2016-2017学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷(理科)

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山东省德州市2017届高三上学期期末数学试卷文科含解析

2016-2017学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分）1．已知全集U=R，会合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（?UM）∪N=（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x≤3}C．{x|﹣3＜x≤2}D．{x|0＜x ＜1}2．复数z= ，则=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．已知向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），若∥，则x的值为（）A．﹣2B．﹣2或0C．1或﹣3D．0或2．已知：函数f（x）=3﹣ax2+x+b在R上是增函数，q：函数f（x）=x a﹣2在4（0，+∞）上是增函数，则p是￢q（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件5．以下图的程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．1 B．5C．16D．486．已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（）A．B．C．﹣D．7．抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有同样的焦点，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（）2﹣=1B．y2﹣=1C．﹣y2．﹣2A．x=1D y=18．某几何体的三视图以下图（单位：cm），则该几何体的表面积是（）cm2（）A．80 B．76 C．72D．689．2016年1月1日起全国一致实行全面两孩政策，为认识适龄公众对松开生育二胎政策的态度，某市选用70后和80后作为检核对象，随机检查了100位，获得数据如表：生二胎不生二胎共计70后30154580后451055共计7525100依据以上检查数据，以为“”）生二胎与年纪相关的掌握有（参照公式：x2，此中11+n12+n21+n22．=n=n参照数据：P（x2≥k0）k0A．90%B．95%C．99%D．99.9%10．方程x2+x﹣1=0的解可视为函数y=x+与函数y=的图象交点的横坐标，若x4+ax 4=0的各根x1、x2、⋯、x k（k≤4）所的点（x i，）（i=1，2，⋯，k）均在直y=x的同一，数a的取范是（）A．（∞，6）B．（∞，6）∪（6，+∞）C．（6，+∞）D．（6，6）二、填空（共5小，每小5分，分25分）11．已知函数f（x）=f（f（2））的．12．交通堵指数是合反应道路网通或堵的观点，交通堵指数T，其范[0，10]，分有五个；T∈[0，2]通；T∈[2，4]基本通；T∈[4，6]度堵；T∈[6，8]中度堵；T∈[8，10]重堵．晚顶峰段（T≥2），从某市交能指中心取了市里20个交能路段，依照其交能堵指数数据制的直方如所示，用分抽的方法从交通指数在[4，6]，[6，8]，[8，10]的路段中共抽取6此中段，中度堵的路段抽取个．13．若量x，y足2y2的最小是．，x+14．如，正方形是2，直x+y 3=0与正方形交于两点，向正方形内投，落在暗影部分内的概率是．15．函数f（x）在[a，b]上存心，若随意x1、x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上拥有性质P，现给出以下命题：①f（x）=在[1，3上拥有性质P；]②若f（x）在区间[1，3上拥有性质P，则f（x）不行能为一次函数；]③若f（x）在区间[1，3上拥有性质P，则f（x）在x=2处获得最大值1，则f（x）]=1，x∈1，3]；[④若f（x）在区间[1，3]上拥有性质P，则对随意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．此中真命题的序号为．三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知向量=（2sinx，cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=?．（Ⅰ）求f（x）的单一递加区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角C为锐角，且f（﹣=，a=，S△ABC=2，求c的值．17．某高校青年志愿者协会，组织大一学生展开一次爱心包裹劝募活动，将派出的志愿者，分红甲、乙两个小组，分别在两个不一样的场所进行劝募，每个小组各6人，爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念，茎叶图记录了这两个小构成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中乙组的一个数据模糊不清，用x表示，已知甲组送出钥匙扣的均匀数比乙组的均匀数少一个．（1）求图中x的值；（2）在乙组的数据中任取两个，写出全部的基本领件并求两数据都大于甲组增均数的概率．18．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ACB，AA1=A1C=AC=2，BC= ，且A1C⊥BC，点E，F分别为AB，A1C1的中点．（1）求证：BC⊥平面ACA1；（2）求：EF∥平面BB1C1C；（3）求四棱A1BB1C1C的体．19．数列{a n}的前n和S，已知a+2（n∈N*）．n1=2，a n1=2S n+（1）求数列{a n}的通公式；（2）b n=，数列{}的前n和T n，明：T n＜．．已知函数x（ax2+bx+c）的函数y=f（′x）的两个零点3和0．（其20f（x）=e中⋯）（Ⅰ）当a＞0，求f（x）的区；（Ⅱ）若f（x）的极小e3，求f（x）在区[ 5，1]上的最大．21．如，在平面平直角坐系xOy中，已知 C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，在点A（2，0），点A作斜率k（k≠0）的直l交C于点D，交y于点E．（1）求C的方程；（2）已知点PAD的中点，能否存在定点Q，于随意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q 的坐，若不存在，明原因；（3）若点O作直l的平行交C于点M，求的最小．2016-2017学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（共10小题，每题5分，满分50分）1．已知全集 U=R ，会合 M={x|x 2+2x ﹣3≥0}，N={x|log 2≤ ，则（U ）∪N=x1} ?M（）A ．{x|﹣1≤x ≤2}B ．{x|﹣1≤x ≤3}C ．{x|﹣3＜x ≤2}D ．{x|0＜x ＜1} 【考点】交、并、补集的混淆运算．【剖析】求出会合的等价条件，依据会合的基本运算进行求解即可．【解答】解：M={x|x 2+2x ﹣3≥0}={x|x ≥1或x ≤﹣3}，N={x|log 2x ≤1}={x|0＜x≤2}，则?U M={x|﹣3＜x ＜1}，则（?U M ）∪N={x|﹣3＜x ≤2}，应选：C2．复数z=，则=（）A ．iB ．1+iC ．﹣iD ．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数【解答】解：z= =则=i ．应选：A ．z ，则可求．，3．已知向量 =（1，x ），=（2x+3，﹣x ）（x ∈R ），若 ∥，则x 的值为（） A ．﹣2B ．﹣2或0C ．1或﹣3D ．0或2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．x的值．【剖析】依据题意和平面向量共线的坐标表示列出方程，化简后求出【解答】解：∵向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R），且∥，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即2x（x+2）=0，解得x=﹣2或x=0，应选B．4．已知p：函数f（x）=x3﹣ax2+x+b在R上是增函数，q：函数f（x）=x a﹣2在（0，+∞）上是增函数，则p是￢q（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】依据函数单一性和导数的关系联合函数单一性的性质分别求出p，q的等价条件，联合充足条件和必需条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数f（x）= x3﹣ax2+x+b 在R上是增函数，则f′（x）=x2﹣ax+1≥0恒建立，即鉴别式△=a2﹣4≤0，则﹣2≤a≤2，即p：﹣2≤a≤2，若函数f（x）=x a﹣2在（0，+∞）上是增函数，则a﹣2＞0，即a＞2即q：a＞2，￢q：a≤2，则p是￢q的充足不用要条件，应选：A5．以下图的程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．1 B．5C．16D．48【考点】程序框图．【剖析】模拟程序的运转，挨次写出每次循环获得的v，i的值，可适当i=﹣1时不知足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48．【解答】解：模拟程序的运转，可得n=3，x=3，v=1，i=2知足条件i≥0，履行循环体，v=5，i=1知足条件i≥0，履行循环体，v=16，i=0知足条件i≥0，履行循环体，v=48，i=﹣1不知足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48．应选：D．6．已知sin（α）=，则cos（﹣2α）=（）+A．B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【剖析】利用引诱公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos（﹣2α）的值．【解答】解：∵sin（+α）= =cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=﹣，应选：C．7．抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有同样的焦点，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（）2﹣=1B．y2﹣=1C．﹣y2．﹣2A．x=1D y=1【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【剖析】先求出抛物线的焦点坐标，即可获得c=2，再求出双曲线的渐近线方程，依据点到直线的距离求出b的值，再求出a，问题得以解决．【解答】解：∵抛物线y2=8x中，2p=8，∴抛物线的焦点坐标为（2，0）．∵抛物线y2=8x与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）有同样的焦点，c=2，∵双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且该焦点到双曲线C的渐近线的距离为1，∴=1，即=1，解得b=1，∴a2=c2﹣b2=3，∴双曲线C的方程为﹣y2=1，应选：D．8．某几何体的三视图以下图（单位：cm），则该几何体的表面积是（）cm2（）A．80 B．76 C．72D．68【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】由三视图知，几何体是两个同样长方体的组合，长方体的长宽高分别为4，2，2，两个长方体的重叠部分是一个边长为2的正方形，由此能求出该几何体的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是两个同样长方体的组合，长方体的长宽高分别为4，2，2，两个长方体的重叠部分是一个边长为2的正方形，如图，该几何体的表面积为：S=2（2×2×2+2×4×4）﹣2（2×2）=72．应选：C．9．2016年1月1日起全国一致实行全面两孩政策，为认识适龄公众对松开生育二胎政策的态度，某市选用70后和80后作为检核对象，随机检查了100位，获得数据如表：生二胎不生二胎合70后30154580后451055合7525100依据以上数据，“生二胎与年相关”的掌握有（）参照公式：x2nn n．=，此中n=n11+12+21+22参照数据：P（x2≥k0）k0A．90%B．95%C．99%D．99.9%【考点】独立性的用．【剖析】依据列表中的数据，算K2的，即可获得．【解答】解：由意，K2≈＞，=∴有90%以上的掌握“生二胎与年相关”．故A．10．方程x2+x 1=0的解可函数y=x+与函数y=的象交点的横坐，若x4+ax 4=0的各根x1、x2、⋯、x k（k≤4）所的点（x i，）（i=1，2，⋯，k）均在直y=x的同一，数A．（∞，6）B．（∞，a的取范是（）6）∪（6，+∞）C．（6，+∞）D．（6，6）【考点】函数的象．【剖析】原方程等价于x3+a=，原方程的根是曲 y=x3+a与曲y=的交点的横坐：分a＞0与a＜0，利用数形合即可获得．【解答】解：方程的根然x≠0，原方程等价于x3+a=，原方程的根是曲y=x3+a与曲y=的交点的横坐；而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而获得的．若交点（x i，）（i=1，2，k）均在直线y=x的同侧，因直线y=x3与y=交点为：（﹣2，﹣2），（2，2）；因此联合图象可得：或解得a＞6或a＜﹣6，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣6）∪（6，∞），应选：B二、填空题（共5小题，每题5分，满分25分）11．已知函数f（x）=则f（f（﹣2））的值2．【考点】对数的运算性质．【剖析】利用分段函数在不一样区间的分析式不一样，分别代入即可得出．【解答】解：∵﹣2＜0，∴f（﹣2）==9；∵9＞0，∴f（9）=log39=2．f（f（﹣2））=2．故答案为2．12．交通拥挤指数是综合反应道路网通畅或拥挤的观点，记交通拥挤指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别；T∈0，2通畅；T∈2，4]基本通畅；T∈4，[][[6轻度拥挤；T∈6，8]中度拥挤；T∈8，10严重拥挤．晚顶峰时段（T≥2），][[]从某市交能指挥中心选用了市里20个交能路段，依照其交能拥挤指数数据绘制的直方图以下图，用分层抽样的方法从交通指数在[4，6，6，8]，8，10的路][[]段中共抽取6此中段，则中度拥挤的路段应抽取3个．【考点】频次散布直方图；分层抽样方法．【剖析】解：由频次散布直方图知[4，6]，[6，8]，[8，10]的路段共有18个，由此能求出按分层抽样，从18个路段选出6个，中度拥挤的路段应抽取的个数．【解答】解：由频次散布直方图知[4，6]，6，8，8，10的路段共有：[][]）×20+（）×20+（）×20=18个，按分层抽样，从18个路段选出6个，∵T∈[6，8]中度拥挤，∴中度拥挤的路段应抽取：6×=3个．故答案为：3．13．若变量，y知足，则2+y2的最小值是1．x x【考点】简单线性规划．【剖析】画出可行域，目标函数z=x2+y2是可行域中的点（0，﹣1）到原点的距离的平方，利用线性规划进行求解．【解答】解：变量x，y知足，如图，作出可行域，x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（0，﹣1）到原点的距离的平方，即|AO|2=1，即x2+y2的最小值是：1．故答案为：1．14．如图，正方形边长是2，直线x+y﹣3=0与正方形交于两点，向正方形内投飞镖，则飞镖落在暗影部分内的概率是．【考点】几何概型．【剖析】依据几何概率的求法，能够得出镖落在暗影部分的概率就是暗影地区的面积与总面积的比值．【解答】解：察看这个图可知：暗影部分是正方形去掉一个小三角形，设直线与正方形的两个交点为A，B，∴在直线AB的方程为x+y﹣3=0中，令x=2得A（2，1），令y=2得B（1，2）．=，∴三角形ABC的面积为s=则飞镖落在暗影部分的概率是：P=1﹣=1﹣=1﹣=．故答案为：．15．函数f（x）在[a，b]上存心义，若对随意 x1、x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）在[a，b]上拥有性质P，现给出以下命题：①f（x）=在[1，3]上拥有性质P；②若f（x）在区间[1，3]上拥有性质P，则f（x）不行能为一次函数；③若f（x）在区间[1，3]上拥有性质P，则f（x）在x=2处获得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；④若f（x）在区间[1，3]上拥有性质 P，则对随意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．此中真命题的序号为①③④．【考点】函数单一性的判断与证明．【剖析】依据f（x）在[a，b]上拥有性质P的定义，联合函数凸凹性的性质，利用数形联合即可获得结论．【解答】解：①f（x）=在[1，3]上为减函数，则由图象可知对随意x1，x2∈[1，3]，有ff（）≤[f（x1）+f（x2）]建立，故①正确：②不如设f（x）=x，则对随意x1，x2∈[a，b]，有f（）≤[f（x1）+f（x2）]，故②不正确，③在[1，3]上，f（2）=f[]≤[f（x）+f（4﹣x）]，∵F（x）在x=2时获得最大值1，∴，f（x）=1，即对随意的x∈[1，3]，有f（x）=1，故③正确；∵对随意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，f（）≤[f（x1）+f（x2）]，f（）≤[f（x3）+f（x4）]，∴f（）≤（f（）+f（））≤[f（x1）+f（x2）+fx3）+f（x4）]；即f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．故④正确；故答案为：①③④三、解答题（共6小题，满分75分）16．已知向量=（2sinx，cosx），=（﹣sinx，2sinx），函数f（x）=?．（Ⅰ）求f（x）的单一递加区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若角C为锐角，且f（﹣=，a=，S△ABC=2，求c的值．【考点】余弦定理；平面向量数目积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【剖析】（Ⅰ）由已知利用平面向量数目的运算，三角函数恒等的用化函数分析式可得f（x）=2sin（2x+）1，令2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的增区．（Ⅱ）由f（）=，可解得sinC=，合C角，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，利用三角形面公式可求b的，而利用余弦定理可求c的．【解答】（安分12分）解：（Ⅰ）∵=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=?．∴f（x）=2sin2（2x+），⋯3分x+2sinxcosx=sin2x+cos2x1=2sin1∴令2kπ≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的增区：[kπ，kπ]，k∈Z⋯6分+（Ⅱ）∵f（）=，可得：2sinC1=，解得sinC=，∵C角，可得：cosC==，⋯8分又∵a=，S△ABC=absinC=，解得：，=2b=6∴由余弦定理可得：c===⋯12分17．某高校青年志愿者会，大一学生展开一次心包裹募活，将派出的志愿者，分红甲、乙两个小，分在两个不一样的地行募，每个小各6人，心人士每捐一个心包裹，志愿者就将送出一个匙扣作念，茎叶了两个小成某天募包裹送出匙扣的个数，且中乙的一个数据模糊不清，用x表示，已知甲送出匙扣的均匀数比乙的均匀数少一个．（1）求中x的；（2）在乙的数据中任取两个，写出全部的基本领件并求两数据都大于甲增均数的概率．【考点】列举法计算基本领件数及事件发生的概率；频次散布直方图．【剖析】（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的均匀数为16，进而乙组送出钥匙扣的均匀数为17，由此能求出x．（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本领件总数n=C=15，甲组送出的钥匙扣的均匀数为16个，利用列举法求出切合条件的基本领件个数，由此能求出结果．【解答】解：（1）由茎叶图知甲组送出钥匙扣的均匀数为：，则乙组送出钥匙扣的均匀数为17，∴，解得x=9．（2）乙组送出的钥匙扣的个数分别为8，12，18，19，22，23，若从乙组中任取两名志愿者送出钥匙扣的数字，基本领件总数n=C=15，甲组送出的钥匙扣的均匀数为16个，切合条件的基本领件有：（18，19），（18，22），（18，23），（19，22），（19，23），（22，23），共有6个基本领件，故所求概率为p==．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ACB，AA1=A1C=AC=2，BC=，且A1C⊥BC，点E，F分别为AB，A1C1的中点．（1）求证：BC⊥平面ACA1；（2）求证：EF∥平面BB1C1C；（3）求四棱锥A1﹣BB1C1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判断；直线与平面垂直的判断．【剖析】（1）推导出A1D⊥AC，A1D⊥BC，A1C⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACA1．（2）设B1C1的中点为G，连接FG、GB，推导出四边表FGBE是平行四边形，进而EF∥BG，由此能证明EF∥平面BB1C1C．（3）四棱锥A1﹣BB1C1C的体积：=，由此能求出结果．【解答】证明：（1）∵在△AA1C1中，AA1=A1C，取D为AC中点，∴A1D⊥AC，∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，∴侧面AA1C1C∩底面ABC=AC，∴A1D⊥平面ABC，∵BC在平面ABC上，∴A1D⊥BC，又A1C⊥BC，A1C、AD都在平面ACA1上，且A1C∩AD=D，∴BC⊥平面ACA．1（2）设B1C1的中点为G，连接FG、GB，在四边形FGBE中，FG∥A11，且FG A11，B B又∵EB∥A1B1，且EB=A1B1，∴，∴四边表FGBE是平行四边形，∴EF∥BG，又∵BG?平面BB1C1C，EF?平面BB1C1C，∴EF∥平面BB1C1C．解：（3）∵AA1=A1C=AC=2，∴，又由（1）知BC⊥平面ACA，AC?1平面ACA，1∴BC⊥AC，又BC=，∴S△ABC=，∴四棱锥A1﹣BB1C1C的体积：==．19．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，a n+1=2S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{}的前n项和为T n，试证明：T n＜．【考点】数列的乞降；数列递推式．【剖析】（1）依据数列的项和和之间的关系，即可求数列{a n}的通项公式；（2）b n=，=，=累加即可求数列{}的前n项和为T n【解答】解：（1）由题意得a n+1=2S n+2，a n=2S n﹣1+2，（n≥2），两式相减得a n+1﹣a n=2S n ﹣2S n﹣1=2a n，则a n+1=3a n，n≥2，因此当n≥2时，{a n}是以3为公比的等比数列．由于a2=2S1+2=4+2=6，知足对随意正整数建立{a n}是首项为 2，公比为3的等比数列，∴数列{a n}的通项公式；a n=2×3n﹣1（2）证明：b n==，=，T n=×[⋯] ++=＜．20．已知函数f（x）=e x（ax2+bx+c）的函数y=f（′x）的两个零点3和0．（其中⋯）（Ⅰ）当a＞0，求f（x）的区；（Ⅱ）若f（x）的极小e3，求f（x）在区[ 5，1]上的最大．【考点】利用数求区上函数的最；利用数研究函数的性．【剖析】（Ⅰ）求出f′（x）=e x[ax2+（2a+b）x+b+c]，推出ax2+（2a+b）x+b+c=0的两根3和0，进而获得b=c，a=c，由此能求出f（x）的区．（Ⅱ）由f（x）=ae x（x2+x1），当a＞0，由f（0）=e3，解得c=e3，a=e3；当a＜0，由f（3）=e3，得a=，由此能求出f（x）在区[5，1]上的最大．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=e x（ax2+bx+c），f′（x）=e x[ax2+（2a+b）x+b+c]，∵函数y=f（′x）的两个零点3和0，ax2+（2a+b）x+b+c=0的两根3和0，∴，即b= c，a= c，f′（x）=e x（ax2+3ax），a＞0，令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜3；令f′（x）＜0，解得3＜x＜0，∴f（x）的增区（∞，3），（0，+∞），减区（3，0）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ae x（x2+x1），当a＞0，由（Ⅰ）知f（0）=e3，解得c=e3，a=e3，在区[5，1]上，f（3）=5，f（1）=e4，∴f（x）max=e4．当a＜0，f（3）= e3，解得a=，在区间[﹣5，1]上，f（0）=，f（﹣5）=﹣，f（x）max=，综上所述，当a＞0时，f（x）max=e4，当a＜0时，．21．如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，在极点为A（﹣2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为AD的中点，能否存在定点Q，关于随意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明原因；（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【剖析】（1）由椭圆的左极点A（﹣2，0），则a=2，又e==，则c=，b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）直线l的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，由韦达定理，求得D点坐标，利用中点坐标公式即可求得P，由? =0，则向量数目积的坐标运算则（4m+2）k﹣n=0恒建立，即可求得Q的坐标；（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，代入椭圆方程，求得M点横坐标为x=±，==+≥2，即可求得的最小值．【解答】解：（1）由椭圆的左极点A（﹣2，0），则a=2，又e= =，则c=，又b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的标准方程为：；（2）由直线l的方程为y=k（x+2），由，整理得：（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，由x=﹣2是方程的根，由韦达定理可知： x1x2=，则x2=，当x2=，y2=k（+2）=，∴D（，），由P为AD的中点，∴P点坐标（，），直线l的方程为y=k（x+2），令x=0，得E（0，2k），假定存在极点Q（m，n），使得OP⊥EQ，则⊥，即?=0，=（，），=（m，n﹣2k），∴×m+×（n﹣2k）=0即（4m+2）k﹣n=0恒建立，∴，即，∴极点Q的坐标为（﹣，0）；（3）由OM∥l，则OM的方程为y=kx，，则M点横坐标为x=±，OM∥l，可知=，=，=，=，=+≥2，当且仅当=，即k=±时，取等号，∴当k=±时，的最小值为2．2017年2月6日。

