(北师大版)数学必修五：3.2《一元二次不等式(第2课时)》ppt课件
合集下载
3.2.2一元二次不等式的应用课件(北师大版必修5)
a<0 或 Δ<0
；
(4)不等式 ax2＋bx＋c≥0 的解集是全体实数(或恒成立)的等
a＝0 b＝0 c≥0 价条件是
a>0 或 Δ≤0
；
(5)f(x)≤a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]max≤a，x∈D； (6)f(x)≥a 恒成立，x∈D⇔[f (x)]min≥a，x∈D.
研一研·问题探究、课堂更高效
【典型例题】 例1 关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k－1)x＋k＝0 有两个正 实数根，求实数 k 的取值范围．
Δ≥0 f0>0 b － >0 2a
0<x1≤x2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2
x1<0<x2
Δ>0 x1x2<0
f(0)<0
x1≤x2<k
Δ≥0 x1＋x2<2k x －k· 1 x2－k>0
Δ≥0 x1＋x2>2k x －k· 1 x2－k>0
fk >0 1 fk2<0 fk3>0
x1、x2∈ (k1，k2)
k1<x1<k2 <x2<k3
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 数轴穿根法解简单的一元高次不等式 数轴穿根法来源于实数积的符号法则， 例如要解不等式(x －1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下： x 的区间 x－1 x－2 x－3 (x－3)(x－2) · (x－1) 上得： x<1 － － － － 1<x<2 ＋ － － ＋ 2<x<3 ＋ ＋ － － x>3 ＋ ＋ ＋ ＋
∅
高中数学 第三章 一元二次不等式的解法课件2 北师大版必修5
设f(x)=ax2+bx+c (a＞0),且设方程f(x)=0在
△＞0时的两个根分别是x1、x2，且x1＜x2。
下面我们一起来完成下表：
△＝b2－4ac f(x)＞0的解集 f(x)＜0的解集 f(x) ≥0的解集
△＞0
△＝0
1
△＜0
x x x 或x x
2
b x R x 2 a
2
(2)ax bx c 0(a 0)
2
(3)ax bx c 0(a 0)
2
(4)ax bx c 0(a 0)
2
以上四个不等式中我们规定了 a 数小于0，哪怎么办呢？
0
如果题目中给出的不等式中二次项系
对了，我们只要在不等式两边同乘-1， 然后把不等式的方向改变一下，就可 化为以上四种形式中的一种。 下面我们就利用二次函数的图象来解 以上4个不等式。
0 2 x5 x 3 10 解：（3）将原不等式变形为 5x6 x 5 3 ∵ 所对应的二次方程的⊿=-44 ＜ ∵所对应的二次方程的⊿ =0 ，0， x x ∴ 原不等式的解集为 ( 6 2 x 1)(x 1) 0 即 2 ⊿=-56 2 ＜0 ∵方程 所对应的
R R
x x
1
x x2
2 1
R
x x x 或x x
f(x) ≤0的解集
x x
y
O
1
x x2
y
x1 x2
b x x 2 a
y
x＝－b／2a
y=f(x)的图象
x
O
x
O
x
填写上表的依据是二次函数的图象，这实际上是一种数 形结合的思想。 由此我们可以得出解一元二次不等式的一般步骤： （1）把所给不等式化为四种标准形式之一； （2）判断所对应二次方程的根的情况；若
高中数学北师大版必修五《一元二次不等式的解法》课件
＊图象： 一条抛物线.
＊开口方向：
a
0
开口向上,
a 0 开口向下.
＊对称轴： x b .
2a
＊顶点坐标：
b 4ac b2
2a
,
4a
.
去植树啦！
提供的树苗恰好能栽 满面积为40平方米的空地, 需要绿化的空地是一个长比 宽多6 米的矩形，当矩形空 地的长为多少时，准备的树 苗有剩余？
一元二次不等式
ax2 bx c 0或ax2 bx c 0a 0.
