2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固(培优篇)
专题1.29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，菱形OABC 的顶点O 与原点重合，点C 在x 轴上，点A 的坐标为（3，4）．将
菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B 的坐标为（ ）
A ．（-8，-4）
B ．（-9，-4）
C ．（-9，-3）
D ．（-8，-3） 2．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．则EC +GC 的最小值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），四边形OABC 是菱形，60AOC ∠=︒，以OB 为边作菱形11OBB C ，使顶点1B 在OC 的延长线上，再以1OB 为边作菱形122OB B C ，使顶点2B 在1OC 的延长线上，再以2OB 为边作菱形233OB B C ，使顶点3B 在2OC 的延长线上，按照此规律继续下去，则2021B 的坐标是（ ）
A ．101130-（，）
B ．101132
（，）
C ．20210-（，）
D ．20231011
3322（-，）
4．如图，点H ，F 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，点E ，G 分别在BA ，DC 的
延长线上，且AE AH CG CF ===．连结EH ，EF ，
GF ，GH ，若菱形ABCD 和四边形EFGH 的面积相等，则AH AD
的值为（ ）
A ．1
2 B C D ．1
5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）
A
．4 B ．8 C ．D ．
6．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =O 是对角线的交点，过C 作CE BD ⊥于点E ，EC 的延长线与BAD ∠的平分线相交于点H ，AH 与BC 交于点F .给出下列四个结论：∠AF FH =；∠BF BO =；∠AC CH =；∠3BE DE =.其中正确结论有( ).
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．如图，四边形ABCD 是矩形纸片，6AB =，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ．展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕为BM ，再次展
平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：
∠60ABN ∠=︒；∠3AM =；∠∠BMG
是等边三角形；∠EN =∠P 为线段BM 上一动点，H 是线段BN 上的动点，则PN PH
+
的最小值是 ）
A ．∠∠∠∠
B ．∠∠∠∠
C ．∠∠∠∠
D ．∠∠∠∠∠
8．如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点M 处，折痕为AP ；再将PCM △，ADM △分别沿PM ，AM 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点N 处．下列结论不．
正确的是（ ）
A ．M 是CD 的中点
B ．MN AP ⊥
C ．当四边形APC
D 是平行四边形时，AB =
D ．AD BC ∥ 9．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°， 分别以AC ， BC 为边向外作正方形ACD
E 与正方形BCFG ， H 为EG 的中点，连接DH ，FH ．记∠FGH 的面积为S 1，∠CDH 的面积为S 2，若S 1－S 2＝6，则AB 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．10．如图，正方形ABCD 边长为4，点
E 是CD 边上一点，且75ABE ∠=︒．P 是对角线
BD 上一动点，则12
AP BP +的最小值为（ ）
A
．4 B ．C D 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD 的顶点A 的坐标为（-1，3），在纸
的正方形1111D C B A ，将该纸片以O 为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C 和点1B 的坐标分别为（ ）
A ．（-3，-1），（1，0）
B ．（-3，-1），（0，-1）
C ．（3，1），（0，-1）
D ．（3，1），（1，0） 12．如图，将正方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在AD 边的点P 处（不与点A ，点D 重合），点C 落在G 点处，PG 交DC 于点H ，连接BP ，BH ．BH 交EF 于点M ，连接
PM ．下列结论：∠PB 平分∠APG ；∠PH =AP +CH ；∠BM ，∠若BE =53，AP =1，则S 四边形BEPM =113
，其中正确结论的序号是（ ）
A ．∠∠∠∠
B ．∠∠∠
C ．∠∠∠
D ．∠∠∠
二、填空题 13．如在菱形ABCD 中，2BC =，120C ∠=︒，E 为AB 的中点，P 为对角线BD 上的任意一点，则PA PE +的最小值为__________．
14．如图，已知ABC 中，5AB AC ==，8BC =，将ABC 沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ，顶点A ，B ，C 分别与D ，E ，F 对应，若以A ，D ，E 为顶点的三角形是等腰三角形，则m 的值是___________．
15．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，点E 在边BC 上，将∠ABE 沿直线AE 翻折180°，得到∠AB ′E ，点B 的对应点是点B ′．若AB ′∠BD ，BE ＝2，则BB ′的长是___．
17．如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 上一动点，将ABE △沿AE 折叠后得到AFE △，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ，3AB =，4=AD ．
当点E 是BC 的中点时，线段GC 的长为______；点E 在运动过程中，当∠CFE 的周长最小时，BE 的长为______．
18．如图，在等腰Rt ABC 中，CA BA =，90CAB ∠=︒，点M 是AB 上一点，点P 为射线CA （除点C 外）上一个动点，直线PM 交射线CB 于点D ，若1AM =，3BM =，CPD ∆的面积的最小值为________．
19．如图，在四边形ABCD 中，AB ∠BC ，AD ∠AC ，AD ＝AC ，∠BAD ＝105°，点E 和点F 分别是AC 和CD 的中点，连接BE ，EF ，BF ，若CD ＝8，则BEF 的面积是_____．
20．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点P 是边AD 上的动点，沿直线PE 将
△APE 对折，点A 落在点F 处. 已知AB =6，AD =4，连结CF 、CE ，当△CEF 恰为直角三角形时，AP 的长度等于___________.
