－1≤ω＜0.答案：B21．已知函数f (x )＝log 12(sin x －cos x )．(1)求它的定义域；(2)判定它的奇偶性；(3)判定它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期． 解析：(1)sin x －cos x ＞0，由三角函数线可知，f (x )定义域为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． (2)由f (x )的定义域不关于原点对称，可得f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(3)∵f (2π＋x )＝log 12[sin(2π＋x )－cos(2π＋x )]＝log 12(sin x －cosx )，∴f (x )最小正周期为2π.22．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x ；(2)f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π3； (3)f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1. 解析：利用函数奇偶性定义判断．(1)函数f (x )的定义域为R 且关于原点对称．又∵f (x )＝cos x －x 3·sin x ，∴f (－x )＝cos(－x )－(－x )3·sin(－x )＝cos x －x 3·sin x ＝f (x )． ∴f (x )为偶函数．(2)∵函数定义域⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π3不关于原点对称， ∴它是非奇非偶函数．(3)由tan x ＋1tan x －1＞0，所以tan x ＞1或tan x ＜－1. 故函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π－π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称． 又f (－x )＋f (x )＝lg tan （－x ）＋1tan （－x ）－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝ lg （tan x －1）（tan x ＋1）（tan x ＋1）（tan x －1）＝0. ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．23．求函数y ＝sin 2x ＋a cos x －12a －32的最大值为1时a 的值． 解析：y ＝1－cos 2x ＋a cos x －12a －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22＋a 24－12a －12.因为cos x ∈[－1，1]，要使y 最大，则必须满足⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22最小． ①当a 2＜－1，即a ＜－2时， 若cos x ＝－1，则y max ＝－32a －32. 由题设，令－32a －32＝1得a ＝－53＞－2(舍去)； ②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时， 若cos x ＝a 2，则y max ＝a 24－a 2－12. 由题设，令a 24－a 2－12＝1得a ＝1－7(舍去正值)； ③当a 2＞1即a ＞2时， 若cos x ＝1，则y max ＝a 2－32. 由题设，令a 2－32＝1得a ＝5. 综上所述a ＝5或a ＝1－7.24．求函数y ＝tan 2x －tan x ＋1tan 2x ＋tan x ＋1的最大值与最小值． 解析：令t ＝tan x ∈R ，则原函数化为：y ＝t 2－t ＋1t 2＋t ＋1(t ∈R)． 即(1－y )t 2－(1＋y )t ＋(1－y )＝0.∵y ＝1时，适合题意．∴y ≠1时，有Δ＝[－(1＋y )]2－4(1－y )(1－y )≥0(判别式法求最值)．∴3y 2－10y ＋3≤0.解得13≤y ≤3且y ≠1. 综上，函数的最大值为3，最小值为13.25．已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3，g (x )＝b tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3 (k >0)的周期之和为3π2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋1，求这两个函数，并求g (x )的单调增区间．解析：由条件得2πk ＋πk ＝32π，∴k ＝2. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，得a ＝2b .① 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＝－3g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋1，得a ＝2－2b .② 由①②解得a ＝1，b ＝12. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3， g (x )＝12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π3. ∴当－π2＋k π<2x －π3<π2＋k π，k ∈Z 时，g (x )单调递增．∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π2－π12，k π2＋512π(k ∈Z)．26．若cos 2θ＋2sin θ＋m 2－3＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解析：由已知得：m 2<sin 2θ－2sin θ＋2＝(sin θ－1)2＋1，∵－1≤sin θ≤1，∴－2≤sin θ－1≤0.∴0≤(sin θ－1)2≤4.∴1≤(sin θ－1)2＋1≤5.∴m 2<1.∴－1<m <1.∴m 的取值范围是(－1，1)．。
【金版学案】2021学年高中数学 3．1.3两角和与差的正切检测试题 苏教版必修4(1)
