第二章特殊三角形的复习讲义

一、知识小结：

等腰三角形的性质：

1、 ___________ _______

2、____________

3、 ___________

4、。等腰三角形的判定：

1、 2、 . 等边三角形的性质：

1、 _______

2、 .

3、 4、 . 等边三角形的判定：

1、。

2、。

3、。

直角△的性质：

1、在直角△中，两个锐角。

2、直角△斜边上的中线等于斜边

的。

3、勾股定理：

直角△ 平方和等于的

平方。关系式：。

证明的基本图形

4、在直角△中，30°角所对的直角边等于斜边的。

5、在直角△中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么直角边所对的

角等于度。

直角△的判定：

1有一个角是的三角形是直角△。

2、有两个角的三角形是直角△。

3、勾股定理的逆定理：

如果三角形中较短两边的等于最长边的，那么这个三角形是三角形。

4、如果一个三角形中，较长边的等于这条边的，

则这个三角形为Rt △，其中较长边所对的角是。

几个重要性质：

角平分线性质：

1、角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角的内部，到角两边距离相等的点，在_____上。

中垂线性质：

1、线段中垂线上的点到线段两断点的距离相等。

2、到线段两端点距离相等的点，在_________上。

直角三角形全等的判定：除了SAS、ASA、AAS、SSS还有HL（斜边、直角边）（1）等腰直角三角形三边之比为___________

（2）含30角的直角三角形三边之比为__________

（3）边长为a的等边三角形的高为，面积为_____________

（4）直角三角形斜边上的高是（a、b是直角边，c是斜边）_____________

二、例题精讲

例1、（1）若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为。

（2）若等腰三角形的一个角为50°，则另外两个角为。

（3）等腰三角形△ABC中，∠A=50°，则∠B的度数为____________.

（4）等腰三角形△ABC中，∠A的一个外角为110°，则∠B的度数为____________. （5）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。

（6）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为2cm，则腰长为______________.

例2、如图，在△ABC中，E,D分别是AB,AC上的点，AB=AC，

BD=BC,AD=BE=DE，则∠A= 度。

例3、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，MN分别是AC、BD的中点。说明MN⊥BD

例4、已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，M是AB边的中点，CH⊥AB于H，CD平分∠ACB

(1) 求证：∠A=∠BCH

(2) 求证：∠1=∠2

例5、已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，（1）AC=5，

BC=12，求AB 、CD 、BD 的长

(2)CD=3，AC=5，求BC 、AB 的长

例6、如图所示，∠B=∠D=90°, ∠A=60°,AB=5米，CD ＝23，试求四边形ABCD 的面积。

例7、已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =．

（1）求证：BG FG =；

（2）若2AD DC ==，求AB 的长．

D C

B G A

例8、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD=BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP=BQ ；

④ DE=DP ；

⑤ ∠AOB=60°．恒成立的有______________（把你认为正确的序号都填上）．并对正确的结论说明成立的理由。变式：将正三角形CDE 绕C 旋转任意的一个角度，上述结论

有哪些是成立的？

例9、在8×8的方格子中分别找出所有满足下列条件的格点，（1）以AB 为边的三角形为等腰三角形，（2）以AB 为边的

三角形为直角三角形，

例10、小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm ，宽为8cm 的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm 的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，求所剪下的等腰三角形的底边长。

A B C E D O P Q

例11、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90º，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E 分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连接DE、DF、EF。在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正