21．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，∠EAF ＝45°，∠ECF 的周长为8，则正方形ABCD 的边长为_____．
22．如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，1AB =，点D 为AC 边上任意一点，将BCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为点E ，当30ADE ∠=︒时，CD 的长为______．
23．如图，正方形ABCD 的边长为4，E ，F ，H 分别是边BC ，CD ，AB 上的一点，将正方形ABCD 沿FH 折叠，使点D 恰好落在BC 边的中点E 处，点A 的对应点为点P ，则折痕FH 的长为______．
24．图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，若F 是BC 的中点，45EDF ∠=︒，则DE 的长为 _____．
三、解答题
25．直线443
y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，菱形ABCD 如图放置在平面直角坐标系中，其中点D 在x 轴负半轴上，直线y x m =+经过点C ，交x 轴于点E ．
(1)请直接写出点C ，点D 的坐标，并求出m 的值；
(2)点()0,P t 是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 重合），经过点P 且平行于x 轴的直线交AB 于M ，交CE 于.N 当四边形NEDM 是平行四边形时，求点P 的坐标；
(3)点()0,P t 是y 轴正半轴上的一个动点，Q 是平面内任意一点，t 为何值时，以点C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？
26．综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为(0,)A a ，点(,0)B b ，且a ．
b 满足：
4b +=C 与点B 关于y 轴对称，点P ，点E 分别是x 轴，直线AB 上的两个动点．
(1)求点C 的坐标；
(2)连接PA ，PE ．
∠如图1，当点P 在线段BO （不包括B ，O 两个端点）上运动，若APE 为直角三角形，F 为PA 的中点，连接EF ，OF ，试判断EF 与OF 的关系，并说明理由；
∠如图2，当点P 在线段OC （不包括O ，C 两个端点）上运动，若APE 为等腰三角形，M 为底边AE 的中点，连接MO ，请直接写出PA 与OM 的数量关系．
27．操作与证明：如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E 、F 分别在正方形的边CB 、CD 上，连接AF ；取AF 中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．
(1)连接AE ，求证：△AEF 是等腰三角形；
猜想与发现：
(2)在（1）的条件下，请判断MD 、MN 的数量关系和位置关系，得出结论．
结论1：DM、MN的数量关系是___________________________；
结论2：DM、MN的位置关系是___________________________；
拓展与探究：
(3)如图2，将图1中的直角三角板ECF绕点C顺时针旋转180°，其他条件不变，则（2）中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
28．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G．
(1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形；
(2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长；
(3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积．
参考答案
1．A
【分析】
过点A作AE∠OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B1，作B1F∠y轴于F，利用全等三角形的性质求出的坐标，根据循环性规律，得出第2022次旋转结束时，点B的坐标即可．
解：过点A作AE∠OC于E，设第一次旋转点B的对应点为B1，作B1F∠y轴于F，
∠点A的坐标为（3，4），
∠5
OA，
∠菱形OABC的顶点O与原点重合，
∠5
AB OA
==，AB∠OC，
∠点B的坐标为（8，4），
延长BA交y轴于H，
∠BH∠OF，
∠∠BHO=∠B1FO=90°，
∠∠BOB1=90°，
∠∠BOH+∠FOB1=90°，∠BOH+∠OBH=90°，
∠∠FOB1=∠OBH，
∠OB1=OB，
∠∠OBH∠∠OB1F，
∠FB1=OH=4，FO1=BH=8，
B1的坐标为（-4，8）；
同理可求，第二次旋转点B的坐标为（-8，-4）,
第三次旋转点B的坐标为（4，-8）,
第四次旋转点B的坐标为（8，4）,
四次一循环，
∠2022÷4=505……2，
故第2022次旋转结束时，点B的坐标（-8，-4）,
故选：A．
【点拨】本题考查了菱形的性质、勾股定理、点的坐标变换，解题关键是熟练运用相关性质求出变换后点的坐标，发现规律求解．
2．B
【分析】