3．1.3 两角和与差的正切你能依照正切函数与正弦、余弦函数的关系，从C(α±β)、S(α±β)动身，推导出用任意角α，β的正切表示tan(α＋β)、tan(α－β)的公式吗？ 基础巩固 1．假设A 、B 为锐角三角形的两个锐角，那么ta n Atan B 的值( )A ．不大于1B ．小于1C ．等于1D ．大于1解析：∵π2<A ＋B<π，∴由tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan Atan B<0，∴1－tan Atan B<0即tan Atan B>1. 答案：D2．假设tan α＝2，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 解析：∵tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3. 答案：－33．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值是________． 解析：tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan[(α－β)＋α]＝－tan α－β＋tan α1－tan α－βtan α＝－－25＋121－⎝ ⎛⎭⎪⎫－25×12＝－11065＝ －112. 答案：－1124．已知tan α＝3(1＋m)，3(tan αtan β＋m)＋tan β＝0，且α、β都是锐角，那么α＋β＝________.解析：tan α·tan β＝－3m －tan β3＝－m －33tan β.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31＋m ＋tan β1＋m ＋33tan β＝3，又∵α、β为锐角，∴α＋β＝π3. 答案：π35．求值：tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°.解析：由tan(42°＋18°)＝tan 60°＝tan 42°＋tan 18°1－tan 42°tan 18°， ∴tan 42°＋tan 18°＝tan 60°(1－tan 42°tan 18°)．即tan 42°＋tan 18°＝3－3tan 18°tan 42°，代入原式，得tan 18°＋tan 42°＋3tan 18°tan 42°＝ 3.能力升级 6．假设tan(α＋β)＝25，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322C.322 D.16 解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝25－141＋25×14 ＝322，应选C. 答案：C7．(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝________.解析：(tan 10°－3)cos 10°sin 50° ＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50° ＝sin －50°cos 10°·cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 答案：－28．已知tan α、tan β是关于x 的方程x2－4px －3＝0(p ∈R)的两个实数根，且α＋β≠k π＋π2(k ∈Z)，求cos2(α＋β)＋psin(α＋β)·cos(α＋β)的值．解析：∵tan α、tan β是方程x2－4px －3＝0的两实根，∴依照韦达定理得tan α＋t an β＝4p ，tan α·tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4p 4＝p ， ∴cos2(α＋β)＋psin(α＋β)·cos(α＋β)＝cos2α＋β＋psin α＋β·cos α＋βsin2α＋β＋cos2α＋β＝1＋ptan α＋βtan2α＋β＋1＝1＋p2p2＋1＝1. 9．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 成等差数列，求tan A2＋ tan C 2＋3tan A 2tan C 2的值． 解析：在△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列，那么B ＝60°，A ＋C ＝120°，于是tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2tan C 2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝tan 60°⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝ 3.10．求tan 20°tan 30°＋tan 30°tan 40°＋tan 40°tan 20°的值．解析：原式＝tan 30°(tan 20°＋tan 40°)＋tan 40°tan 20°＝33tan (20°＋40°)(1－tan 20°tan 40°)＋tan 40°tan 20° ＝33×3(1－tan 20°tan 40°)＋tan 40°tan 20°＝1.11．已知A ＋B ＝45°，求证：(1＋tan A)(1＋tan B)＝2(A ，B ≠k ·180°＋90°，k ∈Z)，并应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)……(1＋tan 44°)的值．证明：∵A ＋B ＝45°，且A 、B ≠k ·180°＋90°，k ∈Z ，∴(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A ＋tan B ＋tan Atan B＝1＋tan(A ＋B)(1－tan Atan B)＋tan Atan B ＝1＋1＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2，(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝2，……(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2.∴(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)……(1＋tan 44°)＝222.。
【金版学案】2021学年高中数学 第三章章末过关检测试题(三)苏教版必修4(1)
章末过关检测卷(三)(测试时刻：120分钟 评判分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°的值为( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析：原式＝sin 13°cos 32°＋cos 13°sin 32°＝sin 45°＝22.应选C.答案：C2．(2021·江西卷)假设sin α2＝33，那么cos α＝( )A ．－23 B ．－13 C.13 D.23解析：∵sin α2＝33，∴cos α＝1－2sin2α2＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫332＝13，应选C. 答案：C3．sin π12－3cos π12的值是( )A ．0B ．－ 2 C. 2 D ．2解析：原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12sin π12－32cos π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π3＝－2sin π4＝－2，应选B.答案：B4．(2021·浙江卷)函数f(x)＝sin xcos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅别离是() A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2解析：f(x)＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，振幅为1，T ＝2πω＝2π2＝π，应选A. 答案：A5．化简21－sin 8＋2＋2cos 8 得( ) A ．2sin 4 B ．2sin 4－4cos 4C ．4cos 4－2sin 4D ．