【真题】2016-2017年山东省泰安市高三(上)期末数学试卷(文科)与答案

2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}2．（5分）给定下列两个命题：p1：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p2：在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．则下列命题中的真命题为（）A．p1B．p1∧p2C．p1∨（￢p2）D．（￢p1）∧p23．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．124．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．25．（5分）已知α，β是两个平面，直线l⊂α，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不要条件6．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD 是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形7．（5分）若x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．B．8C．D．58．（5分）若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞）C．[，+∞）D．[2，+∞）9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为（）A．B．C．πD．π10．（5分）函数f（x）=|2x•log x|﹣1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为．12．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是．13．（5分）△ABC是边长为2的正三角形，已知向量，满足=2，=2+，给出下列四个结论．①||=1，②•=﹣1③⊥④（4+）⊥其中正确结论的序号是．14．（5分）（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16．（12分）已知f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）（m＞0）的最小值为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosA﹣acosB，求f（C）的取值范围．17．（12分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=AC．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．18．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1=a2S n+a1，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣1，求++…+．19．（12分）已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（Ⅰ）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．20．（13分）已知函数f（x）=e x+mx﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，若不等式（t﹣x）e x＜t+2恒成立，求实数t的最大整数值．21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设过点M（0，t）（t＞0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围．2016-2017学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣或x＞1}，B={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合等于（）A．{﹣1，2}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{1，2}【解答】解：∵A={x|x＜﹣或x＞1}，全集U=R，∴∁U A={x|﹣≤x≤1}，∵B={﹣1，0，1，2}，∴由图象可知阴影部分对应的集合为B∩（∁U A）={0，1}．故选：C．2．（5分）给定下列两个命题：p1：∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0；p2：在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．则下列命题中的真命题为（）A．p1B．p1∧p2C．p1∨（￢p2）D．（￢p1）∧p2【解答】解：∵a2﹣ab+b2=（a﹣b）2+b2≥0，∴∃a，b∈R，a2﹣ab+b2＜0不成立，即命题p1为假命题．在三角形ABC中，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB成立，即命题p2为真命题．则（￢p1）∧p2为真命题，其余为假命题，故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，已知a5+a10=12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10=12，∴2a1+13d=12，∴3a7+a9=4a1+26d=2（2a1+13d）=24．故选：B．4．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（）A．﹣B．﹣C．D．2【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，解得：a=，故选：A．5．（5分）已知α，β是两个平面，直线l⊂α，则“α⊥β”是“l⊥β”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不要条件【解答】解：l⊥β，直线l⊂α⇒α⊥β，反之不成立．∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件．故选：C．6．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD 是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【解答】解：∵，∴即，可得线段AB、CD平行且相等∴四边形ABCD是平行四边形又∵，∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B．7．（5分）若x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．B．8C．D．5【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：∵目标函数z=2x+y，平移目标函数，当目标函数经过可行域的点A时，取得最小值．，可得A（2，1）故在A（2，1）处目标函数达到最小值：5．故选：D．8．（5分）若函数f（x）=﹣x2+x+1在区间（，3）上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A．（，）B．（，+∞）C．[，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+x+1，∴f′（x）=x2﹣ax+1，若函数f（x）在区间（，3）上递减，故x2﹣ax+1≤0在（，3）恒成立，即a≥x+在（，3）恒成立，令g（x）=x+，x∈（，3），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，∴g（x）在（，1）递减，在（1，3）递增，而g（）=，g（3）=，故a≥故选：C．9．（5分）将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值为（）A．B．C．πD．π【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位长度后，得到函数g（x）=sin[2（x﹣φ）+θ]=sin（2x﹣2φ+θ）的图象，由于f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），∴sinθ=，sin（﹣2φ+θ）=，∴θ=，﹣2φ+θ=﹣，∴φ=，故选：D．10．（5分）函数f（x）=|2x•log x|﹣1的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵f（x）=|2x•log x|﹣1，∴由f（x）=0得||=2﹣x，作出y=||，y=2﹣x的图象，由图象可知两个图象的交点个数为2个，故选：B．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．（5分）函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为（3，+∝）∪（﹣∝，﹣1）．【解答】解：由题意得：x2﹣2x﹣3＞0即（x﹣3）（x+1）＞0∴x＞3或x＜﹣1∴函数y=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）故答案为（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1）12．（5分）已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则+的最小值是4．【解答】解：lg2x+lg8y=lg2x+lg23y=（x+3y）lg2，又由lg2x+lg8y=lg2，则x+3y=1，进而由基本不等式的性质可得，=（x+3y）（）=2+≥2+2=4，当且仅当x=3y时取等号，故答案为：4．13．（5分）△ABC是边长为2的正三角形，已知向量，满足=2，=2+，给出下列四个结论．①||=1，②•=﹣1③⊥④（4+）⊥其中正确结论的序号是②④．【解答】解：如图，根据条件：；∴；∴，；∵；∴=；∴；∴正确的序号为：②④．故答案为：②④．14．（5分）（文）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是80．【解答】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高h1=3，正方体棱长为4V正方体=Sh2=42×4=64V四棱锥=Sh1==16所以V=64+16=80故答案为：80．15．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是．【解答】解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＞0，原函数单调递增，∵两正数a，b满足f（2a+b）＜1，又由f（4）=1，即f（2a+b）＜4，即2a+b＜4，又由a＞0．b＞0；点（a，b）的区域为图中阴影部分，不包括边界，的几何意义是区域的点与A（﹣2，﹣2）连线的斜率，直线AB，AC的斜率分别是，3；则∈（，3）；故答案为：（）．三、解答题（本大题共6小题，满分75分）16．（12分）已知f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）（m＞0）的最小值为﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=2ccosA﹣acosB，求f（C）的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx（msinx﹣cosx）+sin2（π+x）=msinxcosx﹣cos2x+sin2x=msin2x﹣cos2x=sin（2x﹣φ），其中tanφ=，∴由其最小值为﹣2，可得：=2，解得：m2=12，∵m＞0，可得：m=2，tanφ=，φ=，∴f（x）=2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]，k∈Z…6分（Ⅱ）∵bcosA=2ccosA﹣acosB，即bcosA+acosB=2ccosA，∴由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，可得：sinC=2sinCcosA，∵C为三角形内角，sinC≠0，∴cosA=，可得A=，∴C∈（0，），可得：2C﹣∈（﹣，），∴sin（2C﹣）∈（﹣，1]，∴f（C）=2sin（2C﹣）∈（﹣1，2]…12分17．（12分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点，点P在AC上，且AP=AC．（Ⅰ）求证：平面ACE⊥平面AOF；（Ⅱ）求证：BP∥平面AOF．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，因为四边形BCDE 为菱形，所以CE⊥BD．因为O，F 分别为BE，DE 的中点，所以OF∥BD，所以CE⊥OF．由（Ⅰ）可知，AO⊥平面BCDE．因为CE⊂平面BCDE，所以AO⊥CE．因为AO∩OF=O，所以CE⊥平面AOF．又因为CE⊂平面ACE，所以平面AOF⊥平面ACE．（Ⅱ）设CE 与BD，OF 的交点分别为M，N，连结AN，PM．因为四边形BCDE 为菱形，O，F 分别为BE，DE 的中点，所以=．设P为AC上靠近A点的三等分点，则==，所以PM∥AN．因为AN⊂平面AOF，PM⊄平面AOF，所以PM∥平面AOF．由于BD∥OF，OF⊂平面AOF，BD⊄平面AOF，所以BD∥平面AOF，即BM∥平面AOF．因为BM∩PM=M，所以平面BMP∥平面AOF．因为BP⊂平面BMP，所以BP∥平面AOF．18．（12分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+1=a2S n+a1，S3=14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n﹣1，求++…+．=a2S n+a1，S3=14．∴n=1时，a1+a2=+a1，a2＞0，【解答】解：（I）∵S n+1解得a1=2．n=2时，2+a2+a3=+2=14，解得a2=4，∴S n=2S n+2，+1n≥2时，S n=2S n﹣1+2，可得：a n+1=2a n（n=1时也成立）．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为2，∴a n=2n．（II）b n=a n﹣1=2n﹣1，∴==．∴++…+=++…+=1﹣．19．（12分）已知一家电子公司生产某种电子产品的月固定成本为20万元，每生产1千件需另投入5.4万元，设该公司一月内生产该电子产品x千件能全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=（Ⅰ）写出月利润y（万元）关于月产量x（千件）的函数解析式；（Ⅱ）月产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获利润最大？并求出最大利润．【解答】解：（Ⅰ）当0＜x≤10时，y=x（13.5﹣x2）﹣20﹣5.4x=8.1x﹣x3﹣20，当x＞10时，y=（﹣﹣）x﹣20﹣5.4x=148﹣2（+2.7x），∴y=，（Ⅱ）①当0＜x≤10时，y′=8.1﹣x2，令y′=0可得x=9，x∈（0，9）时，y′＞0；x∈（9，10]时，y′＜0，∴x=9时，y max=28.6万元；②当x＞10时，y=148﹣2（+2.7x）≤148﹣120=22（万元）（当且仅当x=时取等号）…（10分）综合①②知：当x=9时，y取最大值…（11分）故当年产量为9万件时，服装厂在这一高科技电子产品的生产中获年利润最大…（12分）20．（13分）已知函数f（x）=e x+mx﹣3，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=﹣2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞0时，若不等式（t﹣x）e x＜t+2恒成立，求实数t的最大整数值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）=e x+m，由条件，f'（0）=1+m=0，得m=﹣1，则f'（x）=e x﹣1由f'（x）=e x﹣1＞0得x＞0，由f'（x）＜0得x＜0，故函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．（Ⅱ）x＞0时，不等式（t﹣x）e x＜t+2等价于：t＜，令g（x）=，∴g′（x）=，由（1）得u（x）=e x﹣x﹣3在（0，+∞）上单调递增，又∵u（1）＜0，u（2）＞0，∴g'（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，且1＜x0＜2，∴当x∈（1，x0）时，g'（x）＜0，当x∈（x0+∞）时，g'（x）＞0，∴g（x）min=g（x0），由g'（x0）=0得e x0=x0+3，∴g（x）min=g（x0）=x0+1，∵1＜x0＜2，∴2＜g（x0）＜3，∵t＜g（x0），∴t的最大整数值为2．21．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点构成一个面积为1的直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）设过点M（0，t）（t＞0）的直线l与椭圆E相交于A、B两点，点M关于原点的对称点为N，若点N总在以线段AB为直径的圆内，求t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，，解得a=，b=c=1．∴椭圆E的方程为；（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，此时，A，B为椭圆的上下顶点，且|AB|=2，∵点N总在以线段AB为直径的圆内，且t＞0，∴0＜t＜1，∴点M在椭圆内，由方程组，得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣2=0，∵直线l 与椭圆E 有两个公共点，∴△=（4kt ）2﹣4（2k 2+1）（2t 2﹣2）＞0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，，设AB 的中点G （x 0，y 0），则=，，∴G （，），∴|NG |==，|AB |==2••，∵点N 总位于以线段AB 为直径的圆内， ∴|NG |＜对于k ∈R 恒成立，∴＜••，化简，得2t 2k 4+7t 2k 2+3t 2＜2k 4+3k 2+1，整理，得t 2＜，而g （k ）==1﹣≥1﹣=，当且仅当k=0时，等号成立， ∴t 2＜，由t ＞0，．解得0＜t ＜，∴t 的取值范围是（0，）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = xxx第21页（共21页）(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。