连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．由平移和菱形的性质可证明四边形CDEG 为平行四边形，即得出HE CG =，从而可得出
EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质与勾股定理求出CH 的长即可．
解：如图，连接AE ，作点D 关于直线AE 的对称点H ，连接DE ，DH ，EH ，AH ，CH ．
由平移的性质可知AB EG =，AB EG ．
∠四边形ABCD 为菱形，
∠AB CD =，AB CD ，1302
ADB ABD ABC ∠=∠=∠=︒， ∠CD EG =，∥EG CD ，
∠四边形CDEG 为平行四边形，
∠GC DE =．
由轴对称的性质可知HE DE =，DAE HAE ∠=∠，AH AD =，
∠HE CG =，
∠EC GC EC HE CH +=+≥，即CH 的长为EC GC +的最小值．
∠AB EG =，AB EG ，
∠四边形ABGE 为平行四边形，
∠AE BG ∥，
∠30EAD ADB ∠=∠=︒，
∠260HAD EAD ∠=∠=︒，
∠ADH 为等边三角形，
∠4DH AD CD ===，60ADH ∠=︒，
∠2120CDH ADH ∠=∠=︒，
∠30HCD ∠=︒，
即CDH △为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求224CH === 故选B ．
【点拨】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
3．A
【分析】
连接AC 、BC 1，分别交OB 、OB 1于点D 、D 1，利用菱形的性质及勾股定理即可得OB 的长，进一步在菱形OBB 1C 1计算出OB 1，过点B 1作B 1M ∠x 轴于M ，利用勾股定理计算出B 1M ，OM ，从而得B 1的坐标，同理可得B 2，B 3，B 4，B 5，B 6，B 7，B 8，B 9，B 10，B 11，B 12，根据循环规律可得B 2021的坐标．
解：如图所示，连接AC ，1BC 分别交OB ，1OB 与D 、1D ，
∠点A 的坐标为（1，0），
∠OA =1，
∠四边形OABC 是菱形，∠AOC =60°，
∠OC =OA =1，OB =2OD ，∠COD =30°，∠CDO =90°， ∠1122CD OC ==，
∠OD ==
∠OB =
∠∠AOC =60°，
∠∠B 1OC 1=90°-60°=30°，
∠四边形OBB 1C 1是菱形，
11
111902C DO OC OB OB OD ∴∠=︒===，，
在Rt ∠OC 1D 1中11112C D OC ==，
∠132
OD ==， ∠OB 1=2OD 1=3，
过点B 1作B 1M ∠x 轴于点M ，
在Rt ∠OMB 1中，11322
OM OB ==
∠1B M ==
∠13(2B ，
同理可得2345927(((27,0)22B B B B ---，，，
6788181(,(,(0,22B B B -
--，，，
91011243729(,(,(729,0)22B B B ，，，
12729)2B ， 由此可以发现规律“每经过12次作图后点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次
1n n OB +=，
∠2021÷12=168……5，
∠B 2021的纵坐标符号与B 5的相同，则B 2021在y 轴的负半轴上，
又2022101120213OB ==
∠B 2021的坐标为1011(3,0)-，
故选A
【点拨】本题考查平面直角坐标系找规律，利用菱形的性质处理条件，掌握循环规律的处理方法是解题的关键．
4．D
【分析】
根据题意先证四边形EFGH 是平行四边形，由平行四边形的性质求出EH ∠AC ，进而由面积关系进行分析即可求解．
解：连接HC 、AF 、HF 、AC ，HF 交AC 于O ，连接EG ．
∠四边形ABCD 是菱形，
∠D =∠B ，AB =CD =AD =BC ，
∠AE =AH =CG =CF ，
∠DH =BF ，BE =DG ，
在∠DHG 和∠BFE 中，
DH BF D B BE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∠∠DHG ∠∠BFE ，
∠HG =EF ，∠DHG =∠BFE
，
∠BC ∠AD ，
∠∠BFE =∠DKF ，
∠∠DHG =∠DKG ，
∠HG ∠EF ，
∠四边形EFGH 是平行四边形．
∠AH =CF ，AH ∠CF ，
∠四边形AHCF 是平行四边形，
∠AC 与HF 互相平分，
∠四边形EFGH 是平行四边形，
∠HF 与EG 互相平分，
∠HF 、AC 、EG 互相平分，相交于点O ，
∠AE =AH ，DA =DC ，BE ∠DC ，
∠∠EAH =∠D ，
∠∠AEH =∠AHE =∠DAC =∠DCA ，
∠EH ∠AC ，
∠S △AEH =S △EHO =S △AHO =12S △AHC =14S 四边形EFGH =14
S 四边形ABCD ， ∠S △AHC =12
S 四边形ABCD =S △ADC ，
∠AD =AH ， ∠AH AD =1. 故选：D ．
【点拨】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明EH ∠AC 是解题的关键．
5．C
【分析】
取CD 中点H ，连接AH ，BH ，根据矩形的性质题意得出四边形AECH 是平行四边形，可知AC CE ∥，然后根据三角形中位线的性质得PH CE ∥，得出点P 在AH 上，然后判断BP 的最小值，再求出值即可.