方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积

保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8。其中正确的结论

是__________，并对正确的结论说明成立的理由。

变式：点D、E分别在AC、CB延长线上运动时，上述又

有那些结论是正确的。

例12、已知：等边ABC

△的边长为a．

如图，若点O是ABC

△的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：

结论1

．OD OE OF

；结论2．

AD BE CF a

++=

；

②如图，若点O是等边ABC

△内任意一点，则上述结论12、是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

初中二年级数学上册第2章特殊三角形单元复习

第2章特殊三角形单元复习 1.掌握图形的对称及轴对称图形的定义，会作一个图形关于直线的对称图形，理解轴对称的性质. 2.了解等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的性质与判定；了解直角三角形的定义，掌握直角三角形的性质与判定；理解中垂线、角平分线的性质与判定. 3.理解等腰三角形和直角三角形这两个基本图形在几何中的地位和作用，能将复杂的几何问题转化为基本图形解决. 考点一：轴对称与轴对称图形例1 （湖州市吴兴区）下列图形中,属于轴对称图形的是() A. B. C. D. 例2 （宁波市北仑区）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，将军在观望烽火之后从山脚上的点A出发，奔向小河旁边的点P饮马，饮马后再到点B宿营，若点A,B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是3，1，A，B两点之间水平距离是3，则AP+PB的最小值为. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线.由轴对称的性质可以得到以下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形是轴对称图形，我们只要找到一组对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴；③轴对称图形的对称轴是任何一组对应点所连线段的垂直平分线. 1.（台州市椒江区）如图所示，P是直线l外一个定点，A为直线l上一个定点，点P关于直线l的对称点记为P1，将直线l绕点A顺时针旋转30°得到直线l′，此时点P2与点P关于直线l′对称，则∠P1AP2等于() A.30° B.45° C.60° D.75° 2.（宁波市北仑区）如图所示为由5个边长为单位1的小正方形拼成的图形，请你在图上添加一个小正方形，使添加后的图形是一个轴对称图形，要求画出三种. 考点二：等腰三角形的性质与判定例3 （杭州市江干区）一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则这个三角形底角为(A) A.72°或45° B.45°或36 C.36°或90° D.72°或90° 例4 （宁波市镇海区）如图所示，AB∠CD，CE平分∠ACD交AB于点E.

浙教版初中数学八年级上册《特殊三角形》全章复习与巩固知识讲解(提高)

《特殊三角形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】 1．认识轴对称图形的基本特征；掌握判断轴对称图形的方法，并能正确画出简单的轴对称图形； 2. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法； 3．理解命题与逆命题、定理与逆定理的意义，并能判断命题的真假； 4．了解尺规作图的常用工具；理解并掌握线段垂直平分线定理的逆定理、角平分线性质的第二个定理，并能够熟练地应用它们； 5．理解直角三角形的概念及性质的广泛应用，掌握直角三角形斜边上中线性质，并能灵活应用. 领会直角三角形中常规辅助线的添加方法． 6．掌握勾股定理及其勾股定理的逆定理的内容及应用，学会用勾股定理解决简单的几何问题，应用勾股定理的逆定理来判断直角三角形． 7.理解并能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜边，直角边”（即“HL”）判定两个直角三角形全等；【知识网络】【要点梳理】

要点一、图形的轴对称 1.图形轴对称的定义及其性质如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这两个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴. 性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段. 图形的轴对称：一般的，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形是全等形. 2.利用轴对称的性质求两点之间的最短距离已知点A,B（A,B）在直线的同侧，和直线a,在直线上求作一点C，使AC+BC的距离和最小. 作法：1.作点A关于直线a的对称点A′； 2.连接A′B,交直线a与点C; 3.连接AC.点C就是所求作的点. 下面给出证明：设P是直线a上任意一点，连结AP，A′P．由作图知，直线a垂直平分AA′，则AC=A′C，AP=A′P（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）．．．．AP+BP=A′P+BP≥A′B， A′B=A ′C+BC=AC+BC，即AP十BP≥AC+BC，所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短．

特殊三角形复习课

课题：特殊三角形复习课一、地位和作用特殊三角形主要是指等腰三角形和直角三角形，是全等三角形知识的延续和深化.它们的性质和判定在研究线段相等、角相等的问题中起着重要作用.特殊三角形作为一种载体，使轴对称与线段、角、全等三角形等几何图形紧密结合起来，它使线段、角的问题变得丰富多彩、扑朔迷离，往往给每一颗爱好几何的心灵以惊喜和顿悟.掌握特殊三角形的性质、判定，可以进一步培养提高学生逻辑思维和推理能力，是学习后续几何知识必不可少的基础,并且在生产和生活中也有着广泛应用. 特殊三角形是中考必考内容，可独立成题，亦可综合其它知识进行考察. 二、教学目标：知识目标：掌握等腰三角形（含等边三角形）及直角三角形的性质和判定及其运用. 能力目标：引导学生参与解题思路的分析，掌握运用分类讨论思想和方程思想的解题方法. 情感目标：在领悟解题规律中感受成功，体验数学学习的快乐，以及同伴交流和互助的喜悦. 三、教学重点与难点：重点：等腰三角形、直角三角形的性质与判定及其应用难点：分类讨论思想及方程思想的运用四、教学模式：先学后教，利用启发式，引导探究法，小组活动相辅助的教学方法，激发全体学生积极参与课堂，引导学生通过猜想、思考、探索、小组活动等多样化的学习方式，掌握几何证题思路的分析方法，运用数学思想，领悟解题规律，体验数学学习的快乐. 五、教学过程：（一）目标展示 1.等腰三角形、等边三角形的性质和判定定理. 2.直角三角形的性质和判定定理. 3.会利用等腰三角形及直角三角形的性质、判定进行有关计算与推理. （二）知识展示 1.等腰三角形的性质和判定 1)等腰三角形是______对称图形，等腰三角形的两腰______,两_______相等. 2)等腰三角形的底边上的中线,_____________,__________互相重合.(三线合一) 3)两个角相等的相等的三角形是_______________. 2.等边三角形的性质和判定 1)等边三角形的每个角都等于______，同样具有“三线合一”的性质. 2)三个角相等的三角形是______________;三边相等的三角形是______________; 有一角为60°的______三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质和判定(c为斜边，a、b为直角边) 1）直角三角形的两锐角______. 2）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的______. 3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的______. 4)直角三角形的三条边满足_______________. 5）勾股定理的逆定理：若一个三角形有两边的_________等于第三边的平方，则这个三角形是_____________.