【全国市级联考】2016-2017学年山东省德州市高一上学期期末检测数学试卷(带解析)

绝密★启用前【全国市级联考】2016-2017学年山东省德州市高一上学期期末检测数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：66分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、阅读程序框图，如果输出的函数值在区间上，则输入的实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．2、，，则（）A ．B ．C ．D ．内………3、已知，且，则函数与的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4、已知扇形的周长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）A ．1B ．4C ．1或4D ．2或45、如图是一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的平均数、中位数分别为（）A ．14，12B ．12，14C ．14，10D ．10，126、某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）(注：表为随机数表的第8行和第9行)A ．02B ．13C ．42D ．447、下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A ．B ．C ．D ．8、口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是（） A ．0.43 B ．0.27 C ．0.3 D ．0.79、集合，，则（）A ．B ．C ．D ．10、已知函数是定义在上的函数，若函数为偶函数，且对任意，都有，则（）A ．B ．C ．D ．11、已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12、已知实数满足，则函数的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、向面积为的三角形内任投一点，则的面积小于的概率为__________．14、__________．15、5、8、11三数的标准差为__________．三、解答题（题型注释）16、函数.（1）当时，求函数的定义域；（2）若，判断的奇偶性；（3）是否存在实数，使函数在递增，并且最大值为1，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.17、某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：（1）求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格元/时，日需求量的预测值为多少？参考公式：线性回归方程，其中18、已知实数满足，函数.（1）求实数的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值，并求出此时的值.19、某市电视台为了宣传，举办问答活动，随机对该市15至65岁的人群进行抽样，频率分布直方图及回答问题统计结果如表所示：（1）分别求出的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取3人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率.20、已知.（1）求的值；（2）求的值.21、函数的定义域为集合，函数的值域为集合.（1）当时，求集合；（2）若集合满足，求实数的取值范围.参考答案1、B2、C3、B4、C5、A6、A7、B8、C9、D10、A11、D12、B13、14、15、16、（1）;（2）为奇函数; （3）存在实数，使函数在递增，并且最大值为1.17、（1）线性回归方程为;（2）当价格元/时，日需求量的预测值为.18、（1）;（2）时，.19、（1）;（2）每组应各依次抽取2人，3人，1人;（3）.20、（1）;（2）.21、（1）;（2）.【解析】1、分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值,又∵输出的函数值在区间上，∴.故选：B.2、由题意得，，又因为，则，则，故选C.3、由题意得，，则图象与图象关于对称，故选B.4、由题意得，设扇形的半径为，圆心角为，则，故选C.5、由题意得，这个运动员的五场比赛得分分别为，则该运动员的平均得分为，中位数为，则选A.6、由题意得，找到第9行第11列数开始向右读，符合条件的是07，42，44，38，15，13，02，故选A.7、由题意得，函数是偶函数，C,D不符合题意，C是奇函数，D非奇非偶函数，选项A :在区间上单调递增,不符合题意，选项B在区间上单调递减，符合题意，故选B.8、由题意得，，故选C.9、由题意得，，则，故选D.10、依题意，为偶函数，则函数关于对称，由于函数，即函数在上为减函数，在上为减函数.所以.点睛：本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数图象变换.对于形如的函数，都可以看作是向左或右平移得到，根据这个特点，可以判断本题中函数的图像是关于对称的.再结合函数的单调性，并且将转化为，就能比较出大小.11、依题意，函数在上为增函数，故，解得.点睛：本题主要考查分段函数的单调性.由于函数是在上的增函数，所以分段函数的两段都是增函数，即当时，一次函数的斜率大于零，当时，对数函数的底数大于.除此之外，还需要满足在处的函数值，左边不大于右边.由此列出不等式组，从而求得实数的取值范围.12、依题意，，令，，为增函数，为减函数，故有个零点.13、试题分析：先确定△的面积等于时点P的轨迹，然后结合点P所在的区域，以面积为测度，可求三角形的面积小于的概率。