解：如图，取CD 中点H ，连接AH ，BH ，设AH 与DE 的交点为O ，
∠四边形ABCD 是矩形，
∠AB ＝CD ＝8，AD ＝BC ＝4，CD AB ∥，
∠点E 是AB 中点，点H 是CD 中点，
∠CH ＝AE ＝DH ＝BE ＝4，
∠四边形AECH 是平行四边形，
∠AH CE ∥，
∠点P 是DF 的中点，点H 是CD 的中点，
∠PH 是∠CDF 的中位线，
∠PH CE ∥，
∠点P 在AH 上，
∠当BP ∠AH 时，此时点P 与H 重合，BP 有最小值，
∠AD ＝DH ＝CH ＝BC ＝4，
∠∠DHA
＝∠DAH ＝∠CBH ＝∠CHB ＝45°，AH BH ==
∠∠AHB ＝90°，
∠BP 的最小值为
故选：C ．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，中位线的性质和定义等，确定点P 的位置是解题的关键．
6．C
【分析】
利用矩形性质及勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，可知60ABO ∠=︒，进一步可得AOB 为等边三角形，得到1BO BA ==，再利用角平分线的性质可证明1BF BA ==，
故∠正确；证明15CHA OAH ∠=∠=︒，即可知∠正确；求出1122
DE CD ==，13222BE =-=，即可知∠正确；无法证明F 是AH 中点，故∠错误．
解：∠ABCD 为矩形，1AB =，AD =，
∠90DAB ∠=︒，30ADB ∠=︒，2BD =，
∠AF 平分DAB ∠，
∠45FAB AFB ∠=∠=︒，即1BF BA ==，
∠30ADB ∠=︒，
∠60ABO ∠=︒，
∠OA OB =，
∠AOB 为等边三角形，
∠1BO BA ==，
∠BF BO =，故∠正确；
∠AOB 为等边三角形，且45FAB ∠=︒，
∠15OAH ∠=︒，
同理：COD △为等边三角形，
∠CE BD ⊥，
∠30ECO ∠=︒，
∠15CHA ∠=︒，
∠15CHA OAH ∠=∠=︒，即AC CH =，故∠正确；
∠30ECO ∠=︒，
∠30DCE ∠=︒，
∠1CD AB ==， ∠1122
DE CD ==， ∠2DB =， ∠13222
BE =-=， ∠3BE DE =，故∠正确；
∠AC CH =，但是无法证明F 是AH 中点，故∠错误；
综上所述：正确的有∠∠∠．
故选：C ．
【点拨】本题考查矩形性质及勾股定理，30所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形，角平分线，三角形外角的定义及性质．解题的关键是熟练掌握以上知识点，证明
1BO BA ==， 1BF BA ==；证明15CHA OAH ∠=∠=︒；求出1122
DE CD ==，13222
BE =-=． 7．C
【分析】
∠首先根据EF 垂直平分AB ，可得AN =BN ，然后根据折叠的性质，可得AB =BN ，据此
判断出∠ABN 为等边三角形，即可判断出∠ABN =60°；
∠首先根据∠ABN =60°，∠ABM = ∠NBM ，求出∠ABM =∠NBM =30°，然后在Rt ∠ABM 中，根据AB =6，求出AM 的大小即可；∠求出∠AMB =60°，得到∠BMG =60°，根据AD ∠BC ，求出∠BGM =60°即可；∠根据勾股定理求出EN 即可；∠根据轴对称图形的性质得到AP =PN ，PN +PH =AH ，且当AH ∠BN 时，PN +PH 最小，应用勾股定理，求出AH 的值即可．
解：如图，连接AN ，
∠EF 垂直平分AB ，
∠AN =BN ，
根据折叠的性质，可得AB =BN ，
∠AN =AB =BN ，
∠△ABN 为等边三角形，
∠∠ABN =60°，∠PBN =12
⨯60°=30°，即结论∠正确； ∠∠ABN =60°，∠ABM =∠NBM ，
∠∠ABM =∠NBM =12
⨯60°=30°， ∠BM =2AM ，
∠AB =6，222AB AM BM +=，
∠62+AM 2=（2AM ）2，
解得AM =∠不正确；
∠∠AMB =90°-∠ABM =60°，
∠∠BMG=∠AMB=60°，
∠ AD∠BC，
∠∠MBG=∠AMB=60°，
∠∠BGM=60°，
∠BMG是等边三角形；
即结论∠正确；
∠BN=AB=6，BN=3，
∠
EN=∠正确；
连接AN，
∠△ABM与∠NBM关于BM轴对称，
∠AP=NP，
∠PN+PH=AP+PH，
∠当点A、P、H三点共线时，AP+PH=AH，且当AH∠BN时AH有最小值，
∠AB=6，∠ABH=60°，
∠∠BAH=30°，
∠BH=3，
∠
AH=
∠PN＋PH的最小值是
∠正确；
【点拨】此题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形30度角的性质，熟记等边三角形的判定及性质是解题的关键．8．B
【分析】
由折叠的性质可得DM＝MN，CM＝MN，即M是CD的中点；故∠正确；∠B＝∠AMP，∠DAM＝∠MAP＝∠P AB，∠DMA＝∠AMN，∠CMP＝∠PMN，∠D＝∠ANM，∠C＝∠MNP，由平角的性质可得∠D+∠C＝180°，∠AMP＝90°，可证AD∠BC，由平行线的性质可得∠DAB
＝90°，由平行四边形和折叠的性质可得AN＝PN，由直角三角形的性质可得AB
MN．
北师大版九年级数学上学期期末培优训练第一章：特殊的平行四边形(含答案)
九年级数学上学期期末培优训练：特殊的平行四边形 1．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O直线EF分别交DA、BC的延长线于点E、F，连接BE、DF． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若EF＝BD，BE＝8，BF＝16，求菱形ABCD的面积； （3）若EF⊥AB，垂足为G，OB＝3AG，求的值． 2．菱形ABCD中，F是对角线AC的中点，过点A作AE⊥BC垂足为E，G为线段AB上一点，连接GF并延长交直线BC于点H． （1）当∠CAE＝30°时，且CE＝，求菱形的面积； （2）当∠BGF+∠BCF＝180°，AE＝BE时，求证：BF＝（+1）GF．
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F． （1）求证：OE＝CD； （2）若菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，求AE的长． 4．如图1，在矩形ABCD中，AC为对角线，延长CD至点E使CE＝CA，连接AE．F为AB上的一点，且BF＝DE，连接FC． （1）若DE＝1，CF＝，求CD的长； （2）如图2，点G为线段AE的中点，连接BG交AC于H，若∠BHC+∠ABG＝60°， 求证：AF+CE＝AC． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E， （1）求DE的长； （2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长； （3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．
6．如图，在正方形ABCD中，点E在射线AB上，点F在射线AD上．（1）若CE⊥CF，求证：CE＝CF； （2）若CE＝CF，则CE⊥CF是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请画图说明． 7．【感知】如图①，四边形ABCD、CEFG均为正方形．可知BE＝DG．【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且∠A＝∠F．求证：BE＝DG．【应用】如图③，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上．若AE＝2ED，∠A＝∠F，△EBC的面积为8，则菱形CEFG的面积为．
数学北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形复习教案