八上特殊三角形复习课浙教版

博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年级：八年级日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题特殊三角形复习课课时安排 2 课时教学目标1、知识技能：理解并掌握直角三角形的相关概念与性质，运用这些知识解决问题； 2、数学思维：通过画图实践、交流等活动发展学生的演绎推理能力和发散思维能力； 3、情感态度：培养学生思考的习惯与合作交流的意识，激发学习兴趣. 教学内容特殊三角形复习课〖教学重点与难点〗 ◆教学重点：1、直角三角形的性质定理及特殊直角三角形的性质 2、直角三角形的判定及角平分线定理、中垂线定理的逆定理 ◆教学难点：直角三角形的性质定理及特殊直角三角形在解题中的应用. 〖教学过程〗[ 一：知识小结：等腰三角形的性质： 1、 2、 3、 4、。等腰三角形的判定： 1、 2、 .

等边三角形的性质： 1、 2、 . 3、 4、 . 等边三角形的判定： 1、。 2、。 3、。直角三角形的性质： 1、在直角三角形中，两个锐角。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的。 3、勾股定理：直角三角形平方和等于的平方。关系式：。证明的基本图形如右 4、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的。 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么直角边所对的角等于度。直角三角形的判定： 1、有一个角是______的三角形是直角三角形。 2、有两个角的三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形中较短两边的等于最长边的，那么这个

三角形是三角形。 4、如果一个三角形中，较长边的等于这条边的，则这个三角形为Rt△，其中较长边所对的角是。几个重要性质：角平分线性质： 1、角平分线上的点到____________相等。 2、角的内部，到角两边距离相等的点，在______________上。中垂线性质： 1、线段中垂线上的点到___________的距离相等。 2、到线段两端点距离相等的点，在_________上。直角三角形全等的判定：除了SAS、ASA、AAS、SSS还有HL（斜边、直角边）（1）等腰直角三角形三边之比为___________ （2）含30角的直角三角形三边之比为__________ （3）边长为a的等边三角形的高为____________，面积为_____________ （4）直角三角形斜边上的高是（a、b是直角边，c是斜边）_____________ 二：习题精讲热身练习：（1）若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为。（2）若等腰三角形的一个角为50°，则另外两个角为。（3）等腰三角形△ABC中，∠A=50°，则∠B的度数为____________. （4）等腰三角形△ABC中，∠A的一个外角为110°，则∠B的度数为____________. （5）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；如果等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。（6）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把周长分成的两部分之差为2cm，则腰长为。例题讲解一：如图，在△ABC中，AB=AC=8，AD是底边上的高，E为AC中点，则DE=

八年级上数学期末复习第二章特殊三角形

第二章特殊三角形错题： 1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC,D 是AC 上一点，且AD=BD=BC,求三角形ABC 各角的度数。 2、如图,在三角形ABC 中,AB=AC,点E 在CA 的延长线上,角AEF=角AFE,求证:EF 垂直BC. 3、如图所示，以△ABC 的边AB,AC 向外作正三角形，连结DC,BE ，那么BE 与CD 相等吗？为什么？ 4、如图1所示，已知△ABC 和△BDE 是等边三角形，AE 和CD 相等吗？请说明理由。当△BDE 绕点B 旋转到如图2所示的位置时，AE 与CD 还相等吗？ 5、如图，将长方形ABCD 沿EF 对折，使顶点A ，C 重合在一起，已知AB =8 ，BC =6 。试求出折痕EF 的长。 E A F B C

6、如图，Rt △ACB 中， 2 2 2 h 1b 1a 1,h b a 90= + =⊥==?=∠试说明，且，，，CD AB CD BC AC ACB C A B 7、如图，在Rt △ABC 中，BD AD BC D C =?=∠上一点，是，点90,若AB=8，BD=5，求CD 的长。练习： 1、已知：三角形ABC 的边AB 、AC 为边长向外作等边三角形ACE ，CD 与BE 相交于点O ，求证：AO 平分∠ DOE 2、已知：如图，BF ⊥AC ，AD ⊥BC ，BD=AD ，则△DCE 是等腰三角形. 请说明理由. E C B A D F