二次函数
y ax2 bx ca 0.
一元二次方程
ax2 bx c 0a 0.
这三者间有什么关系?
探究一元二次不等式 x2 x 2 0 的解集.
一元二次方程 x2 x 2 0有两个实数根： x1 1, x2 2 .
y y x2 x 2
-1 O
2x
Hale Waihona Puke 探究一元二次不等式 x2 x 2 0 的解集.
当x 1,或x 2时，y 0. 当x为何值时，y >0？ 当x为何值时，y <0？
y
y x2 x 2
-1 O
2
x
探究一元二次不等式 x2 x 2 0 的解集.
当x 1,或x 2时，y 0. 当x 1,或x 2时，y 0. 当x为何值时，y <0？
y y x2 x 2
-1 O
2
x
探究一元二次不等式 x2 x 2 0 的解集.
当x 1,或x 2时，y 0. 当x 1,或x 2时，y 0. 当1 x 2时，y 0.
y y x2 x 2
-1 O
2
x
所以，不等式 x2 x 2 0 的解集是x 1 x 2.
高中数学第三章不等式3.2.1一元二次不等式的解法课件北师大版必修5
(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对 其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等 式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个 系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不 等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根 的大小进行分类讨论．
集
(x1，x2) ∅
∅
1．一元二次不等式的求解步骤 (1)①通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项 系数大于零；②计算出相应一元二次方程的判别式；③求出相应 一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；④根据③画出相 应二次函数的图像写出解集． (2)会用程序框图来描述一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a>0) 的求解的算法过程．
4．若1ax2＋bx＋a>0 的解集是{x|2<x<8}，则 a＝ ________________________________________________________ ________________.
b＝________.
解析： 由题意知 a<0，且方程1ax2＋bx＋a＝0 的两根分别为
[思路点拨] 根据已知解集和一元二次不等式解的结构，逆 向推出 a、b、c 应满足的关系，进而求解不等式．一元二次不等 式解集的两个端点值是一元二次方程的两根．
解析： ∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}． ∴a<0，且－3,4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根．
由韦达定理得－－33×＋44＝＝ac－，ba，
答案： ＞ 两 －5,1 (－∞，－5)∪(1，＋∞) (－5,1)
4．解下列不等式： (1)x2＋2x－15＞0；(2)x2＞2x－1；(3)x2＜2x－2.
北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt
![北师大版必修5__3[1]2《一元二次不等式》课件ppt](https://img.taocdn.com/s3/m/bf4cce715f0e7cd1842536c6.png)
x2+bx+c=0
根
等实根
的根
x1,x2(x1<x2) x1=x2
ax2+bx的+c解>集0（a>0﹛）x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
例：解不等式：3x2 5x 2 0
例：解不等式： 9x2 6x 1 0
例：解不等式： x2 4x 5 0
例：解不等式： 2x2 x 1 0
例：解不等式： x2 4x 4 0
典例精讲：
例2：已知不等式 ax2 bx的解1 集0
是
，x求3 实x数 4 的值. a, b
例：设A，B分别是不等式3x2 6 19x
与不等式 2x2 3x的 5解集0 ，试求
x 3
研究二次函数y=x2-2x-3的图象,图像如下：
(1).当x取 _____x_=__-1__或3时，y=0？ 当x取 ______-1_<_x_<_3 时，y<0？ 当x取 ___x_<_-_1__或__ x时>3，y>0?