第一章特殊平行四边形 教学目标： (一)知识目标： 复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系. (二)过程与方法： (1)经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． (2)经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力； (3)在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力. (三)情感、态度、价值观： (1)积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． (2)通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养. 教学重点：三种特殊平行四边形性质和判定的复习；三种特殊平行四边形的关系. 教学难点：总结关系方法的多样性和系统性. 教法学法：归纳法、练习法 教学准备：多媒体课件 教学过程： 一、归纳本章主要内容 1、特殊平行四边形(菱形、矩形、正方形)的定义、性质与判定； 2、三角形中位线、直角三角形斜边上的中线定理. 二、复习具体知识点 （一）性质填表：
性质 边角对角线[来源:Z#xx#https://www.360docs.net/doc/a519206793.html,] 图形 平行四 边形 矩形 菱形[来 源:Z*xx*https://www.360docs.net/doc/a519206793.html,] 正方形 (二)判定填表： (三)三角形中位线性质定理：； (四)直角三角形斜边上中线定理： . 三、出示例题，总结方法 例1：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（） A．4 B．8 C．10 D．12 例2.已知：如图在正方形ABCD中，F为CD延长线上的一点，CE⊥AF 于E，交AD于M.求证：∠MFD=45° 四、课堂练习
2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-27 《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础篇)
专题1.27 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图，在四边形ABCD 中，AB CD BC AD ，，且AD ＝DC ，则下列说法：①四边形ABCD 是平行四边形；①AB ＝BC ；①AC ①BD ；①AC 平分①BAD ；①若AC ＝6，BD ＝8，则四边形ABCD 的面积为24，其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2．如图，在菱形ABCD 中，直线MN 分别交AB 、CD 、AC 于点M 、N 和O ．且AM CN =， 连接BO ．若65OBC ∠=︒，则DAC ∠为（ ） A ．65︒ B ．30 C ．25︒ D ．20︒ 3．两个边长为2的等边三角形如图所示拼凑出一个平行四边形ABCD ，则对角线BD 的长为（ ） A ．2 B ．4 C D ．4．如图，在菱形ABCD 中，40ABC ∠=︒，点 E 为对角线BD 上一点， F 为AD 边上一点，连接AE 、CE 、FE ，若AE FE =，56BEC ∠=︒，则DEF ∠的度数为（ ）
A ．16︒ B ．15︒ C ．14︒ D ．13︒ 5．如图，在△ABC 中，AC =BC ，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，△ADE ①△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ ） A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形 D ．无法确定 6．如图，在Rt ABC △中，D 、E 分别是直角边BC 、AC 的中点，若10DE =，则AB 边上的中线CP 的长为（ ） A ．5 B ．6 C ． D ．10 7．如图，在矩形ABCD 中，EF 是对角线AC 的垂直平分线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，若8,4AB AD ==，则EF 的长为（ ） A ．4 B ．8 C D ．8．如图，矩形ABCD 的顶点1,0A ，()0,2D ，()5,2B ，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C 的坐标为（ ）
北师大版初中数学九年级上(初三数学上)课件PPT配套教案-第1章 特殊平行四边形矩形(提高阶段)
北师大版初中数学九年级上（初三数学上）课件PPT配套教案 第1章特殊平行四边形矩形（提高阶段） 第1部分矩形 【学习目标】 1. 理解矩形的概念. 2. 掌握矩形的性质定理与判定定理. 【要点梳理】 要点一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 要点二、矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角 看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 要点四、直角三角形斜边上的中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用. （2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的 直角边等于斜边的一半. （3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题. 【典型例题】 类型一、矩形的性质 1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩 形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ． 【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ． 【答案与解析】 证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°． ∵△PBC和△QCD是等边三角形， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，
2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固(培优篇)
专题1.29 《特殊平行四边形》全章复习与巩固（培优篇） （专项练习） 一、单选题 1．如图，菱形OABC 的顶点O 与原点重合，点C 在x 轴上，点A 的坐标为（3，4）．将 菱形OABC 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B 的坐标为（ ） A ．（-8，-4） B ．（-9，-4） C ．（-9，-3） D ．（-8，-3） 2．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．则EC +GC 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1，0），四边形OABC 是菱形，60AOC ∠=︒，以OB 为边作菱形11OBB C ，使顶点1B 在OC 的延长线上，再以1OB 为边作菱形122OB B C ，使顶点2B 在1OC 的延长线上，再以2OB 为边作菱形233OB B C ，使顶点3B 在2OC 的延长线上，按照此规律继续下去，则2021B 的坐标是（ ） A ．101130-（，） B ．101132 （，） C ．20210-（，） D ．20231011 3322（-，）
4．如图，点H ，F 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，点E ，G 分别在BA ，DC 的 延长线上，且AE AH CG CF ===．连结EH ，EF ， GF ，GH ，若菱形ABCD 和四边形EFGH 的面积相等，则AH AD 的值为（ ） A ．1 2 B C D ．1 5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．D ． 6．如图，在矩形ABCD 中，1AB =，AD =O 是对角线的交点，过C 作CE BD ⊥于点E ，EC 的延长线与BAD ∠的平分线相交于点H ，AH 与BC 交于点F .给出下列四个结论：∠AF FH =；∠BF BO =；∠AC CH =；∠3BE DE =.其中正确结论有( ).