…… 图③ 图② 图① C B A D E 提高题：（1～4每题2分，5～7每题4分，共20分） 1、等边三角形的边长为2，则它的面积是 2、如下图，△MNP 中， ∠P=60°，MN=NP ，MQ ⊥PN ，垂足为Q ，延长MN 至G ，取NG=NQ ，若△MNP 的周长为12，MQ=a ，则△MGQ 周长是（） A ．8+2a B ．8+a C ．6+a D ．6+2a 3、如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A= 度 4、如图，△ABC 是Rt △，BC 是斜边，P 是三角形内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，如果AP=3，那么PP ′的长等于。 5、如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A 、 B 是两格点，如果 C 也是图中的格点，且使得A B C ?为等腰．．三角形．．．，则点C 的个数是（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6、如图，将第一个图（图①）所示的正三角形连结各边中点进行分割，得到第二个图（图②）；再将第二个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，得到第三个图（图③）；再将第三个图中最中间的小正三角形按同样的方式进行分割，……，则得到的第五个图中，共有________个正三角形． 7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 的长是 cm 。特殊三角形 1、如图1，CD 是ABC Rt ?斜边AB 上的高，将?BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于__________。 2、如图2，D 是AB 边上的中点，将A B C ?沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处， B A 第5题图 P Q M N G A B C P P ′ 第2题图第3题图第4题图

特殊三角形复习课教学案

八年级数学《特殊三角形》复习学案（主备课教师：姚雅容）一、复习目标 1、了解相关概念； 2、掌握等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质及其判定方法；并会根据特殊三角形的有关知识进行简单的推理和计算； 3、掌握直角三角形全等的判定方法。二、知识梳理 1、什么叫等腰三角形？什么是等边三角形？什么是直角三角形？ 2、等腰三角形的性质：（1）；（2）；（3）； 3、等腰三角形的判定：（1）；（2）。 4、等边三角形的性质：（1）；（2）；（3） 5、等边三角形的判定方法有哪些？ 6、直角三角形的性质：（1）；（2）；（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的；（4）勾股定理：。 7、直角三角形的判定：（1）有两个角的三角形是直角三角形；（2）如果三角形中两边的等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 8、怎样判定两个直角三角形全等？

9、角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的上。三、例题解析例1 在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，且∠ABD＝30°，则∠BAC ＝例2 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE ＝∠AED，G为BC的中点。试判断△DEG的形状，并说明你的理由。例3 如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝¼DC，试判断BE与EF的位置关系，并说明理由。四、课内练习

1、已知等腰三角形的两边长分别为4，9，则它的周长为（） A、17 B、22 C、17或22 D、13 2、如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE 交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为（） A、13 B、14 C、15 D、16 3、直角三角形两条直角边长分别为8和6，则斜边上的高为（） A、2.4 B、4.8 C、10 D、5 4、如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，已知CD＝5，AD＝4， BD＝3，则下列结论中错误的是（） A、△ABD≌△CBE B、∠DEC＝90° C、∠ADB＝150° D、∠ADC＝135° 5、判断以下命题：①斜边对应相等的两个直角三角形全等；②有两个锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等；③一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等；④一锐角和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。其中正确的有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 6、如图，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点E作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝ 7、如图，已知BD⊥AE于B，C是BD上一点，且BC＝BE，要使 Rt△ABC≌Rt△DBE，应补充的条件是∠A＝∠D或或或 8、如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BO平分∠B，CO平

八上第二章特殊三角形知识点复习

八年级上册第二章《特殊三角形》复习一、知识结构本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：等腰Rt 两直角三角形全等的判定直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形等腰三角形特殊三角形二、重点回顾 1．等腰三角形的性质：等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指__________、__________、__________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。 2．等腰三角形的判定：有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？ 3．等边三角形的性质：等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。 4．等边三角形的判定：有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。 5．直角三角形的性质：直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。 7．直角三角形全等的判定：斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质：在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。三、重点解读 1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质； 2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后