山东省德州市2017届高三上学期期末统考数学(文)试题高清扫描版含答案

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2023-2024学年山东省德州市高三(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则（∁U M）∩N＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1）∪[2，+∞）D．（2，+∞）2．已知复数z=2i，则|z﹣2i|＝（）1+iA．√2B．2C．√5D．53．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n＝（）A．60B．65C．70D．714．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆C：（x﹣1）2+y2＝3的切线P A，PB（切点为A，B），则当∠APB取最大值时，|PC|＝（）A．1B．2C．3D．45．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A．6.08千克B．10.16千克C．12.16千克D．11.16千克6．已知函数f（x）＝2sin x﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0恒成立，则a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）7．设函数f(x)=sin(ωx−π)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）3A ．10π9B ．32π27C ．4π3D ．25π188．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△P AC 是边长为2的正三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为150°，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（） A ．28π3B ．52π9C ．28√21π27D ．52√13π81二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列四个表述中，正确的是（）A ．设有一个回归直线方程y =3−5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均增加5个单位B ．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C ．在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到K 2的观测值k ，若k 的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D ．具有相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，那么|r |越接近于0，则x ，y 之间的线性相关程度越高10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（） A ．点A 1到DC 1的距离为√62B ．面BC 1D 与面AB 1D 1的距离为√33C ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为π3 D ．点A 1到平面BC 1D 的距离为√2211．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A (x 0，y 0)(x 0＞√3)作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（） A ．平面上点B （4，1），|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3B ．直线MN 的方程为xx 0﹣3yy 0＝3C ．过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则|OH |＝2（O 为坐标原点）D ．四边形AF 1NF 2面积的最小值为412．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足f （x ）+xf '（x ）＝e x ，f '（1）＝1，数列{a n }的首项为1，且f(a n+1)=f(a n )−1a n+1，则（） A ．f （ln 2）＝log 2e B ．f （x ）≥1 C ．a 2023＜a 2024D ．0＜a n ≤1三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在(1−√2x)6的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为．14．已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，若AE →=λAC →+μBD →，则λ﹣μ＝．15．若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中垂线交对称轴于点D ，则|AB||DF|= ．16．已知函数f （x ）＝e x +alnx ﹣x a ﹣x （a ＞0），若f （x ）≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 5＝20，数列{b n }的前n 项和T n 满足关系式T n =1−b n (n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求数列{a n •b n }的前n 项和R n ．18．（12分）在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，a ＝c •cos B 且cosB =c−a2a．（1）求B 的大小；（2）若c ＝3，D 为AB 边上一点，且AD ＝1，求sin ∠BCD ．19．（12分）如图，在四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠DAB =π3，A 1D ＝A 1B ，A 1B 1＝CC 1＝1，AA 1＝2，点E 分别为BC 的中点．（1）证明：直线B 1E ∥面A 1AC ；（2）求二面角C 1﹣BB 1﹣A 的余弦值．20．（12分）已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过焦点垂直于x 轴的弦长为1．左顶点为B ，定点C （4，0），过点C 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，直线BP 、BQ 分别与y 轴交于M 、N 两点．（1）求椭圆方程；（2）试探究|OM |•|ON |是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．21．（12分）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设P n(n∈N∗)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．①求P3；②用P n﹣1表示P n（n≥2）；（2）依据P n值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．22．（12分）已知常数a＞0，函数f(x)=ln(2+ax)−2x．x+2（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．2023-2024学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合U＝R，集合M＝{x||x|＜2}，N＝{x|y＝lg（1﹣x）}，则（∁U M）∩N＝（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，1）∪[2，+∞）D．（2，+∞）解：集合M＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴∁U M＝{x|x≤﹣2或x≥2}，又∵N＝{x|y＝lg（1﹣x）}＝{x|x＜1}，∴（∁U M）∩N＝{x|x≤﹣2}．故选：B．2．已知复数z=2i1+i，则|z﹣2i|＝（）A．√2B．2C．√5D．5解：z=2i1+i=2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i，则|z﹣2i|＝|1+i﹣2i|=√2．故选：A．3．按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30，31，37，m，42，60；乙组：28，n，33，44，48，70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m+n＝（）A．60B．65C．70D．71解：因为6×30%＝1.8，6×50%＝3，则由题意甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，所以n＝31；甲组数据的第50百分位数为37+m2，乙组数据的第50百分位数为33+442=772，所以37+m2=772，解得m＝40，则m+n＝40+31＝71．故选：D．4．设点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，过点P引圆C：（x﹣1）2+y2＝3的切线P A，PB（切点为A，B），则当∠APB取最大值时，|PC|＝（）A．1B．2C．3D．4解：若∠APB取最大值，则∠APC=12∠APB亦取最大，又P A与圆C相切，故P A⊥AC，故sin∠APC=|AC||PC|，由|AC|＝r，故需|PC|取最小，又点P是直线3x﹣4y+7＝0上的动点，故|PC|最小为点C到直线3x﹣4y+7＝0的距离，由C：（x﹣1）2+y2＝3，可得C（1，0），故d=√3+4=105=2，即|PC|＝2．故选：B．5．米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能和吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用．如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重0.8千克，则该米斗盛装大米约（）A．6.08千克B．10.16千克C．12.16千克D．11.16千克解：设该正棱台为ABCD﹣A1B1C1D1，其中上底面为ABCD，取对角面为AA1C1C，由题意得四边形AA1C1C为等腰梯形，如图，∵上、下底面边长分别为30√2cm，20√2cm，侧棱长为2√61cm，且AC＝60，A1C1＝40，AA1＝CC1＝2√61，分别过点A1，C1作A1E⊥AC，C1F⊥AC，垂足分别为E，F，可得EF＝A1C1＝40，由等腰梯形的几何性质，可得AA1＝CC1，∵∠A1AE＝∠C1CF，∠AEA1＝∠CFC1＝90°，∴Rt△AA1E≌Rt△CC1F，∴AE＝CF=AC−EF2=10，∴A1E=√AA12−AE2=12，即棱台的高为12cm，∴该米斗的体积为V=13×[（20√2）2+（30√2）2+√(20√2)2+(30√2)2]×12＝15200cm3＝15.2（立方分米），∴该米斗所成大米的质量为15.2×0.8＝12.16（千克）．故选：C．6．已知函数f（x）＝2sin x﹣2x，若对任意m∈[﹣2，2]，f（ma﹣8）+f（a2）＞0恒成立，则a的取值范围是（）A ．（﹣2，2）B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）解：由题意得函数定义域为R ，f （﹣x ）＝2sin （﹣x ）+2x ＝﹣2（sin x ﹣x ）＝﹣f （x ），即f （x ）是奇函数， f '（x ）＝2（cos x ﹣1）≤0，即f （x ）在R 上单调递减，对任意m ∈[﹣2，2]，f （ma ﹣8）+f （a 2）＞0恒成立，即f （ma ﹣8）＞﹣f （a 2）＝f （﹣a 2）， ∴ma ﹣8＜﹣a 2对任意m ∈[﹣2，2]恒成立，即ma ﹣8+a 2＜0，令g （m ）＝ma ﹣8+a 2，m ∈[﹣2，2]，∴{g(−2)＜0g(2)＜0，即{−2a −8+a 2＜02a −8+a 2＜0，解得﹣2＜a ＜2，∴a 的取值范围是（﹣2，2）．故选：A ．7．设函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象大致如图，则f （x ）的最小正周期为（）A ．10π9B ．32π27C ．4π3D ．25π18解：根据f(x)=sin(ωx −π3)(ω＞0)在[﹣π，π]的图象，∵图象过点（−4π9，0）， ∴ω×（−4π9）−π3=k π（k ∈Z ），解得ω=−9k+34（k ∈Z ），设函数的最小正周期为T ，由函数的图象得12T ＞−4π9−（﹣π）=5π9，T ＜π﹣（−4π9）=13π9，即10π9＜T ＜13π9，∴10π9＜2πω＜13π9，∴1813＜ω＜95，当且仅当k ＝﹣1时，符合题意，此时ω=32，故f （x ）的最小正周期为2πω=4π3．故选：C ．8．在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，△P AC 是边长为2的正三角形，二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为150°，则三棱锥P ﹣ABC 外接球的表面积为（）A．28π3B．52π9C．28√21π27D．52√13π81解：如图，取AC的中点H，连接BH，PH，由题意，AB=BC=√22AC=√2，PA=PC=2，所以BH⊥AC，PH⊥AC，所以∠BHP为二面角P﹣AC﹣B的平面角，所以∠BHP＝150°，因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且AC＝2，所以AH＝BH＝CH＝1，H为△ABC外接圆的圆心，又△P AC是边长为2的等边三角形，所以HP=√3，过点H作与平面ABC垂直的直线，则球心O在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OP，可得OH2＝OB2﹣BH2＝R2﹣1，在△OPH中，∠OHP＝60°，利用余弦定理可得OP2＝OH2+HP2﹣2HO•HP•cos60°，所以R2=R2−1+3−2×√R2−1×√3×12，解得R2=73，所以外接球的表面积为4πR2=28π3．故选：A．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列四个表述中，正确的是（）A．设有一个回归直线方程y=3−5x，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．在一个2×2列联表中，根据表中数据计算得到K2的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大D．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么|r|越接近于0，则x，y之间的线性相关程度越高解：对于A，因为y=3−5x，所以变量x增加一个单位时，y平均减少5个单位，故A错误；对于B，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故B 正确；对于C，观测值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大，故C正确；对于D ，|r |越接近于1，则x ，y 之间的线性相关程度越高，故D 错误．故选：BC ．10．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是（） A ．点A 1到DC 1的距离为√62B ．面BC 1D 与面AB 1D 1的距离为√33C ．直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为π3 D ．点A 1到平面BC 1D 的距离为√22解：以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，对于A ：A 1（1，0，1），C 1（0，1，1），D （0，0，0）， C 1D →=（0，﹣1，﹣1），C 1A 1→=（1，﹣1，0），所以点A 1到DC 1的距离d =√|C 1A 1→|2−|C 1A 1→|cos 2＜C 1A 1→，C 1D →＞=√|C 1A 1→|2−|C 1A 1→⋅C 1D →|2|C 1D →|2=√62，故A 正确；对于B ：B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），B 1（1，1，1），D 1（0，0，1）， AD 1→=（﹣1，0，1），AB 1→=（0，1，1），DC 1→=（0，1，1），DB →=（1，1，0），设n 1→=（x 1，y 1，z 1），n 2→=（x 2，y 2，z 2）分别为平面AB 1D 1，平面BC 1D 的一个法向量，所以{AD 1→⋅n 1→=−x 1+z 1=0AB 1→⋅n 1→=y 1+z 1=0，令x 1＝1，可得y 1＝﹣1，z 1＝1，所以n 1→=(1，−1，1)，{DC 1→⋅n 2→=y 2+z 2=0DB →⋅n 2→=x 2+y 2=0，令x 2＝1，可得y 2＝﹣1，z 2＝1，所以n 2→=(1，−1，1)，所以n 1→=n 2→，所以平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，可得B 1点到平面BC 1D 的距离即为所求， BB 1→=（0，0，1），所以B 1点到平面BC 1D 的距离为：|BB 1→|•|cos ＜BB 1→，n 2→＞|=|BB 1→⋅n 2→||n 2→|=13=√33，故B 正确；对于C ：B （1，1，0），C 1（0，1，1），A （1，0，0），A 1（1，0，1）， A 1C 1→=（﹣1，1，0），AB →=（0，1，0），BC 1→=（﹣1，0，1），设n 3→=(x 3，y 3，z 3)为平面ABC 1D 1的一个法向量，所以{BC 1→⋅n 3→=−x 3+z 3=0AB →⋅n 3→=y 3=0，令x 3＝1，可得y 3＝0，z 3＝1，所以n 3→=(1，0，1)，设直线A 1C 1与平面ABC 1D 1所成的角为θ(θ∈[0，π2])，所以sin θ＝|cos ＜A 1C 1→，n 3→＞|=|A 1C 1→⋅n 3→||A 1C 1→|⋅|n 3→|=1√2×√2=12，因为θ∈[0，π2]，所以θ=π6，故C 错误；对于D ，因为平面BC 1D的一个法向量为n 2→=(1，−1，1)，A 1C 1→=（﹣1，1，0），所以点A 1到平面BC 1D 的距离为|A 1C 1→|•|cos ＜A 1C 1→，n 2→＞|=|A 1C 1→⋅n 2→||n 2→|=√3×√2=√63，故D 错误．故选：AB ．11．双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 23−y 2=1的左，右焦点，过C 右支上一点A (x 0，y 0)(x 0＞√3)作双曲线的切线交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，则（） A ．平面上点B （4，1），|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3B ．直线MN 的方程为xx 0﹣3yy 0＝3C ．过点F 1作F 1H ⊥AM ，垂足为H ，则|OH |＝2（O 为坐标原点）D ．四边形AF 1NF 2面积的最小值为4解：对于A ，由双曲线定义得|AF 1|−|AF 2|=2a =2√3，且F 1（﹣2，0），则|AF 2|+|AB |＝|AF 1|+|AB |﹣2√3≥|BF 1|﹣2√3=√(4+2)2+1=√37−2√3，所以|AF 2|+|AB |的最小值为√37−2√3，故A 正确；对于B ，设直线MN 的方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0），k ≠±√33，联立方程组{y −y 0=k(x −x 0)x 2−3y 2=3，消去y 整理得(1−3k 2)x 2+(6k 2x 0−6ky 0)x −3k 2x 02+6kx 0y 0−3y 02−3=0，∴Δ＝0，化简整理得9y0k2−6x0y0k+x02=0，解得k=x03y0，可得直线MN的方程为y−y0=x03y0(x−x0)，即x0x﹣3y0y＝3，故B正确；对于C，由双曲线的光学性质可知，AM平分∠F1AF2延长F1H与AF2的延长线交于点E，则AH垂直平分F1E，即|AF1|＝|AE|，H为F1E的中点，又O是F1F2中点，所以|OH|=12|F2E|=12(|AE|−|AF2|)=12(|AF1|−|AF2|)=a=√3，故C错误；对于D，由直线MN的方程为x0x﹣3y0y＝3，令x＝0，得y=−1y0，则N(0，−1y0)，S AF1NF2=S△AF1F2+S△NF1F2=12|F1F2|×（|y0|+1|y0|≥12×4×2√|y0|×1|y0|=4，当且仅当|y0|=1|y0|，即y0＝±1时等号成立，所以四边形AF1NF2面积的最小值为4，故D项正确．故选：ABD．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足f（x）+xf'（x）＝e x，f'（1）＝1，数列{a n}的首项为1，且f(a n+1)=f(a n)−1a n+1，则（）A．f（ln2）＝log2e B．f（x）≥1 C．a2023＜a2024D．0＜a n≤1解：∵[xf（x）]′＝f（x）+xf′（x）＝e x，则xf（x）＝e x+c，取x＝1可得f（1）＝e+c，由f（x）+xf'（x）＝e x，令x＝1，得f（1）+f'（1）＝e，∵f′（1）＝1，∴c＝﹣1，f(x)=e x−1 x，则f（ln2）＝log2e，故A正确；令φ（x）＝e x﹣x﹣1，则φ′（x）＝e x﹣1，当x ＜0时，φ'（x ）＜0，当x ＞0时，φ′（x ）＞0，所以φ（x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，故φ（x ）≥φ（0）＝0，即e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故f （x ）＞1，故B 正确．由f(a n+1)=f(a n )−1a n+1=e a n+1−1a n+1，得e a n+1=f （a n ），所以e a n+1=e a n −1a n，即a n ⋅e a n+1=e a n −1≥1+a n ﹣1＝a n ，即a n (e a n+1−1)≥0．因为函数f （x ）定义域为（0，+∞），所以a n ＞0，e a n+1−1≥0，即a n +1≥0，下证数列{a n }单调递减，即证e a n+1＜e a n，即证e a n −1a n＜e a n ，即证e a n −1＜a n e a n ，即证（1﹣a n ）e a n −1＜0，令g （x ）＝（1﹣x ）e x ﹣1，则g ′（x ）＝﹣xe x ，当x ＞0时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减，因为a n ＞0，g （a n ）＜g （0）＝0，所以a n +1＜a n ，即数列{a n }单调递减，所以0＜a n ≤a 1＝1，故D 正确，C 错误．故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在(1−√2x)6的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为47．解：(1−√2x)6的二项展开式中，通项公式为T r +1=C 6r •(−√2x)r =(−√2)r •C 6r •x r ，当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，而r ∈[0，6]（r ∈N ），所以r ＝0，2，4，6满足题意，又因为展开式共有7项，所以所求的概率为P =47．故答案为：47．14．已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，若AE →=λAC →+μBD →，则λ﹣μ＝ 12．解：已知平行四边形ABCD 中，DE →=12DC →，如图所示：故AE →=12(AD →+AC →)=12AD →+12AD →+12AB →=AD →+12AB →，由于AE →=λAC →+μBD →=λ(AD →+AB →)+μ(AD →−AB →)=(λ+μ)AD →+(λ−μ)AB →，故{λ+μ=1λ−μ=12，解得λ−μ=12．故答案为：12．15．若直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 且与抛物线交于A 、B 两点，AB 的中垂线交对称轴于点D ，则|AB||DF|=2 ．解：由抛物线的方程可得焦点F （1，0），准线方程x ＝﹣1，显然直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为x ＝my +1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x =my +1y 2=4x，整理可得：y 2﹣4my ﹣4＝0，可得y 1+y 2＝4m ，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）+2＝4m 2+2，所以AB 的中点M （2m 2+1，2m ），所以AB 的中垂线的方程为y ﹣2m ＝﹣m （x ﹣2m 2﹣1），令y ＝0，可得x D ＝2m 2+3，所以|DF |＝2m 2+3﹣1＝2m 2+2，由抛物线的性质可得：|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+2+2＝4m 2+4，所以|AB||DF|=4m 2+42m 2+2．故答案为：2．16．已知函数f （x ）＝e x +alnx ﹣x a ﹣x （a ＞0），若f （x ）≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，则实数a 的取值范围为（0，e ] ．解：因为e x +alnx ﹣x a ﹣x ≥0对∀x ∈（1，+∞）恒成立，所以lnx a ﹣x a ≥lne x ﹣e x 对∀x ∈（1，+∞）恒成立，令m （t ）＝lnt ﹣t （t ＞1），则m ′(t)=1t −1=1−tt＜0，所以m （t ）＝lnt ﹣t （t ＞1）在（1，+∞）单调递减，因为m （x a ）≥m （e x ）对∀x ∈（1，+∞）恒成立，a ＞0，所以x a ≤e x ，两边取对数得：alnx ≤x （x ＞1），即a ≤xlnx（x ＞1），令g(x)=x lnx （x ＞1），则g ′(x)=lnx−1(lnx)2(x ＞1)，所以当x ∈（1，e ）时，g '（x ）＜0，g(x)=xlnx在（1，e ）单调递减；当x ∈（e ，+∞）时，g '（x ）＞0，g(x)=xlnx在（e ，+∞）单调递增；所以g(x)=xlnx（x ＞1）的最小值为g （e ）＝e ，故0＜a ≤e ．故答案为：（0，e ]．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 5＝20，数列{b n }的前n 项和T n 满足关系式T n =1−b n (n ∈N ∗)．（1）求数列{a n }、{b n }的通项公式；（2）求数列{a n •b n }的前n 项和R n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可知{a 1+d =35a 1+5×42×d =20，解得{a 1=2d =1， ∴a n =n +1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝1﹣b n ﹣1+b n ﹣1，∴b n b n−1=12，又T 1＝1﹣b 1，∴b 1=12，∴{b n }是以12为首项，12为公比的等比数列，∴b n =12n ；（2）由（1）知a n ⋅b n =(n +1)12n ，n ∈N ∗， R n =2×12+3×122+⋯+(n +1)12n ①，12R n =2×122+⋯+n ⋅12n+(n +1)12n+1②，①﹣②得12R n =12+12+122+⋯+12n −n+12n+1=12+1−12n −n+12n+1，∴R n=3−n+3 2n．18．（12分）在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，a＝c•cos B且cosB=c−a2a．（1）求B的大小；（2）若c＝3，D为AB边上一点，且AD＝1，求sin∠BCD．解：（1）由a＝c•cos B得cosB=ac，又cosB=c−a2a，所以c−a2a=ac，整理可得：2a2﹣c2+ac＝0，即（2a﹣c）（a+c）＝0，可得c＝2a，可得cosB=1 2，又B∈（0，π），所以B=π3；（2）由a＝c cos B及正弦定理，得sin A＝sin C•cos B，即sin（B+C）＝sin C•cos B，即sin B cos C＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝0，解得C=π2；由已知，c＝3，AD＝1，所以BD＝2，BC=3 2，△BCD中，由余弦定理得CD2=BC2+BD2−2BC⋅BD⋅cosB=134，解得CD=√134=√132，在△BCD中，由正弦定理得：BDsin∠BCD=CDsinB，B=π3，所以sin∠BCD=BD⋅sinBCD=2√3913．19．（12分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=π3，A1D＝A1B，A1B1＝CC1＝1，AA1＝2，点E分别为BC的中点．（1）证明：直线B1E∥面A1AC；（2）求二面角C1﹣BB1﹣A的余弦值．解：（1）证明：如图，设AC与BD相交于点O，连接A1O，OE，∵O 、E 分别为AC 、BC 中点， ∴OE =12AB ，又 A 1B 1=12AB ，∵OE ＝A 1B 1，∴四边形A 1B 1EO 为平行四边形， ∴B 1E ∥OA 1，∵OA 1⊂平面AA 1C ，B 1 E ⊄面 AA 1C ，∴直线B 1E ∥面 AA 1C ．（2）∵A 1D ＝A 1B ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，连接A 1C 1，则A 1C 1∥OC ，且A 1C 1＝OC ， ∴四边形A 1OCC 1 为平行四边形，∴C 1C ＝A 1O ＝1，等边△ABD 中，AO =√3，∴A 1O 2+AO 2=4=AA 12，从而AO ⊥AC ，∵A 1O ⊥BD ，AC ∩BD ＝O ，AC ，BD ⊂平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则C 1(−√3，0，1)，B 1(−√32，12，1)，B （0，1，0），A(√3，0，0)，设平面C 1B 1B 的法向量为m →=（x ，y ，z ），C 1B 1→=(√32，12，0)，B 1B →=(√32，12，−1)，则{m →⋅C 1B 1→=√32x +12y =0m →⋅B 1B →=√32x +12y −z =0，取x ＝1，得m →=（1，−√3，0），设平面ABB 1的法向量为n →=（a ，b ，c ），AB →=(−√3，1，0)，则{n →⋅AB →=−√3a +b =0n →⋅B 1B →=√32a +12b −c =0，取a ＝1，得n →=（1，√3，√3）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−22×√7=−√77，由图可知，二面角 C 1﹣BB 1﹣A 为钝角， ∴二面角C 1﹣BB 1﹣A 的余弦值为−√77．20．（12分）已知椭圆方程x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√32，且过焦点垂直于x 轴的弦长为1．左顶点为B ，定点C （4，0），过点C 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，直线BP 、BQ 分别与y轴交于M、N两点．（1）求椭圆方程；（2）试探究|OM|•|ON|是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．解：（1）由已知：ca=√32，即c2a2=34，即a2−b2a2=34⇒a＝2b，在x2a2+y2b2=1中，令x＝c，解得y=±b2a，所以2b2a=1，即2b22b=b=1，所以a＝2，b＝1，所以椭圆方程为：x24+y2=1；（2）由题意设PQ：x＝my+4，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程{x=my+4 x24+y2=1，消去x化简得：（m2+4）y2+8my+12＝0，Δ＝（8m）2﹣4（m2+4）×12＝16m2﹣192＞0，即m2＞12，所以y1+y2=−8mm2+4，y1y2=12m2+4，又B（﹣2，0），所以直线BP的方程：y=y1x1+2(x+2)，令x＝0得：y M=2y1x1+2，同理y N=2y2x2+2=2y2x2+2，所以|OM|⋅|ON|=|y M⋅y N|=|2y1x1+2⋅2y2x2+2|=|4y1y2(my1+6)(my2+6)|=|4y1y2m2y1y2+6m(y1+y2)+36|=|4×12m2+4m2×12m2+4+6m×(−8mm2+4)+36|=|4812m2−48m2+36(m2+4)|=|48144|=13，即|OM|⋅|ON|为定值1 3．21．（12分）某市号召市民尽量减少开车出行，以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天在骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷4枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于3，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．（1）设P n (n ∈N ∗)表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率． ①求P 3；②用P n ﹣1表示P n （n ≥2）；（2）依据P n 值，阐述说明王先生的这种随机选择出行方式是否积极响应市政府的号召．解：（1）根据题意，设一次性抛掷4枚均匀的硬币得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～（4，12），则P （ξ≥3）=C 43（12）3（1−12）=C 44（12）4=516，P （ξ＜3）＝1﹣P （ξ≥3）＝1−516=1116， ①第一天选择骑自行车方式上班，易得P 2=1116，则P 3＝P 2P （ξ＜3）+（1﹣P 2）P （ξ≥3）=1116×1116+516×516=146256=73128， ②根据题意，易得P n ＝P n ﹣1P （ξ＜3）+（1﹣P n ﹣1）P （ξ≥3）＝P n ﹣1×1116+（1﹣P n ﹣1）×516=38P n ﹣1+516，故P n =38P n ﹣1+516；（2）根据题意，由（1）的结论，P n =38P n ﹣1+516，变形可得P n −12=38（P n ﹣1−12），又由P 1−12=12，故数列{P n −12}是以12为首项，公比为38的等比数列，故P n −12=（P 1−12）×（38）n ﹣1=12×（38）n ﹣1，变形可得P n =12+12×（38）n ﹣1＞12；故王先生每天选择骑自行车出行的概率始终大于选择开车出行的概率，积极响应市政府的号召． 22．（12分）已知常数a ＞0，函数f(x)=ln(2+ax)−2xx+2．（1）讨论f （x ）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，且f （x 1）+f （x 2）＞0，求a 的取值范围．解：（1）∵f(x)=ln(2+ax)−2x x+2，f ′(x)=a 2+ax −4(x+2)2=ax 2+4(a−2)(2+ax)(x+2)2，∴当a ≥2时，f '（x ）≥0恒成立，则函数f （x ）在（0，+∞）单调递增，当0＜a ＜2时，由f '（x ）＝0得x =±2√a(2−a)a，则函数f（x）在(0，2√a(2−a)a)单调递减，在(2√a(2−a)a，+∞)单调递增．（2）由（1）知，当a≥2时，f'（x）≥0，此时f（x）不存在极值点．因此要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则必有0＜a＜2，又f（x）的极值点值是x1=2√a(2−a)a，x2=−2√a(2−a)a，且由f（x）的定义域可知x＞−1a且x≠﹣2，∴−2√a(2−a)a＞−2a且−2√a(2−a)a≠−2，解得a≠1，则x1，x2分别为函数f（x）的极小值点和极大值点，x1+x2＝0，x1x2=4(a−2)a，∴f（x1）+f（x2）=ln[2+ax1]−2x1x1+2+ln(2+ax2)−2x2x2+2=ln[4+2a(x1+x2)+a2x1x2]−4x1x2+4(x1+x2) x1x2+2(x1+x2)+4=ln(2a−2)2−4(a−2)2a−2=ln(2a−2)2+42a−2−2．令2a﹣2＝x，由0＜a＜2且a≠1得，当0＜a＜1时，﹣2＜x＜0；当1＜a＜2时，0＜x＜2，令g(x)=lnx2+4x−2．①当﹣2＜x＜0时，g(x)=2ln(−x)+4x−2，g′(x)=2x−4x2=2x−4x2＜0，则g（x）在（﹣2，0）上单调递减，g（x）＜g（﹣2）＝2（ln2﹣2）＜0，∴当0＜a＜1时，f（x1）+f（x2）＜0；②当0＜x＜2时，g（x）＝2lnx+4x−2，g′(x)=2x−4x2=2x−4x2＜0，则g（x）在（0，2）上单调递减，g（x）＞g（2）＝0，∴当1＜a＜2时，f（x1）+f（x2）＞0；综上所述，a的取值范围是（1，2）．。

