M09JA06证明(三)平行四边形与梯形 2

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【典例精讲】第5讲平行四边形和梯形-四年级上册数学精品讲义(思维导图+

第5讲平行四边形和梯形（思维导图+学问梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、学问点梳理学问点一：平行与垂直1.平行同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

直线a是直线b的平行线，直线a与b相互平行，记作a∥b，或者b∥a 2.垂直两条直线相交成直角，就说这两条直线相互垂直。

直线a是直线b的垂线，交点叫做垂足，记作a⊥b，或者b⊥a垂线的画法：用三角尺画已知直线的垂线比较便利，先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再沿着另一条直角边化一条直线，这条直线就是已知直线的垂线。

学问点二：平行四边形1.两组对边分别平行且相等的四边形叫做平行四边形。

2.常见的四边形有桌子、柜子、地砖、床、书本、打印纸等。

3.从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。

4.通过动手操作，我们发觉平行四边形简洁变形。

5.长方形和正方形是特殊的平行四边形。

学问点三：梯形1.只有一组对边平行的四边形叫做梯形。

2.两腰相等的梯形叫等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫直角形。

3.梯形中，平行的一组对边叫做梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰。

4.一个平行四边形能分成两个完全一样的梯形。

学问点四：四边形之间的关系长方形、正方形是特殊的平行四边形。

三、例题精讲考点一：平行与垂直【典型一】关于下图，下列说法错误的是（）。

A．直线a比直线c短B．直线a与直线b不平行C．直线c与直线d之间距离都相等D．直线c与直线d都垂直于直线a【分析】依据题意，直线无法测量长度；直线a与直线b不平行；平行线间的距离处处相等，因此直线c与直线d之间距离都相等；直线c与直线d都垂直于直线a，据此推断即可。

【详解】A．直线无法测量长度，所以直线a比直线c短，说法错误；B．直线a与直线b能相交，故不平行；C．直线c与直线d相互平行，所以它们之间距离都相等；D．直线c与直线d都垂直于直线a。

平行四边形和梯形知识点总结

平行四边形矩形菱形正方形梯形等腰梯形图形定义两组对边分别平行的四边形。

用“”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”有一个角是直角的平行四边形是矩形有一组邻边相等的平行四边形是菱形有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形两腰相等的梯形性质边对边平行（位置关系）；对边相等（数量关系）；对边平行（位置关系）；对边相等（数量关系）；对边平行；对边相等；四边相等对边平行（位置关系）；对边相等（数量关系）；四边相等上底（短）∥下底（长）即AB∥CD上底（短）∥下底（长）两腰相等角对角相等；邻角互补。

对角相等；邻角互补。

四角为90°。

对角相等；邻角互补。

四角为90°∠1+∠2=180°；∠3+∠4=180°∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°；∠1=∠3，∠2=∠4对角线对角线互相平分对角线互相平分；对角线相等。

对角线互相平分；对角线互相垂直；每一条对角线平分一组对角。

对角线互相平分；对角线相等；对角线互相垂直；每一条对角线平分一组对角。

对角线相等。

对称性中心对称图形中心对称图形；轴对称图形（对称轴为对边中点连线所在的直线，2条）中心对称图形；轴对称图形（对称轴为对角线所在位置，2条）。

中心对称图形；轴对称图形（其中2条为对称轴为对角线所在位置，另外2条为对边中点连线所在的直线）。

轴对称图形（对称轴为上底和下底中点连线所在的位置）。

判定边两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；一组平行且相等的四边形；四条边都相等的四边形；有一组邻边相等的平行四边形；有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形；邻边相等的矩形；四边相等四角相等的四边形；有一组对边平行，另外一组对边不平行的四边形对角线相等的梯形角两组对角分别相等的四边形；有一个角是直角的平行四边形；四个角都相等的四边形。

平行四边形,三角形,梯形推导过程

平行四边形,三角形,梯形推导过程一、平行四边形推导过程1. 定义：平行四边形是一种特殊的多边形，它由两条平行的边和其他形成的三角形组成。

2. 推导：首先，假设AB、CD是平行四边形ABCD中的两条平行边，我们可以使用三角函数来推导出平行四边形ABCD的其他边。

令θ表示AB和CD之间的夹角，根据正弦定理，有：sinθ=AC/BC同时根据余弦定理，有：cosθ=AD/BD将AB和CD分别代入上式即可得到AC和AD的值。

3. 结论：通过以上推导，我们可以得出结论：如果已知平行四边形ABCD的两条平行边AB和CD的长度以及夹角θ，那么就可以使用三角函数来求出平行四边形ABCD的其他边的长度。