第二章-特殊三角形教案

2、已知等腰三角形的一边长为4cm ，另一边长为9cm ，则它的周长为。 3、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 4、在等腰三角形中，设底角为，顶角为，用含x 的代数式表示y ，得y= ；用含y 的代数式表示x ，则x= 。 3、直角三角形中线的性质：即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。例3、在△ABC 中, ∠ACB ＝90°，AB ＝10cm,点D 为AB 的中点，则CD ＝_____cm 。分析：因为三角形ABC 是直角三角形，AB 是斜边；又因为D 是AB 的中点，则CD 是直角三角形ABC 的中线，根据直角三角形中线的性质，所以有CD=5. 4、直角三角形中，30°的角所对的边是斜边的一半。 5、勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于第三边的平方。例4、若直角三角形两边分别为3与4,则第三边为____________. 分析：题目中，告诉我们直角三角形的两边分别为3和4，但是没有说是两个直角边还是一个直角边、一个斜边，这里我们也得分两种情况进行分析。第一：当3和4分别是两个直角边时，第三边的长度是5；第二：当3和4一个为直角边、一个为斜边时，那么第三边的长度为√7。知识概括、方法总结与易错点分析 1、直角三角形，斜边的中线与斜边的关系、以及30度角所对的边与斜边的关系是考试的重点，在题目中经常会运用这层关系，要学会发现题目中的条件，利用性质解决问题； 2、直角三角形中，勾股定理是个难点。要知道勾股定理的运用，并能计算正确。针对性练习 1、三角形的三边长c b a ,,满足式子0)()(2 2 =-+-+-a c c b b a ，那么这个三角形是（） A 、钝角三角形 B 、等边三角形 C 、等腰非等边三角形 D 、以上都不对 2、如图，AD ∥BC ，∠A=90°，E 是AB 上一点，∠1=∠2，AE=BC 。请你说明∠DEC=90°的理由。 3、如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB 为直角，已知滑杆AB 长米，顶端A 在AC 上运动，量得滑杆下端B 距C 点的距离为米，当端点B 向右移动米时，求滑杆顶端A 下滑多少米？

第二章特殊三角形(期中复习)

第三章特殊三角形（期中复习）班级姓名一、基本性质及判定 1、等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两底角相等； ②等腰三角形的两腰相等； ③等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合； 2、等腰三角形的判定： ①如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形； ②如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形； ③如果一个角的平分线垂直于对边，那么这个三角形是等腰三角形； ④如果一个角的平分线平分对边，那么这个三角形是等腰三角形； ⑤线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；（即由中垂线可得出等腰三角形） 3、等边三角形的性质： ①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60o； ②等边三角形的“三线合一”； ③等边三角形的边长若是a ，那么它的高是 2 ，面积是2 4 a 4、等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有两个角是60o的三角形是等边三角形； ③有一个角是60o的等腰三角形是等边三角形； 5、直角三角形的性质： ①直角三角形的两锐角互余； ②勾股定理； ③直角三角形中30o角所对的直角边等于斜边的一半； ④直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30o； ⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ⑥在一个直角三角形中，在斜边上所画的任何图形的面积，等于在两条直角边上所画的与其相似的图形面积之和 ⑦若等腰直角三角形的直角边为a，一、基础题 1、等腰三角形有条对称轴，对称轴是，等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于 2.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成15cm和6cm两部分，求等腰三角形的底边长。 3.如图，正方形上给定8个点，以这些点为顶点，能构成多少个三角形。 4. 如图已知∠ACB＝90°, BD＝BC, AE＝AC, 则∠DCE＝__________度. 4.如图，Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，角平分线BD交CF于G，DE⊥AB于E，则下列结论①∠A=∠BCF , ② CD=CG=DE, ③AD=BD , ④ BC=BE中正确的个数是（） A.1 B.2 C.3 D. 4 第4题

数学：第二章《特殊三角形复习》教案(浙教版八年级上)

第二章特殊三角形 [复习目标] 1、等腰三角形、等边三角形及有关概念性质。 2、等腰三角形是轴对称图形，顶角的平分线所在的直线是它的对称轴 3、等腰三角形的两个底角相等性质及三线合一定理和运用 4、等腰三角形的判定定理及应用 5、直角三角形的性质-----两锐角互余 6、有两个角互余的三角形是直角三角形。 7、直角三角形性质的运用 8、勾股定理及逆定理的运用 [复习重点] 1、等腰三角形的各部分名称，了解等腰三角形是轴对称图形 2、理解等腰三角形的性质 3、等腰三角形的判定方法 4、等边三角形的判定和性质 5、直角三角形的性质和判定 6、直角三角形全等的判定 [复习过程] 一、提问特殊三角形这一章的所有有关的概念、性质和判定。二、典型例题讲解基础题训练 1、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9，求它的周长。 2、在△ABC中，AB=AC，∠B=400，则∠A= 。 3、等腰三角形的一个内角是700，则它的顶角为。 4、下列说法正确的是（） A、等腰三角形的底角是锐角 B、等腰三角形的角平分线，中线和高线是同一条线段 C、等腰三角形有可能是一个直角三角形 D、等腰三角形的顶角有可能大于底角。 5、等边三角形两条角平分线所夹的锐角的度数是（） A、300 B、450 C、600 D、900