－2sin 4解析：原式＝2sin24＋cos24－2sin 4cos 4＋ 2＋22cos24－1＝2sin 4－cos 42＋2|cos 4| ＝2(cos 4－sin 4)－2cos 4＝－2sin 4.答案：D6．函数f(x)＝32sin 2x －12cos 2x ＋12在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是( )A ．1 B.1＋32 C.32 D ．1＋3解析：f(x)＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，且π4≤x ≤π2，得π2≤2x ≤π，∴π3≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即当x ＝π3时，函数f(x)有最大值1＋12＝32.应选C.答案：C7．设向量a ＝(sin 15°，cos 15°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么a 、b 的夹角为()A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵|a|＝|b|＝1，且a ·b ＝sin 15°cos 15°＋cos 15°sin 15°＝sin 30°＝12， ∴a 、b 的夹角θ，cos θ＝a ·b |a||b|＝12， 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：B 8．(2021·新课标Ⅱ卷)已知sin 2α＝23，那么cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12 D.23解析：因为cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2，因此cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin 2α2＝1－232＝16，应选A. 答案：A9．(2021·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x(x ∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所取得的图象关于y 轴对称，那么m 的最小值是( )A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，将函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，取得y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m －π6，现在关于y 轴对称，那么m －π6＝k π，k ∈Z ，因此m ＝π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，m 的最小值是π6，应选B. 答案：B10.观看等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°cos 60°＝34，sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°＝34和sin215°＋cos245°＋sin 15°cos 45°＝34，…，由此得出以下推行命题不正确的选项是( ) A ．sin2α＋cos2β＋sin αcos β＝34B ．sin 2(α－30°)＋cos2α＋sin(α－30°)cos α＝34C ．sin2(α－15°)＋cos2(α＋15°)＋sin(α－15°)cos(α＋15°)＝34D ．sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34解析：由3个等式观看可知，其结构形式如A 选项， 且β－α＝30°.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 11．(2021·上海卷)假设cos xcos y ＋sin xsin y ＝13，那么cos(2x －2y)＝________. 解析：∵cos xcos y ＋sin xsin y ＝cos(x －y)＝13， ∴cos 2(x －y)＝2cos2(x －y)－1＝－79. 答案：－7912．设f (x)＝2cos2x ＋3sin 2x ＋a ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f(x)有最大值4，那么a ＝________. 解析：f(x)＝2cos2x ＋3sin 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1. 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2知，⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴f(x)max ＝3＋a ＝4，∴a ＝1.答案：113．(2021·四川卷)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，那么tan 2α的值是________． 解析：sin 2α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴α＝2π3，因此tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝3，故填 3.答案：3 14．已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<π2的部份图象如以下图所示，那么f(x)的解析式为________________．解析：由题意知A ＝2，56－13＝12是f(x)周期的14，故T ＝2. ∴ω＝2π2＝π，那么f(x)＝2sin(πx ＋φ)，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2代入知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝2 得φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，得φ＝π6， ∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 答案：f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6 三、解答题(本大题共6小题，共80分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)求 cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°tan 70°－2cos 40°的值． 解析：原式＝cos 20°cos 10°sin 20°＋3sin 10°sin 70°cos70°－2cos 40° ＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°cos 20°sin 20°－2cos 40° ＝cos 20°cos 10°＋3sin 10°sin 20°－2cos 40°＝2cos 20°cos10°sin 30°＋sin 10°cos 30°sin 20°－2cos 40°＝2cos 20°sin40°－2sin 20°cos 40°sin 20°＝2sin 20°sin 20°＝2. 