问题探究：
(2).由图象写出 不等式x2-2x-3 <0 的解集
为
﹛x|-1<x<3﹜
例：已知ax2 (1 a)恒x 成1 立0，
求a的取值范围。
解： 不等式恒成立，即解集为R
y
y ax2 (1 a)x 1的大致图像如图：
O
x
a 0, 0
由 (1 a)2 4a 0解得：3 2 2 a 3 2 2
又a 0
高中数学第三章不等式3.2.2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5【优质ppt版本】
跟踪训练 3 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征 收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约 产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税 率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶．要使每年在此项经营中 所收取附加税金不少于112万元，问k应怎样确定？
解析：设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元， 从中征收的税金为70x·k%万元， 其中x＝100－10k. 由题意，得70(100－10k)k%≥112， 整理得k2－10k＋16≤0， 解得2≤k≤8. 因此当2≤k≤8(单位：元)时，每年在此项经营中所收取附加 税金不少于112万元．
解析：当a＝0时，有1<0，故A＝∅. 当a≠0时，若A＝∅，则有aΔ>＝0，a2－4a≤0， 解得0<a≤4. 综上，a的取值集合为{a|0≤a≤4}． 答案：D
3．若不等式x2＋mx＋
m 2
>0的解集为R，则实数m的取值范围是
()
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)∪(2，＋∞)
Δ<0. 3．用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 (1)理解题意，搞清量与量之间的关系； (2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为一元二次不等式
问题；
(3)解这个一元二次不等式得到实际问题的解．
|自我尝试|
1．不等式3xx＋＋16>0的解集是(
)
A．{x|－2<x<－1}
B．{x|x≤－2或x>－1}
方法归纳
含参数不等式的恒成立问题的解法 (1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋
c>0(a≠0)恒成立⇔aΔ><00 ；ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔aΔ<<00 . (2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： k≥f(x)(k>f(x))恒成立⇔k≥f(x)max(k>f(x)max)； k≤f(x)(k<f(x))恒成立⇔k≤f(x)min(k<f(x)min)．
3.2.1一元二次不等式的解法 课件(北师大版必修五)
【规范解答】(1)当m=0时，0×x2+4×0×x-4<0对任意实数
x都成立，所以m=0满足条件；
(2)当m≠0时，根据不等式mx2+4mx-4<0的解集为全体实
数，所以
m
0 16m2
16m
0
，解得：-1<m<0,
综合(1)，(2)得：-1<m≤0.
“三个二次”关系问题 “三个二次”关系
1
1
1
2
a
a
(2)当a＝0时，不等式即－x＋2<0，此时不等式的解集为
{x|x>2}.
(3)当a<0时，不等式可以化为(x－ 1 )(x－2)>0.由于 1 <
a
a
2，故不等式的解集为{x|x< 1 或x>2}.
a
综上所述：当a<0时，不等式的解集为{x|x< 1 或x>2}；当a
a
＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<a< 1 时，不等式的
2
3
3
2
故原不等式的解集为{x| 1 <x< 1 }.
32
答案：{x| 1 <x< 1 }
3
2
4.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-1<x< 1 },则
3
ab的值为______.
【解析】因x=-1,x= 1 是方程ax2+bx+1=0的两根，
3
∴ b 1 1 ,
1.通过实例了解一元二次不等式的含义.(重点) 2.掌握一元二次不等式的解法，弄清一元二次不等式与一 元二次方程、二次函数的内在联系.(难点) 3.能够利用分类讨论方法，求解简单的含字母的一元二次 不等式.(难点、易错点)
3.2.2《一元二次不等式的应用》课件(北师大版必修5)
• ． • 2．若ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是∅，则a，b，
c满足的条件是 . a＞0，b2－4ac＜0 • 3．二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(x∈R)的部分对应 值如表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
1 {2} 1．不等式4x2－4x＋1≤0的解集是
解析：
原不等式等价于(2x－1)(3x＋1)＞0，
1 1 ∴x＜－3或 x＞2.
答案： A
x－1 2．不等式 log2 x ≥1 的解集为( A．(－∞，－1] C．[－1,0)
)
B．[－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
x－1 x＋1 解析： 由已知得 x ≥2，即 x ≤0， 由此解得－1≤x＜0.