6、适合条件∠A= 2 1 ∠B=31∠C 的△ABC 是（） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 7、在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，若AC=12厘米，BC=5厘米，则CD= 厘米。 8、已知△ABC 中，∠A=Rt ∠，BC=a ，AC=b ，AB=c ，（1）若b=6，c=8，求a （2）若a=25，c=20，求b 。 9、根据下列条件，分别判断以a 、b 、c 为边的三角形是不是直角三角形。（1）a=；，，14 3 45 == c b （2）a=b=2，c=33 10、具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1（其中∠C=∠C 1=Rt ∠）是否全等？儿歌全等，在括号里填写理由；如果不全等，在括号里打“×”。（1）AC=A 1C 1，∠A=∠A 1；（）（2）AC= A 1C 1，BC=B 1C 1；（）（3）∠A=∠A 1，∠B=∠B 1；（）（4）AC=A 1C 1，∠B=∠B 1；（）（5）AC=A 1C 1，AB=A 1B 1，（） [中等题训练] 例1、等腰三角形底边长为5cm ，腰上的中线把三角形周长分为差是3cm 的两部分，则腰长为（） A 、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定选B 解题思路点拨：题中：腰上的中线把三角形周长分为差为3cm 的两部分的差可以是腰长与底边长的差，也可以是底边长和腰长的差，所以很多同学会选择C ，这是因为没有考虑三角形必须满足“三角形两边之和大于第三边”这个条件。所以我们在解题时必须考虑全面。例2、已知AD 为△ABC 的高，AB=AC ，△ABC 周长为20cm ，△ADC 的周长为14cm ，求AD 的长。解题思路点拨：解集合题时，然后题目没有给出图，我们在解题的时候就应该根据题意先画出符合条件的图形。注意：等腰三角形的“三线合一”定理，必须是“顶角平分线”“底边上的中线”“底边上的高”这三线，只讲“角平分线”“中线”“高”的三线是不一定能合一的。 A C A B E F C O

浙教版八上第二章：特殊三角形知识点复习

类型之一轴对称及轴对称图形 1．下列图形中，是轴对称图形的为() A B C D 2．如图2－1，将△ABC沿直线DE折叠，使点C与点A重合，已知AB＝7，BC＝6，则△BCD 的周长为____．（第2题图）（第8题图）（第9题图）类型之二等腰三角形的性质与判定 3. 等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角度数是． 4．已知实数x，y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长_____ 5．等腰三角形的周长为40，其中一边长为15，那么它的底边长为． 6．等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为_______． 7．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为． 8．如图2－3，在△ABC中，△ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则△C的度数是() A．21°B．19°C．18°D．17° 9．已知等边三角形ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE△AC于点E，过E作EF△BC于点F，过F作FG△AB于点G.当G与D重合时，AD的长是() A．3 B．4 C．8 D．9

10．如图，点C ，E 和点B ，D ，F 分别在△GAH 的两边上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF.若△A ＝18°，则△GEF 的度数是． 11．如图，在等腰△ABC 中，△ABC ＝90°，D 为AC 边上的中点，过点D 作DE △DF ，交AB 于点E ，交BC 于点F .若AE ＝4，FC ＝3，则EF 的长为． 12．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的两动点，且总使AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG△CD 于点G ，则△FAG ＝． 13．△ABC ，△CDE 均为等边三角形，BD ，AE 交于点O ，BC 与AE 交于点P .求证：△AOB ＝60°. 14．已知：在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ，BE △AC ，垂足为E ，M 为AB 边的中点，连结ME ，MD ，ED .求证： (1)△MED 为等腰三角形； (2)△EMD ＝2△DAC . （第13题图）（第14题图）（第11题图）（第10题图）（第12题图）

数学人教版八年级上册特殊三角形复习课

特殊三角形复习课一、知识点回顾（一）等腰三角形的性质与判定 1.性质 (1)等腰三角形的两个底角相等。 (2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（二）等腰三角形性质与判定的应用 1、计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。（1）已知角的度数，求其它角的度数（2）已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未

知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组） 2、证明线段或角相等以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC A 12 B C D （1）作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC （2）若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC （3）作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. 二、例题分析例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程…… 已知：线段a、h

求作：△ABC ，使AB=AC=a ，高AD=h 作法： 1、作PQ ⊥MN ，垂足为D A B C D a h A B C D M N h a P Q 2、在DM 上截取DA=h 3、以点A 为圆心，以a 为半径作弧，交PQ 于点B 、C 4、连结AB 、AC 则△ABC 为所求的三角形。例2.如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于M 点。求证：BM=CM 。证明：