2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-23 特殊平行四边形“将军饮马”(培优篇)
专题1.23 特殊平行四边形“将军饮马”专题（培优篇） （专项练习） 一、单选题 【知识点一】菱形将军饮马问题 1．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 方向平移，得到△EFG ，连接EC 、GC ．则EC +GC 的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，120ABC ∠=︒．点E ，F 是AC 上的动点，且1 4EF AC =， 若2AD =，则DE BF +的最小值为（ ） A B C ．2 D ．2 3．如图，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM +PN 的最小值是（ ） A ．5 B ．10 C ．6 D ．8
4．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含
B 点）上任意一点，将△ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到△EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ） A ． B ． C ． D ．【知识点二】矩形将军饮马问题 5．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ． D ．6．如图，矩形ABCD 中，AB AD <，∠EFG 为等腰直角三角形，90G ∠=︒，点 E 、F 分别为AB 、BC 边上的点（不与端点重合），4EF AB ==． 现给出以下结论：∠GEA GFB ∠=∠；∠点G 始终在ABC ∠的平分线上；∠点G 可能在ADC ∠ 的平分线上；∠点G 到边BC 的距 离的最大值为 ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7．如图，在Rt∠ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，BC =4．点F 为射线CB 上一动点，过点C 作CM ∠AF 于M ，交AB 于E ，D 是AB 的中点，则DM 长度的最小值是（ ）
第1章特殊平行四边形 解答题培优提升专题训练 2021-2022学年北师大版九年级数学上册(答案)
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》 解答题培优提升专题训练（附答案） 1．如图，▱ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F．AE与BF交于G．（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．求证：四边形ABHE是矩形． （2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD． 2．如图，在菱形AECF中，对角线AC，EF交于点O，AB⊥CF的延长线于点B，CD∥AB 交AE的延长线于点D． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面积． 3．如图，在等腰△ABC中，D是底边BC上异于C点的任意一点，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD交AN于E． （1）求证：四边形ADCE是平行四边形； （2）将题中“D是底边BC上异于C点的任意一点”改为“D是底边BC上的中点”，则四边形ADCE是什么四边形？为什么？ （3）在（2）中，当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形？并证明．
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，对角线AC、BD交于点O，一直线过O点分别交AD、BC于点E、F，且ED＝4，求证：四边形AFCE为菱形． 5．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E．点F为四边形ABCD外一点，且∠FCA ＝90°，BC平分∠DBF，∠CBF＝∠DCB． （1）求证：四边形DBFC是菱形； （2）若AB＝BC，∠F＝45°，BD＝2，求AC． 6．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于D，作DE∥BC交AB于点E，作DF∥AB 交BC于点F． （1）求证：四边形BEDF是菱形； （2）若∠BDE＝15°，∠C＝45°，CD＝2，求DE的长． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF． （1）求证：四边形CFBD是菱形； （2）连接AE，若CF＝6，DF＝4，求AE的长．
北师大版数学九年级上册：第一章 特殊平行四边形——特殊平行四边形的折叠问题(含答案)
第一章特殊平行四边形 特殊平行四边形的折叠问题 ▶类型一菱形中的折叠问题 1.对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图1-ZT-1所示,O为对角线的交点,过点O折叠菱形,使B,B'两点重合,MN是折痕.若B'M=1,则CN的长为() 图1-ZT-1 A.7 B.6 C.5 D.4 2.如图1-ZT-2,将菱形ABCD折叠,使点B落在AD边上的点F处,折痕为CE.若∠D=70°,则∠AEF=°. 图1-ZT-2 3.如图1-ZT-3,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,将菱形折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点G处(不与点B,D重合),折痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为. 图1-ZT-3 ▶类型二矩形中的折叠问题 4.[2020·枣庄]如图1-ZT-4,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE 折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是() 图1-ZT-4
A.3√3 B.4 C.5 D.6 5.[2020·青岛]如图1-ZT-5,将矩形ABCD折叠,使点C和点A重合,折痕为EF,EF与AC交于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为() 图1-ZT-5 A.√5 B.3 2 √5C.2√5D.4√5 6.[2020·衢州]如图1-ZT-6,把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠,得到等腰直角三角形BEF,若BC=1,则AB的长度为() 图1-ZT-6 A.√2 B.√2+1 2C.√5+1 2 D.4 3 7.如图1-ZT-7,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD的中点,F为AB上一点,将△AEF沿EF 折叠后,点A恰好落到CF上的点G处,求折痕EF的长. 图1-ZT-7 ▶类型三正方形中的折叠问题
九年级上期末专题复习《第一章特殊平行四边形》单元试卷有答案
期末专题复习：北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形单元检测试卷 一、单选题（共10题；共30分） 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠ABC=60°，OA=1，则CD的长为（） A. 1 B. √3 C. 2 D. 2√3 2.下列给出的条件中，能识别一个四边形是菱形的是（） A. 有一组对边平行且相等，有一个角是直角 B. 两组对边分别相等，且有一组邻角相等 C. 有一组对边平行，另一组对边相等，且对角线互相垂直 D. 有一组对边平行且相等，且有一条对角线平分一个内角 3.顺次连结矩形四边的中点所得的四边形是（） A. 矩形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 菱形 4.下列说法中，正确的是（）. A. 相等的角一定是对顶角 B. 四个角都相等的四边形一定是正方形 C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 矩形的对角线一定垂直 5.在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是( ) A. 20 B. 40 C. 24 D. 48 6.如图，在正方形ABCD的内部作等边△ADE，则∠AEB度数为（） A. 80° B. 75° C. 70° D. 60° 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（） A. 75° B. 65° C. 55° D. 50°