2017届德州市高三上学期期中考试数学理科试题及答案

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【山东省潍坊】2017届高三上学年期期末数学年(理科)试题

山东省潍坊市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷答案1~5．CCBAB6~10．ADCCD11．3612．313．5614．16π1516．解：（1）函数()()2π24cos 3023f x x x ωωω⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭=()1sin 221cos232x x x ωωω⎫+-++⎪⎪⎭π2cos2112sin 26x x x ωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，可得πππ2π662k ω+=+，k ∈Z ，即31k ω=+，k ∈Z ，由02ω<<，可得1ω=；当ππ22π62x k +=-，k ∈Z ，即ππ3x k =-，k ∈Z ， ()π12sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭取得最小值12-=1-；（2）由()π12sin 226f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由A 为三角形的内角，可得ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即有π5π266A +=，解得π3A =，由1a =，ABC S =△可得1sin 2bc A 1bc =，① 由2222cos a b c bc A -=+，即为222b c +=②可得2b c +=，则ABC △的周长为3a b c ++=．17．解：（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[)180,190之间的频率为0.25，∴20.25f =，∴2400.2510n =⨯=（人），1402141068n =----=（人）， ∴180.2040f ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[)190,200的频率为6=0.1540，身高不低于180cm 的频率为0.250.150.4+=，故可估计该校高三男生身高不低于180cm 的人数为：6000.4240⨯=（人），故身高不低于180cm 的男生有240人．（Ⅲ）设身高在[)185,190之间的男生有n 人，从[)185,200中任取两人，共有26n C +种取法，满足条件的取法为11266n C C C +，∵至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为911， ∴1126626911n n C C C C ++=，解得5n =，∴抽取身高不低于185cm 的男生人数为11人．18．证明：（Ⅰ）连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结PE ，∵O 为正三角形ABC 的外接圆圆心，∴2AO OE =，又2AD DP =，∴DO PE ∥，∵PE ⊂平面PBC ，DO ⊄平面PBC ，∴DO ∥平面PBC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABC ，∵DO PE ∥，∴PE ⊥平面ABC ，∴PE BC ⊥，PE AE ⊥，又AE BC ⊥，∴以点E 为坐标原点，以EO 、EB 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0O，()B ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，∴()0,EF =，()3,0,1AP =-，22,0,3AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21,0,3ED EA AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴21,0,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,3OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,BO =，设平面CDB 的一个法向量(),,n x y z =， 30203n EB y n ED x z ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩则，取1z =，得2,0,13n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面BOD 的法向量为(),,n a b c =，则0203m BO a m OD c ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1a =，得31,,0n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2cos ,411193m nm n m n -===++ ∴平面CBD 和平面OBD ．19．解：（Ⅰ）∵122n n n a a -=+，两边同时除以2n ，可得11122n n n n a a --=+ ∴11122n n n n a a ---=，又1112a =， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴()1112n na n n =+-⨯=， ∴2n n a n =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a n =，则2n b n ==， ∴()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴11111111111114223341414n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．又∵1sin cos sin 22n B B B T=>，对于任意n +∈N 恒成立， ∴11sin 224B ≤≤，即1sin 22B ≥．又()0,πB ∈，即()20,2πB ∈，∴π5π266B ≤≤， ∴π5π,1212B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 20．解：（Ⅰ）由题意，MP 垂直平分2F N ， ∴124MF MF +=所以动点M 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F 为焦点的椭圆，且长轴长为24a =，焦距22c =，所以2a =，1c =，23b =，曲线E 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，()00,G x y ．设直线AC 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，可得()2243690m y my ++-=， ∴122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，由弦长公式可得()212212143m AC y m +==+-，又02343y m =-+， ∴2343G m ⎛⎫=-⎪+⎭，直线OG 的方程为34m y x =-，代入椭圆方程得221643x m =+， ∴B ⎛⎫=，B 到直线AC 的距离1d =， O 到直线AB 的距离2d =，∴()12132ABCD S AC d d =+=≥，0m =时取得最小值3． 21．解：（Ⅰ）ln y x x =，()0,x ∈+∞，，ln 1y x '=+，10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，ln y x x =递减， 1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0y '>，ln y x x =递增， ∴ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（Ⅱ）()()()()222ln ln ln 21ln y x x t x x t x x t x x t t =++=+-+--，设ln u x x =，[]1,e x ∈，由（Ⅰ）得ln u x x =在[]1,e x ∈递增，故[]0,e u ∈，此时()2221y u t u t t =+--+，对称轴122t u -=， 1,12t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴121,022t -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， []0,e u ∈，故0u =时，2min y t t =-；（Ⅲ）()()()212221ln 2h x x a x a x =+++-， ()()()211x a x h x x⎡-+⎤-⎣⎦'=，[]1,2x ∈， []e,3a ∈时，[]212e 1,7a +∈+，故()0h x '<在[]1,2成立，即()h x 在[]1,2递减，∵12x x ≠，不妨设1212x x <≤≤，则()()12h x h x >，12x x <，故原不等式可化为()()1212m m h x h x x x -≤-，对1212x x <≤≤成立，设()()m v x h x x=-，则()v x 在[]1,2递增，其中[]e,3a ∈，即()0v x '≥在[]1,2恒成立，而()()()22110x a x m v x x x ⎡-+⎤-⎣⎦'=+≥，即()221220a m x a x x+-+++≥恒成立，即()2322220x x a x x x m --+++≥恒成立，[]e,3a ∈，由于[]1,2x ∈，∴2220x x -≤，故只需()2322220x x a x x x m --+++≥，即32870x x x m ++≥-，令()3287k x x x x m -=++，[]1,2x ∈，()231670k x x x -'=+<，故()k x 在[]1,2x ∈上递减，∴()()2100min k x k m ==-≥，∴10m ≥，∴[)10,m ∈+∞．山东省潍坊市2017届高三上学期期末（理科）数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜2}，集合B=N，则A∩B={0，1}．故选：C．2．【考点】命题的否定；全称命题．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】解：∵命题q：∀x∈R，x2+1＞0，∴命题q的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故选C．3．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B．运用线面垂直的性质，即可判断；C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选B．4．【考点】函数的图象．【分析】根据函数值得正负和函数值得变化趋势即可判断．【解答】解：当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0且当x→+∞时，y→0，故选：A5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据导数求其切线的斜率，即=2，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：由于y=x2，则y′=2x，∴k=y′|x=1=2，∵函数y=x2在P（1，1）处的切线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行，∴=2，∴e===，故选：B．6．【考点】三角函数的化简求值．【分析】把已知的等式两边平方求得2s inαcosα=，结合α的范围求得sinα+cosα，化简后代入得答案．【解答】解：∵cosα﹣sinα=，平方可得1﹣2sinαcosα=，∴2sinαcosα=．又α∈（π，），故sinα+cosα=﹣=﹣=﹣，∴===．故选：A．7．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】函数f（x）=存在最小值，可得﹣1+a≥12，解得a≥2．再利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=存在最小值，∴﹣1+a≥12，解得a≥2．则当实数a取最小值2时，x＜1时，f（x）=﹣x+2．∴f（﹣2）=4．f[f（﹣2）]=f（4）=42=16．故选：D．8．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由等比数列前n项和公式得q4+q2﹣20=0，从而q=±2．由此能求出数列{}的前5项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项为S n，a1=2， =21，∴===21，整理，得q4+q2﹣20=0，解得q=±2．当q=2时，，数列{}的前5项和为当q=﹣2时，a n=2×（﹣2）n﹣1，数列{}的前5项和为=．∴数列{}的前5项和为或．故选：C．9．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意，先安排导弹驱逐舰艇，有=24种方法，再安排护卫舰艇，有=6种方法，利用乘法原理可得结论．【解答】解：由题意，先安排导弹驱逐舰艇，有=24种方法，再安排护卫舰艇，有=6种方法，∴编队方式有24×6=144种方法，故选C．10．【考点】函数的图象．【分析】设（x0，y0）在y=k（x+1）上，则（x0，y0）关于y轴对称点为（﹣x0，y0），联立方程求出k=﹣＜0或x0=﹣1，再根据另一个根不为﹣1，则k≠﹣1问题得以解决．【解答】解：设（x0，y0）在y=k（x+1）上，则（x0，y0）关于y轴对称点为（﹣x0，y0），∴y0=k（x0+1），y0=，∴k（x0+1）==∴k=﹣＜0或x0=﹣1，则x0=﹣1为其中一个根，又另一个根不为﹣1，则k≠﹣1，故k＜0且k≠﹣1，故选：D11．【考点】分层抽样方法．【分析】求出抽样比，然后求解n的值即可．【解答】解：某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为1：3：5，分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，则乙被抽的抽样比为： =，样本中乙型产品有12件，所以n=12÷=36，故答案为36．12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B点为原点，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算即可求出答案．【解答】解：以B点为原点，建立如图所示的坐标系，∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB边上的点，设E（0，y），则y∈[0，2]；又D（2，2），C（2，0），∴=（2，2﹣y），=（2，﹣y），∴•=2×2+（2﹣y）×（﹣y）=y2﹣2y+4=（y﹣1）2+3，当y=1时，•取得最小值为3．故答案为：3．13．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据绝对值的几何意义求出n的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的系数．【解答】解：由于f（x）=|x﹣1|+|x+7|表示数轴上的x对应点到1和﹣7对应点的距离之和，它的最小值为8，故n=8；二项式（x+）n展开式的通项公式为T r+1=•x8﹣r•x﹣r=•x8﹣2r；令8﹣2r=﹣2，解得r=5，故二项式（x+）n展开式中项的系数为==56．故答案为：56．14．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，求出棱柱外接球的半径，进而可得该“堑堵”的外接球的表面积．【解答】解：由已知可得该“堑堵”是一个以俯视图为底面的直三棱柱，底面外接球的半径r==，球心到底面的距离d==，故该“堑堵”的外接球的半径R==2，故该“堑堵”的外接球的表面积：S=4πR2=16π，故答案为：16π15．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF 的中点，设出A，N，F的坐标，代入抛物线的方程可得p【解答】解：圆圆N：（x+2）2+y2=r2圆心N（﹣2，0），半径为r，|AN|+|AF|=2r，由抛物线M上一动点到其准线与到点N的距离之和的最小值为2r，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点N的距离之和的最小值为2r，可得A，N，F三点共线时取得最小值，且有A为NF的中点，由N（﹣2，0），F（0，），可得A（﹣1，），代入抛物线的方程可得，1=2p •，解得p =，16．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）运用二倍角余弦公式和两角和的正弦公式，化简f （x ），再由正弦函数的对称轴方程和最值，求得ω的值并求f （x ）的最小值；（2）由f （A ）=2，求得A ；再由三角形的余弦定理和面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长．【解答】解：（1）函数()()2π24cos 3023f x x x ωωω⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭=()1sin 221cos232x x x ωωω⎫-++⎪⎪⎭=π2cos2112sin 26x x x ωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，由()y f x =的图象的一条对称轴为π6x =，可得πππ2π662k ω∙+=+，k ∈Z ，即31k ω=+，k ∈Z ，由02ω<<，可得1ω=；当ππ22π62x k +=-，k ∈Z ，即ππ3x k =-，k ∈Z ， ()π12sin 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭取得最小值12-=1-；（2）由()π12sin 226f A A ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，可得π1sin 262A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由A 为三角形的内角，可得ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即有π5π266A +=，解得π3A =，由1a =，ABC S =△可得1sin 2bc A 1bc =，①由2222cos a b c bc A -=+，即为222b c +=②可得2b c +=，则ABC △的周长为3a b c ++=．17．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[180，190）之间的频率为0.25，由此能求出n 1、n 2、f 1、f 2．（Ⅱ）身高在[190，200）的频率为0.15，身高不低于180cm 的频率为0.4，由此可估计该校高三男生身高不低于180cm 的人数．（Ⅲ）设身高在[185，190）之间的男生有n 人，从[185，200）中任取两人，共有种取法，满足条件的取法为，由此利用至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为，能求出抽取身高不低于185cm 的男生人数．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布表得，身高在[)180,190之间的频率为0.25，∴20.25f =，∴2400.2510n =⨯=（人），1402141068n =----=（人）， ∴180.2040f ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，身高在[)190,200的频率为，身高不低于180cm 的频率为0.250.150.4+=，故可估计该校高三男生身高不低于180cm 的人数为：6000.4240⨯=（人），故身高不低于180cm 的男生有240人．（Ⅲ）设身高在[)185,190之间的男生有n 人，从[)185,200中任取两人，共有26n C +种取法，满足条件的取法为11266n C C C +，∵至少有一个身高不低于190cm 的学生的概率为911， ∴1126626911n n C C C C ++=，解得5n =，∴抽取身高不低于185cm 的男生人数为11人．18．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）连结AOL ，并延长交BC 于点E ，连结PE ，推导出DO ∥PE ，由此能证明DO ∥平面PBC ．（Ⅱ）以点E 为坐标原点，以EO 、EB 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面CBD 和平面OBD 所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AO ，并延长交BC 于点E ，连结PE ，∵O 为正三角形ABC 的外接圆圆心，∴2AO OE =，又2AD DP =，∴//DO PE ，∵PE ⊂平面PBC ，DO ⊄平面PBC ，∴//DO 平面PBC ．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DO ⊥平面ABC ，∵//DO PE ，∴PE ⊥平面ABC ，∴PE BC ⊥，PE AE ⊥，又AE BC ⊥，∴以点E 为坐标原点，以EO 、EB 、EP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0E ，()1,0,0O，()B ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，∴()0,EF =，()3,0,1AP =-，22,0,3AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21,0,3ED EA AD ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， ∴21,0,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,0,3OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,BO =，设平面CDB 的一个法向量(),,n x y z =， 30203n EB y n ED x z ⎧∙==⎪⎨∙=+=⎪⎩则，取1z =，得2,0,13n ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设平面BOD 的法向量为(),,n a b c =，则0203m BO a m OD c ⎧∙==⎪⎨∙==⎪⎩，取1a =，得31,,0n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2cos ,4m nm n m n -∙===∙+， ∴平面CBD 和平面OBD ．19．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系，即可得到结论．（Ⅱ）通过（Ⅰ）计算可b n =log =2n ，进而利用裂项相消求和法计算可知T n ，利用T n ＜及二倍角公式化简可知sin2B ＞T n ，结合B ∈（0，π）计算即得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵122n n n a a -=+，两边同时除以2n ，可得11122n n n n a a --=+ ∴11122n n n n a a ---=，又1112a =， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴()1112n na n n =+-⨯=， ∴2n n a n =∙；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a n =∙，则2n b n ==， ∴()11111122141n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪∙∙++⎝⎭， ∴11111111111114223341414n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．又∵1sin cos sin 22n B B B T =>，对于任意n +∈N 恒成立， ∴11sin 224B ≤≤，即1sin 22B ≥．又()0,πB ∈，即()20,2πB ∈， ∴π5π266B ≤≤， ∴π5π,1212B ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）确定动点M 的轨迹是以F 1（﹣1，0），F 2（1，0）为焦点的椭圆，即可求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设直线AC 的方程为x =my +1，与椭圆方程联立，可得（4+3m 2）y 2+6my ﹣9=0，表示出四边形OABC 的面积，即可求出四边形OABC 的面积S 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，MP 垂直平分2F N ， ∴124MF MF +=所以动点M 的轨迹是以()11,0F -，()21,0F 为焦点的椭圆，…..且长轴长为24a =，焦距22c =，所以2a =，1c =，23b =，曲线E 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，()00,G x y ．设直线AC 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，可得()2243690m y my ++-=， ∴122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，由弦长公式可得()212212143m AC y m +==+-，又02343y m =-+， ∴2343G m ⎛⎫=-⎪+⎭，直线OG 的方程为34m y x =-，代入椭圆方程得221643x m =+， ∴B ⎛⎫=，B 到直线AC 的距离1d =， O 到直线AB 的距离2d =，∴()12132ABCD S AC d d =+=≥，0m =时取得最小值3． 21．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）设u =xlnx ，x ∈[1，e ]，得到y =u 2+（2t ﹣1）u +t 2﹣t ，根据二次函数的性质求出y 的最小值即可；（Ⅲ）求出函数h （x ）的导数，问题可化为h （x 1）﹣≤h （x 2）﹣，设v （x ）=h （x ）﹣，根据函数的单调性求出m 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）ln y x x =，()0,x ∈+∞，，ln 1y x '=+， 10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，ln y x x =递减， 1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，0y '>，ln y x x =递增， ∴ln y x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增；（Ⅱ）()()()()222ln ln ln 21ln y x x t x x t x x t x x t t =++=+-+--，设ln u x x =，[]1,e x ∈，由（Ⅰ）得ln u x x =在[]1,e x ∈递增，故[]0,e u ∈，此时()2221y u t u t t =+--+，对称轴122t u -=， 1,12t ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，∴121,022t -⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， []0,e u ∈，故0u =时，2min y t t =-；（Ⅲ）()()()212221ln 2h x x a x a x =+++-， ()()()211x a x h x x⎡-+⎤-⎣⎦'=，[]1,2x ∈， []e,3a ∈时，[]212e 1,7a +∈+，故()0h x '<在[]1,2成立，即()h x 在[]1,2递减，∵12x x ≠，不妨设1212x x <≤≤，则()()12h x h x >，12x x <，故原不等式可化为()()1212m m h x h x x x -≤-，对1212x x <≤≤成立，设()()m v x h x x=-，则()v x 在[]1,2递增，其中[]e,3a ∈，即()0v x '≥在[]1,2恒成立，而()()()22110x a x m v x x x ⎡-+⎤-⎣⎦'=+≥，即()221220a m x a x x+-+++≥恒成立，即()2322220x x a x x x m --+++≥恒成立，[]e,3a ∈，由于[]1,2x ∈，∴2220x x -≤，故只需()2322220x x a x x x m --+++≥，即32870x x x m ++≥-，令()3287k x x x x m -=++，[]1,2x ∈，()231670k x x x -'=+<，故()k x 在[]1,2x ∈上递减，∴()()2100min k x k m ==-≥，∴10m ≥，∴[)10,m ∈+∞．。

