最新中考数学-一轮复习：特殊的平行四边形

特殊的平行四边形

基础知识 知识点一：矩形

1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的判定

3、矩形的性质

⎪⎩

⎪

⎨⎧⇒对角线相等四个角都是直角通性具有平行四边形的所有

矩形

知识点二：菱形

1、定义：四边都相等的四边形是菱形或有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2、菱形的判定

3、菱形的性质

知识点三：正方形

1、定义：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的判定

3、正方形的性质

重点例题分析

例1：下列命题是真命题的是（）

A．四边形都相等的四边形是矩形B．菱形的对角线相等

C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的梯形是等腰梯形答案：D

例2：正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（ ） A.8 B.24 C.28 D.16

例3：如图20-1，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF 的长为（ ）

A.4

B.23

C.5.4

D.5

例4：如图20-2，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫，从点A 开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是（ ） A.点F B.点E C.点A D.点C 、

答案：A

解：∵两个菱形的边长都为1cm，

∴从A开始移动8cm后回到点A，

∵2014÷8=251余6，

∴移动2014cm为第252个循环组的第6cm，在点F处．

故选A．

例5：如图20-3，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.等腰梯形

例6：如图20-4，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（）

A．3 B．4 C．1D．2

答案：D

∴∠ADE=∠BEF；

故④正确．

∵∠ADE=∠BDF，

同理：∠BDE=∠CDF，

但∠ADE不一定等于∠BDE，

∴AE不一定学科网等于BE，

故①错误；

∵△ADE≌△△BDF，

∴AE=BF，

同理：BE=CF，

但BE不一定等于BF．

故③错误．

故选D．

例7：如图20-5，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（）

图20-5

A．4 B ．C ．D．5

∴菱形ABCD的面积是1

2

×AC•DB=

1

2

×6×8=24

∴BC•AE=24，

AE=，

故选：C．

例8：如图20-6，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是．

图20-6

例9：如图20-7，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2014次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2014的坐标为．

图20-7

例10：在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，

巩固练习

1.如图20-8，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连结AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（）

图20-8

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形

2.如图20-9，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG 于点F．下列结论不一定成立的是（）

图20-9

A．△AED≌△BFA B．DE－BF＝EF

C．△BGF∽△DAE D．DE－BG＝FG

3.如图20-10，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）

图20-10

A. 3

B.3. 5

C.2.5

D.2.8

4.如图20-11,某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用m 25），现在已备足可以砌m 50长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为2

300m .

5.如图20-12，矩形ABCD 对角线相交与O ，DE//AC ，CE//BD.求证：四边形OCED 是菱形.

6.如图20-13,已知菱形ABCD 的对角线相交于点O,延长AB 至点E,使BE=AB,连结CE. (1)求证:BD=EC;

(2)若∠E=50° ,求∠BAO 的大小.

7.如图20-14，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，P 、Q 分别是BM 、DN 的中点. （1）求证：△MBA ≌△NDC ；

（2）四边形MPNQ 是什么样的特殊四边形？请说明理由.

8.如图20-15，已知平行四边形ABCD ，过A 作AM ⊥BC 与M ，交BD 于E ，过C 作CN ⊥ＡＤ于Ｎ，交ＢＤ于Ｆ，连结AF 、CE.

（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值。

9.如图20-16，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；

（2）若∠ABC=900，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形。

中考预测

1.下列命题中正确的是（）

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

D.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

2.如图20-17，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误

．．的是（）

A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC

3.正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图20-18表示，将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（）

A．（2，0）B．（3，0）C．（2，﹣1）D．（2，1）

4.如图20-19，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为．

5.如图20-20，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB,∠BDE=700，则∠CAD= 0.

6.如图20-21，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB=5，则BD的长为．

7.如图20-22所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过此正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F、DE ⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为．

8.如图20-23，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是__ ___．

9.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图20-24所示的正方形（用阴影表示），点B1在y轴上且坐标是（0，2），点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是（1，0）．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A2014到x轴的距离是．

10.如图20-25，△ABC 中，90B ∠=，AB=6cm,BC=8cm 。将△ABC 沿射线BC 方向平移10cm ，得到△DEF ，A,B,C 的对应点分别是D,E,F ，连结AD 。求证：四边形ACFD 是菱形。

11.已知：如图20-26，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E,∠1=∠2。

(1）若CE=1，求BC 的长；(2）求证AM=DF+ME 。

参考答案：巩固练习1.A

2.D

3.C

8.（1）证明：因为AE⊥BC，所以∠AMB=90°，

中考预测1.C

2.B

3.B