二、三角形推导过程1. 定义：三角形是一种特殊的多边形，它由三条边和三个内角组成。

2. 推导：首先，假设a、b、c是三角形ABC中的三条边，我们可以使用三角函数来推导出三角形ABC的内角。

令α表示A角，β表示B角，γ表示C角，根据正弦定理，有：sinα=b/csinβ=a/csinγ=a/b同时根据余弦定理，有：cosα=a/ccosβ=b/ccosγ=a/b将a、b、c分别代入上式即可得到α、β和γ的值。

3. 结论：通过以上推导，我们可以得出结论：如果已知三角形ABC的三条边的长度，那么就可以使用三角函数来求出三角形ABC的三个内角的大小。

三、梯形推导过程1. 定义：梯形是一种特殊的多边形，它由四条边和四个角组成，其中两条边是平行的。

2. 推导：首先，假设a、b、c、d是梯形ABCD中的四条边，我们可以使用三角函数来推导出梯形ABCD的四个角的大小。

令α表示A角，β表示B角，γ表示C角，δ表示D角，根据正弦定理，有：sinα=d/bsinβ=c/bsinγ=d/asinδ=c/a同时根据余弦定理，有：cosα=a/bcosβ=a/ccosγ=b/dcosδ=b/c将a、b、c、d分别代入上式即可得到α、β、γ和δ的值。

梯形与平行四边形梯形与平行四边形的性质与判断方法

梯形与平行四边形梯形与平行四边形的性质与判断方法梯形与平行四边形：性质与判断方法1. 引言在几何学中，梯形和平行四边形是两个常见的多边形。

它们具有独特的性质和特征，我们可以根据这些性质来判断一个四边形是否为梯形或平行四边形。

本文将介绍梯形与平行四边形的性质和判断方法。

2. 梯形的性质梯形是一种具有两条平行边的四边形。

下面是梯形的一些重要性质：a) 两组对边分别平行。

b) 两组对边中的一组长度相等，这组对边被称为梯形的底。

c) 两组底角的和等于180度。

d) 梯形的对角线长度相等。

e) 梯形的高是底边的垂直距离。

3. 平行四边形的性质平行四边形是一种具有两组平行边的四边形。

下面是平行四边形的一些重要性质：a) 两组对边分别平行。

b) 对边长度相等。

c) 对角线相互平分，并且长度相等。

d) 两组内角的和等于180度。

e) 任意一角的补角与它对立角相等。

4. 如何判断一个四边形是梯形如果一个四边形满足下列任意一条性质，那么它可以被判断为梯形：a) 有一组相等的对边平行。

b) 有一组对角线相等。

5. 如何判断一个四边形是平行四边形如果一个四边形满足下列任意一条性质，那么它可以被判断为平行四边形：a) 有两组对边分别平行。

b) 对边长度相等。

c) 对角线相互平分，并且长度相等。

6. 示例与证明通过以下示例来验证我们所介绍的性质和判断方法：示例1：ABCD是一个四边形，AB || CD，AC = BD，AC与BD相交于O点。

证明：首先，已知AB || CD，根据平行四边形的性质（性质5a），我们可以判断ABCD是一个平行四边形。

其次，由于AC = BD，根据平行四边形的性质（性质5b），我们可以再次确认ABCD是一个平行四边形。

示例2：EFGH是一个四边形，EF = GH，EG与FH相交于M点。

证明：首先，已知EF = GH，根据梯形的性质（性质4b），我们可以判断EFGH是一个梯形。

其次，由于EG与FH相交于M点，根据梯形的性质（性质4e），我们可以再次确认EFGH是一个梯形。

梯形与平行四边形的计算

梯形与平行四边形的计算梯形和平行四边形是几何学中常见的两个图形，通过计算梯形和平行四边形的面积和周长，我们可以更好地理解和运用它们。

本文将介绍梯形和平行四边形的计算方法，并通过具体的例子加深理解。

一、梯形的计算梯形是一个具有两个平行底边的四边形，这两个底边之间的两条边称为梯形的腰。

我们可以通过以下公式计算梯形的面积和周长。

1. 面积计算公式：梯形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式如下：面积 = （上底 + 下底） ×高 ÷ 2举例来说，如果梯形的上底为8 cm，下底为12 cm，高为5 cm，则梯形的面积为：面积 = （8 + 12） × 5 ÷ 2 = 50 平方厘米2. 周长计算公式：梯形的周长可以通过将所有边长相加得出，公式如下：周长 = 上底 + 下底 + 左腰长 + 右腰长例如，如果梯形的上底为8 cm，下底为12 cm，左腰长为6 cm，右腰长为4 cm，则梯形的周长为：周长 = 8 + 12 + 6 + 4 = 30 cm通过以上计算公式，我们可以准确计算出梯形的面积和周长。