2016-2017学年山东省德州市高一上学期期末检测数学试卷(带解析)

绝密★启用前2016-2017学年山东省德州市高一上学期期末检测数学试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．集合={|−1≤≤2}，B={x|x<1}，则A∩C R B=（）A. {x|x<1}B. {x|−1≤x<1}C. {x|−1≤x≤1}D. {x|1≤x≤2}2．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是（）A. 0.43B. 0.27C. 0.3D. 0.73．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是（）A. y=|x|B. y=x−2C. y=e x−e−xD. y=−x+14．某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第7个个体是（）(注：表为随机数表的第8行和第9行)A. 02B. 13C. 42D. 445．如图是一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的平均数、中位数分别为（）A. 14，12B. 12，14C. 14，10D. 10，12cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）6．已知扇形的周长是3cm，面积是12A. 1B. 4C. 1或4D. 2或47．已知a>0，b>0且a b=1，则函数f(x)=a x与g(x)=−log b x的图象可能是（）A. B. C. D.8．sin α+cos α= 2，α∈(−π2,π2)，则tan α=（）A. −1B. − 22C.22D. 19．已知实数a ,b 满足2a =3，3b =2，则函数f (x )=a x +x −b 的零点个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 310．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间(14,12)上，则输入的实数x 的取值范围是（）A. (−∞,−2]B. (−2,−1)C. [−1,2]D. [2,+∞)11．已知f (x )={(3−a )x −a ,x <1log a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是（）A. (1,+∞)B. (1,3)C. (0,1)∪(1,3)D. [32,3)12．已知函数f (x )是定义在R 上的函数，若函数f (x +2016)为偶函数，且f (x )对任意x 1,x 2∈[2016,+∞)(x 1≠x 2)，都有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，则（）A. f (2019)<f (2014)<f (2017)B. f (2017)<f (2014)<f (2019)C. f (2014)<f (2017)<f (2019)D. f (2019)<f (2017)<f (2014)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．5、8、11三数的标准差为__________． 14．2log 510+log 514+2log 43=__________．15．向面积为S 的三角形A B C 内任投一点M ，则ΔM B C 的面积小于S3的概率为__________．16．已知函数f (x )定义域为R ，若存在常数k ，使|f (x )|≤k2017|x |对所有实数都成立，则称函数f (x )为“期望函数”，给出下列函数： ①f (x )=x 2②f (x )=xe x ③f (x )=xx −x +1④f (x )=xe x +1其中函数f (x )为“期望函数”的是__________．(写出所有正确选项的序号)三、解答题17．已知cos (π6−α)=33. （1）求cos (5π6+α)的值；（2）求sin (2π3−α)的值.18．函数f (x )= −x 2+(a +2)x −a −1(a >0)的定义域为集合A ，函数g (x )=2x −1(x ≤2)的值域为集合B .（1）当a =1时，求集合A ,B ；（2）若集合A ,B 满足A ∪B =B ，求实数a 的取值范围.19．某市电视台为了宣传，举办问答活动，随机对该市15至65岁的人群进行抽样，频率分布直方图及回答问题统计结果如表所示：（1）分别求出a,b,x,y的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取3人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第3组至少有1人获得幸运奖的概率.20．已知实数x满足9x−12⋅3x+27≤0，函数f(x)=log2x2⋅log2x2.（1）求实数x的取值范围；（2）求函数f(x)的最大值和最小值，并求出此时x的值.21．某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：（1）求y关于x的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，当价格x=40元/k g时，日需求量y的预测值为多少？参考公式：线性回归方程y=b x+a，其中b=x i y i−n⋅x⋅yni=1x i2−n⋅x2ni=1=(x i−x)(y i−y)ni=1(x i−x)2ni=1,a=y−b x22．函数f(x)=log a(2−a x)(a>0,a≠1).（1）当a=3时，求函数f(x)的定义域；（2）若g(x)=f(x)−log a(2+a x)，判断g(x)的奇偶性；（3）是否存在实数a，使函数f(x)在[2,3]递增，并且最大值为1，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D【解析】由题意得，C R B ={x |x ≥1}，则A ∩C R B ={x |1≤x ≤2}，故选D. 2．C【解析】由题意得，P 红=0.43，P 白=0.27⇒P 黑=1-P 红-P 白=1-0.43-0.27=0.3，故选C.3．B 【解析】由题意得，函数是偶函数，C,D 不符合题意，C 是奇函数，D 非奇非偶函数，选项A :y =|x | 在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意，选项B 在区间(0,+∞)上单调递减，符合题意，故选B. 4．A【解析】由题意得，找到第9行第11列数开始向右读，符合条件的是07，42，44，38，15，13，02，故选A. 5．A【解析】由题意得，这个运动员的五场比赛得分分别为9,10,12,17,22，则该运动员的平均得分为9+10+12+17+225=14，中位数为12，则选A.6．C【解析】由题意得，设扇形的半径为r ，圆心角为α，则{α2π⋅πr 2=122r +αr =3⇒{r =1α=1或｛r =12α=4，故选C.7．B【解析】由题意得，a b =1⇒b =1a⇒g (x )=−log b x =−log 1ax =log a x ，则f (x )图象与g (x )图象关于y =x 对称，故选B. 8．C【解析】由题意得，sin α+cos α= 2⇒(sin α+cos α)2=2⇒sin 2α=1，又因为α∈(−π2,π2)，则α=π4，则tan α=22，故选C.9．B【解析】∵实数a ,b 满足2a =3，3b =2， ∴a =log 23>1,0<b =log 32<1，∵函数f (x )=a x +x −b ，∴f (x )=(log 23)x +x −log 32单调递增，∵f (0)>0,f (−1)<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f (x )=a x +x −b 的零点所在的区间(−1,0)，故选：B. 【点睛】本题考查了函数的性质，对数，指数的转化，函数的零点的判定定理，属于基础题，本题由对指数的转化可得到a ,b 与1大小关系，从而可知道f (x )在R 上的单调性，再根据函数的零点判定定理即可得到零点所在的区间，从而可求解，因此正确的对指数的转化以及对指数性质的运用是解决本题的关键. 10．B【解析】分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f (x )={2,x ∈ −∞,−2 ∪[2,+∞)2x ,x ∈(−2,2)的函数值, 又∵输出的函数值在区间(14,12)上，∴x ∈(−2,−1). 故选：B. 11．D【解析】由题意得，∵已知f (x )={(3−a )x −a ,x <1log a x ,x ≥1是(−∞,+∞)上的增函数,∴x <1时,f (x )=(3−a )x −a 是增函数， ∴3−a >0，解得a <3；当x ≥1 时,f (x )=log a x 是增函数，解得a >1. ∵f (1)=0 ，∴当x <1时,f (x )<0，∵x =1,(3−a )x −a =3−2a ， ∴3−2a ≤f (1)=0,解得a ≥32.所以32≤a <3.故选D.【点睛】本题考查了分段函数的运用，含参数的一次函数和对数函数的单调性问题，需要分类讨论，注意分界点的函数值，属于中档题和易错题，解题时要认真审题，仔细分析，易错点就是分段函数的分界点处单调性的处理. 12．A【解析】由题意得,函数f (x )是定义在R 上的函数,若函数f (x +2016)为偶函数,则有f (x +2016)=f (−x +2016)，故函数f (x )的图象关于直线x =2016对称, ∵f (x )对任意x 1,x 2∈[2016,+∞)(x 1≠x 2),都有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，故函数f (x )在[2016,+∞)上是减函数,在(−∞,2016]上是增函数, 故有f (2019)<f (2014)<f (2017)，故选：A.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题，通过对f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0分析可得，f (x )在[2016,+∞)上是减函数，由函数f (x +2016)为偶函数，则函数f (x )的图象关于直线x =2016对称，由这两个条件可求出f (x )的单调区间，即可比较大小，因此正确分析出函数的单调区间是解题的关键. 13． 6【解析】由题意得，x=5+8+113=8⇒S = (5−8)2+(8−8)2+(11−8)23= 6 ,即标准差为 6 .14．2+ 3【解析】由题意得，2log 510+log 514+2log 43=2(log 52+1)−2log 52+2log 2 3=2log 52+2−2log 52+ 3=2+ 3.则答案为2+ 3 . 15．59【解析】试题分析：先确定△P B C 的面积等于S3时点P 的轨迹，然后结合点P 所在的区域，以面积为测度，可求三角形P B C 的面积小于S 3的概率。