其解集如图的阴影部分．
• ∴原不等式解集为{x|x<－5或－5<x<－4或
x>2}．
x2－4x＋1 x2－4x＋1－3x2＋7x－2 (2) 2 <1⇔ <0 3x －7x＋2 3x2－7x＋2 －2x2＋3x－1 2x－1x－1 ⇔ 2 <0⇔ >0 3x －7x＋2 3x－1x－2 ⇔(2x－1)(x－1)(3x－1)(x－2)>0.
[题后感悟]
(1)数形结合法解恒成立问题，
设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0) ①f(x)＞0 在 x∈R
a＞0 上恒成立⇔ Δ＜0 a＜0 上恒成立⇔ Δ＜0
；
②f(x)＜0 在 x∈R
；
③a＞0 时，f(x)＜0
fα＜0 在区间[α，β]上恒成立⇔ fβ＜0
1.解不等式： (1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3＜0； x2－4x＋1 (2) 2 ＜1； 3x －7x＋2 x2－2x＋1 (3) 2 ≥0. x ＋9x－10
2018-2019学年北师大版必修五 3.2.2一元二次不等式的应用 课件(29张)
价为 12 万元/辆，年销售量为 10 000 辆．本年度为适应市场需求，计划 提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 ＜x＜1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的 比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
• 即x2－10x＋24≤0，得4≤x≤6.
• 最高定价：当x＝6 时，2＋0.2x＝3.2(元)；
• 最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝ 2.8(元)．
• 故杂志定价应在2.8元到3.2元之间．
• 令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
• ＝－1 000(x2－10x)＋200 000
返回导航
一元二次不等式的实际应用练习 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为 1 万元/辆， 出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增 加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计 年销量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年 销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的 关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？
返回导航
解：(1)由题意得 y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0 ＜x＜1)，
整理得 y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1， 即－ 0＜6x0＜001x，2＋2 000x＞0， 解得 0＜x＜13， 所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
• 即x2－10x＋24≤0，得4≤x≤6.
• 最高定价：当x＝6 时，2＋0.2x＝3.2(元)；
• 最低定价：当x＝4时，2＋0.2x＝ 2.8(元)．
• 故杂志定价应在2.8元到3.2元之间．
• 令y＝(2＋0.2x)(100 000－5 000x)
• ＝－1 000(x2－10x)＋200 000
返回导航
一元二次不等式的实际应用练习 某摩托车生产企业，上年度生产车的投入成本为 1 万元/辆， 出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆，本年度为适应市场需 要，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增 加的比例为 x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为 0.75x，同时预计 年销量增加的比例为 0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年 销售量． (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的 关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？
返回导航
解：(1)由题意得 y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0 ＜x＜1)，
整理得 y＝－6 000x2＋2 000 x＋20 000(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有 y－12－10×10 000＞0， 0＜x＜1， 即－ 0＜6x0＜001x，2＋2 000x＞0， 解得 0＜x＜13， 所以投入成本增加的比例应在0，13范围内．
高中数学3.2.2一元二次不等式的应用课件ppt(北师大版必修五)
若 a＝ 1，则原不等式为－ 1＜ 0，恒成立． 1 若 a＝－ 1， 则原不等式为 2x－ 1＜ 0 即 x＜ 不合题意， 舍去． 2 ②当 a2－ 1≠0 时，即 a≠± 1 时，原不等式的解集为 R 的条
2 a － 1＜ 0 件是 2 2 Δ＝ [－ a－ 1] ＋ 4a － 1＜ 0
【题后反思】 解不等式应用题的步骤： (1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题．
【训练4】 国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按 规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8 个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收 购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加 2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项 税收总收入不低于原计划的解法
x－3 x＋1 2x＋1 (1) ＜0；(2) ≤1；(3) ＜0. x＋2 2x－3 1－x
[思路探索] 将分式不等式等价转化为一元二次不等式 或一元一次不等式组． x－3 解 (1) ＜0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2＜x＜3， x＋2
∴原不等式的解集为{x|－2＜x＜3}．
x＋ 1 x＋ 1 － x＋ 4 (2)∵ ≤ 1，∴ － 1≤ 0，∴ ≤ 0， 2x－ 3 2x－ 3 2x－ 3
x－ 4 3 即 ≥ 0.此不等式等价于 (x－ 4)x－ ≥ 0 3 2 x－ 2
3 3 且 x－ ≠ 0，解得 x＜ 或 x≥ 4. 2 2
3 ∴原不等式的解集为 x x＜ 或 x≥ 4 2 .