16.(本小题总分值12分)已知sin(α－β)＝35，sin(α＋β)＝－35，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求cos 2β的值．解析：由si n(α－β)＝35及α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得： cos(α－β)＝ －45， 由sin(α＋β)＝－35及α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π得： cos(α＋β)＝ 45. ∴cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×35＝－1. 17．(2021·广东卷)(此题总分值14分)已知函数f(x)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值； (2)假设cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. 解析：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1 (2)∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin θ＝－1－cos2θ＝－45， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝－15.18．(本小题总分值14分)设函数f ()x ＝cos2ωx ＋3sin ωxcos ωx ＋a(其中ω>0，a ∈R)．且f(x)的图象在y 轴右边的第一个最高点的横坐标是π3. (1)求ω的值； (2)若是f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6上的最小值为3，求a 的值． 解析：(1)f ()x ＝cos2ωx ＋3sin ωxcos ωx ＋a ＝1＋cos 2ωx 2＋3sin 2ωx 2＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋12＋a. 依题意得2ω·π3＋π6＝π2⇒ω＝12. (2)由(1)知，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋12＋a ，又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，从而f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，5π6 上的最小值为3＝－12＋12＋a ，故a ＝ 3. 19．(2021·陕西卷)(此题总分值14分)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x)，x ∈R ，设函数f(x)＝a ·b.(1)求f(x)的最小正周期．(2)求f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)f(x)＝a ·b ＝cos x ·3sin x －12·cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.最小正周期T ＝2π2＝π，因此f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，最小正周期为π. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，由标准函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象知，f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1. 因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值别离为1，－12. 20．(本小题总分值14分)设a ∈R ，f(x)＝cos x(asin x －cos x)＋cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x , 知足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f(0)，求函数f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π4， 11π24上的最大值和最小值． 解析：f(x)＝asin xcos x －cos2 x ＋sin2 x＝a 2sin 2x －cos 2x. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f(0)得－32·a 2＋12＝－1， 解得a ＝2 3.因此f(x)＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f(x)为增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f(x)为减函数， 因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2， 又因f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.。
【金版学案】高中数学 第二章章末知识整合试题 苏教版必修4
【金版学案】2014-2015学年高中数学 第二章章末知识整合试题 苏教版必修4e1，e2是不共线的向量，已知向量AB →＝2e1＋ke2，CB →＝e1＋3e2，CD →＝2e1－e2，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．分析：因为A 、B 、D 三点共线，所以存在λ∈R ，使AB →＝λBD →，可由已知条件表示出BD →，由向量相等得到关于λ、k 的方程组，求得k 值． 解析：BD →＝CD →－CB →＝e1－4e2.∵A 、B 、D 三点共线，故存在λ∈R ，使AB →＝λBD →.∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．解得k ＝－8.◎规律总结：向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题，利用向量的相等及向量共线的充要条件是将向量问题实数化的根据，是解决问题的关键． 变式训练1．设两个非零向量e1和e2不共线，如果AB →＝e1＋e2，BC →＝2(e1＋4e2)，CD →＝3(e1－e2)，求证：A ，B ，D 三点共线．分析：要证明A ，B ，D 三点共线，只需证AB →∥AD →.证明：∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e1＋e2)＋2(e1＋4e2)＋3(e1－e2)＝6(e1＋e2)＝6AB →. ∴AB →，AD →为共线向量，又AB →，AD →有公共点A ，故A ，B ，D 三点共线．2．如图所示，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线所围成的阴影区域内(不含边界)运动，且OP →＝xOA →＋yOB →，则x 的取值范围是________________，当x ＝－12时，y 的取值范围是________．