2016-2017学年山东省德州市高二下学期期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）用反证法证明命题“设为实数，则方程e=l至少有一个实根”时，要做的假设设是（）A．方程e=l没有实根B．方程e=l至多有一个实根C．方程e=l至多有两个实根D．方程e=l恰好有两个实根2．（5分）设i是虚数单位，若=2+i，则复数z的共轭复数是（）A．1+i B．2+i C．3﹣i D．3+i3．（5分）dx=3，则a=（）A．e2 B．e4C．e3D．e24．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）=1，则μ=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．25．（5分）已知直线l过点P（1，1），且与曲线y=x3在点P处的切线互相垂直，则直线l的方程为（）A．x+3y+4=0 B．x+3y﹣4=0 C．3x﹣y+2=0 D．3x﹣y﹣2=06．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n≥2）”时，由n=k的假设证明n=k+1时，不等式左边需增加的项数为（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+17．（5分）一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是（）A．0.81 B．0.82 C．0.90 D．0.918．（5分）为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的2×2列联表：表：经计算K2=参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性別无关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”9．（5分）如果（x+）（x﹣）4的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣1610．（5分）已知f（x）=x2+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．11．（5分）已知6间不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（）A．24 B．72 C．96 D．36012．（5分）已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意∈R总有＜，则下列大小关系一定正确的是（）A．f（）＞e•f（0）B．f（）＜e•f（0）C．f（）＞e2•f（0）D．f（）＜e2•f（0）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线y=x2与所围成的图形的面积是．14．（5分）设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为0.85，能够连续正常工作15000小时的概率为0.75，现有一台连续工作10000小时的这种机械，它能够连续正常工作15000小时的概率是．15．（5分）若（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），则a1+a2+a3+…+a2017的值为．16．（5分）如果对定义在区间D上的函数f（x），对区间D内任意两个不相等的实数x 1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为区间D上的“H函数”，给出下列函数及函数对应的区间①y=x3﹣x2+x，（x∈R）②y=3x+cosx﹣sinx，x∈（0，）③f（x）=（x+1）e﹣x，x∈（﹣∞，1）④f（x）=xlnx，x∈（0，）以上函数为区间D上的“H函数”的序号是（写出所有正确的序号）三、解答题（共5小题，满分60分）解答应冩出文字说明、证明过程和演算步驟17．（12分）已知复数z=+（a2+2a﹣3）i（a∈R）．（I）若z=，求a；（Ⅱ）a取什么值时．z是纯虚数？18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x+b（b∈R）．（Ⅰ）当b=0时，求f（x）在[1，4]上的值域；（Ⅱ）若函数f（x）有三个不同的零点，求b的取值范围．19．（12分）在一次抽样调査中测得样本的6组数据，得到一个变量y关于x的回归方程模型，其对应的数值如表（Ⅰ）请用相关系数r加以说明y与x之间存在线性相关关系（当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系）；（Ⅱ）根据（I ）的判断结果，建立y关于x的回归方程并预测当x=9时，对应的y值为多少（b精确到0.01）附参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣，相关系数r公式为：r=参考数据：=47.64，=139，=4.18，=1.53．20．（12分）近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨，现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为，后2天均为，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．（Ⅰ）求至少有1天需要人工降雨的概率（Ⅱ）求不需要人工降雨的天数X的分布列和期望．21．（12分）巳知函数f（x）=lnx﹣ax2，a∈R（I）求函数f（x）的单调区间，（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．[选修4-4：参数方程与极坐标]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（Ⅰ）求直角坐标系下曲线C1与曲线C2的方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（I）当a=3时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2a﹣1怛成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年山东省德州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）用反证法证明命题“设为实数，则方程e=l至少有一个实根”时，要做的假设设是（）A．方程e=l没有实根B．方程e=l至多有一个实根C．方程e=l至多有两个实根D．方程e=l恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设为实数，则方程e=l至少有一个实根”时，要做的假设是：方程e=l没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．2．（5分）设i是虚数单位，若=2+i，则复数z的共轭复数是（）A．1+i B．2+i C．3﹣i D．3+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘法运算化简复数z得答案．【解答】解：由=2+i，得z=（2+i）（1﹣i）=3﹣i，则复数z的共轭复数是：3+i．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）dx=3，则a=（）A．e2 B．e4C．e3D．e2【分析】根据定积分的运算，即可求得a的值．【解答】解：由dx=lnx=lna﹣lne=3，则a=e4，故选B．【点评】本题考查定积分的运算，考查求原函数的方法，考查计算能力，属于基础题．4．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）=1，则μ=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】由对称性得图象关于x=μ对称且结合题意得到P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）=1，从而得出﹣2和6关于直线x=μ对称，利用中点坐标公式求出μ的值．【解答】解：∵P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）=1，∴P（ξ＜﹣2）=1﹣P（ξ≤6），即P（ξ＜﹣2）=P（ξ＞6），由于随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），曲线关于x=μ对称，P（ξ＜﹣2）=P（ξ＞6）表明﹣2和6关于直线x=μ对称，∴μ==2．故选：D．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、正态分布．正态曲线有两个特点：（1）正态曲线关于直线x=μ对称；（2）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1．5．（5分）已知直线l过点P（1，1），且与曲线y=x3在点P处的切线互相垂直，则直线l的方程为（）A．x+3y+4=0 B．x+3y﹣4=0 C．3x﹣y+2=0 D．3x﹣y﹣2=0【分析】由导数的几何意义可求曲线y=x3在（1，1）处的切线斜率k，然后根据直线垂直的条件可求直线方程．【解答】解：设曲线y=x3在点P（1，1）处的切线斜率为k，则k=f′（1）=3因为直线l过点P（1，1），与曲线y=x3在点P（1，1）处的切线互相垂直所以y﹣1=﹣（x﹣1），解得x+3y﹣4=0故选：B．【点评】本题主要考查了导数的几何意义：曲线在点（x0，y0）处的切线斜率即为该点处的导数值，两直线垂直的条件的运用．属于中档题．6．（5分）用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n≥2）”时，由n=k的假设证明n=k+1时，不等式左边需增加的项数为（）A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1【分析】分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数．【解答】解：n=k时，左边=1+++…+，当n=k+1时，左边=1+++…++++…+．∴左边增加的项数为2k+1﹣1﹣（2k﹣1）=2k+1﹣2k=2k．故选：C．【点评】本题考查了数学归纳法的证明步骤，属于基础题．7．（5分）一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是（）A．0.81 B．0.82 C．0.90 D．0.91【分析】利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式能求出检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率．【解答】解：∵一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，∴检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是：p=0.9×0.9+0.1×0.1=0.82．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式的合理运用．8．（5分）为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的2×2列联表：表：经计算K2=参照附表，得到的正确结论是（）A．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性別无关”D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”【分析】计算K2，参照附表得出正确的结论．【解答】解：经计算K2==≈3.030＞2.706，参照附表，得到的正确结论是有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．故选：D．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．9．（5分）如果（x+）（x﹣）4的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是（）A．8 B．﹣8 C．16 D．﹣16【分析】由题意令x=1，则（1+a）×（1﹣2）4=2，解得a=1．再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意令x=1，则（1+a）×（1﹣2）4=2，解得a=1．∴（x+）（x﹣）4即，=x4﹣r=（﹣2）r x4﹣2r，（x﹣）4的通项公式为：T r+1分别令4﹣2r=0，4﹣2r=2，解得r=2，1．则展开式中x的系数是+=16．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）已知f（x）=x2+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】求函数的导数，根据函数的性质即可判断函数的图象．【解答】解：∵f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，为奇函数，关于原点对称，排除B，D，设g（x）=f′（x）=x﹣sinx，令h（x）=x﹣sinx，h′（x）=，当x时，h′（x）＜0，x∈（，π）时，h′（x）＞0，x=，h（x）有极小值：＜0，所以．f′（x）=x﹣sinx，在x＞0时，有两个根，排除C．所以图象A正确，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导函数的性质是解决本题的关键．11．（5分）已知6间不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（）A．24 B．72 C．96 D．360【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、2件次品一件在前3次测试中找到，另一件在第四次找到，②、前4次没有一次发现次品，即前4次都是正品，第四次测试后剩下2件就是次品，分别求出每一种情况的测试方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，需要分2种情况讨论：①、2件次品一件在前3次测试中找到，另一件在第四次找到，有C21×C42×A33=72种情况，②、前4次没有一次发现次品，即前4次都是正品，第四次测试后剩下2件就是次品，有A44=24种情况，则不同测试方法数72+24=96种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的应用，问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列．12．（5分）已知y=f（x）为定义在R上的单调递增函数，y=f′（x）是其导函数，若对任意∈R总有＜，则下列大小关系一定正确的是（）A．f（）＞e•f（0）B．f（）＜e•f（0）C．f（）＞e2•f（0）D．f（）＜e2•f（0）【分析】令g（x）=，求出函数的导数，得到函数g（x）的单调性，从而判断函数值的大小即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，由f′（x）＞0，＜，得f′（x）﹣2017f（x）＞0，故g′（x）＞0，g（x）在R递增，故g（）＞g（0），即＞，即f（）＞ef（0），故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）曲线y=x2与所围成的图形的面积是．【分析】联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x2与所围成的图形的面积．【解答】解：联立的：因为x≥0，所以解得x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S=∫01（﹣x2）dx=﹣x3|01=故答案为【点评】让学生理解定积分在求面积中的应用，会求一个函数的定积分．14．（5分）设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为0.85，能够连续正常工作15000小时的概率为0.75，现有一台连续工作10000小时的这种机械，它能够连续正常工作15000小时的概率是．【分析】设“某种机械设备能够连续正常工作10000小时”为事件A，“某种机械设备能够连续正常工作15000小时”为事件B，则P（A）=0.85，P（AB）=0.75，由此利用条件概率能求出现有一台连续工作10000小时的这种机械，它能够连续正常工作15000小时的概率．【解答】解：设“某种机械设备能够连续正常工作10000小时”为事件A，“某种机械设备能够连续正常工作15000小时”为事件B，P（A）=0.85，P（AB）=0.75，现有一台连续工作10000小时的这种机械，它能够连续正常工作15000小时的概率：P（B/A）===．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15．（5分）若（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），则a1+a2+a3+…+a2017的值为﹣1．【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0 =1，再令x=，可得a1+a2+a3+…+a2017的值．【解答】解：∵（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），令x=0，可得a0 =1；再令x=，可得a0+a1+a2+a3+…+a2017=1+a1+a2+a3+…+a2017=0，∴a1+a2+a3+…+a2017=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．16．（5分）如果对定义在区间D上的函数f（x），对区间D内任意两个不相等的实数x 1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为区间D上的“H函数”，给出下列函数及函数对应的区间①y=x3﹣x2+x，（x∈R）②y=3x+cosx﹣sinx，x∈（0，）③f（x）=（x+1）e﹣x，x∈（﹣∞，1）④f（x）=xlnx，x∈（0，）以上函数为区间D上的“H函数”的序号是①②（写出所有正确的序号）【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数，①y=x3﹣x2+x，（x∈R），y′=x2﹣x+＞0，函数递增，②y=3x+cosx﹣sinx，x∈（0，），y′=3﹣sinx﹣cosx=3﹣sin（x+）＞0，函数递增，③f（x）=（x+1）e﹣x，x∈（﹣∞，1），f′（x）=，显然函数在（﹣∞，﹣2）递增，在（﹣2，1）递减，④f（x）=xlnx，x∈（0，）f′（x）=lnx+1＜0，函数递减，故答案为：①②．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题（共5小题，满分60分）解答应冩出文字说明、证明过程和演算步驟17．（12分）已知复数z=+（a2+2a﹣3）i（a∈R）．（I）若z=，求a；（Ⅱ）a取什么值时．z是纯虚数？【分析】（I）若z=，得，求解即可得答案；（Ⅱ）由复数z是纯虚数，得，求解即可得答案．【解答】解：（I）复数z=+（a2+2a﹣3）i（a∈R），若z=，得，解得a=1；（Ⅱ）由复数z=+（a2+2a﹣3）i（a∈R）是纯虚数，得，解得a=．∴a=时，z是纯虚数．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x+b（b∈R）．（Ⅰ）当b=0时，求f（x）在[1，4]上的值域；（Ⅱ）若函数f（x）有三个不同的零点，求b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，根据函数的零点的个数，得到b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=x3﹣2x2+3x，f′（x）=x2﹣4x+3=（x﹣1）（x﹣3），x∈[1，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）在[1，3）递减，x∈（3，4]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（3，4]递增，由f（3）=0，f（1）=f（4）=，∴f（x）在[1，4]的值域是[0，]；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），由f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，由f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，故f（x）在（1，3）递减，在（﹣∞，1），（3，+∞）递增，故f（x）极大值=f（1）=b+，f（x）极小值=f（3）=b，故b+＞0且b＜0即﹣＜b＜0时，函数f（x）有三个不同的零点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．19．（12分）在一次抽样调査中测得样本的6组数据，得到一个变量y关于x的回归方程模型，其对应的数值如表（Ⅰ）请用相关系数r加以说明y与x之间存在线性相关关系（当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系）；（Ⅱ）根据（I ）的判断结果，建立y关于x的回归方程并预测当x=9时，对应的y值为多少（b精确到0.01）附参考公式：回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，=﹣，相关系数r公式为：r=参考数据：=47.64，=139，=4.18，=1.53．【分析】（Ⅰ）由题意计算、，利用公式计算相关系数r，由此说明x与y之间存在相关关系；（Ⅱ）求出回归系数、，写出回归方程，利用回归方程求出x=9时的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得=（2+3+4+5+6+7）=4.5，=（3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10）=2，且=47.64，=4.18，=1.53；∴相关系数r===﹣≈﹣0.99，由|r|＞0.81，说明x与y之间存在相关关系；（Ⅱ）由===﹣≈﹣0.36，=﹣=2﹣（﹣0.36）×4.5=3.62，所以x与y的回归方程为=﹣0.36x+3.62，将x=9代入线性回归方程得=﹣0.36×9+3.62=0.38．【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的应用问题，是中档题．20．（12分）近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨，现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为，后2天均为，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨．（Ⅰ）求至少有1天需要人工降雨的概率（Ⅱ）求不需要人工降雨的天数X的分布列和期望．【分析】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式求出至少有1天需要人工降雨的概率值；（Ⅱ）根据题意知X的可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是P1=•=，所以至少有1天需要人工降雨的概率是P=1﹣P1=；（Ⅱ）根据题意，X的可能取值为0，1，2，3，4，5；则P（X=0）=×=，P（X=1）=××+×××=，P（X=2）=××+××××+×=，P（X=3）=××+××××+×=，P（X=4）=×××+××==，P（X=5）=×==；∴随机变量X的分布列为：X的数学期望为EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=3.1．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，解题时要注意概率知识的合理运用．21．（12分）巳知函数f（x）=lnx﹣ax2，a∈R（I）求函数f（x）的单调区间，（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，求整数a的最小值．【分析】（1）求得函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）运用参数分离在x＞0恒成立．运用导数，判断单调性，求得右边函数的最大值，注意结合函数的零点存在定理，即可得到a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=﹣ax=，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）f（x）≤（a﹣1）x﹣1恒成立，可得lnx﹣ax2+x≤ax﹣1恒成立，等价为a≥在x＞0恒成立．令g（x）=，只需a≥g（x）max，g′（x）=，令g′（x）=0，可得﹣x﹣lnx=0，设h（x）=﹣x﹣lnx，h′（x）=﹣﹣＜0，h（x）在（0，+∞）递减，设h（x）=0的根为x0，当x∈（0，x0），g′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（0，x0）递增，在x∈（x0，+∞）递减，即有g（x）max=g（x0）==，由h（）=ln2﹣＞0，h（1）=﹣＜0，则＜x0＜1，此时1＜＜2，即g（x）max∈（1，2），即a≥2，则有整数a的最小值为2．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，注意运用参数分离和函数的零点存在定理，属于中档题．[选修4-4：参数方程与极坐标]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4．（Ⅰ）求直角坐标系下曲线C1与曲线C2的方程；（Ⅱ）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最大值，并求此时点P的坐标．【分析】（Ⅰ）由cos2α+sin2α=1，能求出曲线C1的普通方程，由正弦加法定理和ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线C2的直角坐标方程．（Ⅱ）由点P到直线距离公式和三角函数性质，能求出点P到C2上点的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a 为参数），∴曲线C1的普通方程为x2+=1，∵曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=4，∴ρ（sinθcos+cosθsin）=4，∴ρsinθ+ρcosθ=8，∴曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣8=0．（Ⅱ）∵P为曲线C1上的动点，∴P（cosα，sinα）到直线x+y﹣8=0的距离：d===|sin（α+）﹣4|，当sin（α+）=﹣1即α=时，d的最大值是5，故此时点P的坐标是（﹣，﹣）．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程、直角坐标方程的互化，考查点到直线的距离的最小值的求法，解题时要注意点到直线距离公式的合理运用．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣a|．（I）当a=3时，解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2a﹣1怛成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=|x+1|+|x﹣3|=，分类求解不等式f（x）＞5，综合讨论结果，可得答案；（Ⅱ）根据绝对值的性质，求出f（x）=|x+1|+|x﹣a|的最小值，由绝对值不等式进而可得满足条件的实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=3时，f（x）=|x+1|+|x﹣3|=，当x＜﹣1时，解f（x）=﹣2x+2＞5得：x＜﹣；当﹣1≤x≤3时，解f（x）=4＞5恒不成立；当x＞3时，解f（x）=2x﹣2＞5得：x＞，综上可得不等式f（x）＞5的解集为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥2a﹣1怛成立，即有2a﹣1≤f（x）min，由|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|=|a+1|，则|a+1|≥2a﹣1，可得a+1≥2a﹣1或a+1≤1﹣2a，解得a≤2或a≤0，则a的范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值三角不等式，注意运用转化思想，以及分类讨论思想方法，难度中档．。