[规范解答] 由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即 x2＋10x－1 200＞0，(2分) 解得x＞30，或x＜－40(不符合实际意义，舍去)，(4分) 这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过 12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.(6分) 对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，(8 分) 解得x＞40，或x<－50(不符合实际意义，舍去)，(10分) 这表明乙车的车速超过40 km/h，即超过规定限速．(12分)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1，或x≥0}．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
∴不等式的解集是(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3)．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
课堂典例讲练
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
分式不等式的解法 解下列不等式：
x＋3 x＋1 (1) <0；(2) ≤2； 1－x x－2 x2＋x－6 x＋2 (3) ≥0；(4) 2 >1. x－2 x ＋x＋1
简单高次不等式的解法 解下列不等式：
(1)(x＋1)(1－x)(x－2)>0；
(2)x3－2x2＋3<0； (3)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0. [分析] 通过因式分解，把高次不等式化为一元一次不等 式或一元二次不等式的积的问题，然后再依据相关性质解答．
第中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还需继续向前滑
向一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．“刹 车距离”是分析事故的重要因素．在一个限速为40km/h的弯道
上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但最后
还是碰了．事后现场勘查发现甲的刹车距离超过 12m，乙的刹 车距离超过 10m ，又知甲乙两种车型的刹车距离 S(m) 与车速 x(km/h) 之间分别有如下关系： S 甲 ＝ 0.1x ＋ 0.01x2.S 乙 ＝ 0.05x ＋ 0.005x2，你能用所学知识分析一下，甲乙两车有无超速现象？
2
∴x2－1<0，解得－1<x<1. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
法二：∵x2＋x＋1>0， ∴原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1， 即x2－1<0，解得－1<x<1， ∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}．
1 1 (1) 本题考查了分式不等式解法等．由 x >x 知 x －
1－x2 1 2 1 2 x>0， x >0 即 x(1－x )>0，所以 x<－1 或 0<x<1；由x <x 知x
3 1 － x 1 2 2 3 －x <0， x <0，即 x(1－x )<0，所以 x<0 或 x>1，所以 x<x <x
[解析]
图所示
(1)原不等式等价于(x－1)(x－2)(x＋1)<0，令y＝(x
－1)(x－2)(x＋1)，当y＝0时，各因式的根分别为1,2，－1，如
可得不等式的解集为{x|x<－1或1<x<2}．
(2)原不等式可化为(x＋1)(x2－3x＋3)<0，而对任意实数x， 恒有x2－3x＋3>0(∵Δ＝(－3)2－12<0)． ∴原不等式等价于x＋1<0， ∴原不等式的解集为{x|x<－1}．
成才之路 · 数学
北师大版 · 必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
第三章
不等式
第三章
不等式
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
第三章
§2 一元二次不等式
第2课时
一元二次不等式的应用
第三章
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
1 5．不等式 (x－1)(x－2)2(x－3)<0 的解集是( x＋1 A．(－1,1)∪(2,3) C．(－∞，－1)∪(1,3)
[答案] B
)
B．(－∞，－1)∪(1,2)∪(2,3) D．R
[解析] 利用“穿针引线法”，如图所示．
解之，得 x≥－3 且 x≠2. ∴原不等式的解集为{x|x≥－3 且 x≠2}．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