解析：∵OP →＝xOA →＋yOB →，据平面向量基本定理，取OA →的相反向量OA ′→， ∵y 可以变化，∴x 可以取任意负实数，故x ∈(－∞，0)． 当x ＝－12时，OA ′→＝－12OA →.过A ′作OB →的平行线交OM →于M ，过M 作OA ′的平行线交OB →于E ，则OE →＝12OB →.同理，过A ′作OB →的平行线交AB →的延长线于F.再过F 作OA →的平行线交OB →的延长线于H ，则OH →＝32OB →，因不包括边界，故y ∈⎝⎛⎭⎫12，32. 答案：(－∞，0) ⎝⎛⎭⎫12，32已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.(1)当t 为何值时，P 在x 轴上？在y 轴上？在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． 分析：(1)将OP →的坐标用t 表示出来，然后讨论OP →的横、纵坐标．(2)若能成为平行四边形，则有OA →＝PB →，解出t 的值；若t 无解，则不能构成平行四边形． 解析：(1)∵OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， ∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t)． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则 ⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.解得－23＜t ＜－13.(2)∵OA →＝(1,2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t,3－3t)． 若四边形OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →.又⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1， 3－3t ＝2 无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形． ◎规律总结：向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，引入向量的坐标表示，向量的运算完全化为代数运算，达到了数与形的统一，通过向量的坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模，判断共线、平行等问题． 变式训练3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求向量MN →的坐标．分析：要求MN →的坐标只要求出M 、N 点的坐标即可．为此须设出M 、N 的坐标，然后用已知条件求出．解析：设M 点坐标为(x ，y)，依题意有 CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)，CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∵CM →＝3CA →，∴(x ＋3，y ＋4)＝3 (1,8)，解得x ＝0，y ＝20，即M 的坐标为(0,20)， 同理可得N 的坐标为(9,2)， ∴MN →＝(9，－18)．4．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 的中点，E 为△ACD 的重心，F 为△ABC 的外心，证明EF ⊥CD.证明：建立如图所示的平面直角坐标系． 设A(0，b)，B(－a,0)，C(a ，0)，则D ⎝⎛⎭⎫－a 2，b 2，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，易知△ABC 的外心F 在y 轴上． 可设F(0，y)，由|AF →|＝|CF →|，可得(y －b)2＝a2＋y2， 所以y ＝b2－a22b ，即F ⎝⎛⎭⎫0，b2－a22b . 又由重心坐标公式得E ⎝⎛⎫a 6，b 2，则EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 6，－a22b ， 所以CD →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－32a ×⎝⎛⎭⎫－a 6＋b 2×⎝⎛⎭⎫－a22b ＝0. 所以CD →⊥EF →，即EF ⊥CD.设0＜|a|≤2，且函数f(x)＝cos2x －|a|sin x －|b|的最大值为0，最小值为－4，且a 与b 的夹角为45°，求|a ＋b|.分析：要求|a ＋b|需知道|a|、|b|，故可利用函数的最值确立|a|、|b|的值． 解析：f(x)＝1－sin2x －|a|sin x －|b|＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋|a|22＋|a|24－|b|＋1.∵0＜|a|≤2，∴当sin x ＝－|a|2时，14|a|2－|b|＋1＝0；当sin x ＝1时，－|a|－|b|＝－4. 由⎩⎪⎨⎪⎧1 4 |a|2－|b|＋1＝0， －|a|－|b|＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧|a|＝2，|b|＝2.∴|a ＋b|2＝8＋42， 即|a ＋b|＝22＋ 2.◎规律总结：平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用数量积可以计算向量的夹角、长度等．对数量积的正确理解及其性质的灵活应用是解决这类问题的关键．变式训练5．如右图所示，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中：①P1P2→·P1P3→，②P1P2→·P1P4→，③P1P2→·P1P5→，④P1P2→·P1P6→，向量的数量积最大的是________(填序号)．解析：设正六边形边长为a ，则P1P2→·P1P3→＝a ·3a ·cos 30°＝32a2，P1P2→·P1P4→＝a ·2a ·cos60°＝a2，P1P2→·P1P5→＝a ·3a ·cos 90°＝0，P1P2→·P1P6→＝a ·a ·cos 120°＝－12a2，∴数量积最大的是P1P2→·P1P3→.故填①. 答案：①6．如图，在△ABC 中，|AB →|＝3，|AC →|＝1，l 为BC 的垂直平分线且交BC 于点D ，E 为l 上异于点D 的任意一点，F 为线段AD 上的任意一点． (1)求AD →·(AB →－AC →)的值．(2)判断AE →·(AB →－AC →)的值是否为一常数，并说明理由． (3)若AC ⊥BC ，求AF →·(FB →＋FC →)的最大值．解析：( 1)AD →·(AB →－AC →)＝12(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝12(|AB →|2－|AC →|2)＝4.(2)AE →·(AB →－AC →)的值为一常数． AE →·(AB →－AC →)＝(AD →＋DE →)·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＋DE →·(AB →－AC →)＝AD →·(AB →－AC →)＝4. (3)当AC ⊥BC 时，BC ＝22，AD ＝3， AF →·(FB →＋FC →)＝AF →·2FD → ＝2(AF →·FD →)＝2|AF →||FD →|cos 0° ＝2|AF →||FD →|.