北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题与简答

2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边

形》培优试题与简答

一．选择题（共10小题，每小题3分共30分）

1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )

A ．对角相等

B ．对边相等

C ．对角线相等

D ．对角线互相平分

2．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点为O ，过O 作OF AC ⊥交AD 于点F ，交BC 于点E ，则四边形AECF -定是( )

A ．平行四边形

B ．菱形

C ．矩形

D ．-般四边形

3．如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，:1:3EDC EDA ∠∠=，且10AC =，则DE 的长度是( )

A ．3

B ．5 C

．D

．2

4．如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，

已知5AB BC CD DA ====千米，村庄C 到公路1l 的距离为4千米，则C 到公路2l 的距离是(

)

A ．6千米

B ．5千米

C ．4千米

D ．3千米

5．如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若6BD =，则菱形ABCD 的面积是( )

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

第2题图 第3题图

第4题图 第5题图

6．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )

A ．对边分别平行

B ．对角线垂直

C ．对角线互相平分

D ．对边分别相等

7．如图，正方形ABCD 中，25DAF ∠=︒，AF 交对角线BD 于点E ，那么BEC ∠等

于( )

A ．45︒

B ．60︒

C ．70︒

D ．75︒

8．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点F 在边AC 上，并且2CF =，点E 为边BC 上的动点，将CEF ∆沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P 到边AB 的距离的最小值是( )

A ．43

B ．1

C ．56

D ．65

9．下列识别图形不正确的是( )

A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形

B ．有三个角是直角的四边形是矩形

C ．对角线相等的四边形是矩形

D ．对角线互相平分且相等的四边形是矩形

10．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是

(0,0)，(2,0)，60α∠=︒，则顶点C 在第一象限的坐标是( )

A ．(2,2) B

． C ．(3,2) D

．1

二．填空题（共6小题，每小题3分共18分）

11．等腰三角形纸片ABC 中，5AB AC ==，6BC =，AD 是BC 边上的高，若将ABC ∆沿AD 剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则其周长为 ．

12．如下图，E 为正方形ABCD 的边BC 延长线上的点，且CE AC =，连接AE ，则

E ∠= 度．

第7题图

第8题图

第10题图

13．如图，在菱形ABCD 中，72ADC ∠=︒，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则CPB ∠= 度．

14．如图，等边ABC ∆与正方形DEFG 重叠，其中D 、E 两点分别在AB 、BC 上，且BD BE =．若6AB =，2DE =，则EFC ∆的面积为 ．

15．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若3AB =，则BC 的长为 ．

16．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且8AC =，6BD =，过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则点0到边AB 的距离OH = ．

三．解答题（共8小题，满分72分，其中17、18每小题7分，19、20每小题8分,21、22每小题10分，23、24每小题11分）

17．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分BAD ∠，若15EAO ∠=︒，求B O E ∠的度数．

18．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且16AC cm =，12BD cm =，求菱形ABCD 的第12题图

第13题图

第14题图

第15题图

高DH和AB的长．

19．如图，ABC

=．

∆的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF

20．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且A C B D

⊥．点M，N分别在BD、AC 上，且AO ON NC

==，BM MO OD

==．

求证：2

=．

BC DN

21．如图，在ABCD中，2

=，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接

BC AB

EF，OC．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若8

∠=︒，求OC的长．

ABC

BC=，60

22．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=︒，当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由）

23．如图，以锐角ABC ∆的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连接BE 、CF ．

（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由．

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．

24．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线//MN BC ，且MN 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．

2019—2020学年北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》培优试题参考简答

一．选择题（共10小题）

1．C ． 2．B ． 3．D ． 4．C ． 5．C ． 6．B ． 7．C ． 8．D ．

9．C ． 10．B ．

二．填空题（共6小题）

11． 14或16或18 ． 12． 22.5 ． 13． 72 ． 14． 2 ．

15 16． 125

． 三．解答题（共8小题）

17．如图，在矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于一点O ，AE 平分BAD ∠，若15EAO ∠=︒，求B O E ∠的度数．

【解】：ABCD 为矩形，

90BAD ∴∠=︒

ABCD 相交于O 点，

AO CO BO DO ∴===

AE 平分BAD ∠交BC 于E 点，

45BAE EAD ∴∠=∠=︒

15EAC ∠=︒， 060BA ∴∠=︒，

AO BO =，

60ABO ∴∠=︒， 180BAO ABO AOB ∠+∠+∠=︒，

60AOB ∴∠=︒

AOB ∴∆为等边三角形，即AB OA BO ==，

又90ABC ∠=︒，45EAB ∠=︒，

45

BEA

∴∠=︒，

ABE

∴∆为等腰直角三角形，

BE BA

∴=，

BE BA

=而BA BO

=，

BE BO

∴=

即OBE

∆为等腰三角形

9060

ABC ABO

∠=︒∠=︒

30

OBE

∴∠=︒

(18030)275

BOE BEO

∴∠=∠=-÷=︒．

故BOE

∠的度数75︒．

18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且16

AC cm

=，12

BD cm

=，求菱形ABCD的高DH和AB的长．

【解】：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且16

AC cm

=，12

BD cm

=，

8

AO CO cm

∴==，6

DO BO cm

==，90

AOB

∠=︒，

∴在Rt AOB

∆中

10()