2016-2017年山东省聊城市高三(上)期末数学试卷(文科)及参考答案

2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3}，B={1，2，5}，则（∁A）∩B=（）UA．{2，4，5}B．{1，2，4，5}C．{2，5}D．{0，2，3，4，5}2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．D．3．（5分）某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（）A．27B．33C．135D．1654．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．0D．25．（5分）一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+4B．C．2π+4D．6．（5分）已知α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）已知直线x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则∠ACB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°8．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=﹣2，则a，b，c的大小关系式（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c9．（5分）已知函数，若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．C．D．10．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若，则cosA ﹣cosC=（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为．12．（5分）已知向量的夹角为60°，，则在上的投影为．13．（5分）已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则p的值为．14．（5分）一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为．15．（5分）已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．17．（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．（1）证明：AM∥平面BDC1；（2）证明：DC1⊥平面BDC．19．（12分）在等差数列{a n}中，d＞0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列{b n}是等比数列，b1=16，a2b2=4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）令，求{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣aex（a∈R，e是自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．2016-2017学年山东省聊城市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3}，B={1，2，5}，则（∁A）∩B=（）UA．{2，4，5}B．{1，2，4，5}C．{2，5}D．{0，2，3，4，5}【解答】解：U={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3}，B={1，2，5}，则∁U A={2，4，5}；所以（∁U A）∩B={2，5}．故选：C．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（）A．1+i B．1﹣i C．D．【解答】解：由，得，∴z=．故选：D．3．（5分）某市教育局随机调查了300名高中学生周末的学习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中学习时间的范围是[0，30]，样本数据分组为，[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25），[25，30]，根据直方图，这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是（）A．27B．33C．135D．165【解答】解：学习时间不少于15小时的频率为（0.045+0.03+0.015）×5=0.45，故这300名高中生周末的学习时间不少于15小时的人数是300×0.45=135，故选：C．4．（5分）设变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．C．0D．2【解答】解：变量x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（﹣1，0）连线的斜率，经过A时，目标函数取得最大值．由，可得A（，），则的最大值是：=．故选：A．5．（5分）一个由圆柱和正四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π+4B．C．2π+4D．【解答】解：由已知可得：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和圆柱的组合体，四棱锥的底面面积为：2×2=4，高为1，故体积为：，圆柱的底面半径为1，高为2，故体积为：2π，故组合体的体积V=，故选：D．6．（5分）已知α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：α，β是相交平面，直线l⊂平面α，则“l⊥β”⇒“α⊥β”，反之也成立．∴“l⊥β”是“α⊥β”的充要条件．故选：A．7．（5分）已知直线x﹣y+2=0与圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4（圆心为C）交于点A，B，则∠ACB的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==，圆的半径为2，∴cos∠ACB=，∴∠ACB=90°，故选：C．8．（5分）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，记a=3f（3），b=f（sin1）sin1，c=﹣2，则a，b，c的大小关系式（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c【解答】解：令g（x）=xf（x），g（x）为偶函数，则g′（x）=f（x）+xf′（x）．∵当x＜0时xf'（x）+f（x）＜0，∴当x＜0时，函数g（x）单调递减．∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴函数g（x）为R+的单调递增函数，∴a=3f（3）=g（3），b=sin1•f（sin1）=g（sin1）c=﹣2=g（﹣2）=g（2），∴g（3）＞g（﹣2）＞g（sin1），∴a＞c＞b．故选：A．9．（5分）已知函数，若两函数的图象有且只有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．C．D．【解答】解：画出函数和y=|x﹣a|的图象，（如图）由图可知，当且仅当直线y=a﹣x与函数y=的图象相切时，有2解，∴此时a＞2，x＜a，y=a﹣x代入y=，可得：x2+（1﹣a）x+2=0，△=（1﹣a）2﹣8=0，解得a=1+2，要有3个交点，可得a＞1+2，函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是a ＜﹣2．综上a．故选：D．10．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c成递减的等差数列，若，则cosA ﹣cosC=（）A．B．C．D．【解答】解：∵三边a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，利用正弦定理可得：2sinB=sinA+sinC，∴sinA+sinC=2sin=，设cosA﹣cosC=m，则平方相加可得：2﹣2cos（A+C）=2+m2，∴m2=2cosB=，解得m=±．∵a，b，c成递减的等差数列，∴m=﹣．故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）执行如图所示的程序框图，若S0=2，则程序运行后输出的n的值为4．【解答】解：n=1时，S←3×2+1；n=2时，S←3×7+1；n=3时，S←3×22+1；n=4时，S←3×67+1=202，因此输出n=4．故答案为：4．12．（5分）已知向量的夹角为60°，，则在上的投影为1．【解答】解：向量的夹角为θ=60°，||=2，则在上的投影为||×cosθ=2×cos60°=1．故答案为：1．13．（5分）已知离心率为2的双曲线的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若，则p的值为2．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，A，B两点的纵坐标分别是y=±，又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线，∴×p×=，得p=2．故答案为2．14．（5分）一海豚在水池中（不考虑水的深度）自由游戏，已知水池的长为30m，宽为20m，则海豚嘴尖离池边超过4m的概率为．【解答】解：如图所示：长方形面积为20×30，小长方形面积为22×12，阴影部分的面积为20×30﹣22×12，∴海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率为P=1﹣=．故答案为．15．（5分）已知函数，若方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是（0，2）．【解答】解：已知函数的图象如图：方程f（x）=t恰有3个不同的实数根，则圆锥函数图象与y=t有三个交点，由图象可知，当t∈（0，2）满足题意；故答案为：（0，2）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知函数的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间．【解答】解：（1）===．因为函数f（x）的最小正周期为π，所以，得ω=1．（2）由（1）可得，f（x）=sin（2x ﹣），把函数y=f（x ）的图象向左平移个单位后，得到y=g（x）=sin[2（x +）﹣]=sin（2x +）的图象．令2kπ﹣≤2x +≤2kπ+，求得．当k=0时，；当k=1时，．所以函数g（x）在区间[0，π]上的单调递增区间为．17．（12分）元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：①每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；②当X≤3或X≥6时，即有资格展现才艺；当3＜X＜6时，即被迫放弃展示．（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2））；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率．【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为：（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对共有16个．满足当X≤3或≥6的红绿卡片组合对有：（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2），（红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对．所以甲同学取得展示才艺资格的概率为．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别是AA1，BC的中点，∠CDC1=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．（1）证明：AM∥平面BDC1；（2）证明：DC1⊥平面BDC．【解答】证明：（1）取BC1的中点N，连接DN，MN，则且．又且，∴AD∥MN，且AD=MN，∴四边形ADNM为平行四边形，∴DN∥AM．又DN⊂平面BDC1，AM⊄平面BDC1，∴AM∥平面BDC1．（2）由题设AC=1，则AB=2，由余弦定理，得．由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC1．又∵BC⊥CC1，且CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1．又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．又DC1⊥DC，且DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC．19．（12分）在等差数列{a n}中，d＞0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列{b n}是等比数列，b1=16，a2b2=4．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）令，求{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设{a n}公差为d，{b n}公比为q．由a1+a7=2a4，得3a4=12，即a4=4．再结合题意，得，解得或（舍）．由a1=1，a7=7，得．故a n=a1+（n﹣1）d=n．在数列{b n}中，，解得q=2．所以．（2）因为，所以．又．以上两式作差，得，所以．20．（13分）已知函数f（x）=e x﹣aex（a∈R，e是自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣eax，得f'（x）=e x﹣ea．当a≤0时，f'（x）=e x﹣ea＞0，则f（x）在R上为增函数；当a＞0时，由f'（x）=e x﹣ea=e x﹣e1+lna=0，解得x=1+lna．当x＜1+lna时，f'（x）＜0；当x＞1+lna时，f'（x）＞0．所以f（x）在（﹣∞，1+lna）上为减函数，在（1+lna，+∞）上为增函数．（2）结合（1），得：当a＜0时，设a＜﹣1，则f（2a）=e2x﹣ea•2a=e2x﹣2ea2＜0，这与“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”矛盾，此时不适合题意．当a=0时，f（x）=e x，满足“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”．当a＞0时，f（x）的极小值点，也是最小值点，即，由f（x）≥0，得﹣ealna≥0，解得0＜a≤1．综上，a的取值范围是[0，1]．21．（14分）已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．（1）求椭圆E的方程；（2）求证：2m2=4k2+3；（3）求|AB|的最大值．【解答】（1）解：由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．∴椭圆E的方程为=1．（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，∴x1+x2=，x1•x2=，∵．∴=﹣，即3x1•x2+4y1y2=0，∴3x1•x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：（3+4k2）x1•x2+4km（x1+x2）+4m2=0，∴（3+4k2）+4km•+4m2=0，化为：2m2=4k2+3．（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化为：4k2+3＞m2，∴4k2+3，∴k∈R．|AB|=====∈．当且仅当k=0时，|AB|的最大值2．第21页（共21页）。

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2016-2017 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，把正确答案涂在答题卡上． 1．（5 分）已知全集 U=R，集合 M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁ UM） ∪N=（） A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3＜x≤2} D．{x|0＜x＜1} 2．（5 分）复数 z= ，则 =（） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 3．（5 分）已知向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R），若 ∥ ，则 x 的值为（） A．﹣2 B．﹣2 或 0 C．1 或﹣3 D．0 或 2 4．（5 分）已知 p：函数 f（x）= x3﹣ ax2+x+b 在 R 上是增函数，q：函数 f（x）

=xa﹣2 在（0，+∞）上是增函数，则 p 是￢q 的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（5 分）如图所示的程序框图，若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为（）

A．1 B．5 C．16 D．486．（5 分）若变量 x、y 满足，则 x2+y2 的最小值是（） A． B．1 C．3 D． 7．（5 分）抛物线 y2=8x 与双曲线 C： ﹣ =1（a＞0，b＞0）有相同的焦点，且该焦点到双曲线 C 的渐近线的距离为 1，则双曲线 C 的方程为（） A．x2﹣ =1 B．y2﹣ =1 C． ﹣y2=1 D． ﹣y2=1 8．（5 分）若 θ∈（，π），且 cos2θ+cos（ +2θ）=﹣ ，则 tanθ=（） A．﹣ B． C．﹣3 D．3 9．（5 分）2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取 70 后和 80 后作为调查对象，随机调查了 100 位，得到数据如表：生二胎不生二胎合计 70 后 30 15 45 80 后 45 10 55 合计 75 25 100 根据以上调查数据，认为“生二胎与年龄有关”的把握有（）

参考公式：x2= ，其中 n=n11+n12+n21+n22．参考数据： P（x2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A．90% B．95% C．99% D．99.9% 10．（5 分）方程 x2+ x﹣1=0 的解可视为函数 y=x+ 与函数 y= 的图象交点的

横坐标，若 x4+ax﹣4=0 的各实根 x1、x2、…、xk（k≤4）所对应的点（xi，）（i=1， 2，…，k）均在直线 y=x 的同一侧，则实数 a 的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣6） B．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞） C．（6，+∞） D．（﹣6，6）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．（5 分）将某选手的 9 个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91，现场作的 9 个得分的茎叶图，后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示，则 x 为．

12．（5 分）不等式|x﹣3|+|x+1|＜8 的解集为． 13．（5 分）二项式（ax2﹣ ）n 展开式的二项式系数之和为 32，其中常数项为

160，则 a 的值为． 14．（5 分）如图，正方形边长是 2，函数 y= 与正方形交于两点，向正方形内投飞镖，则飞镖落在阴影部分内的概率是．

15．（5 分）函数（f x）在[a，b]上有意义，若对任意 x1、x2∈[a，b]，有（f ） ≤ [f（x1）+f（x2）]，则称 f（x）在[a，b]上具有性质 P，现给出如下命题： ①f（x）= 在[1，3]上具有性质 P； ②若 f（x）在区间[1，3]上具有性质 P，则 f（x）不可能为一次函数； ③若 f（x）在区间[1，3]上具有性质 P，则 f（x）在 x=2 处取得最大值 1，则 f （x）=1，x∈[1，3]； ④若 f（x）在区间[1，3]上具有性质 P，则对任意 x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有 f （）≤ [f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）]．其中真命题的序号为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（12 分）已知向量 =（2sinx， cosx）， =（﹣sinx，2sinx），函数 f（x）= • ．（Ⅰ）求 f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，若角 C 为锐角，且 f（

﹣ ）= ，a= ，S△ABC=2 ，求 c 的值． 17．（12 分）为推动乒乓球运动的发展，由甲乙两乒乓球协会协商进行友谊赛，现有来自甲协会的运动员 4 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 9 名运动员中随机选择 4 人参加比赛．（Ⅰ）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（Ⅱ）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望． 18．（12 分）已知数列{an}是公比不等于 1 的等比数列，前 n 项和为 Sn，a11=512，且 S8、S7、S9 成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记 bn=n|an|，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn． 19．（12 分）已知函数 f（x）=ex（ax2+bx+c）的导函数 y=f′（x）的两个零点为﹣ 3 和 0．（其中 e=2.71828…）（Ⅰ）当 a＞0 时，求 f（x）的单调区间；（Ⅱ）若 f（x）的极小值为﹣e3，求 f（x）在区间[﹣5，1]上的最大值．

20．（13 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： + =1（a＞b ＞0）的离心率 e= ，左顶点为 A（﹣2，0），过点 A 作斜率为 k（k≠0）的直线 l 交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）已知点 P 为 AD 的中点，是否存在顶点 Q，对于任意的 k（k≠0）都有 OP ⊥EQ？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．21．（14 分）已知函数 f（x）=lnx﹣ax+ ，对任意的 x∈（0，+∞），满足 f（x） +f（）=0，其中 a、b 为常数（e=2.71828…）．（Ⅰ）若 f（x）的图象在 x=1 处的切线经过点（0，﹣5），求 a、b 的值；（Ⅱ）已知 0＜a＜1，求证：f（）＞0；（Ⅲ）当 f（x）存在三个不同的零点时，求 a 的取值范围．2016-2017 学年山东省德州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，把正确答案涂在答题卡上． 1．（5 分）（2016 秋•德州期末）已知全集 U=R，集合 M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x ≤1}，则（∁ UM）∪N=（） A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3＜x≤2} D．{x|0＜x＜1} 【解答】解：M={x|x2+2x﹣3≥0}={x|x≥1 或 x≤﹣3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x ≤2}，则∁ UM={x|﹣3＜x＜1}，则（∁ UM）∪N={x|﹣3＜x≤2}，故选：C

2．（5 分）（2016 秋•德州期末）复数 z= ，则 =（） A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i 【解答】解：z= = ，则 =i．故选：A．

3．（5 分）（2016 秋•德州期末）已知向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R），若 ∥ ，则 x 的值为（） A．﹣2 B．﹣2 或 0 C．1 或﹣3 D．0 或 2 【解答】解：∵向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R），且 ∥ ， ∴﹣x﹣x（2x+3）=0，即 2x（x+2）=0，解得 x=﹣2 或 x=0，故选 B． 4．（5 分）（2016 秋•德州期末）已知 p：函数 f（x）= x3﹣ ax2+x+b 在 R 上是增函数，q：函数 f（x）=xa﹣2 在（0，+∞）上是增函数，则 p 是￢q 的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数 f（x）= x3﹣ ax2+x+b 在 R 上是增函数，

则 f′（x）=x2﹣ax+1≥0 恒成立，即判别式△=a2﹣4≤0，则﹣2≤a≤2，即 p：﹣ 2≤a≤2，若函数 f（x）=xa﹣2 在（0，+∞）上是增函数，则 a﹣2＞0，即 a＞2，即 q：a＞2，￢q：a≤2，则 p 是￢q 的充分不必要条件，故选：A

5．（5 分）（2016 秋•德州期末）如图所示的程序框图，若输入 n，x 的值分别为 3，3，则输出 v 的值为（）

A．1 B．5 C．16 D．48 【解答】解：模拟程序的运行，可得 n=3，x=3，v=1，i=2