设|AF →|＝x ，则|FD →|＝3－x ， 所以AF →·(FB →＋FC →)＝2x(3－x) ＝－2⎝⎛⎭⎫x －322＋32， 所以当x ＝32时，AF →·(FB →＋FC →)的最大值为32.如下图所示，以△ABC 的两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF ，ACDE ，M 为BC的中点，求证：AM ⊥EF.分析：要证AM ⊥EF ，只需证明AM →·EF →＝0，将AM →用AB →、AC →表示，EF →用AE →、AF →表示，然后通过向量运算证明．证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)，EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AB →|cos(90°＋∠BAC)－ |AB →||AC →|cos(90°＋∠BAC)]＝0， 所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF.◎规律总结：平面向量的应用主要体现在两个方面：一是在平面几何中的应用，向量的加法运算和全等、平行、数乘向量和相似，距离、夹角和向量的数量积之间有密切联系，因此利用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．解决问题的关键是恰当地引入向量，通过向量运算，解释几何性质．二是在物理中的应用，主要解决力、位移、速度等问题．解题的关键在于运用向量的观点将物理问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型．变式训练7．如右图，O 为△ABC 的外心，E 为三角形内的一点，满足OE →＝OA →＋OB →＋OC →，求证：AE →⊥BC →.证明：∵BC →＝OC →－OB →，AE →＝OE →－OA →＝(OA →＋OB →＋OC →)－OA →＝OB →＋OC →， ∴AE →·BC →＝(OC →＋OB →)·(OC →－OB →) ＝|OC →|2－|OB →|2.∵O 为外心，∴|OC →|＝|OB →|. 即AE →·BC →＝0，∴AE →⊥BC →.8．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度与船的实际速度．解析：如题图所示，5|x|＝tan 30°，∴|x|＝53≈8.66 (km/h)． 5|y|＝sin 30°，∴|y|＝10 (km/h)． 即水速约为8.66 km/h ，船实际速度为10 km/h.在直角坐标平面中，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，其中n 是正整数，对平面上任意一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An 为An －1关于点Pn 的对称点． (1)求向量A0A2→的坐标；(2)当点A0在曲线C 上移动时，点A2的轨迹是函数y ＝f(x)的图象，其中f(x)是以3为周期的周期函数，且当x ∈(0,3]时，f(x)＝lg x ，求以曲线C 为图象的函数在(1,4]上的解析式． 分析：(1)求一点关于另一点的对称点，利用中点坐标公式求之； (2)由图象的平移和周期求出函数的解析式． 解析：(1)设点A0(x ，y)，A0关于点P1的对称点A1的坐标为A1(2－x,4－y)， A1关于点P2的对称点A2的坐标为A2(2＋x,4＋y)， 所以A0A2→＝(2,4)．(2)方法一 ∵A0A2→＝(2,4)，∴f(x)的图象由曲线C 向右平移2个单位，再向上平称4个单位得到．因此，曲线C 是函数y ＝g(x)的图象，其中g(x)是以3为周期的周期函数， 且当x ∈(－2,1]时，g(x)＝lg(x ＋2)－4. 于是，当x ∈(1,4]时，g(x)＝lg(x －1)－4. 方法二 设A0(x ，y)，A2(x2，y2)，于是⎩⎪⎨⎪⎧x2－x ＝2，y2－y ＝4.若3＜x2≤6，则0＜x2－3≤3， 于是f(x2)＝f(x2－3)＝lg(x2－3)．当1＜x ≤4时，则3＜x2≤6，y ＋4＝lg(x －1)． ∴当x ∈(1,4]时，g(x)＝lg(x －1)－4.◎规律总结：向量作为一种基本工具，在数学解题中有着重要的地位与作用，它的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得了广泛的应用．利用向量知识和向量方法可以非常简捷、规范地处理代数中的数列、函数、方程、不等式等有关问题． 变式训练9．已知点A(2,2)，B(4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．解析：设P 点的坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)， ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1，此时PA →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)，PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)． ∴|PA →|＝5，|PB →|＝ 2.∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.10．如右图，在平面斜坐标xOy 中．∠xOy ＝60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的：若OP →＝xe1＋ye2(其中e1，e2分别为与x 轴，y 轴同方向的单位向量)，则点P 的斜坐标为(x ，y)．(1)若点P 的斜坐标为(2，－2)，求P 到O 的距离|OP|；(2)求以O 为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程．解析：(1)因点P 的坐标为(2，－2)，故OP →＝2e1－2e2，|OP →|＝2，即|OP|＝2. (2)设圆上动点M 的坐标为(x ，y)， 则OM →＝xe1＋ye2，又|OM →|＝1.∴(xe1＋ye2)2＝1. ∴x2＋y2＋2xye1·e2＝1， 即x2＋y2＋xy ＝1，故所求方程为x2＋y2＋xy －1＝0.。
【金版学案】2021学年高中数学 3．3几个三角恒等式检测试题 苏教版必修4(1)