8.如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（） A. √3cm B. 2cm C. 2 √3 cm D. 4cm 9.在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形； ③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8． 其中正确的结论有（）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10.（2017•德州）如图放置的两个正方形，大正方形ABCD边长为a，小正方形CEFG边长为b（a＞b），M在BC边上，且BM=b，连接AM，MF，MF交CG于点P，将△ABM绕点A旋转至△ADN，将△MEF绕点F旋转至△NGF，给出以下五个结论：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣b2 ；③△ABM≌△NGF；④S四边形AMFN=a2+b2； a ⑤A，M，P，D四点共圆，其中正确的个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共10题；共30分） 11.矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为________cm2． 12.如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是________（只填一个）． 13.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的解，则菱形ABCD的周长为________． 14.（2017•包头）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．
第1章 特殊的平行四边形 同步训练 2022-2023学年北师大版九年级数学上册
第1章特殊的平行四边形（同步训练）-北师大版九年级上册一．选择题 1．如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC 拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 2．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在边BC上，连接AE，OE．若∠CAE＝∠OBE，OE＝2，CE＝，则边AB的长为（） A．B．C．D．5 3．如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（） A．48B．60C．76D．80 4．如图，在正方形ABCD中，CE⊥MN，∠MCE＝40°，则∠ANM＝（）
A．40°B．45°C．50°D．55° 5．四边形当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（） A．1B．C．D． 6．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点，若∠ACB＝30°，AB＝10，则MN的长为（） A．5B．5C．5D．4 7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝2，则四边形CODE的周长为（） A．4B．8C．10D．12 8．如图，一个三角形与一个正方形有一条公共边，正方形面积为5cm2，三角形的另两条边（非公共边）长分别为2cm，1cm，则三角形为（）
2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1-32 特殊平行四边形中考真题专练(巩固篇)
专题1.32 特殊平行四边形中考真题专练（巩固篇） （专项练习） 一、单选题 1．（2022·四川自贡·中考真题）如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点 ()2,5A -，则点C 的坐标为（ ） A ．()5,2- B ．()2,5- C ．()2,5 D ．()2,5-- 2．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，连接AC ，分别以点A ，C 为圆心，大于1 2 AC 的长为半径画弧，两弧交于点M ，N ，直线MN 分别交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论： ①四边形AECF 是菱形； ①①AFB ＝2①ACB ； ①AC •EF ＝CF •CD ； ①若AF 平分①BAC ，则CF ＝2BF ． 其中正确结论的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上， 120ABC ∠=︒，点()30A -, ，点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD PE +
的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ． D 4．（2022·青海·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是AB 的中点，延长CB 至点 E ，使BE BC =，连接DE ， F 为DE 中点，连接BF .若16AC =，12BC =，则BF 的长为（ ） A ．5 B ．4 C ．6 D ．8 5．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，连接BD ，分别以B 、D 为圆心，大于 1 2 BD 的长为半径画弧，两弧交于P 、Q 两点，作直线PQ ，分别与AD 、BC 交于点M 、N ，连接BM 、DN ．若4=AD ，2AB =．则四边形MBND 的周长为（ ） A ．52 B ．5 C ．10 D ．20 6．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在Rt ABC 中，D 为斜边AC 的中点，E 为BD
2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合优生辅导练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》 单元综合优生辅导练习题（附答案） 一．选择题（共11小题，满分44分） 1．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．如果AB＝CD，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形 B．如果AC＝BD，AC⊥BD，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AB＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果AO＝CO，BO＝DO，BC＝CD，∠ABC＝90°，那么四边形ABCD是正方形2．如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（） A．34B．89C．74D．109 3．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PD＝EC，其中正确的是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E（2，3），则点F 的坐标为（） A．（﹣1，5）B．（﹣2，3）C．（5，﹣1）D．（﹣3，2）
5．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是（） A．3B．4C．5D．6 6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（） A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3） 7．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（） A．B．C．D． 8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（） A．2.5B．C．D．2