x＋2 (4)法一：移项得 2 －1>0， x ＋x＋1 1－x2 x2－1 ∴ 2 >0，即 2 <0， x ＋x＋1 x ＋x＋1 12 3 ∵x ＋x＋1＝(x＋2) ＋4>0，
[方法总结]
解分式不等式的思路方法是等价转化为整式
不等式，本题的两种解法在等价变形中主要运用了符号法则， 故在求解分式不等式时，首先应将一边化为零，再进行求解．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
1 2 (1)(2013· 江西文)下列选项中，使不等式 x＜x ＜x 成立的 x 的取值范围是( C．(0,1) ) B．(－1,0) D．(1，＋∞) A．(－∞，－1)
先将不等式化成标准形式，即一端为 0，另一端为一次或
二次不可约因式积的形式且使最高次项的系数为正．令代数式 等于0 ，求出相应方程的根，并把它们依次标在数轴上，然后 用同一曲线按照自上而下，由右向左依次穿过(遇奇次重根一次 穿过，遇偶次重根不穿过)．这样数轴上方、下方及数轴上的点
分别表示使代数式大于 0、小于0及等于 0的部分，最后依据不
x＋5 (2)不等式 ≥2 的解集是( ) x－12 1 1 A．[－3，2] B．[－2，3] 1 1 C．[2，1)∪(1,3) D．[－2，1)∪(1,3] [答案] (1)A (2)D
第三章 §2 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
[解析]
第三章 §2 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
(3)∵ 方程 x(x － 1)2(x ＋ 1)3(x ＋ 2) ＝ 0 的根依次为 0,1 ，－ 1 ， －2，其中1为双重根，－1为三重根，(即1为偶次根，－1为奇 次根)，如图所示，由“穿针引线法”可得
②
解①得 x≥5，解②得 x<2， ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
x2＋x－6 (3)由 ≥0， x－2 x＋3x－2 得 ≥0， x－2
x＋3≥0， 此不等式等价于 x－2≠0.
的解集为{x|x<－1}，选 A．
2 x＋5 x＋5≥2x－1 (2) 2≥2⇔ x－1 x－1≠0
1 － ≤x≤3 ⇔ 2 x≠1，
1 ∴x∈[－2，1)∪(1,3].
第三章 §2 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
x－2x－5≥0， 此不等式等价于 x－2≠0，
∴x<2 或 x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．
第三章 §2 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
x－5 法二：原不等式可化为 ≥0， x－2
x－5≥0， 此不等式等价于 x－2>0 x－5≤0， ①或 x－2<0.
－x－1 [解析] 解法一：原不等式化为 x ≥0， 即 x(x＋1)≤0 且 x≠0， ∴－1≤x<0，故选 A． 解法二：排除法：x＝0 时，不等式无意义，排除 B；x＝－ 3 2 时，原不等式化为2≥2，不成立，排除 C、D，故选 A．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
等式的符号写出不等式的解集． 对于此类问题，只局限于 a≠0 时形如 a(x － x1)(x － x2)(x － x3)>0(或≥0，<0，≤0)的不等式．
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
4．解有关不等式应用题的步骤 设未知数 ．用字母表示题中的未知数． (1)__________ 列不等式(组) ．找出题中的不等量关系，列出关于未 (2)_____________ 知数的不等式(组)． 解不等式(组) ．运用不等式知识求解不等式 ( 组 ) ，同 (3)_____________ 时要注意未知数在实际问题中的取值范围． (4)作答．规范地写出答案．
不等式
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
1
课前自主预习
2
课堂典例讲练
4
本节思维导图
3
易混易错点睛
5
课 时 作 业
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
课前自主预习
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
第三章
§2
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·北师大版 · 数学 · 必修5
1.实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数由判
Δ＝b2－4ac 来确定．设x1、x2是该方程的两个根，则x1 别式_____________ b c －a ＋x2＝___________ ；x1·x2＝________. a 2．分式不等式的解法 分母里 含有未知数的不等式，叫作分式不等式．解该类 ________ 不等式的关键是先把不等式的右边化成 0 ，再把它转化成整式 不等式．