3．3 几个三角恒等式变换是数学的重要工具，也是数学学习的要紧对象之一，三角要紧有以下三个大体的恒等变换：(1)代换；(2)公式的逆向变换和多向变换；(3)引入辅助角的变换．前面已利用诱导公式进行过简易的恒等变换，本节中将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行加倍丰硕的三角恒等变换． 基础巩固1．函数y ＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－1是( )A ．周期为2π的奇函数B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为π的偶函数解析：y ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－sin 2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12sin 2x.∴是奇函数且周期T ＝2π2＝π.答案：C2．为了取得函数y ＝3sin xcos x ＋12cos 2x 的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象() A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度 解析：∵y ＝3sin xcos x ＋12cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴将y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度能够取得，应选A. 答案：A 3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，那么tan 2α＝__________. 解析：∵sin α＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin2α＝－255. ∴tan α＝sin αcos α＝－12， ∴tan 2α＝2 tan α1－tan2α＝－11－14＝－43. 答案：－43 4．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的值域是________． 解析：y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12cos 2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，125．假设A ＋B ＝120°，那么sin A ＋sin B 的最大值是________．解析：sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B 2cos A －B 2＝3cos A －B 2≤3， ∴最大值为3. 答案：36．函数f(x)＝cos 2x －23sin xcos x 的最小正周期是________． 解析：f(x)＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝π. 答案：π7．假设tan θ＝3，那么sin 2θ－cos 2θ的值为________．答案：758．假设cos α＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么tan α2＝________. 答案：129．求函数f(x)＝cos4x ＋sin2x 的最大值和最小值．解析：f(x)＝cos4x ＋1－cos2x＝(cos2x －12)2＋34， 当cos2x ＝12，即x ＝k π2＋π4，k ∈Z 时， f(x)min ＝34； 当cos2x ＝0或1时，即x ＝k π2，k ∈Z 时， f(x)max ＝1.10．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，求sin 2θ－2cos2θ的值．解析：由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，1＋tan θ1－tan θ＝3，得tan θ＝12，sin 2θ＝2tan θ1＋tan2θ＝2×121＋14＝154＝45，cos2θ＝cos2θsin2θ＋cos2θ＝1tan2θ＋1＝114＋1＝45， ∴原式＝45－2×45＝－45. 能力升级11．已知3π2<α<2π，且cos α＝14， 求12＋1212＋12cos 2α的值． 解析：∵3π2<α<2π， ∴原式＝12＋1212＋2cos2α－12 ＝12＋12cos α ＝12＋12×14 ＝104. 12．已知sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝2，求sin2β＋2cos 2α的值． 解析：由sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝2， 得sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝2sin α，sin(2α＋β)－2×12[sin(2α＋β)＋sin(－β)]＝2sin α. ∴sin β＝2sin α.∴sin 2β＋2cos 2α＝4sin2α＋2(1－2sin2α)＝2.13．已知sin α＋sin β＝14，tan(α＋β)＝247，求cos α＋cos β. 解析：由sin α＋sin β＝14，得 2sin α＋β2cos α－β2＝14，① 设cos α＋cos β＝k ，那么2cos α＋β2cos α－β2＝k ，② 且k ≠0假设k ＝0，那么cos α＋β2＝0，那么α＋β＝2k π＋π，ta n(α＋β)＝0，与题设矛盾． 由①②得tan α＋β2＝14k， ∵tan(α＋β)＝247， ∴2tan α＋β21－tan2α＋β2＝2×14k 1－116k2＝8k16k2－1＝247， 解得k ＝13或－316. 由此可知cos α＋cos β＝13或－316. 14．已知sin x －cos x ＝13，求sin3x －cos3x 的值． 解析：由sin x －cos x ＝13得， 1－2sin xcos x ＝19，∴sin xcos x ＝49， ∴sin3x －cos3x ＝(sin x －cos x)(sin2x ＋sin xcos x ＋cos2x)＝13⎝⎛⎭⎪⎫1＋49＝1327.15．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求a ·b 及|a ＋b|；(2)假设f(x)＝a ·b －2λ|a ＋b|(λ>0)的最小值是－32，求λ的值． 解析：(1)a ·b ＝cos 3x 2cos x 2＋sin 3x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＝cos 2x ＝2cos2x －1， a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x 2. ∴|a ＋b|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22 ＝2cos 2x ＋2＝2cos x.(2)由(1)得f(x)＝2(cos x －λ)2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，假设0<λ≤1，[f(x)]min ＝－1－2λ2＝－32，λ＝12； 若λ>1，[f(x)]min ＝2(1－λ2)－1－2λ2＝－32，λ＝104，与λ>1，矛盾． ∴λ＝12.。
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模块综合检测卷 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是( ) A．平行 B．相等 C．相交但不垂直 D．垂直
解析：根据向量的几何意义，作OA→＝a，OB→＝b， 则在▱CAOB中，OC→＝a＋b，BA→＝a－b， 因为|a|＝|b|，即OA＝OB，所以▱CAOB是菱形．
所以AB⊥OC，即BA→⊥OC→.所以(a＋b)⊥(a－b)． 答案：D 2．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于( )
A．－35 B.45 C.25 D．－25 解析：因为α的终边过点P(4，－3)， 所以x＝4，y＝－3，r＝|OP|＝5.