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形 ——动点问题专题训练 1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC， PE//AB． (1)用a表示四边形ADPE的周长为． (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由． (3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边 形ADPE是菱形(不必说明理由)． 2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线 于点E，交△ACB的外角平分线于点F． (1)求证：OE=OF； (2)若CE=8，CF=6，求OC的长； (3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由． 3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD 相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．
(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则 其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)； (2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F 落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由． 4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一 边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； (1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论． (2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2 情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由． 5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为 边在第一象限内作正方形ODEF．
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章末专题训练【含答案】
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章末专题训练 变式讲练1:以菱形为背景的证明 例1已知：如图1,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，点E, F, G, H分别 是OA, OB OC OD的中点.求证：四边形EFGH是菱形.（P7页第2题） 题意探析：以菱形为已知，菱形的性质一定是解题的依据之一；生成中位线，三角形中位线定理一定也是解题的得力知识源，菱形作结论，菱形的判定定理自然是证明中条件完备的目标，只要满足其一，结论自然得证 . 解法直播：因为四边形ABCD1菱形，所以AB=BC=CD=DA因为点E, F, G H分别是OA OB OC OD 的中点，所以EF,FG,GH,HE^别是^ OAB,A OBC,AOCDAODA勺中位线， 所以EF=- AB,FG=- BC,GH=1CD,EH=1 DA,因为AB=BC=CD=D丽以EF=FG=GH=HE 2 2 2 2 所以四边形EFGHB!形. 点拨与提升：习题往往具有典型性，本题就具有这样的潜质，当变换中点的位置，中点的个数 将会别有洞天，有意想不到的收获，变式学习法也正是数学学习的最有效方法之一^ 变式1:已知：如图2,在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点。，点E, F, G, H分别是OD, AB, OB CD的中点.试猜想四边形EFGH的形状，并证明. 分析：遇到中点的连线，首先考虑是否满足三角形的中位线定理，这是解题的一个主要解题方 向. 解：四边形EFGH^平行四边形. 理由如下：因为点E, F, G, H分别是OD AB, OB, CD的中点，所以EH,GF分别是三角形DOC 和三角形AOB勺中位线，所以EH// OC,EH=1 OC,FG// OA,FG=1 OA,因为四边形ABCD^菱形，所 2 2 以OC=O颂以EH=FG,EW FG,所以四边形EFGH^平行四边形.
最新北师大版九年级数学上册《特殊的平行四边形》全章热门考点整合及答案
全章热门考点整合应用 名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想． 一个定理——直角三角形斜边上的中线定理 1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证： (1)四边形ADEF是平行四边形； (2)∠DHF＝∠DEF. (第1题) 三个图形 图形1菱形 2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F. (1)求证：四边形DBFE是平行四边形． (2)当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由． (第2题)
图形2矩形 3．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F. (1)求证：△AOE≌△COF. (2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由． (第3题) 图形3正方形 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°后得△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H. (1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由； (2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形． (第4题)
三个判定与性质 判定与性质1菱形 5．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC 交AD于点F. 求证：四边形CDEF是菱形． (第5题) 判定与性质2矩形 6．【2015·湘西州】如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.求证： (1)△ADE≌△CBF； (2)四边形DEBF为矩形． (第6题)
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》同步练习(解析版) (5)
矩形的性质与判定专项训练 （典型题汇总） 一．选择题（共15小题） 1．已知一矩形的周长是24cm，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是（） A．24cm2B．32cm2C．48cm2D．128cm2 2．下面对矩形的定义正确的是（） A．矩形的四个角都是直角B．矩形的对角线相等 C．矩形是中心对称图形D．有一个角是直角的平行四边形 3．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、P D．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 4．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=6cm，则四边形CODE 的周长为（） A．6 B．8 C．10 D．12 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，AE=3，ED=3BE，则AB的值为（） A．6 B．5 C．2D．3
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分BO，AE=cm，则OD=（） A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm 7．下列命题中正确的是（） A．对角线相等的四边形是矩形；B．对角线互相垂直的四边形是矩形； C．对角线相等的平行四边形是矩形；D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是矩形的是（） A．∠BAC=∠ACB；B．∠BAC=∠ACD；C．∠BAC=∠DAC；D．∠BAC=∠ABD 9．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是（） A．AO=OC B．AC=BD C．AC⊥BD D．BD平分∠ABC 10．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是（） A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AC=BD，∠B=∠C=90° C．AB=CD，∠B=∠C=90°D．AB=CD，AC=BD 11．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（）