AB cm

=，

菱形面积为：1

2

AC BD DH AB

⨯=⨯，

则1

161210

2

DH

⨯⨯=⨯，

解得：

48

()

5

DH cm

=，

答：菱形ABCD的高DH为48

5

cm，AB的长为10cm．

19．如图，ABC

∆的两条高分别为BE、CF，M为BC的中点．求证：ME MF

=．

【证明】BE 是ABC ∆的高，M 为BC 的中点，

12

ME BC ∴=， CF 是ABC ∆的高，M 为BC 的中点，

12

MF BC ∴=， ME MF ∴=．

20．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且A C B D ⊥．

点M ，N 分别在BD 、AC 上，且AO ON NC ==，BM MO OD ==．

求证：2BC DN =．

【证明】AO ON =，OD OM =，

∴四边形AMND 是平行四边形，

AC BD ⊥，

∴平行四边形AMND 是菱形，

MN DN ∴=，

ON NC =，BM MO =，

12

MN BC ∴=， 2BC DN ∴=．

21．如图，在ABCD 中，2BC AB =，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，AE ，BF 交于点O ，连接EF ，OC ．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若8

BC=，60

ABC

∠=︒，求OC的长．

【解】：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，//

BC AD

∴，BC AD

=．

E，F分别是BC，AD的中点，

∴

11

,

22

BE BC AF AD

==．BE AF

∴=．

∴四边形ABEF是平行四边形．

2

BC AB

=，

AB BE

∴=．

∴平行四边形ABEF是菱形．

（2）解：过点O作OG BC

⊥于点G．

E是BC的中点，8

BC=，

4

BE CE

∴==．

四边形ABEF是菱形，60

ABC

∠=︒，

30

OBE

∴∠=︒，90

BOE

∠=︒．

2

OE

∴=，60

OEB

∠=︒．

1

GE

∴=，OG=

5

GC

∴=．

OC

∴=

22．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．

（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；

（2）若3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=︒，当AE = 2 cm 时，四边形CEDF 是菱形． （直接写出答案，不需要说明理由）

【解】：（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，

//CF ED ∴，

FCD GCD ∴∠=∠， G 是CD 的中点，

CG DG ∴=，

在FCG ∆和EDG ∆中，

FCG EDG CG DG

CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩

， ()CFG EDG ASA ∴∆≅∆，

FG EG ∴=，

∴四边形CEDF 是平行四边形；

（2）解：四边形ABCD 是平行四边形，

5AD BC cm ∴==，3CD AB cm ==，60ADC B ∠=∠=︒，

当DE CE =时，四边形CEDF 是菱形，

∴当CED ∆是等边三角形时，四边形CEDF 是菱形，

3DE CD cm ∴==，

2AE AD DE cm ∴=-=，

即当2AE cm =时，四边形CEDF 是菱形．

故答案为：2．

23．如图，以锐角ABC ∆的边AC 、AB 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，连接BE 、CF ．

（1）试探索BE 和CF 的关系？并说明理由．

（2）你能找到哪两个图形可以通过旋转而相互得到，并指出旋转中心和旋转角．

【解】：（1）BE和CF垂直且相等．

理由：先AB和CF的交点为O，如下图所示：

在正方形ABGF，

=，

AF AB

∠=︒，

FAB

90

又在正方形ACDE，

=，

AE AC

∠=︒，

EAC

90

∴∠=∠=︒，

FAB EAC

90

∠=∠+∠，

FAC FAB BAC

∠=∠+∠，

EAB EAC BAC

∴∠=∠，

FAC EAB

FAC EAB

∴∆≅∆，

∴=，且AFC ABE

∠=∠，

BE CF

又AOF BOH

∠=∠，

故在AFO

∆和BHO

∠=∠=︒，

FAO BHO

∆中，有90

∴又垂直于CF；

BE

（2）由（1）知，FAC BAE

∆≅∆，

故FAC

∆可以通过旋转而得到彼此，∆和BAE

其旋转中心为点A，旋转角为直角．

24．如图，在ABC ∆中，点O 是AC 边上的中点，过点O 的直线//MN BC ，且MN 交ACB ∠的平分线于点E ，交ACB ∠的外角平分线于点F ，点P 是BC 延长线上一点．求证：四边形AECF 是矩形．

【证明】：CE 平分ACB ∠，

ACE BCE ∴∠=∠，

//MN BC ，

OEC ECB ∴∠=∠，

OEC OCE ∴∠=∠，

OE OC ∴=，

同理，OC OF =，

OE OF ∴=．

AO CO =，EO FO =，

∴四边形AECF 为平行四边形， CE 平分ACB ∠，

12

ACE ACB ∴∠=∠， 同理，12

ACF ACP ∠=∠， 11()1809022

ECF ACE ACF ACB ACP ∴∠=∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∴四边形AECF 是矩形．