所以sin α＝yr＝－35，cos α＝45. 所以2sin α＋cos α＝2×－35＋45＝－25. 答案：D 3．下列各向量中，与a＝(3，2)垂直的是( ) A．(3，－2) B．(2，3) C．(－4，6) D．(－3，2) 解析：(3，2)·(－4，6)＝3×(－4)＋2×6＝0. 答案：C
4．要得到函数y＝3sin2x＋π4的图象，只需将函数y＝3sin 2x的图象( ) A．向左平移π4个单位长度 B．向右平移π4个单位长度 C．向左平移π8个单位长度 D．向右平移π8个单位长度 解析：因为y＝3sin2x＋π4＝3sin2x＋π8，所以由y＝3sin 2x的图象向左平移π8个单位长度可得y＝3sin2x＋π4的图象． 答案：C 5．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋12x D．y＝x2＋sin x 解析：A为奇函数，B、C为偶函数，D中，y＝x2＋sin x是非奇非偶函数． 答案：D 6．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是( ) A．π B．2π
C.π2 D．2
解析：f(x)＝sin2x－sin xcos x＝1－cos 2x2－12sin 2x＝12－22sin2x＋π4，所以T＝2π2＝π. 答案：A 7．将函数y＝sin x的图象向左平移π2个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝π2对称
D．y＝f(x)的图象关于点－π2，0对称 解析：由题意得y＝f(x)＝sinx＋π2＝cos x. 显然A，B，C均错误，只有D正确． 答案：D
8．若θ∈0，π2，sin θ－cos θ＝22，则cos 2θ等于( ) A.32 B．－32 C．±32 D．±12 解析：由sin θ－cos θ＝22， 得1－2sin θcos θ＝12，则sin 2θ＝12. 即1－2sin θcos θ＝12，所以sin 2θ＝12. 因为θ∈0，π2，sin θ >cos θ， 所以θ∈π4，π2.所以2θ∈π2，π. 所以cos 2θ＝－1－sin22θ＝－32. 答案：B 9．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.kπ－14，kπ＋34，k∈Z B.2kπ－14，2kπ＋34，k∈Z C.k－14，k＋34，k∈Z D.2k－14，2k＋34，k∈Z 解析：由图象知，周期T＝254－14＝2， 所以2πω＝2，所以ω＝π.由π·14＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z， 不妨取φ＝π4，所以f(x)＝cosπx＋π4. 由2kπ所以f(x)的单调递减区间为2k－14，2k＋34，k∈Z. 答案：D 10．先令函数y＝cos x的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12，再把图象沿x
轴向左平移π4个单位长度，则所得图象对应的函数表达式为( ) A．y＝sin 2x B．y＝－sin 2x C．y＝cos2x＋π4 D．y＝cosx2＋π4 解析：第一步变换后所得函数表达式是y＝cos 2x，第二步变换后所得函数表达式是y＝cos2x＋π4＝cos2x＋π2＝－sin 2x 答案：B 11．函数y＝3sinπ3－2x的单调递增区间是( ) A.－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z) B.π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z) C.5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z) D.－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z) 解析：由题可得y＝－3sin2x－π3， 由π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z， 得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z， 所以原函数的单调递增区间是5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)． 答案：C 12．已知向量a＝(2cos φ，2sin φ)，φ∈π2，π，b＝(0，－1)，则a与b的夹角为( ) A．φ B.π2－φ C.π2＋φ D.3π2－φ 解析：|a|＝ （2cos φ）2＋（2sin φ）2＝2， |b|＝1，a·b＝－2sin φ，设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝a·b|a||b|＝－2sin φ2×1＝－sin φ＝sin(－φ)＝cos3π2－φ，则cos θ＝cos3π2－φ，且3π2－φ∈π2，π，所以θ＝3π2－φ. 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)
13．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________．
解析：设此三角形的底角为α，顶角为β，则cos α＝45，sin α＝35，所以sin β＝sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：2425 14．(2014·陕西卷)设0＝________． 解析：因为a∥b，所以sin 2θ·1－cos2θ＝0.
所以2sin θcos θ－cos2θ＝0.因为00.
所以2sin θ＝cos θ.所以tan θ＝12. 答案：12 15．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分
别在线段BC和DC上，且BE→＝23BC→，DF→＝16DC→，则AE→·AF→的值为________． 解析：取BA→，BC→为一组基底，则AE→＝BE→－BA→＝23BC→－BA→，AF→＝AB→＋BC→＋CF→＝－BA→＋BC→＋512BA→＝－712BA→＋BC→， 所以AE→·AF→＝23BC→－BA→·－712BA→＋BC→＝712|BA→|2－2518BA→·BC→＋23|BC→|2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. 答案：2918 16．(2015·天津卷)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sinωx＋π4， 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称， 所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z，所以ω2＝π4＋2kπ，k∈Z. 又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，
所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π2 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为θ. (1)若a∥b，求a·b； (2)若a－b与a垂直，求θ. 解：(1)因为a∥b，所以θ＝0°或180°， 所以a·b＝|a||b|cos θ＝±2. (2)因为a－b与a垂直， 所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝1－2cos θ＝0.
所以cos θ＝22. 又0°≤θ ≤180°，所以θ＝45°. 18．(本小题满分12分)已知sinα－π4＝7210，cos 2α＝725，求sin α及tanα＋π3. 解：因为sinα－π4＝22 (sin α－cos α)＝7210， 所以sin α－cos α＝75.① 因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α) (cos α＋sin α)＝－75(cos α＋sinα)， 所以cos α＋sin α＝－15.② 由①②得：sin α＝35，cos α＝－45. 所以tan α＝－34.
所以tanα＋π3＝tan α＋31－3tan α＝3－341＋334＝48－25311.