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习

浙教版八年级上册数学第二章特殊三角形全部知识点、考点及练习本章主要研究了等腰三角形、直角三角形和特殊三角形的性质和判定，其中包括了勾股定理和HL定理等知识。等腰三角形的两腰相等，两底角也相等，三线合一，是对称图形，有一条对称轴。等边三角形三边相等，三个内角也相等，是正多边形，有三条对称轴。直角三角形有一个直角和两个锐角，斜边上的中线等于斜边的一半，两直角边的平方和等于斜边的平方，可以用勾股定理判断。角平分线是指从角的顶点到对边的线段，它可以被平分线所穿过。等腰三角形的判定方法是有两边相等或两角相等。但需要注意的是，有两腰相等的三角形不一定是等腰三角形。等边三角形的判定方法是三边相等或三个角都是60度。直角三角形的判定方法是有一个角是90度或两个角相加等于90度或两直角边的平方和等于斜边的平方。最后，需要注意的是，一条边上的中线等于该边长度的一半并不一定能直接判断某三角形是直角三角形，但可以在解题

时提供帮助。直角三角形全等的判定方法是斜边和一个锐角对应相等。角平分线可以被平分线穿过，这个性质可以在解题时使用。研究特殊三角形时，需要明确性质与判定的区别，不能混淆。一般来说，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系则是性质。等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰。因此，在判定一个三角形是等腰三角形时，不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”。直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便。勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系。解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c”就认定是斜边。另外，不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5.

浙教版八年级数学(上册)第二章知识点+注意点+经典例题

八年级上册第二章《特殊三角形》 2.1图形の轴对称 [轴对称图形] 1.如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁の部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它の对称轴． 2.有の轴对称图形の对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 3.折叠后重合の点是对应点，叫做对称点。 [轴对称] 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合の点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． [图形轴对称の性质] ①关于某直线对称の两个图形是全等形。 ②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。 ③轴对称图形の对称轴，是任何一对对应点所连线段の垂直平分线。 ④如果两个图形の对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 [轴对称与轴对称图形の区别]

[线段の垂直平分线] （1）经过线段の中点并且垂直于这条线段の直线，叫做这条线段の垂直平分线．（2）线段の垂直平分线上の点与这条线段两个端点の距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等の点在这条线段の垂直平分线上．因此线段の垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等の所有点の集合． 2.2 等腰三角形+2.3等腰三角形性质定理+2.4等腰三角形判定定理 [等腰三角形] ★1. 有两条边相等の三角形是等腰三角形。 ★2. 在等腰三角形中，相等の两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹の角叫做顶角，腰与底边の夹角叫做底角． [等腰三角形の性质] ★性质1：等腰三角形の两个底角相等（简写成“等边对等角”） ★性质2：等腰三角形の顶角平分线、底边上の中线、底边上の高互相重合（三线合一）．特别の：（1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上の中线、角平分线、高线对应相等. [等腰三角形の判定定理] ★如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对の边也相等（简写成“等角对等边”）．特别の：（1）有一边上の角平分线、中线、高线互相重合の三角形是等腰三角形．（2）有两边上の角平分线对应相等の三角形是等腰三角形．（3）有两边上の中线对应相等の三角形是等腰三角形．（4）有两边上の高线对应相等の三角形是等腰三角形． [等边三角形] 三条边都相等の三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

浙教版八年级上册期末复习讲义第2章特殊三角形

教学目标知识点：特殊三角形考点：等腰三角形的性质与判定难点重点等腰三角形“三线合一”“等边对等角” 课堂教学过程课前检查作业完成情况：优□良□中□差□建议__________________________________________ 过程【本章知识点回顾】两腰______，两底角______（等边对等角）性质定理顶角平分线、底边的中线和高线________（三线合一）等边三角形三条边相等，各内角都等于60° 等腰三角形等腰三角形：（1）两边相等；（2）两角相等判定定理等边三角形：（1）三边相等；（2）三角相等；（3）有一个角是60°的等腰三角形（4）有两个角是60°的三角形【巩固训练】 1.下列说法中错误的是（） A.等腰三角形至少有两个角相等 B.等腰三角形的底角一定是锐角 C.等腰三角形顶角的外角是底角的2倍 D.等腰三角形中有一个角是45︒，那它一定是等腰直角三角形 2. 在等腰ABC △中，D为线段BC上一点，AD BC ⊥，若5 AB=，3 AD=,CD=______. 3. 已知等腰三角形一个内角的度数为100︒，则其余两个内角的度数分别为_______. 4.等腰三角形一腰长为10，一边上的高为6，则底边长为_____________. 5. 如图，在ABC △中，70 B ∠=︒，D为BC上的一点，若2 ADC x ∠=，则x的度数可能为下列选项中的（） A.30 B.60 C.90 D.100 C D B A P2 P5 P6 P7 P4 P3 P1 C B A 第5题第6题 6. 如图钢架10 A ∠=︒，焊上等长的钢条加固钢架，若 112 P A PP =，则这种钢条至多需要（） A.6根 B.7根 C.8根 D.9根

