2009届福田中学高三数学月考试题及答案(文科)(1)

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深圳市月考试题
、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15．(本题满分12分)

设全集UR，集合2{|60}Axxx，集合21{|1}3xBxx

(Ⅰ)求集合A与B； (Ⅱ)求AB、
().CAB

U


16、（本题满分12分）已知函数xxxxfcossinsin3)(2
（I）求函数)(xf的最小正周期； （II）求函数2,0)(xxf在的值域.
2

17、（本题14分）已知函数2()log(),fxxmmR
（I）若(1)f，(2)f，(4)f成等差数列，求m的值；
（II）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列，试判断
()()fafc与2()fb
的大小关系，并证明你的结论．

18. （本小题满分14分） 已知函数)0(4)(2xxaxxxf。
（Ⅰ）若)(xf为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）若)(xf在),3[上恒大于0，求a的取值范围。
3

19. （本小题14分）已知数列na是等差数列， 256,18aa；数列nb的前
n
项和是nT，且112nnTb．
(Ⅰ) 求数列na的通项公式； (Ⅱ) 求证：数列nb是等比数列；
(Ⅲ) 记nnncab，求nc的前n项和nS

20．（本小题满分14分）
已知函数)(xfy，若存在000)(xxfx，使得，则0x称是函数)(xfy的

一个不动点，设.7232)(xxxf
（Ⅰ）求函数)(xfy的不动点；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的二个不动点a、b（假设a>b），求使bxaxkbxfaxf)()(恒
成立的常数k的值；
（Ⅲ）对由a1=1，an=)(1naf定义的数列{an}，求其通项公式an.
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解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．
解：(Ⅰ)2260,60xxxx，不等式的解为32x，

{|32}Axx
212141,10,0,34333xxxxxxxx



即或
，{|34}Bxxx或

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知{|32}Axx，{|34}Bxxx或，AB
{|32}UCAxxx或，(){|32}.UCABxxx或
16、
解：xxxxfcossinsin3)(2

xx2sin2122cos13
232cos232sin2

1
xx

23)3
2sin(x

（I）函数)(xf的最小正周期是22T ……………………………7分
（II）∴20x ∴34323x
∴ 1)32sin(23x
5

所以)(xf的值域为：232,3 …………12分
17、解：（1）因为(1)f，(2)f，(4)f成等差数列，所以2f(2)=f(1)+f(4),
即：2log2(2+m)=log2(1+m)+log2(4+m),即log2(2+m)2=log2(1+m)(4+m),得
（2＋m）2=(1+m)(4+m),得m=0.
(2) 若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c依次成等差数列,设
a=b-d,c=b+d,(d不为0)；

f(a)+f(c)-2f(b)=log2(a+m)+log2(c+m)-2log2(b+m)=log22)())((mbmcma
因为（a+m）(c+m)-(b-m)2=ac+(a+c)m+m2-(b+m)2=b2-d2+2bm+m2-(b+m)2=-d2<0
所以：0<（a+m）(c+m)<(b+m)2,得0<2)())((mbmcma<1,得log22)())((mbmcma<0,
所以：f(a)+f(c)<2f(b).
18. 解：（Ⅰ）)(xf的定义域关于原点对称

若)(xf为奇函数，则)(4)()()(2xfxxaxxf ∴a=0
（Ⅱ）241)(xxf∴在),3[上0)(xf∴)(xf在),3[上单调递增
∴)(xf在),3[上恒大于0只要)3(f大于0即可,∴3130133aa
若)(xf在),3[上恒大于0，a的取值范围为313a
19.
解：(Ⅰ)设na的公差为d，则：21aad，514aad，

∵26a，518a，∴116418adad，∴12,4ad． ………………………2分
∴24(1)42nann． …………………………………………4分
（Ⅱ）当1n时，11bT，由11112Tb，得123b． …………………5分
当2n时，112nnTb，11112nnTb，
∴111=() 2nnnnTTbb，即11()2nnnbbb． …………………………7分
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∴11=3nnbb． ……………………………………………………………8分
∴nb是以23为首项，13为公比的等比数列． …………………………………9分
（Ⅲ）由（2）可知：1211()2()333nnnb． ……………………………10分
∴11(42)2()(84)()33nnnnncabnn． …………………………………11分
∴2112111114()12()(812)()(84)()3333nnnnnSccccnn．
∴231111114()12()(812)()(84)()33333nnnSnn．
∴231121111148()8()8()(84)()3333333nnnnnSSSn
21111()[1()]41338(84)()13313nnn






118114()(84)()333nnn

． ………………………………………13分

∴144(1)()3nnSn． …………………………………………………14分
20．解：（Ⅰ）设函数3217-232-,)(000000xxxxxxxfy，，解得则的不动点为

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2138212482172323723221,3xxxxxxxxba，
可知使bxaxkbxfaxf)()(恒成立的常数k=8.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知213821311nnnnaaaa

可知数列213}213{11aaaann是以为首项，8为公比的等比数列
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即以34为首项，8为公比的等比数列. 则1834213nnnaa