【高考调研】高中数学 课时作业15 等比数列(第1课时)新人教版必修5

【高考调研】2015年高中数学 课时作业15 等比数列（第1课时）
新人教版必修5
1．(2013·江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24
答案 A
解析 由题意得：(3x ＋3)2
＝x (6x ＋6)，解得x ＝－3或－1.当x ＝－1时，3x ＋3＝0，不满足题意．当x ＝－3时，原数列是等比数列，前三项为－3，－6，－12，故第四项为－24.
2．在等比数列{a n }中，a 2 010＝8a 2 007，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
答案 A 解析 依题意得
a 2 010a 2 007
＝q 3
＝8，q ＝2，选A. 3．在等比数列{a n }中，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4或4 D ．－8或8
答案 C
4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )
A.13 B ．3 C ．±13
D ．±3 答案 B
5．如果a ，x 1，x 2，b 成等差数列，a ，y 1，y 2，b 成等比数列，那么x 1＋x 2
y 1y 2
等于( ) A.a ＋b
a －
b B.b －a
ab C.
ab a ＋b
D.
a ＋b
ab
答案 D
解析 x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1y 2＝ab .
6．两个正数插入3和9之间，使前三个数成等比数列而后三个数成等差数列，那么这两个正数之和是( )
A ．1312
B ．1114
C ．1012
D ．0
答案 B
解析 设 4个正数为3，a ，b,9，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 2
＝3b ，
2b ＝9＋a ，
∴2a 2
＝3(9＋a )，∴2a 2
－3a －27＝0，(2a －9)(a ＋3)＝0. ∵a >0，∴2a －9＝0，a ＝92，∴b ＝274，∴a ＋b ＝45
4.
7．等比数列{an }的公比为2，则2a 1＋a 2
2a 3＋a 4的值为( )
A ．1 B.12 C.14 D.18
答案 C 解析
8．已知数列{a n }的前n 项和Sn ＝a n
－1(a 为不为零的常数)，那么{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．或是等差，或是等比数列 D ．既不是等差，也不是等比数列 答案 C
解析 若a ＝1，则{a n }为等差数列； 若a ≠1，则{a n }为等比数列．
9．在两个非零实数a 和b 之间插入2个数，使它们成等比数列，则这个等比数列的公比为________(用a ，b 表示)．
答案 3b
a
10．在等比数列{an }中，若a 4＝2，a 7＝16，则an ＝________.
答案2n－3
解析
答案 5 832
解析
答案等比；等差解析
13．若实数a 、b 、c 成等比数列，则函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是________．
答案 0
解析 ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2
＝ac (b ≠0)． 又Δ＝b 2
－4ac ＝－3b 2
<0，∴抛物线与x 轴无交点．
解析
15．一个等比数列的前三项依次是a,2a ＋2,3a ＋3.试问－131
2
是否为这个数列中的一
项？如果是，是它的第几项？如果不是，请说明理由．
思路分析 一个等比数列的前三项仍然构成等比数列，则可以求出a 的值，要判断－13
1
2是否为数列中的一项，就要求出通项公式再作出判断．
【解析】 ∵a,2a ＋2,3a ＋3是等比数列前三项，仍然构成等比数列． ∴a (3a ＋3)＝(2a ＋2)2
，解得a ＝－1，或a ＝－4. 当a ＝－1时，数列的前三项依次为－1,0,0. 与等比数列的定义矛盾，故将a ＝－1舍去．
当a ＝－4时，数列的前三项依次为－4，－6，－9.则公比为q ＝3
2.
∴an ＝－4·(32
)n －1
.
令－4·(32)n －1＝－1312，即(32)n －1＝278＝(32)3
，
∴n －1＝3，即n ＝4.∴－131
2
是这个数列第4项．
16．三个数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数．
思路分析 本题主要考查等比数列、等差数列、等比中项和等差中项，以及它们的应用．因为所求三个数成等差数列，其和已知，故可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，再根据已知条件寻找关于a ，d 的方程，通过解方程组即可获解．
解析 设所求三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则
⎩⎪⎨⎪⎧
a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，a ＋
2＝a －d ＋a ＋d ＋，
解得a ＝5，d ＝2或a ＝5，d ＝－10. 故所求三个数为3,5,7或15,5，－5. 17．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式． 答案 (1)a n ＝2n
(2)b n ＝12n －28
解析
答案①、②、③、⑦、⑧、⑩为等比数列
1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N *
)，那么数列{a n }( ) A ．是等比数列
B ．当p ≠0时是等比数列
C ．当p ≠0，p ≠1时是等比数列
D ．不是等比数列 答案 D
解析 利用等比数列的概念判断．
由S n ＝p n
(n ∈N *
)，有a 1＝S 1＝p ，并且当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p
n －1
＝(p －1)p
n －1
.故
a 2＝(p －1)p .
因此数列{a n
}成等比数列⇔⎩⎪⎨
⎪⎧
p ≠0，p －1≠0，
a n a n －1
＝p n
而a 2
a 1＝
p －p
p
＝p －1.
故满足此条件的实数p 是不存在的，故本题应选D.
讲评 (1)此题易得出错误的判断，排除错误的办法是熟悉数列{a n }成等比数列的条件：
a n ≠0(n ∈N *)，还要注意对任意n ∈N *，n ≥2，
a n
a n －1
都为同一常数． (2)判断{a n }是否为等比数列，由S n ＝p n
知当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n
－p
n －1
＝(p －1)·p
n
－1
，乍看只要p ≠0，p －1≠0就是等比数列，其实不然，因为a 1＝S 1＝p ，并不满足a n ；故无
论p 取何实数{a n }都不可能是等比数列．
2．(2010·江西)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( ) A ．(－2)
n －1
B ．－(－2)
n －1
C ．(－2)n
D ．－(－2)n
答案 A
解析 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4
＝－8a 1q ，即q ＝－2.∵a 5>a 2，∴a 5>0，
a 2<0，∴a 1>0，又由|a 1|＝1，得a 1＝1，故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1.
3．(2013·广东)设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数，则a 1＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝________.
答案 15
解析 由数列{a n }首项为1，公比q ＝－2，则a n ＝(－2)
n －1
，a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4
＝－8，则a1＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝1＋2＋4＋8＝15.
4．已知数列{a n}满足：lg a n＝3n＋5，试用定义证明{a n}是等比数列．解析∵lg a n＝3n＋5，∴a n＝103n＋5，a n＋1＝103(n＋1)＋5.
∴a n＋1
a n
＝103，∴{a n}是以108为首项以103为等比的等比数列．。