八年级数学上册特殊三角形(讲义及答案)(人教版)

特殊三角形（讲义）课前预习 1.对几何图形，我们一般从边、角、特殊的线、周长及面积、对称性等来研究，以等腰三角形为例：（1）边和角：等边对________、等角对________．（2）特殊的线：（顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高）____________________．（3）面积： h h1 h2 C B A h1+h2_____h（填“>”、“<”或“=”）．（4）对称性：等腰三角形的对称轴是__________________． 2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．求证： 1 2 BC AB ． 30° C B A 30° C B A 知识点睛 1.等边三角形A

①定义：_________________的三角形是等边三角形． ②性质：边：等边三角形______________．角：等边三角形______________．线：等边三角形______________． ③判定：_________________的等腰三角形是等边三角形．角：等腰直角三角形_____________．线：等腰直角三角形____________，____________________ __________________________． ③判定：_______________的三角形是等腰直角三角形．精讲精练 1.如图，以BC为边在正方形ABCD内部作等边△PBC，连接AP，DP，则∠ P AD=_____________．

D A

【参考答案】课前预习 1.（1）等角、等边（2）三线合一（3）= （4）顶角的角平分线（底边上的中线或底边上的高）所在直线

中考总复习讲义：角形的基本性质特殊角形

21 D C B A D C B A 学生：科目：数学教师：刘美玲 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC= 1 2 BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2= 1 2 ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．课题中考总复习 : 三角形基本性质、特殊三角形教学内容三角形等腰三角形不等边三角形底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形直角三象形斜三角形锐角三角形钝角三角形 _C _B _A

浙教版八年级数学上册-特殊三角形-八年级数学教研组.讲义

特别三角形 1等腰三角形教课目的： 1、认识特别与一般的辨证关系； 2、理解等腰三角形和轴对称图形的观点，学会辨别轴对称图形。基础训练： 1、填空题：（ 1）等腰三角形中，假如底边长为6，一腰长为8，那么周长是。（ 2）假如等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的周长是；假如等腰三角形的两边长分别是4、8，那么它的周长是。（ 3）等腰三角形的对称轴最多有条。 2、填空题：（ 1）假如△ ABC 是等腰三角形，那么它的边长（或周长）能够是（） A 、三条边长分别是5， 5， 11 B、三条边长分别是 4， 4， 8 C、周长为14，此中两边长分别是4， 5 D 、周长为24，此中两边长分别是6， 12 （ 2）等腰三角形一边长为2，周长为5，那么它的腰长为（） A 、3 B 、 2 C、 1.5 D、2 或 1.5 3、已知等腰三角形的腰长是底边的 3 倍，周长为 35cm，求等腰三角形各边的长。 4、已知：如图， AD 均分∠ BAC ， AB=AC ，请你说明△ DBC 是等腰三角形。 A D B C 5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 { x+2y=4 的解，3x+y=7 求这个三角形的各边长。拓展思虑：七年级一班的张小斌是体育委员，李聪是学习委员。这日，搞班级活动，全班同学在操场参加“小组争先” 比赛，张小斌与李聪分别代表自己所在小组参加“浇花” 项目比赛。平常跑步比赛在班中名列前茅的张小斌硬是在这个项目中输给了李聪，同学们百思不得其解，纷繁仔细地研究起了这个问题。这个项目的比赛是这样规定的：参赛队员同时从起点出发，先到河中打上半桶水，再跑到花坛将水浇在花丛中，最后跑回起点，先回到起点者胜。同学们都说张小斌选择的路线不对。张小斌感觉很冤枉。他说：我往河畔跑时跑的是近来的垂直路线，我比李聪先打的水，怎么可能不对？聪慧的同学，你知道李聪的取胜法宝是什么吗？火眼金睛：有一道题是这样的：一个五边形有五个角，剪去一个角后，还剩下几个角？小明以为五个角剪去一个角后自然就剩下四个角了。你以为小明讲得对吗？学习预告：阅读课本第二章第 2 节“等腰三角形的性质”，并思虑以下问题： 1、等腰三角形有什么样的性质？ 2、等腰三角形哪三线合一？它有什么作用？ 3、等腰三

第二章 特殊三角形的复习讲义

初中二年级数学上册第2章 特殊三角形单元复习

浙教版初中数学八年级上册《特殊三角形》全章复习与巩固 知识讲解(提高)