二、平行四边形的计算平行四边形是一个具有两对平行边的四边形，它的特点是相对的边长和夹角相等。

下面介绍平行四边形的面积和周长的计算方法。

1. 面积计算公式：平行四边形的面积可以通过底边长度和高来计算，公式如下：面积 = 底边长度 ×高例如，如果平行四边形的底边长为10 cm，高为6 cm，则平行四边形的面积为：面积 = 10 × 6 = 60 平方厘米2. 周长计算公式：平行四边形的周长可以通过将所有边长相加得出，公式如下：周长 = 边1 + 边2 + 边3 + 边4举例来说，如果平行四边形的四个边长分别为6 cm，8 cm，6 cm，8 cm，则平行四边形的周长为：周长 = 6 + 8 + 6 + 8 = 28 cm通过以上计算公式，我们可以轻松计算平行四边形的面积和周长。

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C
A
D

B
F

第六讲：证明（三）平行四边形与梯形
【知识要点】
1、本章知识网络（一）(理解、记忆)
平行四边形的性质：平行四边形的判定方法：
①平行四边形的对边平行； ①两组对边分别______的四边形是平行四边形；
②平行四边形的对边_______； ②两组对边分别______的四边形是平行四边形；
③平行四边形的对角_______； ③一组对边______且______的四边形是平行四边形；
④平行四边形的对角线_____________； ④__________互相平分四边形是平行四边形；
⑤两组对角分别_______的四边形是平行四边形
等腰梯形的性质：等腰梯形的常用判定方法：
① 等腰梯形___________的两个角相等； ①同一底上的两个角相等的梯形是__________；
②等腰梯形的两条对角线_______； ②____________相等的梯形是等腰梯形.
三角形中位线定理：三角形的________平行于第三边，且等于______________________.
梯形中位线定理：梯形的________平行于上底与下底，且等于______________________.
2．梯形中常见辅助线的添法：

【经典例题】
例1、如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的点，且BF=DE。
求证：四边形AECF是平行四边形。

平移一腰
作两条高
平移对角线
两腰延长

一顶点与一腰中点

连接并延长

例2. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF。请你以F为一个端点，和图中已标明
字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）。
（1）连结___________
（2）猜想：__________=__________。
（3）证明：

例3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=12cm，上底AD=15cm，∠BAD=120°，
求梯形ABCD的面积。

例4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，求梯形的面积。
C D A B

C D A B

D C
F
E

A B

【随堂练习】
1．下列命题中错误的是 ( )
A．平行四边形的对角线互相平分； B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；
C．等腰梯形的对角线相等； D．两对邻角互补的四边形是平行四边形.
2.平行四边形ABCD中，∠A：∠B=7：2，则∠C、∠D分别为（）。
A．70°和20° B．280°和80° C．140°和40° D．105°和30°
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5，AB=6，BC=8，且AB∥DE，则△DEC的周长是（）．
（A）3 （B）12 （C）15 （D）19
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，两对角线交于点O，则图中面积相等的三角形有（）．
（A）4对（B）3对（C）2对（D）1对
5.如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD与AC的和为18㎝，CD：DA=2：3，△AOB的周
长为13㎝，则BC的长为（）。
A．6㎝ B．9㎝ C．3㎝ D．12㎝
6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC= 4cm，∠A=60°，BD平分∠ABC，则这个梯形的周长是( )
A．16cm； B. 20cm； C.24 cm； D. 30 cm；

7．已知四边形的四个内角的度数之比是2：2：1：3，那么这个四边形是（）
A．任意四边形 B．任意梯形 C．等腰梯形 D．直角梯形
8．如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2cm，BC=4cm，高DF=2cm，则DC=_______cm．
9．在梯形ABCD中，AD∥BC，已知∠B=25°，∠C=75°，则∠A=______，∠D=_____．
10．如果梯形的中位线长为9cm，下底的长为12cm，•那么这个梯形的上底的长等于_________cm．
11．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，若AD=4cm，AB=8cm，•试求出此梯形的周长和面积．

题3图
A C D
O
B
题5图 A B C D 题6图题4图

12．已知四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD于点E。当点E是AD的中点，
且BC=2CD时，求证：∠F=∠BCF。

【课后强化】
1．下面给出的条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）。
A．一组邻角互补，一组对角相等。 B．一组对边平行，一组邻角相等。
C．一组对边相等，一组对角相等。 D．一组对边相等，一组邻角相等。
2．在ABCD中，已知∠ABC=60°，则∠BCD=____________。

3、已知：AE⊥BC, AF⊥CD , AE=24,AF=25,□ABCD的周长是36，求□ABCD的面积

4、如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.
求证AC=CE.